Với mong muốn trình bày các ý tưởng chung cũng như đi sâu nghiên cứu về các không gian L^p, nhằm giúp cho việc sử dụng các không gian này một cách có hệ thống và thuận tiện, tác giả đã chọn đề tài luận văn của mình là: Về một số không gian hàm thường gặp”.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ TUYỂN VỀ MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM THƯỜNG GẶP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ TUYỂN VỀ MỘT SỐ KHƠNG GIAN HÀM THƯỜNG GẶP Chun ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê tốn học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Phan Viết Thư Hà Nội 2014 Mục lục LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của mình tới thầy giáo: PGS. TS Phan Viết Thư, người đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn và đóng góp nhiều ý kiến q báu. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tập thể các thầy cơ giáo, các nhà khoa học của trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQG Hà Nội, xin cảm ơn bạn bè đồng nghiệp, cảm ơn gia đình đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện cho tác giả hồn thành luận văn này Trong q trình hồn thành luận văn, mặc dù dưới sự chỉ đạo ân cần chu đáo của các thầy cơ giáo và bản thân cũng hết sức cố gắng, song khơng tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Vì vậy, tác giả rất mong nhận được sự góp ý, giúp đỡ của các thầy cơ, các bạn để bản luận văn này được hồn chỉnh hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội ngày 20 tháng 10 năm 2014 Học viên Vũ Thị Tuyển LỜI NĨI ĐẦU Bản luận văn giới thiệu về các khơng gian hàm . Các khơng gian là các khơng gian hàm được định nghĩa thơng qua việc sử dụng một chuẩn tổng qt hóa một cách tự nhiên từ chuẩn p của khơng gian véc tơ hữu hạn chiều (nhiều khi chúng được gọi là các khơng gian Lebesgue). Theo Bourbaki, chúng được đưa ra đầu tiên bởi Riesz Frigyes (nhà tốn học gốc Hungary). Các khơng gian lập nên một lớp quan trọng của các khơng gian Banach trong giải tích hàm, khơng gian véc tơ tơ pơ, chúng có ứng dụng quan trọng trong vật lí, xác suất thống kê, tốn tài chính, kỹ thuật và nhiều lĩnh vực khác Mặc dù là lớp khơng gian hàm quan trọng và có nhiều ứng dụng nhưng trong các giáo trình giải tích hàm cũng như lí thuyết độ đo và tích phân cơ bản, các khơng gian này chưa được mơ tả chi tiết. Với mong muốn trình bày các ý tưởng chung cũng như đi sâu nghiên cứu về các khơng gian , nhằm giúp cho việc sử dụng các khơng gian này một cách có hệ thống và thuận tiện, tác giả đã chọn đề tài luận văn của mình là: “Về một số khơng gian hàm thường gặp” Luận văn được chia thành 3 chương: Chương I: Các kiến thức cơ sở Chương II: Các khơng gian hàm. Chương III: Một số dạng hội tụ quan trọng và khả tích đều. Trong chương I, tác giả nêu các khái niệm và các định lí cơ bản của giải tích hàm. Đó là khái niệm về khơng gian metric, khơng gian đo với khái niệm về độ đo, hàm đo được cùng với các tính chất hội tụ và khả tích, khái niệm về khơng gian định chuẩn, các khái niệm trong khơng