khóa luận chứng minh định lý cơ bản của đại số

Nêu các cách chứng minh định lý cơ bản của đại số. Nếu bốn cách chứng minh định lý cơ bản của đại số là sự kết hợp giữa đại số, giải tích và một số kiến thức liên quan. Cách thứ nhất và thứ hai thiên về kiến thức giải tích khi ta coi mỗi đa thức với hệ số phức là một hàm phức. Còn cách chứng minh thứ ba và thứ tư dựa vào đại số là chủ yếu, tuy nhiên cũng liên quan đến một chút kiến thức giải tích.

ụ ụ ó tứ t ứ ị ý ủ số ế tứ ị ứ ị ý ủ số tứ ứ ị ý ủ số ế tứ ị ứ ị ý ủ số ứ ụ ứ số , e số s ệt tứ ứ ị ý ủ số ột số ết q ủ ý tết ó ột số ết q ủ ý tết s ứ ị ý ủ số ệ t ó ị ý ủ số ợ ề ế t Ptr t r ọ tứ n ó ú n ệ ế ó ị ý ợ ụ tể srts ệt ợ ữ ệ tự ệ ế ứ ợ ố t rt ứ ủ ò ề tế sót ụ ề ó t ọ ss r ứ ủ ợ t ế t ó r ó ứ q ế ệ ứ ị ý ủ số ó ứ ứ t ự số ó ết ợ ủ ề ế tứ q tr t ọ ệ ết ợ ế tứ q tr t ọ ể ứ ị ý ủ số tế ọ ề ó tì tr ó trì ột số ứ ị ý ủ số ết ợ ữ số tí ột số ế tứ q ó ó ủ số trì ố ứ ị ý r ó t tộ t ề ế tứ tí ề t ỗ tứ ệ số ứ ột ứ r ột số ệ tí ứ ệt ệ ỉ ì ột ị ý q trọ ể ụ ụ ứ ị ý ủ số ó ị ý ị ý r ỉ ì ị tr t ứ số ế ế ố trì ột ứ ũ q ề ế ế tứ tí trì ị ý ủ số tr ứ trớ tì ự ế tứ số ủ ế t ó ũ ột út ế tứ ề tí q ế ị ý trị tr ì ú tứ ệ số ứ ợ ì t ột ó ố tợ số trì ứ ị ý ự ột số ế tứ ề rộ trờ tứ ố ứ r ố ò trì ứ ụ ủ ị ý số ể t tứ t q tr C[x] R[x], ứ số , e s ệt ế tứ ị ó ột số ế tứ ề ý tết ó ý tết s ứ ị ý ủ số ó ợ t t ớ q t tì s ủ tr r ệ ứ t s s tớ t trờ ọ s tổ số t ề ệ t ợ tự ệ ế ọ t ủ ì tứ t ứ ị ý ủ số sử ụ ế tứ q ế tí ứ tr ứ ị ý ủ số ủ ế tự ợ ủ ột ế ứ ỉ ột số ệ tết ệ ứ ị ý ủ số ế tứ ề tí tụ ủ ế ứ ợ ệt ý tớ ột tr ữ ị ý q trọ ủ tí ứ ị ý ụ tết ợ sử ụ tr ệ ứ ị ý ủ số ế tứ ị ể ể rõ ề ứ ị ý trớ t t ệ ề ế ứ ỉ ì tr tí ứ ị ĩ f : C C, ột ế z = x + iy = (x, y), = u + iv ế tự ó tự ủ f (z), ợ tì tr í í ệ C ệ trị ứ Ref (z) tr ó v(z) ột = f (z), z C u = u(x, y), v = v(x, y) = f (z) = u(z) + iv(z) f (z), í ệ ứ u(z) ợ ọ ế ợ ọ ủ Imf (z) ị ĩ ế ứ = f (z) ọ ỉ ì t z0 C ế f (z) tr ọ ì trò ứ ì tr ề ị ý U z0 ế ó ỉ ì t ọ ể tộ ị ý f (z) ọ ỉ U f (z) ỉ ì tr ề U sử ột tế tr từ ú tr U, tế tì f (z)dz = ị ý t ó tể tết ợ ết q tế t ọ tứ tí ị ý tr ề tr s tứ tí U, U ột tế tộ f (z) ỉ ì sử ế z0 ột ể t ì , tế tì f (z0 ) = f (z) dz, z z0 2i tr ó ề ủ ứ ọ tr C0 C0 q ề ợ ồ ì trò t g(z) = f (z) zz0 z0 í r0 , ế r0 ủ ỏ tì ỉ ì tr ề ó t ị ý t ó f (z) dz z z0 f (z) dz = 0, z z0 C0 ì f (z) dz, z z0 f (z) dz = z z0 C0 t ó f (z) dz = f (z0 ) z z0 f (z) f (z0 ) dz (1) z z0 dz + z z0 C0 ự ệ é ổ ế tr C0 , C0 t z = z0 + r0 eit , dz = ir0 eit , dz =i z z0 C0 C0 dt = 2i ó t ì f (z) |f (z) f (z0 )| < tụ t |z z0 | r0 ế t r0 ọ ủ ỏ t ó ó |f (z) f (z0 )| |dz| < 2r0 = |z z0 | r0 f (z) f (z0 ) dz| z z0 | z0 C0 C0 ó t t trị tệt ố tí tứ ủ (1) ỏ tù ý trị ó ó tể ó f (z) dz = 2if (z0 ) z z0 í ụ dz z , í trị tế ứ z = tr ó sử f (z) = z+3 , ỉ ì tr tr dz = z2 ế ứ z0 z = tr ó tì f (z) ó từ tứ tí t ó 2i dz = 2if (3) = z3 dz = (z 3)(z + 3) sử ệ q ế f (z) ỉ ì tr ề ể tr tứ f (n) (z0 ) = ó ủ n! 2i f U t ứ tế z0 f (z) dz (z z0 )n+1 ệ q ọ tr ế U f (z) ỉ ì tr ề U, tì f ó ũ ỉ ì tr U tứ tí tế t t ế ị ý ề t tứ ụ q trọ tết ể ứ ị ý ủ số ị ý ề U ọ t tứ C0 ì trò t z0 , sử í f (z) r0 ỉ ì tr tr U ế M trị t ủ |f (z)| tr C0 , tế tì |f (n) (z0 )| |f (z)| < M ệt ế tr C0 tì |f (z0 )| < ọ z M , r0 C0 tr ứ n!M r0n ệ q t ó |f (n) (z0 )| = | f (z) M n! dz| | (z z0 )n+1 n! 2i C0 r C0 , t dz | (z z0 )n+1 C0 z = z0 + r0 eit , dz = ir0 eit dt, ì f (z) dz = (z z0 )n+1 r0n eint dt = 2r0n , C0 ó |f (n) (z0 )| n!M r0n ứ ị ý ủ số ú t ứ ị ý ự tr ụ t tứ từ ó ú t ó tể ễ r tứ t ứ ị ý ủ số ị ý ọ ị sử f (z) ỉ ì |f (z)| ị z C, tì f (z) số ổ qt ế t ý n + |f (n) (z)| ị tr C, tì f (z) tứ ó ề ứ f (z) sử |f (z)| M ỉ ì ọ z C t tứ t ó |f (z)| < t |f (z)| = f (z) ì ổ qt ỉ ì f (z) = ế ó |f (n) (z)| M M , r > r t ó f (z) tể sử r ó số ọ z C ó từ t tứ t ó |f n+1 (z)| r t ó số ó sử ỉ p(z) ì |f n+1 (z)| = f (z) M , r > r f n+1 (z) = tứ ó ề t tứ ệ số ứ ế tí t |p(z)| ũ p(z) n + degp(z) f (n) (z) tì |z| ị ý s ú t ó tứ t ứ ị ý ủ số s ị ý tr sử sử p(z) tứ tr ó ệ ứ tì |z| tồ t ề ó é t ế f (z) M, r > |z| > r tì C s ế |f (z)| = ị ý ó |p(z)| f (z) số ề t ì ó p(z) C[x], t ỉ ì ì < ì tì ó tụ ị tr t t tr p(z) tứ C[x], ó p(z) ó t ột ệ tr C ứ p(z) ị ý ủ số ọ trị ế |z| r, ũ tì |p(z)| > M f (z) ỉ ó f (z) số s r p(z) p(z) ế |p(z)| |z| > r M f (z) = ị p(z) ũ ó ệ ứ z C ứ tr s t ỉ r ột ứ ị ý ủ số ũ q ế tí rớ t t ỉ r ột số ết q s ế ổ ề tr f :DR D tụ tr ó t ó ị R2 , tì f (x, y) t trị ỏ t t tr D sử ổ ề f (x) C[x], tì |f (x)| t trị ỏ t t ể z0 C ứ |f (x)| t r |x| |x| ũ ớ t |f (x)| m ủ |f (z)| ũ ớ t tr ột số ì trò ủ ớ ọ |z| r |f (x)| trị tự tụ từ ổ ề tì t ó ì z C |f (x)| t trị ỏ t tr ì trò sử ổ ề f (x) C[x] f (x) số ế f (x0 ) = tì |f (x0 )| trị ỏ t ủ |f (x)| ứ f (x0 ) = sử ổ ế tể sử r f (0) = ứ t f (x) C[x] ọ k tứ x + x0 x, ể ó t f (x) x0 ũ ỏ t ủ x f (0)1 tr ể s tớ ố ó t ó trị ỏ t ủ số x0 f (x) ể f (0) = |f (x)| sử f (x) ó s f (x) = + axk + h(x), k h(x) ủ tứ ó tử ó a1 , ổ ế x t x ó f (x) k ọ ột ó s f (x) = xk + xk+1 g(x) x số tự ỏ tù ý từ t tứ t t ó |f (x)| |1 xk | + xk+1 |g(x)| t t ó xk < ọ số tự x ỏ tù ý t ó |f (x)| xk + xk+1 |g(x)| = xk (1 x|g(x)|) số tự x ỏ x0 |g(x0 )| < |f (x0 )| < x|g(x)| ề ó ũ ứ ũ í tỏ ỏ ì ó tể ự ọ r xk0 (1 x0 |g(x0 )|) > 0, x0 s ì |f (x0 )| < |f (0)| ổ ề tr t r ột ứ ị ý ủ số ị ý số tì |f (x)| t |f (x0 )| = ế f (x) C[x] f (x) f (x) ó t ột ệ ứ ứ ó ị ý ủ số sử trị ó f (x) C[x] ỏ t t f (x0 ) = f (x) x0 C số t ề ó ứ tỏ f (x) từ từ ổ ề t ổ ề t ó ệ ứ ó an1 (an x)n1 + ã ã ã + ann1 a0 = g(an x) = g(y) Z[y] g(an ) = 0, ì ị ý ứ ợ số tì 0, gcd(q0 , , qd ) = i = i Q ũ số ọ tứ tố tể ủ g(y) = , , , d p(x) = q0 + q1 x + ã ã ã + qd xd Z[x], qd > sử ệ ủ tứ ó ọ số số s ệt s ệt tr sử ủ an ó y = an x t = qd t ei + = tr Q, = , , , d ti t ổ ề tì = i số t ó (1 + e1 )(1 + e2 ) (1 + ed ) = 0, tí ế tr ó tể ết tổ ủ ããã + d d , j 1 =0 + ããã + d d = 1, j = 1, , d j 2d e số , , n ọ = n 1 + số ó ó t ó trì s q + e1 + ã ã ã + en = (4) q = 2d n > )p (x n )p ọ số I(z1 ) ợ ó ị p ti số tứ ố ĩ J = I(1 ) + ã ã ã + I(n ) (4) số tứ ứ tr (1) tố ủ ó f (x) R[x], i , , n ủ ứ ị ý số ữ tỉ ọ ủ ứ ị ý từ t ó m m J = q f (j) f (j) (k ) j=0 k=1 n m = (n + 1)p 1, n (0) j=0 ớ f (x) = tnp xp1 (x t f (j) (k ) tứ ố ứ ủ k=1 t1 , , tn ệ số ì m n ti ủ tứ ố ứ t ó số ũ từ ị ý f (j) (k ) số r f (j) (k ) = j=0 k=1 m j |tn (1 n )| ết p! p > q ế p (2) ủ ủ tr ứ ị ý t ó |J| |1 |e|1 | |f |(|1 |) + ã ã ã + |n |e|n | |f |(|n |) cp ó c ụ tộ (p 1)! |J| cp , p1 c c (p1)! ó p ũ ứ ị ý t ũ ó 10 |J| (p1)! t p1 c c (p1)! s ệt p tì tứ ứ ị ý ủ số ý tết