Phép đối xứng trong en và ứng dụng

LờI CảM ƠN Bản khóa luận tốt nghiệp bước đầu em làm quen với việc nghiên cứu khoa học Trước bỡ ngỡ gặp nhiều khó khăn chưa có nhiều kinh nghiệm việc tiến hành nghiên cứu khoa học, em nhận giúp đỡ nhiệt tình thầy giáo Nguyễn Năng Tâm, thầy cô tổ Hình học bạn sinh viên khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2, em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Do điều kiện thời gian tính chất đề tài chắn không tránh khỏi sai sót Em mong bảo đóng góp thầy cô bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Qua em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô khoa đặc biệt thầy Nguyễn Năng Tâm trực tiếp hướng dẫn em việc hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Bùi Thị Cẩm Lệ LờI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp kết trình học tập, nghiên cứu em bảo, dìu dắt thầy cô giáo đặc biệt hướng dẫn nhiệt tình thầy Nguyễn Năng Tâm Em xin cam đoan Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: Phép đối xứng En ứng dụng trùng lặp với khóa luận khác Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Bùi Thị Cẩm Lệ MụC LụC Trang Mở Đầu Nội dung Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm phép biến hình 1.2 Phép biến hình đẳng cự Chương 2: Phép đối xứng En 2.1 Phép đối xứng qua tâm 2.2 Phép đối xứng qua siêu phẳng Chương 3: Sử dụng phép đối xứng giải toán hình học 3.1 Phép đối xứng toán chứng minh 3.2 Phép đối xứng toán tính toán 13 3.3 Phép đối xứng toán dựng hình 17 3.4 Phép đối xứng toán quỹ tích 25 Chương 4: Một số tập ứng dụng 31 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Mở ĐầU Lý chọn đề tài Trong chương trình toán THPT nước ta nay, số phép biến hình đưa vào dạy chương Phép dời hình đồng dạng mặt phẳng (Hình học 11) Từ đó, cung cấp cho học sinh phương tiện để giải toán hình học cách nhanh gọn hợp lý Hơn giúp học sinh thấy ứng dụng phép biến hình vào giải lớp toán: Bài toán chứng minh, Bài toán tính toán, Bài toán dựng hình, Bài toán quỹ tích, Để làm rõ vấn đề nêu trên, em xin trình bày khóa luận số kiến thức phép đối xứng ứng dụng giải toán hình học với đề tài: Phép đối xứng En ứng dụng Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu sâu phép biến hình, đặc biệt phép đối xứng Làm rõ tính ưu việt phép đối xứng giải toán hình học Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Phép đối xứng En 3.2 Phạm vi nghiên cứu Các toán giải phép đối xứng Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày sở lý thuyết phép đối xứng Đề xuất phương pháp vận dụng phép đối xứng để giải số toán hình học Xây dựng hệ thống tập ví dụ minh họa Các phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sử dụng lí luận, công cụ toán học Nghiên cứu sách tham khảo, tài liệu liên quan Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm phần: Mở đầu Nội dung gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Phép đối xứng En Chương 3: Sử dụng phép đối xứng giải toán hình học Chương 4: Một số tập ứng dụng Kết luận NộI