Luận văn sư phạm Toán tử dương trong không gian Hilbert

Khố lu n t t nghi p Ngơ Th Lý- K32C- Toán tr ng đ i h c s ph m hƠ n i khoa tốn ******** ngơ th lý tốn t d ng khơng gian hilbert khố lu n t t nghi p đ i h c Chuyên ngƠnh: Gi i tích Ng i h ng d n khoa h c ts nguy n v n hùng hƠ n i - 2010 Khoá lu n t t nghi p Ngơ Th Lý- K32C- Tốn M cl c L ic m n L i cam đoan M đ u N i dung Ch ng 1: Không gian Hilbert 1.1 Không gian Vect 1.2 Không gian nh Chu n 1.3 Tích vơ h ng 1.4 Ph n bù tr c giao 1.5 Không gian Hilbert 1.5.1 nh ngh a 1.5.2 Ví d 6 9 12 12 12 12 Ch ng 2: Tốn t n tính liên t c 2.1 Tốn t n tính 2.2.1 nh ngh a 2.1.2 Ví d 2.2 Tốn t liên t c 2.2.1 Toán t b ch n 2.2.2 Toán t liên h p 2.2.3 Tốn t t liên h p 2.2.4 Ví d Ch ng 3: Toán t xác đ nh d 3.1 nh ngh a 3.2 Ví d 3.3 Tính ch t 3.4 M t s tốn 14 14 15 15 16 16 16 16 17 21 21 21 24 37 40 41 ng K t lu n TƠi li u tham kh o Khoá lu n t t nghi p Ngơ Th Lý- K32C- Tốn L IC M hồn thành khóa lu n này, tr N c h t em xin bày t lòng bi t n sâu s c đ n th y, cô t gi i tích, khoa tốn tr ng i h c s ph m Hà N i giúp đ em su t q trình làm khóa lu n c bi t em xin chân thành c m n th y giáo h ng d n Ti n s Nguy n V n Hùng t o u ki n t t nh t ch b o t n tình cho em đ em có th hồn thành khóa lu n t t nghi p Do th i gian ki n th c có h n nên nh ng v n đ trình bày khóa lu n t t nghi p khơng tránh kh i thi u sót Vì v y em r t mong nh n đ c nh ng ý ki n đóng góp c a th y, giáo b n sinh viên Em xin chân thành c m n! Hà N i tháng n m 2010 Sinh viên Ngơ Th Lý Khố lu n t t nghi p Ngơ Th Lý- K32C- Tốn L i cam đoan Khóa lu n k t qu c a b n thân em trình h c t p nghiên c u b c đ i h c Bên c nh đó, em c ng nh n đ c s quan tâm, t o u ki n c a th y cô giáo khoa toán đ c bi t s h ng d n t n tình c a th y Nguy n V n Hùng Vì v y em xin kh ng đ nh k t qu c a đ tài “Tốn t d ng khơng gian Hilbert’’ khơng có s trùng l p v i k t qu c a đ tài khác N u sai em xin hoàn toàn ch u trách nhi m Hà N i tháng n m 2010 Sinh viên Ngô Th Lý Khố lu n t t nghi p Ngơ Th Lý- K32C- Tốn M đ u Lí ch n đ tƠi Lí thuy t hàm gi i tích hàm b mơn lý thuy t đ c đ i phát tri n t nh ng n m đ u c a th k 20 Nó có t m quan tr ng, có nh ng ng d ng ngành tốn h c Có th nói gi i tích hàm m t mơn h c có t m quan tr ng đ i v i sinh viên khoa tốn Vì v y vi c h c n m v ng môn h c u r t c n thi t đ i v i sinh viên khoa toán N i dung c a gi i tích hàm r t phong phú, đa d ng v i s m i m khó c a mơn h c làm cho vi c ti p thu nh ng ki n th c c a gi i tích hàm tr thành không d dàng đ i v i sinh viên khoa tốn Do đ n m v ng ki n th c c b n c a gi i tích hàm đ ng th i v i quy t tâm b đ u nghiên c u khoa h c, em ch n đ tài “ Tốn t d c ng khơng gian Hilbert” đ làm khóa lu n t t nghi p M c đích nghiên c u B c đ u làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c tìm hi u sâu h n v gi i tích hàm đ c bi t lý thuy t toán t Nhi m v nghiên