Luận văn sư phạm Định lý Lagrange, định lý Stolz, định lý Toeplitz và ứng dụng trong lý thuyết giới hạn dãy số

Khoá lu n t t nghi p Tr Tr ng HSP Hà N i ng đ i h c s ph m hƠ n i Khoa toán ************ ph m th lan h ng đ nh lý lagrange, đ nh lý stolz đ nh lý toeplitz vƠ ng d ng lý thuy t gi i h n dãy s khóa lu n t t nghi p đ i h c Chuyên ngƠnh: Gi i tích HƠ N i, 2010 Ph m Th Lan H ng K32-CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr L IC M N Trong trình nghiên c u đ tài v i s h th y giáo: Th c s Phùng em ph n nghiên c u đ ng HSP Hà N i ng d n nhi t tình c a c Th ng Cùng v i s n l c c a b n thân c đ tài Do h n ch v th i gian, ki n th c nên ch c ch n khóa lu n khơng tránh kh i nh ng thi u sót Em r t mong có đ c nh ng ý ki n đóng góp quý báu c a th y cô b n quan tâm đ đ tài đ c hoàn thi n h n Em xin trân thành c m n s nhi t tình t n tâm c a th y giáo: Th c s Phùng c Th ng toàn th th y t gi i tích th y khoa Tốn quan tâm t o u ki n giúp đ em hồn thành khóa lu n này, c ng nh su t th i gian th c t p nghiên c u t i tr ng HSP Hà N i Sinh viên Ph m Th Lan H Ph m Th Lan H ng ng K32-CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i L I CAM OAN Tôi xin cam đoan khóa lu n t t nghi p v i đ tài: “ nh lý Lagrange, đ nh lý Stolz, đ nh lý Toeplitz vƠ ng d ng lý thuy t gi i h n dãy s ” công trình nghiên c u c a riêng tơi, k t qu không trùng v i k t qu N u sai tơi xin ch u hồn tồn trách nhi m HƠ N i, ngày 20 tháng n m 2010 Sinh viên Ph m Th Lan H Ph m Th Lan H ng ng K32-CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i M CL C L i m đ u L i cam đoan M đ u Ch ng Các ki n th c c b n v dãy s 1.1 Dãy s 1.2 Dãy s b ch n 1.3 Dãy s đ n u 1.4 Dãy 1.5 Gi i h n dãy s 1.6 Các đ nh lí 1.7 Các nguyên lí v tính đ y đ c a  1.8 Gi i h n vô c c c a dãy s Ch Ch ng nh lý Lagrange, đ nh lý Stolz, đ nh lý Toeplitz 11 2.1 nh lý Lagrange h qu 11 2.2 nh lý Stolz h qu 14 2.3 nh lý Toeplitz h qu 17 ng ng d ng lý thuy t gi i h n dãy s 20 3.1 ng d ng đ nh lý Lagrange tốn tìm gi i h n dãy s 20 3.2 ng d ng đ nh lý Stolz 27 3.3 ng d ng đ nh lý Toeplitz 43 K t lu n 51 Tài li u tham kh o 52 Ph m Th Lan H ng K32-CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr M ng HSP Hà N i U Lý ch n đ tƠi Lý thuy t gi i h n c s c a gi i tích B i v y, nghiên c u v gi i tích th ng xuyên ph i gi i quy t tốn tìm gi i h n, có gi i h n dãy s Gi i toán gi i h n dãy s vi c làm khó kh n đ i v i sinh viên h c sinh gi i toán THPT Các