s ột ủ t ọ tể ệ ố q ệ ữ ý tết số ý tết trì ý tết ó ữ ý tết ợ tệ rst s ứ tí ợ ủ tứ s t ì t ố q ệ ữ rộ trờ ó trì ột ứ ị ý ủ số ứ ố ợ ữ ý tết ó ý tết s trớ t t ột số ế tứ ố ứ tết q ế ệ ứ ột số ết q ủ ý tết ó P ột số ết q ủ ị ý ó ữ ột số ệ ó q ết ợ ú ý ị ý r ị ý ó ị ý ị ĩ ó G ột t ợ ù ột é t tỏ ề ệ Pé t ó tí t ết ợ G ó ị ọ tử ủ G ề ị G ột ó G ợ ọ G ủ số tử ủ HG ó ữ é t tr G ị ĩ ế F :RS f :RS số tì tự R G, |G| í ệ ó ọ t tr ủ G ế G ế ó tí t |G| < H= H tì ù R, S ọ ọ ủ R trú số ó trờ ế ó t é t số ế f s ế : R R, R trú í ệ t tự t í ụ ế é ột ó tì tr sử G ó G = {1, g, g , , g n1 } ế (k, n) = n, g tì gk tử s ủ G t ó ũ tử s ì : g gk ột tự t ì ủ G tì G, ị ột tự ủ (g) = g1 g1 ế ũ tử s ủ G tự ì t ó Aut(G) = { : g g k , (n, k) = 1} ó |Aut(G)| = (n), ị ý ủ G, số số ỏ ị ý r ó sử |G| = |G : H||H| n tố G ó ữ H n ó ó tr ột ó ữ ỉ số ủ ó ủ ủ t ó í ụ ỉ r r ọ ó ữ ó tố ề sử sử ủ ế p tố H =< x > H H=G G tì ó ữ ó ó s ủ |H| = G x=1 G ì p x tố ề t ì p x G, x = ị ý r |H| = x = ó |H| = p |H| = p ị ĩ g Hg ế G ợ ó ọ ợ tử ó ủ NG (H) H ệ gG s H ột ó ủ H ó ủ H, g ó H tì ọ ó t ủ ủ í ệ gG tì g Hg = H ế ó G G, H H tr G, G, í ế ọ g Hg = H ú ý r ế H G tì g Hg = H ó é tr gH ề ó ũ ó ĩ é Hg Hg = gH tó tt tí ợ t ó q ổ ề s ổ ề H ệ ề s t G ợ t ủ H tr ỗ é tr ủ H ũ é NG (H) = G ổ ề H G ó ó t ó sử ợ t ì ủ G H H tì NG (H) ó ủ G H H NG (H) |N : NG (H)| số ợ ệt ủ H G í ụ ế t ì g Hg = H(g g)H ó ì ọ ó ó ó ó t tự ọ H tr ủ G G ề ó í ụ ó ó tố ột ó ổ ề ế H G tì G/H t é tr ủ ũ ột ó ọ ó t ủ G H tr G t ó t H ị ĩ kerf ợ t ợ ế f :GH tì {g G; f (g) = 1} {h H; f (g) = h, g G} ò ủ t f, ủ í ệ f, í ệ Imf t f : G H, ó tì kerf G, Imf ó ủ H, G/kerf = Imf ệt ế f t ó tì G/kerf = H, H ọ ị ý ủ ị ý tứ t ế G ế H G, tì tồ t ột f : G G/H s kerf = H Imf = G/H ố ù ể ụ ụ ứ ị ý ủ số t ế tứ q ế p ó p ó p tố ị ĩ p ế tố tì ột s ỗ tử ó ũ từ ủ |G| = pn ọ ổ ề pn1 ế tố (p, ) = pm p p G pó ữ tì ủ G ết sử ế tì G ó ữ ó ó t ủ ị ý ữ tì t ó G ị ĩ G ế G G pó ữ ó pn , tì G ó ó ó ỉ số ó ủ ó ột ó n ế ệ q p p ị ý ủ |G| = pm , p G ó ó G sử G ó ữ ó pm p tố (p, ) = ế tì G ó pó ỗ pó ợ pó ủ G ợ ứ tr pó ố pó t p |G| ó ủ ột số ết q ủ ý tết s rớ t t ột út ế tứ ề rộ trờ số ệ ề rộ trờ rộ ữ trờ t ợ tết