Luận văn sư phạm Định lý không thể có được của Abel

nh lí khơng th có đ Khố lu n t t nghi p Tr c c a Abel ng đ i h c s ph m hà n i Khoa Toán =====o0o===== Bùi V Ng c N nh lý khơng th có đ ng c c a ABEL Khố Lu n t t nghi p đ i h c Chuyên ngành: is Hà N i - 2008 Bùi V Ng c N ng K30G – Tốn nh lí khơng th có đ Khố lu n t t nghi p c c a Abel L ic m n Em xin g i l i c m n chơn thƠnh đ n toƠn th th y cô khoa Tốn, th y t i s , nh ng ng i t n tình d y d , giúp đ em b n n m h c v a qua c ng nh t o u ki n cho em trình hoƠn thƠnh khoá lu n c bi t, em xin bƠy t lòng bi t n sơu s c đ n th y Nguy n Huy H ng, ng tr c ti p h i ng d n, ch b o vƠ đóng góp nhi u ý ki n quí báu th i gian em th c hi n khoá lu n nƠy M t l n n a, em xin chơn thƠnh c m n Hà N i, tháng n m 2008 Sinh viên Bùi V Ng c N Bùi V Ng c N ng ng K30G – Tốn nh lí khơng th có đ Khoá lu n t t nghi p c c a Abel L i cam đoan Khoá lu n nƠy lƠ k t qu c a b n thơn em trình h c t p vƠ nghiên c u Bên c nh đó, em đ Tốn, đ c bi t lƠ s h c s quan tơm t o u ki n c a th y cô giáo khoa ng d n t n tình c a th y giáo Nguy n Huy H ng Trong q trình nghiên c u hoƠn thƠnh b n khố lu n, em có tham kh o m t s tƠi li u ghi ph n Tài li u tham kh o Em xin cam đoan k t qu c a đ tƠi “ nh lí khơng th có đ c c a Abel ” khơng có s trùng l p c ng nh chép k t qu c a đ tƠi khác N u sai, em xin hoƠn toƠn ch u trách nhi m Ng i cam đoan Sinh viên Bùi V Ng c N Bùi V Ng c N ng ng K30G – Tốn nh lí khơng th có đ Khố lu n t t nghi p c c a Abel M cl c Trang L i nói đ u……………………………………………… Ch ng 1: Nh ng ki n th c b tr ……………………… .4 1.1 Nhóm- Vành- Mi n nguyên- Tr ng………………… 1.2 a th c ……………………………………………… 1.3 Nhóm s ……………………………………………… 1.4 M Ch t s khái ni m b tr khác………………………… 12 ng 2: nh lí khơng th có đ 2.1 M t s đ nh lí b tr c c a Abel…………….14 …………………………………… 14 2.1.1 B đ Abel………………………………………….14 2.1.2 nh lí Gauss……………………………………… 15 2.1.3 nh lí Schoenemann……………………………… 17 2.1.4 nh lí Sturm……………………………………… 18 2.1.5 nh lí Waring………………………………………19 2.1.6 nh lí b t kh qui c a Abel………………………….19 2.1.7 nh lí 2.1.7……………………………………… 21 2.1.8 nh lí 2.1.8……………………………………… 23 2.2 nh lí b t kh qui c a Abel…………………………… 25 2.2.1 B đ 2.2.2 …………………………………………… 26 nh lí Kronecker………………………………… 28 K t lu n…………………………………………………… 33 TƠi li u tham kh o………………………………………… 34 Bùi V Ng c N ng K30G – Tốn nh lí khơng th có đ Khố lu n t t nghi p c c a Abel L i nói đ u B mơn đ i s có m t v trí quan tr ng Tốn h c Tr nói đ n đ i s lƠ nói đ n vi c gi i ph ph