Phép đối xứng trong En và ứng dụng

LờI CảM ƠN Bản khóa luận tốt nghiệp bớc đầu em làm quen với việc nghiên cứu khoa học Trớc bỡ ngỡ gặp nhiều khó khăn cha cã nhiỊu kinh nghiƯm viƯc tiÕn hµnh nghiên cứu khoa học, em nhận đợc giúp đỡ nhiệt tình thầy giáo Nguyễn Năng Tâm, thầy cô tổ Hình học bạn sinh viên khoa Toán trờng ĐHSP Hà Nội 2, em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Do điều kiện thời gian tính chất đề tài chắn không tránh khỏi sai sót Em mong đợc bảo đóng góp thầy cô bạn sinh viên để khóa luận đợc hoàn thiện Qua em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô khoa đặc biệt thầy Nguyễn Năng Tâm trực tiếp híng dÉn em viƯc hoµn thµnh khãa ln nµy Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Bùi Thị Cẩm Lệ LờI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp kết trình học tập, nghiên cứu em dới bảo, dìu dắt thầy cô giáo đặc biệt hớng dẫn nhiệt tình thầy Nguyễn Năng Tâm Em xin cam đoan Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: Phép đối xứng En ứng dụng trùng lặp với khóa luận khác Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Bùi Thị Cẩm Lệ MụC LụC Trang Mở Đầu Nội dung Chơng 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 C¸ c kh¸i niƯm vỊ phÐp biÕn h×nh 1.2 Ph Ðp biến hình đẳng cự Chơng 2: Phép đối xứng En 2.1 Ph ép đối xứng qua tâm .3 2.2 Ph Ðp ®èi xøng qua siêu phẳng Chơng 3: Sử dụng phép đối xứng giải toán hình học 3.1 Ph ép đối xứng to¸n chøng minh 3.2 Ph Ðp ®èi xøng toán tính toán .13 3.3 Ph Ðp đối xứng toán dựng hình 17 3.4 Ph ép đối xứng toán quỹ tích 25 Chơng 4: Một số tập ứng dông .31 KÕt luËn 37 Tài liệu tham khảo 38 Mở ĐầU Trong chơng trình to¸n THPT ë níc ta hiƯn nay, mét sè phÐp biến hình Lý chọn đề tài đợc đa vào dạy chơng Phép dời mặt hình đồng dạng phẳng (Hình học 11) Từ đó, cung cấp cho học sinh phơng tiện để giải toán hình học cách nhanh gọn hợp lý Hơn giúp học sinh thấy đợc ứng dụng phép biến hình vào giải lớp toán: Bài toán chứng minh, Bài toán tính toán, Bài toán dựng hình, Bài toán quỹ tích, Để làm rõ vấn đề nêu trên, em xin trình bày khóa luận số kiến thức phép đối xứng ứng dụng giải toán hình học với đề tài: Phép đối xứng En ứng dụng Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu sâu phép biến hình, đặc biệt phép đối xứng Làm rõ tính u việt phép u đối xứng P h giải é toán p hìn h đ học ố i Đối tợng, phạm vi nghiên cứu x 3.1 ứ Đối n t g ợ t n r g o n n g g h E i n ê n c ứ 3.2 Phạm vi nghiên cứu Các toán giải phép đối xứng Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày sở lý thuyết phép đối xứng Đề xuất ph- c lí luận, công ơng pháp vận cụ toán học Nghiên dụng phép đối cứu sách tham khảo, xứng để giải tài liệu