Về một số không gian hàm thường gặp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI  TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - VŨ THỊ TUYỂN         VỀ MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM THƯỜNG GẶP       LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC                        Hà Nội 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI  TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - VŨ THỊ TUYỂN          VỀ MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM THƯỜNG GẶP Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học  Mã số: 60.46.15        LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC    Người hướng dẫn khoa học:  PGS. TS Phan Viết Thư            Hà Nội 2014  MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI NÓI ĐẦU Chương I Các kiến thức sở   3  1.1  Không gian metric   3  1.2  Không gian đo và Độ đo   4  1.3  Độ đo Lebesgue  . 5  1.3.1     Độ đo Lebesgue trên    5  1.3.2     Độ đo Lebesgue trên k    6  1.4  Hàm số đo được  . 6  1.4.1    Cấu trúc của hàm số đo được   6  1.4.2   Các dạng hội tụ   7  1.5       Không gian định chuẩn   7  1.6       Tích phân Lebesgue  . 9  1.7  Không gian tô pô   10  Chương II Các không gian hàm   12  2.1       Không gian ℒ và L    12  2.1.1    Không gian ℒ    12  2.1.2    Tính chất cơ bản  . 12  2.1.3    Không gian L    13  2.1.4    Cấu trúc tuyến tính của L    13  2.1.5    Cấu trúc thứ tự của L   . 14  2.1.6    Các tính chất quan trọng của L    15  2.1.7    Cấu trúc nhân của L    18  2.1.8    Hoạt động của các hàm Borel trên L    19  2.1.9    Không gian L  phức   19  2.2       Không gian L  20  2.2.1    Không gian L    20  2.2.2    Cấu trúc thứ tự của L   . 21  2.2.3    Chuẩn của L    21  2.2.4.  L  là một khơng gian Riesz   24  2.2.5    Nhắc lại về kỳ vọng có điều kiện   26  2.2.6   L như là một sự hoàn chỉnh   28  2.2.7    Không gian L  phức   32  2.3       Không gian L∞    33  2.3.1    Cấu trúc thứ tự của L∞    34  2.3.2    Chuẩn của L∞    35  2.3.3    Tính đối ngẫu giữa L∞  và L    37  2.3.4    Một khơng gian con trù mật của L∞    41  2.3.5    Kỳ vọng có điều kiện   42  2.3.6    Không gian L∞  phức  . 43  2.4      Không gian L    43  2.4.1    Cấu trúc thứ tự của L    44  2.4.2    Chuẩn của L    44  2.4.3    Một số khơng gian con trù mật của L    48  2.4.4    Tính đối ngẫu của các khơng gian L   . 50  2.4.5    Thứ tự - đầy đủ của L  54  2.4.6    Kỳ vọng có điều kiện   54  2.4.7    Không gian L    55  2.4.8    Không gian L phức  . 56  Chương III Một số dạng hội tụ quan trọng khả tích đều   57  3.1      Hội tụ theo độ đo   57  3.1.1    Các định nghĩa   57  3.1.2    Các nhận xét   58  3.1.3    Hội tụ điểm  . 58  3.1.4    Tính chất của khơng gian tơpơ tuyến tính  ( ) đối với lớp các  khơng gian đo  . 61  3.1.5    Một mô tả tương tự của tôpô của sự hội tụ theo độ đo   65  3.1.6    Nhúng L vào L   . 66  3.1.7    Không gian L  phức   70  3.2   Khả tích đều   70  3.2.1    Định nghĩa   70  3.2.2    Các tính chất ổn định trong phạm vi rộng của lớp của các tập khả  tích đều trong ℒ hay L    71  3.2.3  Một số mơ tả tương tự của tính khả tích đều.   74  3.2.4    Mối liên hệ giữa tính khả tích đều và tơpơ của sự hội tụ theo độ  đo.   78  3.2.5      Không gian ℒ và L  phức   80  3.3      Hội tụ yếu trong L   . 80  KẾT LUẬN 87 TÀI LIỆU THAM KHẢO 88 LỜI CẢM ƠN   Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tác giả xin bày tỏ lịng biết  ơn chân thành và sâu sắc của mình tới thầy giáo: PGS. TS Phan Viết Thư, người đã  tận  tình  giúp  đỡ, hướng dẫn  và đóng  góp  nhiều ý  kiến quý báu.  Tác  giả  cũng  xin  chân thành cảm ơn tập thể các thầy cơ giáo, các nhà khoa học của trường Đại học  Khoa học Tự nhiên – ĐHQG Hà Nội, xin cảm ơn bạn bè đồng nghiệp, cảm ơn gia  đình đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện cho tác giả hồn thành luận văn này.    Trong q trình hồn thành luận văn, mặc dù dưới sự chỉ đạo ân cần chu đáo  của  các  thầy  cơ  giáo  và  bản  thân  cũng  hết  sức  cố  gắng,  song  không  tránh  khỏi  những hạn chế, thiếu sót. Vì vậy, tác giả rất mong nhận được sự góp ý, giúp đỡ của  các thầy  cơ,  các  bạn để  bản luận  văn này  được hồn chỉnh  hơn.  Tác  giả  xin  chân  thành cảm ơn!      