gian tơ pơ. Đây là những kiến thức cơ sở sẽ được sử dụng trong chương II và chương III của luận văn này Mục đích chính của chương II là thảo luận về các khơng gian hàm và các tính chất. Điều đặc biệt là ta coi các khơng gian đó là khơng gian con của một khơng gian lớn hơn gồm các lớp tương đương của các hàm (hầu như) đo được. Chính vì vậy, các khơng gian hàm lần lượt được trình bày là khơng gian , khơng gian (khơng gian các hàm đo được khả tích), khơng gian (khơng gian các hàm bị chặn cốt yếu), khơng gian (khơng gian các hàm số có lũy thừa bậc p của mơ đun khả tích trên X). Các khơng gian này được trình bày một cách hệ thống theo từng nội dung: xây dựng khái niệm, chỉ ra cấu trúc thứ tự, xét chuẩn trong nó, xét tính đối ngẫu, chỉ ra một vài khơng gian con trù mật quan trọng, áp dụng vào lí thuyết xác suất (xét kì vọng có điều kiện) và cuối cùng ln là mở rộng cho khơng gian phức. Trong chương III, tác giả mơ tả một số dạng hội tụ quan trọng trong các khơng gian . Đó là sự hội tụ theo độ đo trong và hội tụ yếu trong . Ngồi ra trong chương này, tác giả cũng chỉ ra các tính chất ổn định trong phạm vi rộng của lớp các tập khả tích đều trong hay . Do thời gian có hạn cũng như việc nắm bắt kiến thức còn hạn chế nên trong khóa luận khơng tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cơ và sự góp ý chân thành của các bạn đọc Hà Nội ngày 10 tháng 11 năm 2014 H ọc viên Vũ Thị Tuyển Chương I. Các kiến thức cơ sở 1.1 Khơng gian metric Định nghĩa 1.1. Giả sử X là một tập khác rỗng, một metric trong X là một ánh xạ các số thực, thỏa mãn các điều kiện: i) ii) iii) Tập hợp X cùng với khoảng cách d đã cho trong X, được gọi là khơng gian metric, kí hiệu là (X,d) Hàm là một metric trong tập (khoảng cách thơng thường). Khơng gian metric tương ứng gọi là đường thẳng thực Định nghĩa 1.2 a) Dãy trong không gian metric X gọi là dãy cơ bản nếu: ∀ε > 0, ∃N (ε ), ∀ m, n N suy ra d (x m , x n ) < ε b) Khơng gian metric X gọi là khơng gian metic đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản của khơng gian X đều hội tụ đến một phần tử nào đó của khơng gian này Chẳng hạn, khơng gian Euclide gian đầy đủ ﾡ n là khơng gian đầy đủ. Khơng gian C[ a ,b] là khơng Định nghĩa 1.3. Giả sử E là một tập con của X. Tập hợp tất cả các điểm dính của E, được gọi là bao đóng của tập hợp E, kí hiệu E Định nghĩa 1.4 Giả sử E là một tập con của X. Tập E gọi là: i) Tập đóng nếu tập E chứa tất cả các điểm tụ của nó ii) Tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong Tập hợp tất cả các điểm trong của E gọi là phần trong của E, kí hiệu iii) int E Tập hợp E được gọi là trù mật trên tập hợp A nếu như bao đóng của E chứa A Đặc biệt, nếu tập E trù mật trong khơng gian X thì E gọi là trù mật khắp nơi trong X 1.2 Khơng gian đo và Độ đo Định nghĩa 1.5 1) Cho tập rỗng, một họ các tập con của X được gọi là một σ đại số nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: i. và nếu thì trong đó ii. Hợp của đếm được các tập thuộc cũng thuộc 2) Nếu là σ đại số các tập con của X thì cặp gọi