toán gi i h n c ng n m ch ng trình quy đ nh c a h i toán h c Vi t Nam đ i v i kì thi Olympic tốn h c sinh viên h ng n m gi a tr ng Cao đ ng i h c v gi i tích Gi i tốn v gi i h n dãy s có nhi u ph ng pháp khác nh lí Lagrange, đ nh lí Stolz đ nh lý Toeplitz m t ph ng pháp m nh đ gi i tốn gi i h n dãy s khó ph c t p Do đó, d h ng d n c a th y giáo: Th c s Phùng is c Th ng em nh n đ tài “ nh lý Lagrange, đ nh lý Stolz, đ nh lý Toeplitz vƠ ng d ng lý thuy t gi i h n dãy s ” M c đích nghiên c u Cung c p cho h c sinh m t ph ng pháp đ có th x lý toán gi i h n dãy s khó đa d ng Qua c ng c ki n th c v gi i h n cho h c sinh giúp h c sinh v n d ng thành th o đ nh lý bi t, đ c bi t đ nh lý Lagrange, đ nh lý Stolz, đ nh lý Toeplitz it + ng vƠ ph m vi nghiên c u it ng nghiên c u: Sinh viên h c sinh THPT + Ph m vi nghiên c u: nh lý Lagrange, đ nh lý Stolz, đ nh lý Toeplitz ng d ng lý thuy t gi i h n dãy s Ph m Th Lan H ng K32-CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i Nhi m v nghiên c u Nh c l i ki n th c c b n v gi i h n Giúp h c sinh n m ch c đ nh lý: Lagrange, đ nh lý Stolz, đ nh lý Toeplitz kh n ng v n d ng sáng t o đ nh lí đ gi i toán v gi i h n Ph m Th Lan H ng K32-CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr Ch ng HSP Hà N i ng CÁC KI N TH C C B N V DÃY S 1.1 Dãy s Ánh x f :NR n  f ( n) G i dãy s Ta th ng ghi a n  f (n) Kí hi u (a n ) (hay a1, a , , a n , ) 1.2 Dãy s b ch n Dãy (a n ) g i b ch n n u t n t i s M cho a n  M n  N Dãy (a n ) g i b ch n d i n u t n t i s M cho a n  M n  N Dãy (a n ) g i b ch n n u v a b ch n v a b ch n d i Rõ ràng dãy (a n ) b ch n n u t n t i s t nhiên K  cho a n  K , n  N 1.3 Dãy s đ n u Dãy s (a n ) g i gi m (t n  N (t ng ng a n  a n1 n  N ) Dãy s (a n ) g i t ng (t n  N (t ng ng gi m nghiêm ng t) n u a n  a n1 ng ng t ng nghiêm ng t) n u a n  a n1 ng ng a n  a n1 n  N ) Các dãy t ng gi m g i chung dãy đ n u Ph m Th Lan H ng K32-CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i 1.4 Dãy n  nk Cho dãy (a n )  k 1 k  N  nk  N dãy (a k ) v i (a k  ank ) g i dãy c a dãy (a n ) kí hi u (a nk ) Chú ý: Ta d dàng ki m tra đ c r ng: nk  k k  N M i dãy đ u dãy c a M i dãy c a dãy b ch n (t b ch n (t ng ng b ch n trên, b ch n d ng ng b ch n trên, b ch n d i) i) M i dãy c a m t dãy đ n u m t dãy đ n u 1.5 Gi i h n c a dãy s S a đ c g i gi i h n c a dãy (a n ) n u   0, n  N n  N , n  n  a n  a   Kí hi u: lim  a hay a n  a n Dãy có gi i h n g i dãy h i t dãy không h i t đ c g i dãy phân kì 1.6 Các đ nh lý a) Gi i h n c a dãy h i t nh t b) lim a n  a  lim (a n  a )  n n c) lim a n   lim a n  n n d) lim a n  a  lim a n  a n n e) M i dãy h i t đ u b ch n f) lim a n  a , lim bn  b,  R n n Khi đó: Ph m Th Lan H ng K32-CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i lim (a n  bn )  a  b n lim ( a n )   a n  lim ( a n bn )  a.b n an a  n b b n lim (v i b  ) g) Cho (a n ) , (bn ) dãy h i t h ng s n0  N Khi đó: N u a n   , n  n0 lim a n   n lim a n  a   t n t i s n1  N cho an   , n  n1 n N u a n   , n  n0 lim a n   n N u lim a n  a   t n t i n1  N cho an   , n  n1 n N u   an   n  n0   lim a n   n N u   lim a n  a   n1  N cho a  an   n n  n1 N u a n  bn , n  n0 lim a n  lim bn n n a n  cn  bn , n  n0 lim cn  a N u n  a n  lim bn  a  nlim n   cn  bn , n  n0 N u bn   nlim  lim cn  n h) Dãy (a n ) h i t ch m i dãy c a đ u dãy h i t có chung m t gi i h n Ph m Th Lan H ng K32-CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i 1.7 Các nguyên lý v tính đ y đ c a  a) Nguyên lý Weierstrass N u dãy (a n ) t ng b ch n h i t lim a n  sup a n n N u dãy (a n ) gi m b ch n d nN i h i t lim a n  inf a n n nN b) Nguyên lý Cantor Dãy đo n  a n ; bn  g i th t d n n u an , bn   an1, bn1  n  N Nguyên lý Cantor: M i dãy th t d n đ u có m chung nh t c) Nguyên lý Bolzano – Weierstrass M i dãy b ch n có nh t m t dãy h i t d) Nguyên lý Cauchy Dãy (a n ) đ c g i dãy Cauchy (hay dãy c b n) n u " e > 0, $ ne Ỵ N : " n, m > ne Þ a m - a n < e Nguyên lý: Dãy (a n ) dãy h i t ch dãy Cauchy 1.8 Gi i h n vô c c c a dãy s Dãy (a n ) đ c g i có gi i h n + ¥ n u " A> 0, $ nA Ỵ N cho " n Î N, n > nA a n > A Kớ hi u: lim a n = + Ơ nđ + ¥ Dãy (a n ) đ c g i có gi i h n - ¥ n u " A> 0, $ nA Ỵ N cho " n Ỵ N, n > nA an < - A Kí hi u: lim a n = - ¥ nđ + Ơ Dóy (a n ) Ph m Th Lan H ng c g i có gi i h n ¥ n u 10 K32-CN Tốn Khố lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i Theo h qu ta có lim nđ + Ơ n a1.a a n = a hay lim nđ + Ơ lim nđ + Ơ V y lim nđ + Ơ n xn+ = a ị lim nđ + Ơ xn n n xn+ = a xn = a xn = a Ví d 10 Cho c p s c ng d lim nđ + Ơ ng (a n ) Tớnh n n a1a a n a1 + a + + a n Gi i n n (a1a a n ) , " n Ỵ N* t cn = a1 + a + + a n æ a1 + a + + a n ữ ỗỗ ữ ữ c (n + 1)a n+ ỗỗ n ữ Ta cú n+ = ỗ ÷ ÷ cn a1 + a + + a n ỗỗ a1 + a + + a n+ ữ ữ ữ ỗố ứ n+ n æ a1 + a + + a n ữ ỗ ữ ữ (n + 1)a1 + n(n + 1)d ỗỗỗ n ữ = ữ ỗ ữ n(n + 1) ỗỗ a1 + a + + a n+ ữ ữ dỗ (n + 1)a1 + ÷ è ø