luận văn thạc sĩ toán về một số không gian hàm thường gặp

Các không gian là các không gian hàm được định nghĩa thông qua việc sử dụng một chuẩn tổng quát hóa một cách tự nhiên từ chuẩn p của không gian véc tơ hữu hạn chiều nhiều khi chúng được

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-VŨ THỊ TUYỂN

VỀ MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM THƯỜNG GẶP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-VŨ THỊ TUYỂN

VỀ MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM THƯỜNG GẶP

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mục lục

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của mình tới thầy giáo: PGS TS Phan Viết Thư, người đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn và đóng góp nhiều ý kiến quý báu Tác giả cũng xin chân thành cảm

ơn tập thể các thầy cô giáo, các nhà khoa học của trường Đại học Khoa học Tự nhiên –

ĐHQG Hà Nội, xin cảm ơn bạn bè đồng nghiệp, cảm ơn gia đình đã giúp đỡ, động viên

và tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này

Trong quá trình hoàn thành luận văn, mặc dù dưới sự chỉ đạo ân cần chu đáo của các thầy cô giáo và bản thân cũng hết sức cố gắng, song không tránh khỏi những hạn chế,thiếu sót Vì vậy, tác giả rất mong nhận được sự góp ý, giúp đỡ của các thầy cô, các bạn

để bản luận văn này được hoàn chỉnh hơn Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội ngày 20 tháng 10 năm 2014

Học viên

Vũ Thị Tuyển

LỜI NÓI ĐẦU

Bản luận văn giới thiệu về các không gian hàm Các không gian là các không gian hàm được định nghĩa thông qua việc sử dụng một chuẩn tổng quát hóa một cách tự nhiên từ chuẩn p của không gian véc tơ hữu hạn chiều (nhiều khi chúng được gọi là các không gian Lebesgue) Theo Bourbaki, chúng được đưa ra đầu tiên bởi Riesz Frigyes (nhà toán học gốc Hungary) Các không gian lập nên một lớp quan trọng của các không gian Banach trong giải tích hàm, không gian véc tơ tô pô, chúng có ứng dụng quantrọng trong vật lí, xác suất thống kê, toán tài chính, kỹ thuật và nhiều lĩnh vực khác

được mô tả chi tiết Với mong muốn trình bày các ý tưởng chung cũng như đi sâu nghiên cứu về các không gian , nhằm giúp cho việc sử dụng các không gian này một cách có hệ thống và thuận tiện, tác giả đã chọn đề tài luận văn của mình là:

“Về một số không gian hàm thường gặp”.

Luận văn được chia thành 3 chương:

Chương I: Các kiến thức cơ sở

Chương II: Các không gian hàm

Chương III: Một số dạng hội tụ quan trọng và khả tích đều

Trong chương I, tác giả nêu các khái niệm và các định lí cơ bản của giải tích hàm Đó

là khái niệm về không gian metric, không gian đo với khái niệm về độ đo, hàm đo được cùng với các tính chất hội tụ và khả tích, khái niệm về không gian định chuẩn, các khái niệm trong không gian tô pô Đây là những kiến thức cơ sở sẽ được sử dụng trong

chương II và chương III của luận văn này

Mục đích chính của chương II là thảo luận về các không gian hàm và các tính chất Điều đặc biệt là ta coi các không gian đó là không gian con của một không gian lớn hơn gồm các lớp tương đương của các hàm (hầu như) đo được Chính vì vậy, các không gian hàm lần lượt được trình bày là không gian , không gian (không gian các hàm đo được khả tích), không gian (không gian các hàm bị chặn cốt yếu), không gian (không gian các hàm số có lũy thừa bậc p của mô đun khả tích trên X) Các không gian này được trình bày một cách hệ thống theo từng nội dung: xây dựng khái niệm, chỉ ra cấutrúc thứ tự, xét chuẩn trong nó, xét tính đối ngẫu, chỉ ra một vài không gian con trù mật quan trọng, áp dụng vào lí thuyết xác suất (xét kì vọng có điều kiện) và cuối cùng luôn là

mở rộng cho không gian phức

Trong chương III, tác giả mô tả một số dạng hội tụ quan trọng trong các không gian Đó là sự hội tụ theo độ đo trong và hội tụ yếu trong Ngoài ra trong chương này, tác giả cũng chỉ ra các tính chất ổn định trong phạm vi rộng của lớp các tập khả tích đều trong hay

Do thời gian có hạn cũng như việc nắm bắt kiến thức còn hạn chế nên trong khóa luậnkhông tránh khỏi những thiếu sót Rất mong được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và

sự góp ý chân thành của các bạn đọc

Hà Nội ngày 10 tháng 11 năm 2014

Học viên

Vũ Thị Tuyển

Chương I Các kiến thức cơ sở

1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1 Giả sử X là một tập khác rỗng, một metric trong X là một ánh xạ

các số thực, thỏa mãn các điều kiện:

Định nghĩa 1.3 Giả sử E là một tập con của X Tập hợp tất cả các điểm dính của E,

được gọi là bao đóng của tập hợp E, kí hiệu E

Định nghĩa 1.4 Giả sử E là một tập con của X Tập E gọi là:

i) Tập đóng nếu tập E chứa tất cả các điểm tụ của nó

ii) Tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong

Tập hợp tất cả các điểm trong của E gọi là phần trong của E, kí hiệu int E

iii) Tập hợp E được gọi là trù mật trên tập hợp A nếu như bao đóng của E chứa A.Đặc biệt, nếu tập E trù mật trong không gian X thì E gọi là trù mật khắp nơi trong X

1.2 Không gian đo và Độ đo

Định nghĩa 1.5.

1) Cho tập rỗng, một họ các tập con của X được gọi là một σ - đại số nếu nó thỏa

mãn các điều kiện sau:

i và nếu thì trong đó

ii Hợp của đếm được các tập thuộc cũng thuộc

2) Nếu là σ - đại số các tập con của X thì cặp gọi là một không gian đo được (đo được với hoặc - đo được)

Định nghĩa 1.6 Cho một không gian đo được

1)Một ánh xạ được gọi là một độ đo nếu:

i)

ii) có tính chất σ – cộng tính, hiểu theo nghĩa:

2)Nếu là một độ đo xác định trên thì bộ ba gọi là một không gian đo

Định nghĩa 1.7 Cho là một không gian đo Khi đó

a) là độ đo đủ, hay là không gian đo đủ (Carathéodory) nếu với mọi

và thì nghĩa là mọi tập con bỏ qua được của X là đo được

b) là không gian xác suất nếu Trong trường hợp này, gọi là một xác suất hay độ đo xác suất

c) là độ đo hoàn toàn hữu hạn, hay gọi là không gian đo hoàn toàn hữu hạn nếu

d) là độ đo - hữu hạn, hay gọi là không gian đo - hữu hạn nếu tồn

,

e) là độ đo nửa hữu hạn, hay là một không gian đo nửa hữu hạn nếu với mọi và thì tồn tại thỏa mãn và

f) là độ đo khả địa phương hóa, hay là một không gian đo khả địa

phương hóa nếu nó là nửa hữu hạn và với mọi , tồn tại một thỏa mãn:

(i) là bỏ qua được với mọi

(ii) Nếu và là bỏ qua được với mọi thì là bỏ qua

được

Sẽ thuận tiện hơn nếu ta gọi tập H như trên là essential suppremum của trên

g)Một tập gọi là một nguyên tử đối với hay - nguyên tử nếu

và với mỗi tập F thỏa mãn , thì là bỏ qua được

Định nghĩa 1.8 Một ánh xạ µ*:Σ →[ ]0,∞ xác định trên P(X)={A A: ⊂ X} được gọi

là một độ đo ngoài nếu thỏa mãn các điều kiện

trên Độ đo gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài Tập A thỏa mãn điều kiện (*) gọi là tập - đo được

Định lí 1.2 (thác triển độ đo) Giả sử m là một độ đo trên đại số Với mỗi A⊂ X , ta đặt

thì là một độ trên X và đồng thời mọi tập thuộcσ - đại số đều đo được

1.3 Độ đo Lebesgue

1.3.1 Độ đo Lebesgue trên

Tồn tại một σ - đại số các tập con của mà mỗi gọi là một tập đo được

theo Lebesgue (hay (L) – đo được) và một độ đo xác định trên (gọi là độ đo

Lebesgue trên ) thỏa mãn các tính chất sau:

i) Các khoảng (hiểu theo nghĩa rộng), tập mở, tập đóng … là (L) – đo được Nếu

I là khoảng với đầu mút a, b ( ) thì

ii) Tập hữu hạn hoặc đếm được là (L) – đo được và có độ đo Lebesgue bằng 0

iii) Tập là (L) – đo được khi và chỉ khi với mọi tồn tại tập đóng F, tập

mở G sao cho ,

iv) Nếu A là tập (L) – đo được thì các tập cũng là tập (L) – đo được và

,

v) Độ đo Lebesgue là đủ và σ – hữu hạn.

1.3.2 Độ đo Lebesgue trên

Trong không gian Euclid k chiều độ đo m có thể khuếch thành độ đo trên một

σ - đại số Độ đo này gọi là độ đo Lebesgue trên và các tập

hợp thuộc lớp gọi là tập đo được (L) trong (C )F k chính là σ - đại số Borel

trong

1.4 Hàm số đo được

Định nghĩa 1.9 Cho một không gian X, một σ - đại số những tập con của X, và một

tập Một hàm số gọi là đo được trên tập A đối với σ - đại số nếu

Khi trên σ - đại số có một độ đo μ ta nói f(x) đo được đối với độ đo μ hay μ

– đo được

Trong trường hợp (σ - đại số Borel trong ) thì ta nói f(x) là đo được theo nghĩa Borel, hay f(x) là một hàm số Borel.