là một khơng gian đo được (đo được với hoặc đo được) Định nghĩa 1.6. Cho một khơng gian đo được 1) Một ánh xạ được gọi là một độ đo nếu: i) ii) có tính chất σ – cộng tính, hiểu theo nghĩa: 2) Nếu là một độ đo xác định trên thì bộ ba gọi là một khơng gian đo Định nghĩa 1.7. Cho là một khơng gian đo. Khi đó a) là độ đo đủ, hay là khơng gian đo đủ (Carathéodory) nếu với mọi và thì nghĩa là mọi tập con bỏ qua được của X là đo được. b) là khơng gian xác suất nếu Trong trường hợp này, gọi là một xác suất hay độ đo xác suất c) là độ đo hồn tồn hữu hạn, hay gọi là khơng gian đo hồn tồn hữu hạn nếu d) là độ đo hữu hạn, hay gọi là khơng gian đo hữu hạn nếu tồn tại dãy sao cho: , e) là độ đo nửa hữu hạn, hay là một khơng gian đo nửa hữu hạn nếu với mọi và thì tồn tạithỏa mãn và f) là độ đo khả địa phương hóa, hay là một khơng gian đo khả địa phương hóa nếu nó là nửa hữu hạn và với mọi , tồn tại một thỏa mãn: (i) là bỏ qua được với mọi (ii) Nếu và là bỏ qua được với mọi thì là bỏ qua được Sẽ thuận tiện hơn nếu ta gọi tập H như trên là essential suppremum của trên g) Một tập gọi là một ngun tử đối với hay ngun tử nếu và với mỗi tập F thỏa mãn , thì là bỏ qua được. µ* : Σ [ 0, ] Định nghĩa 1.8. Một ánh xạ xác định trên gọi là một độ đo ngoài nếu thỏa mãn các điều kiện i) P (X) = { A : A X} được µ * (A) �0, ∀ A �Σ ii) iii) Nếu thì Định lí 1.1 (Carathéodory). Giả sử là một độ đo ngồi trên X và là lớp tất cả các tập con A của X sao cho: (*) µ = µ* Khi đó là một σ đại số và hàm tập Σ (thu hẹp của trên ) là một độ đo trên Độ đo gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngồi . Tập A thỏa mãn điều kiện (*) gọi là tập - đo được. Định lí 1.2 (thác triển độ đo). Giả sử m là một độ đo trên đại số . Với mỗi ta đặt A X , thì là một độ trên X và đồng thời mọi tập thuộc σ đại số đều đo được 1.3 Độ đo Lebesgue 1.3.1 Độ đo Lebesgue trên Tồn tại một σ đại số các tập con của mà mỗi gọi là một tập đo được theo Lebesgue (hay (L) – đo được) và một độ đo xác định trên (gọi là độ đo Lebesgue trên ) thỏa mãn các tính chất sau: i) Các khoảng (hiểu theo nghĩa rộng), tập mở, tập đóng … là (L) – đo được. Nếu I là khoảng với đầu mút a, b () thì ii) Tập hữu hạn hoặc đếm được là (L) – đo được và có độ đo Lebesgue bằng 0 iii) Tập là (L) – đo được khi và chỉ khi với mọi tồn tại tập đóng F, tập mở G sao cho , iv) Nếu A là tập (L) – đo được thì các tập cũng là tập (L) – đo được và , v) Độ đo Lebesgue là đủ và σ – hữu hạn 1.3.2 Độ đo Lebesgue trên Trong khơng gian Euclid k chiều độ đo m có thể khuếch thành độ đo trên một σ đại số Độ đo này gọi là độ đo Lebesgue trên và các tập hợp thuộc lớp gọi là tập đo k F (C ) được (L) trong chính là σ đại số Borel trong 1.4 Hàm số đo được Định nghĩa 1.9. Cho một khơng gian X, một σ đại số những tập con của X, và một tập . Một hàm số gọi là đo được trên tập A đối với σ đại số nếu Khi trên σ đại số có một độ đo μ ta nói f(x) đo được đối với độ đo μ hay μ – đo Trong trường hợp (σ đại số Borel trong ) thì ta nói f(x) là đo được theo nghĩa Borel, hay f(x) là một