ệ ứ ị ý ủ số ị ĩ ó t ó r F F F, í ệ |F : F | sử tr F F ọ F F, F s ệt F tr rộ số ủ F tì F F rộ ủ trờ số ề ủ F tr F ủ F , p(x) F [x], p(x) = ế ọ tử ủ F, t ữ rộ ữ rộ trờ ủ trờ ế tồ t tứ ọ ủ rộ ọ trờ ủ |F : F | < , ế ó F F trờ ột rộ trờ t tr ề tr số F F, F sử ó s F ọ p() = ề số tr r F tì F ế q t p(x) F [x] s p() = 0, tứ t q t ó í ệ irr(, F ) ị ĩ trờ ủ F, f (x) tì f (x) số tr F, tì tồ t tứ t ổ ề sử ọ ề tộ f (x) F [x], f (x) = t ợ F.F ị ý s ó q F F f (x) ệt F rộ ủ ế tt ệ ệt trờ t ợ ọ rộ trờ ỏ t ủ tr tớ ủ f (x) tr F ữ ế F t ợ rộ số ệt t ỉ r tí t q trọ t ợ t P s ủ ọ rộ ề ợ rộ ữ ị ĩ K ợ ọ trờ t ợ tr F sử K ị ý F ó số ủ rộ t rộ t ủ F ó ủ trờ F ế K F, F E K F ự t ì ủ F ó ó ọ tự ủ ủ K F F F tr K tr í ố ị ì ọ F [x] ó ệ tr K t ợ K tr K rộ t ủ ị ĩ ế m=1 sử tì K tr F ọ K ế ọ ề t ợ tr ỏ t s n rờ í ụ F (n)(1) = ó tr tì t ó f (x) m = 1, tì tì ó ộ ọ m 1, ệ ò ệ ộ ệ ủ ị ĩ ủ ế rộ ữ ủ E ệ f (x) = (x )m g(x), g() = t F K ố ị tự ọ tứ t q ủ ế ố ị ủ F ó F K, irr(, F ) K ó ọ ọ t ợ rộ t ợ ế F ọ ó tr F, số n í ệ số ế số charF = n í ệ charQ = charR = charC = 0, n ế tồ charF = ó ọ rộ t ì ủ t tr ó số r charZp = p, ó ọ r t ì ủ Zp ó số p ột số ết q s q ế số ổ ề số ủ ột trờ số tố ổ ề ế charF = p, tì F charF = 0, tì F ứ trờ ứ trờ Q ế Zp ệt trờ ó số ữ ị ý rộ t ì ủ trờ ó số rộ t ợ rộ t ợ t ộ ủ ế ữ rộ trờ ị ý ó ết q s ú t t rõ ề ó ế ị ý ủ K ị ý t ợ ủ K rộ ữ t ợ ủ F ữ tr ị ý tử tủ F, tì K rộ s ị ĩ F ủ F rộ ữ t ủ f (x) s ủ F F trờ ó số ó ọ rộ t ợ f (x) F [x] ế ọ ợ F rộ ữ ó số tì rộ s rộ ữ ủ trờ t ợ tr sử K K = F () ọ K t ợ trờ ữ t ợ tr ú ý r ế tì số tự |K : F | ế rộ ó F, F tr tứ t q tì t ó ế F, tì K rộ s ủ K F K trờ t ọ rộ f (x) ố ột số tr q trọ ủ rộ s ổ ề số tr K sử F EKF ũ s tr t ì ủ K K s tr F F ó F ế tì E K ố tự ủ K tr F F í tr F |K : F | tự ủ K F rộ ủ ế t tr ú t ứ ề ó s ét ố q ệ ữ ị ý ó rộ trờ rộ ữ ủ F, tr ó tử ủ ột ó ế ị ĩ ủ K K Aut(K) sử K t t F, Aut(K) rộ s ủ F, KH í ệ tử ủ ế K H K t F ột t tì ó ó ó s ữ ọ tử ủ Gal(K/F ) t ữ tử ủ s tr tr í ệ trớ sử F F, ọ ó ủ t ộ H ó ó tự ó s Gal(K/F ) ủ K tì t ọ sử K rộ s tr F, K t ợ từ ị ý t ó ổ ề |Gal(K/F )| = |K : F | ổ ề sử F E K, K rộ s tr F ó K rộ s tr E Gal(K/E) ó ủ Gal(K/F ) ế H