Các định luật cơ bản của động lực học

"Don't study, don't know - Studying you will know!" NGUYEN TRUNG HOA GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC CHNG I CÁC NG LUT C BN CA NG LC HC PHNG TRÌNH VI PHÂN CHUYN NG CA CHT IM §1 BÀI M U Trong phn Tnh hc chúng ta đã nghiên cu v lc và s cân bng ca các vt th di tác dng ca các lc vi gi thuyt là các lc không thay đi theo thi gian. Trong phn ng hc, chúng ta đã nghiên cu s chuyn đng ca các vt th v mt hình hc không tính đn các nguyên nhân làm thay đi các chuyn đng đó. Trên thc t, mt s ln các lc là nhng đi lng bin đi và có th ph thuc vào nhiu tham s. Quy lut chuyn đng ca vt th ph thuc vào hình dáng, kích thc, khi lng .ca vt và các lc tác dng lên nó. ng lc hc là mt phn ca c hc nghiên cu các quy lut chuyn đng ca các vt th di tác dng ca các lc. Lý thuyt đng lc hc đc xây dng trên nhng đnh lut c bn đng lc hc. Chúng là kt qu ca hàng lot các thí nghim và quan sát và đã đc kim nghim qua thc tin. Nhng đnh lut này ln đu tiên đc Newton trình bày mt cách có h thng nm 1687 vì vy ngi ta còn gi là các đnh lut Newton hay là nhng đnh lut c hc c đin. §2. CÁC KHÁI NIM C BN 1. Không gian, thi gian : Nh chúng ta đã bit, chuyn đng c hc là s di ch ca các vt th trong không gian theo thi gian. Không gian và thi gian  đây hiu theo ngha tuyt đi c đin (Khác vi khái nim không gian, thi gian trong lý thuyt tng đi). Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 1 GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC 2. Quán tính : Thc t cho thy rng tác dng ca mt lc lên hai vt th t do khác nhau, nói chung chúng chuyn đng khác nhau. Tính cht ca vt th thay đi vn tc chuyn đng nhanh hn hay chm hn khi có cùng lc tác dng gi là quán tính. i lng dùng đ đo lng quán tính có th là khi lng. 3. Cht đim :  nghiên cu chuyn đng ca các vt th có kích thc nh so vi đ di ca chúng, ngi ta đa vào khái nim cht đim. Cht đim là vt th có khi lng mà kích thc có th b qua đc trong khi nghiên cu chuyn đng ca nó. 4. C h : C h là tp hp các cht đim mà chuyn đng ca các cht đim này liên quan đn chuyn đng ca các cht đim khác thuc h. 5. Vt rn : Vt rn là mt c h đc bit, trong đó khong cách gia phn t (cht đim) bt k ca vt luôn luôn không đi. 6. H quy chiu :  xác đnh chuyn đng ca mt c h (hay mt cht đim) nào đó, ngi ta phi ly mt vt chun làm mc. H to đ gn vi vt chun gi là h quy chiu. Nu to đ ca tt c các đim thuc c h trong h quy chiu đã chn, luôn luôn không đi thì ta nói vt đng yên trong h quy chiu đó. Trong trng hp ngc li, nu to đ ca mt s cht đim nào đó thuc c h thay đi theo thi gian thì ta nói c h chuyn đng trong h quy chiu đã chn. Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 2 GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC §3. CÁC NH LUT C BN 1. nh lut quán tính (nh lut I) : Cht đim không chu tác dng ca lc nào thì gi nguyên trng thái đng yên hay chuyn đng thng đu. Trng thái đng yên hay chuyn đng thng đu ca cht đim đc gi là chuyn đng theo quán tính. Theo đnh lut này nu không có lc nào tác dng lên cht đim hoc hp các lc tác dng lên cht đim bng 0 thì véct vn tc v f ca cht đim s không đi c v đ ln ln hng và do đó gia tc w f = 0. H quy chiu trong đó tho mãn đnh lut quán tính gi là h quy chiu quán tính. 2. nh lut c bn ca đng lc hc (nh lut II) : Di tác dng ca lc, cht đim t do chuyn đng vi gia tc cùng hng vi hng ca lc và có đ ln t l vi đ ln ca lc : WmF ff .