Hà Nội ngày 20 tháng 10 năm 2014  Học viên  Vũ Thị Tuyển  LỜI NÓI ĐẦU     Bản  luận  văn  giới  thiệu  về  các  không  gian  hàm  Lp   Các  không  gian  Lp là  các  khơng gian hàm được định nghĩa thơng qua việc sử dụng một chuẩn tổng qt hóa  một cách tự nhiên từ chuẩn p của khơng gian véc tơ hữu hạn chiều (nhiều khi chúng  được gọi là các khơng gian Lebesgue). Theo Bourbaki, chúng được đưa ra đầu tiên  bởi Riesz Frigyes (nhà tốn học gốc Hungary). Các khơng gian  Lp lập nên một lớp  quan trọng của các khơng gian Banach trong giải tích hàm, khơng gian véc tơ tơ pơ,  chúng  có  ứng  dụng  quan  trọng  trong  vật  lí,  xác  suất  thống  kê,  tốn  tài  chính,  kỹ  thuật và nhiều lĩnh vực khác.       Mặc dù là lớp khơng gian hàm quan trọng và có nhiều ứng dụng nhưng trong các  giáo  trình  giải  tích  hàm  cũng  như  lí  thuyết  độ  đo  và  tích  phân  cơ  bản,  các  khơng  gian  này  chưa  được  mơ  tả  chi  tiết.  Với  mong  muốn  trình  bày  các  ý  tưởng  chung  cũng như đi sâu nghiên cứu về các khơng gian  , nhằm giúp cho việc sử dụng các  khơng gian này một cách có hệ thống và thuận tiện, tác giả đã chọn đề tài luận văn  của mình là:   “Về số khơng gian hàm thường gặp”      Luận văn được chia thành 3 chương:  Chương I: Các kiến thức cơ sở.  Chương II: Các khơng gian hàm.   Chương III: Một số dạng hội tụ quan trọng và khả tích đều.          Trong  chương  I,  tác  giả  nêu  các  khái  niệm  và  các  định  lí  cơ  bản  của  giải  tích  hàm. Đó là khái niệm về khơng gian metric, khơng gian đo với khái niệm về độ đo,  hàm  đo  được  cùng  với  các  tính  chất  hội  tụ  và  khả  tích,  khái  niệm  về  khơng  gian  định chuẩn, các khái niệm trong khơng gian tơ pơ. Đây là những kiến thức cơ sở sẽ  được sử dụng trong chương II và chương III của luận văn này.           Mục  đích  chính  của  chương  II  là  thảo  luận  về  các  không  gian  hàm  Lp ,1  p     và  các  tính  chất.  Điều  đặc  biệt  là  ta  coi  các  khơng  gian  đó  là  khơng  gian  con  của  một  không  gian  lớn  hơn    gồm  các  lớp  tương  đương  của  các  hàm  (hầu  như)  đo  được.  Chính  vì  vậy,  các  khơng  gian  hàm  lần  lượt  được  trình  bày  là  không  gian  ,  không  gian  (không  gian  các  hàm  đo  được  khả  tích), khơng  gian  (khơng gian các hàm bị chặn cốt yếu), khơng gian  (khơng gian các hàm số có  lũy thừa bậc p của mơ đun khả tích trên X). Các khơng gian này được trình bày một  cách hệ thống theo từng nội dung: xây dựng khái niệm, chỉ ra cấu trúc thứ tự, xét  chuẩn trong nó, xét tính đối ngẫu, chỉ ra một vài khơng gian con trù mật quan trọng,  áp dụng vào lí thuyết xác suất (xét kì vọng có điều kiện) và cuối cùng ln là mở  rộng cho khơng gian  phức.           Trong chương III, tác giả mơ tả một số dạng hội tụ quan trọng trong các khơng  gian L  Đó là sự hội tụ theo độ đo trong L  và hội tụ yếu trong L  Ngồi ra trong  chương này, tác giả cũng chỉ ra các tính chất ổn định trong phạm vi rộng của lớp  các tập khả tích đều trong ℒ hay L        Do thời gian có hạn cũng như việc nắm bắt kiến thức cịn hạn chế nên trong khóa  luận khơng tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự chỉ bảo tận tình của các  thầy cơ và sự góp ý chân thành của các bạn đọc.  Hà Nội ngày 10 tháng 11 năm 2014                                                                                                     Học viên                                                                                                    Vũ Thị Tuyển   Chương I Các kiến thức sở 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1 Giả sử X là một tập khác rỗng, một metric trong X là một ánh xạ  d : X  X    các số thực, thỏa mãn các điều kiện:  i) ii) iii) d (x, y)   x  y    d (x, y)  d (y, x) x, y  X   d (x, y)  d (x,z)  d(z, y) x, y,z  X   Tập hợp X cùng với khoảng cách d đã cho trong X, được gọi là khơng gian metric,  kí hiệu là (X,d).  Hàm  d (x, y)  x  y  x, y  X  là một metric trong tập  (khoảng cách thông  thường). Không gian metric tương ứng gọi là đường thẳng thực.  Định nghĩa 1.2 a) Dãy   xn n trong không gian metric X gọi là dãy cơ bản nếu:    0, N ( ),  m, n  N  suy ra  d (x m , x n )     b) Khơng gian metric X gọi là khơng gian metic đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản của  khơng gian X đều hội tụ đến một phần tử nào đó của khơng gian này.    