Luận văn sư phạm Cung phẳng, cung hình học, đa tạp một chiều và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN LỜI CẢM ƠN     Trong  thời  gian  thực  hiện  khóa  luận  tốt  nghiệp,  dưới  sự  chỉ  bảo  tận tình của thầy hướng dẫn và được phía nhà trường tạo điều kiện thuận  lợi, em đã có một q trình nghiên cứu, tìm hiểu và học tập nghiêm túc  để hồn thành khóa luận. Kết quả thu được khơng chỉ do nỗ lực của bản  thân mà cịn có sự giúp đỡ của q thầy cơ, gia đình và các bạn.    Em  xin  bày  tỏ  lịng  biết  ơn  chân  tới  các  thầy  cơ  trong  tổ  HỒNG THỊ thành  HẢI LÝ hình học, các thầy cơ và các bạn sinh viên trong khoa đã nhiệt tình chỉ  dẫn, góp ý, cộng tác, giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu  để  hồn  thành  khóa  luận.  Đặc  biệt  là  thầy  Trần Văn Nghị,  thầy  đã  tận  tình hướng dẫn, chỉ bảo, hỗ trợ em hồn thành khóa luận này.  Hà Nội, tháng năm 2013 CUNG PHẲNG, CUNG HÌNH Sinh viên  HỌC, ĐA TẠP MỘT CHIỀU VÀ DỤNG HoàngỨNG Thị Hải Lý khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyờn ngnh: Hình học LỜI CAM ĐOAN Khóa luận được hồn thành dưới sự tìm hiểu, nghiên cứu của bản  thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Trần Văn Nghị.  Trong khóa luận có tham khảo các kết quả nghiên cứu của một số  nhà  khoa  học.  Em  xin  khẳng  định kết  quả  của khóa luận  này  là khơng  sao chép từ bất kì đề tài nào. Em xin chịu hồn tồn trách nhiệm về lời  cam đoan của mình.  Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên  Hoàng Thị Hải Lý MỤC LỤC   MỞ ĐẦU  . 1  Chương 0. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ   3  0.1. Cung tham số   3  0.2. Cung chính quy  . 4  0.3. Cung chính quy và mặt phẳng mật tiếp   8  0.4. Định lý cơ bản của lý thuyết đường trong  3    11  Chương 1. CUNG PHẲNG (CUNG TRONG   )  . 12  1.1. Cơng thức Frénet của cung song chính quy định hướng trong   12  1.2. Định lý cơ bản về lý thuyết đường trong     . 19  1.3. Một số dạng bài tập   22  Chương 2. CUNG HÌNH HỌC VÀ ĐA TẠP MỘT CHIỀU  . 38  2.1 Cung hình học   39  2.2. Đa tạp một chiều   42  2.3 Đường xác định bởi phương trình ẩn   45  2.4 Một số dạng bài tập   51  KẾT LUẬN   78  MỞ ĐẦU   Lý chọn đề tài Hình học là mơn khoa học đi nghiên cứu về tính chất định tính và  định  lượng  của  các  hình.  Tùy  vào  các  phương  pháp  nghiên  cứu  khác  nhau mà có những ngành hình học khác nhau như Hình học Afin, Hình  học  Xạ ảnh,  Hình học  Vi phân,  Hình học  giải tích,  Hình học đại số,…  Hình học Vi phân là ngành hình học ứng dựng phép tính vi phân vào giải  quyết các  bài tốn hình học,  ở đó các khái  niệm  về cung chính quy  và  cung song chính quy là những khái niệm ban đầu để tiếp cận lý thuyết  đường trong  3   Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về cung phẳng, cung hình học,  đa tạp một chiều cũng như ứng dụng của các đối tượng này và được sự  hướng  dẫn  của  thầy  hướng  dẫn,  em  đã  quyết  định  chọn  đề  tài  “Cung  phẳng, cung hình học, đa tạp một chiều và ứng dụng” để trình bày trong  khóa luận tốt nghiệp đại học. Hy vọng, khóa luận này sẽ là một lài liệu  cho các bạn sinh viên khóa sau trong việc học tập và nghiên cứu.  Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của đề tài là hệ thống lại những lý thuyết cơ bản  và  phân  dạng  các  bài  tập  một  cách  chi  tiết  về  cung  cung  phẳng,  cung  hình học và đa tạp một chiều.  Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Kiến thức về cung phẳng, cung hình học và đa tạp một chiều.  3.2 Phạm vi nghiêm cứu Lý thuyết và bài tập về cung phẳng, cung hình học và đa tạp một  chiều.  Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống lại những lý thuyết cơ bản;  Phân loại, hệ thống các dạng bài tập về cung phẳng, cung hình học  và đa tạp một chiều.  Phương pháp nghiên cứu Phân tích, tổng hợp, hệ thống kiến thức.  Nghiên cứu tài liệu.  Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm 3 chương:  Chương 0: Kiến thức chuẩn bị  Chương 1: Cung phẳng (cung trong   )  Chương 2: Cung hình học và đa tạp một chiều  Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 0.1 Cung tham số 0.1.1 Định nghĩa Cho  J  là một khoảng trong  ฀  Mỗi ánh xạ   : J  E n  gọi là một  cung tham số  trong   n   Tập  điểm    J    gọi  là  ảnh của  cung đó  và  J   được gọi là miền tham số của     Lấy điểm    cố định trong   n , ta gọi hàm vectơ      : J   n , t    t     t    là hàm bán kính vectơ của    ứng với gốc     0.1.2 Ví dụ 1) Cung hằng:    t   M , ở đây  M  là một điểm cố định của   n    2) Cung  thẳng:    t   M  tv   ( M   là  điểm  cố  định  của   n   và     v   là một vectơ khơng đổi của  n ).    3) Cung  trịn    t     r cos te1  sin te2   ( r   là  hằng  số  dương      và  , e1 , e2  là một mục tiêu trực chuẩn của   ).      4) , e1 , e2  là một mục tiêu trực chuẩn của   , cung Elip:        t     a cos te1  b sin te2 ,  a, b        5) Cung  hypebol:  r  t     achte1  bshte2 ,  ( , a, b  , , e1 , e2     là một mục tiêu trực chuẩn của    Tùy theo  a   hay  a   mà ảnh của  x2 y nó là nhánh phải hay nhánh trái của hypebol    ).  a b  t    6) Cung  parabol:    t     te1  e2 ,  (  , , e1 , e2   là  một  2   mục tiêu trực chuẩn của   ).  7) Cung  đinh  ốc  nón:    t   a  cos t , t sin t , t  ,  a     (tọa  độ  ở  đây  là  tọa  độ  Descartes  vng  góc  trong  3 ).  Ảnh  của  cung  nằm  trên  mặt nón trịn xoay  x  y  z    0.2 Cung quy 0.2.1 Cung, cung định hướng   Cho hai cung tham số   : J  E n ,   : I  E n  Nếu có một vi phơi   : J  I   (tức  là     là  song  ánh  khả  vi  mà   1   cũng  khả  vi)  sao  cho        thì ta nói    tương đương với    và viết   ฀   Quan hệ cùng  hướng  ở  đây  là  quan  hệ  tương  đương  theo  lí  thuyết  tập  hợp.  Mỗi  lớp  tương đương theo quan hệ đó được gọi là một cung.    Cho hai cung tham số tương đương   : J   n ,  : I   n  Giả sử   : J  I   là  phép  đổi  tham  số  từ     sang     thì     đơn  điệu  tăng  hoặc  đơn điệu giảm (vì    là vi phơi). Suy ra hoặc   ' t     t  J   t  hoặc  ' t 0  t  J   Nếu   '  t    ta nói    là phép đổi tham số bảo tồn hướng hay     và    cùng hướng.  