Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 92 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
92
Dung lượng
1,07 MB
Nội dung
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI NÓI ĐẦU 1 Chương I. Các kiến thức cơ sở 3 1.1 Khônggianmetric 3 1.2 KhônggianđovàĐộđo 4 1.3 ĐộđoLebesgue 5 1.3.1ĐộđoLebesguetrên 5 1.3.2ĐộđoLebesguetrên k 6 1.4 Hàmsốđođược 6 1.4.1Cấutrúccủahàmsốđođược 6 1.4.2Cácdạnghộitụ 7 1.5Khônggianđịnhchuẩn 7 1.6TíchphânLebesgue 9 1.7Khônggiantôpô 10 Chương II. Các không gian hàm 12 2.1Khônggianℒ vàL 12 2.1.1Khônggianℒ 12 2.1.2Tínhchấtcơbản 12 2.1.3KhônggianL 13 2.1.4CấutrúctuyếntínhcủaL 13 2.1.5CấutrúcthứtựcủaL 14 2.1.6CáctínhchấtquantrọngcủaL 15 2.1.7CấutrúcnhâncủaL 18 2.1.8HoạtđộngcủacáchàmBoreltrênL 19 2.1.9KhônggianL phức 19 2.2KhônggianL 20 2.2.1KhônggianL 20 2.2.2CấutrúcthứtựcủaL 21 2.2.3ChuẩncủaL 21 2.2.4. L làmộtkhônggianRiesz 24 2.2.5Nhắclạivềkỳvọngcóđiềukiện 26 2.2.6 L nhưlàmộtsựhoànchỉnh 28 2.2.7KhônggianL phức 32 2.3KhônggianL ∞ 33 2.3.1CấutrúcthứtựcủaL ∞ 34 2.3.2ChuẩncủaL ∞ 35 2.3.3TínhđốingẫugiữaL ∞ vàL 37 2.3.4MộtkhônggiancontrùmậtcủaL ∞ 41 2.3.5Kỳvọngcóđiềukiện 42 2.3.6KhônggianL ∞ phức 43 2.4Khônggian L 43 2.4.1CấutrúcthứtựcủaL 44 2.4.2ChuẩncủaL 44 2.4.3MộtsốkhônggiancontrùmậtcủaL 48 2.4.4TínhđốingẫucủacáckhônggianL 50 2.4.5Thứtự-đầyđủcủaL 54 2.4.6Kỳvọngcóđiềukiện 54 2.4.7KhônggianL 55 2.4.8KhônggianL phức 56 Chương III. Một số dạng hội tụ quan trọng và khả tích đều 57 3.1Hộitụtheođộđo 57 3.1.1Cácđịnhnghĩa 57 3.1.2Cácnhậnxét 58 3.1.3Hộitụđiểm 58 3.1.4Tínhchấtcủakhônggiantôpôtuyếntính ()đốivớilớpcác khônggianđo 61 3.1.5Mộtmôtảtươngtựcủatôpôcủasựhộitụtheođộđo 65 3.1.6NhúngL vàoL 66 3.1.7KhônggianL phức 70 3.2Khảtíchđều 70 3.2.1Địnhnghĩa 70 3.2.2Cáctínhchấtổnđịnhtrongphạmvirộngcủalớpcủacáctậpkhả tíchđềutrongℒ hayL . 71 3.2.3Mộtsốmôtảtươngtựcủatínhkhảtíchđều. 74 3.2.4Mốiliênhệgiữatínhkhảtíchđềuvàtôpôcủasựhộitụtheođộ đo. 78 3.2.5Khônggianℒ vàL phức 80 3.3HộitụyếutrongL 80 KẾT LUẬN 87 TÀI LIỆU THAM KHẢO 88 LỜI CẢM ƠN Trướckhitrìnhbàynộidungchínhcủaluậnvăn,tácgiảxinbàytỏlòngbiết ơnchânthànhvàsâusắccủamìnhtớithầygiáo:PGS.TSPhanViếtThư,ngườiđã tậntìnhgiúpđỡ,hướngdẫnvàđónggópnhiềuýkiếnquýbáu.Tácgiảcũngxin chânthànhcảmơntậpthểcácthầycôgiáo,cácnhàkhoahọccủatrườngĐạihọc KhoahọcTựnhiên–ĐHQGHàNội,xincảmơnbạnbèđồngnghiệp,cảmơngia đìnhđãgiúpđỡ,độngviênvàtạođiềukiệnchotácgiảhoànthànhluậnvănnày. Trongquátrìnhhoànthànhluậnvăn,mặcdùdướisựchỉđạoâncầnchuđáo của các thầy cô giáo và bản thân cũng hết sức cố gắng, song không tránh khỏi nhữnghạnchế,thiếusót.Vìvậy,tácgiảrấtmongnhậnđượcsựgópý,giúpđỡcủa cácthầycô,cácbạnđểbảnluậnvănnàyđượchoànchỉnhhơn.Tácgiảxinchân