Cung phẳng, cung hình học, đa tạp một chiều và ứng dụng

TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON LI CM N Trong thi gian thc hin khúa lun tt nghip, di s ch bo tntỡnhcathyhngdnvcphớanhtrngtoiukinthun li,emócúmtquỏtrỡnhnghiờncu,tỡmhiuvhctpnghiờmtỳc honthnhkhúalun.Ktquthuckhụngchdonlccabn thõnmcũncúsgiỳpcaquýthycụ,giaỡnhvcỏcbn. Em xin by t lũng bit n chõn ti cỏc thy cụ t HONG TH thnh HI Lí hỡnhhc,cỏcthycụvcỏcbnsinhviờntrongkhoaónhittỡnhch dn,gúpý,cngtỏc,giỳpemtrongsutthigianhctp,nghiờncu hon thnh khúa lun. c bit l thy Trn Vn Ngh, thy ó tn tỡnhhngdn,chbo,htremhonthnhkhúalunny. H Ni, thỏng nm 2013 CUNG PHNG, CUNG HèNH Sinhviờn HC, A TP MT CHIU V DNG HongNG Th Hi Lý khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyờn ngnh: Hỡnh hc LI CAM OAN Khúalunchonthnhdistỡmhiu,nghiờncucabn thõnvshngdntntỡnhcathygiỏoTrn Vn Ngh. Trongkhúaluncúthamkhocỏcktqunghiờncucamts nh khoa hc. Em xin khng nhkt qu cakhúalun ny lkhụng saochộptbtkỡtino.Emxinchuhontontrỏchnhimvli camoancamỡnh. H Ni, thỏng nm 2013 Sinhviờn Hong Th Hi Lý MC LC MU .1 Chng0.KINTHCCHUNB 0.1.Cungthams 0.2.Cungchớnhquy .4 0.3.Cungchớnhquyvmtphngmttip 0.4.nhlýcbncalýthuytngtrong 11 Chng1.CUNGPHNG(CUNGTRONG ) .12 1.1.CụngthcFrộnetcacungsongchớnhquynhhngtrong 12 1.2.nhlýcbnvlýthuytngtrong .19 1.3.Mtsdngbitp 22 Chng2.CUNGHèNHHCVATPMTCHIU .38 2.1Cunghỡnhhc 39 2.2.atpmtchiu 42 2.3ngxỏcnhbiphngtrỡnhn 45 2.4Mtsdngbitp 51 KTLUN 78 M U Lý chn ti Hỡnhhclmụnkhoahcinghiờncuvtớnhchtnhtớnhv nh lng ca cỏc hỡnh. Tựy vo cỏc phng phỏp nghiờn cu khỏc nhaumcúnhngngnhhỡnhhckhỏcnhaunhHỡnhhcAfin,Hỡnh hc Xnh, Hỡnhhc Viphõn, Hỡnhhc giitớch, Hỡnhhcis, HỡnhhcViphõnlngnhhỡnhhcngdngphộptớnhviphõnvogii quytcỏc bitoỏnhỡnhhc, úcỏckhỏi nim vcungchớnhquy v cungsongchớnhquylnhngkhỏinimbanutipcnlýthuyt ngtrong Vimongmuntỡmhiusõuhnvcungphng,cunghỡnhhc, atpmtchiucngnhngdngcacỏcitngnyvcs hng dn ca thy hng dn, em ó quyt nh chn ti Cung phng,cunghỡnhhc,atpmtchiuvngdngtrỡnhbytrong khúalunttnghipihc.Hyvng,khúalunnyslmtliliu chocỏcbnsinhviờnkhúasautrongvichctpvnghiờncu. Mc ớch nghiờn cu Mcớchchớnhcatilhthnglinhnglýthuytcbn v phõn dng cỏc bi mt cỏch chi tit v cung cung phng, cung hỡnhhcvatpmtchiu. i tng v phm vi nghiờn cu 3.1 i tng nghiờn cu Kinthcvcungphng,cunghỡnhhcvatpmtchiu. 