liên quan số Cấu trúc khóa luận toán hình học Xây dựng hệ thống tập ví dụ minh họa Các phơng pháp nghiên cứu N g h iê n c ø u s d n g c ¸ Khóa luận gồm phần: Mở đầu Nội dung gồm chơng: Chơng 1: Kiến thức chuẩn bị Chơng 2: Phép đối xứng En Chơng 3: Sử dụng phép đối xứng giải toán hình học Chơng 4: Mét sè bµi tËp øng dơng KÕt ln NéI DUNG CHƯƠNG 1: KIếN THứC CHUẩN Bị 1.1 Các khái niệm phép biến hình 1.1.1 Định nghĩa Mỗi song ánh f: En En đợc gọi phép biến hình không gian En 1.1.2 Định lý Tập hợp tất phép biến hình En với phép nhân ánh xạ lập thành nhóm gọi nhóm phép biến hình En 1.1.3 Định nghĩa Cho phép biến hình f: En En Ta có khái niệm sau: a.Điểm M En đợc gọi ®iĨm bÊt ®éng ®èi víi phÐp biÕn h×nh f nÕu f(M) = M b.Hình H En đợc gọi hình bất biến phép biến hình f f(H) = H c Hình H En đợc gọi hình bất động phép biến hình f điểm H điểm bất động f 1.1.4 Định nghĩa Phép biến hình f: En En mà ff = idEn đợc gọi phép biến hình đối hợp Ví dụ: Phép đối xứng tâm (phép đối xứng tâm O En phép biến hình biến điểm M thành điểm M cho OM ' = −OM ; PhÐp ®èi xøng trục (Phép đối xứng qua trục d phép biến hình biến điểm M thành điểm M cho: MM vuông góc với d MM cắt d trung điểm nó), 1.2 Phép biến hình đẳng cự 1.2.1 Định nghĩa Phép biến hình f: En En đợc gọi phép biến hình đẳng cự En bảo toàn khoảng cách hai điểm bất kỳ, tức là: f phép biến hình đẳng cự d(M,N) = d(f(M),f(N)) M,N En d(M,N) khoảng cách hai điểm M,N 1.2.2 Tính chất a.Phép biến hình đẳng cự phép biến hình afin c.Phép biến hình đẳng cự bảo toàn độ lớn góc d.Phép biến hình đẳng cự biến siêu cầu En thành siêu cầu có bán kính 1.2.3 Định lý Tập hợp phép biến hình En lập thành nhóm với phép toán lấy tích ánh xạ đợc kí hiệu Isom(En) qua (P), M2 điểm đối xứng với M1 qua mặt phẳng (Q) M3 điểm đối xứng với M2 qua (P) Tìm tập hợp trung điểm đoạn MM3 Giải: Xét Đ(P): M M1, MM1 (P) I Đ(Q): M1 M2, M1M2 (Q) J §(P): M2  M3, M2M3 ⊥ (P) t¹i K VËy ta thÊy : §(P) : M1  M M2  M3 Do M1M2 MM3 Nên J J trung điểm MM3 Vì J (Q) nên J Đ(P)(Q) Vậy quỹ tích trung điểm MM3 ảnh mặt phẳng (Q) qua phép đối xứng Đ(P) CHƯƠNG MộT số BàI TậP ứng dụng Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) Từ M, N, P, Q lần lợt trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA ta vẽ đờng thẳng vuông góc với cạnh đối diện tơng ứng Chứng minh đờng thẳng đồng quy Bài Cho hai đờng tròn tâm O Một đờng tròn tâm O cắt đờng tròn nhỏ hai điểm A, B cắt đờng tròn lớn điểm C, D Chứng minh đờng thẳng AD qua tâm O, đờng thẳng BC qua O Bài Cho hình tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, gãc A□CB = A□DB , diƯn tÝch cđa thiết diện qua cạnh AB trung điểm cạnh CD S, cạnh CD = a Tìm thể tích tứ diện ABCD