luận văn thạc sĩ toán về một số không gian hàm thường gặp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - VŨ THỊ TUYỂN VỀ MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM THƯỜNG GẶP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - VŨ THỊ TUYỂN VỀ MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM THƯỜNG GẶP Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Phan Viết Thư Hà Nội 2014 Mục lục LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo: PGS TS Phan Viết Thư, người tận tình giúp đỡ, hướng dẫn đóng góp nhiều ý kiến quý báu Tác giả xin chân thành cảm ơn tập thể thầy cô giáo, nhà khoa học trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQG Hà Nội, xin cảm ơn bạn bè đồng nghiệp, cảm ơn gia đình giúp đỡ, động viên tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn Trong trình hoàn thành luận văn, đạo ân cần chu đáo thầy cô giáo thân cố gắng, song không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Vì vậy, tác giả mong nhận góp ý, giúp đỡ thầy cô, bạn để luận văn hoàn chỉnh Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội ngày 20 tháng 10 năm 2014 Học viên Vũ Thị Tuyển LỜI NÓI ĐẦU Bản luận văn giới thiệu không gian hàm Các không gian không gian hàm định nghĩa thông qua việc sử dụng chuẩn tổng quát hóa cách tự nhiên từ chuẩn p không gian véc tơ hữu hạn chiều (nhiều chúng gọi không gian Lebesgue) Theo Bourbaki, chúng đưa Riesz Frigyes (nhà toán học gốc Hungary) Các không gian lập nên lớp quan trọng không gian Banach giải tích hàm, không gian véc tơ tô pô, chúng có ứng dụng quan trọng vật lí, xác suất thống kê, toán tài chính, kỹ thuật nhiều lĩnh vực khác Mặc dù lớp không gian hàm quan trọng có nhiều ứng dụng giáo trình giải tích hàm lí thuyết độ đo tích phân bản, không gian chưa mô tả chi tiết Với mong muốn trình bày ý tưởng chung sâu nghiên cứu không gian , nhằm giúp cho việc sử dụng không gian cách có hệ thống thuận tiện, tác giả chọn đề tài luận văn là: “Về số không gian hàm thường gặp” Luận văn chia thành chương: Chương I: Các kiến thức sở Chương II: Các không gian hàm Chương III: Một số dạng hội tụ quan trọng khả tích Trong chương I, tác giả nêu khái niệm định lí giải tích hàm Đó khái niệm không gian metric, không gian đo với khái niệm độ đo, hàm đo với tính chất hội tụ khả tích, khái niệm không gian định chuẩn, khái niệm không gian tô pô Đây kiến thức sở sử dụng chương II chương III luận văn Mục đích chương II thảo luận không gian hàm tính chất Điều đặc biệt ta coi không gian không gian không gian lớn gồm lớp tương đương hàm (hầu như) đo Chính vậy, không gian hàm trình bày không gian , không gian (không gian hàm đo khả tích), không gian (không gian hàm bị chặn cốt yếu), không gian (không gian hàm số có lũy thừa bậc p mô đun khả tích X) Các không gian trình bày cách hệ thống theo nội dung: xây dựng khái niệm, cấu trúc thứ tự, xét chuẩn nó, xét tính đối ngẫu, vài không gian trù mật quan trọng, áp dụng vào lí thuyết xác suất (xét kì vọng có điều kiện) cuối