c u Nghiên c u toán t d Ph ng không gian Hilbert ng pháp nghiên c u C s lí lu n, phân tích, t ng h p đánh giá C u trúc c a khóa lu n Khố lu n t t nghi p Ngơ Th Lý- K32C- Tốn Ngồi ph n m đ u, k t lu n, tài li u tham kh o, khóa lu n g m ch ng: Ch ng 1: Khơng gian Hilbert Ch ng 2: Tốn t n tính liên t c Ch ng 3: Toán t xác đ nh d ng Khoá lu n t t nghi p Ngơ Th Lý- K32C- Tốn N i dung Ch ng Không gian Hilbert 1.1 Không gian Vect Cho X t p tùy ý khác r ng tr ng P v i phép tốn “+” “.” Gi s có phép toán X: (i) (ii) +:  : X X  X x, y  x y , x, y  X ,   P , x  X PX  X  , x  x Ta g i X v i phép toán (i) (ii) không gian Vect tr ng P n u tiên đ sau đ c th a mãn: T1, x, y  X : x  y  y  x T2, x, y, z  X :x  y  z  x   y  z T3, Trong X có  đ x    x x  X T4, x  X, x'  X đ th a mãn: x  x'   T5,   P ; x, y  X ta có:  x  y  x  y T6,  ,   P ; x  X ta có:    x  x  x T7,  ,   P ; x  X ta có:  x   x T8, x  X : 1x  x Các ph n t c a X đ tích vơ h c g i Vect , ph n t c a P đ ng Không gian Vect X tr Vect X c g i ng P g i P- khơng gian Khố lu n t t nghi p Ngơ Th Lý- K32C- Toán Khi P  ฀ ta g i không gian Vect X không gian Vect th c Khi P  ฀ ta g i không gian Vect X khơng gian Vect ph c Ví d Không gian ฀ k không gian vect th c K chi u v i ph n t kí hi u là: x (n ) =( x (n ) ) kj 1 ฀ k , n  0,1,2 Th t v y    t ฀ k  x  xj  k n j 1   (1) x  xj n k j 1  , xj 1  ฀ , k   n    ฀ k , x'  xj n k j 1  ฀ k ta có: xjn   x'jn   x'jn   xjn  j  1, k Suy ra: x  x'  x'  x Tiên đ đ   (2) x  xj n k j 1 c th a mãn    ฀ k , x'  x j ' n    ฀ k , x"  x j " n x   x     x    x   x    x    n j ' n j " n j n j ' n j " n j k j 1  ฀ k ta có: j  1, k Suy ra: x  x'   x"  x  x' x"  Tiên đ đ   (3) x  xj n k j 1 c th a mãn ฀ k , xét ph n t    0,0, ,0   ฀ k , ta có:  xjn   xjn  , j  1, k Suy ra:  x  x x ฀ k Khoá lu n t t nghi p Tiên đ đ   (4) x  xj n k j 1 Ngô Th Lý- K32C- Toán c th a mãn  ฀ k , t n t i ph n t  n ta có:   xjn    xjn   , j  1, k Suy ra: x    x  0, x  ฀ k Tiên đ đ   (5) x  xj n k j 1 c th a mãn  ฀ k ;  ,   ฀ ta có:  xjn      xjn  , j  1, k Suy ra:    x     x, x  ฀ k Tiên đ đ   (6) x  xj n k j 1 c th a mãn  ฀ k ;  ,   ฀ ta có:    xjn   xjn   xjn  , j  1, k Suy ra:    x  x  x Tiên đ đ   (7) x  xj n k j 1 c th a mãn    ฀ k , x'  xj n k  xjn   x'j n    xjn   x'j n  Suy ra:  x  x'   x  x' Tiên đ đ c th a mãn j 1   x   x1  ,  x2  , ,  xk   ฀ k  ฀ k , j  1, k n n Khoá lu n t t nghi p   (8) x  xj n k j 1 Ngơ Th Lý- K32C- Tốn ฀ k ta có: xjn   xjn  ( ph n t đ n v c a ฀ ) j  1, k Suy ra: 1.x  x, x ฀ k Tiên đ đ c th a mãn V y ฀ k không gian n tính th c v i phép tốn “+” “.” xác đ nh nh 1.2 Không gian đ nh chu n Ta g i không gian đ nh chu n X khơng gian n tính tr (P tr ng P ng s th c ho c ph c) v i m t ánh x t X vào t p s th c ฀ Kí hi u  đ c “chu n” th a mãn tiên đ sau: 1, x  X, x  0, x   x  2, x  X,   P , ta có: x   x 3, x, y  X ta có: x  y  x  y S x đ c