Toán tử chiếu và toán tử unita

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường LỜI CẢM ƠN Trước hết xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo trường Sư Phạm Hà Nội 2, đặc biệt thầy cô giáo khoa Toán dạy dỗ qua năm Đại học Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn, tiến sĩ Bùi Kiên Cường tạo điều kiện tốt bảo tận tình để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Phan Thị Thủy Phan Thị Thủy K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết thân trình học tập nghiên cứu bậc đại học, bên cạnh nhận quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện thầy cô giáo khoa Toán đặc biệt thầy giáo hướng dẫn, tiến sĩ Bùi Kiên Cường Vì xin khẳng định kết đề tài:“Toán tử chiếu toán tử unita” trùng lặp với đề tài khác, sai xin hoàn thành chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm2013 Sinh viên Phan Thị Thủy Phan Thị Thủy K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường MỤC LỤC Lời nói đầu CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1.Không gian định chuẩn 1.1.2 Tích vô hướng 1.1.3 Không gian Hilbert 1.2 Toán tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert 1.2.1 Các định nghĩa 1.2.2 Ví dụ 10 CHƯƠNG TOÁN TỬ CHIẾU 12 2.1 Định nghĩa toán tử chiếu 12 2.2 Tính chất phép toán toán tử chiếu 14 2.2.1 Định lí 2.2.1 14 2.2.2 Định lí 2.2.2 15 2.2.3 Định lí 2.2.3 15 2.2.4 Phép toán toán tử chiếu 17 2.2.5 Dãy đơn điệu toán tử chiếu 20 2.2.6 Khẩu độ hai đa tạp tuyến tính 22 CHƯƠNG TOÁN TỬ UNITA 26 3.1 Định nghĩa toán tử unita 26 3.2 Tính chất unita 27 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 Phan Thị Thủy K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lí thuyết hàm Giải tích hàm đời phát triển vào năm đầu kỉ 20, có nhiều tầm quan trọng ứng dụng nghành toán học, giải tích hàm môn quan trọng, việc học nắm vững môn cần thiết sinh viên khoa Toán Nội dung giải tích hàm phong phú, đa giạng kiến thức lớp với lượng thời gian eo hẹp với mẻ khó môn làm cho việc tiếp thu kiến thức giải tích hàm trở nên không dễ dàng với sinh viên khoa Toán Do để nắm vững kiến thức Giải tích hàm đồng thới với tâm bước đầu vào nghiên cứu khoa học, để tự tin việc dạy học sau trường, chọn đề tài: “Toán tử chiếu toán tử unita không gian Hilbert” để làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu Giải tích hàm đặc biệt lí thuyết toán tử Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu toán tử chiếu, tính chất toán tử chiếu, toán tử unita tính chất chúng Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp đánh giá Cấu trúc khóa luận Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Nội dung gồm ba chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Toán tử chiếu Chương 3: Toán tử unita Phan Thị Thủy K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi không gian định chuẩn không gian tuyến tính X trường P  P  P   với ánh xạ từ X vào tập số thưc , kí hiệu đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau: 1)  x  X  , x  0, x   x   2)  x  X  ,   P  ,  x   x 3)  x, y  X  , x  y  x  y Số x gọi chuẩn vectơ x Ta kí hiệu không gian định chuẩn X Các tiên đề 1),2),3) gọi hệ tiên đề chuẩn Ví dụ 1.1.1 Đối với số thực x  ta đặt: x  x Nhờ tính chất giá trị tuyệt đối số thực, công thức cho ta chuẩn Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu Ví dụ 1.1.2 Cho không gian vectơ thực k k , đó:    x   x1 , x2 , , xn  xi  , i  1,2, k Đối với vectơ x   x1 , x2 , , xn   k ta đặt: k x  x j 1 Phan Thị Thủy j  k (1.1.2) K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường Từ công thức x  d ( x, ) hệ tiên đề metric suy công thức (1.1.2) cho chuẩn hiệu k k Không gian định chuẩn tương ứng kí 1.1.2 Tích vô hướng Định nghĩa tích vô hướng Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian tuyến tinh X trường P  P  P   Ta gọi tích vô hướng không gian X ánh xạ từ tích Descates X  X vào trường P , kí hiệu .,. thỏa mãn tiên đề: 1)  x, y  X  ,  y, x    x, y  2)  x, y, z  X  ,  x  y, z    x, z    y, z  3)  x, y  X  ,   P  ,  x, y     x, y  4)  x  X  ,  x, x   0, x   với  phần tử không,  x, x   x   Các phần tử x, y, z , gọi nhân tử tích vô hướng, số  x, y  gọi tích vô hướng hai nhân tử x y Các tiên đề 1),2),3),4) gọi hệ tiên đề tích vô hướng Các tính chất đơn giản 1)  x  X  ,  , x    x, x   0. x, x   2)  x, y  X  ,    P  ,  x, y     x, y  Thật vậy,  x, y    y, x     y, x     x, y  3)  x, y, z  X  ,  x, y  z    x, y    x, z  Thật vậy,  x, y  z    y  z, x    y, x    z , x    x, y    x, z  Ví dụ 1.1.2: Không gian Phan Thị Thủy k không gian vectơ k chiều K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Với x   x j  GVHD: TS Bùi Kiên Cường k j 1 k  , y   y j  k j 1 k  , ta đặt: k  x, y    x j y j (1.1.2) j 1 Thì k với hệ thức (1.1.2) thỏa mãn hệ tiên đề tích vô hướng Thật vậy: 1) x   x j  k j 1 k  , y   y j  k j 1 k  , ta có : k  x, y    x j y j j 1 k   x, y    x j y j j 1 k   x, y    x j y j j 1 k   x, y    y j x j   y , x  j 1 (Tiên đề thỏa mãn) 2) x   x j  k j 1  k , y   y j  k j 1  k , z   z j  k j 1  k ta có: k  x  y, z     x j  y j z j j 1 k    x j z j  y j z j  j 1 k k j 1 j 1    x j z j     y j z j    x  y , z    x, z    y , z  (Tiên đề chứng minh) 3) x   x j  Phan Thị Thủy k j 1  k , y   y j  k j 1  k ,   , ta có: K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường k k   x, y     x j y j    x j y j j 1 j 1    x, y  (tiên đề thỏa mãn) 4) x   x j  k j 1 k k   x, x     x j  , ta có:  j 1   x, x   x   k  x, x     x j   j 1  x j  0,  j  1, 2, , k   x   (tiên đề thỏa mãn) Vậy k với hệ thức (1.1.2) thỏa mãn hệ tiên đề tích vô hướng 1.1.3 Không gian Hilbert 1.1.3.1 Định nghĩa không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.3.1 Ta gọi tập H   gồm phần tử x, y , z , không gian Hilbert, tập H thỏa mãn điều kiện: 1) H không