ng trình b c m t t tr ng trình LoƠi ng c đơy, i bi t gi i c Công nguyên vƠ đ n th i kì Ph c h ng, kho ng th k 16 sau Công nguyên, v i s đ i c a s ph c ng ta đ a đ c công th c nghi m c a ph có b c khơng v i ng trình đ i s t ng quát t b n Các k t qu t o đ ng l c thúc nhƠ toán h c c a nhi u th k tìm cơng th c nghi m t ng quát c a ph ng trình đ i s b c n m Trong cơng cu c tìm ki m ph i k đ n nhƠ V t lý ng Ruffini (1765 – 1822) , ông nhìn nh n v n đ theo chi u h i ý Paolo ng ng l i vƠ nh n r ng vi c tìm cơng th c nghi m c a ph c ng trình t ng quát có b c l n h n ho c b ng n m lƠ không th , theo ơng: “ Nh ng ph ng trình cao h n b c b n nói chung khơng có phép gi i đ i s ” Ruffini đ a đ nh lí nƠy l n đ u tiên cu n sách Teoria generale delle equazioni c a mình, đ c xu t b n Bologna vƠo n m 1798 Tuy nhiên, ch ng minh c a ông không đ y đ Ph i đ n n m 1826 ch ng minh đ y đ đ u tiên c a đ nh lí nƠy m i đ c đ a t p m t c a cu n Crelle’s Journal fur Mathematik b i nhƠ toán h c tr ng i Na Uy Niels Henrik Abel (1802 – 1829) Ch ng minh ti p theo c a đ nh lí khơng th có đ lí c a Kronecker đ c c a Abel d a m t đ nh c xu t b n vƠo n m 1856 cu n Monatsberichte der Berliner Akademie Sau này, d a k t qu đó, E.Galois (1811 – 1832) ch u ki n đ đ i v i m t ph Bùi V Ng c N ng ng trình b t kì cho tr c, t n t i công th c tính K30G – Tốn nh lí khơng th có đ Khoá lu n t t nghi p nghi m c a C ng t tr đi, lý thuy t ph vai trò ch đ o b mơn lƠ nhóm, vƠnh, tr c c a Abel ng trình khơng cịn đóng i s n a mƠ đ i t ng c a phơn môn nƠy ng, Có th nói, đ nh lí khơng th có đ tr ng, đánh d u b c c a Abel lƠ m t đ nh lí quan c ngo t l n l ch s phát tri n Tuy nhiên cho đ n nay, is Vi t Nam, tƠi li u v đ nh lí ch a nhi u, ch ng minh c a đ nh lí nƠy c ng m i ch lƠ b n d ch d ng “thơ”, ch a đ c trình bƠy m t cách rõ rƠng, h th ng hoá đ y đ vƠ ngôn ng ch a th t sáng V i nh ng lí trên, em m nh d n l a ch n đ tƠi: “ khơng th có đ c c a Abel ” nh m trình bƠy l i m t cách t nh lí ng minh vƠ có h th ng, c s ch t ch n i dung ch ng minh c a đ nh lí quan tr ng N i dung khoá lu n g m ch ng l n: Ch ng : Nh ng ki n th c b tr Ch ng : nh lí khơng th có đ Trong đó, Ch c c a Abel ng dành cho vi c trình bƠy lý thuy t b tr liên quan v lý thuy t tr ng, v đa th c, v nhóm s vƠ nh ng khái ni m ph c v cho ch ng minh phía sau, Ch ng dƠnh đ đ a đ nh lí b tr lƠm ti n đ , c n c c s cho vi c ch ng minh đ nh lí Kronecker, đ nh lí Kronecker đ c ch ng minh đ ng th i đ nh lí khơng th có đ đ c