thànhcảmơn! HàNộingày20tháng10năm2014 Họcviên VũThịTuyển 1 LỜI NÓI ĐẦU Bản luận văn giớithiệu vềcác không gian hàm p L . Cáckhông gian p L làcác khônggianhàmđượcđịnhnghĩathôngquaviệcsửdụngmộtchuẩntổngquáthóa mộtcáchtựnhiêntừchuẩnpcủakhônggianvéctơhữuhạnchiều(nhiềukhichúng đượcgọilàcáckhônggianLebesgue).TheoBourbaki,chúngđượcđưarađầutiên bởiRieszFrigyes(nhàtoánhọcgốcHungary).Cáckhônggian p L lậpnênmộtlớp quantrọngcủacáckhônggianBanachtronggiảitíchhàm,khônggianvéctơtôpô, chúngcó ứng dụngquan trọng trongvậtlí, xác suấtthốngkê,toántàichính, kỹ thuậtvànhiềulĩnhvựckhác. Mặcdùlàlớpkhônggianhàmquantrọngvàcónhiềuứngdụngnhưngtrongcác giáotrìnhgiảitíchhàmcũngnhưlíthuyếtđộđovàtíchphâncơbản,cáckhông giannàychưađượcmôtảchi tiết.Vớimong muốn trình bàycác ýtưởngchung cũngnhưđisâunghiêncứuvềcáckhônggian ,nhằmgiúpchoviệcsửdụngcác khônggiannàymộtcáchcóhệthốngvàthuậntiện,tácgiảđãchọnđềtàiluậnvăn củamìnhlà: “Về một số không gian hàm thường gặp”. Luậnvănđượcchiathành3chương: ChươngI:Cáckiếnthứccơsở. ChươngII:Cáckhônggianhàm. ChươngIII:Mộtsốdạnghộitụquantrọngvàkhảtíchđều. TrongchươngI,tácgiảnêu cáckháiniệmvàcácđịnhlícơbảncủa giảitích hàm.Đólàkháiniệmvềkhônggianmetric,khônggianđovớikháiniệmvềđộđo, hàmđođượccùngvớicáctínhchấthộitụvàkhảtích,kháiniệmvềkhônggian địnhchuẩn,cáckháiniệmtrongkhônggiantôpô.Đâylànhữngkiếnthứccơsởsẽ đượcsửdụngtrongchươngIIvàchươngIIIcủaluậnvănnày. 2 Mục đích chính của chương II là thảo luận về các không gian hàm ,1 p L p vàcáctínhchất.Điềuđặcbiệtlàtacoicáckhônggianđólàkhông giancon của mộtkhônggian lớn hơn gồmcáclớptương đươngcủa các hàm (hầunhư)đođược.Chínhvìvậy,cáckhônggianhàmlầnlượtđượctrìnhbàylà khônggian ,khônggian (khônggiancáchàmđođượckhảtích),khônggian (khônggiancáchàmbịchặncốtyếu),khônggian (khônggiancáchàmsốcó lũythừabậcpcủamôđunkhảtíchtrênX).Cáckhônggiannàyđượctrìnhbàymột cáchhệthốngtheotừngnộidung:xâydựngkháiniệm,chỉracấutrúcthứtự,xét chuẩntrongnó,xéttínhđốingẫu,chỉramộtvàikhônggiancontrùmậtquantrọng, ápdụngvàolíthuyếtxácsuất(xétkìvọngcóđiềukiện)vàcuốicùngluônlàmở rộngchokhônggian phức. TrongchươngIII,tácgiảmôtảmộtsốdạnghộitụquantrọngtrongcáckhông gianL .ĐólàsựhộitụtheođộđotrongL vàhộitụyếutrongL .Ngoàiratrong chươngnày,tácgiảcũngchỉracáctínhchấtổnđịnhtrongphạmvirộngcủalớp cáctậpkhảtíchđềutrongℒ hayL . Dothờigiancóhạncũngnhưviệcnắmbắtkiếnthứccònhạnchếnêntrongkhóa luậnkhôngtránhkhỏinhữngthiếusót.Rấtmongđượcsựchỉbảotậntìnhcủacác thầycôvàsựgópýchânthànhcủacácbạnđọc. HàNộingày10tháng11năm2014 Họcviên VũThịTuyển 3 Chương I. Các kiến thức cơ sở 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1. GiảsửXlàmộttậpkhácrỗng,mộtmetrictrongXlàmộtánhxạ :d X X