3.2 Phm vi nghiờm cu Lýthuytvbitpvcungphng,cunghỡnhhcvatpmt chiu. Nhim v nghiờn cu Hthnglinhnglýthuytcbn; Phõnloi,hthngcỏcdngbitpvcungphng,cunghỡnhhc vatpmtchiu. Phng phỏp nghiờn cu Phõntớch,tnghp,hthngkinthc. Nghiờncutiliu. Cu trỳc khúa lun Khúalungm3chng: Chng0:Kinthcchunb Chng1:Cungphng(cungtrong ) Chng2:Cunghỡnhhcvatpmtchiu Chng KIN THC CHUN B 0.1 Cung tham s 0.1.1 nh ngha Miỏnhx : J E n gilmt Cho J lmtkhongtrong cung tham s n Tp im J gi l nh ca cungú v J cgilmin tham sca Lyim cnhtrong n ,tagihmvect : J n , t t t lhm bỏn kớnhvectca ngvigc 0.1.2 Vớ d 1) Cunghng: t M ,õy M lmtimcnhca n 2) Cung thng: t M tv ( M l im c nh ca n v v lmtvectkhụngica n ). 3) Cung trũn t r cos te1 sin te2 ( r l hng s dng v , e1 , e2 lmtmctiờutrcchunca ). 4) , e1 , e2 lmtmctiờutrcchunca ,cungElip: t a cos te1 b sin te2 , a, b 5) Cung hypebol: r t achte1 bshte2 , ( , a, b , , e1 , e2 lmtmctiờutrcchunca Tựytheo a hay a mnhca x2 y núlnhỏnhphihaynhỏnhtrỏicahypebol ). a b t 6) Cung parabol: t te1 e2 , ( , , e1 , e2 l mt mctiờutrcchunca ). 7) Cung inh c nún: t a cos t , t sin t , t , a (ta õy l ta Descartes vuụng gúc ). nh ca cung nm trờn mtnúntrũnxoay x y z 0.2 Cung chớnh quy 0.2.1 Cung, cung nh hng Chohaicungthams : J E n , : I E n Nucúmtviphụi : J I (tc l l song ỏnh kh vi m cng kh vi) cho thỡtanúi tng ngvi vvit Quanhcựng hng õy l quan h tng ng theo lớ thuyt hp. Mi lp tngngtheoquanhúcgilmtcung. Chohaicungthamstngng : J n , : I n Gis : J I l phộp i tham s t sang thỡ n iu tng hoc niugim(vỡ lviphụi).Suyrahoc ' t t J t hoc ' t t J Nu ' t tanúi lphộp i tham s bo tn hnghay v cựng hng. Nu ' t thỡtanúi lphộp i tham s o hnghay v ngc hng.Quanhtngngõylquan htngngtheolớthuyttphp.Milptngngtheoquan húgilmtcung nh hng. Vy cung nh hng l hp tt c cỏc cung tham s tng ngcựnghngvimtcungthams : J n Tagi : J n lmti dinhaymttham s húacacungnhhngú. 0.2.2 im chớnh quy, im kỡ d Chocung cúthamshúa : J n im t0 gilim chớnh quy ca nu ' t0 Nu im t0 khụng l im chớnh quythỡ t0 cgilim kỡ d. 0.2.3 Cung chớnh quy, tip tuyn, phỏp tuyn, phỏp din Mtcungmmiimcanúulimchớnhquycgil cung chớnh quy. Gis t0 limchớnhquycacung Tiptuynca ti t0 lngthngiqua t0 cúvect chphngl ' t0 Phỏptuynca ti t0 lngthngiqua t0 vvuụng gúcvitiptuyn Phỏpdinca ti t0 siờuphngiqua t0 vvuụnggúc vitiptuynti t0 0.2.4 di v tham s húa t nhiờn ca cung chớnh quy a) di cung Cho cung : a, b n (cung on). Chia a, b thnh nhng k on bi dóy im a t0 t1 tk b ri lp tng t j t j j (tngnygildinggpkhỳcnitipnhca ). Nutngsimchialờnthỡtngútnglờn(tớnhchtbtng thctrongtamgiỏc). k Xộtttccỏcphộpchianhtrờnvxộttps t j t j j Nutpsnycúcntrờnỳng(tclsupremum).Tagicntrờnỳng nyl di ca cungóchovkớhiul nh lớ Nu cung :[a, b] E n kh vi ti lp C (tn ti o hm ' t liờn tc) thỡnúcúdicungvdicungl b t dt ' a b) Tham