ó ủ Gal(K/F ), tì E = KH trờ tr Gal(K/E) = H ệ q : H KH H từ ó ủ Gal(K/F ) tớ trờ tr ột s ết q tr t t r ế tr F, tì K rộ s tr rộ s tr tr E F ế E ỉ ó t ứ ủ tì ó E sử F ó K K rộ s ột ỏ t r E Gal(K/F ) F EK s tr E t ợ tr rộ t ổ ề F EK F, E tì ỏ ó ợ rộ t ó t s tr ế ỉ ế H F sử E = KH Gal(K/F ) ó Gal(E/F ) = G/H = Gal(K/F )/Gal(K/E) ị ý ủ K sử K |G| = n, tì K ó s ủ ó ứ ột trờ s F = KG G tứ t ợ ột tứ ó ệ ộ t ợ tr sử ột ó ữ tự rộ s ữ ủ ột ệ ủ tứ t ợ G F = KG tì irr(, F ) ết f (x) ì F K, g1 (), , gr () ị ủ t ợ f (x), ế ọ g1 , , gr ệt ế {g1 (), , gr ()}, tử t ủ t ợ g G, ì g tì {gg1 (), , ggr ()} ột tự t ợ {g1 (), , gr ()} t ó ệ ủ tứ r (x gi ()) f (x) = i=1 r F = KG f (x) ì ữ gi () ố ị ọ g G f (x) ệt t ó ệ ợ số ủ ệ ủ tứ t ợ ó ỏ F ó K rộ t ợ ủ tử tế tí s tr ì K K rộ t F, rộ t ết t ợ tr K q ú n tr K ệ số tộ t ợ tr ì K rộ t F |K : F | = n, tó tt K = F () |K : F | n, G Gal(K/F ), t ộ ề ó ứ tỏ ết ọ n f (x) F ứ tự ủ t ì K ệ ủ tứ ó |G| = n, F f (x) ó G ết ì G |K : F | = |Gal(K/F )| ó s q í ủ ị ý s P tế t t ét ó s ủ tứ từ ề s F trờ ó số ọ rộ ề t ợ ị ĩ f (x) t ợ ủ ứ ọ sử tì K f (x) tứ t q tr rộ s tr F, F K trờ ó s t ó s ủ tứ ổ ề ế K rộ s tr F |K : F | = n, tì Gal(K/F ) ó ủ ó ố ứ Sn ột ị ý tó tt ột số ết q ủ ý tết s ọ ị ý ủ tết s ú t sử ụ tr ứ ị ý ủ số ị ý s ủ F ị ý ó s ủ tết s G = Gal(K/F ), sử K rộ ỗ trờ tr E, ọ (E) ó ủ G t ộ tr E ế tì ột s ữ trờ tr ứ F ó ủ G ế H G E = K H , tì (E) = H ó ủ K |G| = |K : F | E rộ s tr Gal(K/E) = (E) |E : F | = |G : (E)| E rộ s tr F ế ỉ ế (E) G ó Gal(E/F ) = Gal(K/F )/Gal(K/E) = G/ (E) rờ ủ K ứ F ị ủ ó ủ Gal(K/F ) ứ ị ý ủ số t r tứ ứ ị ý số ự ý tết s ý tết ó ợ trớ r ú t ò ò sử ụ t ữ ệ ọ tứ ệ số tự ề ó ệ tự tứ ệ số ứ ó ệ ứ ị ý tr R, K f (x) ì C tr ế C, f (x) C[x] t ó tể ự ợ trờ t ợ rộ s ủ rộ ữ ủ í tờ ủ C sử ọ ế ó số ọ tứ tứ C C[x] ề ó t ột ệ tr C ứ ủ rờ số ứ m=0 tì C, K ó rộ s ủ ị ý ủ số ị ì t ỉ ứ rộ s t í K R C K C rộ ữ ủ rộ ủ rộ ó K = R(), R R ì t ó K |K : R| = 2m q, (2, q) = 1, t ợ tr irr(, R) rộ t tờ ủ rộ ữ ủ R ó R tì R m > ó ó t ọ tứ ệ số tự ó ệ tự ì q ủ ó ột R irr(, R) K = R, t ì ế K ề ó ứ tỏ ó sử K rộ ủ C, tì K = C() degirr(, C) = t ó ọ tứ ệ số ứ ó ệ ứ tr C, t ì R s tr K