DUNG CHƯƠNG 1: KIếN THứC CHUẩN Bị 1.1 Các khái niệm phép biến hình 1.1.1 Định nghĩa Mỗi song ánh f: En En gọi phép biến hình không gian En 1.1.2 Định lý Tập hợp tất phép biến hình En với phép nhân ánh xạ lập thành nhóm gọi nhóm phép biến hình En 1.1.3 Định nghĩa Cho phép biến hình f: En En Ta có khái niệm sau: a Điểm M En gọi điểm bất động phép biến hình f f(M) = M b Hình H En gọi hình bất biến phép biến hình f f(H) = H c Hình H En gọi hình bất động phép biến hình f điểm H điểm bất động f 1.1.4 Định nghĩa Phép biến hình f: En En mà ff = idEn gọi phép biến hình đối hợp Ví dụ: Phép đối xứng tâm (phép đối xứng tâm O En phép biến hình biến điểm M thành điểm M cho OM ' OM ; Phép đối xứng trục (Phép đối xứng qua trục d phép biến hình biến điểm M thành điểm M cho: MM vuông góc với d MM cắt d trung điểm nó), 1.2 Phép biến hình đẳng cự 1.2.1 Định nghĩa Phép biến hình f: En En gọi phép biến hình đẳng cự En bảo toàn khoảng cách hai điểm bất kỳ, tức là: f phép biến hình đẳng cự d(M,N) = d(f(M),f(N)) M,N En d(M,N) khoảng cách hai điểm M,N 1.2.2 Tính chất a Phép biến hình đẳng cự phép biến hình afin c Phép biến hình đẳng cự bảo toàn độ lớn góc d Phép biến hình đẳng cự biến siêu cầu En thành siêu cầu có bán kính 1.2.3 Định lý Tập hợp phép biến hình En lập thành nhóm với phép toán lấy tích ánh xạ kí hiệu Isom(En) CHƯƠNG 2: PHéP ĐốI XứNG TRONG En 2.1 Phép đối xứng qua tâm 2.1.1 Định nghĩa Trong không gian En cho điểm O Phép biến hình không gian cho ứng điểm M với điểm M cho OM ' OM gọi phép đối xứng qua tâm O kí hiệu ĐO Điểm O gọi tâm đối xứng Phép đối xứng qua tâm hoàn toàn xác định biết tâm đối xứng 2.1.2 Tính chất a Phép đối xứng tâm phép biến hình đẳng cự nên có đầy đủ tính chất phép đẳng cự, đối hợp, có điểm bất động O Chứng minh + Gọi M = ĐO(M), N = ĐO(N) Ta có: M ' N ' ON ' OM ' ON OM NM d ( M ', N ') NM Mà NM d (N, M ) d ( M , N ) d ( M ', N ') d ( M , N ) Phép đối xứng qua tâm phép biến hình đẳng cự + Gọi M = ĐO(M) ĐO(ĐO(M)) = ĐO(M) = M = id(M) Phép đối xứng qua tâm phép biến hình đối hợp + ĐO(O) = O O điểm bất động ĐO Giả sử M điểm bất động ĐO ĐO(M) = M OM OM suy MO Vậy O điểm bất động ĐO b Phép đối xứng tâm biến đường thẳng, mặt phẳng qua O thành nó, biến vecto thành vecto đối Chứng minh + Gọi d đường thẳng qua O Lấy điểm M d, ta có: ĐO(M) = M , ĐO(O) = O ĐO(d) = d d đường thẳng qua M O Do M d nên d d + Gọi (P) mặt phẳng qua O Xét hai đường thẳng d d nằm (P) cắt O Khi ĐO biến d thành d, biến d thành d nên (P) biến thành (P) qua ĐO + Xét MN Ta có : ĐO(M) = M, ĐO(N) = N OM ' OM , ON ' ON M ' N ' ON ' OM ' ON OM NM MN c Phép đối xứng tâm bảo toàn phương đường thẳng, mặt phẳng Chứng minh +Giả sử ĐO(d) = d M, N d, ĐO(M) = M, ĐO(N) = N M ' N ' MN d phương d + Do Đ O bảo toàn phương đường thẳng nên bảo toàn phương mặt phẳng 2.2 Phép đối xứng qua siêu phẳng 2.2.1 Định nghĩa Trong En cho siêu phẳng Phép biến hình không gian cho ứng điểm M với điểm M xác định sau: a MM vuông góc với siêu phẳng b MM cắt O trung điểm gọi phép đối xứng qua siêu phẳng , phép đối xứng kí hiệu Đ Siêu phẳng gọi siêu phẳng đối xứng phép đối xứng 2.2.2 Tính chất a Phép đối xứng qua siêu phẳng phép biến hình đẳng cự nên có đầy đủ tính chất phép đẳng cự Chứng minh Gọi M, N hai điểm En Xét phép đối xứng qua siêu phẳng Đ : M M N N Gọi I, J trung điểm MM, NN MM ' IJ , NN ' IJ ta có: MN MI IJ JN MN MI IJ JN MI JN M ' N ' M ' I IJ JN ' M ' N ' M ' I IJ JN ' M ' I JN ' MI IJ JN 2( MI ).