ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - VŨ THỊ TUYỂN VỀ MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM THƢỜNG GẶP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - VŨ THỊ TUYỂN VỀ MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM THƢỜNG GẶP Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Phan Viết Thư Hà Nội 2014 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI NÓI ĐẦU Chƣơng I Các kiến thức sở Error! Bookmark not defined 1.1 Không gian metric Error! Bookmark not defined 1.2 Không gian đo Độ đo Error! Bookmark not defined 1.3 Độ đo Lebesgue Error! Bookmark not defined 1.3.1 Độ đo Lebesgue 1.3.2 Độ đo Lebesgue 1.4 Error! Bookmark not defined k Error! Bookmark not defined Hàm số đo Error! Bookmark not defined 1.4.1 Cấu trúc hàm số đo Error! Bookmark not defined 1.4.2 Các dạng hội tụ Error! Bookmark not defined 1.5 Không gian định chuẩn Error! Bookmark not defined 1.6 Tích phân Lebesgue Error! Bookmark not defined 1.7 Không gian tô pô Error! Bookmark not defined Chƣơng II Các không gian hàm Error! Bookmark not defined 2.1 Không gian ℒ L0 Error! Bookmark not defined 2.1.1 Không gian ℒ Error! Bookmark not defined 2.1.2 Tính chất Error! Bookmark not defined 2.1.3 Không gian L0 Error! Bookmark not defined 2.1.4 Cấu trúc tuyến tính L0 Error! Bookmark not defined 2.1.5 Cấu trúc thứ tự L0 Error! Bookmark not defined 2.1.6 Các tính chất quan trọng L0 Error! Bookmark not defined 2.1.7 Cấu trúc nhân L0 Error! Bookmark not defined 2.1.8 Hoạt động hàm Borel L0 Error! Bookmark not defined 2.1.9 Không gian L0 phức Error! Bookmark not defined 2.2 Không gian L1 Error! Bookmark not defined 2.2.1 Không gian L1 Error! Bookmark not defined 2.2.2 Cấu trúc thứ tự L1 Error! Bookmark not defined 2.2.3 Chuẩn L1 Error! Bookmark not defined 2.2.4 L1 không gian Riesz Error! Bookmark not defined 2.2.5 Nhắc lại kỳ vọng có điều kiện Error! Bookmark not defined 2.2.6 L1 hoàn chỉnh Error! Bookmark not defined 2.2.7 Không gian L1 phức Error! Bookmark not defined 2.3 Không gian L∞ Error! Bookmark not defined 2.3.1 Cấu trúc thứ tự L∞ Error! Bookmark not defined 2.3.2 Chuẩn L∞ Error! Bookmark not defined 2.3.3 Tính đối ngẫu L∞ L1 Error! Bookmark not defined 2.3.4 Một không gian trù mật L∞ Error! Bookmark not defined 2.3.5 Kỳ vọng có điều kiện Error! Bookmark not defined 2.3.6 Không gian L∞ phức Error! Bookmark not defined 2.4 Không gian Lp Error! Bookmark not defined 2.4.1 Cấu trúc thứ tự Lp Error! Bookmark not defined 2.4.2 Chuẩn Lp Error! Bookmark not defined 2.4.3 Một số không gian trù mật Lp Error! Bookmark not defined 2.4.4 Tính đối ngẫu không gian Lp Error! Bookmark not defined 2.4.5 Thứ tự - đầy đủ Lp Error! Bookmark not defined 2.4.6 Kỳ vọng có điều kiện Error! Bookmark not defined 2.4.7 Không gian L2 Error! Bookmark not defined 2.4.8 Không gian Lp phức Error! Bookmark not defined Chƣơng III Một số dạng hội tụ quan trọng khả tích Error! Bookmark not defined 3.1 Hội tụ theo độ đo Error! Bookmark not defined 3.1.1 Các định nghĩa Error! Bookmark not defined 3.1.2 Các nhận xét Error! Bookmark not defined 3.1.3 Hội tụ điểm Error! Bookmark not defined 3.1.4 Tính chất không gian tôpô tuyến tính 𝐿0 (𝜇) lớp không gian đo Error! Bookmark not defined 3.1.5 Một mô tả tương tự tôpô hội tụ theo độ đo Error! Bookmark not defined 3.1.6 Nhúng Lp vào L0 Error! Bookmark not defined 3.1.7 Không gian L0 phức Error! Bookmark not defined 3.2 Khả tích Error! Bookmark not defined 3.2.1 Định nghĩa Error! Bookmark not defined 3.2.2 Các tính chất ổn định phạm vi rộng lớp tập khả tích ℒ hay L1 Error! Bookmark not defined 3.2.3 Một số mô tả tương tự tính khả tích đều.Error! Bookmark not defined 3.2.4 Mối liên hệ tính khả tích tôpô