Nếu   '  t     thì ta nói    là phép đổi tham số đảo hướng hay    và    ngược hướng. Quan hệ tương đương ở đây là quan  hệ tương đương theo lí thuyết tập hợp. Mỗi lớp tương đương theo quan  hệ đó gọi là một cung định hướng.  Vậy  cung  định  hướng  là  tập  hợp  tất  cả  các  cung  tham  số  tương    đương cùng hướng với một cung tham số   : J   n  Ta gọi   : J   n   là một đại diện hay một tham số hóa của cung định hướng đó.  0.2.2 Điểm quy, điểm kì dị Cho cung    có tham số hóa   : J  n  Điểm    t0   gọi là điểm  quy  của     nếu   '  t0     Nếu  điểm    t0    khơng  là  điểm  chính  quy thì    t0   được gọi là điểm kì dị.  0.2.3 Cung quy, tiếp tuyến, pháp tuyến, pháp diện Một cung mà mọi điểm của nó đều là điểm chính quy được gọi là  cung quy.  Giả sử    t0   là điểm chính quy của cung     Tiếp tuyến của    tại    t0   là đường thẳng đi qua    t0   có vectơ  chỉ phương là   '  t0    Pháp tuyến của    tại    t0   là đường thẳng đi qua    t0   và vng  góc với tiếp tuyến Pháp diện của    tại    t0   siêu phẳng đi qua    t0   và vng góc  với tiếp tuyến tại    t0  0.2.4 Độ dài tham số hóa tự nhiên cung quy a) Độ dài cung Cho  cung   :  a, b    n   (cung đoạn).  Chia   a, b    thành  những   k  đoạn  bởi  dãy  điểm  a  t0  t1   tk  b   rồi  lập  tổng     t j 1    t j    j 1 (tổng này gọi là độ dài đường gấp khúc “nội tiếp” ảnh của   ).  Nếu tăng số điểm chia lên thì tổng đó tăng lên (tính chất bất đẳng  thức trong tam giác).   k   Xét tất cả các phép chia như trên và xét tập số     t j 1    t j      j 1  Nếu tập số này có cận trên đúng (tức là supremum). Ta gọi cận trên đúng  này là độ dài cung đã cho và kí hiệu là        Định lí Nếu  cung   :[a, b]  E n   khả  vi  tới  lớp  C   (tồn  tại  đạo  hàm   '  t   liên tục) thì nó có độ dài cung và độ dài cung là   b         t  dt   ' a b) Tham số hóa tự nhiên Định nghĩa Tham  số  hóa  r : J   n ,  s  r  s    của  một  cung  chính quy được gọi là một tham số hóa tự nhiên nếu  r '  s    với mọi  s  J   Tính chất a) Nếu  r : J   n ,  s  r  s   là một tham số hóa tự nhiên của một    cung chính quy thì   r s1 ,s2   s2  s1   b)  Nếu  r : J   n ,  s  r1  s    và  r2 : J   n ,  u  r2  u    là  hai  tham số hóa tự nhiên của cùng một cung chính quy thì  u   s  C  ( C  là  một hằng số).  c)  Nếu  r1 : J1   n , t    t    là  một  tham  số  hóa  bất  kì  của  một  cung chính quy thì có thể đổi tham số  t  sang tham số  s  theo công thức  t s    '  t  dt  t0  J    t0 để  s   là tham  số tự nhiên  của  cung.  (Do  công thức  này nên tham số  tự  nhiên còn được gọi là tham số độ dài cung) 0.2.5 Độ cong cung quy ý nghĩa hình học độ cong a) Cơng thức tính độ cong Cho cung chính quy với tham số hóa tự nhiên  r : J   , t  r  t    Đặt    t   r '  t   thì    t    Số  k  t     t   được gọi là độ cong của  cung tại điểm  r  t    Cơng thức tính độ cong của cung chính quy trong  3   Cho cung chính quy với tham số hóa bất kì   : J   , t  p  t    Lấy một tham số hóa tự nhiên của nó  r : I   , s  r  s   mà   : J  I   là phép đổi tham số từ  t  sang  s  thì   : r   ,  s    t   Ta có:     t    r    t       '  t   r '  s   '  t     ''  