hàm số Borel 10 Chú ý: Một vài tác giả sử dụng cụm từ `khả tích đều' đối với những tập thỏa mãn điều kiện (d) thậm chí khi khơng hồn tồn hữu hạn. 3.2.2 Các tính chất ổn định trong phạm vi rộng của lớp các tập khả tích đều trong hay . Mệnh đề 3.7. Giả sử L1 ( µ ) đều của ( X , Σ, µ ) là một khơng gian đo và A là một tập con khả tích (a) A bị chặn theo chuẩn (b) Một tập con bất kỳ của A là khả tích đều. (c) Với a ﾡ bất kỳ, (d) Có một tập C A aA = {au : u A} là khả tích đều. sao cho C là lồi và đóng theo chuẩn , và v C nếu u C và . (e) Nếu B là một tập con khả tích khác của , thì là khả tích đều. Chứng minh: Viết với . (a) Phải có sao cho với mỗi ; khi đó với mỗi u A , vì vậy A là bị chặn. (b) Điều này suy trực tiếp từ định nghĩa trong 3.2.1. (c) Cho trước , ta có thể tìm được sao cho với mỗi ; khi đó với mỗi . (d) Nếu A là rỗng, lấy C = A. Ngược lại, thử với mỗi Hiển nhiên , và C thỏa mãn định nghĩa bởi vì A thỏa mãn, xét w có dạng trong đó và . Các hàm số liên tục theo chuẩn (bởi vì các tốn tử đều liên tục), vì vậy C là đóng. Nếu và , thì với mỗi , và . Nếu trong đó và , thì , vì vậy 92 và với mỗi w; vì vậy với mỗi w, và Do vậy C có những tính chất mong muốn. (e) Đầu tiên ta chỉ ra rằng là khả tích đều. Thật vậy, với cho trước, và thỏa mãn với mỗi với mỗi Đặt ; khi đó và với mỗi ε Do là bất kỳ nên là khả tích đều Theo (d) có một tập lồi khả tích đều C chứa , và trong trường hợp này vì vậy A +B cũng khả tích đều theo (b) và (c). Mệnh đề 3.8. Giả sử là một khơng gian xác suất và là một tập khả tích đều. Khi đó v C tồn tại một tập lồi, đóng theo chuẩn và khả tích đều sao cho nếu và , và nếu v C Σ và P là một tốn tử kỳ vọng có điều kiện kết hợp với một đại số con của Chứng minh: Đặt với mỗi M viết như thơng thường. Các lập luận trong chứng minh của mệnh đề 3.7. khẳng định C A w C v C v C rằng là khả tích đều, lồi và đóng, và nếu và . Nếu , T là một σ M >0 Σ đại số con của , P là tốn tử kỳ vọng có điều kiện kết hợp, và , thì , vì vậy và ; vì M là tùy ý, .□ Nhận xét (a) Tất nhiên mệnh đề 3.8 có một biểu diễn theo nghĩa của hơn là : nếu (X, Σ, µ ) là một khơng gian xác suất và là khả tích đều, khi đó có một tập khả tích đều sao cho: 93 (i) nếu f ,g C và (ii) nếu và (iii) nếu có một dãy thuộc sao cho f C (iv) nếu có một Σ con nào đó của sao cho g là một kỳ vọng có điều kiện của f ứng với đại số Thực tế thì có các mở rộng hiển nhiên của mệnh đề 3.8.; chứng minh trên cũng chỉ ra rằng nếu là một tốn tử tuyến tính bảo tồn thứ tự thỏa mãn với mỗi và với mỗi . Hơn nữa, định lý chính của mục tiếp theo sẽ chỉ ra rằng với các khơng gian đo bất kỳ sẽ khả tích đều trong với là khả tích đều và là một tốn tử tuyến tính liên tục. Bổ đề 3.9. Giả sử (X, , µ ) là một khơng gian đo. Khi đó với u L1 ( µ ) bất kỳ, Chứng minh: Biểu diễn u như là f trong đó là đo được. Đặt , khi đó 3.2.3 Một số mơ tả tương tự của tính khả tích đều. (X, , µ ) Định lý 3.10. Giả sử là một khơng gian đo bất kỳ và A là một tập con khác L (µ ) rỗng của Khi đó các khẳng định sau đây là tương đương: (i) A là