Cung phẳng, cung hình học, đa tạp một chiều và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN Trong thời gian thực hiện khóa luận tốt nghiệp, dưới sự chỉ bảo tận tình của thầy hướng dẫn và được phía nhà trường tạo điều kiện thuận lợi, em đã có một quá trình nghiên cứ

LỜI CẢM ƠN

 

  Trong  thời  gian  thực  hiện  khóa  luận  tốt  nghiệp,  dưới  sự  chỉ  bảo tận tình của thầy hướng dẫn và được phía nhà trường tạo điều kiện thuận lợi, em đã có một quá trình nghiên cứu, tìm hiểu và học tập nghiêm túc 

để hoàn thành khóa luận. Kết quả thu được không chỉ do nỗ lực của bản thân mà còn có sự giúp đỡ của quý thầy cô, gia đình và các bạn. 

  Em  xin  bày  tỏ  lòng  biết  ơn  chân  thành  tới  các  thầy  cô  trong  tổ hình học, các thầy cô và các bạn sinh viên trong khoa đã nhiệt tình chỉ dẫn, góp ý, cộng tác, giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu 

để  hoàn  thành  khóa  luận.  Đặc  biệt  là  thầy  Trần Văn Nghị,  thầy  đã  tận 

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận được hoàn thành dưới sự tìm hiểu, nghiên cứu của bản 

thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Trần Văn Nghị. 

Trong khóa luận có tham khảo các kết quả nghiên cứu của một số nhà  khoa  học.  Em  xin  khẳng  định  kết  quả  của  khóa  luận  này  là  không sao chép từ bất kì đề tài nào. Em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời cam đoan của mình. 

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên 

Hoàng Thị Hải Lý

MỤC LỤC

 

MỞ ĐẦU   1 

Chương 0. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ   3 

0.1. Cung tham số   3 

0.2. Cung chính quy   4 

0.3. Cung chính quy và mặt phẳng mật tiếp   8 

0.4. Định lý cơ bản của lý thuyết đường trong 3   11 

Chương 1. CUNG PHẲNG (CUNG TRONG 2)   12 

1.1. Công thức Frénet của cung song chính quy định hướng trong 212  1.2. Định lý cơ bản về lý thuyết đường trong     19 2 1.3. Một số dạng bài tập   22 

Chương 2. CUNG HÌNH HỌC VÀ ĐA TẠP MỘT CHIỀU   38 

2.1 Cung hình học   39 

2.2. Đa tạp một chiều   42 

2.3 Đường xác định bởi phương trình ẩn   45 

2.4 Một số dạng bài tập   51 

KẾT LUẬN   78 

MỞ ĐẦU

 

1 Lý do chọn đề tài

Hình học là môn khoa học đi nghiên cứu về tính chất định tính và định  lượng  của  các  hình.  Tùy  vào  các  phương  pháp  nghiên  cứu  khác nhau mà có những ngành hình học khác nhau như Hình học Afin, Hình học  Xạ  ảnh,  Hình học  Vi  phân,  Hình học  giải  tích,  Hình  học  đại  số,… Hình học Vi phân là ngành hình học ứng dựng phép tính vi phân vào giải quyết  các  bài  toán  hình học,  ở  đó  các  khái  niệm  về  cung  chính  quy  và cung song  chính quy  là những khái  niệm  ban  đầu để tiếp cận lý thuyết đường trong   3

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về cung phẳng, cung hình học, 

đa tạp một chiều cũng như ứng dụng của các đối tượng này và được sự hướng  dẫn  của  thầy  hướng  dẫn,  em  đã  quyết  định  chọn  đề  tài  “Cung phẳng, cung hình học, đa tạp một chiều và ứng dụng” để trình bày trong khóa luận tốt nghiệp đại học. Hy vọng, khóa luận này sẽ là một lài liệu cho các bạn sinh viên khóa sau trong việc học tập và nghiên cứu. 

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của đề tài là hệ thống lại những lý thuyết cơ bản 

và  phân  dạng  các  bài  tập  một  cách  chi  tiết  về  cung  cung  phẳng,  cung hình học và đa tạp một chiều. 

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Kiến thức về cung phẳng, cung hình học và đa tạp một chiều. 3.2 Phạm vi nghiêm cứu

Lý thuyết và bài tập về cung phẳng, cung hình học và đa tạp một chiều. 