t   r '  s   ''  t   r ''  s   '  t  Suy ra   '  t   r '  s   '  t    '  t   (do  r  s   1) và    '  t    ''  t    r '  s   r ''  s    '3  t    Vì  r  s   1 nên  r ''  s   r '  s   Do đó,   '  t    ''  t    r '  s   r ''  s    '  t     r '  s  r ''  s  sin  r '  s  , r ''  s    '  t    3  r ' s   ' t   T ' s   ' t    3  k  s   't   k  t   ' t    Vậy  k t    '  t    " t   ' t    8 x0  x0 y0    4 y0 z0   2 x  x z  0      x0 , y0 , z0    0, y 0 ,  y0     1    x0 , y0 , z0    0,2,  2    x , y , z    0,2,0   0  1  2    3   y0  y   y0    Thay (1) vào hệ (III) ta được      z0   4 y0  z0         M  0,1,     Suy ra    M  0,1,        Thay (2) vào hệ (III) ta được    (vô lý).       z0   (vô lý).    Thay (3) vào hệ (III) ta được     z 0        Vậy đường đã cho có 2 điểm kì dị:  M 0,1, ; M 0,1,    Bài 9.  Viết  phương  trình  tiếp  tuyến,  pháp  diện  của  của  tại  điểm  chính quy của các đường ở bài tập 8.  Giải a) Theo bài 8 đường đã cho khơng có điểm kì dị.    65   Đặt  2  F  x, y , z    x  y  z  (I).   2 G x , y , z x y           M  x, y, z   3 : F  x, y, z   0, G  x, y, z   0     Nếu  M    là điểm chính quy thì có lân cận V của  M  trong  3   để  V    là một cung hình học. Giả sử cung    V    có tham số hóa    t    x  t  , y  t  , z  t    ta xác định được   Fy'  ' t    '  Gy  Fz' Fz' , Gz' Gz' ' Fx' Fx , ' Gx' Gx Fy' G y'     y,4 x,0        Từ đó,       Phương trình tiếp tuyến của    tại điểm chính quy  M  x0 , y0 , z0   là   x  x0  y0t   y  y0  x0t   z  z    Phương trình pháp diện của    tại điểm chính quy  M  x0 , y0 , z0   là  Fy' G y' Fz' Fz'  x  x0   ' Gz' Gz Fx'  y  y0   ' Gx Gx' Fx' Fy'  z  z0   G y'    y0  x  x0   x0  y  y0    y0 x  x0 y  x0 y0    Tương tự phần a, ta xác định được:    b) Phương trình tiếp tuyến của đường đã cho tại điểm chính quy  M  x0 , y0 , z0   (khác  M , M  ) là   x  x0  z0t     y  y0  x0 z0t  z  z  x  y t 0 0  66   Phương  trình  pháp  diện  của  đường  đã  cho  tại  điểm  chính  quy  M  x0 , y0 , z0  (khác  M , M  ) là    z0  x  x0   x0 z0  y  y0   x0 1  y0  z  z0    z0 x  x0 z0 y  x0 1  y0  z  x0 z0 1  y0     c) Phương trình tiếp tuyến  của đường đã cho tại điểm chính quy  M  x0 , y0 , z0  (khác  M , M  ) là      x  x0   y0 z0  1 t   y  y0  x0 1  z0  t     z  z0  x0  y0   t   Phương  trình  pháp  diện  của  đường  đã  cho  tại  điểm  chính  quy  M  x0 , y0 , z0   là     y0 z0  1 x  x0   x0 1  z0  y  y0   x0  y0   z  z0       y0 z0  1 x  x0 1  z0  y  x0  y0   z  x0  y0 z0  y0  z0    2.4.6 Tìm hình bao họ đường phẳng   Bài 10.  Trong   cho  họ  đường  xác  định  bởi  phương  trình  ẩn  F  x, y, c    y  c    x  c     phụ  thuộc  tham  số  c.  Tìm  hình  bao  của họ đường trên.  Giải   Ta có:  Fx'  3  x  c  , Fy'   y  c  , Fc'  2  y  c    x  c  , 2 Fcx"   x  c  , Fcy"  2, Fcc"    x  c    Khử c trong hệ   F  x, y, c    y  c 2   x  c 3     '  Fc  x, y, c   2  y  c    x  c     67    y  c 2   x  c 3     y c x c          x  y  c   x  c         y  c  27  x  y    x  y  27    Vậy đường đặc trưng là hai đường thẳng  x  y  và  x  y    Vì  D1  3  x  c  6 x  c 2 y  c 2   (tại  x  y  c )   0 2   27    nên  đường thẳng  x  y  bị loại bỏ.    