= (1.1) Trong đó m là khi lng ca cht đim. H thc (1.1) đc gi là phng trình c bn ca đng lc hc. T h thc (1.1) chúng ta thy rng di tác dng ca cùng mt lc, cht đim nào có khi lng nh hn s có gia tc ln hn. Nh vy khi lng là đi lng vt lý đc trng cho mc đ cn tr s thay đi vân tc ca cht đim-quán tính ca cht đim. Trong c hc c đin khi vn tc chuyn đng ca cht đim nh hn nhiu so vi vn tc ánh sáng, ngi ta coi khi lng là đi lng không đi. Nh h thc (1.1) ta có th tìm đc h thc liên h gia trng lng và khi lng ca mt vt. Tht vy, thc nghim đã ch rng di tác dng ca trng lc P mt vt ri t do ( đ cao không ln lm và không tính đn sc cn ca không khí) đu có cùng gia tc là g. Do đó t (1.1) ta suy ra : P = m.g (1.2) Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 3 GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC Cn nói thêm rng, cng nh gia tc g, trng lng thay đi theo v đ và đ cao nhng khi lng là mt đi lng không đi vi mt vt. 3. nh lut v tác dng và phn tác dng : (nh lut III) Hai lc mà hai cht đim tác dng lên nhau bng nhau v s, cùng hng tác dng nhng ngc chiu. Ta cn chú ý rng các lc tác dng tng h này không to thành mt h lc cân bng vì chúng đt vào hai cht đim khác nhau. 4. nh lut đc lp tác dng : Di tác dng đng thi ca mt s lc, cht đim có gia tc bng tng hình hc các gia tc mà cht đim có đc khi tng lc tác dng riêng bit. Gi s cht đim có khi lng m chu tác dng ca các lc n FFF fff , .,, 21 . Gi là gia tc ca cht đim có đc khi các lc này tác dng đng thi, còn n WWW fff , .,, 21 mà cht đim có đc nu nh tng lc n FFF fff , .,, 21 tác dng riêng l. Theo tiên đ trên ta có : n WWWW ffff +++= . 21 (1.3) Nhân hai v ca (1.3) vi m và đ ý đn tiên đ th 2 ta đc : n WmWmWmWm ffff . 21 +++= n FFFWm ffff +++= . 21 Hay là : WmF n i i ff . 1 = ∑ = (1.4) 5. H đn v :  đo các đi lng c hc ngi ta phi dùng ba đn v c bn. Tu thuc vào vic chn h đn v c bn mà ta có h đn c do khác nhau : - H đn v quc t (SI) : Các đn v c bn mét (m), kilôgram (kg) và giây (s). Lc là đn v dn xut đc đo bng Newton (N). 2 . 11 s mkg N = Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 4 GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC H đn v MKS : Các đn v c bn là mét (m), kilôgram lc (kG) và giây (s). n v đo khi lng là đn v dn xut. §4. PHNG TRÌNH VI PHÂN CHUYN NG Da vào đnh lut c bn ca đng lc hc,  đây chúng ta s thit lp mi quan h gia các lc tác dng lên vt th và quy lut chuyn đng ca nó. Mi quan h đó đc gi là phng trình vi phân chuyn đng. I. PHNG TRÌNH VI PHÂN CHUYN NG CA CHT IM : Xét chuyn đng ca cht đim t do di tác dng ca các lc n FFF fff , .,, 21 (i vi các cht đim không t do, chúng ta dùng nguyên lý gii phóng liên kt bng các phn lc đ có th xem chúng nh cht đim t do). 