Chẳng hạn, khơng gian Euclide  n  là khơng gian đầy đủ. Khơng gian  C a ,b  là  khơng gian đầy đủ.  Định nghĩa 1.3  Giả sử E là một tập con của X. Tập hợp tất cả các điểm dính của  E, được gọi là bao đóng của tập hợp E, kí hiệu  E    Định nghĩa 1.4  Giả sử E là một tập con của X. Tập E gọi là:  i) ii) Tập đóng nếu tập E chứa tất cả các điểm tụ của nó  Tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong.  Tập hợp tất cả các điểm trong của E gọi là phần trong của E, kí hiệu  int E    iii) Tập hợp E được gọi là trù mật trên tập hợp A nếu như bao đóng của E  chứa A.  Đặc biệt, nếu tập E trù mật trong khơng gian X thì E gọi là trù mật khắp nơi trong  X.  1.2 Khơng gian đo Độ đo Định nghĩa 1.5 1) Cho tập  X  rỗng, một họ    các tập con của X được gọi là một σ - đại số nếu nó  thỏa mãn các điều kiện sau:  i.  X   và nếu  A   thì  A c    trong đó  AC  X \ A   ii. Hợp của đếm được các tập thuộc Σ cũng thuộc Σ.  2) Nếu    là σ - đại số các tập con của X thì cặp  ( X , )  gọi là một không gian đo  được (đo được với    hoặc   - đo được)  Định nghĩa 1.6 Cho một không gian đo được  ( X , )   1) Một ánh xạ   :    0,    được gọi là một độ đo nếu:  i) ii)  ()       có tính chất σ – cộng tính, hiểu theo nghĩa:     (A n ) n  ,( An  Am  , n  m)     An     (A n )     n 1  n 1 2) Nếu   là một độ đo xác định trên    thì bộ ba  ( X , ,  )  gọi là một không  gian đo Định nghĩa 1.7 Cho  ( X ,  ,  )  là một khơng gian đo. Khi đó a)   là độ đo đủ, hay  ( X ,  ,  ) là không gian đo đủ (Carathéodory) nếu với mọi  A  E   và   ( E )   thì  A   nghĩa là mọi tập con bỏ qua được của X là  đo được.                        b) ( X ,  ,  ) là không gian xác suất nếu   ( X )                                                                     Trong trường hợp này,    gọi là một xác suất hay độ đo xác suất.  c)   là độ đo hoàn toàn hữu hạn, hay  ( X ,  ,  )  gọi là khơng gian đo hồn tồn  hữu hạn nếu   ( X )                                                    d)   là độ đo   -  hữu hạn, hay  ( X ,  ,  ) gọi là không gian đo   - hữu hạn nếu  tồn tại dãy   An n    sao cho:   X   An ,   (A n )  ,  n  *                                                  n 1 e)     là độ đo nửa hữu hạn, hay  ( X ,  ,  )  là một không gian đo nửa hữu hạn  nếu với mọi  E   và   ( E )    thì tồn tại F  E thỏa mãn  F    và   (F )   f)   là độ đo khả địa phương hóa, hay  ( X ,  ,  )  là một khơng gian đo khả địa  phương hóa nếu nó là nửa hữu hạn và với mọi  E   , tồn tại một  H    thỏa  mãn: E \ H là bỏ qua được với mọi  E E   (i) (b )  Thực tế thì có các mở rộng hiển nhiên của mệnh đề 3.8.; chứng minh trên cũng  chỉ ra rằng   T [C ]  C  nếu  T : L1 ( )  L1 ( ) là một tốn tử tuyến tính bảo tồn thứ tự  thỏa mãn  || Tu ||1 || u ||1  với mỗi  u  L1 ( )  và  || Tu || || u ||  với mỗi  u  L1 ( )  L ( )    (c )   Hơn nữa, định lý chính của mục tiếp theo sẽ chỉ ra rằng với các khơng gian đo  bất kỳ   ( X , ,  ), (Y , T , ),   T [ A]  sẽ khả tích đều trong  L1 ( )  với  A  L1 (  ) là khả tích  đều và  T : L1 ( )  L1 ( )  là một tốn tử tuyến tính liên tục.   Bổ đề 3.9  Giả sử  (X, ,  ) là một khơng gian đo. Khi đó với  u  L1 (  ) bất kỳ,   || u ||1  2sup  u    E E Chứng minh: Biểu diễn u như là  f  trong đó  f : X   là đo được. Đặt  F   x : f ( x)  0 , khi đó   || u ||1   | f |  F f   X‚ F f  2sup E  E f  2sup E  E u   .  3.2.3 Một số mô tả tương tự tính khả tích Định lý 3.10  Giả sử  (X, ,  ) là một không gian đo bất kỳ và A là một tập con  khác rỗng của  L1 (  )  Khi đó các khẳng định sau đây là tương đương:   (i)     A là khả tích đều;   (ii)     sup |  u |   với mỗi   - nguyên tử   F    và với mỗi     có  E   ,      F u A sao cho   E    và  |  u |   nếu  u  A, F    và   ( F  E )    ;   F (iii)    sup |  u |   với mỗi    - nguyên tử  F    và  lim sup |  u |  nếu  ( Fn )n  là  F F n  u A u A n một dãy rời nhau trong   ;   (iv)  sup |  u |   với mỗi   - nguyên tử  F   và  lim sup |  u |  nếu  ( Fn )n là  F F n  u A u A n một dãy khơng tăng trong    và có giao bằng rỗng.   Nhận xét: Tơi dùng thuật ngữ   - nguyên tử để nhấn mạnh về một nguyên tử trong  không gian đo theo định nghĩa 1.7g.   