cácsốthực,thỏamãncácđiềukiện: i) (x,y) 0 x y d ii) (x,y) (y,x) x,y X d d iii) (x,y) (x,z) d(z,y) x,y,z X d d TậphợpXcùngvớikhoảngcáchdđãchotrongX,đượcgọilàkhônggianmetric, kíhiệulà(X,d). Hàm (x,y) x,y X d x y làmộtmetrictrongtập (khoảngcáchthông thường).Khônggianmetrictươngứnggọilàđườngthẳngthực. Định nghĩa 1.2. a) Dãy n n x trongkhônggianmetricXgọilàdãycơbảnnếu: suyra b) KhônggianmetricXgọilàkhônggianmeticđầyđủnếumọidãycơbảncủa khônggianXđềuhộitụđếnmộtphầntửnàođócủakhônggiannày. Chẳnghạn,khônggianEuclide làkhônggianđầyđủ.Khônggian là khônggianđầyđủ. Định nghĩa 1.3. GiảsửElàmộttậpconcủaX.Tậphợptấtcảcácđiểmdínhcủa E,đượcgọilàbaođóngcủatậphợpE,kíhiệu Định nghĩa 1.4 GiảsửElàmộttậpconcủaX.TậpEgọilà: i) TậpđóngnếutậpEchứatấtcảcácđiểmtụcủanó ii) Tậpmởnếumọiđiểmcủanóđềulàđiểmtrong. TậphợptấtcảcácđiểmtrongcủaEgọilàphầntrongcủaE,kíhiệu iii) TậphợpEđượcgọilàtrùmậttrêntậphợpAnếunhưbaođóngcủaE chứaA. Đặcbiệt,nếutậpEtrùmậttrongkhônggianXthìEgọilàtrùmậtkhắpnơitrong X. 0, ( ), m,n N N , (x x ) m n d n ,a b C E int E 4 1.2 Không gian đo và Độ đo Định nghĩa 1.5. 1)Chotập X rỗng,mộthọ cáctậpconcủaXđượcgọilàmột σ -đạisốnếunó thỏamãncácđiềukiệnsau: i. X vànếu A thì c A trongđó \ C A X A ii.HợpcủađếmđượccáctậpthuộcΣ cũngthuộcΣ. 2) Nếu là σ -đạisốcáctậpconcủaXthìcặp ( , ) X gọilàmộtkhônggianđo được(đođượcvới hoặc -đođược) Định nghĩa 1.6. Cho mộtkhônggianđođược ( , ) X 1) Mộtánhxạ : 0, đượcgọilàmộtđộđonếu: i) ( ) 0 ii) cótínhchất σ –cộngtính,hiểutheonghĩa: 1 1 (A ) ,( , ) (A ) n n n m n n n n A A n m A 2) Nếu làmộtđộđoxácđịnhtrên thìbộba ( , , ) X gọilàmộtkhông gianđo. Định nghĩa 1.7. Cho ( , , ) X làmộtkhônggianđo.Khiđó a) làđộđođủ,hay ( , , ) X làkhônggianđođủ(Carathéodory)nếuvớimọi A E và ( ) 0 E thì A nghĩalàmọitậpconbỏquađượccủaXlà đođược. b) ( , , ) X làkhônggianxácsuấtnếu ( ) 1. X Trongtrườnghợpnày, gọilàmộtxácsuấthayđộđoxácsuất. c) làđộđohoàntoànhữuhạn,hay ( , , ) X gọilàkhônggianđohoàntoàn hữuhạnnếu ( ) . X d) làđộđo -hữuhạn,hay ( , , ) X gọilàkhônggianđo -hữuhạnnếu tồntạidãy n n A saocho: 1 n n X A , * (A ) , n n e) làđộđonửahữuhạn,hay ( , , ) X làmộtkhônggianđonửahữuhạn nếuvớimọi E và ( )E thìtồntại F E thỏamãn F và 0 ( )F . f) làđộđokhảđịaphươnghóa,hay ( , , ) X làmộtkhônggianđo khảđịa phươnghóanếunólànửahữuhạnvàvớimọi E ,tồntạimột H thỏa mãn: (i) \E H làbỏquađượcvớimọi E E 5 (ii) Nếu G và \E G làbỏquađượcvớimọi E E thì \H G làbỏqua được. SẽthuậntiệnhơnnếutagọitậpHnhưtrênlàessentialsuppremumcủa E trên . g) Mộttập E gọilàmộtnguyêntửđốivới hay -nguyêntửnếu ( ) 0 E vàvớimỗitậpFthỏamãn F , F E thì \E F làbỏqua được. Định nghĩa 1.8. Mộtánhxạ xácđịnhtrên đượcgọilàmộtđộđongoàinếuthỏamãncácđiềukiện