n+ n ỉ a1 + a + + a n ÷ çç ÷ ÷ 2.a n+ ç n ÷ çç = ữ ữ ữ a1 + a n+ ỗỗ a1 + a + + a n+ ữ ữ ỗố ứ n+ n (Trong ú d công sai c a c p s c ng) N u d = a1 = a n+ ị lim nđ + Ơ N u d > thỡ lim nđ + Ơ Ph m Th Lan H ng cn+ =1 cn cn+ = cn e 39 K32-CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr Áp d ng ví d 11 ta lim nđ + Ơ ng HSP H N i c n n a1.a a n = lim a1 + a + + a n n® + Ơ n cn = lim nđ + Ơ cn+ cn V y n n a1.a a n N u d = lim = n® + ¥ a + a + + a n N u d > lim n® + ¥ n n a1.a a n = a1 + a + + a n e Ví d 11 Tính gi i h n ỉ n! a) lim ỗỗ n - n ữ ữ nđ + Ơ ỗ ốn e ữ ứ 1/ n é(n!)2 ù b) lim êê n ú ú n® + ¥ êë n ú û 1/ n Gi i a) Ta đ t xn = n! ne " n = 1,2, n - n Khi xn+ (n + 1)! nne- n = n+ xn (n + 1) e- n- n! (n + 1).e.nn nn = =e n+ n (n + 1) (n + 1) =e Ph m Th Lan H ng æ 1ử ỗỗ1 + ữ ữ ỗố n ữ ứ n 40 K32-CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i é ù ê ú ê ú xn+ 1 ú Þ lim = lim ờe nỳ nđ + Ơ x nđ + Ơ ổ n ỗ1 + ữ ỳ ữ ữỳ ỗốỗ n ứ ỷ = e lim e nđ + Ơ ổ ửữ ỗỗ1 + ữ ỗố n ữ ứ n e =1 e = Áp d ng ví d 11 ta có: ỉ n! lim ỗỗ n - n ữ ữ ữ = nlim đ+Ơ nđ + Ơ ỗ ốn e ứ 1/ n b) (n!) t xn = n n x Xét: n+ = xn = xn = lim n nđ + Ơ xn+ =1 xn " n = 1,2, é(n + 1)!ù n n ë û n+ 2 (n + 1) (n!) n2n 2n (n + 1) = æ 1ữ ỗỗ1 + ữ ỗố n ữ ứ 2n é ù ê ú ê ú xn+ 1 ỳ ị lim = lim = nỳ nđ + Ơ x nđ + Ơ ờổ e2 n ờỗ1 + ỳ ữ ữ ờỗốỗ n ữ ứỳ û Theo ví d 11 ta có é(n!)2 ù ỳ = lim lim nđ + Ơ n n ỳ nđ + Ơ ờở ỳ ỷ 1/ n Ph m Th Lan H ng n xn = lim nđ + Ơ 41 xn+ 1 = xn e K32-CN Toán Khoá lu n t t nghi p 3.2.2 Bài t p t Tr ng HSP Hà N i ng t Bai Tính a) lim nđ + Ơ n n+ b) lim nđ + ¥ an ( a > 1) n n2 d) lim nđ + Ơ n! log a n (a > 1) c) lim nđ + Ơ n Bi Cho dãy (un ) xác đ nh nh sau ìï u0 > ïï - í ïï un2 = u u e n + n ùợ " n ẻ N* Ch ng minh lim (un2 ln n)= n® + Ơ ỡù x1 ẻ (0;1) Bi Cho dóy (xn ) th a mãn ïí ïïỵ xn+ = xn - xn2 (" n ³ 2, n Ỵ N) Tớnh a) lim xn nđ + Ơ b) lim (nxn ) nđ + Ơ c) lim nđ + Ơ n (1 - nxn ) ln n Bài Tính gi i h n lim xn Bi t n® + ¥ ỉ1k + 2k + + nk ữ ỗ xn = nỗ ữ k+ ữ ữ çè n k + 1ø Trong đó, k Ỵ Z * cho tr c Bài Cho dãy (un ) xác đ nh nh sau Ph m Th Lan H ng 42 K32-CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ïìï u1 = a > ï í ïï un = un- + un- ïïỵ ng HSP Hà N i " n = 2,3, un3 Tớnh lim nđ + Ơ n Bi Cho dãy u n  xác đ nh nh sau u0 = ïìï ï íu = u + + ïï n+ n u ïïỵ n ổuna Tỡm s a ỗỗ ỗố n Bi Cho dãy s 4 u n " n = 1,2, ÷ có gi i h n ÷ ÷ ÷ ø (un ) xác đ nh nh sau ìï u1 > ïï í ïï un+ = un + un ïïỵ " n = 2,3, Tỡm un n a) lim nđ + Ơ n b) lim nđ + Ơ ui i= n n Bài Cho dãy (xn ) th a mãn xn = xn- - xn- + k " n ³ 3, n Ỵ N k – const Tỡm lim nđ + Ơ Ph m Th Lan H ng xn n 43 K32-CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i Bài Tìm gi i h n c a dãy s v i s h ng t ng quát a n cho b i a) (k + n)!