gian tuyến tính trường P 2) H trang bị tích vô hướng 3) H không gian Banach với chuẩn x   x, x  , x  H Ta gọi mội không gian tuyến tính đóng không gian Hilbert H không gian Hilbert không gian H Phan Thị Thủy K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường Ví dụ 1.1.3.1 k Kí hiệu k y   yn   không gian vectơ thực k chiều Với x   xn   k , Chuẩn sinh tích vô hướng (1.1.2) k x   x, x    xn2 , x   xn   k (1.1.3.1) n 1 Khi không gian vectơ thực k với tích vô hướng (1.1.2) không gian Hilbert Ví dụ 1.1.3.2 Kí hiệu l2 không gian vectơ dãy sô phức x   xn  cho  chuỗi số x n hội tụ x   xn   l2 , y   yn   l2 , ta đặt: n 1   x, y    xn yn n 1 Dễ dàng thấy hệ thức thỏa mãn hệ tiên đề tích vô hướng Chuẩn sinh tích vô hướng là:  x  x n , x   xn   l2 n1 Khi không gian vectơ l2 với tích vô hướng không gian Hilbert 1.1.3.2 Tính trực giao Định nghĩa 1.1.3.2 Cho không gian Hilbert H Hai phần tử x, y  H gọi trực giao, kí hiệu x  y  x, y   Phan Thị Thủy K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường Định nghĩa 1.1.3.3 Cho không gian Hilbert H tập A  H , A   Phần tử x  H gọi trực giao với tập A x  y   y  A  kí hiệu x  A Định nghĩa 1.1.3.4 Cho A không gian X Ta gọi tập  x  X x  A phần bù trực giao A kí hiệu A   x  X x  A Định nghĩa 1.1.3.5 Cho không gian Hilbert H không gian E  H Tập F  H gồm phần tử không gian H trực giao với tập E gọi phần bù trực giao tập E không gian H kí hiệu: FH E Khi không gian H biểu diễn dạng tổng trực tiếp: H  F  E   x  x1  x2 : x1  F , x2  E Định lí 1.1.3.2 (Định lí Pathagore) 2 Nếu x, y  H x  y , x  y  x  y Chứng minh: 2 Ta có x  y   x  y, x  y   x   x, y    y, x   y 2  x  y Định lí chứng minh Định lí 1.1.3.3.(Định lí hình chiếu lên không gian con) Cho không gian Hilbert H H không gian H Khi phần tử x  H biểu diễn cách dạng: x  y  z, y  H , z  H Phần tử y biểu diễn gọi hình chiếu phần tử x lên không gian H Phan Thị Thủy K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường || PG j f ||2  || PGk f ||2  || f ||2 Trong bất đẳng thức cho: u  PGk x Do đó: || PG j PGk h ||2  || PGk h ||2  || PGk h ||2 , suy PG j PGk h  Từ h  H nên ta có PG j PGk  Hay PG j , PGk trực giao.Khi ta có điều phải chứng minh Định lí 2.2.6 Cho hai toán tử chiếu PG1 , PG2 phân biệt Khi PG1  PG2 (2.2.6) toán tử chiếu G2  G1 Trong trường hợp PG1  PG2 toán tử chiếu G1 G2 Chứng minh Điều kiện cần: Ta có Q  E  PG1  PG2 toán tử chiếu Khi Q biểu diễn hai toán tử chiếu từ định lí 2.2.4 ta có: E  P P G1 G2   PG2  PG1 PG2 (2.2.7) Nếu u  G2 u  PG2 u  PG1 PG2 u  PG1u Do u  G1 Từmỗi phần tử u  G2  G1 Suy G2  G1 Từ điều kiện công thức (2.2.7) điều kiện cần đủ để có (2.2.6) toán tử chiếu Ta có toán tử Q chiếu [H chiếu H [H G1 ]  G2 Do toán tử PG1  PG2 G1   G2 Nó không gian bao gồm tất vectơ G1 trực giao với G2 hay không gian G2 G1 2.2.5 Dãy đơn điệu toán tử chiếu Phan Thị Thủy K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường Bổ đề 2.2.5 Cho hai toán tử chiếu PG1 , PG2 phân biệt ta có: G2  G1  || PG2 f ||  || PG1 f || với  f  H Trước hết ta có nhận xét:       || PG2 f ||  || PG1 f || PG2 f , f  PG1 f , f   PG2  PG1 f , f  0, f  H  PG2  PG1 Do muốn chứng minh G2  G1  PG2  PG1 Điều kiện cần: Đầu tiên cho G2  G1 theo: PG2  PG2 PG1 Do đó, với f  H ta có: PG2 f  PG2 PG1 f Và: || PG2 f ||  || PG1 f || (2.2.5) Điều kiện đủ: Ngược lại (2.2.5) với f  H Xét:   f  E  PG1 h Trong h phần tử tùy ý Từ || PG2 f ||  || PG1 f ||   PG1 E  PG1 h  Ta có:   PG2 E  PG1 h  Từ bất đẳng thức cho h  H ta có: PG2  PG1 PG2 Do G2  G1 Ta có điều phải chứng minh Phan Thị Thủy K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường Định lí 2.2.7 Nếu PGk  k  1, 2,  dãy vô hạn toán tử chiếu PG j  PGk 1  k  1, 2,  Do với k  , PG k hội tụ mạnh tới toán tử chiếu P Chứng minh Từ m  n hiệu số PGn  PGm toán tử chiếu Do với x  H ta có: || PGn x  PGm x ||2  || PGn  PGm ||2   P Gn    PGm x, x || PGn x ||2  || PGm x ||2 (2.2.7) Vì x cố định, || PGk x ||2 tăng với k bị chặn || x ||2 Vì   có giới hạn hữu hạn Từ vế phải (2.2.5) tiến tới dãy PGn x  n 1 dãy theo nghĩa hội tụ mạnh Bằng tính đầy đủ không gian hàm toán tử tuyến tính liên tục nên tồn giới hạn mạnh: x*  lim PGn x n  Chúng ta định nghĩa toán tử P sau: x*  Px Rõ ràng P tuyến tính Vì: P Gk      x, PGk x  PGk x, u  xPGk , u Qua giới hạn ta được:  Px, Pu    Px, u    x, Pu  Suy ra, P  P*  P Do P toán tử chiếu.Định lí chứng minh 2.2.6 Khẩu độ hai đa tạp tuyến tính Phan Thị Thủy K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường Khẩu độ hai đa tạp tuyến tính không gian Hilbert H định nghĩa chuẩn hiệu toán tử chiếu từ H lên bao đóng hai đa tapk tuyến tính Kí hiệu   M1 , M  Định nghĩa 2.1.3 Khẩu độ hai đa tạp tuyến tính M M kí hiệu   M 1, M  Với:   M , M   || P1  P2 || || P2  P1 || Trong P1 , P2 toán tử chiếu lên đa tạp tuyến tính đóng M1 , M Tính chất 2.2.6 Trong không gian Hilbert, độ hai đa tạp tuyến tính không Chứng minh Thật vậy, từ định nghĩa độ hai đa tạp tuyến tính ta có:     M , M    M1 , M   ( H M 1, H M ) Tiếp tục đồng có: P2  P1  P2  E  P1    E  P2  P1 Từ x  H có:  P2  P1  x  P2  E  P1  x   E  P2  P1 x Từ P2  E  P1  x  E  P2  Px trực giao nên:  P2  P1  x 2 2  P2  E  P1  x   E  P2  P1 x 2   E  P1  x  P1 x  x Suy P2  P1  Hay   M , M   (2.2.6) Định lí chứng minh Phan Thị Thủy K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường Từ phép cộng thấy độ mà có  đa tạp chứa vectơ khác mà trực giao với đa tạpkia Định lí 2.2.8 Nếu độ hai đa tạp tuyến tính M1 M Khi dim M  dim M Tức hai đa tạp tuyến tính có số chiều Chứng minh Nó đủ để chứng minh bất đẳng thức: dim M  dim M  Suy tồn vectơ khác M mà trực giao với M1 Với mục đích trên, ta chiếu M lên M G  P2 M có chiều mà không lớn chiều không gian M kết chiều nhỏ  chiều M Do đó, M G chứa vectơkhác , M chứa vectơ khác  mà trực giao với G Vectơ trực giao