s húa t nhiờn nh ngha Tham s húa r : J n , s r s ca mt cung chớnhquycgilmttham s húa t nhiờn nu r ' s vimi s J Tớnh cht a)Nu r : J n , s r s lmtthamshúatnhiờncamt cungchớnhquythỡ r s1 ,s2 s2 s1 b) Nu r : J n , s r1 s v r2 : J n , u r2 u l hai thamshúatnhiờncacựngmtcungchớnhquythỡ u s C ( C l mthngs). c) Nu r1 : J1 n , t t l mt tham s húa bt kỡ ca mt cungchớnhquythỡcúthithams t sangthams s theocụngthc t s ' t dt t0 J t0 s ltham stnhiờn ca cung. (Do cụngthc nynờnthams t nhiờncũncgiltham s di cung) 0.2.5 cong ca cung chớnh quy v ý ngha hỡnh hc ca cong a) Cụng thc tớnh cong Chocungchớnhquyvithamshúatnhiờn r : J , t r t t t r ' t thỡ t S k t t cgilcongca cungtiim r t Cụngthctớnhcongcacungchớnhquytrong Chocungchớnhquyvithamshúabtkỡ : J , t p t Lymtthamshúatnhiờncanú r : I , s r s m : J I lphộpithamst t sang s thỡ : r , s t Tacú: t r t ' t r ' s ' t '' t r ' s '' t r '' s ' t Suyra ' t r ' s ' t ' t (do r s 1)v ' t '' t r ' s r '' s '3 t Vỡ r s 1nờn r '' s r ' s Doú, ' t '' t r ' s r '' s ' t r ' s r '' s sin r ' s , r '' s ' t r ' s ' t T ' s ' t 3 k s 't k t ' t Vy k t ' t " t ' t x0 x0 y0 y0 z0 x x z 0 x0 , y0 , z0 0, y0 , y0 x0 , y0 , z0 0,2, x , y , z 0,2,0 0 y0 y0 y Thay(1)voh(III)tac y z z0 0 M 0,1, Suyra M 0,1, Thay(2)voh(III)tac (vụlý). z0 Thay(3)voh(III)tac (vụlý). z 0 Vyngóchocú2imkỡd: M 0,1, ; M 0,1, Bi 9. Vit phng trỡnh tip tuyn, phỏp din ca ca ti im chớnhquycacỏcngbitp8. Gii a) Theobi8ngóchokhụngcúimkỡd. 65 t F x, y , z x y z (I). 2 G x , y , z x y M x, y, z : F x, y, z 0, G x, y, z Nu M limchớnhquythỡcúlõncnV ca M V lmtcunghỡnhhc.Giscung V cúthamshúa t x t , y t , z t taxỏcnhc Fy' ' t ' Gy Fz' Fz' , Gz' Gz' ' Fx' Fx , ' Gx' Gx Fy' G y' y,4 x,0 Tú, Phngtrỡnhtiptuynca tiimchớnhquy M x0 , y0 , z0 l x x0 y0t y y0 x0t z z Phngtrỡnhphỏpdinca tiimchớnhquy M x0 , y0 , z0 l Fy' G y' Fz' Fz' x x0 ' Gz' Gz Fx' y y0 ' Gx Gx' Fx' Fy' z z0 G y' y0 x x0 x0 y y0 y0 x x0 y x0 y0 Tngtphna,taxỏcnhc: b)Phngtrỡnhtiptuyncangóchotiimchớnhquy M x0 , y0 , z0 (khỏc M , M )l x x0 z0t y y0 x0 z0t z z x y t 0 66 Phng trỡnh phỏp din ca ng ó cho ti im chớnh quy M x0 , y0 , z0 (khỏc M , M )l z0 x x0 x0 z0 y y0 x0 y0 z z0 z0 x x0 z0 y x0 y0 z x0 z0 y0 c) Phngtrỡnhtiptuyn cangóchotiimchớnhquy M x0 , y0 , z0 (khỏc M , M )l x x0 y0 z0 t y y0 x0 z0 t z z0 x0 y0 t Phng trỡnh phỏp din ca ng ó cho ti im chớnh quy M x0 , y0 , z0 l y0 z0 x x0 x0 z0 y y0 x0 y0 z z0 y0 z0 x x0 z0 y x0 y0 z x0 y0 z0 y0 z0 2.4.6 Tỡm hỡnh bao ca h ng phng Bi 10. Trong cho h ng xỏc nh