g i chu n c a vect x Ta kí hi u không gian đ nh chu n X Các tiên đ 1;2;3 g i h tiên đ chu n Ví d : khơng gian ฀ k khơng gian đ nh chu n 1.3 Tích vơ h ng Cho khơng gian n tính X tr ph c ฀ ) Ta g i tích vơ h ng P ( P tr ng s th c ฀ hay ng không gian X m t ánh x t tích Descarts vào P Kí hi u ( , ) th a mãn tiên đ : T1, x, y  X : x, y  y, x 10 Khoá lu n t t nghi p Ngơ Th Lý- K32C- Tốn Ta xét tốn t A không gian Hilbert H  ฀ v i: Ax  2x1  3x2 , x1  x2  Ta ch ng minh A toán t xác đ nh d ng t Bx  x1  3x2 , x1  x2  v i m i x  x1 , x2   H Ta có: ABx  2Bx1  3Bx2 ,  Bx1  Bx2  2x1  3x2   3x1  x2 ,  x1  3x2   x1  x2   x1 , x2   x BAx   Ax1  3 Ax2 ,  Ax1  2 Ax2  2 x1  3x2  3 x1  x2 , x1  3x2  2 x1  x2   x1 , x2   x V y B=A-1 Ta có: A1 x, x  x1  3x2 x1  x1  x2 x2   3 2 x1  x1 x2  x22  x , x  H 10   Nh v y A-1 c ng toán t xác đ nh d nh lí 3: N u A tốn t d ng ng khơng gian Hilbert, v i m i x,y  X:  Ax, y   Ax, x Ay, y 3.1 Ch ng minh: 29 Khoá lu n t t nghi p Ngơ Th Lý- K32C- Tốn Rõ ràng x, y   Ax, y m t d ng song n tính đ i x ng d ng xác đ nh không gian X áp d ng b t đ ng th c Cauchy-Svacso vào d ng x, y đ c: x, y  x, x y, y b t đ ng th c (3.1) H qu 1: N u A toán t d ng thì: Ax  A  Ax, x v i m i x X (3.2) Qu v y b t đ ng th c (3.1) l y y=Ax đ c Ax   Ax, x. A Ax, Ax   Ax, x A Ax B t đ ng th c t ng đ ng v i (3.2) H qu 2: N u A m t toán t d ng (x n)n m t dãy ph n t X cho (Axn,xn)  th Axn  Suy t h qu M t tr ng h p đ c bi t c a h qu ho c h qu : n u (Ax,x)=0 Ax=0 nh lý 4: Gi s A m t tốn t d ng khơng gian Hilbert X t: m  inf  Ax, x xX , x 1 M  sup Ax, x xX , x 1 Th thì: a, A  M 30 Khố lu n t t nghi p Ngơ Th Lý- K32C- Tốn b, m    A, M    A   A  m, M  Ch ng minh: T đ nh ngh a s m M ta có: m x   Ax, x  M x a) Gi s  Ax, x  v i m i x X x  Khi đó: Ax x  A x  A Vì v y M  sup Ax, x  A xX , x 1 M t khác, theo (3.2) ta có: Ax  A  Ax, x  A M x 2 Do đó: A  sup Ax  A M 2 xX , x 1 Thành th b) A  M A  M t Am  A  m.I , th thì:  Am x, x   Ax  m.x, x   Ax, x  m x  V i m i x  X, v y Am m t toán t d ng, h n n a: inf  Am x, x  inf  Ax, x  m  x X , x 1 x X , x 1 Vì v y t n t i m t dãy xn   X v i xn  cho: lim  Am xn , xn   n  31 Khố lu n t t nghi p Ngơ Th Lý- K32C- Toán Theo h qu c a đ nh lí ta có Am xn  Thành th ta tìm đ c dãy xn   X v i xn  cho Am xn  x   : u ch ng t r ng tốn t t c, b i n u t n t i tốn t ng Am  A  m.I khơng có tốn t ng c liên t c 1 A m Am xn  C xn  C v i m i n, v i C m t s d Tóm l i, ta ch ng minh đ V i m i s c liên ta ph i có ng c r ng: m    A ,  0 ta xem toán t Am  A  m   .I   A  mI    I  Am   I Rõ ràng Am  I m t toán t d ng, dó t liên h p, h n n a v i m i x  X ta đ u có: Am x   Am x  x, Am x  x  Am x  2  Am x, x   x   x 2 B t đ ng th c m t m t ch ng t r ng  Am   0 , m t khác  Am  m t t p h p đóng Vì: X   Am   A m    Am    Am  Nên ta th y r ng Am ánh x không gian X lên không gian X, ta suy r ng t n t i toán t ng c liên t