với toàn không gian M không gian M G trực giao với M Khi ta có điều phải chứng minh Định lí 2.2.9 Khẩu độ hai đa tạp tuyến tính tính công thức sau:     M1, M   max  sup  E  P1  f , sup  E  P2  g  gM1 , g 1  f M , f 1  Chứng minh Theo định nghĩa độ công thức (2.2.6) ta có:   M , M   sup xH Phan Thị Thủy  P2  P1  x x K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường 2 P2  E  P1  x  P1  E  P2  x  sup x xH (2.2.9) Phương trình thu từ (2.2.9) cách hạn chế vectơ x không gian M Khi vế phải không đổi hay: P2  E  P1  x  P1  E  P2  x   M , M   sup x xM1 = sup  E  P2  x x xM  2 Cũng cách ta có:   M , M   sup  E  P1  x xM  1 x Do đó,   M , M   max  1 ,   Ta chứng minh:   M , M   max  1 ,   Chúng ta thấy từ định nghĩa  có:  E  P2  P1 x 2   22 P1 x (2.2.10) P2  E  P1  h   P2  E  P1 x, P2  E  P1 x    P2  E  P1 x, E  P1 x     P2  E  P1 x, E  P1 x   E  P1 P2  E  P1 x, E  P1 x    E  P1  P2  E  P1  x   E  P1  x Theo định nghĩa 1 ta có: Phan Thị Thủy  E  P1  x  1 x K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường  P2  E  P1  x  1 P2  E  P1  x   E  P1  x Suy P2  E  P1  x  1  E  P1  x (2.2.11) Từ bất đẳng thức  2.2.10  &  2.2.11. ta có:  E  P2  Px 2 2  P2  E  P1  x   22 P1 x  12  E  P1  x 2  max  12 , 22   Px   E  P1  x     x max  12 , 22  Do công thức (2.2.9) ta được:   M1 , M   max  1 ,   Khi định lí chứng minh Phan Thị Thủy K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường CHƯƠNG 3: TOÁN TỬ UNITA Không gian chiều Eclude với phép toán đơn giản với phép quay không gian Nó làm không thay đổi chiều dài vectơ góc chúng.Bây xét toán tử tương tự không gian Hilbert H toán tử unita 3.1 Định nghĩa toán tử unita Định nghĩa 3.1.1 Toán tử U miền H  DU  H  H  U  H  toán tử unita nếu: Uf ,Ug    f , g  với f , g  H Chúng ta nhấn mạnh đinh nghĩa không yêu cầu toán tử tuyến tính Nhận xét: Từ định nghĩa U toán tử unita ta có: Uf ,Ug    f , g    f ,U *Ug    f , g   U *Ug  g Suy U *  U 1 Hay U *U  UU *  I Ví dụ 3.1.1 Cho H không gian Hilbert H dãy số phức  x   , x1 , x0 , x1 ,  mà x   xn    Tích vô hướng xác định bởi:   x, y    xn yn    Toán tử U xác định U  xn    xn 1  toán tử unita Thật vậy: Phan Thị Thủy K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường U khả nghịch     Ux, y    xn1 yn   xn yn1   x,U 1 y  Dẫn đến U *  U 1 Khi U toán tử unita Ví dụ 3.1.2 Với H  L2  0,1 Toán tử U H xác định Ux  t   x 1  t  unita T ánh xạ 1-1 từ H vào H Ux  x , x  H Một toán tử unita toán tử trực giao, điều ngược lại chưa trường hợp toán tử tự liên hợp A A  3.2 Tính chất toán tử unita Tính chất 3.2.1.Toán tử unita có nghịch đảo toán tử unita Chứng minh Nhớ lại toán tử U có nghịch đảo Uf  Ug kéo theo f  g Giả thiết, Uf  Ug đó:  Uf  Ug ,Uf  Ug   Uf ,Uf   Uf ,Ug   Ug ,Uf   Ug ,Ug    f , f    f , g    g, f    g , g    f  g, f  g  Suy f  g Nên U 1 tồn Tử DU 1  U 1  DU DU 1  U U 1  DU nên toán tử U 1 xác định toàn không gian ảnh