bi phng trỡnh n F x, y , c y c x c ph thuc tham s c. Tỡm hỡnh bao cahngtrờn. Gii Tacú: 2 Fx' x c , Fy' y c , Fc' y c x c , Fcx" x c , Fcy" 2, Fcc" x c Khc trongh F x, y, c y c x c ' Fc x, y, c y c x c 67 y c x c y c x c x y c x c y c 27 x y x y 27 Vyngctrnglhaingthng x y v x y Vỡ D1 x c 2 y c x c (ti x y c ) 0 27 nờn ngthng x y bloib. Xột D1 x c x c 2 x c y c (ti ) y c 27 27 64 27 Doúkhụngloibimnocangthng x y 27 Ktlun:Hỡnhbaocahócholngthng x y 68 27 x y y x y 27 x O Hỡnh1 Bi 11 Trong chomt h to Descartes vuụng gúc xy Mt ng thng thay i ct hai trc to ti hai im to thnh mtonthngcúdi a khụngi.Tỡmmtngtipxỳcvi ttccỏcngthngú. Gii y = M a N x O c Hỡnh2 Gis ctlnlt x, y tiM vN. 69 Ta cú MN a t di i s ca M l M c thỡ N a c Do ú phng trỡnh ca x y õy c a c2 l c 0, a c a t F x, y , c x y a c 0,0 c a c a2 c2 Ta tỡm hỡnh bao ca h ng xỏc nh bi phng trỡnh n F x, y , c a c 0,0 c a Ddngtớnhc Fc' x, y , c x c2 yc a c Kh c th F x, y, c 0, Fc' x, y, c nhsau: T Fc' rỳt rac c y a c2 a2 x c2 yc a Thay c2 x vo F ta c c3 x Thay y vo tac x a c Doúngctrngcahỡnhbaol x y a Bõygitatỡmccỏcimtrờnngctrngkhụnglim cahỡnhbao.Tacú: 1 , Fcx" , Fcy" Fx' , Fy' 2 c c a c c D c2 c a c a c2 c a c2 a 3 c2 c2 a c2 70 , , 2x Fcc" y c a c 3c a c a2 c2 Tbiuthccax vcaytatớnhra: c3 a x c a x , a c a y a c a y , a c a y Doú, a2 y 3 x2 a2 y 2x 3 x y 3 x y F y 2 0, a x a4 y2 a a a y a2 tcl Fcc" " cc Do D , Fcc" nờn hỡnh bao l ng xỏc nh bi phng trỡnhn x y a viiukin a c 0,0 c a iukin a c 0,0 c a cúnghal a a x 0,0 a x a ,hayl a x 0,0 x a Vy ng tip xỳc vi h ng thng ó cho gm cung nhn x, y lmtrcixng. Bi 12 Trong cho h ta Descartes vuụng gúc xy Tỡm hỡnhbao ca hng thng chn cỏctrc ta x, y thnh nhng tamgiỏccúdintớchkhụngi a Gii y A B O Hỡnh3. 71 x ng thng thay i ct x, y ln lt ti A,B t di A c thỡ c vvỡ A.B 2a nờn B 2a c Phng trỡnh ca ng thng AB ph thuc vo v trớ ca A,B nhsau: x cy Nu A , B thỡ AB : c 2a Nu A , B thỡ AB : x cy c 2a (1) (2) (3) x cy c a (4) x cy Nu A , B thỡ AB : c 2a Nu A , B thỡ AB : Hayl F1 x, y, c 2ax c y 2ac F2 x, y, c 2ax c y 2ac x 0, y F3 x, y, c 2ax c y 2ac F4 x, y, c 2ax c y 2ac Kớhiuchung F1 , F2 , F3 , F4 l F tacú: Fx' 2a , Fy' c , Fc' yc 2a , Fcc" y , Fcx" , Fcy" 2c a T Fc' suy c nờn thay vo F ta c phng y a trỡnhctrngcahỡnhbaol xy Fx' Xột D " Fcx Fy' 2a c 4ac Fcy" 2c 72 a Doú,hỡnhbaoltpimxỏcinhbiphngtrỡnh xy a a úlhainghypebolvuụng xy v xy cúcỏcbỏntrcthc 2 bngnhau,nhnhaingtalmhaingtimcn. Bi 13.Tỡmhỡnhbaocahngthngtrongctcỏctrcta camthtaDescartesvuụnggúccỏconthngcúdikhụng i. Gii