Các dạng cơ bản của mặt trong En và ứng dụng

1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ********* PHÙNG THỊ HUYỀN CÁC DẠNG CƠ BẢN CỦA MẶT TRONG En VÀ ỨNG DỤNG KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI, 2012 LỜI CẢM ƠN Trong thời gian học tập nghiên cứu khoa học Trờng Đại học S phạm Hà Nội 2, em nhận đợc quan tâm giúp đỡ tất thầy giáo, cô giáo trờng, đặc biệt hớng dẫn, bảo nhiệt tình thầy giáo PGS TS Nguyễn Năng Tâm Để hoàn thành tập nghiên cứu này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Năng Tâm tận tình bảo em suốt thời gian thực đề tài Em xin chân thành cảm ơn thầy tổ Hình học Khoa Tốn tạo điều kiện giúp đỡ nh đóng góp ý kiến để đề tài em đợc hồn thành Đề tài nghiên cứu phạm vi nhỏ nên khơng tránh khỏi thiếu sót, hạn chế Em mong nhận đợc đóng góp ý kiến thầy cô Em xin chân thành cảm ơn! Xuân Hòa, ngày tháng năm 2012 Sinh viên thực Phùng Thị Huyền LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan khóa luận kết nghiên cứu riêng Tơi xin cam đoan kết nghiên cứu không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Phùng Thị Huyền MỤC LỤC Trang Mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Khách thể đối tợng nghiên cứu Giả thuyết khoa học Nhiệm vụ phạm vi nghiên cứu 6 Phơng pháp nghiên cứu Nội dung Chơng Mảnh tham số 1.1 Đạo hàm hàm vectơ 1.2 Trờng vecto 1.3 Cung 10 1.4 Mảnh tham số 12 Chơng Các dạng mặt E ứng dụng 18 n 18 n 2.1 Đa tạp hai chiều E 2.2 Ánh xạ Wiengarten 20 2.3 Các dạng mặt E ứng dụng 24 Kết luận kiến nghị 47 Tài liệu tham khảo 48 n MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong Toán học, mơn hình học mơn khó trừu tượng Hình học khơng gian đa dạng phong phú lại thực tiễn Từ hình đơn giản, vật xung quanh chúng ta, nhờ hình học mà ta hiểu phần cấu tạo chúng, có hình dạng khơng gian n chiều Trong Hình học vi phân mơn quan trọng, chủ yếu nghiên cứu hình học đường mặt không gian E thông qua loại độ cong, gắn liền với đối tượng hình học sống, thực thể không gian chiều chiều, đặc biệt phần mặt E có nhiều ứng dụng thực tế ngành khoa học khác Giúp tư duy, tưởng tượng cụ thể xác Vì mà em chọn đề tài khóa luận: "Các dạng n mặt E ứng dụng" Mục đích nghiên cứu Đối với dạng mảnh tham số không gian việc giải chúng gặp nhiều khó khăn Vì để giải tốn cần có cách giải, cách nhận dạng ứng dụng chúng Vì khóa luận trình bày dạng mặt ứng dụng sau: n + Các định nghĩa dạng mặt E + Tìm dạng mặt ứng dụng Khách thể đối tượng nghiên cứu a) Khách thể nghiên cứu Sách hình học vi phân (giáo trình, tập, sách tham khảo) b) Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu tìm hiểu dạng mặt ứng dụng khơng gian hình học vi phân Giả thuyết khoa học n Vấn đề dạng mặt E ứng dụng có