i) ii) * ( ) 0 iii) Nếu 1 n n A A thì * * 1 (A) (A ). n n Định lí 1.1 (Carathéodory). Giảsử * làmộtđộđongoàitrênXvà làlớptất cảcáctậpconAcủaXsaocho: * * * (E) (E A) (E\ A) E X (*) Khiđó làmột σ -đạisốvàhàmtập (thuhẹpcủa * trên )làmột độđo trên . Độđo gọilàđộđocảmsinhbởiđộđongoài * .TậpAthỏamãnđiều kiện(*)gọilàtập * - đođược. Định lí 1.2 (thác triển độ đo). Giảsửmlàmộtđộđotrênđạisố ⊂ ().Với mỗi ,tađặt ∗ ( ) = { ∑ ( ) : { } ∈ℕ ⊂ , ⊂ ⋃ } . thì * làmộtđộtrênXvà ∗ ( ) = ( ) , ∀ ⊂ đồngthờimọitậpthuộc σ -đại sốℱ()đều * đođược. 1.3 Độ đo Lebesgue 1.3.1 Độ đo Lebesgue trên Tồntạimột σ -đạisố cáctậpconcủa màmỗi A gọilàmộttậpđo đượctheoLebesgue(hay(L)–đođược)vàmộtđộđo xác định trên (gọilà độđoLebesguetrên )thỏamãncáctínhchấtsau: i) Cáckhoảng(hiểutheonghĩarộng),tậpmở,tậpđóng…là(L)–đođược. NếuIlàkhoảngvớiđầumúta,b( a b t )thì (I) b a ii) Tậphữuhạnhoặcđếmđượclà(L)–đođượcvàcóđộđoLebesguebằng 0 * : 0, (X) : P A A X * (A) 0, A * A X 6 iii) Tập A là(L)–đođượckhivàchỉkhivớimọi 0 tồntạitậpđóng F,tậpmởGsaocho F A G , (G\ F) iv) NếuAlàtập(L)–đođượcthìcáctập ,x A xA cũnglàtập(L)–đo đượcvà (x A) (A) , (xA) (A) x v) ĐộđoLebesguelàđủvà σ –hữuhạn. 1.3.2 Độ đo Lebesgue trên k TrongkhônggianEuclidkchiều k độđomcóthểkhuếchthànhđộđo k trênmột σ -đạisố (C ) C . k k k F Độđo k nàygọilàđộđoLebesguetrên k vàcáctập hợpthuộclớp k gọilàtậpđođược(L)trong . k chínhlà σ -đạisốBoreltrong . k 1.4 Hàm số đo được Định nghĩa 1.9. ChomộtkhônggianX,một σ -đạisố nhữngtậpconcủaX,và mộttập A .Mộthàmsố (x) :Xf gọilàđođượctrêntậpAđốivới σ -đạisố nếu ( ), : (x) aa x A f Khi trên σ -đạisố cómộtđộđoμtanóif(x)đođượcđốivớiđộđoμhayμ –đođược. Trongtrườnghợp , k k X B ( σ -đạisốBoreltrong k )thìtanóif(x)làđo đượctheonghĩaBorel,hayf(x)làmộthàmsốBorel. 1.4.1 Cấu trúc của hàm số đo được Định nghĩa 1.10. ChomộttậpbấtkìAtrongkhônggianX,tagọihàmchỉtiêu củaAlàhàmsố (x) A xácđịnhnhưsau: Định nghĩa 1.11. Mộthàmsốf(x)gọilàhàmđơngiảnnếunóhữuhạn,đođược vàchỉlấymộtsốhữuhạngiátrị.Gọi (i 1,2, n) i làcácgiátrịkhácnhaucủanó vànếu : (x) i i A x f thìcáctập i A đođược,rờinhauvàtacó 1 (x) (x) i n i A i f Ngượclại,nếuf(x)códạngđóvàcáctập i A đođược,rờinhauthìf(x)làmột hàmđơngiản Định lí 1.3. Mỗihàmsốf(x)đođượctrêntậpđođượcAlàgiớihạncủamộtdãy hàmđơngiản (x) n f , (x) lim (x) n n f f (C ) k F 0 (x) 1 A khi x A khi x A [...]