Chứng minh: (a)  (i )  (iv )  Giả sử rằng A là khả tích đều. Khi đó chắc chắn rằng nếu  F   là một   - ngun tử, thì  sup u A  F u  sup || u ||1    ,  u A 74 bởi 246Ca. Bây giờ giả sử rằng  ( Fn )n  là một dãy không tăng trong    và có giao   bằng rỗng, và     Lấy  E  , M   sao cho   E    và   (| u |  M  E • )   nếu  u  A     Khi đó với mọi n đủ lớn, ta có  M  ( Fn  E )   , do đó    Fn u   u   (| u |  M  E • )    M  E •  Fn Fn sup với mỗi  u  A  Do    tùy ý nên  lim n  uA   M  ( Fn  E )     u  , và (iv) đúng.    Fn (b)  (iv)  (iii)  Giả sử rằng  (iv ) đúng. Khi đó tất nhiên là  sup  u   với mỗi   -  uA F nguyên tử  F    Giả sử rằng, nếu có thể,  ( Fn )n  là một dãy rời nhau trong    sao  cho       lim supsup  1, n  uA  Fn  u    .   Đặt  H n   Fi  với mỗi n, vì vậy  ( H n )n  là khơng tăng và có giao bằng rỗng, và  in  Hn u   khi  n   với mỗi  u  L1 ( )  . Chọn  (ni )i ,(mi )i ,(ui )i  theo cách quy  nạp, như sau  n0   Cho trước  ni  , lấy  mi  ni , ui  A sao cho    ui  2  .   |ui |   .  Fmi Lấy  ni 1  mi   sao cho   H ni 1       Tiếp theo đặt  Gk   Fmi với mỗi k. Khi đó  (Gk )k  là một dãy khơng tăng trong  ik   có giao bằng rỗng. Nhưng  Fmi  Gi  Fmi  H ni 1 , vì vậy    Gi ui   Fmi ui   Gi ‚ Fmi ui  2   H ni 1 |ui |    với mỗi  i , điều này mâu thuẫn với giả thiết (iv), suy ra điều cần chứng minh, nghĩa  là  lim sup n  u A  Fn u  , và (iii) là đúng.   (c)  (iii)  (ii)  Ta có  sup u A  F u    với mỗi   - nguyên tử F. Giả sử rằng, nếu có thể,  có một     sao cho với mỗi tập đo được E có độ đo hữu hạn và với mỗi    có  75 một  u  A, F    sao cho   ( F  E )    và   F u    Chọn một dãy  ( En )n  gồm  các tập có độ đo hữu hạn, một dãy  (Gn )n  trong   , một dãy  ( n )n  gồm các số  thực dương thực sự và một dãy  (un )n  trong  A như sau. Cho trước  uk , Ek ,  k  với  k  n  , chọn  un  A  và  Gn   sao cho    (Gn   Ek )  2 n min({1}  { k : k  n})   k n và    Gn u n    ;  sau đó chọn một tập  En  có độ đo hữu hạn và   n   sao cho    F |un |    nếu  F    và   ( F  En )   n    G      Để hoàn tất quy nạp, đặt  Fn  En  Gn ‚  với mỗi  n  ; khi đó  ( Fn ) n  là một  k k n dãy rời nhau trong    Theo cách chọn của  Gk ,    ( En   Gk )  k n vì vậy,   ( En  (Gn ‚ Fn ))   n  và   Gn ‚ Fn  Fn  2  Gn  n   n  ,  k  n 1 |un |  un  k un   . Nghĩa là       .  Nhưng điều này mâu thuẫn với giả thiết (iii) nên ta có điều phải chứng minh.  (d)  (ii)  (i )       Giả sử có (ii) và với    , khi đó có  E   ,     sao cho   E    và  |  u |   nếu  u  A, F    và  (F  E)    Khi đó  sup  |u |   Thật vậy, viết  I F uA E   là họ các  F    sao cho  F  E  và  sup  |u |  là hữu hạn. Nếu  F  E là một nguyên  u A F tử của   , khi đó  sup  |u | sup |  u |  , vì vậy  F  I  (Điểm mấu chốt ở đây là  uA F uA F  là một hàm đo được sao cho  f •  u , khi đó hoặc là  F  {x : x  F, f ( x)  0} , hoặc là  F  {x : x  F, f ( x)  0} là bỏ qua được, vì vậy  nếu  f : X  hoặc là   u   u   hoặc là    u    u )  Nếu  F  , F  E  và   F    thì     F F F F 76 sup  |u | uA F sup uA,G ,G  F |  u | 2 ,  G vì vậy  F  I  Tiếp theo, nếu  F , G  I thì   sup  uA F G |u | sup  |u |  sup  |u |   F uA uA G là hữu hạn, vì vậy  F  G  I  Cuối cùng, nếu  ( Fn )n  là một dãy bất kỳ trong  I ,  và  F   Fn , tồn tại  n  sao cho   n (F ‚  F )   ;  i in khi đó   Fi  và  F ‚ in  F đều thuộc vào  I i , vì vậy  F  I    in    Tồn tại  F  I sao cho  H ‚ F  là bỏ qua được với mỗi  H  I  Nhận thấy rằng  E ‚ F  không thể chứa một tập không bỏ qua được bất kỳ của  I ; đặc biệt, khơng  thể chứa một ngun tử hay một tập khơng bỏ qua được có độ đo nhỏ hơn   Nhưng  điều này có nghĩa là khơng gian con đo trên  E ‚ F  là khơng ngun tử, hồn tồn  hữu hạn và khơng có các tập con khơng bỏ qua được đo được và có độ đo nhỏ hơn    do đó  (E ‚ F )   và  E ‚ F  và E thuộc vào  I , đó là điều cần chứng minh.        Do   X‚ E |u |   với mỗi  u  A,   sup  |u |  cũng hữu hạn.   uA • (  )  Đặt  M   /   Nếu  u  A , biểu diễn  u  như là  f , trong đó  f : X   là đo  được, và xét  F  {x : f ( x)  M  E( x)}    Khi đó  M  ( F  E )   f   u   , vì vậy  (F  E)   / M    Do vậy  F  F F u       Tương tự,   (u )   , với  F  {x :  f ( x)  M  E( x)}  Nghĩa là   F •    (| u | M  E )   (| f | M  E )   F F  | f |  F  F |u | 2 ,  với mỗi  u  A  Do  tùy ý nên A là khả tích đều.   2.6.9 Nhận xét: (a) Tất nhiên là các điều kiện (ii)-(iv) của định lý này, giống như (i), có thể chuyển  trực tiếp sang ngơn ngữ của  L1  . Do vậy một tập khác rỗng  A  L1  là khả tích đều  nếu và chỉ nếu  sup |  f | là hữu hạn với mỗi nguyên tử  F    hay với mỗi      f A F chúng ta có thể tìm được  E   ,     sao cho   E    và  |  f |   nếu  F f  A, F   và  (F  E)   ,  hay  lim sup |  |   với mỗi dãy rời nhau  ( Fn ) n   F n  f  A 77 n trong   , hoặc là  lim sup |  |   với mỗi dãy khơng giảm  ( Fn )n  trong    có giao  n  f  A Fn rỗng.  