khả tích đều; µ F �Σ E �Σ δ > (ii) với mỗi nguyên tử và với mỗi có , sao cho và nếu u �A, F �Σ và ; µ F �Σ Σ (iii) với mỗi nguyên tử và nếu là một dãy rời nhau trong ; µ Σ F �Σ (iv) với mỗi nguyên tử và nếu là một dãy khơng tăng trong và có giao bằng rỗng. 94 µ Nhận xét: Tơi dùng thuật ngữ ngun tử để nhấn mạnh về một ngun tử trong khơng gian đo theo định nghĩa 1.7g. Chứng minh: µ (a) Giả sử rằng A là khả tích đều. Khi đó chắc chắn rằng nếu là một ngun tử, , bởi 246Ca. Bây giờ giả sử rằng là một dãy khơng tăng trong và có giao bằng rỗng, u A và . Lấy sao cho và nếu Khi đó với mọi n đủ lớn, ta có , do đó với mỗi u A ε Do tùy ý nên , và (iv) đúng. µ (b) Giả sử rằng đúng. Khi đó tất nhiên là với mỗi ngun tử . Giả sử rằng, nếu có thể, là một dãy rời nhau trong sao cho Đặt với mỗi n, vì vậy là khơng tăng và có giao bằng rỗng, và khi với mỗi . Chọn theo cách quy nạp, như sau . Cho trước , lấy sao cho Lấy sao cho Tiếp theo đặt với mỗi k. Khi đó là một dãy khơng tăng trong có giao bằng rỗng. Nhưng , vì vậy với mỗi , điều này mâu thuẫn với giả thiết (iv), suy ra điều cần chứng minh, nghĩa là , và (iii) là đúng. µ (c) Ta có với mỗi nguyên tử F. Giả sử rằng, nếu có thể, có một sao cho với mỗi u �A, F �Σ tập đo được E có độ đo hữu hạn và với mỗi có một sao cho và . Chọn một dãy gồm các tập có độ đo hữu hạn, một dãy trong , một dãy gồm các số thực dương thực sự và một dãy trong như sau. Cho trước với , chọn và sao cho 95 và ; sau đó chọn một tập có độ đo hữu hạn và δn > sao cho nếu và . Để hồn tất quy nạp, đặt với mỗi ; khi đó là một dãy rời nhau trong . Theo cách chọn của , , vì vậy, và . Nghĩa là Nhưng điều này mâu thuẫn với giả thiết (iii) nên ta có điều phải chứng minh (d) E �Σ δ > Giả sử có (ii) và với , khi đó có , sao cho và nếu và . Khi đó Thật vậy, viết là họ các sao cho và là hữu hạn. Nếu là một ngun tử của , khi đó , vì vậy . (Điểm mấu chốt ở đây là nếu là một hàm đo được sao cho , khi đó hoặc là , hoặc là là bỏ qua được, vì vậy hoặc là hoặc là . Nếu và thì , vì vậy . Tiếp theo, nếu thì là hữu hạn, vì vậy . Cuối cùng, nếu là một dãy bất kỳ trong , và , tồn tại sao cho ; khi đó và đều thuộc vào , vì vậy . Tồn tại sao cho là bỏ qua được với mỗi . Nhận thấy rằng khơng thể chứa một tập khơng bỏ qua được bất kỳ của ; đặc biệt, khơng thể chứa một ngun tử hay một tập khơng bỏ qua được có độ đo nhỏ hơn Nhưng điều này có nghĩa là khơng gian con đo trên là khơng ngun tử, hồn tồn hữu hạn và khơng có các tập con khơng bỏ qua được đo được và có độ đo nhỏ hơn do đó và và E thuộc vào , đó là điều cần chứng minh. Do với mỗi cũng hữu hạn. Đặt . Nếu , biểu diễn như là , trong đó là đo được, và xét 96 Khi đó vì vậy . Do vậy Tương tự, với . Nghĩa là , ε với mỗi . Do tùy ý nên A là khả tích đều. 2.6.9 Nhận xét: (a) Tất nhiên là các điều kiện (ii)(iv) của định lý này, giống như (i), có thể chuyển trực tiếp sang ngơn ngữ của . Do vậy một tập khác rỗng là khả tích đều nếu và chỉ ε >0 E �Σ nếu là hữu hạn với mỗi ngun tử hay với mỗi chúng ta có thể tìm được , δ >0 Σ sao cho và nếu và