lên toàn không gian Chọn f ', g '  H cho f = U 1 f ', g = U 1 g ' Phan Thị Thủy K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường Suy Uf  f ',Ug  g ' Suy  U 1 f ', U 1 g '   Uf ,Ug    f , g    f ', g ' Suy U 1 toán tử unita Tính chất 3.2.2.Toán tử unita tuyến tính Chứng minh Chọn g '  U 1 g  g  Ug ' cho f  1 f1   f  Uf , g   Uf ,Ug '    f , g '    f ,U 1 g   1  f1 ,U 1 g     f ,U 1 g   1 Uf1 , g    Uf , g   1Uf1   2Uf , g  Từ g tùy ý nên: Uf  1Uf1   2Uf Khi ta có điều phải chứng minh Định lí 3.2.1 Nếu toán tử tuyến tính U thỏa mãn điều kiện: Uf ,Uf    f , f  (3.2.1) DT  T  H toán tử U unita Chứng minh Từ điều kiện (3.2.1) ta có: U  f   g ,U  f   g    f   g , f   g  Từ T tuyến tính nên: U  f   g ,U  f   g   Uf ,Uf    Ug,Uf    Uf ,Ug    Ug,Ug   f   g , f   g    f , f     g , f     f , g     g , g   Uf ,Uf    Ug ,Uf    Uf ,Ug    Phan Thị Thủy Ug ,Ug  K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường   f , f     g, f     f , g     g, g  Lại từ (3.2.1) ta có:  Ug ,Uf    Uf ,Ug     g , f     f , g  Từ  tùy ý nên: Uf ,Ug    f , g  Do U toán tử unita Định nghĩa 3.1.2.Toán tử V với miền H  DV  H1  với miền H  V  H  đẳng cự nếu: Vf ,Vg 2   f , g 1 với f , g  H1 Trong H1 , H không gian không gian Hilbert Toán tử unita H trường hợp đặc biệt toán tử đẳng cự mà H  H  H Ví dụ 3.1.3.Cho  en  dãy trực giao đủ không gian Hilbert H  ! A : Aen  en 1 , n  N   Nếu x   nen 1 Ax    nen1 tuyến tính n 1 n 1  2 Ax    n  x n 1 Do A toán tử đẳng cự Từ định nghĩa suy tính chất đơn giản sau: Mỗi toán tử đẳng cự có nghịch đảo đẳng cự Nếu toán tử V ánh xạ tuyến tính từ H1vào H nếu: Vf ,Vf 2   f , f 1 với f  H1 Phan Thị Thủy K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường Do V toán tử đẳng cự Mỗi toán tử đẳng cự tuyến tính Thật vậy, cho f ', f ''  H1 f   f '  '' f '' Do g  H1 và: Vf ,Vg 2   f , g 1   '  f ', g 1   ''  f '', g 1   ' Vf ',Vg    '' Vf '',Vg 2   'Vf '  ''Vf '',Vg  Do V  H ta có: Vf   'Vf '  ''Vf '' Do toán tử V tuyến tính Toán tử đẳng cự bảo toàn tích vô hướng Nghĩa là: Vf ,Vg    f , g  , f , g  H f  g  Vf  Vg Định lí 3.2.2.Một toán tử bị chặn V không gian Hilbert H đẳng cự V *V  I H Chứng minh 2 Nếu V đối xứng, x  H ta có Vx  x , x  H đó: V Vx, x   Vx,Vx   Vx * 2  x   x, x  Suy V *V  I Tương tự V *V  I thì: Vx  Vx,Vx   V Vx, x    x, x   * x Khi ta có điều phải chứng minh Định nghĩa 3.1.3.Cho T1 T2 toán tử tuyến tính tương ứng không gian H1 H Do Phan Thị Thủy K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường DT1  H1 , T1  H1 , DT2  H , T2  H Toán tử T1 T2 gọi đẳng cấu unita tương đương tồn toán tử đẳng cự V mà ảnh H H DT1 vào DT2 Do đó, VT1 f  T2Vf với f  DT1 Nói cách khác T1 T2 unita tương đương nếu: DT2  VDT2 T1  V 1T2V KẾT LUẬN Phan Thị Thủy K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường Trong trình tìm hiểu nâng cao, làm quen với cách thức việc hiệu khoa học.Qua củng cố, thêm