sử sử ủ R C q ó s ủ C, m > ọ G E E = R, ó ó |K : R| = 2m |K : C| = 2m1 sử ó s sylow rộ ữ ủ ì ũ E R t ó ủ 2m |K : E| = 2m ề ó ứ tỏ |G| = 2m G1 = Gal(K/C), ó t tờ tì từ ổ ề tồ t ó ó ỉ số 2, t ứ trờ tr E ó ủ ó rộ ề ó ứ tỏ |K : C| = rộ ì ó rộ ữ G = Gal(K/R) K tì ó ó t ứ trờ tr |E : R| = q q=1 rộ |K : R| = 2m q, (2, q) = 1, |G| = 2m q, m > 0, (2, q) = 1, ỉ số ó rộ G1 C ế ó 2m2 t t tờ C |G1 | = ì K = C r t ó ết q s ị ý sử K ột trờ s tứ tự tr ó ọ tử ề ó ỗ tứ tr tr K ì ó tứ t q K(i) ó số x2 + K[x] i= K[x] ề ó ệ ột ệ ủ ết r ó trì ột số ứ ị ý ủ số ụ tể rì ứ ị ý ủ số ủ ế ự ế tứ q ế tí ệt tí t ủ ế ứ ỉ ì rì ứ ị ý ủ số ự ế tứ q ế trờ ệ tứ ố ứ r ò trì ột ết q ệt ứ ụ ị ý ủ số tr ứ số , e s ệt rì ứ ị ý ủ số ự ế tứ q ế ý tết ó ý tết s ệ t í ễ số t ụ ế ứ t ọ ố ộ r r t r r r rst r t t t stts rstt rt [...]... tứ ứ ị ý ủ số ế ở trớ ú t r ứ ị ý ủ số ó ề ự ế tứ tí ề số tì ở t sẽ ể s ệ tế ế tứ số ề tr ứ ị ý ủ số ứ ế ọ trờ số ứ C r trờ ó số tì ệ ó ũ t ớ t ể ủ ị ý ở ủ số ột số ế tứ q ở rộ trờ trờ t ợ tứ ố ứ ợ ết ợ ở r ở ố ò ề ế ứ ụ ị ý ủ số tr ệ t tứ t q tr , e số C[x] R[x], ứ số s ệt ế tứ ị r ể r ứ ị ý ủ số ú t ột số ế tứ q ế ... ị ý ủ số C[x] ó ít t ột ệ tr C, t ó C ó số ứ ổ ề ỉ r r ọ tứ tứ ớ ệ số tự ó ít t ột ệ ứ ó t ổ ề t ó ọ tứ tứ ó ệ ứ ị ý ợ ứ ó trờ số ứ C trờ ó số ừ ị ý ủ số t ó ết q ề ệ t tứ t q tr C[x] ệ q R[x] s tứ t q tr C[x] ỉ tứ tứ t q tr R[x] ỉ tứ t ệ q t tứ ớ < 0 ứ ụ ứ số , e số s ệt ờ t ứ ợ sự tồ t ủ số s ệt ỉ r số = j! j=1 10 số s ệt ó... j! j=1 10 số s ệt ó rt ứ ợ ứ ợ số e số s ệt 1882 1844 r ò 1873 r ó ó tể ó ệ ỉ r ột số t ì ó số s ệt ự ì ó tr ú t sử ụ ụ ị ý ủ số ể ứ số q trọ ủ t ọ số , e số s ệt rớ ết t ột số ế tứ q ế ứ s sử Q[x] C s số ó tồ t tứ f () = 0 ì Q f (x) ột trờ ú t ó tể f (x) f (x) trở t tứ t q p (x) Q[x] ệ ọ tứ tố tể tứ ớ ệ số ai Z ủ tr ó ỏ t Q f (x) = an... K ó ọ ọ t ợ ở rộ t ợ ế F ọ ó tr F, số n í ệ số ế số charF = n í ệ charQ = charR = charC = 0, n ế tồ charF = 0 ó ọ ở rộ t ì ủ t tr ó số r charZp = p, ó ọ ở r t ì ủ Zp ó số p ột số ết q s q ế số ổ ề số ủ ột trờ số tố ổ ề ế charF = p, tì F charF = 0, tì F ứ trờ ớ ứ trờ ớ Q ế Zp ệt trờ ó số ữ ị ý ở rộ t ì ủ trờ ó số ở rộ t ợ ở rộ t