vai trò quan trọng Nếu vấn đề đổi với hệ thống phương pháp, hình thức phù hợp trở thành cơng cụ hữu hiệu cho nhà quản lí nâng cao chất lượng giáo dục đào tạo nhà trường, nâng cao tinh thần chủ động sáng tạo tích cực học tập rèn luyện sinh viên nói chung Nhiệm vụ phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu sở lí luận vấn đề tìm hiểu dạng mặt n E ứng dụng sinh viên - Tìm hiểu phương pháp giải tập qua dạng mặt Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo trình tra cứu tài liệu Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Đạo hàm hàm vectơ 1.1.1 Hàm vectơ m Cho tập mở U ⊂ R (m ≥1) Mỗi ánh xạ   n X:U→ E  p  X(p) m gọi 1à hàm vectơ U Ở R xét với tôpô thông thường  n vectơ E không gian vectơ Ơclit n-chiều     có tọa n Nếu E cho sở (e1, , en với p ∈ U , vectơ X(p)  ) độ phụ thuộc p, kí hiệu X(p) = (X1 (p), , Xn (p)) Ta gọi Xi : U → R hàm tọa độ thứ i X Vì p có m tọa độ p  Xi (p) m R nên Xi hàm số m biến X (t , t , , t );p = (t , , t ) i n n 1.1.2 Đạo hàm ( ) n Cho U tập hợp tùy ý U ⊂ E ánh xạ   hàm vectơxác định U X:U → n E      ( ) n Chọn sở e 1,e , , en E cho X tương đương với cho n hàm số: i x :U→ R n  u  X(u) = ∈ U i=1  ∑xi i (u) ⋅ e , ∀u Khi U = J (là khoảng R), cho hàm vectơ   n X:J→ E  t  X( t )  đạo hàm X có là: E , điểm p∈ S , tha m số hóa địa am số hoá địa phương ρ: t  ρ( t ) p Để ρ đường lân cận p cần đủ khúc v ′ ( t ) − u ′ ( t ) ⋅ v′(t)  F E G L M N  u′ (t)  (tại lân cận p) pr : u, ( h ưv )  r ơ( u, n gv ) , đường t p hS í qua c h Chứng minh ứ n g Đường ρ khúc lân cận điểm p h n g t i p l p ó t c h  =   Tại lân cận điểm ρ( t ) = r ( u ( t ) , p ta có v ( t ) ) ,ρ′ ( t ) = u′ ( t ) ru′ + v′ ( t ) ⋅ rv′ ρ′ ( t ) phương S ρ ( t ) Áp dụng cơng thức tìm phương suy ρ khúc lân cận điểm p v′2  E  L  − u′ ⋅ v′ F M u′   G =  N   Ví dụ Giả sử S mặt định hướng tương thích E có tham số hoá địa phương r : ( u, v )  r ( u, cho điểm S hai cung toạ độ v) trực giao với Chứng minh cung toạ độ khúc M = Giải Vì ru′ , rv′ hai vectơ tiếp xúc hai cung toạ v = v0 , u = u0 , nên hai độ cung toạ độ trực giao có nghĩa Cung toạ độ F = r u′ ⋅ r v′ = Cung toạ độ u = u0 có u′ = Do cung  0 u′    E G = L M N   (vì  Hay MEu′ = ⇔ M = v = có v′ = v0 v = khúc v0 E = ru′ ru′ ≠ 0, u′ ≠ ) u = u0 Tương tự cung khúc M = Ví dụ Chứng minh mặt tròn xoay E vĩ tuyến kinh tuyến đường khúc Giải Giả sử S mặt tròn xoay E sinh đường ρ( u ) = , z(u)) ( x ( u ) ,0 quay xung quanh trục Oz Khi phương trình tham số S r ( u, v ) = ( x ( u ) ⋅cos v, x ( u ) ⋅sin v, z ( u ) ) , Vĩ tuyến có phương trình u = u0 (0 ≤ v ≤ 2π) Ki v = v0 nh ến có ph ươ ng trìn h  ru′ = ( x′ (u) ⋅ cos v, x′ ( u ) ⋅ si n v, z′ ( u  )) rv′ = ( −x (u) ⋅ sin v, x (u ) cos v, ) Có