kiến thức Giải tích hàm, đồng thời thấy phong phú, lí thú toán học Đặc biệt khóa luận nghiên cứu cách khái quát số vấn đề lí thuyết toán tử không gian định chuẩn, sâu vào nâng cao tính chất phép toán toán tử chiếu toán tử unita không gian Hilbert để từ làm sở cho ứng dụng toán tử Chúng hi vọng tài liệu tài liệu tham khảo bạn sinh viên quan tâm đến Giải tích hàm nói riêng toán học nói chung Mặc dù có nhiều cố gắng song hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót nên mong nhận góp ý thầy cô giáo bạn sinh viên TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Thị Thủy K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường Phan Đức Chính (1978), Giải tích hàm - tập NXB Đại học Nguyễn Xuân Liêm (2000), Giải tích hàm NXB giáo dục Nguyễn Xuân Liêm (1997), Bài tập Giải tích hàm NXB, Giáo dục Phan Hồng Trường (2001), Đại số tuyến tính, trường ĐHSPHN2 Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB ĐH Quốc gia HN Nguyễn Phụ Hy (2007), Giải tích hàm, NXB Khoa Học Kĩ Thuật HN N.I.Akhiezer and IM.Glazman, Theory of operator on Hilbert space Phan Thị Thủy K35G- SP Toán [...]... toán tử cộng tính Khi toán tử A thỏa mãn điều kiện (2) thì A gọi là toán tử thuần nhất Khi Y  P , toán tử tuyến tính A gọi là phiếm hàm tuyến tính 1.2.2 Toán tử tuyến tính liên tục a) Toán tử bị chặn Cho không gian định chuẩn X và Y Toán tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian con Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c  0 sao cho: Ax  c x , x  X (1.2.2) b) Chuẩn của toán tử Cho A là toán. .. liên hợp còn gọi là toán tử đối xứng d) Toán tử trực giao Một toán tử bị chặn T gọi là toán tử trực giao nếu nó giao hoán với toán tử liên hợp của nó Tức là T *T  TT * Chú ý rằng T trực giao khi và chỉ khi T * trực giao Mọi toán tử liên hợp đều trực giao nhưng trực giao chưa chắc đã đối xứng e) Toán tử nghịch đảo A là một toán tử xác định trong một không gian vectơ con của E Một toán tử B xác định trên... 1  t  là unita T là ánh xạ 1-1 từ H vào H và Ux  x , x  H Một toán tử unita là toán tử trực giao, điều ngược lại chưa chắc đúng như trong trường hợp toán tử tự liên hợp A bất kì A  1 3.2 Tính chất của toán tử unita Tính chất 3.2.1 .Toán tử unita có nghịch đảo là toán tử unita Chứng minh Nhớ lại rằng toán tử U có nghịch đảo nếu và chỉ nếu Uf  Ug kéo theo f  g Giả thiết, Uf  Ug khi đó: 0  Uf... diễn: x  yn   x  yn  với yn  H n , x  yn  H n Vậy yn là hình chiếu của x lên H n Do đó, với mỗi n  1, 2, thì toán tử Pn : H  H n x  Pn x    x, e j  e j  n  1,2,  j 1 Là toán tử chiếu của X lên không gian con H n hay  Pn  là dãy toán tử chiếu 2.2 Tính chất và phép toán của toán tử chiếu Định lí 2.2.1 Toán tử chiếu P của không gian Hilbert H lên không gian con G có P  1 Chứng... K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường CHƯƠNG 3: TOÁN TỬ UNITA Không gian 3 chiều Eclude với phép toán đơn giản cùng