ữử ỗổ (k + 1)! ÷ (k – const) k + + + ! ỗ ữ n k+ ỗố n! ÷ 1! ø b) n k + 2k + + n k )k( n k+ Bài 10 Tớnh 1+ lim nđ + Ơ 3.3 1 + + 2n - ln n ng d ng đ nh lý Toeplitz bƠi tốn tìm gi i h n dãy s 3.3.1 Xét s h i t c a dãy trung bình c b n Ví d Ch ng minh r ng n u (xn ) h i t dãy trung bình c ng ( yn ) yn = x1 + x2 + + xn , " n c ng h i t lim yn = lim xn n® + Ơ nđ + Ơ n Gi i t Pnk = ( k = 1, n ; n Ỵ Z+ ) n Thì (Pnk ), (xn ) th a mãn u ki n c a đ nh lý Toeplitz Th t v y Pnk > 0, " n ẻ N* lim Pnk = nđ + Ơ n å k= n =1 k= n Pnk = å Do lim yn = lim n® + ¥ n® + ¥ n å Pnk xk = lim xn nđ + Ơ k= Vớ d Ch ng minh r ng n u dãy (xn ), xn > , " n Ỵ N * h i t dãy trung bình nhân ( yn ) v i yn = Ph m Th Lan H ng n x1x2 xn " n = 1,2, c ng h i t 44 K32-CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i Gi i Gi s lim xn = a Þ lim ln xn = ln a nđ + Ơ nđ + ¥ Theo ví d ta có lim n® + ¥ ln x1 + ln x2 + + ln xn = ln a n é1 ù Û lim ê ln (x1.x2 .xn )ỳ= ln a nđ + Ơ ờn ú ë û Û lim ln n x1.x2 .xn = ln a nđ + Ơ ị lim n nđ + ¥ V y lim n n® + ¥ x1.x2 .xn = a x1.x2 .xn = a 3.3.2 Ví d t ng quát Ví d Ch ng minh r ng n u lim a n = a n® + Ơ lim nđ + Ơ na1 + (n - 1)a + + 2a n- + a n a = n2 + n Gi i Xét Pnk = n- k + n (n + 1) k = 1,n ; n = 1, Ta th y Pnk > lim Pnk = lim nđ + Ơ n nđ + Ơ 2(n - k + 1) =0 n(n + 1) n - k + n + (n - 1)+ + = =1 n n + n n + ( ) ( ) k= 2 n Pnk = k= Ph m Th Lan H å ng 45 K32-CN Toán Khoá lu n t t nghi p Do b s Tr ng HSP Hà N i (Pnk ) (a n ) đ u th a mãn u ki n c a đ nh lý Toeplitz Nờn ta cú lim nđ + Ơ  na1  n  1a   2a n 1  a n lim nn  1 n = V y lim n® + ¥ na1 + (n - 1)a + + 2a n- + a n a = n2 + n lim nđ + Ơ n Pnk a k = k= 1 a lim a n = nđ + Ơ na1 + (n - 1)a + + 2a n- + a n a = n2 + n Ví d Cho dãy (a n ) (bn ) th a mãn bn > , " n Ỵ N * , lim (b1 + b2 + + bn )= + Ơ nđ + Ơ lim nđ + ¥ an =a bn Ch ng minh r ng lim nđ + Ơ a1 + a + + a n =a b1 + b2 + + bn Gi i t Pnk = bk , k = 1, n , n = 1,2, b1 + b2 + + bn xn = an ," n bn Khi Pnk  lim Pnk = lim n® + ¥ Ph m Th Lan H n® + ¥ ng bk =0 b1 + b2 + + bn 46 K32-CN Toán Khoá lu n t t nghi p n å Tr ng HSP Hà N i n Pnk = k= bk =1 b b b + + + k= 1 n å Áp d ng đ nh lý Toeplitz ta có lim n® + ¥ a1 + a + + a