( JN ) Vậy d ( M , N ) MN M ' N ' d ( M ', N ') Phép đối xứng qua siêu phẳng phép biến hình đẳng cự b Đ phép đối hợp Chứng minh Gọi M = Đ(M) ta có: Đ(Đ(M)) = Đ(M) = M = id(M) Đ phép đối hợp c quỹ tích điểm bất động Đ AOd ' d ' OB AOd d ' OB ' > AOB ' Vậy góc AOB ' góc nhỏ Biện luận: Bài toán có nghiệm hình 26 3.4 Phép đối xứng toán quỹ tích 3.4.1 Bài toán quỹ tích Bài toán quỹ tích: toán tìm tập hợp điểm (hay hình) có chung tính chất cho trước Giải toán quỹ tích: ta chứng minh liên tiếp số mệnh đề toán học khác với toán chứng minh đơn thuần, phần lớn toán quỹ tích trước tiên ta phải tìm cần chứng minh, tức quỹ tích cần tìm Chứng minh quỹ tích: sau tìm hiểu kĩ toán, yếu tố đặc trưng toán, bước đoán nhận quỹ tích giúp ta hình dung hình dạng, vị trí, kích thước quỹ tích đến dự đoán quỹ tích K điểm M có tính chất hình H Để chứng minh mệnh đề ta thường chứng minh hai phần: + K tập H, nghĩa điểm có tính chất nằm hình H (đảm bảo tính chất không thiếu quỹ tích): gọi phần thuận + H tập K tức điểm thuộc H có tính chất (đảm bảo tính chất không thừa quỹ tích): gọi phần đảo Giới hạn quỹ tích: Trong chứng minh phần thuận nhiều toán quỹ tích ta thường tìm hình H chứa điểm M có tính chất Nhưng điều kiện hạn chế khác toán, tập điểm M cần tìm tập thực H H Khi ta cần phải tiến hành giới hạn quỹ tích để loại bỏ điểm không thuộc quỹ tích cần tìm từ hình H để có hình H Biện luận quỹ tích: Khi số toán chưa xác định hoàn toàn (bởi vị trí, kích thước toán có tham số ) ta phải biết cách tiến hành biện luận quỹ tích, tức cần phải đề cập đến tất trường hợp xảy toán quỹ tích 27 3.4.2 Sử dụng phép đối xứng giải toán quỹ tích Cho hình H phép đối xứng f Tập hợp H = f(H) = M = f(M) / M H gọi ảnh H qua phép đối xứng f Khi M chạy khắp H M chạy khắp H ngược lại ta có H = f-1(H) = M / f(M) = M, M H Vậy N ảnh M qua phép đối xứng f : N = f(M) thì: M có tính chất N có tính chất ( quy định f) Hay quỹ tích điểm N có tính chất hình H quỹ tích điểm M có tính chất hình f-1(H) Vậy dùng phép đối xứng f chuyển toán tìm quỹ tích điểm M có tính chất thành toán tìm điểm N có tính chất (N= f(M)) quy định f cho quỹ tích quỹ tích tìm dễ dàng 3.4.3 Sáng tạo toán quỹ tích nhờ phép đối xứng Xuất phát từ toán () M hay toán quỹ tích tìm điểm M có tính chất giải quỹ tích () phép đối xứng f tích phép đối xứng biến điểm M thành M chuyển tính chất điểm M thành tính chất điểm M cho: M có tính chất M có tính chất Lúc toán quỹ tích là: tìm quỹ tích điểm M có tính chất mà kết quỹ tích M f() 3.4.4 Một số ví dụ Ví dụ 3.4.4.1: Cho đường tròn đường kính AB cố định C điểm thay đổi