ng thng thay i ct x, y ln lt ti A,B.Ta cú A a,0 , B 0, b t AB l thỡ l vtacú AB l a b l b l a b l a x y PhngtrỡnhngthngAB l a b (1) x y Thay b l a vo(1)tac a l a2 t F x, y, a x y iukincúhỡnhbaol a l a2 F x, y, a ' Fa x, y , a y x a 2 l a x ay a l a2 a3 x l2 l a2 y l2 73 ' 3a xa l Tacú 2 a l a y' a l2 Suyra xa' , ya' khụngngthibng0. Vỡ ' Fx x, y , a a Fy' x, y , a l a2 nờn Fx' , Fy' khụng ng thi bng 0. Suy ra, h ng thng khụng cú imkỡd. a3 x l2 Vyhỡnhbaocahngthngl: l a2 y l2 2 hay x y l Bi 14.Tỡmhỡnhbaocahngtrũntrong nhndõycung quatiờuimcamtparabolchotrclmngkớnh. Gii GisparabolóchocúphngtrỡnhtronghtaDescartes p vuụng gúc l y px cú tiờu im l F ,0 Gi AB l dõy cung quaF cúhsgúc k ,ABlngkớnhcahngtrũntrong k p Phng trỡnh ca ng thng AB l y x AB nhn k 74 vect v k , lm vect ch phng. Gi M l trung im ca dõy cungAB M cútathamón k x k 1 y 0 p k p y0 pk y0 pk x0 pk 2 p Vy M pk , pk Tacú y A yB 2kp y A yB 4k p y A2 y A y B yB2 p k p x A xB y A yB p k p p k y A yB p k y A yB p 2 Cú AB x A xB y A yB k y A yB k y A2 y A y B yB k p p k p p k SuyrahngtrũnnhnAB lmngkớnhcúphngtrỡnh p 2 x pk y pk p k 2 p t F x, y, a x pk y pk p k F x, y, k l hỡnh bao ca h ng trũn nhn AB lm ng kớnh.iukincúhỡnhbaol F x, y, k ' Fk x, y, k (1) p Fk' pk x pk p y pk 4kp 4kp k 75 p 2 x pk y pk p k y 2kx y k x Vỡ ng trũn l a mt chiu nờn khụng cú im kỡ d Fx' Fy' Thay(2)vo(1)tac 2 p y2 py y2 x p y p x x x p 3p x x y x Vyhỡnhbaocahngtrũngm: 2 p 3 ngchunparabol: x hay x y l , ngtrũncúphngtrỡnh: x y 3p x Bi 15. Tỡm hỡnh bao ca cỏcquo cỏc ngim trongmt mtphngthngng(trongtrngtrng)bnộmratim camt phngúvivntcbanukhụngi. Gii Ta xem mt phng thng ng m chtim chuyn ng úlmtphngta(trcchun) xy ,trc y hnglờntrờn.Gc ta limbanu.Thigianchuynngtớnhbngt Quo cxỏcnhbi : t t m x t x t , y t y t Lchtimtrngkhi m thỡlctỏcng F t m " t (nhlutNewton).õy F mg j ( j lvectnvtrờntrctung y ,glgiatctrngtrng).Vy m " mgj suyra " gj Ly 76 tớch phõn ' t gjt v0 , " t0 v0 l vect tc ban u v0 v0 ( v0 lhngs,tcbanu). t2 Suyra t gj v0 t gt t x t , y t v0 cos t , v0 sin t chuynvphng k g x trỡnhdngn: y kx 2v0 (õy k tan c xem l tham s h). Ta suy hỡnh bao ca h parabol (2) l parabol cú phngtrỡnh k g x y kx 2v0 77 v0 gx g 2v0 KT LUN Trờn õy l nidung nghiờn cu ca em v ti:Cung phng, cunghỡnhhc,atpmtchiuvngdng.Trongkhúalun,emó trỡnhbynhngvncbnvcungphng,cunghỡnhhc,atpmt chiu,ngthiemcngaramtsdngbitpcthngdng. Quaquỏtrỡnhnghiờncu,emhiuthờmnhiuvnmi,cng c cho mỡnh kin thc hỡnhhc vi phõnv cỏch trỡnhby mtvn nghiờncukhoahc. Mcdựcúnhiucgngsongdoiukinkhỏchquancngnh ch quan, khúa lunkhụngtrỏnh khinhng thiu sút, em mongnhn c nhng ý kin úng gúp ca thy cụ v cỏc bn cng nh hng phỏttrinminidungnythờmphnhonthin. Emxinchõnthnhcmn! 