ch ng minh Ph c c a Abel c ng ng pháp nghiên c u c a đ tƠi lƠ đ c tƠi li u vƠ trao đ i kinh nghi m Bùi V Ng c N ng K30G – Tốn nh lí khơng th có đ Khoá lu n t t nghi p c c a Abel M c dù r t c g ng, nh ng th i gian nghiên c u c ng nh v n ki n th c vƠ kinh nghi m h n ch nên lu n v n c a em không tránh kh i nh ng thi u sót Vì v y, em r t mong nh n đ c nh ng ý ki n đóng góp c a th y vƠ b n sinh viên đ khoá lu n nƠy đ c hoƠn thi n h n HƠ N i, tháng 5, n m 2008 Sinh viên Bùi V Ng c N Bùi V Ng c N ng ng K30G – Tốn nh lí khơng th có đ Khố lu n t t nghi p Ch c c a Abel ng nh ng ki n th c b tr 1.1 Nhóm- Vành- Mi n nguyên- Tr ng nh ngh a 1.1.1 Ta g i lƠ phép tốn hai ngơi (hay cịn g i t t lƠ phép tốn) m t t p h p X m t ánh x f t X  X đ n X M t phép tốn hai ngơi “ * ” m t t p h p X c g i lƠ k t h p n u vƠ ch n u (x*y)*z = x*(y*z) ,  x, y, z  X; đ giao hoán n u vƠ ch n u ta có x*y = y*x ,  x, y X M t b ph n A c a X g i lƠ n đ nh (đ i v i phép toán “ * ” X ) n u vƠ ch n u x*y  A,  x, y  A Khi đó, phép tốn “ ** ” xác đ nh b ph n n đ nh A b i quan h x**y = x*y,  x, y  A g i lƠ phép toán c m sinh A b i phép toán “ * ” c a X Ng i ta th ng kí hi u phép tốn c m sinh nh phép toán c a X nh ngh a 1.1.2 Cho “ * ” lƠ m t phép tốn hai ngơi t p h p X M t ph n t e c a X g i lƠ m t đ n v trái c a phép toán “ * ” n u vƠ ch n u e*x = x ,  x  X; lƠ m t đ n v ph i c a phép toán “ * ” n u vƠ ch n u x*e = x ,  x  X N u ph n t e c a X v a lƠ m t đ n v trái, v a lƠ m t đ n v ph i, e g i lƠ m t đ n v , ho c m t ph n t trung l p c a phép tốn “ * ” M t phép tốn hai ngơi có nhi u nh t m t ph n t trung l p nh ngh a 1.1.3 Cho X lƠ m t t p h p khác  , “ * ” lƠ phép tốn hai ngơi X ( X, *) đ c g i lƠ nhóm n u i)  x, y, z  X : (x*y)*z = x*(y*z) , ii)  e  X,  x X: e*x = x*e = x , iii)  x X,  x’ X: x*x’ = x’*x = e Bùi V Ng c N ng K30G – Toán nh lí khơng th có đ Khố lu n t t nghi p c c a Abel nh ngh a 1.1.4 Cho X lƠ m t t p h p khác  Trên X, ta xác đ nh hai phép toán +,  X lƠ m t vƠnh n u i) (X, +) lƠ m t nhóm giao hốn , ii) Phép  có tính ch t k t h p , iii) Phép  phơn ph i v i phép + N u phép  có thêm tính ch t:  x, y  X, x  y = y  x (X, +,  ) lƠ m t vƠnh giao hoán N u phép  có thêm tính ch t :  e  X cho  x  X đ u có: x e = e  x= x ( X, +,  ) đ c g i lƠ vƠnh có đ n v nh ngh a 1.1.5 Cho X lƠ m t vƠnh a  X\{0} đ c g i lƠ m t c c a không n u  b  X\{0} cho a  b = M t vƠnh giao hốn có đ n v , khơng có khơng đ c c a c g i lƠ m t mi n nguyên nh ngh a 1.1.6 Cho X lƠ m t