1. Dng véct : Nh chúng ta đã bit, gia tc W f ca cht đim đc biu th qua véct bán kính r f ca nó nh sau : rW $$ f f = Vì vy phng trình c bn ca đng lc hc cht đim (1.4) có dng : ∑ = k Frm f $$ f . (1.5) Phng trình (1.5) là phng trình vi phân chuyn đng ca cht đim di dng véct. 2. Dng to đ Descarte : Xét chuyn đng ca cht đim trong h to đ Descarte Oy. Chiu phng trình (1.5) lên các trc to đ Ox, Oy, Oz ta đc : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ∑ ∑ ∑ kz ky kx Fzm Fym Fxm $$ $$ $$ . . . (1.6) r f M O z y x Hình 1 Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 5 GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC hay : ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ∑ ∑ ∑ kz ky kx F dt zd m F dt yd m F dt xd m 2 2 2 2 2 2 . . . (1.6’) H phng trình (1.6) hay (1.6’) là phng trình vi phân chuyn đng ca cht đim trong h to đ Descarte. 3. H to đ t nhiên : Chiu hai v ca phng trình (1.4) lên các trc ca h to đ t nhiên (, n, b) (Hình 2) ta đc : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ∑ ∑ ∑ kbb knn k FWm FWm FWm . . . ττ Vì W  = , s $$ ρ 2 s W , W n $ = b = 0 nên ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ∑ ∑ ∑ kb kn k F F s m Fsm 0 . . 2 ρ τ $ $$ (1.7) Nhng phng trình này đc áp dng mt cách có hiu qu khi bit qu đo tuyt đi ca cht đim. Phng trình th nht ca h (1.7) vi điu kin ban đu tng ng cho phép chúng ta xác đnh quy lut chuyn đng ca h, hai phng trình còn li dùng đ xác đnh các yu t khác cha bit ca bài toán (phn lc liên kt, bán kính cong , .v v) Hình 2 τ f b f n f W f M II. PHNG TRÌNH VI PHÂN CHUYN NG CA H : Xét c h gm n cht đim m 1 , m 2 , ., m n . Gi k e F f là hp lc ca tt c các lc ngoài và k i F f là các hp lc ca tt c các lc tng tác dng lên cht đim th k ca h. Phng trình vi phân chuyn đng ca cht đim th k s có dng : Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 6 GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC k i k e kk FFWm fff += Vit phng trình tng t cho tt c các cht đim ca h ta đc : 11 11 ie FFWm fff += 22 22 ie FFWm fff += n i n e nn FFWm fff += Hay : x i x e FFxm 11 1 . += $$ y i y e FFym 11 1 . += $$ z i z e FFzm 11 1 . += $$ (1.8) . nx i nx e n FFxm += $$ . ny i ny e n FFym += $$ . nz i nz e n FFzm += $$ . (1.8) là h gm 3.n phng trình. Trong trng hp nu chúng ta phân loi lc ra thành lc hot đng k a F f và phn lc liên kt k N f thì tng t vi h (1.8) ta có : 1 1 11 NFWm a fff += 2 2 22 NFWm a fff += (1.9) n n a nn NFWm fff += Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 7 GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC §5. HAI BÀI TOÁN C BN CA NG LC HC Trong đng lc hc cn gii quyt hai bài toán c bn sau đây: 1. Xác đnh lc tác dng lên cht đim khi đã bit quy lut chuyn đng ca nó. (Bài toán th nht ca đng lc hc ). 2. Xác đnh quy lut chuyn đng ca đim khi bit các lc tác dng lên nó (Bài toán th hai ca đng lc hc ).  gii quyt bài toán này ta có th s dng các phng trình (1.5), (1.6), (1.7) - đi vi cht đim và các h phng trình (1.8) hay (1.9)-đi vi h c. Tuy nhiên, cho đn nay cha có phng pháp tng quát đ tích phân các h dng (1.8) vì vy trong thc t ngi ta thng dùng nhng phng pháp khác hiu qu hn mà chúng ta s xét trong nhng phn sau. I. GII BÀI TOÁN TH NHT CA NG LC HC I VI CHT IM: Khi bit quy lut chuyn đng ca cht đim, chúng ta dùng các công thc đã bit trong phn đng hc đ tính gia tc ca cht đim và