Hệ 3.10    Giả sử  (X, ,  )  là một không gian xác suất. Với  f  L0 ( ), M    đặt  F ( f , M )  {x : x  dom f ,| f ( x) | M}. Khi đó một tập khác rỗng  A  L1 ( )  là  khả tích đều nếu và chỉ nếu  lim sup  | f |  .   M  f  A F ( f ,M ) Chứng minh: (a) Nếu A thỏa mãn điều kiện, thì  inf sup  (| f |  M  X )   inf sup  M 0 f A M 0 f A F ( f ,M ) | f | 0,    vì vậy A là khả tích đều.   (b) Nếu A là khả tích đều, và    , có một số  M  sao cho   (| f |  M  X )      với mỗi  f  A ; và    sup  | f |  là hữu hạn (mệnh đề 3.7). Lấy  f A M  M max(1,(1   ) /  ) bất kỳ. Nếu  f  A  thì  | f |  F ( f , M )  (| f |  M  X )  M  F ( f , M )  (| f |  M  X )    1 | f |    mọi nơi trên  dom f , vì vậy    F ( f ,M ) Do    bất kỳ nên  lim sup  M  f  A | f |  (| f | M  X )  F ( f ,M )   1  | f | 2    | f |    3.2.4 Mối liên hệ tính khả tích tôpô hội tụ theo độ đo Định lý 3.11 Giả sử  (X, ,  )  là một không gian đo a) Nếu  ( f n )n  là một dãy khả tích đều gồm các hàm nhận giá trị thực trên X, và  f ( x)  lim f n ( x)  với hầu hết  x  X , thì  f là khả tích và  lim  | f n  f | ; do vậy  n f n   lim  f n     n  b) Nếu  A  L1  L1 ( )  là khả tích đều, thì tơpơ chuẩn của   và tơpơ của sự hội tụ  theo độ đo của  L0  L0 (  )  đồng nhất trên A.   c) Với  u  L  bất kỳ và với dãy  (un )n  bất kỳ trong  , các khẳng định sau là  tương đương:   u  lim un  theo chuẩn     n        (ii ) {un : n  }  là khả tích đều và  (un )n  hội tụ tới u theo độ đo.       (i ) 78 Nếu  (X, ,  )  là nửa hữu hạn, và  A  L1  là khả tích đều, thì bao đóng  A  của  A   trong   theo tơpơ của sự hội tụ theo độ đo vẫn là một tập con khả tích đều của     Chứng minh: (a) Đầu tiên chú ý rằng do  sup  | f n |   và  | f | lim inf | f n | , Bổ đề  n  n Fatou cho ta biết  | f |  là khả tích, với   | f | limsup  | f n |  Ta có  { f n  f : n  } là  n  khả tích đều do nó là tổng của hai tập khả tích đều  (mệnh đề 3.7c)  Cho trước    , có số  M  0, E    sao cho   E    và   (| f n  f |  M  E )      với mỗi  n   Hơn nữa  | f n  f | M  E   hầu khắp nơi, vì vậy   lim sup  | f n  f | lim sup  (| f n  f |  M  E )  lim sup  | f n  f |  M  E    ,  n  n  n  theo định lý hội tụ làm trội Lesbegue. Do     tùy ý nên  lim  | f n  f |  và  n  lim  f n  f     n  (b) Giả sử  TA , GA  là các tôpô trên A tương ứng được cảm sinh bởi chuẩn của  L và  tôpô của sự hội tụ theo độ đo trên     (i) Cho trước    , giả sử  F  , M  sao cho   F    và   (| v |  M  F • )      với mỗi  v  A , và xét   F , định nghĩa như trong 3.1. Khi đó với  f , g L0  bất kỳ,   | f  g | (| f | M  F )  (| g | M  F )  M (| f  g |   F )   khắp nơi trên  dom f  dom g , vì vậy   | u  v | (| u | M  F • )  (| v | M  F • )  M (| u  v |   F • )   với mọi  u, v  L0  Do đó  || u  v ||1  2  M  F (u, v)  với mọi  u , v  A    Nghĩa là, với    , chúng ta có thể tìm được F, M sao cho với mọi  u , v  A ,    F (u, v)   1 M || u  v ||1  3    Từ đó suy ra rằng mọi tập con của A mở trong  TA  thì cũng mở trong  GA    (ii) Theo một hướng khác, chúng ta có   F (u, v) || u  v ||1  với mọi  u  L1  và mọi tập  có độ đo hữu hạn F, vì vậy mọi tập con của A mở trong  GA  thì cũng mở trong  T A    (c) Nếu  (un )n  u  theo  ,   A  un : n    là khả tích đều . Thật vậy, cho trước     , và  m  sao cho  || un  u ||1    nếu  n  m  Đặt  v | u |  |ui | L , và giả sử  im •  M  0, E    sao cho   (v  M  E )    Khi đó, với  w  A,    E 79 (| w | M  E • )  (| w | v)  (v  M  E • )    Suy ra   (| w | M  E• ) || (| w | v) ||1  (v  M  E• )  2   E E Vậy theo giả thiết, ta có thể chắc chắn rằng  {un : n  }  và  A  {u}  {un : n  } là  khả tích đều, vì vậy hai tơpơ là đồng nhất trên A (bởi (b)) và  (un )n  hội tụ tới u  theo tơpơ này nếu và chỉ nếu nó hội tụ tới u theo tơpơ cịn lại.   (d) Bởi vì A bị chặn theo chuẩn   (mệnh đề 3.7.a)  và    là nửa hữu hạn,  A  L1   (mệnh đề 3.5 (b-i)). Cho trước    , giả sử  M  0,   E    sao cho   E    và  •   (| u | M  E )    với mỗi  u  A  Các ánh xạ  u | u |  ,  u  u  M  E • ,  u  u  : L0  L0  liên tục theo tôpô của sự hội tụ theo độ đo (mệnh đề 3.1), trong khi  {u :|| u ||1   } đóng theo tơpơ đó, vì vậy  {u : u  L0 ,  (| u | M  E • )   }  là đóng và phải  chứa  A  . Do vậy   (| u |  M  E • )    với mỗi  u  A  . Do    là tùy ý nên  A  là khả  tích đều.