đường tròn Trên tia AC lấy điểm D đối xứng với điểm A qua C Vẽ hình bình hành ADBE Tìm quỹ tích điểm E C thay đổi đường tròn 28 Giải: E Gọi O trung điểm đoạn AB Do ADBE hình bình hành nên O trung điểm đoạn DE Xét phép đối xứng tâm O: ĐO : D E Xét ABD có: A BC AD CA CD B O BC vừa đường cao vừa trung tuyến tam giác ABD cân đỉnh B C Do C thay đổi đường tròn (O) quỹ tích điểm D đường tròn (B, AB) D trừ điểm A điểm A = ĐB(A) Quỹ tích điểm E đường tròn ảnh đường tròn (B,AB) phép đối xứng tâm ĐO, trừ điểm B điểm B = ĐA(B) (chính đường tròn tâm A bán kính AB) Ví dụ 3.4.4.2: Cho điểm B, C cố định đường tròn (O) điểm A thay đổi đường tròn Tìm quỹ tích trực tâm H ABC Giải: + Gọi H = ĐBC(H) H (O) Vậy ĐBC : H H (O) (O) H (O) = ĐBC(O) 29 + Khi A B A C A ABC không tồn Trường hợp A B H C (CC đường kính (O)) Thật vậy: H A B AB tiếp tuyến (O) B C B OB AB mà OB // OC O' (do tứ giác BOCO hình thoi) AB OC hay AB CC H' (1) C' Do B nằm đường tròn (O) đường kính CC nên BC BC O B' (2) Từ (1) (2) C trực tâm ABC hay BBC Tương tự A C H B ( BB đường kính (O)) Vậy quỹ tích điểm H đường tròn (O) bỏ điểm B, C với BB, CC đường kính (O) (O) ảnh (O) qua ĐBC Ví dụ 3.4.4.3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD Gọi M, N hai điểm chuyển động hai đoạn thẳng AC BD cho AM = DN, tìm tập hợp trung điểm đoạn MN Giải: Gọi H, K giao điểm hai đường chéo hai mặt BCCB ADDA hình hộp Xét phép đối xứng trục HK: ĐHK : A D C B AC BD 30 B' C' N A' D' H K C B M A D Gọi N = ĐHK(N) ta có: N ' nằm A C AN ' D ' N M N hay M = ĐHK(N) Như M N hai điểm tương ứng với qua phép đối xứng trục ĐHK Do M, N chuyển động trung điểm chuyển động trục HK Giới hạn quỹ tích: Khi M A N D I K Khi M C N B I H Vậy quỹ tích trung điểm MN đoạn HK Ví dụ 3.4.4.4: Cho hai mặt phẳng (P) (Q) cắt Với điểm M không gian ta gọi M1 điểm đối xứng với M qua (P), M2 điểm đối xứng với M1 qua mặt phẳng (Q) M3 điểm đối xứng với M2 qua (P) Tìm tập hợp trung điểm đoạn MM3 31 Giải: Xét Đ(P): M M1, MM1 (P) I Đ(Q): M1 M2, M1M2 (Q) J Đ(P): M2 M3, M2M3 (P) K Vậy ta thấy : Đ(P) : M1 M M M3 Do M1M2 MM3 Nên J J trung điểm MM3 Vì J (Q) nên J Đ(P)(Q) Vậy quỹ tích trung điểm MM3 ảnh mặt phẳng (Q) qua phép đối xứng Đ(P) 32 CHƯƠNG MộT số BàI TậP ứng dụng Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Từ M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA ta vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh đối diện tương ứng Chứng minh đường thẳng đồng quy Bài Cho hai đường tròn tâm O Một đường tròn tâm O cắt đường tròn nhỏ hai điểm A, B cắt đường tròn lớn điểm C, D Chứng minh đường thẳng AD qua tâm O, đường thẳng BC qua O Bài Cho hình tứ diện ABCD có AB CD, góc ACB ADB , diện tích thiết diện qua cạnh AB trung điểm cạnh CD S, cạnh CD = a Tìm thể tích tứ diện ABCD Bài Cho đường thẳng d hai đường tròn (O), (O) nằm hai phía d Hãy dựng hình vuông ABCD cho đường chéo BD nằm d, đỉnh A C (O) (O) Bài Cho tam giác ABC nhọn Điểm M di chuyển đường thẳng BC, vẽ trung trực đoạn thẳng BM, CM cắt đường thẳng AB, AC P Q