mở rộng cho không gian phức Trong chương III, tác giả mô tả số dạng hội tụ quan trọng không gian Đó hội tụ theo độ đo hội tụ yếu Ngoài chương này, tác giả tính chất ổn định phạm vi rộng lớp tập khả tích hay Do thời gian có hạn việc nắm bắt kiến thức hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Rất mong bảo tận tình thầy cô góp ý chân thành bạn đọc Hà Nội ngày 10 tháng 11 năm 2014 Học viên Vũ Thị Tuyển Chương I Các kiến thức sở 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1 Giả sử X tập khác rỗng, metric X ánh xạ số thực, thỏa mãn điều kiện: i) ii) iii) Tập hợp X với khoảng cách d cho X, gọi không gian metric, kí hiệu (X,d) Hàm metric tập Không gian metric tương ứng gọi đường thẳng thực (khoảng cách thông thường) Định nghĩa 1.2 a) Dãy không gian metric X gọi dãy nếu: ∀ε > 0, ∃N (ε ), ∀ m, n ≥ N suy d (x m , x n ) < ε b) Không gian metric X gọi không gian metic đầy đủ dãy không gian X hội tụ đến phần tử không gian Chẳng hạn, không gian Euclide ¡ gian đầy đủ n không gian đầy đủ Không gian C[ a ,b] không Định nghĩa 1.3 Giả sử E tập X Tập hợp tất điểm dính E, gọi bao đóng tập hợp E, kí hiệu E Định nghĩa 1.4 Giả sử E tập X Tập E gọi là: i) ii) Tập đóng tập E chứa tất điểm tụ Tập mở điểm điểm Tập hợp tất điểm E gọi phần E, kí hiệu int E iii) Tập hợp E gọi trù mật tập hợp A bao đóng E chứa A Đặc biệt, tập E trù mật không gian X E gọi trù mật khắp nơi X 1.2 Không gian đo Độ đo Định nghĩa 1.5 1) Cho tập rỗng, họ mãn điều kiện sau: tập X gọi σ - đại số thỏa i ii Hợp đếm tập thuộc thuộc σ - đại số tập X cặp 2) Nếu (đo với gọi không gian đo - đo được) Định nghĩa 1.6 Cho không gian đo 1) Một ánh xạ gọi độ đo nếu: i) ii) có tính chất σ – cộng tính, hiểu theo nghĩa: 2) Nếu độ đo xác định Định nghĩa 1.7 Cho a) ba gọi không gian đo không gian đo Khi độ đo đủ, không gian đo đủ (Carathéodory) với nghĩa tập bỏ qua X đo b) không gian xác suất Trong trường hợp này, c) gọi xác suất hay độ đo xác suất độ đo hoàn toàn hữu hạn, hay gọi không gian đo hoàn toàn hữu hạn d) độ đo dãy - hữu hạn, hay gọi không gian đo cho: - hữu hạn tồn , e) độ đo nửa hữu hạn, hay f) không gian đo nửa hữu hạn với tồn thỏa mãn độ đo khả địa phương hóa, hay (ii) không gian đo khả địa phương hóa nửa hữu hạn với mãn: (i) , tồn thỏa bỏ qua với Nếu bỏ qua với bỏ qua Sẽ thuận tiện ta gọi tập H essential suppremum g) Một tập gọi nguyên tử với tập F thỏa mãn , hay - nguyên tử bỏ qua P (X) = { A : A ⊂ X } µ * : Σ → [ 0, ∞ ] Định nghĩa 1.8 Một ánh xạ xác định gọi độ đo thỏa mãn điều kiện i) µ * (A) ≥ 0, ∀ A ⊂ Σ ii) iii) Nếu Định lí 1.1 (Carathéodory) Giả sử tập A X cho: độ đo X lớp tất (*) Khi σ - đại số hàm tập µ = µ* Σ (thu hẹp ) độ đo Độ đo gọi tập gọi độ đo cảm sinh độ đo Tập A thỏa mãn điều kiện (*) - đo Định lí 1.2 (thác triển độ đo) đặt Giả sử m độ đo đại số Với A ⊂ X , ta độ X đồng thời tập thuộc σ - đại số 1.3 đo Độ đo Lebesgue 1.3.1 Độ đo Lebesgue Tồn σ - đại số tập theo Lebesgue (hay (L) – đo được) độ đo Lebesgue i) mà gọi tập đo