c Am1  A  m   I 1 , m      A v i m i   Bây gi ta xem toán t B  MI  A Th thì: Bx, x  Mx  Ax, x  M x   Ax, x  V i m i x  X, v y B toán t d 32 ng, h n n a: Khoá lu n t t nghi p Ngơ Th Lý- K32C- Tốn inf Bx, x  inf M   Ax, x  M  sup Ax, x  xX , x 1 xX , x 1 xX , x 1 Vì v y, theo k t qu v a m i ch ng minh , ta suy r ng: c liên t c B   A MI  nên ta suy i, Tốn t B khơng có tốn t ng k t qu : M    A ii, V i m i s   , tốn t B  I có tốn t ng c liên t c B  I 1  M   I  A 1   A M   I 1 Vì v y: M      A v i m i   Vì ph   A t p trung đ ng th ng th c ,và m      A, M      A v i m i   Nên ta đ c:   A  m, M  Các tính ch t nêu, g i ý r ng toán t liên h p có m t s tính ch t gi ng v i s th c, toán t d ng có m t s tính ch t gi ng v i s th c d c làm n i b t b i nh ng k t qu d ng S t ng t y đ i đây: nh lí 5: N u A,B toán t d d ng giao hoán v i A B m t tốn t ng Ch ng minh: Tr c h t ta đ ý đ n u nh n xét sau đây: 10, Vì AB=BA nên phép quy n p theo k ch ng t r ng AkB=BAk (k nguyên d ng), t suy r ng B giao hốn v i m i đa th c c a A, t c v i m i tốn t có d ng: 33 Khố lu n t t nghi p Ngơ Th Lý- K32C- Toán a I  a1 A a A2   a m Am (a1,a2,…,am nh ng h s b ng s ) ng, có chu n C  C  C c ng 20, N u C m t tốn t d tốn t d ng, có chu n C  C  Qu v y, C  nên theo b t đ ng th c (3.2) ta có v i m i x  X C  x, x  Cx, Cx  Cx  C Cx, x  Cx, x Do C  C x, x  v i m i x  X H n n a, ta có: C  C  supC  C x, x supCx, x  C  xX , x1 xX , x 1 ch ng minh đ nh lí, ta có th gi thi t r ng A  (vì n u khơng s xét ) A t Ao=A A1  A0  A02 A2  A1  A12 (5.1) An 1  An  A n Thì rõ ràng có An(n=0,1…) nh ng đa th c c a An=A Do An đ u giao hoán v i B S d ng u nh n xét 20, b ng quy n p theo n, ta suy m i An m t tốn t d ng, có chu n An  C ng n+1 đ ng th c đ u tiên c a (5.1) ta đ n A   Ak2  An 1 5.2 k 0 34 c: Khoá lu n t t nghi p Ngơ Th Lý- K32C- Tốn Do ta có v i m i x  X:  Ax, x    Ak2 x, x   An1x, x    Ak2 x, x   n n k 0 n k 0 k 0 Ak x (Vì An+1  0) B t đ ng th c cho m i n, v y  chu i:  Ak x h i t v i m i x  X k 0 Tt suy r ng lim Ak x , t c là: k  lim Ak x  v i m i x X k  K t h p k t qu v i đ ng th c (5.2) ta đ c: n Ax  lim  Ak2 x v i m i x X n  k 0 Do đó:  ABx, x  lim   A Bx, x  lim   BAk x, Ak x  n n n k 0 n k k 0 nh lí 6: Gi th A m t toán t d t i m t tốn t d ng khơng gian Hilbert X Khi t n ng nh t B cho B2=A H n n a, n u T m t tốn t n tính liên t c tùy ý giao hốn v i A, T c ng giao hoán v i B Chú ý: Toán t B th d ng A th ng đ ng đ c g i c n (d ng) b c hai c a tốn t c kí hi u A1/2, Ch ng minh: C ng nh phép ch ng minh đ nh lí 5, A  Do đó: 35 ta có th gi thi t Khoá lu n t t nghi p  Ax, x  Ngơ Th Lý- K32C- Tốn Ax x  A x  x  x, x 2 V y  A I C=I-A m t toán t d ng th y b n ch t qua trình tìm tốn t B=A1/2, ta t m gi thi t r ng B t n t i t S=I-B, B=I-S, đó: A=B2=(I-S)2=I-2S+S2 V y toán t S nghi m c a ph S I  A  S  C  S 2 2 c bi t c a ph b ng ph ng trình tốn t : 6.1 ng trình (6.1) g i ý cho gi ph ng trình y ng pháp l p Nh v y, ta s đ t: S0  I 1 C  S02 2 1 S2  C  S12 2 1 Sn 1  C  Sn2 2 S1  Vì C  nêu rõ ràng toán t Sn (n=1,2,…) đ u d ng Phép quy n p theo n ch ng t r ng Sn nh ng đa th c c a C=I-A, v y Sn đa th c c a A c bi t t suy r ng S n giao hoán v i Ta ch ng t r ng: I  S0  S1  S2   Sn   6.2 36 Khố lu n t t nghi p Ngơ Th Lý- K32C- Toán T c ch ng t r ng Sn  Sn1 n  0,1,2  nh ng toán t d ng Qu v y, n=0 ta có:  1 A 1 S0  S1  I   C  I   I  I  A    2 2 Gi thi t ta ch ng minh đ c Sn-1-Sn  Khi đó:  1  1  1 Sn  Sn 1   C  Sn21    C  Sn2   Sn21  Sn2 2  2  2  Sn 1  Sn Sn 1  Sn   (Vì Sn giao hốn v i nên ta có đ ng th c cu i cùng) Nh ng Sn-1-Sn  , Sn-1+Sn  toán t giao hoán v i nhau, v y theo đ nh lí : Sn  Sn1  T dãy b t đ ng th c (6.2), suy r ng dãy (Sn) h i t đ n gi n đ n toán t d ng S 2 L y x  X tùy ý Trong đ ng th c: Sn1 x  Cx  Sn2 x Cho n   đ Sx  c: 1 Cx  S x ( x X tùy ý) 2 V y S nghi m c a ph ng trình (6.1) B=I-S tốn t ph i tìm Ta ki m nghi m r ng toán t B th a mãn t t c u ki n l i c a đ nh lí Gi th T m t tốn t n tính liên t c, giao hốn v i A Vì Sn nh ng đa th c A, v y T giao hoán v i t t c Sn 37 Khoá lu n t t nghi p Ngô Th Lý- K32C- Toán T c TSn x  S  T x v i m i x  X cho n   đ c TSx=STx v i m i x  X V y T giao hoán v i S, giao hốn v i B=I-S Bây gi ta gi s B1 m t toán t d ng th a mãn u ki n B12=A Th B1A=B1.B12=A.B1 V y B1 giao hốn v i A Do giao hốn v i tốn t B tìm đ c V i m i x X , ta có:     A  Ax  B  B12 x  B  B1 B  B1 x  B  B1  y Trong y  Bx  B1 x Vì v y :  B  B1 y, y  By, y  B1 y, y Vì B B1 nh ng toán t d ng nên ta suy r ng: By, y  B1 y, y  Do theo h qu c a đ nh lý 3: By  B1 y  Thành th v i m i x X , ta có: BB  B1 x  B1 B  B1 x  Do đó: B  B1 x  B  B1 B  B1 x, x  T c là: Bx  B1 x v i m i x X V y B1=B 3.4 M t s bƠi toán Bài 1: 38 Khoá lu n t t nghi p Ngơ Th Lý- K32C- Tốn Gi s H không gian Hilbert, AL(H) m t toán t t liên h p Ta g i A m t toán t d ng n u  Ax, x  v i m i x X Ch ng minh r ng phép chi u tr c giao lên m t không gian n tính đóng c a khơng gian Hilbert m t toán t d ng Bài làm: G i L m t khơng gian n tính đóng c a không gian Hilbert H P phép chi u tr c giao không gian H lên không gian L Tr c h t ta ch ng minh P m t toán t t liên h p Ta bi t r ng v i m i x  H , x  Px  x  Px Trong Px  L x  Px  L V i m i x, y  H , ta có: Px, x  Px, Py   y  Py  Px, Py  Px, y  Py  Px, Py T ng t , ta có: x, Py  Px, Py Do Px, y  x, Py Vì Px=x, v i m i x  L nên ta có P2=P Do Px, x  P x, x  Px, Px  , v i m i x  H V y P m t toán t d ng Bài 2: 39 Khố lu n t t nghi p Ngơ Th Lý- K32C- Toán Gi s H m t khơng gian Hilbert, AL(H) m t tốn t t liên h p compac khác không Ch ng minh r ng A m t toán t d m i giá tr riêng khác không c a A đ u nh ng s d ng ch ng Bài làm: G i en  h th ng tr c chu n đ y đ ph n t riêng c a toán t A,  n  dãy giá tr riêng t ng ng.Khi đó, v i m i   n 1 n 1 x  H , ta có x  x0    