Chứng minh đường thẳng qua M vuông góc với đường thẳng PQ qua điểm cố định Bài Cho góc xOy góc nhọn, A điểm nằm góc Hãy dựng đường thẳng d qua A d cắt hai tia Ox, Oy B, C cho AB = AC Bài Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD Gọi M, N trung điểm cạnh AB CD K, L hai điểm di động AC BD cho AK BL Tìm quỹ tích trung điểm KL AC BD 33 HƯớNG DẫN GIảI BàI TậP Bài HD: B Do O tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD nên: OM AB, ON BC, OP DC, OQ AD M A Gọi I tâm hình bình hành N O' MNPQ Xét phép đối xứng tâm I: O I Q ĐI: O O MP D NQ C P ĐI biến đường thẳng OM thành đường thẳng qua P vuông góc với AB Đường phải qua O = ĐI(O) Tương tự ta có đường thẳng lại qua N, M, Q vuông góc với đường thẳng đối diện qua O đpcm Bài HD: Rõ ràng OO đường trung trực D AB đường A trung trực cua CD ĐOO: A B O O' DC Do AD cắt trục B đối xứng tai O BC C cắt trục O 34 Bài HD: Vì AB CD nên theo định lý ba đường vuông góc CD vuông góc với hình chiếu AB lên mặt phẳng (BCD) A Giả sử BE hình chiếu AB lên mặt phẳng (BCD), BE CD = E AB CD BE CD D B CD (ABE) E Kết hợp giả thiết: ACB ADB C D đối xứng qua mp(ABE) C mp(ABE) qua trung điểm CD EC = ED Vậy Đ(ABE) biến tứ diện ABEC thành tứ diện ABED VABEC = VABED 3 VABCD = 2VABEC = SABE.CE = .S a aS Bài HD: Phân tích: Giả sử dựng hình vuông ABCD thỏa mãn yêu cầu toán O Đd: A C A (O) (O) d A (O) C (O) D B Mặt khác: AC đường kính C đường tròn ngoại tiếp hình vuông O'' ABCD Từ ta có cách dựng: Dựng (O) = Đd((O)) 35 O' Dựng C = (O) (O) Dựng A = Đd(C) Dựng đường tròn đường kính AC cắt d B, D ta hình vuông ABCD cần dựng Bài HD: Kẻ đường cao AH tam giác ABC A N + Giả sử: M H P Gọi N = ĐPQ(M) ; K = MN AH Q Do tính chất đối xứng trục PB = PM = PN H B, M, N nằm đường tròn tâm P B bán kính PB M I C Từ suy ra: BNK BPM BPI PAK (do AH // PI) K Suy N, B, C, K thuộc đường tròn Tương tự ta có N, A, C, K thuộc đường tròn + Khi M H N K Hay MN đường thẳng vuông góc với PQ M qua điểm cố định K đpcm Bài HD: Phân tích: Giả sử dựng đường thẳng d thỏa mãn đầu Khi đó: d Ox = B, d Oy = C, A d AB = AC Gọi O = ĐA(O) OBOC hình bình hành Cách dựng: Dựng O = ĐA(O) 36 Qua O kẻ đường thẳng song song với Ox, Oy cắt Oy, Ox C , B Đường thẳng qua B C đường thẳng cần dựng Chứng minh: Theo cách dựng ta có OBOC hình bình hành Do O = ĐA(O) nên A trung điểm OO A tâm hình bình hành OBOC AB = AC đường thẳng d qua B, C thỏa mãn yêu cầu đề Biện luận: Ta xác định điểm O nên toán có nghiệm hình Bài HD Trước tiên ta chứng minh MN trục đối xứng tứ diện ABCD Từ giả thiết ta suy BCD = ADC (c.c.c) BN = AN NAB cân N MN trung trực AB A Tương tự từ giả thiết ta có: CBA = DAB CM = DM M K MCN cân M MN trung trực CD Xét phép đối xứng ĐMN qua MN ĐMN: A B B L C D D AC BD N Khi từ giả thiết ta suy AK = BL C 37 Ta dễ dàng chứng minh cặp điểm K, L tương ứng qua phép đối xứng ĐMN Do K, L chuyển động trung điểm chuyển động trục MN ĐMN Vậy quỹ tích cần tìm đoạn MN 38 KếT LUậN Khi nghiên cứu toán học nói chung hình học nói riêng, sâu ta thấy hút, hấp dẫn Việc lựa