xác định (gọi độ đo ) thỏa mãn tính chất sau: Các khoảng (hiểu theo nghĩa rộng), tập mở, tập đóng … (L) – đo Nếu I khoảng với đầu mút a, b ( ) ii) Tập hữu hạn đếm (L) – đo có độ đo Lebesgue iii) Tập (L) – đo với mở G cho iv) tồn tập đóng F, tập , Nếu A tập (L) – đo tập tập (L) – đo , v) 1.3.2 Độ đo Lebesgue đủ σ – hữu hạn Độ đo Lebesgue Trong không gian Euclid k chiều σ - đại số Độ đo độ đo m khuếch thành độ đo gọi độ đo Lebesgue 10 tập Tồn thuộc vào cho , bỏ qua với chứa tập không bỏ qua Nhận thấy ; đặc biệt, chứa nguyên tử hay tập không bỏ qua có độ đo nhỏ không gian đo không nguyên tử, hoàn toàn hữu hạn tập không bỏ qua đo có độ đo nhỏ E thuộc vào Do , điều cần chứng minh với Đặt Nhưng điều có nghĩa hữu hạn Nếu , biểu diễn , đo được, xét Khi Tương tự, Do với Nghĩa , với Do ε tùy ý nên A khả tích 2.6.9 Nhận xét: (a) Tất nhiên điều kiện (ii)-(iv) định lý này, giống (i), chuyển trực tiếp sang ngôn ngữ Do tập khác rỗng hay với ε > tìm hữu hạn với nguyên tử E ∈ Σ , δ > cho khả tích và 99 hay Σ , với dãy rời dãy không giảm Hệ 3.10 với có giao rỗng Giả sử (X, ∑, µ ) không gian xác suất Với đặt Khi tập khác rỗng khả tích Chứng minh: (a) Nếu A thỏa mãn điều kiện, A khả tích (b) Nếu A khả tích đều, ; kỳ Nếu 3.2.4 cho hữu hạn (mệnh đề 3.7) Lấy với bất nơi Do , có số , nên Mối liên hệ tính khả tích tôpô hội tụ theo độ đo Định lý 3.11 Giả sử (X, ∑, µ ) không gian đo 100 a) Nếu dãy khả tích gồm hàm nhận giá trị thực X, với hầu hết b) Nếu khả tích ; khả tích đều, tôpô chuẩn tôpô hội tụ theo độ đo c) Với đồng A với dãy , khẳng định sau tương đương: theo chuẩn khả tích hội tụ tới u theo độ đo Nếu (X, ∑, µ ) nửa hữu hạn, A ⊂ L khả tích đều, bao đóng theo tôpô hội tụ theo độ đo tập khả tích Chứng minh: (a) Đầu tiên ý , Bổ đề Fatou cho ta biết khả tích, với Ta có tổng hai tập khả tích (mệnh đề 3.7c) khả tích Cho trước , có số cho Hơn với hầu khắp nơi, , theo định lý hội tụ làm trội Lesbegue Do tùy ý nên 101 (b) Giả sử tôpô A tương ứng cảm sinh chuẩn của hội tụ theo độ đo (i) Cho trước , giả sử , xét cho , định nghĩa 3.1 Khi với khắp nơi với bất kỳ, , với với u, v ∈ A Do , tìm F, M cho với u, v ∈ A , Nghĩa là, với Từ suy tập A mở mở (ii) Theo hướng khác, có (c) Nếu theo cho cho với đo hữu hạn F, tập A mở , và tôpô tập có độ mở khả tích Thật vậy, cho trước Đặt Khi đó, với 102 , giả sử Suy Vậy theo giả thiết, ta chắn khả tích đều, hai tôpô đồng A (bởi (b)) và hội tụ tới u theo tôpô lại (d) Bởi A bị chặn theo chuẩn đề 3.5 (b-i)) Cho trước (mệnh đề 3.7.a) , giả sử với hội tụ tới u theo tôpô nửa hữu hạn, cho Các ánh xạ , (mệnh , liên tục theo tôpô hội tụ theo độ đo (mệnh đề 3.1), tôpô đó, đóng phải chứa với 3.2.5 Do ε tùy ý nên đóng theo Do khả tích đều.