x, en  en , Ax0  Ax   n  x, en  en t  y    x, en  en , ta đ c x  x0  y n 1  Ax, x   Ax, x0  y   Ax, x0    Ax, y   Ax, y Vì  Ax, x0   x, Ax0   Do     , , , Ax x x e e       n  n  n   x, ek  ek  k 1  n1     n  x, en  n 1 N u n  v i m i n  Ax, x  , v i m i x  H Do A m t tốn t d ng o l i, n u A toán t d ng v i m i n, ta có   Aen , en   n en , en   n Vì  n  v i m i n nên n  v i m i n Bài 3: 40 Khoá lu n t t nghi p Ngơ Th Lý- K32C- Tốn Gi s H m t không gian Hilbert Al(H) m t toán t t liên h p Ch ng minh r ng n u  Ax, x  v i m i x  c a H  Ax, x  v i m t x  H A m t tốn t d ng Bài làm: Vì A m t toán t t liên h p nên  Ax, x m t s th c v i m i x H D ch ng minh đ Vì hàm s c r ng H \ 0 m t tâp liên thông c a H th c x   Ax, x liên t c t p liên thông H \ 0  Ax0 , x0   nên n u  Ax1 , x1   v i m t ph n t x  c a H theo đ nh lý Bolzano-Cauchy t n t i nh t m t ph n t  Ay, y  i u mâu thu n v i gi thi t V y  Ax, x  v i m i x  41 y H \ 0 cho Khoá lu n t t nghi p Ngơ Th Lý- K32C- Tốn K t lu n Qua trình tìm hi u, nghiên c u khóa lu n, tơi b c đ u làm quen v i cách th c làm vi c khoa h c, hi u qu Qua c ng c ng c thêm ki n th c gi i tích hàm, đ ng th i th y đ tốn h c c s phong phú, lí thú c a c bi t khóa lu n nghiên c u m t cách khái quát m t s v n đ c a lí thuy t tốn t khơng gian Hilbert Hi v ng tài li u s góp m t chút cho b n sinh viên quan tâm đ n gi i tích hàm nói riêng tốn h c nói chung M c dù có nhi u c g ng, song nhi u h n ch v th i gian ki n th c nên khóa lu n khơng tránh kh i nh ng thi u sót Em mong đ đóng góp c a th y, giáo b n đ c Hà N i, tháng n m 2010 Sinh viên Ngô Th Lý 42 cs Khố lu n t t nghi p Ngơ Th Lý- K32C- Toán TƠi li u tham kh o Phan c Chính (1978), Gi i tích hàm (tâp 1), NXB H THCN Nguy n Minh Ch ng (ch biên), Nguy n V n Kh i, Khu t V n Ninh, Nguy n V n Tu n, Nguy n T ng (2001), Gi i tích s , NXBGD Nguy n Ph Hy (2006), Gi i tích hàm, NXB khoa h c k thu t Nguy n Ph Hy, Hoàng Ng c Tu n, Nguy n V n Tuyên, (2007), Bài t p gi i tích hàm, NXB khoa h c k thu t Nguy n V n Khuê, Lê M u H i, C s lí thuy t hàm gi i tích hàm, NXBGD Nguy n Xuân Liêm (1997), Gi i tích hàm, NXBGD Nguy n Xuân Liêm (1997), Bài tâp gi i tích hàm, NXBGD Phan H ng Tr ng (2001), i s n tính, HSPHN2 Hoàng T y, (2003), Hàm th c gi i tích hàm, NXB HQGHN 43 ... ch n A toán t liên t c 2.2.2 Toán t liên h p Cho tốn t n tính b ch n A ánh x không gian Hilbert X vào khơng gian Hilbert Y Tốn t B ánh x khơng gian Hilbert Y vào không gian Hilbert X g i toán t... lên m t khơng gian n tính đóng c a khơng gian Hilbert m t tốn t d ng Bài làm: G i L m t không gian n tính đóng c a khơng gian Hilbert H P phép chi u tr c giao không gian H lên không gian L Tr c... ng Không gian Vect X tr Vect X c g i ng P g i P- khơng gian Khố lu n t t nghi p Ngơ Th Lý- K32C- Tốn Khi P  ฀ ta g i không gian Vect X không gian Vect th c Khi P  ฀ ta g i không gian Vect X không