cui cùng dùng phng trình c bn (1.5), (1.6), hay (1.7) đ xác đnh các lc tác dng lên nó. Ví d 1.1 : Mt thang máy có trng lng P (hình 3) bt đu đi lên vi gia tc W. Hãy xác đnh sc cng ca dây cáp. Ví d 1.2 : Tìm áp lc ca ô-tô lên mt cu ti đim A. Cho bit ô-tô có trng lng P, vn tc chuyn đng là v f và bán kính cong ca cu ti A là  (hình 4). W f P f Hình 3 N f v f P f A n Hình 4 T f z Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 8 GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC II. GII BÀI TOÁN TH HAI CA NH LC HC I VI CHT IM : Vi bài toán nà, chúng ta đã bit lc tác dng lên cht đim nh hàm ca thi gian, vn tc, v trí . ngha là : ),,( rvtFF kk ff ff = Khi đó phng trình vi phân chuyn đng ca cht đim có dng : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ∑ ∑ ∑ ),,,,,,(. ),,,,,,(. ),,,,,,(. zyxzyxtFzm zyxzyxtFym zyxzyxtFxm kz ky kx $ $$ $$ $ $$$$ $ $$$$ (1.10) ây là h ba phng trình vi phân cp 2. Nghim tng quát ca nó ph thuc vào 6 hng s tu ý : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ),,,,,,( ),,,,,,( ),,,,,,( 6543213 6543212 6543211 cccccctfz cccccctfy cccccctfx (1.11) Nhng hng s tích phân này s đc xác đnh nh nhng điu kin ban đu ca chuyn đng, chng hn : Khi t = 0 thì x = x 0 , y = y 0 , z = z 0 . 000 ,, zzyyxx $$ $$$$ === (1.12) Vic gii h phng trình (1.10) không phi lúc nào cng thc hiên đc trong dng gii tích. Chúng ta ch có th tích phân h (1.10) vi các điu kin ban đu (1.12) trong s trng hp đn gin. 1. Chuyn đng thng ca đim : Trong phn đng hc, chúng ta đã bit vn tc và gia tc ca đim trong chuyn đng thng luôn luôn hng theo đng qu đo. Vì gia tc có chiu trùng vi chiu ca hp lc tác dng lên cht đim do đó chuyn đng thng ch xy ra khi : ∑ = k FR ff có hng không đi và có vn tc ban đu bng không hoc cùng hng vi R f . Hình 5 x ∑ = FR ff O Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 9 [...]... ng c bi u th ng c a m t kho ng cách trung bình nào ó Jz = M Ch ng II Các nh lý t ng quát c a 2 z ng l c h c (2.5) Trang 14 GIÁO TRÌNH C il LÝ THUY T II ng PH N Jz g i là bán kính quán tính c a m t v t M z NG L C H C i v i tr c z II Mômen quán tính c a v t th (c h ) : i v i m t i m O nào ó là l ng v i bình ph il ng vô h ng b ng t ng các tích các kh i ng kho ng cách t các ch t i m t i tâm ó mk r 2 k... cho s phân b kh i l ng c a c ng mômen quán tính - Mômen quán tính c a m t v t th (m t c h ) h ng b ng t ng các tích c a kh i l i v i tr c Oz là ng c a i m v i bình ph il ng vô ng kho ng cách t các i m t i tr c mk d 2 k Jz N u to (2.3) c a các i m trong m t h tr c to mômen quán tính c a h i v i các tr c to Jx Jy Jz mk ( y 2 k mk ( x 2 k mk ( y 2 k s là : z 2k ) z 2k ) x2k ) Trong k thu t mômen quán tính... làm h t s c ph c t p, h n n a trong ph n l n các ng l c h c c a h , v n toàn b chuy n chính không ph i là kh o sát m t cách chi ti t ng c a ch t i m thu c h mà ch nghiên c u các hi n t t ng m t riêng bi t có t m quan tr ng trong th c ti n nh v y s d ng các ng theo gi i quy t nh ng bài toán nh lý t ng quát s làm cho quá trình gi i n gi n và nhanh chóng h n §1 CÁC C TR NG HÌNH H C KH I L NG C A H VÀ V T... ng c ch ng minh b ng cách s d