1.4.1 Cấu trúc của hàm số đo được

Định nghĩa 1.10 Cho một tập bất kì A trong không gian X, ta gọi hàm chỉ tiêu của A là

hàm số xác định như sau:

0(x)

1

A

khi x A khi x A



Định nghĩa 1.11 Một hàm số f(x) gọi là hàm đơn giản nếu nó hữu hạn, đo được và chỉ

lấy một số hữu hạn giá trị Gọi là các giá trị khác nhau của nó và nếu

thì các tập đo được, rời nhau và ta có

Ngược lại, nếu f(x) có dạng đó và các tập đo được, rời nhau thì f(x) là một

hàm đơn giản

Định lí 1.3 Mỗi hàm số f(x) đo được trên tập đo được A là giới hạn của một dãy hàm

đơn giản ,

Nếu thì có thể chọn các sao cho (x) 0f n ≥ và f n+1(x)≥ f n(x) với mọi n và ∀ ∈x A

Hai hàm số f(x), g(x) bằng nhau thì gọi là tương đương với nhau Dĩ nhiên, hai

hàm số cùng tương đương với một hàm số thứ ba thì chúng cũng tương đương với nhau

Định lí 1.4 Nếu μ là một độ đo đủ thì mọi hàm số g(x) tương đương với một hàm số đo được f(x) cũng đều đo được.

Định nghĩa 1.13 Dãy hàm gọi là hôi tụ hầu khắp nơi về hàm số f(x) trên A∈Σ nếu

tồn tại B⊂ A B, ∈ Σ, (B) 0µ = sao cho lim (x)n f n f(x)

→∞ =

với mọi ∀ ∈x A B\

Định nghĩa 1.14 Cho những hàm số và f(x) đo được trên một tập A

Ta nói dãy hội tụ theo độ đo μ tới f(x) và viết nếu

Giả thiết μ là một độ đo đủ, ta có định lí sau nói về sự liên hệ giữa hội tụ theo độ đo

và hội tụ hầu khắp nơi

Định lí 1.5 Nếu một dãy đo được trên một tập A hội tụ hầu khắp nơi tới một hàm

số f(x) thì f(x) đo được và nếu thì

1.5 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.15 Giả sử E là không gian vec tơ trên trường vô hướng K, các số thực

hay các số phức Hàm xác định trên E gọi là một chuẩn trên E nếu nó thỏa mãn cácđiều kiện sau:

Chú ý: Ta kí hiệu thay cho và gọi là chuẩn của véc tơ x

Nếu không gian metric này là đầy đủ thì E gọi là không gian Banach

Ví dụ: Không gian các hàm liên tục trên đoạn hữu hạn , kí hiệu là một

không gian Banach vì nó là đầy đủ đối với chuẩn:

Định lí 1.6 (Hausdorff) Tập con X trong không gian Banach E là compact nếu và chỉ

nếu X là đóng và hoàn toàn bị chặn.

Định nghĩa 1.17 Không gian định chuẩn E gọi là khả ly nếu E có một tập con đếm được

trù mật trong E, nghĩa là tồn tại một dãy sao cho với mọi tồn tại một dãy con

Định nghĩa 1.18 Cho X là tập con của không gian định chuẩn E, ta nói X là:

i) Tập bị chặn nếu

ii) Hoàn toàn bị chặn nếu với mọi tồn tại tập hữu hạn sao cho:

iii) Com pắc nếu mọi dãy có một dãy con hội tụ tới một phần tử

Nhận xét: a) Tập con hữu hạn thỏa mãn (ii) gọi là một - lưới hữu hạn của X

b) Dễ chứng minh mọi tập hoàn toàn bị chặn X là bị chặn.

Định nghĩa 1.19 Cho X là một không gian vectơ Một hàm số f(x) xác định trên X và

lấy giá trị là số (thực hoặc phức, tùy theo X là không gian thực hoặc phức) gọi là một phiếm hàm trên X Phiếm hàm đó gọi là tuyến tính nếu:

ii) với mọi và mọi số

Giả sử X là một không gian định chuẩn, khi ấy, một phiếm hàm tuyến tính f gọi là bị