... Pu v P (u v ) 2.2.6 như là một sự hoàn chỉnh 1 L xuất hiện trong giải tích hàm như là một bổ sung của một số không gian hàm quan trọng nhưng L1 lại chứa một số không gian con trù mật rất có ý nghĩa. Mệnh đề 2.9 Giả sử ( X , , ) là một không gian đo bất kỳ, và S là không gian các hàm - đơn giản trên X. Khi đó (a) Nếu f là một hàm nhận giá trị thực - khả tích và ... nghĩa 1.26. Một không gian tôpô X gọi là compact nếu mỗi lọc S trên X đều có một lọc mạnh hơn hội tụ. 11 Chương II Các không gian hàm Mục đích chính của chương này là thảo luận về các không gian L1 , L và Lp trong ba mục tương ứng dưới đây. Một điểm thuận lợi là ta coi các không gian đó là các không gian con của một không gian lớn hơn L0 gồm các lớp tương đương của các hàm (hầu như) đo được. ... 2.2 Không gian L là các lớp tương đương của các hàm khả tích. Không gian này mô tả rất nhiều các định lý về các hàm khả tích . Nó cũng có thể xuất hiện như là một không gian tự nhiên mà trong đó có thể tìm ra nhiều lời giải cho một lớp rất lớn các phương trình tích phân, và như là phần bổ sung cho không gian các hàm liên tục. 2.2.1 Không gian Giả sử ( X , , ) là một không gian đo bất kỳ. ... Hiển nhiên định nghĩa này bao hàm định nghĩa về ánh xạ liên tục từ một không gian metric vào một không gian metric khác Định lí 1.12 Một ánh xạ f đi từ không gian tô pô X vào không gian tô pô Y là liên tục khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: (i) (ii) Nghịch ảnh của một tập mở (trong Y) là một tập mở (trong X) Nghịch ảnh của một tập đóng (trong Y) là một tập đóng (trong X) Cho f là một ánh xạ đi từ tập X vào Y. Nếu trên Y cho một tô pô ... Trong nhiều vấn đề quan trọng , người ta thường xét không gian định chuẩn lập thành bởi tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X gọi là không gian đối ngẫu (hay còn gọi là không gian liên hợp) của X, và được kí ký hiệu X*. Dễ thấy X* là một không gian vectơ với các phép toán thông thường. Ngoài ra, với mỗi phần tử f thuộc X*, đặt f sup f (x) thì X* trở thành một không gian x X , x 1 định chuẩn. Hơn nữa X* còn là không gian Banach. ... A B B S Bây giờ cho một tô pô X. Ta nói một lọc S trên X hội tụ tới x nếu mỗi lân cận của x đều bao hàm một tập thuộc S. Một ánh xạ f đi từ một không gian tô pô X vào không gian tô pô Y liên tục tại x khi và chỉ khi với mọi lọc S x ta đều có f (S ) f ( x) Chú ý rằng trong không gian metric, giới hạn của một dãy (nếu có) là duy nhất, còn với tô pô thì không nhất thiết. Muốn đảm bảo tính duy nhất của giới hạn ta ... X có một dãy con xnk hội tụ tới một phần tử x X Nhận xét: a) Tập con hữu hạn A E thỏa mãn (ii) gọi là một - lưới hữu hạn của X b) Dễ chứng minh mọi tập hoàn toàn bị chặn X là bị chặn. Định nghĩa 1.19 Cho X là một không gian vectơ. Một hàm số f(x) xác định trên X và lấy giá trị là số (thực hoặc phức, tùy theo X là không gian thực hoặc phức) gọi là một phiếm hàm trên X. Phiếm hàm đó gọi là tuyến tính nếu: ... hội tụ Định nghĩa 1.12 Trong không gian