Bài Cho đờng thẳng d hai đờng tròn (O), (O) nằm hai phía d Hãy dựng hình vuông ABCD cho đờng chéo BD nằm d, đỉnh A C lần lợt (O) (O) Bài Cho tam giác ABC nhọn Điểm M di chuyển đờng thẳng BC, vẽ trung trực đoạn thẳng BM, CM cắt đờng thẳng AB, AC lần lợt P Q Chứng minh đờng thẳng qua M vuông góc với đờng thẳng PQ qua điểm cố định Bài Cho góc xOy góc nhọn, A điểm nằm góc Hãy dựng đờng thẳng d qua A d cắt hai tia Ox, Oy lần lợt B, C cho AB = AC Bµi Cho tø diƯn ABCD cã AC = AD = BC = BD Gäi M, N lần lợt trung điểm cạnh AB CD K, L lần lợt hai điểm di động AC BD cho AK AC = BD BL Tìm quỹ tích trung điểm KL HƯớNG DẫN GIảI BàI TậP Bài HD: B Do O tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD nªn: OM ⊥ AB, M ON ⊥ BC, OP ⊥ DC, OQ N O' ⊥ AD Gäi I lµ tâm hình bình hànhA I O MNPQ Xét phép đối xứng tâm I: ĐI: O O C P Q M P N Q D ĐI biến đờng thẳng OM thành đờng thẳng qua P vuông góc với AB Đờng phải qua O = ĐI(O) Tơng tự ta có đờng thẳng lại lần lợt qua N, M, Q vuông góc với đờng thẳng đối diện qua O ®pcm Bµi HD: Râ rµng OO’ lµ ®êng trung trực D AB đờng A trung trùc cua CD ⇒ §OO’: A  B D  C O O' Do AD cắt trục đối xứng tai O BC cắt trục O B C Bài HD: Vì AB CD nên theo định lý ba đờng vuông góc CD vuông góc với hình chiếu AB lên mặt phẳng (BCD) A Giả sử BE hình chiếu AB lên mặt phẳng (BCD), BE CD = E AB ⊥ CD  BE ⊥  CD D B ⇒ CD (ABE) Kết hợp giả thiết: E ACB = ADB C D đối xứng qua mp(ABE) C ⇒ mp(ABE) ®i qua trung ®iĨm cđa CD ⇒ EC = ED Vậy Đ(ABE) biến tứ diện ABEC thành tø diÖn ABED ⇒ VABEC = VABED S CE a ⇒ VABCD = 2.1 S aS = 2VABEC = = ABE 3 Bµi HD: Phân tích: Giả sử dựng đợc hình vuông ABCD thỏa mãn yêu cầu O toán A ⇒ §d : A  C d D B C O'' O' (O)  (O”) A ∈ (O) ⇒ C (O) Mặt khác: AC đờng kính đờng tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD Từ ta có cách dựng: Dựng (O) = Đd((O)) Dựng C = (O) (O) Dựng A = Đd(C) Dựng đờng tròn đờng kính AC cắt d B, D ta đợc hình vuông ABCD cần dựng Bài HD: Kẻ đờng cao AH tam giác ABC A + Giả sử: M ≠ H N P Gäi N = §PQ(M) ; K = MN ∩ AH Q Do tÝnh chÊt ®èi xøng trôc ⇒ PB = PM = PN ⇒ B, M, N nằm đ- ờng tròn tâm P bán kính B H I M K PB Tõ ®ã suy ra: □ B□NK = B PM □ = B PI = P□AK (do AH // PI) Suy N, B, C, K thuộc đờng tròn Tơng tự ta còng cã N, A, C, K còng thuéc mét ®êng trßn + Khi M ≡ H ⇒ N ≡ K Hay MN đờng thẳng vuông góc với PQ M qua điểm cố định K đpcm Bài HD: Phân tích: Giả sử dựng đợc đờng thẳng d thỏa mãn đầu Khi đó: d ∩ Ox = B, d ∩ Oy = C, A ∈ d vµ AB = AC Gäi O’ = ĐA(O) OBOC hình bình hành C Cách dựng: Dựng O = ĐA(O) Qua O lần lợt kẻ đờng thẳng song song với Ox, Oy cắt Oy, Ox lần lợt C , B Đờng thẳng qua B C đờng thẳng cần dựng Chứng minh: Theo cách dựng ta có OBOC hình