Nêu các cách chứng minh định lý cơ bản của đại số. Nếu bốn cách chứng minh định lý cơ bản của đại số là sự kết hợp giữa đại số, giải tích và một số kiến thức liên quan. Cách thứ nhất và thứ hai thiên về kiến thức giải tích khi ta coi mỗi đa thức với hệ số phức là một hàm phức. Còn cách chứng minh thứ ba và thứ tư dựa vào đại số là chủ yếu, tuy nhiên cũng liên quan đến một chút kiến thức giải tích.
Trang 1Môc lôc
1 C¸ch thø nhÊt chøng minh §Þnh lý c¬ b¶n cña §¹i sè 4
1.1 KiÕn thøc chuÈn bÞ 4
1.2 Chøng minh §Þnh lý c¬ b¶n cña §¹i sè 7
2 C¸ch thø hai chøng minh §Þnh lý c¬ b¶n cña §¹i sè 11 2.1 KiÕn thøc chuÈn bÞ 11
2.2 Chøng minh §Þnh lý c¬ b¶n cña §¹i sè 14
2.3 øng dông chøng minh sè π, e lµ c¸c sè siªu viÖt 17
3 C¸ch thø ba chøng minh §Þnh lý c¬ b¶n cña §¹i sè 23 3.1 Mét sè kÕt qu¶ cña lý thuyÕt nhãm 23
3.2 Mét sè kÕt qu¶ cña lý thuyÕt Galois 27
3.3 Chøng minh §Þnh lý c¬ b¶n cña §¹i sè 32
Tµi liÖu tham kh¶o 35
1
Trang 2Lời nói đầu
Định lý cơ bản của Đại số được đề cập đến đầu tiên bởi Peter Rothvào năm 1608, khi ông cho rằng mọi đa thức bậc n có đúng n nghiệm Tiếp
đó, định lý được nêu cụ thể hơn bởi Descartes vào năm 1637, khi ông phânbiệt được giữa nghiệm thực và nghiệm ảo Đến năm 1746, phần chứng minh
được công bố đầu tiên bởi D'Alembert Tuy nhiên, chứng minh của ông cònnhiều thiếu sót, khắc phục điều đó vào năm 1797 nhà toán học Gauss đưa
ra cách chứng minh đầy đủ và được chấp nhận đầu tiên Cho đến nay, người
ta nói rằng có hơn 200 bằng chứng liên quan đến việc chứng minh Định lýcơ bản của Đại số, nhưng không có bằng chứng nào chứng minh hoàn toàndựa vào đại số, mà đó là sự kết hợp của nhiều kiến thức liên quan trong toánhọc Vậy việc kết hợp các kiến thức liên quan trong toán học để chứng minh
Định lý cơ bản của Đại số như thế nào? Minh họa cho điều đó thì trong khóaluận này em trình bày lại một số cách chứng minh Định lý cơ bản của Đại
số là sự kết hợp giữa đại số, giải tích và một số kiến thức liên quan
Khóa luận có 3 chương, trình bày lại bốn cách chứng minh Định lý cơbản của Đại số Trong đó hai cách đầu tiên thuộc Chương 1, thiên về kiếnthức giải tích nhiều hơn, khi ta coi mỗi đa thức với hệ số phức là một hàmphức Ngoài ra, chương này nhắc lại một số khái niệm giải tích phức, đặcbiệt là khái niệm hàm chỉnh hình và một định lý quan trọng để phục vụ chochứng minh Định lý cơ bản của Đại số, đó là Định lý Liouville Định lý chorằng hàm chỉnh hình bị chặn trong mặt phẳng phức phải là hằng số Tiếp đến
ở cuối Chương 1, em trình bày một cách chứng minh khác cũng liên quannhiều đến kiến thức giải tích