với phép quay trong không gian Nó làm không thay đổi chiều dài của vectơ và góc giữa chúng.Bây giờ chúng ta đi xét toán tử tương tự trong không gian Hilbert H đó là toán tử unita 3.1 Định nghĩa toán tử unita Định nghĩa 3.1.1 Toán tử U trong miền H  DU  H  và H ... là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Hằng số c  0 nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức (1.2.2) gọi là chuẩn của toán tử A Kí hiệu A c) Toán tử liên hợp Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ trong không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Toán tử B ánh xạ không gian Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A , nếu: Phan Thị Thủy K35G- SP Toán Khóa... thuyết toán tử trong không gian định chuẩn, đi sâu vào nâng cao tính chất và phép toán trên các toán tử chiếu và toán tử unita trong không gian Hilbert để từ đó làm cơ sở cho ứng dụng của các toán tử đó Chúng tôi hi vọng rằng tài liệu này là tài liệu tham khảo của các bạn sinh viên quan tâm đến Giải tích hàm nói riêng và toán học nói chung Mặc dù có nhiều cố gắng song do hạn chế về thời gian và kiến... giao.Khi đó ta có điều phải chứng minh Định lí 2.2.6 Cho hai toán tử chiếu PG1 , PG2 phân biệt Khi đó PG1  PG2 (2.2.6) là toán tử chiếu nếu và chỉ nếu G2  G1 Trong trường hợp này PG1  PG2 là toán tử chiếu trên G1 G2 Chứng minh Điều kiện cần: Ta có Q  E  PG1  PG2 là toán tử chiếu Khi đó Q được biểu diễn bởi hai toán tử chiếu và từ định lí 2.2.4 ta có: E  P P G1 G2  0  PG2  PG1 PG2 (2.2.7)... , x2 ,0, ,0    Ax +) A liên tục Từ Ax  x suy ra A bị chặn nên A liên tục Vậy A là toán tử tuyến tính liên tục Ví dụ 3 Cho toán tử Ax   0, x1 ,0, x 2 ,0,  , x   xn   l2 ta đi tìm toán tử liên hợp của toán tử A Toán tử A là toán tử tuyến tính liên tục nên tồn tại toán tử liên hợp A* Giả sử A* là toán tử liên hợp của A , nghĩa là:   x, y  l2 thì  Ax, y   x, A* y x   xn   l2 ,... A K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Bùi Kiên Cường Một toán tử mà có toán tử nghịch đảo thì được gọi là khả tích Nghịch đảo của A kí hiệu là A1 Nếu một toán tử có nghịch đảo thì nghịch đảo đó là duy nhất f) Toán tử lũy đẳng Một toán tử T được gọi là lũy đẳng nếu T  T 2 d) Ví dụ Ví dụ 1 Toán tử đồng nhất I biến mọi phần tử thành chính nó tức là Ix  x với mọi x  E là toán tử bị chặn Ví ... tục Vậy A toán tử tuyến tính liên tục Ví dụ Cho toán tử Ax   0, x1 ,0, x ,0,  , x   xn   l2 ta tìm toán tử liên hợp toán tử A Toán tử A toán tử tuyến tính liên tục nên tồn toán tử liên... vectơ góc chúng.Bây xét toán tử tương tự không gian Hilbert H toán tử unita 3.1 Định nghĩa toán tử unita Định nghĩa 3.1.1 Toán tử U miền H  DU  H  H  U  H  toán tử unita nếu: Uf ,Ug  ... điều ngược lại chưa trường hợp toán tử tự liên hợp A A  3.2 Tính chất toán tử unita Tính chất 3.2.1 .Toán tử unita có nghịch đảo toán tử unita Chứng minh Nhớ lại toán tử U có nghịch đảo Uf  Ug kéo