Dễ thấy X* là một không gian vectơ với các phép toán thông thường Ngoài ra, với

mỗi phần tử f thuộc X*, đặt thì X* trở thành một không gian định

Định nghĩa 1.20 Cho là một không gian đo và là một phiếm hàm cộng tính hữu hạn

a) được gọi là liên tục tuyệt đối đối với (thường viết ) nếu , tồn tại thỏa mãn với mọi và

b) được gọi là thực sự liên tục đối với nếu , tồn tại , thỏa mãn

là hữu hạn và với

1.6 Tích phân Lebesgue

Định nghĩa 1.21 Cho A là tập đo được, f : A→ −∞ ∞[ , ] là hàm đơn giản, đo được

trên A Gọi f f f1, , , ,2 3 f là các giá trị khác nhau đôi một của f(x) Đặt n

A

=

= ∪

và

Khi đó tích phân của hàm đơn giản f(x) trên A với độ đo là số

Định lí 1.7 Cho A là tập đo được Lebesgue, hàm là hàm đo được Khi

đó, tồn tại dãy đơn điệu tăng các hàm đơn giản đo được hội tụ h.k.n về f(x)

trên A

Định nghĩa 1.22 Tích phân của hàm f(x) không âm trên A đối với độ đo là:

Định nghĩa 1.23 Cho A là tập đo được Lebesgue, hàm là hàm đo được trên

A Khi đó ta có:

với

Các hàm số có tích phân tương ứng trên A là ,

Nếu hiệu có nghĩa thì tích phân của f(x) trên A là :

Các định lí sau cho ta các điều kiện qua giới hạn dưới dấu tích phân (đối với tích

phân Lebesgue)

Định lí 1.8 (định lí hội tụ đơn điệu Beppo Levi) Nếu và đơn điệu tăng đến f(x) trên A thì

Định lí 1.9 (định lí Dini) Nếu là dãy hàm liên tục, đơn điệu, hội tụ điểm đến một

hàm f(x) liên tục trên thì hội tụ đều đến f(x).

Định lí 1.10 (Bổ đề Fatou) Nếu thì

Định lí 1.11 (định lí hội tụ bị chặn Lebesgue) Nếu , g(x) khả tích và

( hội tụ h.k.n) hay hội tụ theo độ đo trên A thì

1.7 Không gian tô pô

i) Hai tập đều thuộc

ii) kín đối với phép giao hữu hạn, nghĩa là giao của một số hữu hạn tập thuộc

Định nghĩa 1.25 Cho X, Y là hai không gian tô pô Một ánh xạ f đi từ X vào Y gọi là

liên tục tại nếu với mọi lân cận của điểm đều có một lân cận của điểm sao cho , nghĩa là Ánh xạ f gọi là liên tục

nếu nó liên tục tại mọi

Hiển nhiên định nghĩa này bao hàm định nghĩa về ánh xạ liên tục từ một không gian metric vào một không gian metric khác

Định lí 1.12 Một ánh xạ f đi từ không gian tô pô X vào không gian tô pô Y là liên tục

khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:

(i) Nghịch ảnh của một tập mở (trong Y) là một tập mở (trong X)

(ii) Nghịch ảnh của một tập đóng (trong Y) là một tập đóng (trong X)

Cho f là một ánh xạ đi từ tập X vào Y Nếu trên Y cho một tô pô thì do toán tử

bảo toàn các phép toán tập nên sẽ là một tô pô trên X Nếu X vốn đã có sẵn một

tô pô thì định lí 1.12 cho biết rằng f là ánh xạ liên tục khi và chỉ khi

nghĩa là khi nghịch ảnh của tô pô trên Y (tức ) yếu hơn tô pô trên Cũng

từ đó ta thấy, nếu trên Y có một tô pô mà trên X chưa có tô pô thì có thể biến X thành

không gian tô pô bằng cách gán cho nó tô pô đó là tô pô yếu nhất đảm bảo cho

sự lien tục của ánh xạ f.

Sự hội tụ của dãy điểm trong tô pô được định nghĩa tương tự như trong không gian metric Tuy nhiên, ở đây cần đưa vào một khái niệm rộng hơn khái niệm dãy hội tụ.

Một họ S những tập con không rỗng của một tập X gọi là một lọc trên X nếu:

(i)

(ii)

Bây giờ cho một tô pô X Ta nói một lọc S trên X hội tụ tới x nếu mỗi lân cận của x đều bao hàm một tập thuộc S Một ánh xạ f đi từ một không gian tô pô X vào không gian tô pô Y liên tục tại x khi và chỉ khi với mọi lọc ta đều có

Chú ý rằng trong không gian metric, giới hạn của một dãy (nếu có) là duy nhất, còn với tô pô thì không nhất thiết Muốn đảm bảo tính duy nhất của giới hạn ta xét các không gian tô pô đặc biệt, thỏa mãn tiên đề tách sau đây: Với mọi cặp điểm

đều có hai lân cận của sao cho Một không gian tôpô thỏa mãn điều kiện đó gọi là không gian Housdorff (không gian tách), tô pô của nó gọi là tô pô Housdoff (tô pô tách)