□  3.2.5 Khơng gian phức         Các định nghĩa và các định lý bên trên có thể được phát biểu lại đối với khơng  gian các hàm nhận giá trị phức mà khơng có khó khăn gì, chỉ cần một sự thay đổi:  trong khơng gian phức, hằng số trong bổ đề 3.9 phải thay đổi. Dễ dàng thấy rằng,  với  u  L () ,   || u ||1 || Re(u ) ||1  || Im(u ) ||1  2sup F   F Re(u )  2sup F   F Im(u )  4sup F   F u  .  (Thực ra có thể chứng minh  || u ||1   sup |  u | ). Do vậy một vài lập luận của định  F  F lí 2.33 cần phải được viết lại với những hằng số khác, nhưng kết quả thì khơng ảnh  hưởng.   3.3 Hội tụ yếu         Bây giờ ta chuyển sang nét đặc trưng nhất của tính khả tích đều: đưa ra một mơ  tả của các tập con compact tương đối yếu trong   Ta sắp xếp nội dung này vào  một mục riêng biệt vì nó dùng tới các kiến thức của giải tích hàm, đặc biệt là các  tơpơ yếu trên các khơng gian Banach.           Phần lập luận của định lý chính dưới đây sẽ rõ ràng hơn nếu ta tách rời một  trường hợp đơn giản.   Bổ đề 3.12  Giả sử  (X, ,  )  là một khơng gian đo, và G là một phần tử bất kỳ  của    Giả sử  G  là một độ đo của khơng gian con trên G, vì vậy  G E   E  với  E  G ,  E     80 Đặt  U  {u : u  L1 ( ), u   G•  u}  L1 ( )  Khi đó chúng ta có một đẳng cấu S  giữa các khơng gian định chuẩn được sắp thứ tự U và  L1 ( G ) , được cho bởi   S ( f • )  ( f G )•   với mỗi  f L1 ( )  sao cho  f • U     Chứng minh:         Rõ ràng U là một khơng gian con tuyến tính của  L1 (  )  Chú ý rằng  f G là khả  tích, và   | f G | d G   | f |  Gd    | f | d    với mỗi  f L1 ( )  Nếu  f , g L1 ( )  và  f  g     h.k n , khi đó  f G  g G   G  h.k.n ; vì vậy cơng thức của S xác định một ánh xạ từ U tới  L (G )    Bởi vì  ( f  g ) G  ( f G )  ( g G ), (cf ) G  c( f G )    với mọi  f , g L1 ( )  và tất cả  c , S  là tuyến tính. Bởi vì   f  g     h.k.n  f S là bảo tồn thứ tự. Bởi vì   | f G  g G G  h.k.n   G | d G   | f | d   với mỗi  f  L ( ),|| Su ||1 || u ||1   với mỗi  u  U         Để thấy S là toàn ánh, lấy  v  L (G )  bất kỳ. Biểu diễn v như là  g   trong đó  g L1 (G )  Ta có  f L1 ( ) , trong đó  f(x) =g(x) với  x  domg , bằng   với  • x  X ‚ G;  vì vậy  f U  và  f G  g  và  v  S ( f • )  S[U ]       Để thấy S bảo toàn chuẩn, chú ý rằng, với  f L1 ( )  bất kỳ,   | f G | d G   | f |  Gd  ,    vì vậy nếu  u  f • U  chúng ta sẽ có   || Su ||1   | f G | d G   | f |  Gd  || u   G • ||1 || u ||1 □  Hệ 3.12  Giả sử  (X, ,  )  là không gian đo bất kỳ, và  G    là một tập đo  được biểu diễn như là một hợp đếm được của các tập có độ đo hữu hạn. Xác định U  như trong bổ đề 3.12, và  h :  L1 ( )   là một phiếm hàm tuyến tính liên tục. Khi  đó có một  v  L (  )  sao cho  h(u )   u  vd   với mỗi  u  U    81 Chứng minh:         Giả sử  S : U  L (G )  là một đồng phơi xác định như trong bổ đề 3.12. Khi đó  S 1 : L1 (G )  U  là tuyến tính và liên tục, vì vậy  h1  hS 1  thuộc vào khơng gian  * định chuẩn đối ngẫu  ( L (G ))  của  L (G )  Khi đó tất nhiên  G là   - hữu hạn, và  do đó địa phương hóa được, vì vậy định lí 2.13b  chỉ ra rằng tồn tại một  v1  L (G )  sao cho   h1 (u )   u  v1d G   với mỗi  u  L (G )    •         Biểu diễn  v1   như là  g1   trong đó  g1 : G   là một hàm đo được bị chặn. Đặt  g  x     g1  x    với  x  G , bằng   với  x  X ‚ G  ; khi đó  g : X  là một hàm  đo được bị chặn, và  v  g •  L ( ) Nếu  u U , biểu diễn u như là  f   trong đó  f L1 ( ) ; khi đó  h(u )  h( S 1Su )  h1 (( f G )• )   ( f G )  g1d G                         ( f  g ) d G   f  g   Gd    f  gd    u  v                               G Do u bất kỳ nên ta có điều phải chứng minh.   Định lý 3.13  Giả sử  (X, ,  )  là không gian đo bất kỳ và A là một tập con của  L1  L1 (  )  Khi đó A là khả tích đều nếu và chỉ nếu nó là compact tương đối trong  L1  đối với tơpơ yếu của  L1    Chứng minh:  (a)    Giả sử A là compact tương đối đối với tơpơ yếu. Ta tìm cách chỉ ra rằng nó  thỏa mãn điều kiện (iii) của định lí 3.10.   (i) Nếu  F   , thì chắc chắn  sup |  u |  , bởi vì  u  F u  thuộc vào  (L1 )* , và nếu  F u A * h  ( L )  thì ảnh của một tập compact tương đối dưới h phải là bị chặn .   (ii) Giả sử rằng   Fn n  là một dãy rời nhau trong    Giả sử, nếu có thể, rằng    sup |  u | n  khơng hội tụ đến 0. Khi đó tồn tại một dãy tăng ngặt   n(k )  k   u A thuộc  F   sao cho    inf sup |  u |    k uA Fn ( k ) Với mỗi k, chọn  uk  A  sao cho  |  Fn ( k ) uk |   . Bởi vì A là compact tương đối đối với  tơpơ yếu, tồn tại một điểm tụ u của   uk k  thuộc  L1  đối với tôpô yếu . Đặt   j  2 j  /   với mỗi  j     82        Bây giờ ta có thể chọn một dãy tăng ngặt   k ( j )  j  theo cách quy nạp, vì vậy  với mỗi j,  j 1  Fn ( k ( j )) (| u |   |uk (i ) |)   j     i 0 j 1  Fn ( k ( i )) i 0 u Fn ( k ( i )) uk ( j )   j   j 1 1 với mọi j, coi   là   Thật vậy, cho trước   k (i) i j , đặt  v* | u |   |uk ( i ) | ; khi đó   i 0 i 0 lim  k  Fn ( k ) v*     theo định lý hội tụ làm trội Lesbegue, ngược lại sẽ tồn tại một số  k *  sao cho  k *  k (i)  với mỗi  i  j  và   v*   j  với mỗi  k  k *  Theo đó,   Fn ( k ) j 1 w  Fn ( k ( i )) i 0 u Fn ( k ( i )) w : L1    liên tục đối với tôpô yếu của  L1  và bằng 0 tại u, và u thuộc vào mọi tập mở yếu  * chứa  {uk : k  k } , do vậy tồn tại  k ( j )  k *  sao cho   j 1  i 0 Fn ( k ( i )) u Fn ( k ( i )) uk ( j )   j   Điều này tiếp diễn sự xây dựng của chúng ta.        Giả sử  v  là một điểm tụ bất kỳ trong  , theo tôpô yếu, của   uk ( j )  j  Đặt  Gi  Fn( k (i )) ,   ta có   Gi u   u k ( j )   j  nếu i < j, vì vậy  lim  uk ( j )  tồn tại = G u  với  j  Gi Gi i mỗi i, và   v   u  với mọi i; đặt  G  i Gi ,  ta có  Gi Gi   G  v    v    u   u ,    i 0 Gi Gi i 0 G bởi vì   Gi i là rời nhau.   j 1 Với mỗi  j  i 0 i  i  j 1 j 1 j 1  ,   G uk ( j )  Gi  uk ( j )    |u |    u   uk ( j )  i 0 Gi j 1                                                                   i   j  i 0 83 Gi i 0  Gi    i   i  i  j 1 i 0   i  j 1       Gi |uk ( j ) |       Nói cách khác,  |  uk ( j ) |   Vì vậy  Gj  G uk ( j )   Gi i 0 uk ( j )      Điều này đúng với mỗi  j; bởi vì mọi tập mở yếu chứa v giao  {uk ( j ) : j  } ,  2 |  v |   và  |  u |   Hay nói cách khác,   G G 3   G u    i 0 Gi  u    |u | i  i 0 Gi i 0  ,    điều này là vơ lí. Sự mâu thuẫn đó chỉ ra rằng  lim sup |  u | Vì   Fn n  là tùy  n  u A Fn ý, A thỏa mãn điều kiện của định lí 3.10. (iii) và là khả tích đều.   (b) Bây giờ giả sử rằng A là khả tích đều. Ta tìm một tập compact yếu  C  A   (i) Với mỗi  n   (| u | M n , chọn  En   ,  M n   sao cho   En    và   En• )   2 n  với mọi  u  A  Đặt   C  {v : v  L1 ,|  v | M n  ( F  En )  2 n n  , F  }  ,  F và chú ý rằng  A  C , bởi vì nếu  u  A  và  f   ,   |  u |  (| u |  M n  En• )   M n  En•  2 n  M n  ( F  En )   F F F với mỗi n. Nhận thấy C là   - bị chặn, bởi vì   || u ||1  2sup  u  2(1  M  ( F  E0 ))  2(1  M  E0 )   F  F với mỗi  u  C (sử dụng bổ đề 3.9).   (ii) Bởi vì ta đang tìm cách chứng minh định lý này đối với các khơng gian đo bất  kỳ  (X, ,  ) , ta khơng thể sử dụng định lí 2.13b để xác định đối ngẫu của  L1  Tuy  nhiên, hệ quả 3.12 bên trên chỉ ra rằng định lí 2.13b là ``gần'' đúng, theo nghĩa sau   đây: nếu  h  ( L1 )*  , tồn tại một  v  L   sao cho  h(u )   u  v  với mỗi  u  C  Thật  vậy, đặt  G  n En ,   và xác định  U  L  như trong định lí 3.12 và hệ quả    3.12 của nó. Theo hệ quả 3.12, tồn tại một  v  L  sao cho  h(u )   u  v  với mỗi   u  U  Nhưng nếu  u  C , ta có thể biểu diễn u như là  f  trong đó  f : X  được. Nếu  F    và  F  G   ,  thì    F f   F u  2 n  M n  ( F  En )  2 n   84  là đo  , vì vậy   f  ; suy ra  f  0  hầu khắp nơi trên  X ‚ G , vì vậy  với mỗi  n  F f   G h.k n f  và  u  u   G•  , tức là,  u  U , và  h(u )   u  v , ta có điều phải  chứng minh.   (iii) Vì vậy chúng ta có thể đi đến, có một mơ tả đầy đủ, khơng phải của chính  ( L1 ( ))*  , mà chính tác động của nó lên C. Giả sử  F  là một siêu lọc trên  L1  chứa C Với mỗi  F   , đặt  F  lim  u  ; bởi vì  sup  u  sup || u ||1   , điều này được  u F F uC F uC định nghĩa tốt trên   Nếu E, F là các phần tử rời nhau của   , thì   u   u   u  với mỗi  u  C , vì vậy  EF E F  ( E  F )  lim  E F u F u  lim  u  lim  u   E   F    E u F F u F  là cộng tính. Tiếp theo, nó là liên tục thực sự theo    Thật vậy,   cho trước    , lấy  n   sao cho  2 n  , đặt     / 2(M n  1)   và nhận xét rằng   Suy ra  :   |  F | sup  u   n  M n  ( F  En )     uC F nếu   ( F  En )             