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Chương 0 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

0.1 Cung tham số

0.1.1 Định nghĩa

Cho J  là một khoảng trong   Mỗi ánh xạ :J E n gọi là một 

cung tham số  trong n.  Tập  điểm   J   gọi  là  ảnh của  cung  đó  và  J   được gọi là miền tham số của . 

Lấy điểm    cố định trong n, ta gọi hàm vectơ 

7) Cung  đinh  ốc  nón:   t acos , sin , ,t t t t a0  (tọa  độ  ở đây  là  tọa  độ  Descartes  vuông  góc  trong 3).  Ảnh  của  cung  nằm  trên mặt nón tròn xoay x2 y2 z2 0. 

    (tức  là   là  song  ánh  khả  vi  mà 1  cũng  khả  vi)  sao  cho 

    thì ta nói  tương đương với   và viết    Quan hệ cùng hướng  ở  đây  là  quan  hệ  tương  đương  theo  lí  thuyết  tập  hợp.  Mỗi  lớp 

Nếu ' t   ta nói 0  là phép đổi tham số bảo tồn hướng hay  

và    cùng hướng.  Nếu ' t    thì  ta nói 0   là  phép đổi tham số đảo

hướng hay  và   ngược hướng. Quan hệ tương đương ở đây là quan 

0.2.2 Điểm chính quy, điểm kì dị

Cho cung  có tham số hóa :J  n. Điểm  t0  gọi là điểm

chính quy  của    nếu ' t0 0

.  Nếu  điểm   t0   không  là  điểm  chính quy thì  t0  được gọi là điểm kì dị. 

0.2.3 Cung chính quy, tiếp tuyến, pháp tuyến, pháp diện

Cho  cung  :a b,     (cung đoạn).  Chia  n a b   thành  những , 

đoạn  bởi  dãy  điểm at0t1 t k    rồi  lập  tổng b    1

1

k

j j j

Nếu tăng số điểm chia lên thì tổng đó tăng lên (tính chất bất đẳng thức trong tam giác). 

Xét tất cả các phép chia như trên và xét tập số     1

1

k

j j j

này là độ dài của cung đã cho và kí hiệu là    

Định lí Nếu  cung :[ , ]a b En  khả  vi  tới  lớp C   (tồn  tại  đạo 1

b) Tham số hóa tự nhiên

Định nghĩa Tham  số  hóa  r J   , : n sr s   của  một  cung 

chính quy được gọi là một tham số hóa tự nhiên nếu  r s   với mọi '  1

s  J

Tính chất

a) Nếu  :r J   ,  n sr s  là một tham số hóa tự nhiên của một cung chính quy thì  rs s1 , 2s2s1. 

b)  Nếu  r J   , : n sr s1   và  r J  2: 2 n,  ur u2   là  hai 

tham số hóa tự nhiên của cùng một cung chính quy thì  u  s C  ( C  là 

một hằng số). 

c)  Nếu r J  1: 1 n,t t   là  một  tham  số  hóa  bất  kì  của  một 

cung chính quy thì có thể đổi tham số  t  sang tham số  s  theo công thức 

s  t dt t J  

để  s   là tham  số  tự  nhiên  của  cung.  (Do  công  thức  này  nên  tham  số  tự  nhiên còn được gọi là tham số độ dài cung)

0.2.5 Độ cong của cung chính quy và ý nghĩa hình học của độ cong

a) Công thức tính độ cong

Cho cung chính quy với tham số hóa tự nhiên  3  

r J   t r t  Đặt  t r t'  thì   t 1. Số k t   t  được gọi là độ cong của cung tại điểm r t   

b) Ý nghĩa hình học của độ cong

           

2 2

2 2

sin2

0.3 Cung song chính quy và mặt phẳng mật tiếp

0.3.1 Cung song chính quy

Cho  cung   có  tham  số  hóa  :J E ,n t  t   Điểm   t0  

được  gọi  là  điểm song chính quy  nếu  ' t 0   và  " t 0   độc  lập  tuyến tính. 

Nếu  mọi  điểm  của  cung đều là điểm song  chính quy  thì  cung  đó 

đuợc gọi là cung song chính quy. 

0.3.2 Mặt phẳng mật tiếp

Cho cung :J    n n 2 và  t0  là điểm song chính quy của cung.  Mặt  phẳng     đi  qua  t0   có  không  gian  chỉ  phương  sinh  bởi 

  ' t0 , " t0 

 được gọi là mặt phẳng mật tiếp của cung tại điểm  t0  Điểm  t0  được gọi là tiếp điểm của    với . 