Xét  D1  3  x  c  6 x  c 4 3      4 6  9     2    x c  2 y  c  (tại   )   2 y  c   27   2   27    64    27 2   Do đó khơng loại bỏ điểm nào của đường thẳng  x  y    27   Kết luận: Hình bao của họ đã cho là đường thẳng  x  y  68 27     x y y  x y 27 x  O  Hình 1  Bài 11 Trong     cho một  hệ  toạ  độ  Descartes  vng  góc  xy   Một  đường  thẳng    thay  đổi  cắt  hai  trục  toạ  độ  tại  hai  điểm  tạo  thành  một đoạn thẳng có độ dài  a   khơng đổi. Tìm một đường tiếp xúc với  tất cả các đường thẳng đó.  Giải      y =   M  a              O  c  Hình 2    Giả sử   cắt lần lượt  x, y  tại M và N.  69 N  x    Ta  có  MN  a    Đặt  độ  dài  đại  số  của  M là  M  c   thì  N   a  c     Do  đó  phương  trình  của    x y     ở  đây  c a  c2 là  c  0,  a  c  a     Đặt  F  x, y , c   x y   a  c  0,0  c  a    c a2  c2   Ta  tìm  hình  bao  của  họ  đường  xác  định  bởi  phương  trình  ẩn  F  x, y , c    a  c  0,0  c  a   Dễ dàng tính được  Fc'  x, y , c    x  c2 yc a c      Khử  c  từ hệ   F  x, y, c   0, Fc'  x, y, c   0  như sau:    Từ  Fc'    rút  ra được  được  y   a  c2  a2 x  c2 yc a  c2   Thay  x  vào  F    ta  c c3 x  Thay  y  vào   ta đựơc  x    a c   Do đó đường đặc trưng của hình bao là  x  y  a     Bây giờ ta tìm được các điểm trên đường đặc trưng khơng là điểm  của hình bao. Ta có:  1 1 , Fcx"  , Fcy"      Fx'  , Fy'  2 c c a c c   D  1 c2 1 a  a  c2 c a  c2  c a  c2   c c2 a  c2 70  ,   ,  2x   Fcc"   y c a  c   3c a  c  a2  c2      Từ biểu thức của x và của y ta tính ra:  c3  a x  c  a x ,  a  c    a y  a  c   a y , a  c  a y      Do đó,  a2 y  3 x2 a2 y 2x 3 x y   1  3 x y  2 2   0, F  y a x a4 y2 a a a y a2 tức là  Fcc"    " cc   Do  D  , Fcc"  nên  hình  bao  là  đường  xác  định  bởi  phương  trình ẩn  x  y  a với điều kiện   a  c  0,0  c  a        Điều kiện   a  c  0,0  c  a   có nghĩa là    a   a x  0,0  a x  a , hay là   a  x  0,0  x  a      Vậy  đường  tiếp  xúc  với  họ  đường  thẳng     đã  cho  gồm  4  cung  nhận  x, y làm trục đối xứng.  Bài 12 Trong   cho  hệ  tọa  độ  Descartes  vng  góc  xy   Tìm  hình bao  của  họ đường  thẳng  chắn  các trục  tọa  độ  x, y thành  những  tam giác có diện tích khơng đổi  a  Giải   y    A       B  O  Hình 3.  71 x    Đường  thẳng  thay  đổi  cắt  x, y   lần  lượt  tại  A,B Đặt  độ  dài  A  c  thì  c   và vì  A.B  2a  nên  B  2a c   Phương  trình  của  đường  thẳng  AB phụ  thuộc  vào  vị  trí  của  A,B như sau:  x cy   Nếu  A  ,  B   thì  AB :      c 2a   Nếu  A  ,  B   thì  AB :  x cy        c 2a     (1)      (2)        (3)  x cy        c a     (4)  x cy   Nếu A  , B  thì  AB :      c 2a   Nếu  A  ,  B   thì  AB :     Hay là  1  F1  x, y, c   2ax  c y  2ac       F2  x, y, c   2ax  c y  2ac  0  x  0, y     3  F3  x, y, c   2ax  c y  2ac      F4  x, y, c   2ax  c y  2ac     Kí hiệu chung  F1 , F2 , F3 , F4  là  F  ta có:  Fx'  2a ,  Fy'   c ,  Fc'  2 yc  2a ,  Fcc"  2 y ,  Fcx"  ,  Fcy"  2c   a   Từ  Fc'    suy  ra  c     nên  thay  vào  F    ta  được  phương  y a trình đặc trưng của hình bao là  xy      Fx' Xét  D  " Fcx Fy' 2a  c   4ac    Fcy" 2c 72 a   Do đó, hình bao là tập điểm xác đinh bởi phương trình  xy     a a Đó là hai đường hypebol vng  xy   và  xy    có các bán trục thực  2 bằng nhau, nhận hai đường tọa độ làm hai đường tiệm cận.  