78 TI LIU THAM KHO [1] PhmBỡnhụ(2010),Hỡnh hc Vi phõn,NXBHSP,HNi. [2] on Qunh, Trn ỡnh Vit, Trng c Hinh, Nguyn Hu Quang(1993),Bi hỡnh hc Vi phõn,NXBGD,HNi. [3] onQunh(2009),Hỡnh hc Vi phõn,NXBGD,HNi. 79 [...]... 0.3 Cung song chính quy và mặt phẳng mật tiếp 0.3.1 Cung song chính quy Cho  cung    có  tham  số  hóa   : J  E n , t    t    Điểm    t0    được  gọi  là  điểm song chính quy  nếu   '  t0    và  " t0    độc  lập  tuyến  tính.  Nếu mọi điểm của cung đều là điểm song chính quy thì cung đó  đuợc gọi là cung song chính quy.  0.3.2 Mặt phẳng mật tiếp Cho cung  : J   n    n  2  và ...  và p  gọi là trùng pháp tuyến của cung tại    t0   (“trùng” là hai lần vuông góc).  Mặt phẳng chứa  p và b  được gọi là mặt phẳng pháp diện.  Mặt phẳng chứa   và p  được gọi là mặt phẳng mật tiếp.  Mặt phẳng chứa   và b  được gọi là mặt phẳng trực đạc.  0.3.4 Mục tiêu Frénet và công thức tính độ cong và độ xoắn của cung song chính quy đối với một tham số hóa bất kỳ Trong  3 , cho cung song chính quy định hướng ...   và    (khả  vi  tới  lớp  C n ,  n  0 )  trên  khoảng  J và k  có giá trị dương. Khi đó:  1) Có tham số hóa tự nhiên  r : J  3  (khả vi lớp  C n 2 ) của một cung song chính quy định hướng trong  3  (có hướng) nhận  k và   làm  độ cong và độ xoắn.  2)  Nếu  có  hai  tham  số  hóa  r   và    của  hai  cung như  thế  thì  có  đẳng cấu afin trực giao bảo tồn hướng tức một phép dời hình ... " x " y ' x '  b) Cung túc bế, cung thân khai Trong   2  cho hai cung song chính quy xác định bởi hai tham số  hóa   : J   2 ,  t   (t )   và  : J   2 ,  t   (t )   Nếu  với  mỗi  t  J   pháp tuyến của    tại   (t )  là tiếp tuyến của    tại   (t )  thì ta nói    là  cung túc bế của   và cũng nói    là cung thân khai của       15 c) Cách tìm cung túc bế Cho  cung song  chính ... s)   Lấy  một hướng  của   2   xác  định  bởi  một cơ  sở    trực  chuẩn  (e1 , e2 )   nào  đó.  Giả  sử  cung định  hướng  xác  định  bởi  cung tham số   : J   2  có độ cong đại số  k ( s) và có trường mục tiêu Frénet    (T , N ) ứng với hướng  (e1 , e2 )  đã cho của   2  Ta chứng minh rằng cung  : J   2   có phương trình tham số   ( s)   ( s )  1  N  s   là cung túc  k... đẳng cấu afin trực giao bảo tồn hướng tức một phép dời hình f  của  3   mà  r  f.    11 Chương 1 CUNG PHẲNG (CUNG TRONG  2 ) 1.1 Công