Định lí 1.13 Trong không gian tô pô Housdorff , một lọc chỉ có thể hội tụ tới nhiều nhất

một điểm

Định nghĩa 1.26 Một không gian tôpô X gọi là compact nếu mỗi lọc S trên X đều có

một lọc mạnh hơn hội tụ

Chương II Các không gian hàm

Mục đích chính của chương này là thảo luận về các không gian , và trong ba mục tương ứng dưới đây Một điểm thuận lợi là ta coi các không gian đó là các không gian con của một không gian lớn hơn gồm các lớp tương đương của các hàm (hầu như) đo được

2.1 Không gian và

Nguyên tắc gần như đầu tiên của lý thuyết độ đo chính là các tập có độ đo không thường được bỏ qua Tương tự, hai hàm trùng nhau hầu khắp nơi có thể thường (không luôn luôn!) được xem như là đồng nhất với nhau Ý tưởng của phần này là thành lập không gian gồm các lớp tương đương của các hàm số, và nói rằng hai hàm số là tương đương nếu và chỉ nếu chúng trùng nhau ngoài một tập bỏ qua được

2.1.1 Không gian

Định nghĩa 2.1 Giả sử là một không gian đo bất kỳ Ta viết , hay , là không gian của các hàm nhận giá trị thực xác định trên phần bù của các tập con bỏ qua được của , Nghĩa là:

Nếu , là tập - không thì hạn chế của f trên E, kí hiệu là - đo được ( đo được đối với - đại số bổ sung theo )

2.1.2 Tính chất cơ bản

Nếu là một không gian đo bất kỳ, khi đó chúng ta có những điều sau đây, tương ứng với những tính chất cơ bản của hàm đo đươc

(a) Một hàm hằng nhận giá trị thực xác định hầu khắp nơi trong thuộc vào

(b) với mọi (nếu và , thì là đo được)

(c) với mọi

(d) với mọi

(e) Nếu và là Borel đo được, thì

(f) Nếu là một dãy trong và được xác định (như là một hàm nhận giá trị thực) hầu khắp nơi trong , thì

(g) Nếu là một dãy trong và được xác định (như là một hàm nhận giá trị thực) hầu khắp nơi trong , thì

(h) Nếu là một dãy trong và được xác định (như là một hàm nhận giá trị thực) hầu khắp nơi trong , thì

(i) Nếu là một dãy trong và được xác định (như là một hàm nhậngiá trị thực) hầu khắp nơi trong , thì

(j) Nếu là một dãy trong và được xác định (như là một hàm nhận giá trị thực) hầu khắp nơi trong , thì

(k) thực chất là tập các hàm nhận giá trị thực, xác định trên các tập con của bằng nhau hầu khắp nơi đối với một hàm - đo được từ vào nào đó

2.1.3 Không gian

Định nghĩa 2.2 Giả sử là một không gian đo bất kỳ Khi đó “ “ là một quan hệ tương đương trên Viết , hoặc là , là tập các lớp tương đương trong dưới quan hệ “ “ Với viết là lớp tương đương trong

2.1.4 Cấu trúc tuyến tính của

Giả sử là không gian đo bất kỳ, và đặt ,

chúng ta có thể định nghĩa phép cộng trong bởi cách đặt với tất cả

(b) Nếu và thì với mọi Tương tự chúng ta có thểđịnh nghĩa phép nhân vô hướng trên bởi cách đặt với tất cả

(c) là một không gian tuyến tính trên , với phần tử không ở đây là hàm có tập xác định là và nhận giá trị , và phần tử đối

Thật vậy

(ii) với mọi ,

vì vậy với mọi

(iii) với mọi

vì vậy với mọi

vì vậy với mọi

(v) với tất cả và

(vi) với tất cả

vì vậy với tất cả

(vii) với tất cả vì vậy với tất cả

(viii) với tất cả vì vậy với tất cả

2.1.5 Cấu trúc thứ tự của

Giả sử là không gian đo bất kỳ và đặt

ta có thể xác định một quan hệ trên bằng cách nói rằng nếu và chỉ nếu

(b) là một thứ tự một phần trên Thật vậy, nếu và và , thì Tương tự với và Mặt khác, nếu thì

do với mọi Cuối cùng, nếu và và thì

vì vậy nếu và thì

(c) với là một không gian tuyến tính thứ tự một phần, nghĩa là, một không gian tuyến tính với một thứ tự thỏa mãn:

(i) nếu thì với mọi

(ii) nếu thì với mọi

Thật vậy, nếu và thì Nếu và

thì với mọi

(d) là một không gian Riesz hay dàn véctơ, nghĩa là, một không gian tuyến tính thứ tự

một phần thỏa mãn được xác định với tất cả

Chứng minh:

Lấy sao cho Khi đó , ta viết

(domf là miền xác định của hàm số f)

tất cả các hàm này đều xác định trên Tương tự trong đặt các toán tử

(c) Một không gian Riesz là Dedekind đủ (hay thứ tự đủ, hay đủ) nếu với mọi tập khác rỗng bị chặn trên trong đều có ít nhất một cận trên nhỏ nhất ở trong