t p h p khác  (X, +,  ) đ lƠ m t tr cg i ng n u i) (X, +) lƠ m t nhóm giao hốn, ii) (X\{0},  ) nhóm giao hốn , iii) Phép  phơn ph i v i phép + Nói m t cách ng n g n: tr ng lƠ m t mi n nguyên mƠ m i ph n t khác khơng đ u có ph n t kh ngh ch Cho X lƠ m t tr ng, A lƠ m t b ph n c a X n đ nh đ i v i hai phép toán X A lƠ m t tr ng c a tr A v i hai phép toán c m sinh A lƠ m t tr g i lƠ m t m r ng c a tr có nh t m t tr Bùi V Ng c N ng X n u ng, vƠ X đ ng A Kí hi u X A ho c X  A M i tr c ng đ u ng lƠ ng K30G – Tốn nh lí khơng th có đ Khố lu n t t nghi p nh ngh a 1.1.7 M t tr đ c g i lƠ m t tr ng khơng có tr ng nƠo khác ngoƠi ng nguyên t nh ngh a 1.1.8 Cho tr ng K b t kì v i ph n t đ n v lƠ e N u n s t nhiên bé nh t, n ≠ 0, cho b i ne b ng n đ tr c c a Abel c g i lƠ đ c s c a ng K, kí hi u lƠ Char(K) Trái l i, ta nói K có đ c s Có th th y r ng n u tr ng K có đ c s n ≠ n lƠ m t s nguyên t p nƠo 1.2 a th c nh ngh a 1.2.1 Cho X lƠ m t vƠnh giao hốn có đ n v Kí hi u t p A={( a , a1 , , a n , ) | a i  A( i  0,1, 2, ) a i  h u h t, ch có m t s thƠnh ph n h u h n không b ng 0} Trên A, ta xác đ nh hai qui t c sau: V i  ,   A,  (a , a1 , , a n , ),   (b0 , b1, , bn , )     (a0  b0 , a1  b1 , , a n  bn , ) ,    (c0 , c1, , cn , ) , c0  ao b0 c1  a b1  a1.b2 c2  a b0  a1.b1  a b2 cn  a n b0  a n 1.b1   a1.bn 1  a bn   a b i  j n i j T p A hai qui t c + vƠ  đ n v , vƠ đ l p thƠnh m t vƠnh giao hốn có c g i lƠ vƠnh đa th c Các ph n t c a đ c g i lƠ đa th c Bùi V Ng c N ng 10 K30G – Tốn nh lí khơng th có đ Khố lu n t t nghi p c c a Abel g(x) = V(x).F(x) + v(x).f(x) , t t c hƠm đ c ch đ u lƠ đa th c N u hƠm F(x) vƠ f(x) khơng có h ng s , mƠ R c s chung nƠo g(x) lƠ m t đơy ta đ t h ng s lƠ Tuy nhiên, theo gi thi t, f(x) lƠ b t kh qui vƠ m t nghi m  c a ph ng trình f(x) = c ng lƠ nghi m c a ph ng trình F(x) = nên th c s c s chung, nh t lƠ b c m t ( x-  ), c a F(x) vƠ f(x) có m t Khi đó, f b t kh qui ,   f  f1.g f1 ( x) 1 f ( x)  g ( x) c F ( x)  F1 ( x) f ( x) ng trình F ( x)  F1 ( x).g ( x) ta đ Thay vƠo ph Do v y, F ( x) f ( x) vƠ m i nghi m c a f(x) đ u lƠ nghi m c a F(x) ฀ nh lí c b n nƠy tr c ti p d n đ n hai h lu n quan tr ng sau : I/ Cho ph ng trình f(x) = b t kh qui R.N u m t nghi m c a ph ng trình f(x) = c ng nghi m c a ph R , có b c th p h n b c c a f, t t c h s c a F đ u b ng không II/ N u f(x ) = m t ph khơng có ph ng trình F(x) = ng trình b t kh qui m t nhóm R ng trình b t kh qui khác R có m t nghi m chung v i ph ng trình