n = lim b1 + b2 + + bn n® + Ơ V y lim nđ + Ơ n Pnk xk = lim xn = lim nđ + Ơ k= nđ + Ơ an =a bn a1 + a + + a n = a b1 + b2 + + bn Ví d xét dãy (a n ) (bn ) thõa mãn: a) bn > 0, " n Ỵ N* , lim nđ + Ơ n bi = + Ơ i= b) lim a n = a nđ + Ơ Ch ng minh r ng lim nđ + Ơ a1b1 + a 2b2 + + a nbn =a b1 + b2 + + bn Gi i t pnk = bkn , k = 1, n, n = 1,2 b1 + b2 + + bn Thì ( pnk )> th a mãn u ki n c a đ nh lý Toeplitz pnk > (bn > 0, " n) lim Pnk = lim n® + Ơ nđ + Ơ n bk =0 b1 + b2 + + bn n Pnk = k= bk =1 k= b1 + b2 + + bn å Khi áp d ng đ nh lý Toeplitz ta cú n lim nđ + Ơ pnk a k = lim a n = a k= nđ + Ơ a1b1 + a 2b2 + + a nbn =a nđ + Ơ b1 + b2 + + bn 47 Ph m Th Lan H ng Suy lim K32-CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i Ví d Ch ng minh r ng, n u lim a n = a thỡ nđ + Ơ lim nđ + Ơ a1 + 2a + + na n a = n2 + n Gi i t pnk = 2k , k = 1, n, " n = 1,2 n +n Khi ( pnk ) thõa mãn u ki n c a đ nh lý Toeplitz pnk > lim pnk = lim nđ + Ơ nđ + Ơ n 2k =0 n +n n å pnk = k= 2k =1 n n + k= å Nên áp d ng đ nh lý Toeplitz ta đ c n lim nđ + Ơ pnk xk = lim a n = a nđ + Ơ k= ị lim 2(a1 + 2a + + na n ) = a n2 + n Û lim a1 + 2a + + na n a = n2 + n nđ + Ơ nđ + Ơ Vớ d Tớnh lim nđ + Ơ Sn v i Sn = n2 n å k= k cos n2 p k , n = 2,3 Gi i t pnk = 2k , k = 2, n , " n = 2,3 n2 Thì Ph m Th Lan H ng 48 K32-CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr 2k =0 n2 lim pnk = lim n® + Ơ nđ + Ơ n lim nđ + ¥ n2 + n - 2k = lim åk= n2 nđ + Ơ n2 = n pnk = lim nđ + Ơ k= n ng HSP Hà N i n pnk = k= 2k n(n + 1) - = < 1+ , " n 2 n n k= n å p a n = cos , " n = 2,3 n V i t xn = " n = 2,3 < p p < n p p , xét f ( x) = cos x, x ẻ (0, ) ị cos x < n M t khác x2 x4 p cos x ³ 1+ " x Ỵ (0; ) Þ > cos x ³ 1- x2 x4 p + " x Ỵ (0; ) ổ x2 x4 ữ p ị lim cos x lim ỗỗ1 + ữ " x ẻ (0; ) ữ nđ + Ơ nđ + Ơ ỗ 4ữ ố ứ V y lim cos x = nđ + Ơ p d ng h qu cho hai dãy s n lim n® + ¥ å ( pnk ) (a n ) ta có pnk a n = lim a n = lim nđ + Ơ k= nđ + Ơ n å k= 2k cos n2 p 2= Ngoài ra,khi d a vào đ nh lý Toeplitz ta có th ch ng minh đ c đ nh lý Stolz Ph m Th Lan H ng 49 K32-CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i 3.3.3 Ch ng minh đ nh lý Stolz (a n ) (bn ) th a mãn: Cho hai dãy s i) (bn ) t ng th c s lim bn = + ¥ nđ + Ơ a n - a n- =a bn - bn- ii) lim nđ + Ơ Khi ú lim nđ + Ơ an =a bn Gi i t a n - a n- ïìï ï xn = b - b , n ³ í n n- ïï ïïỵ yn = bn - bn- , n ³ Khi đó: +) yn > , " n ³ (bn ) dãy t ng th c s +) lim ( y1 + y2 + + yn )= lim (bn - b1 )= + Ơ nđ + Ơ nđ + Ơ +) lim xn = a nđ + Ơ t pnk = yk , " n = 1, 2, y2 + y3 + + yn Thì i) pnk ³ n ii) å pnk = k= iii) lim n® + ¥ Ph m Th Lan H ng yk =0 y2 + y3 + yn 50 K32-CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr Áp d ng đ nh lý Stolz v i b s ( pnk ) (xn ) ta có n lim n® + Ơ pnk xk = lim nđ + Ơ k= ng HSP Hà N i = lim nđ + Ơ x2 y2+ x3 y3 + xn yn y2 + y3 + + yn a n - a1 =a bn - b1 a n a1 bn bn lim =a nđ + Ơ b1 1bn Ta l i cú lim bn = + Ơ ị lim nđ + Ơ Suy lim nđ + Ơ nđ + ¥ =0 bn an =a bn Ph m Th Lan H ng 51 K32-CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i K T LU N nh lý Lagrange, đ nh lý Stolz Toeplitz m t ph ng pháp m nh x lý toán gi i h n ph c t p đa d ng H n n a cịn giúp cho giáo viên sang t o toán v gi i h n dãy s cho h c sinh rèn luy n Hy v ng v n đ mà em đ c p đ n đ tài s giúp ich đáng k cho sinh viên,c ng nh em h c sinh PTTH, đ c bi t h c sinh gi i nh ng mu n tìm hi u, quan tâm đ n khía c nh d y toán h c V i th i gian chu n b ch a nhi u, c ng v i v n ki n th c c ng nh kinh nghi m nghiên c u c a b n thân h n ch nên đ tài khơng tránh kh i nh ng thi u sót Em r t mong đ b n đ tìm đ cýt c s giúp đ góp ý c a th y cô giáo ng t t h n b sung cho đ tài hoàn thi n h n M t l n n a em bày t lòng bi t n t i th y cô giáo khoa Toán đ c bi t th y giáo Phùng c Th ng,ng i nhi t tình h ng d n em làm khóa lu n Em xin chân thành c m n Hà N i ngày 20 tháng 04 n m 2010 Sinh viên Ph m Th Lan H Ph m Th Lan H ng 52 ng K32-CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i TÀI LI U THAM KH O 1.Tơ V n Ban, Gi i tích -Nh ng t p nâng cao, NXB Giáo d c, 2004 Nguy n V n M u, Gi i h n dãy s hàm s ,NXB Giáo d c, 2000 Nguy n V n M u- Nguy n Thu Thanh, Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán THPT Gi i h n dãy s hàm s , NXB Giáo d c, 2004 Sách giáo khoa Gi i tích đ i s 11_b giáo d c đào t o, tái b n n m 2009 Ph m Th Lan H ng 53 K32-CN Toán ... a dãy s Ch Ch ng nh lý Lagrange, đ nh lý Stolz, đ nh lý Toeplitz 11 2.1 nh lý Lagrange h qu 11 2.2 nh lý Stolz h qu 14 2.3 nh lý Toeplitz h qu 17 ng ng d ng lý. .. nh lý bi t, đ c bi t đ nh lý Lagrange, đ nh lý Stolz, đ nh lý Toeplitz it + ng vƠ ph m vi nghiên c u it ng nghiên c u: Sinh viên h c sinh THPT + Ph m vi nghiên c u: nh lý Lagrange, đ nh lý Stolz,. .. n đ tài “ nh lý Lagrange, đ nh lý Stolz, đ nh lý Toeplitz vƠ ng d ng lý thuy t gi i h n dãy s ” M c đích nghiên c u Cung c p cho h c sinh m t ph ng pháp đ có th x lý toán gi i h n dãy s khó đa