bình hành Do O = ĐA(O) nên A trung điểm OO A tâm hình bình hành OBOC AB = AC đờng thẳng d qua B, C thỏa mãn yêu cầu đề Biện luận: Ta xác định đợc điểm O nên toán có nghiệm hình Bài HD Trớc tiên ta chứng minh MN trục đối xøng cđa tø diƯn ABCD Tõ gi¶ thiÕt ta suy ∆BCD = ∆ADC (c.c.c) ⇒ BN = AN ⇒ NAB cân N MN trung trực AB A Tơng tự từ giả thiết ta có: ∆ CBA = ∆ DAB ⇒ CM = DM ⇒ MCN cân M M K MN trung trực CD Xét phép đối xứng ĐMN qua MN §MN: A  B C  D B L D AC BD N Khi từ giả thiết ta suy AK = BL C Ta dƠ dµng chứng minh đợc cặp điểm K, L tơng ứng qua phép đối xứng ĐMN Do K, L chuyển động trung điểm chuyển động trục MN ĐMN Vậy quỹ tích cần tìm đoạn MN KếT LUậN Khi nghiên cứu toán học nói chung hình học nói riêng, sâu ta thấy hút, hấp dẫn Việc lựa chọn vận dụng công cụ thích hợp cho loại toán hình học khác việc làm cần thiết giúp tiết kiệm đợc thời gian công sức để giải toán cách hiệu Nhằm góp phần đạt đợc mục tiêu đó, khóa luận đa hệ thống lý thuyết, ví dụ minh họa tập đề nghị minh họa cho việc ứng dụng phép đối xứng, bớc đầu thể đợc u điểm việc vận dụng phép đối xứng việc giải lớp toán hình học Nh đề tài Phép đối xứng En ứng dụng hoàn thành nội dung đạt đợc mục tiêu nghiên cứu Với vốn kiến thức ỏi khả có hạn thân bớc đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học nên khóa luận không tránh khỏi sai sót hạn chế Rất mong nhận đợc ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn để khóa luận đợc hoàn thiện Cuối em xin bày tỏ lòng biết ơn thầy cô giáo, đặc biệt thầy Nguyễn Năng Tâm tận tình hớng dẫn em hoàn thành khóa luận TàI LIệU THAM KHảO Bùi Văn Bình (1993), Bài tập hình sơ cấp, Trờng ĐHSPHN2 Văn Nh Cơng Tạ Mân, Hình học afin ơclit, NXB ĐHQG Hà Nội Nguyễn Vĩnh Cận, Các tập phép biến hình, NXBGD Nguyễn Mộng Hy (1996), Các phép biến hình mặt phẳng, NXBGD Nguyễn Đăng Phất, Các phép biến hình mặt phẳng ứng dụng giải toán hình học, NXBGD Đỗ Thanh Sơn (2006), Phép biến hình mặt phẳng, NXBGD Đỗ Thanh Sơn (2005), Các phép biến hình không gian, NXBGD Nguyễn Văn Vạn Bùi Văn Bình (1993), Giáo trình hình học sơ cấp, Trêng §HSPHN2 73 ... O trung điểm gọi phép đối xứng qua siêu phẳng , phép đối xứng kí hiệu Đ Siêu phẳng đợc gọi siêu phẳng đối xứng phép đối xứng 2.2.2 a Tính chất Phép đối xứng qua siêu phẳng phép biến hình đẳng... Điểm O gọi tâm đối xứng Phép đối xứng qua tâm hoàn toàn đợc xác định biết tâm đối xứng 2.1.2 a Tính chất Phép đối xứng tâm phép biến hình đẳng cự nên có đầy đủ tính chất phép đẳng cự, đối hợp, có... PHéP ĐốI XứNG TRONG En 2.1 Phép đối xứng qua tâm 2.1.1 Định nghĩa Trong không gian En cho điểm O Phép biến hình không gian  cho øng ®iĨm M víi ®iĨm M’ OM ' = OM cho gọi phép đối xứng qua