chọn vận dụng công cụ thích hợp cho loại toán hình học khác việc làm cần thiết giúp tiết kiệm thời gian công sức để giải toán cách hiệu Nhằm góp phần đạt mục tiêu đó, khóa luận đưa hệ thống lý thuyết, ví dụ minh họa tập đề nghị minh họa cho việc ứng dụng phép đối xứng, bước đầu thể ưu điểm việc vận dụng phép đối xứng việc giải lớp toán hình học Như đề tài Phép đối xứng En ứng dụng hoàn thành nội dung đạt mục tiêu nghiên cứu Với vốn kiến thức ỏi khả có hạn thân bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học nên khóa luận không tránh khỏi sai sót hạn chế Rất mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn để khóa luận hoàn thiện Cuối em xin bày tỏ lòng biết ơn thầy cô giáo, đặc biệt thầy Nguyễn Năng Tâm tận tình hướng dẫn em hoàn thành khóa luận 39 TàI LIệU THAM KHảO Bùi Văn Bình (1993), Bài tập hình sơ cấp, Trường ĐHSPHN2 Văn Như Cương Tạ Mân, Hình học afin ơclit, NXB ĐHQG Hà Nội Nguyễn Vĩnh Cận, Các tập phép biến hình, NXBGD Nguyễn Mộng Hy (1996), Các phép biến hình mặt phẳng, NXBGD Nguyễn Đăng Phất, Các phép biến hình mặt phẳng ứng dụng giải toán hình học, NXBGD Đỗ Thanh Sơn (2006), Phép biến hình mặt phẳng, NXBGD Đỗ Thanh Sơn (2005), Các phép biến hình không gian, NXBGD Nguyễn Văn Vạn Bùi Văn Bình (1993), Giáo trình hình học sơ cấp, Trường ĐHSPHN2 40 [...]... bài toán quỹ tích 27 3.4.2 Sử dụng phép đối xứng giải bài toán quỹ tích Cho hình H và phép đối xứng f Tập hợp H = f(H) = M = f(M) / M H gọi là ảnh của H qua phép đối xứng f Khi M chạy khắp H thì M chạy khắp H và ngược lại ta cũng có H = f-1(H) = M / f(M) = M, M H Vậy nếu N là ảnh của M qua phép đối xứng f : N = f(M) thì: M có tính chất N có tính chất ( được quy định bởi và f) Hay quỹ tích các điểm... dàng giải quyết được bài toán chứng minh 3.1.3 Khai thác bài toán chứng minh nhờ phép đối xứng Nếu mệnh đề A B đã được khẳng định nhờ sử dụng phép đối xứng thì ta có thể sử dụng phép đối xứng xét mệnh đề đảo B A, xét các trường hợp đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa của mệnh đề này ta sẽ được bài toán mới 3.1.4 Một số ví dụ Ví dụ 3.1.4.1: Cho hình bình hành ABCD và đường tròn (C) bàng tiếp ABD,... trong số các tập hợp đó có thể nhận được nhờ sử dụng phép đối xứng 3.3.3 Khai thác bài toán dựng hình nhờ phép đối xứng Đề suất bài toán: Với bài toán dựng hình H có tính chất nào đó đã cho Sử dụng phép đối xứng Đ biến hình H thành hình H có tính chất có được do chuyển các tính chất tương ứng qua Đ (nhờ tính chất bất biến của Đ) ta 20 nhận được bài toán dựng hình H có tính chất Lúc đó nếu một trong. .. kết luận B bằng những suy luận hợp lôgic trên cơ sở các định nghĩa, định lý 3.1.2 Sử dụng phép đối xứng trong bài toán chứng minh Nếu ta thiết lập mối quan hệ giữa các điểm hay các đường đã cho trong giả thiết A với các điểm hay các đường trong kết luận B thông qua phép đối xứng thì nhờ tính chất đẳng cự của phép đối xứng, ta nhận được các kết quả về tính đồng quy, thẳng hàng, quan hệ song song, quan...CHƯƠNG 3: Sử DụNG PHéP ĐốI XứNG GIảI