hay với mỗi dãy rời nhau trong , hoặc là với mỗi dãy khơng giảm trong có giao rỗng (X, , µ ) Hệ quả 3.10. Giả sử là một khơng gian xác suất. Với đặt . Khi đó một tập khác rỗng là khả tích đều nếu và chỉ nếu . Chứng minh: (a) Nếu A thỏa mãn điều kiện, thì vì vậy A là khả tích đều. (b) Nếu A là khả tích đều, và , có một số sao cho với mỗi ; và là hữu hạn (mệnh đề 3.7). Lấy bất kỳ. Nếu thì mọi nơi trên , vì vậy Do bất kỳ nên 3.2.4 Mối liên hệ giữa tính khả tích đều và tơpơ của sự hội tụ theo độ đo. Định lý 3.11. Giả sử (X, , µ ) là một khơng gian đo. a) Nếu là một dãy khả tích đều gồm các hàm nhận giá trị thực trên X, và với hầu hết thì là khả tích và ; do vậy b) Nếu là khả tích đều, thì tơpơ chuẩn của và tơpơ của sự hội tụ theo độ đo của đồng nhất trên A. c) Với bất kỳ và với dãy bất kỳ trong , các khẳng định sau là tương đương: 97 theo chuẩn . là khả tích đều và hội tụ tới u theo độ đo. (X, , µ ) A L1 Nếu là nửa hữu hạn, và là khả tích đều, thì bao đóng của trong theo tơpơ của sự hội tụ theo độ đo vẫn là một tập con khả tích đều của . Chứng minh: (a) Đầu tiên chú ý rằng do và , Bổ đề Fatou cho ta biết là khả tích, với Ta có là khả tích đều do nó là tổng của hai tập khả tích đều (mệnh đề 3.7c) Cho trước , có số sao cho và với mỗi . Hơn nữa hầu khắp nơi, vì vậy , theo định lý hội tụ làm trội Lesbegue. Do tùy ý nên và (b) Giả sử là các tơpơ trên A tương ứng được cảm sinh bởi chuẩn của và tơpơ của sự hội tụ theo độ đo trên . (i) Cho trước , giả sử sao cho và với mỗi , và xét , định nghĩa như trong 3.1. Khi đó với bất kỳ, khắp nơi trên , vì vậy với mọi . Do đó với mọi u, v A Nghĩa là, với , chúng ta có thể tìm được F, M sao cho với mọi u, v A , Từ đó suy ra rằng mọi tập con của A mở trong thì cũng mở trong . (ii) Theo một hướng khác, chúng ta có với mọi và mọi tập có độ đo hữu hạn F, vì vậy mọi tập con của A mở trong thì cũng mở trong (c) Nếu theo là khả tích đều . Thật vậy, cho trước , và sao cho nếu . Đặt , và giả sử sao cho Khi đó, với Suy ra Vậy theo giả thiết, ta có thể chắc chắn rằng và là khả tích đều, vì vậy hai tơpơ là đồng nhất trên A (bởi (b)) và hội tụ tới u theo tơpơ này nếu và chỉ nếu nó hội tụ tới u theo tơpơ còn lại. 98 (d) Bởi vì A bị chặn theo chuẩn (mệnh đề 3.7.a) và là nửa hữu hạn, (mệnh đề 3.5 (bi)). Cho trước , giả sử sao cho và với mỗi . Các ánh xạ , , liên tục theo tơpơ của sự hội tụ theo độ đo (mệnh đề 3.1), trong khi đóng theo tơpơ đó, vì vậy là đóng và ε phải chứa . Do vậy với mỗi . Do là tùy ý nên là khả tích đều.□ 3.2.5 Khơng gian và phức Các định nghĩa và các định lý bên trên có thể được phát biểu lại đối với khơng gian các hàm nhận giá trị phức mà khơng có khó khăn gì, chỉ cần một sự thay đổi: trong khơng gian phức, hằng số trong bổ đề 3.9 phải thay đổi. Dễ dàng thấy rằng, với , (Thực ra có thể chứng minh ). Do vậy một vài lập luận của định lí 2.33 cần phải được viết lại với những hằng số khác, nhưng kết quả thì khơng ảnh hưởng. 3.3 Hội tụ yếu trong Bây giờ ta chuyển sang nét đặc trưng nhất của tính khả tích đều: đưa ra một mơ tả của các tập con compact tương đối yếu trong . Ta sắp xếp nội dung này vào một mục riêng biệt vì nó dùng tới các kiến thức của giải tích hàm, đặc biệt là các tơpơ yếu trên các khơng gian Banach. Phần lập luận của định lý chính dưới đây sẽ rõ ràng hơn nếu ta tách rời một trường hợp đơn giản. (X, , µ ) Bổ đề 3.12. Giả sử là một khơng gian đo, và G là một phần tử bất kỳ của . Giả sử là một độ đo của khơng gian con trên G, vì vậy với , Đặt . Khi đó chúng ta có một đẳng cấu S giữa các khơng gian định chuẩn được sắp thứ tự U và , được cho bởi với mỗi sao cho Chứng minh: Rõ ràng U là một khơng gian con tuyến tính của L1 ( µ ) Chú ý rằng là khả tích, và với mỗi . Nếu và , khi đó ; vì vậy cơng thức của S xác định một ánh xạ từ U tới Bởi vì với mọi và tất cả , S là tuyến tính. Bởi vì 99 S là bảo tồn thứ tự. Bởi vì với mỗi với mỗi Để thấy S là tồn ánh, lấy bất kỳ. Biểu diễn v như là f(x) =g(x) với , bằng với vì vậy và và g trong đó . Ta có , trong đó Để thấy S bảo tồn chuẩn, chú ý rằng, với bất kỳ, vì vậy nếu chúng ta sẽ có □ (X, , µ ) G �Σ Hệ quả 3.12. Giả sử là khơng gian đo bất kỳ, và là một tập đo được biểu diễn như là một hợp đếm được của các tập có độ đo hữu hạn. Xác định U như h : L1 (µ ) ﾡ trong bổ đề 3.12, và là một phiếm hàm tuyến tính liên tục. Khi đó có v L (µ ) u U một sao cho với mỗi Chứng minh: Giả sử là một đồng phơi xác định như trong bổ đề 3.12. Khi đó là tuyến tính và σ liên tục, vì vậy thuộc vào khơng gian định chuẩn đối ngẫu của Khi đó tất nhiên là hữu hạn, và do đó địa phương hóa được, vì vậy định lí 2.13b chỉ ra rằng tồn tại một sao cho với mỗi g1 : G ﾡ Biểu diễn như là trong đó là một hàm đo được bị chặn. Đặt g ( x ) = g1 ( x ) x G với , bằng với ; khi đó là một hàm đo được bị chặn, và Nếu f u U , biểu diễn u như là trong đó ; khi đó Do u bất kỳ nên ta có điều phải chứng minh. 100 (X, , µ ) Định lý 3.13. Giả sử là khơng gian đo bất kỳ và A là một tập con của 1 L = L (µ ) L1 Khi đó A là khả tích đều nếu và chỉ nếu nó là compact tương đối trong L1 đối với tơpơ yếu của Chứng minh: (a) Giả sử A là compact tương đối đối với tơpơ yếu. Ta tìm cách chỉ ra rằng nó thỏa mãn điều kiện (iii) của định lí 3.10. (i) Nếu , thì chắc chắn , bởi vì thuộc vào , và nếu thì ảnh của một tập compact tương đối dưới h phải là bị chặn . Σ (ii) Giả sử rằng là một dãy rời nhau trong Giả sử, nếu có thể, rằng ﾡ khơng hội tụ đến 0. Khi đó tồn tại một dãy tăng ngặt thuộc sao cho Với mỗi k, chọn uk A sao cho . Bởi vì A là compact tương đối đối với tơpơ yếu, tồn L1 tại một điểm tụ u của thuộc đối với tơpơ yếu . Đặt với mỗi Bây giờ ta có thể chọn một dãy tăng ngặt theo cách quy nạp, vì vậy với mỗi j, với mọi j, coi là . Thật vậy, cho trước , đặt ; khi đó theo định lý hội tụ làm trội Lesbegue, ngược lại sẽ tồn tại một số sao cho với mỗi và với mỗi . Theo đó, L1 liên tục đối với tơpơ yếu của và bằng 0 tại u, và u thuộc vào mọi tập mở yếu chứa , do vậy tồn tại sao cho Điều này tiếp diễn sự xây dựng của chúng ta Giả sử là một điểm tụ bất kỳ trong , theo tơpơ yếu, của . Đặt ta có nếu i