0.3.3 Pháp diện và mặt phẳng trực đạc tại điểm song chính quy của cung trong 3

Cho cung : J    có điểm song chính quy 3  t0  Gọi  là tiếp tuyến của  tại  t0 , gọi  p  là pháp tuyến chính của  tại  t0  Khi 

đó, đường thẳng  b  đi qua  t0  vuông góc với cả  và  p  gọi là trùng

pháp tuyến của cung tại  t0  (“trùng” là hai lần vuông góc). 

Mặt phẳng chứa  p  và  b  được gọi là mặt phẳng pháp diện. 

Mặt phẳng chứa  và  p  được gọi là mặt phẳng mật tiếp. 

r

   ( ). 0

Gọi T N B  là trường  mục tiêu Frénet dọc , ,  ; coi nó là trường mục tiêu dọc theo cung tham số r và coi độ cong, độ xoắn của  là hàm dọc theo r (tức hàm số trên I) thì công thức Frénet cho: 

0.3.5 Ý nghĩa hình học của độ xoắn

Ta  đã  biết B t   là  vectơ  pháp  tuyến  của  mặt  phẳng  mật  tiếp  tại  

2 2

Cho  hai  hàm  số  k   và   (khả  vi  tới  lớp C ,  n n  )  trên  khoảng 0

Chương 1 CUNG PHẲNG (CUNG TRONG 2

hướng với ( , )e e 1 2

.    Vậy  nếu T s '  0

k s , do đó | ( ) |k s  gọi là độ cong tuyệt đối của   tại  ( ) r s  

  Từ  ( ) ( )T s N s    ta  có 0 T N' T N '   Từ 0 N    ta  có 2 1 N'N tức là N T  Vậy có thể viết ' N' x T . Do đó, 0(kN N) T xT( )k  x

suy ra  x   Vậy k N' kT. Tóm lại, ta có công thức  

'( ) ( ) ( ),'( ) ( ) ( )

 của không gian vectơ liên kết 2

 và một cung chính quy định hướng có tham số hóa bất kỳ : J   , 2 t  ( )t  Giả sử r I   , : 2 sr s( ) là một  tham  số  hóa tự nhiên  của  cung  đã  cho.  Gọi T s N t( ), ( )  là  trường mục tiêu Frénet dọc r  ứng với hướng ( , )e e 1 2

 của   thì độ cong đại số 2

k  của  r  xác định bởi  '( ) T s k s N s( ) ( ). 

  Gọi  :s J I t, s t( )  là  phép  biến  đổi  tham  số  (bảo  tồn  hướng) 

từ  sang  r  thì     với  '( ) 0r s s t   Khi đó, 

 

2 2

'( ) '( ) '( ) ( ) '( ) '( ) '( )

"( ) "( ) ' ( ) '( ) "( ) '( ) ' ( ) ( ) "( )

( ) ( ) ' ( ) ( ) "( )( ) '( ) ( ) "( ) ( )

  Với gốc    chọn tùy ý, xét mục tiêu trực chuẩn ( , , ) e e 1 2

, phương trình tham số của  có dạng  ( ) t ( ( ), ( ))x t y t  Do đó, 

'( ) ' ( ) ' ( )

x t y t t

với hướng đã chọn của 2 và k  là độ cong đại số của  r  thì  k   (vì  r song 0chính quy). 

  Với mỗi điểm M0 r s( )0 r J( ) ta lấy được điểm  M  trong 2sao cho  M M0

  cùng  hướng  với  T s'( )0   và  có  độ  dài  0

0

1( )

0

1( )( )

  Điểm  M gọi là tâm chính khúc hay tâm cong của cung  r  tại điểm 

k s  của S   gọi là bán kính chính khúc hay  bán kính cong của cung  r  tại điểm  r s  ( )0

  Nhận xét 

1 Khi  thay  đổi  hướng  của  đường  tham  số  thì  'r   đổi  hướng,  "r  

không đổi hướng,  N  đổi hướng và  k  đổi dấu. Từ đây suy ra tâm đường 

tròn mật tiếp không phụ thuộc vào hướng của đường tham số. 

r J E sr s   là  đường  tham  số  với  tham  số  bất 

kỳ. Gọi X s Y s( ), ( ) là tọa độ của tâm đường tròn mật tiếp tại  s Ta có  

pháp tuyến của   tại  ( ) t  là  tiếp  tuyến  của   tại  ( ) t  thì  ta nói   là 

cung túc bế của   và cũng nói   là cung thân khai của . 