ợ sự t ộ ủ ế ữ ở rộ... ớ ọ ột số ổ ề q ế ệ ứ ổ ề C số ỉ tồ t tứ p(x) Z[x] s p() = 0 ứ t ọ p(x) an xn + an1 xn1 + ã ã ã + a0 , n 1, an = 0, gcd(a1 , , an ) = 1 số tồ t tứ g(x) ệ số ủ g(x) Q[x] gcd p(x) tứ ó ệ số ó sử ệ ủ ệ số ó tứ tố tể ủ t ó tể tí C ó t ó tể g(x) g(x) p (x) tr C tr trở t ệ p(x) = xn + an1 xn1 + ã ã ã + a0 , n 1, ai Q 0, , n 1, ế ở ù ột số ó ể ệ số ủ ề s ó... n > 0 1 )p (x n )p ọ số I(z1 ) ớ ợ ó ị p ti số tứ ố ĩ J = I(1 ) + ã ã ã + I(n ) (4) số tứ ứ tr ừ (1) tố ủ ó f (x) R[x], i 1 , , n ủ ứ ị ý số ữ tỉ ọ ủ ứ ị ý từ t ó m m J = q f (j) f (j) (k ) j=0 k=1 n m = (n + 1)p 1, n (0) j=0 ớ ớ f (x) = tnp xp1 (x t f (j) (k ) tứ ố ứ ủ k=1 t1 , , tn ớ ệ số ì m n ti ủ tứ ố ứ t ó số ũ từ ị ý f (j) (k ) số r f (j) (k ) = j=0... tứ t q ó ệ số q (x) = bn xn + + b1 x + b0 Z[x], n 1, bn > 0, gcd(b0 , , bn ) = 1, n = degp (x) tứ q (x) ó tr ọ tứ tố tể ủ tr Q q (x) = rp (x),ớ r Q ú ý r ị ĩ ó ệ số ố C ọ số số ệ ó ế tồ f (x) Z[x], f (x) = xn + bn1 xn1 + ã ã ã + b0 , bi Z, n 1 C ế ổ ề số tì ọ ợ t tứ tồ t f () = 0 1 , , n ủ ũ số ứ pi (x) ì C ệ t từ ết f (x), ế ổ ề số tồ t ó C... F ị ủ ó ủ Gal(K/F ) ứ ị ý ủ số t r tứ ứ ị ý số ự ý tết s ý tết ó ợ ở trớ r ú t ò ò sử ụ t ữ ệ ọ tứ ớ ệ số tự ề ó ệ tự tứ ớ ệ số ứ ó ệ ứ ị ý tr R, K f (x) ì C tr ế C, f (x) C[x] t ó tể ự ợ trờ t ợ ở rộ s ủ ở rộ ữ ủ í tờ ủ C sử ọ ế ó số ọ tứ tứ C C[x] ề ó ít t ột ệ tr C ứ ủ rờ số ứ m=0 tì C, K ó ở rộ s ủ ị ý ủ số ị ì t ỉ ứ ở rộ s t í K R C... ỉ số ó ở rộ G1 C ế ó 2m2 t t tờ C |G1 | = 1 ì K = C r t ó ết q s ị ý sử K ột trờ s tứ tự tr ó ọ tử ề ó ỗ tứ tr tr K ì ó tứ t q K(i) ó số ớ x2 + 1 K[x] i= K[x] ề ó ệ 1 ột ệ ủ ết r ó trì ột số ứ ị ý ủ số ụ tể rì ứ ị ý ủ số ủ ế ự ế tứ q ế tí ệt tí t ủ ế ứ ỉ ì rì ứ ị ý ủ số ự ế tứ q ế trờ ệ tứ ố ứ r ò trì ột ết q ệt ứ ụ ị ý ủ số. .. 1 i = i Q ũ số ọ tứ tố tể ủ ừ g(y) 1 = , 2 , , d p(x) = q0 + q1 x + ã ã ã + qd xd Z[x], qd > sử ệ ủ tứ ó ớ ọ số số s ệt s ệt tr sử ủ an ó y = an x ớ t = qd t ei + 1 = 0 tr Q, 1 = , 2 , , d ti t ổ ề tì 1 = i số t ó (1 + e1 )(1 + e2 ) (1 + ed ) = 0, tí ở ế tr ó tể ết ớ tổ ủ ããã + d d , j 1 1 =0 + ããã + d d = 1, j = 1, , d j 2d e số 1 , , n ọ ớ = n 1 1 + số ó ó t ó