ng tính i x ng c a tính các bi u th c c a mômen quán tính ly tâm VI Cách tính mômen quán tính c a m t s v t a) Thanh ng ch t n gi n : ng ch t : Tính mômen quán tính c a thanh m nh AB chi u dài l và kh i l ng M, ng ch t có i v i tr c Ay vuông góc v i thanh và i qua uA c a nó (Hình 11) Mu n v y ta chia thanh ra nhi u ph n t Xét m t ph n t cách Ch ng II Các nh lý t ng quát... th c công nguyên t còn c vi t d (2.34) (2.35) i các d ng khác nh sau : vì ds = vdt nên dA = Fvcos dt (2.36) f G i hình chi u c a F trên các tr c t a th c (2.37) f là Fx, Fy, Fz và c a dr là dx, dy, dz bi u c vi t l i là : dA = Fxdx + Fydy + Fzdz (2.38) (2.34), (2.35), (2.36), (2.37), (2.38) là các cách vi t khác nhau c a bi u th c công nguyên t Tùy các tr khác phép tính ng h p c th ng n gi n h n b)... t ph ng vuông góc v i ph ng chuy n ng, bi t r ng khi t = 0, x = vx = 0 x Hình 7 Ch ng I Các nh lu t c b n c a LH- PTVP chuy n ng Trang 12 GIÁO TRÌNH C LÝ THUY T II PH N CH CÁC NG L C H C NG II NH LÝ T NG QUÁT C A NG L C H C Các nh lý t ng quát c a ng l c h c là h qu c a l c h c, chúng ta thi t l p m i liên h gi a các ng l ng, ng n ng và Trong nhi u tr trình chuy n bài toán il nh lu t c b n c a ng c... c trên các tr c t a nh lý v ng l nh lý 2.1 : Fz dt (2.16) Fy dt , S z Fx dt , S y t0 III t1 t1 t1 Sx s là : t0 t0 ng : o hàm theo th i gian ng l ng c a ch t i m b ng t ng hình h c các l c tác d ng lên ch t i m y f d (mv ) dt Ph f Fk (2.17) ng trình (2.17) th c t là m t cách vi t khác ph ng trình c b n c a ng l c h c (1.4) o hàm theo th i gian c a nh lý 2.2 : ng l ng c a c h b ng véct , chính các ngo... (2.18) Ch ng minh: G i t ng các ngo i l c và t ng các n i l c tác d ng lên ch t i m f f th k là F e k và F i k Theo (2.17) i v i m i i m thu c h ta có : f d (mk v k ) dt Ch ng II Các nh lý t ng quát c a f F ek f F ik ng l c h c (k= 1,2 n) Trang 21 GIÁO TRÌNH C LÝ THUY T II C ng t ng v ph Vì ng trình này ta d dt f F ik f mk v k 0 và f dK dt f F ek f mk v k ng l nh lý ã ng c a các l c tác d ng lên ch t... còn các ng ng ta to f d (mv ) Các (2.19) f Fk dt f d (mv ) Tích phân hai v c ch ng minh) ng c a ch t i m trong kho ng th i gian nào ó Ch ng minh: T (2.17) ta có : b ng t ng xung l f F ik f K nên : f mv1 Tích phân hai v NG L C H C c: f F ek ( nh lý 2.3 : Bi n thiên b ng t ng xung l PH N f S ek f K0 nh lý bi n thiên nh lý 2.3 và 2.4 là các ng l nh lý vi t d ng c a ch t i m d i d ng h u h n Chi u các. .. (2.17), (2.18), (2.19) và (2.20) xu ng các tr c t a s Ch c các bi u th c vô h ng II Các ng th nh lý t ng quát c a i d ng vi chúng ta ng dùng trong tính toán ng l c h c Trang 22 GIÁO TRÌNH C IV LÝ THUY T II nh lu t b o toàn ng l PH N NG L C H C ng : T bi u th c (2.18) suy ra r ng : f F ek N u f 0 thì K const ng th c (2.21) bi u th nh lu t b o toàn ng l ng c a h N u t ng các ngo i l c tác d ng lên h luôn . s chuyn đng ca các vt th v mt hình hc không tính đn các nguyên nhân làm thay đi các chuyn đng đó. Trên thc t, mt s ln các lc là nhng. lng .ca vt và các lc tác dng lên nó. ng lc hc là mt phn ca c hc nghiên cu các quy lut chuyn đng ca các vt th di tác dng ca các lc. Lý