f(x) = 2.1.7 nh lí 2.1.7 “Cho ph ng trình f ( x)  xn  a1.xn1   an1.x  a n  (1) lƠ b t kh qui b c n R G i  lƠ m t nghi m c a ph Bùi V Ng c N ng 25 ng trình (1) Khi K30G – Tốn nh lí khơng th có đ Khố lu n t t nghi p đó, m i s c a nhóm (n-1) c a  v i h R (  ) có th đ c bi u di n nh s lƠ R _s VƠ cách bi u di c c a Abel m t đa th c b c n lƠ nh t Ch ng minh:  lƠ m t s c a nhóm R (  ) (đ c xác đ nh b i phép th c a +) G i m t nghi m  c a ph ng trình (1) R ) Theo đ nh ngh a 1.3.3, ta có th bi u di n  =  (  )/  (  )  ,  lƠ đa th c R Có  lƠ nghi m c a ph ng trình (1) hay  n  a1. n1   an1.  an   f(  ) =   n  a1. n1   an1.  an Do đó, m i lu th a  có s m n ho c l n h n n đ u có th bi u di n th a  n1 , n2 , , vƠ đó, c ng có th b ng lu bi u di n   ( ) /  ( ) , ( v i  ( ) ≠ )  ,  lƠ đa th c R có b c khơng l n h n (n - 1) ) L i có, ph nhóm ng trình f(x) = lƠ ph R ,  ( x)  ( x) khơng có ng trình b t kh qui b c n ≠ 0, deg  ( x) ≤ n - 1, nên theo h lu n I, f(x) c s chung nƠo, t c lƠ ( f(x) ,  ( x) ) = 1,  u( x), v( x) R [x] cho : u( x). ( x)  v( x) f ( x)  Thay x =  ta đ c: u ( ). ( )  ( f(  ) = )  u( )  ( )    ( ) /  ( )  u( ). ( )  Khai tri n tích u ( ). ( ) nƠy vƠ l i bi u di n lu th a  có s m n ho c l n h n n qua lu th a  n1 , n2 , , Cu i ta thu đ c: Bùi V Ng c N ng 26 K30G – Tốn nh lí khơng th có đ Khố lu n t t nghi p c c a Abel   C0  C1.   Cn2  n2  Cn1. n1 (Ci  R _s , i  0, n 1) +) Gi s cịn có cách bi u di n :   d0  d1.   dn2  n2  dn1. n1 , di  Ci , di  R _s , i  0, n  Ta s có: C0  C1.   Cn2  n2  Cn1. n1  d0  d1.   dn2  n2  dn1. n1  (C0  d0 )  (C1  d1 ).   (Cn2  dn2 ). n2  (Cn1  dn1 ). n1  t c lƠ  c ng lƠ nghi m c a ph ng trình : (C0  d0 )  (C1  d1 ).x   (Cn2  dn2 ).xn2  (Cn1  dn1 ).xn1  (2) ph ng trình nƠy có b c lƠ (n - 1) Theo h lu n I đó, t t c h s c a ph ong trình (2) đ u b ng khơng t c lƠ Ci  di ( i  0, n 1 ) ฀ Nh v y, hƠm f(x) b t kh qui R ( ) v i  lƠ m t nghi m c a ph R nh ng l i kh qui ng trình f(x) = ơy lƠ m t ví d đ n gi n v hƠm b t kh qui m t nhóm tr thƠnh kh qui qua phép th c a m t nghi m Ta s xét tr ng h p t ng quát h n, mƠ đó, m t hƠm f(x), có b c nguyên t p, b t kh qui qui qua phép th m t nghi m c a m t ph R tr thƠnh kh ng trình b t kh qui g(x) = b c q khác R Ta có đ nh lí sau: nh lí 2.1.8 2.1.8 “ Cho hai ph ng trình b t kh qui R là: f ( x)  x p  a1.x   a p 1.x  a p  (v i p lƠ s nguyên t ) g ( x)  xq  b1.x   bq 1.x  bq  Bùi V Ng c N ng 27 K30G – Tốn nh lí khơng th có đ Khố lu n t t nghi p G i  lƠ m t nghi m c a ph