Bài 13. Tìm hình bao của họ đường thẳng trong cắt các trục tọa độ  của một hệ tọa độ Descartes vng góc các đoạn thẳng có độ dài khơng  đổi.  Giải Đường  thẳng  thay  đổi  cắt  x, y lần  lượt  tại  A,B.Ta  có A  a,0  , B  0, b  Đặt  AB  l  thì  l  và ta có  AB  l  a  b  l  b  l  a  b   l  a   x y Phương trình đường thẳng AB là      a b      (1)  x y Thay  b   l  a  vào (1) ta được      a l  a2 Đặt  F  x, y, a   x y    Điều kiện để có hình bao là  a l  a2  F  x, y, a    '  Fa  x, y, a   y   x  1  a 2  l a      x ay     a l  a2    a3  x  l2   l  a2  y   l2       73  ' 3a  xa  l    Ta có     2   a l a  y'   a l2   Suy ra  xa' , ya'  khơng đồng thời bằng 0.    Vì    '  Fx  x, y , a   a   Fy'  x, y , a   l  a2    nên  Fx' , Fy'   không  đồng  thời  bằng  0.  Suy  ra,  họ  đường  thẳng  khơng  có  điểm kì dị.   a3 x   l2    Vậy hình bao của họ đường thẳng là:   l  a2  y   l2   2     hay  x  y  l   Bài 14. Tìm hình bao của họ đường trịn trong    nhận dây cung  qua tiêu điểm của một parabol cho trước làm đường kính.  Giải   Giả sử parabol đã cho có phương trình trong hệ tọa độ Descartes  p  vng  góc  là  y  px   có  tiêu  điểm  là  F  ,0    Gọi  AB  là  dây  cung  2  qua F có hệ số góc   k   , AB là đường kính của họ đường trịn trong  k p 1    Phương  trình  của  đường  thẳng  AB  là  y   x      AB   nhận  k 2 74  vectơ  v  k , 1   làm  vectơ  chỉ  phương.  Gọi  M  là  trung  điểm  của  dây  cung AB   M  có tọa độ thỏa mãn    k    1  x    k   1 1  y 0  p  k    1       p     y0  pk   y0  pk  x0   pk   2 p    Vậy  M   pk , pk   Ta có  y A  yB  2kp   y A  yB   4k p    2     y A2  y A y B  yB2  p k  p  x A  xB   y A yB  p k        p  p k  y A yB  p k  y A yB   p     Có  AB   x A  xB    y A  yB    k  1  y A  yB       2   k  1 y A2  y A y B  yB      k  1 p  p k  p   p  k  1      Suy ra họ đường trịn nhận AB làm đường kính có phương trình   p  2  x    pk     y  pk   p 1  k       2  p    Đặt  F  x, y, a    x    pk     y  pk   p 1  k     2     là  hình  bao  của  họ  đường  tròn  nhận  AB làm  đường    F  x, y , k  kính.Điều kiện để có hình bao là   F  x, y, k       '  Fk  x, y, k   (1)   p  Fk'  4 pk  x    pk    p  y  pk   4kp  4kp 1  k     2   75  p  2  x    pk     y  pk   p 1  k    2    y  2kx  y   k  x    2   Vì  đường  trịn  là  đa  tạp  một  chiều  nên  khơng  có  điểm  kì  dị     Fx'  Fy'      Thay (2) vào (1) ta được  2  p y2   py  y2  2 x p y p                  x x x 4         p  3p       x   x  y  x            Vậy hình bao của họ đường trịn gồm:  2 p 3  hay  x  y  l ,    Đường chuẩn parabol:  x    Đường trịn có phương trình:  x  y  3p x    Bài 15.  Tìm  hình  bao  của  các quỹ đạo  các  động điểm  trong một  mặt phẳng thẳng đứng (trong trọng trường) bị ném ra từ điểm   của mặt  phẳng đó với vận tốc ban đầu khơng đổi.  