hội tụ theo độ đo Error! Bookmark not defined 3.2.5 3.3 Không gian ℒ L1 phức Error! Bookmark not defined Hội tụ yếu L1 Error! Bookmark not defined KẾT LUẬN 87 TÀI LIỆU THAM KHẢO 88 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo: PGS TS Phan Viết Thư, người tận tình giúp đỡ, hướng dẫn đóng góp nhiều ý kiến quý báu Tác giả xin chân thành cảm ơn tập thể thầy cô giáo, nhà khoa học trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQG Hà Nội, xin cảm ơn bạn bè đồng nghiệp, cảm ơn gia đình giúp đỡ, động viên tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn Trong trình hoàn thành luận văn, đạo ân cần chu đáo thầy cô giáo thân cố gắng, song không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Vì vậy, tác giả mong nhận góp ý, giúp đỡ thầy cô, bạn để luận văn hoàn chỉnh Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội ngày 20 tháng 10 năm 2014 Học viên Vũ Thị Tuyển LỜI NÓI ĐẦU Bản luận văn giới thiệu không gian hàm Lp Các không gian Lp không gian hàm định nghĩa thông qua việc sử dụng chuẩn tổng quát hóa cách tự nhiên từ chuẩn p không gian véc tơ hữu hạn chiều (nhiều chúng gọi không gian Lebesgue) Theo Bourbaki, chúng đưa Riesz Frigyes (nhà toán học gốc Hungary) Các không gian Lp lập nên lớp quan trọng không gian Banach giải tích hàm, không gian véc tơ tô pô, chúng có ứng dụng quan trọng vật lí, xác suất thống kê, toán tài chính, kỹ thuật nhiều lĩnh vực khác Mặc dù lớp không gian hàm quan trọng có nhiều ứng dụng giáo trình giải tích hàm lí thuyết độ đo tích phân bản, không gian chưa mô tả chi tiết Với mong muốn trình bày ý tưởng chung sâu nghiên cứu không gian 𝐿𝑝 , nhằm giúp cho việc sử dụng không gian cách có hệ thống thuận tiện, tác giả chọn đề tài luận văn là: “Về số không gian hàm thƣờng gặp” Luận văn chia thành chương: Chương I: Các kiến thức sở Chương II: Các không gian hàm Chương III: Một số dạng hội tụ quan trọng khả tích Trong chương I, tác giả nêu khái niệm định lí giải tích hàm Đó khái niệm không gian metric, không gian đo với khái niệm độ đo, hàm đo với tính chất hội tụ khả tích, khái niệm không gian định chuẩn, khái niệm không gian tô pô Đây kiến thức sở sử dụng chương II chương III luận văn Mục đích chương II thảo luận không gian hàm Lp ,1 p tính chất Điều đặc biệt ta coi không gian không gian không gian lớn 𝐿0 gồm lớp tương đương hàm (hầu như) đo Chính vậy, không gian hàm trình bày không gian 𝐿0 , không gian 𝐿1 (không gian hàm đo khả tích), không gian 𝐿∞ (không gian hàm bị chặn cốt yếu), không gian 𝐿𝑝 (không gian hàm số có lũy thừa bậc p mô đun khả tích X) Các không gian trình bày cách hệ thống theo nội dung: xây dựng khái niệm, cấu trúc thứ tự, xét chuẩn nó, xét tính đối ngẫu, vài không gian trù mật quan trọng, áp dụng vào lí thuyết xác suất (xét kì vọng có điều kiện) cuối mở rộng cho không gian 𝐿𝑝 phức Trong chương III, tác giả mô tả số dạng hội tụ quan trọng không gian LP Đó hội tụ theo độ đo LP hội tụ yếu L1 Ngoài chương này, tác giả tính chất ổn định phạm vi rộng lớp tập khả tích ℒ hay L1 Do thời gian có hạn việc nắm bắt kiến thức hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Rất mong bảo tận tình thầy cô góp ý chân thành bạn đọc Hà Nội ngày 10 tháng 11 năm 2014 Học viên Vũ Thị Tuyển TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2010), Giáo trình giải tích hàm, Nhà xuất Đại học sư phạm [4] Nguyễn Văn Toản (2002), Bài tập giải tích đại, Xí nghiệp in chuyên dung Thừa Thiên Huế [5] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên, Lý thuyết xác suất, Nhà xuất giáo dục Tiếng Anh [6] D.H.Fremlin (2003), Measure theory, Volume 2, Readerin Mathematics, University of Essex [7] Frank Burk (1998), Lebesgue Measure and Integral An Introduction, John Wiley & Sons, Inc