Định lý 2.1 Giả sử là một không gian đo Đặt

(a) là Ác-si-mét và Dedekind -đủ

(b) Nếu là nửa-hữu hạn, thì là Dedekind đủ nếu và chỉ nếu là khả địa phương hóa

Chứng minh:

Đặt

(a) (i) Nếu và , viết như là và như là trong đó Khi

đó là không bỏ qua được Khi đó tồn tại sao cho

là không bỏ qua được, vì Mặtkhác Vì và là tùy ý nên là Ác-si-mét

(ii) Giả sử là một tập khác rỗng đếm được có một cận trên trong Viết như là trong đó là một dãy trong và như là trong đó Đặt Khi đó ta có xác định trên tại điểm bất kỳ

sao cho với mọi nghĩa là, với hầu hết ; vì vậy Đặt Nếu , lấy trong đó khi đó

với mọi với mỗi với hầu hết với mỗi

Do vậy trong Vì A là bất kỳ, là Dedekind -đủ

(b) (i) Giả sử rằng là địa phương hóa

là một tập khác rỗng bất kỳ có cận trên Đặt

là một hàm đo được từ X vào ,

khi đó mọi phần tử của có dạng với nào đó Với mỗi là họ các tập

con của X có thể biểu diễn dưới dạng với nào đó; khi đó

Do là địa phương hóa nên có một tập là một cận trên đúng chủ yếu cho Với đặt

chấp nhận là cận trên đúng của một tập bị chặn trên, và là Khi đó

với mỗi Nếu , thì Thật vậy với mỗi đặt

thì là bỏ qua được Đặt Nếu , thì

suy ra và do vậy

Nếu là đo được và với mỗi thì Đặt

với mỗi Nếu , có một sao cho bây giờ , vì vậy là bỏ qua được Vì là một cận trên đúng cốt yếu của nên là bỏ qua được với mỗi Dẫn đến

là bỏ qua được, và

Chú ý rằng chúng ta đang giả sử A khác rỗng và A có một cận trên Lấy

, vì vậy , và phải hữu hạn hầu khắp nơi Đặt khi

ta có và vì vậy

Trong đó là các hàm đo được từ và là một cận trên của ; nghĩa

là,

với và là một cận trên của

Điều này có nghĩa là là cận trên nhỏ nhất của trong Do là bất kỳ, nên là Dedekind đủ

(ii) Giả sử rằng là Dedekind đủ, là nửa-hữu hạn, là một tập con tùy ý của Đặt

Khi đó bị chặn trên bởi vì vậy có một cận trên bé nhất Biểu diễn như là trong đó là đo được, và đặt Khi đó là một cận trên đúng cốt yếu của trong Thật vậy,

Nếu thì vì vậy , nghĩa là, với hầu hết và

2.1.7 Cấu trúc nhân của

Giả sử là một không gian đo bất kỳ,

nghĩa phép nhân trong bằng cách đặt với tất cả

(b) Với mọi và dễ dàng kiểm tra

trong đó là hàm hằng nhận giá trị 1,

nếu và chỉ nếu

nếu và chỉ nếu có một sao cho và

2.1.8 Hoạt động của các hàm Borel trên

Giả sử là một không gian đo và là một hàm Borel đo được Khi

đó với mọi và nếu Vì vậy, ta có một hàm

được xác định bằng cách đặt với mỗi

Ví dụ, nếu và , ta xét trong đó với

2.1.9 Không gian phức

Giả sử là một không gian đo

(a) Viết cho không gian của các hàm nhận giá trị phức f thỏa mãn là

một tập con có phần bù bỏ qua được của X và có một tập con có phần bù bỏ qua được

thỏa mãn là đo được; nghĩa là, Im f và Re f cùng thuộc Tiếp theo,

sẽ là không gian gồm các lớp tương đương trong dưới quan hệ tương đương “ “

(b) Tương tự 2.1.4, dễ dàng mô tả phép cộng và phép nhân vô hướng trong Cùng với

hai phép toán đó, là một không gian tuyến tính trên Chúng không có cấu trúc thứ

tự, nhưng chúng ta có thể xác định một `phần thực', là

là thực hầu khắp nơi},hiển nhiên xác định được không gian tuyến tính thực , và các ánh xạ tương ứng

, sao cho với mỗi u, Re(u)là phần thực của u, Im(u) là phần ảo của u.