Giải   Ta  xem  mặt  phẳng  thẳng  đứng  mà  chất điểm  chuyển  động  trong  đó là mặt phẳng tọa độ (trực chuẩn)  xy , trục  y  hướng lên trên. Gốc  tọa độ     là điểm ban đầu. Thời gian chuyển động tính bằng t Quỹ đạo  được xác định bởi   : t    t   mà  x  t   x    t   , y  t   y    t         Là chất điểm trọng khối   m    thì lực tác động  F  t   m  " t       (định luật Newton). Ở đây  F  mg j  ( j  là vectơ đơn vị trên trục tung      y , g là gia tốc trọng trường). Vậy  m  "  mgj suy ra   "   gj  Lấy  76      tích  phân   '  t    gjt  v0 ,  " t0   v0   là  vectơ  vận  tốc  ban  đầu    v0  v0    ( v0  là hằng số, tốc độ ban đầu).     t2    Suy ra    t    gj  v0   t      gt    t    x  t  , y  t     v0 cos  t , v0 sin  t    chuyển về phương      1  k  g x trình dạng ẩn:  y  kx  2v0 0     (ở đây  k  tan   được  xem  là  tham  số  họ).  Ta  suy  ra  hình  bao  của  họ  parabol  (2)  là  parabol  có  phương trình  1  k  g x y  kx  2v0 77 v0 gx     g 2v0 KẾT LUẬN Trên  đây  là  nội dung  nghiên  cứu  của  em  về  đề  tài: Cung  phẳng,  cung hình học, đa tạp một chiều và ứng dụng. Trong khóa luận, em đã  trình bày những vấn đề cơ bản về cung phẳng, cung hình học, đa tạp một  chiều, đồng thời em cũng đưa ra một số dạng bài tập cụ thể để ứng dụng.  Qua q trình nghiên cứu, em hiểu thêm nhiều vấn đề mới, củng  cố  cho  mình  kiến  thức  hình học  vi  phân và  cách  trình bày  một vấn đề  nghiên cứu khoa học.  Mặc dù có nhiều cố gắng song do điều kiện khách quan cũng như  chủ  quan,  khóa  luận khơng tránh  khỏi những  thiếu  sót,  em  mong nhận  được  những  ý  kiến  đóng  góp  của  thầy  cơ  và  các  bạn  cũng  như  hướng  phát triển mới để nội dung này thêm phần hồn thiện.  Em xin chân thành cảm ơn!  78 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]   Phạm Bình Đơ (2010), Hình học Vi phân, NXB ĐHSP, Hà Nội.  [2]   Đồn  Quỳnh,  Trần  Đình  Việt,  Trương  Đức  Hinh,  Nguyễn  Hữu  Quang (1993), Bài tập hình học Vi phân, NXBGD, Hà Nội.  [3]   Đồn Quỳnh (2009), Hình học Vi phân, NXB GD, Hà Nội.            79 ... nghiên cứu Kiến thức về? ?cung? ?phẳng,? ?cung? ?hình? ?học? ?và? ?đa? ?tạp? ?một? ?chiều.   3.2 Phạm vi nghiêm cứu Lý thuyết? ?và? ?bài tập về? ?cung? ?phẳng,? ?cung? ?hình? ?học? ?và? ?đa? ?tạp? ?một? ? chiều.   Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống lại những lý thuyết cơ bản; ... Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về? ?cung? ?phẳng,? ?cung? ?hình? ?học,? ? đa? ?tạp? ?một? ?chiều? ?cũng như? ?ứng? ?dụng? ?của các đối tượng này? ?và? ?được sự  hướng  dẫn  của  thầy  hướng  dẫn,  em  đã  quyết  định  chọn  đề  tài  ? ?Cung? ? phẳng,? ?cung? ?hình? ?học,? ?đa? ?tạp? ?một? ?chiều? ?và? ?ứng? ?dụng? ?? để trình bày trong ... Mục đích chính của đề tài là hệ thống lại những lý thuyết cơ bản  và? ? phân  dạng  các  bài  tập  một? ? cách  chi  tiết  về  cung? ? cung? ? phẳng,? ? cung? ? hình? ?học? ?và? ?đa? ?tạp? ?một? ?chiều.   Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Kiến thức về? ?cung? ?phẳng,? ?cung? ?hình? ?học? ?và? ?đa? ?tạp? ?một? ?chiều.