□ Không gian phức Các định nghĩa định lý bên phát biểu lại không gian hàm nhận giá trị phức mà khó khăn gì, cần thay đổi: không gian phức, số bổ đề 3.9 phải thay đổi Dễ dàng thấy rằng, với , (Thực chứng minh ) Do vài lập luận định lí 2.33 cần phải viết lại với số khác, kết không ảnh hưởng 3.3 Hội tụ yếu Bây ta chuyển sang nét đặc trưng tính khả tích đều: đưa mô tả tập compact tương đối yếu Ta xếp nội dung vào mục riêng biệt dùng tới kiến thức giải tích hàm, đặc biệt tôpô yếu không gian Banach 103 Phần lập luận định lý rõ ràng ta tách rời trường hợp đơn giản Bổ đề 3.12 Giả sử Giả sử (X, ∑, µ ) không gian đo, G phần tử độ đo không gian G, Đặt với , Khi có đẳng cấu S không gian định chuẩn thứ tự U với , cho cho Chứng minh: Rõ ràng U không gian tuyến tính L ( µ ) Chú ý khả tích, với Nếu , ; công thức S xác định ánh xạ từ U tới Bởi với tất , S tuyến tính Bởi S bảo toàn thứ tự Bởi với 104 với • Biểu diễn v g Để thấy S toàn ánh, lấy Ta có , f(x) =g(x) với , với Để thấy S bảo toàn chuẩn, ý rằng, với bất kỳ, có □ Hệ 3.12 Giả sử (X, ∑, µ ) không gian đo bất kỳ, G ∈ Σ tập đo biểu diễn hợp đếm tập có độ đo hữu hạn Xác định U bổ đề 3.12, h : L (µ ) → ¡ phiếm hàm tuyến tính liên tục Khi có v ∈ L∞ ( µ ) cho với u ∈ U Chứng minh: Giả sử đồng phôi xác định bổ đề 3.12 Khi tuyến tính liên tục, chuẩn đối ngẫu thuộc vào không gian định Khi tất nhiên σ - hữu hạn, địa phương hóa được, định lí 2.13b tồn cho với Biểu diễn g ( x ) = g1 ( x ) g1 : G → ¡ hàm đo bị chặn Đặt với x ∈ G , với ; 105 hàm đo • Nếu u ∈ U , biểu diễn u f bị chặn, ; Do u nên ta có điều phải chứng minh Định lý 3.13 Giả sử (X, ∑, µ ) không gian đo A tập L1 = L1 ( µ ) Khi A khả tích compact tương đối L1 tôpô yếu L Chứng minh: (a) Giả sử A compact tương đối tôpô yếu Ta tìm cách thỏa mãn điều kiện (iii) định lí 3.10 (i) Nếu , chắn , thuộc vào , ảnh tập compact tương đối h phải bị chặn (ii) Giả sử dãy rời Σ Giả sử, có thể, không hội tụ đến Khi tồn dãy tăng ngặt thuộc ¥ cho Với k, chọn uk ∈ A cho yếu, tồn điểm tụ u Bởi A compact tương đối tôpô thuộc L tôpô yếu Đặt với Bây ta chọn dãy tăng ngặt j, 106 theo cách quy nạp, với với j, coi Thật vậy, cho trước , đặt theo định lý hội tụ làm trội Lesbegue, ngược lại tồn số với ; cho với Theo đó, liên tục tôpô yếu L u, u thuộc vào tập mở yếu chứa , tồn cho Điều tiếp diễn xây dựng Giả sử điểm tụ , theo tôpô yếu, ta có i, với i; đặt i < j, ta có 107 Đặt tồn = với rời Với j ∈ ¥ , Nói cách khác, Vì Điều với j; tập mở yếu chứa v giao , Hay nói cách khác, điều vô lí Sự mâu thuẫn thỏa mãn điều kiện định lí 3.10 (iii) khả tích Vì tùy ý, A (b) Bây giả sử A khả tích Ta tìm tập compact yếu C ⊂ A (i) Với n ∈ ¥ , chọn En ∈ Σ , u ∈ A Đặt cho với , ý A ⊂ C , u ∈ A f ∈ Σ , với n Nhận thấy C - bị chặn, 108 với u ∈ C (sử dụng bổ đề 3.9) (ii) Bởi ta tìm cách chứng minh định lý không gian đo (X, ∑, µ ) , ta sử dụng định lí 2.13b để xác định đối ngẫu L1 Tuy nhiên, hệ 3.12 bên định lí 2.13b ``gần'' đúng, theo nghĩa sau đây: , tồn cho xác định hệ 3.12, tồn với Thật vậy, đặt định lí 3.12 hệ 3.12 Theo cho Nhưng u ∈ C , với • ta biểu diễn u f f : X → ¡ đo Nếu F ∈ Σ với n ∈ ¥ , ; suy f = hầu khắp nơi , tức là, , , ta có điều phải chứng minh (iii) Vì đến, có mô tả đầy đủ, mà tác động lên C Giả sử , đặt siêu lọc L chứa