X bất kì, cho một σ - đại số và một độ đo μ trên Ta nói hai hàm số f(x) và g(x) bằng nhau hầu khắp nơi (h.k.n), viết f (x) g (x) h.k n nếu: (B A) (B) 0 và x A \ B f (x) g(x) Hai hàm số f(x), g(x) bằng nhau thì gọi là tương đương với nhau. Dĩ nhiên, hai hàm số cùng tương đương với một hàm số thứ ba thì chúng cũng tương đương với nhau. ... Giả thiết μ là một độ đo đủ, ta có định lí sau nói về sự liên hệ giữa hội tụ theo độ đo và hội tụ hầu khắp nơi Định lí 1.5 Nếu một dãy f n (x) đo được trên một tập A hội tụ hầu khắp nơi tới một hàm số f(x) thì f(x) đo được và nếu (A) thì f n (x) f (x) 1.5 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.15 Giả sử E là không gian vec tơ trên trường vô hướng K, các số thực hay các số phức Hàm xác định trên E gọi là một chuẩn trên E nếu nó ... các hàm (hầu như) đo được. 2.1 Không gian và Nguyên tắc gần như đầu tiên của lý thuyết độ đo chính là các tập có độ đo không thường được bỏ qua. Tương tự, hai hàm trùng nhau hầu khắp nơi có thể thường (không luôn luôn!) được xem như là đồng nhất với nhau. Ý tưởng của phần này là thành lập không gian gồm các lớp tương đương của các hàm số, và nói rằng hai hàm số là tương đương nếu và chỉ nếu chúng trùng nhau ngoài một tập bỏ qua . các hàm (hầunhư)đođược.Chínhvìvậy,các không gian hàm lầnlượtđượctrìnhbàylà không gian , không gian (không gian các hàm đođượckhảtích), không gian (không gian các hàm bịchặncốtyếu), không gian (không gian các hàm số có lũythừabậcpcủamôđunkhảtíchtrênX).Các không gian nàyđượctrìnhbày một cáchhệthốngtheotừngnộidung:xâydựngkháiniệm,chỉracấutrúcthứtự,xét chuẩntrongnó,xéttínhđốingẫu,chỉra một vài không gian contrùmậtquantrọng, ápdụngvàolíthuyếtxácsuất(xétkìvọngcóđiềukiện)vàcuốicùngluônlàmở rộngcho không gian phức. TrongchươngIII,tácgiảmôtả một số dạnghộitụquantrọngtrongcác không gian L .ĐólàsựhộitụtheođộđotrongL vàhộitụyếutrongL .Ngoàiratrong chươngnày,tácgiảcũngchỉracáctínhchấtổnđịnhtrongphạmvirộngcủalớp cáctậpkhảtíchđềutrongℒ . giớithiệu về các không gian hàm p L . Các không gian p L làcác không gian hàm đượcđịnhnghĩathôngquaviệcsửdụng một chuẩntổngquáthóa một cáchtựnhiêntừchuẩnpcủa không gian véctơhữuhạnchiều(nhiềukhichúng đượcgọilàcác không gian Lebesgue).TheoBourbaki,chúngđượcđưarađầutiên bởiRieszFrigyes(nhàtoánhọcgốcHungary).Các không gian p L lậpnên một lớp quantrọngcủacác không gian Banachtronggiảitích hàm, không gian véctơtôpô, chúngcó. 11 Hiểnnhiênđịnhnghĩanàybao hàm địnhnghĩa về ánhxạliêntụctừ một không gian metricvào một không gian metrickhác. Định lí 1.12. Một ánhxạfđitừ không gian tôpôXvào không gian tôpôYlà liêntụckhivàchỉkhinóthỏamãn một tronghaiđiềukiệnsau: (i)