thể kiểm tra thấy rằng:  ( z ′ (u ) ⋅ cos v, z′(u) ⋅ sin v, x′ (u ))  n= ≠ x2  u z2  u  trường pháp vectơ đơn vị lân cận điểm  n ρ: t  r S Ta (u, thấy ρ( t ) v) khả vi nên định hướng lân  cận n Rõ ràng vĩ tuyến kinh tuyến trực giao với F nê = r u′ ⋅ n r v′ =   H r′ M = n ⋅ ru′v ′ u,v ) = ( −x ( u ) sin v, ( = Do n x′ ( u ) ⋅ cos v,0 ) nên n ữa , vĩ tuyến kinh tuyến đường khúc b Đường tiệm cận Định nghĩa Cho mặt định hướng S pháp tuyến đơn vị khả vi n Đường ρ S có tham số hoá địa phương E , điểm p∈S Vectơ v ≠ thu Tp ộc S gọi vectơ phương tiệm cận S p Một đường S gọi đường tiệm cận tiếp tuyến điểm đường có phương phương tiệm cận S Tính chất i Cho mặt định mà hướng xác định hướng S E trường vectơ đường tiệm cận S (n ⋅ρ)′ ⊥ ρ′ Chứng minh ρ đường tiệm cận k ( ρ′ ( t ) ) = ⇔ hp ( ρ′ ) ⋅ ρ′ = ⇔ − ( n ⋅ρ) ′ ⋅ ρ′ = ⇔ ⇔ ( n ⋅ρ) ′ (n ⋅ρ) ′ E đường tiệm ⋅ ρ′ = cận ⊥ ρ′ ii.Đường song quy ρ mặt định hướng S mặt phẳng mật tiếp ρ điểm tiếp diện điểm iii Dọc theo đường tiệm cận độ cong Gass mặt không dương iv Ch o m ặ t định hướng S M + v′2 ( = ρ′ ( t Bài tập E có hướng xác định trường vectơ pháp tuyến đơn vị khả vi n, điểm p∈S , tham số hố địa phương tương thích ) hướng  r : ( u, v )  r ( u, v ) S p, v p phương = ar′ + br′ = u′ u (t) ⋅r phương tiệm cận p aL + 2abM + b N= ′ + v′ u Đường ρ S đường tiệm cận với tham số hoá địa phương ρ: J → S, t  r (t) ta có r v′ ( u ( t ), v(t)) phương tiệm cận tức u′2 ( t ) ⋅ L + 2u ′ ( t ) ⋅ v ′ ( t ) M (1) + v′2 ( t ) ⋅ N = u (gọi phương trình vi phân đường ( ) tiệm cận S) Chứng minh  Vectơ v phương tiệm cận   hp (v ) ⋅ v ⋅ L + ) u k ( v  ) = 0⇔ = 0⇔ + brv′ ⇔ a h h p ( aru′ ) ⋅ ( aru′ + ( r′ ) r′ + 2abh p u v ⇔ = brv′ (r′ )r2′ + b ⋅h u = ( r ′ ) ⋅ r′ = p v v p ( ) a L + 2abM + b N v Đ ρ đ t ⋅ v ( ) Bài 1: Chứng minh cung thẳng S đường tiệm cận   Giải Giả sử l cung thẳng S có tham số hóa ρ ( t ) = + t ⋅ a,a ≠     Ta có ρ′ ( t ) = a, ρ ′ ( t ) =     Vì n ⊥ ρ′ ( t ) nên ( n ⋅ ρ) ⋅ ρ′ ( t ) = Lấy đạo hàm hai vế theo t ta       = ( n ⋅ρ) ⋅ρ) ′ ⋅ ρ′ ( t ) ( n ⋅ρ)′ ⊥   ′ ⋅ ρ ( t ) + ( n ⋅ρ) ⋅ ρ ′ ( t ) = ( n Do ( n ⋅ρ)′ ⋅ ρ′ ( t ) = hay ρ′ Vậy l đương tiệm cận Bài 2: Cho mặt S cung toạ độ v = đường tiệm cận v L = 0, cung tọa độ u = u0 đường tiệm cận N = Thật vậy, cung v = v0 có v ′ ( t ) = , cung u = u0 toạ độ có u′ ( t ) =0 thay vào phương trình vi phân (1) ta kết cần tìm Bài 3: Cho hai mặt định hướng S S1 E cắt theo đường γ góc khơng đổi Chứng minh γ đương khúc S đường khúc S1 Giải Gọi n n1 trường pháp vectơ đơn vị dọc theo S S1 , xác định hưρ ớn: g tha củs m a số S hoá địa Sρ phư ơng Gi( , tự ảs sử) nh iên củ a γ Nó i S S1 cắt theo ρ góc khơng đổi có nghĩa     góc n, khơng đổi dọc theo ρ , tức tích n, n1 = lấy đạo