Theo định lý Radon-Nykodym , tồn tại một  f0 L  sao cho   f   F  với mọi  F • F   Đặt  u0  f  L Nếu  n   F ,  F    thì   u0 |  F | sup uC  F u  2 n  M n  ( F  En ),    vì vậy  u0  C    (iv) Tất nhiên điểm mấu chốt là  F  hội tụ tới  u  Thật vậy, giả sử  h  ( L1 )* , khi đó   tồn tại một  v  L  sao cho  h(u )   u  v  với mỗi  u  C Biểu diễn  v  như là  g• ,  trong đó  g : X   là bị chặn và   - đo được. Giả sử    , lấy  a0  a1   an  sao  cho  ai1    với mỗi  i  trong khi  a0  g ( x)  an  với mỗi  x  X  Đặt  n Fi  {x : 1  g ( x)  } với 1  i  n , và đặt g    Fi ,  v  g • ; khi đó  i 1 || v v ||    Ta có  n u n n n  v    u   ai Fi   lim  u  lim   u  lim  u  v   i 1 Fi i 1 i 1 u F Do vậy   85 Fi u F i 1 Fi u F                   lim sup  u  v   u0  v   u0  v   u0  v  sup  u  v   u  v    u F uC                                                          || u0 ||1|| v  v ||  sup || u ||1|| v  v ||   uC                                                            2 sup || u ||1   uC Vì   là tùy ý, nên  limsupu F | h(u )  h(u0 ) | lim sup  u  v   u0  v   Do  h  là  u F tùy ý,  u0  là một giới hạn của  F  trong  C  theo tôpô của  L1  Do  F là tùy ý, C là  compact yếu trong  L1 , và việc chứng minh được hoàn thành.   Hệ 3.13.    Giả sử  (X, ,  ) và  (Y ,T , )  là hai không gian đo bất kỳ, và  T : L1 ( )  L1 ( ) là một tốn tử tuyến tính liên tục. Khi đó  T [ A]  là một tập con khả  tích đều của  L1 ( )  nếu  A là một tập con khả tích đều của  L1 (  )    Điểm mấu chốt là T là liên tục đối với các tơpơ yếu . Nếu  A  L1 (  )  là khả tích  đều, thì có một tập compact yếu  C  A , bởi định lí 3.13, là ảnh của một tập  compact dưới một ánh xạ liên tục, phải là compact yếu ; vì vậy  T [C ]  và  T [ A]  là  khả tích đều theo định lí 3.12.          Dễ dàng chứng minh định lí 3.12. cho  L  Trong chứng minh, ta chỉ cần thay  đổi các hằng số khi áp dụng  bổ đề 3.9, hoặc các lập luận trong 3.2.4, trong phần (bi) của chứng minh.        86 KẾT LUẬN               Luận văn đã trình bày được hai nội dung chính là:   Mơ tả chi tiết các tính chất của các khơng gian hàm trong các khơng gian L   trong trường hợp 1 ≤ ≤ ∞.    Nghiên cứu được một số dạng hội tụ quan trọng  (hội tụ theo độ đo, hội tụ  yếu)  trong các khơng gian L và tính khả tích đều trong khơng gian L        Do  hạn chế  về  thời  gian  nên  luận văn  chưa  đề cập  được  đến  các  không  gian hàm  L trong trường hợp 0 ≤ ≤ 1. Khi có điều kiện, tác giả sẽ trở lại  nghiên cứu thêm về vấn đề này.      Tác giả mong nhận được ý kiến nhận xét của các thầy cơ giáo và các bạn  đọc để bản luận văn được hồn chỉnh hơn.                                     87 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Hồng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học Quốc  gia Hà Nội.       [2] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, Nhà  xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.       [3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2010), Giáo trình giải tích hàm, Nhà xuất  bản Đại học sư phạm.        [4] Nguyễn Văn Toản (2002), Bài tập giải tích đại, Xí nghiệp in chuyên  dung Thừa Thiên Huế.       [5] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên, Lý thuyết xác suất, Nhà xuất bản giáo dục.    Tiếng Anh        [6] D.H.Fremlin (2003), Measure theory, Volume 2, Readerin Mathematics,  University of Essex.        [7] Frank Burk (1998), Lebesgue Measure and Integral An Introduction, John  Wiley & Sons, Inc.               88 ... (C k )  chính là σ  - đại? ?số? ? Borel trong  k   1.4 Hàm số đo Định nghĩa 1.9 Cho? ?một? ?không? ?gian? ?X,? ?một? ?σ - đại? ?số? ?   những tập con của X, và  một? ?tập  A  ? ?Một? ?hàm? ?số? ? f (x) : X   gọi là đo được trên tập A đối với σ - đại? ?số? ?... trình  bày  là  khơng  gian? ? ,  khơng  gian? ? (khơng  gian? ? các  hàm? ? đo  được  khả  tích), khơng  gian? ? (khơng? ?gian? ?các? ?hàm? ?bị chặn cốt yếu), khơng? ?gian? ? (khơng? ?gian? ?các? ?hàm? ?số? ?có  lũy thừa bậc p của mơ đun khả tích trên X). Các khơng? ?gian? ?này được trình bày? ?một? ?...  lại chứa? ?một? ?số? ?khơng? ?gian? ?con trù mật rất có ý nghĩa.   Mệnh đề 2.9 Giả sử  ( X ,  ,  )  là? ?một? ?không? ?gian? ?đo bất kỳ, và  S là? ?không? ?gian? ? các? ?hàm? ?  - đơn giản trên X. Khi đó   (a) Nếu f  là? ?một? ?hàm? ?nhận giá trị thực