 

  Tiếp theo, ta chứng minh rằng cung túc bế của   là duy nhất. Thật vậy,  nếu  : J  2  cũng  là  một  cung  túc  bế  của    thì  phương  trình tham  số  của    phải  có  dạng  ( )s ( )s a s N s( ) ( )

Lấy mục tiêu trực chuẩn ( , , ) e e 1 2

 của   với gốc    nào đó, và giả 2

sử ( )t x t y t( ), ( ) , ( )  t X t Y t( ), ( ).Từ  công  thức  tính  độ  cong  đại 

số  của    (trong  mục  2)  ta  được  phương  trình  của   theo  tọa  độ  trực chuẩn là 

d) Cách tìm cung thân khai

Cho  cung  song  chính  quy  của  2  có  tham  số  hóa  tự  nhiên 

( )

s s  là một cung thân khai của  thì phương trình tham số của    phải có dạng  ( ) s ( )s b s( ) '( ) s , với  ( )b s  là một hàm số khả vi nào 

Chú ý Nếu  cung  : J     cho  bởi  một  tham  số  hóa  bất  kỳ 2( )

t   t   thì  ta  thay  '( ) '( )

'( )

t t

s  t dt.  Như  thế,  phương trình tham số của cung thân khai của  theo tham số  t  là  

định hướng trong  , mà với một hướng cho trước của 2  thì  k  là hàm 2

độ cong đại số của  r  Nếu có hai cung định hướng  r  và  như thế thì 

có một phép dời hình  f   : 2 2 sao cho  r f   (nói tắt biến ảnh của 

  Khi đó, T s( )x s y s'( ), '( )

 với x s'( )2 y s'( )2 1. Do đó có hàm khả vi  ( ) s  sao cho  '( )x s cos ( ), '( ) s y s sin ( ) s   

  Vậy T s( )cos ( ),sin ( ) , s  s  N s( )  sin ( ),cos ( ) s  s 

, 

  T s'( )'( ).s sin ( ),cos ( ) s  s k s N s( ) ( )

.  Suy  ra '( )s k s( ).  Gọi 0( )s   là  một  nguyên  hàm  của  ( )k s   thì 

   xác định bởi  hệ  thức  (1)  với các  hằng  số  C   bất  kì)  sai khác  một 

phép dời hình. 

  Các  đường  cong  xác  định  bởi  ( ) s   khác  nhau  sai  khác  một  phép quay trong mặt phẳng. 

cos ( ) cos ( ) cos cos ( ) sin sin ( )

sin ( ) sin ( ) cos sin ( ) sin cos ( )

( ) cos ( ) cos cos ( ) sin sin ( )

  Tương tự, y s( )sin ( )C x s0 cos ( )C y s0  (4) 

  Từ  hệ  thức  (3)  và  (4)  ta  nhận  thấy  cung r s( )x s y s( ), ( )  nhận được từ cung ( )s x s y s0( ), 0( ) bằng phép quay có ma trận 

c)  t   sinat,  cosat   a0 (đường tròn), 

d)   t  acost bsint,      a b, 0 (đường elip) tại các đỉnh của nó, 

 

 

  Các  đỉnh  của  nó  ứng  với  các  giá  trị  ; ;3

1210

2

4

t

t t

k t

t t

k s



 a b , 0,  

d)

1( )



 .   Cung   có tham số hóa tự nhiên r s: r s x s   ,y s  nhận 

s

a s

1sin ln

  Suy ra  

cossin

at at

y s e

sin cos1

a s

a s

2 2

       

   

1,

ln tan cos ,sin cot sin ,cos ,2

k t t

       

   

1,

3 ' 2 ' 2 2

 

       

   

1,

1.3.4 Tìm cung thân khai

Bài 4. Tìm các cung thân khai của cung trong 2có biểu thức tọa 

  a) ' t a tln cosa ta tsin ,t a tln sina ta tcost

c)   

2

,4

2 1

k t

t



  suy  ra  bán  kính  đường  tròn  mật  tiếp 

của cung tại t   là 0

 

110

R k

( ') ( ')