Chương 2 và Chương 3, em trình bày hai cách khác nhau trong chứngminh Định lý cơ bản của Đại số, khác với hai cách trước thì hai cách nàydựa vào kiến thức đại số là chủ yếu, tuy nhiên nó cũng cần một chút kiếnthức về giải tích liên quan đến Định lý giá trị trung bình Lúc này, đa thứcvới hệ số phức sẽ được nhìn nhận theo một hướng khác đó là đối tượng đại
Trang 3số Chương 2, trình bày cách chứng minh định lý dựa vào một số kiến thức
về mở rộng trường, đa thức đối xứng Ngoài ra, ở cuối chương em còn trìnhbày ứng dụng của Định lý cơ bản Đại số để mô tả đa thức bất khả quy trênC[x] và R[x], chứng minh các số π, e là siêu việt Chương 3, ngoài kiến thứcchuẩn bị đã có ở Chương 2, em nhắc lại một số kiến thức về lý thuyết nhóm
và lý thuyết Galois cần cho chứng minh Định lý cơ bản của Đại số
Khóa luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS TrầnNguyên An Nhờ thầy em đã bước đầu làm quen và say mê trong việcnghiên cứu toán Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy
Em xin cảm ơn trường đại học sư phạm Thái Nguyên, khoa Toán, tổ Đại
số đã tạo điều kiện thuận lợi cho em thực hiện kế hoạch học tập của mình
Trang 4Cách thứ nhất chứng minh Định lý cơ
bản của Đại số
Chương này sử dụng kiến thức liên quan đến giải tích phức trong chứng minh
Định lý cơ bản của Đại số, hàm của hai biến thực được xem như hàm củamột biến phức ở đây chỉ nhắc lại một số khái niệm cơ bản cần thiết choviệc chứng minh Định lý cơ bản của Đại số, các kiến thức về đạo hàm, tínhliên tục, khả vi, của hàm biến phức sẽ không được nhắc lại Đặc biệt, cầnlưu ý tới một trong những định lý quan trọng của giải tích phức là Định lýLiouville, đây là công cụ cần thiết được sử dụng trong việc chứng minh Định
f (z),kí hiệu là Imf(z)
1.1.2 Định nghĩa Hàm biến phức ω = f(z) gọi là chỉnh hình tại z0 ∈ C
4
Trang 5f (z0) = 1
2πiZ
Υ
f (z)
z − z0dz,trong đó chiều dương của Υ quy ước là chiều ngược kim đồng hồ
Chứng minh Gọi C0 là hình tròn tâm z0 bán kính r0, nếu r0 đủ nhỏ thì C0
Trang 6Mặt khác vì f(z) là liên tục tại z0 nên nếu ta chọn r0 đủ nhỏ, ta sẽ có
Υ Nếu z0 là điểm nằm trong Υ khi đó đạo hàm của f tại z0 cho bởi côngthức
f(n)(z0) = n!
2πiZ
Υ
f (z)(z − z0)n+1dz
1.1.7 Hệ quả Nếu f(z) là hàm chỉnh hình trên miền U, thì f có đạo hàmmọi cấp trên U và các đạo hàm này cũng là hàm chỉnh hình trên U
Từ Công thức tích phân Cauchy tiếp theo ta sẽ đi đến Định lý về bất đẳngthức Cauchy, đây là công cụ quan trọng cần thiết để chứng minh Định lý cơbản của Đại số
1.1.8 Định lý (Bất đẳng thức Cauchy) Giả sử f(z) là hàm chỉnh hình trênmiền U Gọi C0 là hình tròn tâm z0, bán kính r0 trên U Nếu M là giá trị
Trang 7Chứng minh Theo Hệ quả 1.1.6 ta có
|f(n)(z0)| = | n!
2πiZ
C 0
f (z)(z − z0)n+1dz| ≤ M n!
2π |Z
C 0
dz(z − z0)n+1|
Trên C0, đặt z = z0 + r0eit, dz = ir0eitdt, vì vậy
Z
C0
f (z)(z − z0)n+1dz
=