Hơn nữa, chúng ta có một ký hiệu của `trị tuyệt đối', viết là

Thật vậy, nếu , thì vì là một cận trên của

Hơn nữa, nếu và với , ta biểu diễn u, v là

trong đó và là đo được Với mỗi đặt

Khi đó Tương tự với mỗi là

có phần bù bỏ qua được Dĩ nhiên do đó và

Vì v bất kỳ, là cận trên nhỏ nhất của

2.2 Không gian

là các lớp tương đương của các hàm khả tích Không gian này mô tả rất nhiều các định lý về các hàm khả tích Nó cũng có thể xuất hiện như là một không gian tự nhiên

mà trong đó có thể tìm ra nhiều lời giải cho một lớp rất lớn các phương trình tích phân,

và như là phần bổ sung cho không gian các hàm liên tục

2.2.1 Không gian

Giả sử là một không gian đo bất kỳ

(a) Giả sử là tập các hàm nhận giá trị thực, xác định trên các tập con của X, khả tích trên X Khi đó , như đã định nghĩa trong 2.1.1, và với , chúng ta có nếu và chỉ nếu có một sao cho ; nếu ,

và , thì

(b) Định nghĩa 2.4 là tập gồm các lớp tương đương của các phần tử của Nếu và thì Tương tự chúng ta có thể xác định một hàm trên bằng cách viết với mỗi

(c) Ta viết với (xác định bằng cách viết với mỗi ) Thật vậy, ta chỉ cần kiểm tra rằng nếu thì ; và điều này là do

hầu khắp nơi trên □

Nếu thì do với mỗi hàm khả tích f

(d) Nếu thì tồn tại một hàm - đo được, - khả tích sao cho

Vì như đã chú ý trong 2.1.2, có một hàm đo được sao cho ; nhưng tất

nhiên f là khả tích bởi vì nó bằng nhau hầu khắp nơi với một hàm khả tích nào đó

Định lý 2.2 Giả sử là không gian đo bất kỳ Khi đó là một không gian con tuyến tính của và là một hàm tuyến tính

khi đó f + g và c f là khả tích, vì vậy và thuộc vào Ngoài ra

và

2.2.2 Cấu trúc thứ tự của

Giả sử là một không gian đo bất kỳ

(a) có một cấu trúc thứ tự được suy ra từ (2.1.5); nghĩa là,

nếu và chỉ nếu hầu khắp nơi Là một không gian con tuyến tính của , phải là một không gian tuyến tính sắp thứ tự một phần (hai điều kiện của 2.1.5c là hiển nhiên theo tính chất của không gian con tuyến tính)

Chú ý rằng nếu và thì , bởi vì nếu là các hàm khả tích và

thì

(b) Nếu và thì Thật vậy, giả sử

sao cho , ; thì g là khả tích và , vì vậy f khả tích

và

(c) Đặc biệt, với , và

bởi vì

(d) Do với mỗi

thuộc vào với tất cả Nhưng nếu chắc chắn là chúng ta có

bởi vì điều này đúng với mọi , và

vì , trong Do vậy là một không gian Riesz

(e) Chú ý rằng nếu , thì nếu và chỉ nếu với mỗi ; điều này là bởi

vì nếu f là một hàm khả tích trên X và với mỗi thì Tổng quát hơn, nếu và với mỗi , thì Cuối cùng nếu và

với mỗi , thì

(f) Nếu trong , có một hàm không âm sao cho

2.2.3 Chuẩn của

Giả sử là một không gian đo bất kỳ

vậy với mỗi Khi đó là một chuẩn trên Thật vậy,

(i) Nếu thì , bởi 241Es, vì vậy

(ii) Nếu và thì

(iii) Nếu và , biểu diễn là , trong đó ; thì Bởi vì

là không âm, nó phải bằng 0 hầu khắp nơi, vì vậy và trong

(b) Do vậy cùng với chuẩn , là một không gian định chuẩn và là một toán tử tuyến tính, nhận thấy rằng bởi vì

với mỗi

(c) Nếu và , thì

Đặc biệt với mỗi

(d) là không gian Riesz định chuẩn thỏa mãn:

Nếu và , thì

(e) Tập đóng trong

Thật vậy, nếu thì ; điều này là do nếu và

, với f(x) và g(x) xác định và hầu khắp nơi,

vì vậy

Điều này có nghĩa là nếu và , quả cầu không giao với trong đó bởi vì Do vậy là mở và là đóng.□

Để có kết quả tiếp theo, chúng ta cần một biến thể của Định lý Levi

Bổ đề 2.3 Giả sử là một không gian đo và là một dãy của các hàm nhận giá trị thực khả tích thỏa mãn Khi đó là khả tích và

Trong trường hợp này, tất nhiên là,

(b) Trong trường hợp tổng quát, đặt ,

khi đó và là các hàm không âm khả tích, và

Vì là khả tích, và Đặt với mỗi n; khi đó , vì vậy

với mỗi n Do vậy Do là túy ý nên là đầy đủ

Định nghĩa 2.5 Một dàn Banach là một không gian Riesz U cùng với một chuẩn ||.||

trên U thỏa mãn:

(i) khi mà và , viết thay cho ,

(ii) U là đầy đủ đối với chuẩn || || Theo tính chất của chuẩn trong và theo định lí 2.2.3

ta có không gian Riesz định chuẩn là một dàn Banach

2.2.4 là một không gian Riesz

Ta xét không gian tuyến tính có thứ tự theo cách đã sử dụng trong 2.1.5 – 2.1.7 cho

Định lý 2.5 Giả sử là một không gian đo bất kỳ Khi đó là

Dedekind đủ

Chứng minh:

(a) Giả sử là một tập khác rỗng và bị chặn trên trong Đặt

Khi đó , A' có cùng các cận trên như A và với tất cả Lấy

là một cận trên bất kỳ của A và A', chúng ta có với mọi , vì vậy

được xác định trên Với mỗi n, chọn sao cho Bởi vì

là Dedekind -đủ , được xác định trên , và trong

Do vậy

trong

Nhưng , vì vậy và

(b) Mấu chốt ở đây là là một cận trên của A

Thật vậy, nếu , thì với mỗi n, vì vậy

(bởi vì , vì vậy )

với mỗi n; vì vậy Nhưng điều này có nghĩa là , tức là

Vì u tùy ý nên là một cận trên của A.□

(c) Mặt khác, một cận trên bất kỳ của A chắc chắn là cận trên của , vì vậy nó lớn hơn hoặc bằng Bởi vậy trong Do tùy ý nên là Dedekind đủ

Chú ý rằng thứ tự-đủ của không giống như của , nó không phụ thuộc vào bất

kỳ tính chất đặc biệt của không gian đo

2.2.4.2 Định lý Radon- Nikodým

Định lý 2.6 (Radon-Nikodým) Giả sử là một không gian đo bất kỳ Khi đó có một song ánh chuẩn tắc giữa và tập các hàm cộng tính thực sự liên tục

, được cho bởi công thức với

Nhận xét: Cần nhắc lại rằng nếu là - hữu hạn, thì các phiếm hàm cộng tính thực sự

liên tục là các phiếm hàm liên tục tuyệt đối cộng tính đếm được; và nếu là hoàn toàn hữu hạn, thì tất cả các hàm liên tục tuyệt đối (hữu hạn) cộng tính là thực sự liên tục

Chứng minh: Với đặt Nếu , có một hàm khả tích f sao

cho , trong trường hợp này

là cộng tính và thực sự liên tục

Nếu là cộng tính và thực sự liên tục, thì có một hàm khả tích f sao cho

với mỗi ; đặt trong , Cuối cùng, nếu là hai phần tử

phân biệt của , có một sao cho , vì vậy ; bởi vậy là đơn ánh cũng như là toàn ánh

2.2.5 Nhắc lại về kỳ vọng có điều kiện

(a) Giả sử là một không gian đo, và là một - đại số con của Khi đó

là một không gian đo, và ; hơn nữa, nếu , thìhầu khắp nơi Thật vậy, có các tập , - không bỏ qua được sao cho và là T - đo được; đặt

Tương tự, ta có một ánh xạ chuẩn tắc xác định bởi là lớp

tương đương của f trong nếu là lớp tương đương của hàm f trong

Dễ dàng kiểm tra, S là tuyến tính, đơn ánh và bảo toàn thứ tự và ,

Điều này có nghĩa là là một song ánh

(c) Bây giờ giả sử rằng , do vậy là một không gian xác suất Nhắc lại

rằng g là một kỳ vọng có điều kiện của f trên T nếu g là - khả tích và với mỗi ; và mọi hàm - khả tích đều có một kỳ vọng có điều kiện như vậy Nếu g

là một kỳ vọng có điều kiện của f và - hầu khắp nơi thì g là một kỳ vọng có

điều kiện của , bởi vì với mỗi F; và dễ thấy rằng nếu là các kỳ vọng

có điều kiện của f trên T thì - hầu khắp nơi

(d) Từ đó suy ra rằng có một toán tử xác định bằng cách đặt

với là một kỳ vọng có điều kiện của trên T; nghĩa là

với , Nếu chúng ta đồng nhất với các tập các

hàm cộng tính liên tục tuyệt đối xác định trên và thì P tương ứng với toán tử

(e) Bởi vì được xác định duy nhất trong yêu cầu với mỗi

(2.2.3e), chúng ta thấy rằng P phải là tuyến tính

Thật vậy, nếu và , thì

với mỗi

Hơn nữa, nếu , thì với mỗi , vì vậy

Từ đó suy ra P bảo toàn thứ tự, nghĩa là, nếu Do đó

với mỗi , bởi vì và

(f) Chúng ta có thể coi là kỳ vọng có điều kiện của trên ; P gọi là toán tử kỳ vọng có điều kiện

(g) Nếu , thì chúng ta có một sự tương ứng , như trong (b); khi đó