C Với F ∈ Σ ; Nếu E, F phần tử rời , , điều định nghĩa tốt với u ∈ C , , 109 Suy cộng tính Tiếp theo, liên tục thực theo trước , lấy cho , đặt Thật vậy, cho nhận xét Theo định lý Radon-Nykodym , tồn Đặt Nếu , cho với (iv) Tất nhiên điểm mấu chốt cho với bị chặn với hội tụ tới Biểu diễn - đo Giả sử với Thật vậy, giả sử có Do 110 , lấy , cho với , đặt , tồn Đặt , ; Ta Vì tùy ý, nên Do giới hạn theo tôpô L Do L , việc chứng minh hoàn thành Hệ 3.13 Giả sử (X, ∑, µ ) tùy ý, C compact yếu hai không gian đo bất kỳ, toán tử tuyến tính liên tục Khi tùy ý, tập khả tích A tập khả tích Điểm mấu chốt T liên tục tôpô yếu Nếu có tập compact yếu khả tích đều, , định lí 3.13, ảnh tập compact ánh xạ liên tục, phải compact yếu ; 3.12 khả tích theo định lí Dễ dàng chứng minh định lí 3.12 cho L£ Trong chứng minh, ta cần thay đổi số áp dụng bổ đề 3.9, lập luận 3.2.4, phần (b-i) chứng minh 111 KẾT LUẬN Luận văn trình bày hai nội dung là: • • Mô tả chi tiết tính chất không gian hàm không gian trường hợp Nghiên cứu số dạng hội tụ quan trọng (hội tụ theo độ đo, hội tụ yếu) không gian tính khả tích không gian Do hạn chế thời gian nên luận văn chưa đề cập đến không gian hàm trường hợp Khi có điều kiện, tác giả trở lại nghiên cứu thêm vấn đề Tác giả mong nhận ý kiến nhận xét thầy cô giáo bạn đọc để luận văn hoàn chỉnh 112 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2010), Giáo trình giải tích hàm, Nhà xuất Đại học sư phạm [4] Nguyễn Văn Toản (2002), Bài tập giải tích đại, Xí nghiệp in chuyên dung Thừa Thiên Huế [5] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên, Lý thuyết xác suất, Nhà xuất giáo dục Tiếng Anh [6] D.H.Fremlin (2003), Measure theory, Volume 2, Readerin Mathematics, University of Essex [7] Frank Burk (1998), Lebesgue Measure and Integral An Introduction, John Wiley & Sons, Inc 113 [...]... là thảo luận về các không gian , và trong ba mục tương ứng dưới đây Một điểm thuận lợi là ta coi các không gian đó là các không gian con của một không gian lớn hơn như) đo được 2.1 gồm các lớp tương đương của các hàm (hầu Không gian và 18 Nguyên tắc gần như đầu tiên của lý thuyết độ đo chính là các tập có độ đo không thường được bỏ qua Tương tự, hai hàm trùng nhau hầu khắp nơi có thể thường (không luôn... trong F (Ck ) chính là σ - đại số Borel trong 1.4 Hàm số đo được Định nghĩa 1.9 Cho một không gian X, một σ - đại số tập gọi là đo được trên tập A đối với σ - đại số Một hàm số Khi trên σ - đại số – đo được những tập con của X, và một có một độ đo μ ta nói f(x) đo được đối với độ đo μ hay μ Trong trường hợp (σ - đại số Borel trong theo nghĩa Borel, hay f(x) là một hàm số Borel 1.4.1 nếu ) thì ta nói... lân cận của sao cho Một không gian tôpô thỏa mãn điều kiện đó gọi là không gian Housdorff (không gian tách), tô pô của nó gọi là tô pô Housdoff (tô pô tách) Định lí 1.13 Trong không gian tô pô Housdorff , một lọc chỉ có thể hội tụ tới nhiều nhất một điểm Định nghĩa 1.26 Một không gian tôpô X gọi là compact nếu mỗi