vô hướng const n1 ) ( hàm hai vế theo S ta  ′   =′   ⋅ n ( s ) ns1  ( )  (ở ta viết tắt n  ( s ) = ( n ⋅ρ)( s )   ⋅ n( s ) n( s1 )   + ⋅ ′ n s )( n1 ( s )   n1 ( s ) = n1 ⋅ρ ( s ) ( =   Vì ρ đường khúc mặt S n′ ( s ) / / nên ta có ρ′ ( s )    (*) nên  n ′ ( s ) ⊥ n1 ρ′ ( s ) (s) ⊥ n1 (s) lại  Bây xét hai trường hợp:    tức n1 ( s ) = ±n ( s ) Do + Trường hợp n ′ ( s ) / /n1 Từ suy ρ (s) đường    khúc S1 n 1′ ( s ) = n ′ ( s ) /   /ρ′ ( s ) +n n1 ( s ) Từ  T( s ) không định nghĩa r song song pháp với n g h ợ p     v ρ ′ ( s ) ⊥ n ( s n1 e ), ( s) ct ρ ′ ( s ) ⊥ n1 ⊥ n ta ( s ) Từ (*) ta ( s ) c có Từ ó     (vì chúng n t n1 ( a ( s ) ⊥ n1′ trực c giao s Do ó ( ) = ρ′ ( s ) / / n1′ ( s )    với n ( s ) n ( s ) Vậy ρ đường khúc S1 Bài 4: Trong cong quy γ Gọi S mặt kẻ tạo E cho đường pháp tuyến γ Chứng minh γ đường tiệm cận S Giải Giả sử γ có tham số hoá tự nhiên địa phương ρ: J → E3 ,S N(s) Khi S có  ρ ( s ) Vectơ pháp tuyến ρ  tham số r (s, hoá địa v ) = ρ( s ) + v.N ( phương s )  rs′ = ρ′ ( s ) + v.N′ ( s ) = T + v ⋅ ( −kT + τB ) = (1 − kv ) T + τvB rv′ = N ( s ) rs′ ∧ rv′ = (1 − kv s  rvrs  rv τvB  ∧ N ) ⋅ T r+ = (1− kv )⋅ B n = − τvT 2 Đ ị n h h n g S b i t r n g p h p v e c t đ n v ị r1 k  r v′ s′ ∧ + τv = 1− k ) + τ v Ta có ( n 2 ( ⋅ρ)( s ) = n ( s,0 ) = B ( s ) Do ( n ⋅ρ)′ (s ) = B′(s) = γ ⋅ N ( s ) Suy độ cong pháp dạng theo phương tiếp tuyến γ h ( T ) ⋅ T ( n ⋅ ρ )′ ( s ) ⋅ T  = − = k (T) = 1 T −τNT = Đẳng thức k ( T ) = chứng tỏ γ đường tiệm cận S KẾT LUẬN Đối với hình học khơng gian đa chiều việc tìm hiểu giải chúng khó khăn, để hiểu sâu người học phải biết phân biệt dạng tốn Trong khố luận em trình bày số dạng n mặt E ứng dụng Do thời gian hạn chế, lượng kiến thức khoá luận đưa không tránh khỏi khiếm khuyết, tác giả mong góp ý thầy bạn đọc để khố luận hồn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Đình Đơ (2010), Hình học vi phân, Nxb ĐHSP Nguyễn Việt Hải (2010), Giáo trình Hình học vi phân, Nxb GD Đồn Quỳnh (1993), Bài tập hình học vi phân, Nxb GD Đồn Quỳnh (2003), Giáo trình Hình học vi phân, Nxb ĐHSP 93 ... Chơng Các dạng mặt E ứng dụng 18 n 18 n 2.1 Đa tạp hai chiều E 2.2 Ánh xạ Wiengarten 20 2.3 Các dạng mặt E ứng dụng 24 Kết luận kiến nghị 47 Tài liệu tham khảo 48 n MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong. .. KHOA TOÁN ********* PHÙNG THỊ HUYỀN CÁC DẠNG CƠ BẢN CỦA MẶT TRONG En VÀ ỨNG DỤNG KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI, 2012 LỜI CẢM ƠN Trong thời gian học tập nghiên cứu... khóa luận: "Các dạng n mặt E ứng dụng" Mục đích nghiên cứu Đối với dạng mảnh tham số không gian việc giải chúng gặp nhiều khó khăn Vì để giải tốn cần có cách giải, cách nhận dạng ứng dụng chúng