thức Frénet của cung song chính quy định hướng trong 2 1.1.1 Định nghĩa     Trong   2  cho một hướng xác định bởi một cơ sở vectơ  (e1 , e2 )  của   2 không gian vectơ Euclide liên kết   và một cung chính quy định hướng   có tham số hóa tự nhiên  r : J   2  Kí hiệu:   T... Frénet của  cung định  hướng       ứng với hướng  (e1 , e2 )  của   2   1.1.2 Công thức tính độ cong đại số của cung định hướng trong  2     Trong   2   cho  một hướng  xác  định  bởi  cơ  sở  trực  chuẩn  (e1 , e2 )    2 của không gian vectơ liên kết   và một cung chính quy định hướng có  tham số hóa bất kỳ   : J   2 ,  t   (t )  Giả sử  r : I   2 ,  s  r ( s)  là  một tham ...  y ' x ' x '2  y '2   Thay vào công thức trên ta được  k (t )  x' y' x" y " 2 3 (t )   x'  y'  2 1.1.3 Đường tròn mật tiếp, cung túc bế, cung thân khai a) Đường tròn mật tiếp     Trong   2  cho một hướng xác định bởi một cơ sở trực chuẩn  (e1 , e2 )   của  r : J  E 2 ,  s  r (s)  Gọi  (T , N )  là trường mục tiêu Frénet của  r ứng với hướng đã chọn của   2 và k  là độ cong đại số của ... s )   là pháp  vectơ của    tại   ( s ) Vậy    là cung túc bế của       Tiếp theo, ta chứng minh rằng cung túc bế của    là duy nhất. Thật  vậy,  nếu   : J   2   cũng  là  một cung túc  bế  của     thì  phương  trình   tham  số  của     phải  có  dạng   ( s )   ( s )  a( s ).N ( s )   với  a( s)   là  một hàm số khả vi nào đó và phải thỏa mãn điều kiện   '( s )  N ( s )    ...   tại   ( s )  Vậy    là cung thân khai của       Tiếp theo  ta chứng minh rằng  mỗi cung thân khai của    đều có  phương  trình  tham  số  dạng  như  trên.  Thật  vậy,  giả  sử   : J   2 ,  s   ( s )  là một cung thân khai của    thì phương trình tham số của     phải có dạng   ( s )   ( s )  b( s )  '( s ) , với  b( s )  là một hàm số khả vi nào  đó và phải thỏa mãn điều kiện  ... một cách  chi  tiết  về  cung cung phẳng, cung hình học và đa tạp một chiều.   Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Kiến thức về cung phẳng, cung hình học và đa tạp một chiều.  ... đa tạp một chiều cũng như ứng dụng của các đối tượng này và được sự  hướng  dẫn  của  thầy  hướng  dẫn,  em  đã  quyết  định  chọn  đề  tài  Cung phẳng, cung hình học, đa tạp một chiều và ứng dụng  để trình bày trong ... Lý thuyết và bài tập về cung phẳng, cung hình học và đa tạp một chiều.   Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống lại những lý thuyết cơ bản;  Phân loại, hệ thống các dạng bài tập về cung phẳng, cung hình học  và đa tạp một chiều.