lọc S trên X đều có một lọc mạnh hơn hội tụ Chương II Các không gian hàm Mục đích chính... trọng , người ta thường xét không gian định chuẩn lập thành bởi tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X gọi là không gian đối ngẫu (hay còn gọi là không gian liên hợp) của X, và được kí ký hiệu X* Dễ thấy X* là một không gian vectơ với các phép toán thông thường Ngoài ra, với mỗi phần tử f thuộc X*, đặt thì X* trở thành một không gian định chuẩn Hơn nữa X* còn là không gian Banach 14... dàng kiểm tra là hàm hằng nhận giá trị 1, nếu và chỉ nếu nếu và chỉ nếu có một 2.1.8 sao cho và Hoạt động của các hàm Borel trên Giả sử đó là một không gian đo và với mọi và nếu được xác định bằng cách đặt Ví dụ, nếu và là một hàm Borel đo được Khi Vì vậy, ta có một hàm với mỗi , ta xét trong đó 28 với 2.1.9 Không gian phức Giả sử là một không gian đo (a) Viết cho không gian của các hàm nhận giá trị... nhiên, hai hàm số cùng tương đương với một hàm số thứ ba thì chúng cũng tương đương với nhau Định lí 1.4 Nếu μ là một độ đo đủ thì mọi hàm số g(x) tương đương với một hàm số đo được f(x) cũng đều đo được Định nghĩa 1.13 Dãy hàm gọi là hôi tụ hầu khắp nơi về hàm số f(x) trên A ∈ Σ nếu lim f (x) = f (x) tồn tại B ⊂ A, B ∈ Σ, µ (B) = 0 sao cho n→∞ n với mọi ∀x ∈ A \ B Định nghĩa 1.14 Cho những hàm số Ta nói... sau: Hàm xác định trên E gọi là một chuẩn trên E nếu nó thỏa mãn các i) và ii) với mọi iii) Định nghĩa 1.16 Không gian véc tơ E cùng với một chuẩn định chuẩn trên nó là một không gian Có thể chứng minh không gian định chuẩn E là một không gian metric với khoảng cách sinh bởi chuẩn Chú ý: Ta kí hiệu thay cho và gọi là chuẩn của véc tơ x Nếu không gian metric này là đầy đủ thì E gọi là không gian Banach... định trên X và lấy giá trị là số (thực hoặc phức, tùy theo X là không gian thực hoặc phức) gọi là một phiếm hàm trên X Phiếm hàm đó gọi là tuyến tính nếu: i) với mọi ii) với mọi và mọi số Giả sử X là một không gian định chuẩn, khi ấy, một phiếm hàm tuyến tính f gọi là bị chặn nếu có một hằng số Số là để cho nhỏ nhất thỏa mãn đẳng thức trên được gọi là chuẩn của phiếm hàm và kí hiệu Dễ dàng chứng minh... X, Y là hai không gian tô pô Một ánh xạ f đi từ X vào Y gọi là liên tục tại điểm nếu với mọi lân cận sao cho của điểm , nghĩa là đều có một lân cận của Ánh xạ f gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi Hiển nhiên định nghĩa này bao hàm định nghĩa về ánh xạ liên tục từ một không gian metric vào một không gian metric khác Định lí 1.12 Một ánh xạ f đi từ không gian tô pô X vào không gian tô pô Y là liên... là thành lập không gian gồm các lớp tương đương của các hàm số, và nói rằng hai hàm số là tương đương nếu và chỉ nếu chúng trùng nhau ngoài một tập bỏ qua được 2.1.1 Không gian Định nghĩa 2.1 Giả sử là một không gian đo bất kỳ Ta viết , hay , là không gian của các hàm nhận giá trị thực xác định trên phần bù của các tập con bỏ qua được của Nếu , Nghĩa là: , là tập ( đo được đối với 2.1.2 - không thì hạn