' " " ' 2

t t

b R

  Tọa độ tâm của đường tròn mật tiếp của cung tại t 2 là: 

2 2 4

2

4 2 2

2 2 0

t t

Chương 2 CUNG HÌNH HỌC VÀ ĐA TẠP MỘT CHIỀU

2.1 Cung hình học

2.1.1 Định nghĩa

  Cho cung tham số chính quy :J    Nếu n :J ( )J    n

là một dìm và là một đồng phôi lên  ( ) J (đồng phôi là một song ánh liên tục và ánh  xạ ngược  cũng  liên  tục) thì  tập  điểm  ( ) J  được  gọi là một 

cung hình học còn gọi  là một tham số hoá của cung hình học đó. 

  Nếu :J ( )J  là  một  đồng phôi thì ta  nói :J    là một nđồng phôi lên ảnh. 

2

'( )t 1,x t( ), ,x t n( ) 0

 nên  là cung chính quy. 

 liên tục tại M 0

 

  Vì  là đơn ánh liên tục và 1

 liên tục nên  là đồng phôi lên ảnh. Vậy  ( ) J  là một cung hình học. 

b) Cho cung hình học có tham số hoá :J   Với mỗi n t0 J

có lân cận I của t0,và một cung tham số kiểu đồ thị :J   tương n

đương với  hạn chế trên I (Nói tắt: tại một điểm bất kỳ của cung hình  học đều có một lân cận xác định bởi một tham số hoá kiểu đồ thị)

Chứng minh

Lấy một hệ toạ độ afin của  E n và giả sử ( )t t x t, 2( ), ,x t n( ). 

Vì '( )t0 0

  nên  có thể giả sử x t1'( )0    Theo định lý hàm ngược, có 0

lân  cận  A của  x t1( )0   để  với  mọi  X1A   đều  có  thể  tìm  được  t sao  cho 

1( ) 1

x t  X ,  ta  viết  t g X( 1),  trong  đó  g  là  một  hàm  khả  vi  và 

g Ag A  là một vi phôi. 

  Muốn vậy lấy một hệ toạ độ afin của n  Giả sử cung r có phương 

trình tham số r u x u1 , ,x u n  . Với u0I, t0 u0  có lân cận 

  Tập điểm   của   đựơc gọi là một đa tạp một chiều nếu với mỗi n

điểm  M   có một tập mở U của  n chứa M sao cho U   là một cung 

hình  học.  Mỗi  tham  số  hoá  của  cung  hình  học  này  gọi  là  một  tham số

hoá địa phương tại M của   

2.2.2 Dấu hiệu nhận biết một tập điểm là đa tạp một chiều

a) Dấu hiệu trong    2

  Cho  hệ  toạ độ  afin x y   của ,     Tập  điểm 2    của  là  một  đa 2tạp một chiều khi và chỉ khi tại mỗi điểm M0 của có một tập mở U của 

2

 chứa  M0và  một  hàm  khả  vi  F U: R  sao  cho  tại  mỗi  điểm 

 , 

M x y U  ta có 

2 2

b) Dấu hiệu trong   3

  Cho hệ toạ độ afin x y z  của , ,    Tập điểm 3   của   là một đa 3tạp một chiều khi và chỉ khi tại  mỗi điểm M0 của   có một tập mở U

của 3  chứa M  và  hai hàm khả vi  :0 F U R, G U:    sao  cho  tại R

2.3 Đường xác định bởi phương trình ẩn

2.3.1 Đường xác định bởi phương trình ẩn trong  2

thoả  mãn  phương  trình F x y    được  gọi  là  đường phẳng xác định  ,  0

bởi phương trình ẩn. Điểm  M0x y  được gọi là điểm chính quy hay 0, 0

điểm kì dị tuỳ theo 

2 2

c) Tiếp tuyến, pháp tuyến

  Nếu M0 là một điểm chính quy của   thì theo dấu hiệu nhận biết 

ở trên, có lân cận U của  M0 trong  để  U2   là một cung hình học. 

Tiếp tuyến, pháp tuyến, độ cong của cung  U  tại  M  cũng được gọi 0

lần luợt là tiếp tuyến, pháp tuyến, độ cong của đường  tại M0

  Giả  sử  cung  U    có  tham  số  hoá   t x t   ,y t   và 

' t F F y, x M

  Vậy tiếp tuyến tại điểm chính quy M  có phương trình  0