CáC BàI TOáN HìNH HọC 3.1 Phép đối xứng và bài toán chứng minh 3.1.1 Bài toán chứng minh Bài toán chứng minh chứa đựng trong tất cả các loại bài toán hình học khác: các bài toán tính toán, bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích Đó là bài toán cần chứng minh mệnh đề A B với A là giả thiết, B là kết luận Ta đi từ... I là trung điểm BM DN của HK Chứng minh ba điểm S, I, O thẳng hàng S Giải: N M I H K C B O D A 12 Xét phép đối xứng ĐSO qua đường thẳng SO ĐSO : A C BD BM = DN mà BH DK BM DN BH = DK MN Giả sử H = ĐSO(H) cần chứng minh H K Do H nằm giữa B và M nên H nằm giữa D và N và ta có BH = DH Suy ra H K hay K = ĐSO(H) Vậy H, K là hai điểm tương ứng của nhau qua phép đối xứng ĐSO nên trung điểm I của HK... BCCB và ADDA của hình hộp Xét phép đối xứng trục HK: ĐHK : A D C B AC BD 30 B' C' N A' D' H K C B M A D Gọi N = ĐHK(N) khi đó ta có: N ' nằm giữa A và C AN ' D ' N M N hay M = ĐHK(N) Như vậy M và N là hai điểm tương ứng với nhau qua phép đối xứng trục ĐHK Do đó khi M, N chuyển động thì trung điểm của nó chuyển động trên trục HK Giới hạn quỹ tích: Khi M A thì N D và I K Khi M C thì N B và. .. sử dụng các bước sau: 1 Xác định các yếu tố cần tính toán, các yếu tố đã biết 2 Tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với các yếu tố cần tính toán 3 Tiến hành tính toán theo dữ liệu đã được thiết lập 3.2.2 Sử dụng phép đối xứng trong bài toán tính toán Ta sử dụng các tính chất của phép đối xứng để tìm ra các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau, các tam giác hay đường tròn bằng nhau Từ đó dựa vào... giải của bài toán Bước 2: Cách dựng: Dựa vào phần phân tích trình bày lần lượt các phép dựng và thể hiện bằng hình vẽ các phép dựng đó 19 Bước 3: Chứng minh: Khi phép dựng đều đã được thực hiện Dựa vào phép dựng lập luận để chứng tỏ rằng hình đã dựng thỏa mãn yêu cầu đặt ra của bài toán Bước 4: Biện luận: Xét xem khi nào các phép dựng trong bước 2 dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn bài... thì N D và I K Khi M C thì N B và I H Vậy quỹ tích trung điểm của MN là đoạn HK Ví dụ 3.4.4.4: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau Với mỗi điểm M bất kì trong không gian ta gọi M1 là điểm đối xứng với M qua (P), M2 là điểm đối xứng với M1 qua mặt phẳng (Q) và M3 là điểm đối xứng với M2 qua (P) Tìm tập hợp trung điểm của đoạn MM3 31 Giải: Xét Đ(P): M M1, MM1 (P) tại I Đ(Q): M1 M2, M1M2 (Q) ... thức phép đối xứng ứng dụng giải toán hình học với đề tài: Phép đối xứng En ứng dụng Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu sâu phép biến hình, đặc biệt phép đối xứng Làm rõ tính ưu việt phép đối xứng giải... niệm phép biến hình 1.2 Phép biến hình đẳng cự Chương 2: Phép đối xứng En 2.1 Phép đối xứng qua tâm 2.2 Phép đối xứng qua siêu phẳng Chương 3: Sử dụng phép đối xứng. .. nghĩa Phép biến hình f: En En mà ff = idEn gọi phép biến hình đối hợp Ví dụ: Phép đối xứng tâm (phép đối xứng tâm O En phép biến hình biến điểm M thành điểm M cho OM ' OM ; Phép đối xứng trục