R ( ) c c a Abel ng trình g(x) = Khi đó, f(x) lƠ kh qui q p ch Ch ng minh: R (  ), t Gi s có f(x) kh qui c lƠ f(x) có th phơn tích thƠnh tích c a hai đa th c  ( x, )  ( x, ) có b c t ng ng lƠ m n : f ( x)  ( x, ). ( x, )  f (r )  (r , ). (r , ) v i r lƠ m t s h u t nƠo  f (r )  (r , ). (r , )  hay hàm u( x)  f (r )  (r , x). (r , x) R nh n  lƠ nghi m Theo đ nh lí c b n c a hƠm b t kh qui (đ nh lí b t kh qui c a Abel) ta có : n u g i  , ', ", lƠ nghi m c a ph qui g(x) =  , ', ", c ng lƠ nghi m c a ph Do g(x) có b c lƠ q nên ph ng trình b t kh ng trình u(x) = ng trình g(x) = có nhi u nh t lƠ q nghi m (đ nh lí 1.1.2) Do  ' lƠ nghi m c a ph ng trình u(x) =  f (r )  (r , '). (r , ')   r h u t ,  f ( x)   ( x, '). ( x, ') Hoàn toƠn t ng t  xh ut f ( x)  ( x, ''). ( x, '')  xh ut, f ( x)  ( x, '''). ( x, ''')  xh ut, ………………………… Khi đó, t q ph ng trình f ( x)  ( x, ). ( x, ) f ( x)  ( x, '). ( x, ') f ( x)  ( x, ''). ( x, '') ………………………… Bùi V Ng c N ng 28 K30G – Tốn nh lí khơng th có đ Khố lu n t t nghi p t ng ng v i q nghi m  , ', ", c a ph b ng cách nhơn v v i v , ta thu đ c c a Abel ng trình b t kh qui g(x) = 0, c f q ( x)   ( x).( x) , ( x)  ( x, ). ( x, '). ( x, '') lƠ đa th c b c m.q , ( x)   ( x, ). ( x, '). ( x,  '') lƠ đa th c b c n.q Rõ ràng ( x)  ( x) lƠ hƠm đ i x ng c a nghi m  , ', ", c a ph  ( x) có th đ ng trình g(x) = Do theo đ nh lí Waring, ( x) c bi u di n m t cách h p lí theo h s c a g(x), cho ( x)  ( x) lƠ đa th c R Vì f q ( x)   ( x).( x) nên n u  lƠ nghi m c a ph ng trình b t kh qui f(x) = ho c  lƠ nghi m c a ( x) ho c  lƠ nghi m c a  ( x) , mà ( x) ≠ 0,  ( x) ≠ 0, đó, theo đ nh lí b t kh qui c a Abel , c ( x)  ( x) đ u có th chia h t cho f(x) khơng có hƠm d Do f(x) b t kh qui R   ( x) f  ( x)  ( x) f v ( x) nên f khơng có c s nƠo ngoƠi (   v  p ) deg ( x) deg f  ( x)  deg ( x)deg f v( x) hay T ta có :  m.q   p n.q  v p  mq  p nq  p nh ng m, n < p , p lƠ s nguyên t , nên suy q p ฀ Bùi V Ng c N ng 29 K30G – Tốn nh lí khơng th có đ Khố lu n t t nghi p 2.2 nh lí khơng th có đ “Nh ng ph c c a Abel c c a Abel ng trình cao h n b c b n nói chung khơng có phép gi i đ is ” Ch ng minh c a đ nh lí khơng th có đ c c a Abel đ thông qua ch ng minh m t đ nh lí c a nhƠ tốn h c ng Kronecker (1823 - 1891): ”Cho ph nguyên t l ) lƠ gi i đ h u t t nhiên c Leopold ng trình f(x) = b c n (v i n lƠ s c m t cách đ i s vƠ lƠ b t kh qui mi n R ph ng trình f(x) = ho c ch có m t nghi m th c ho c ch có nghi m th c” ch ng minh r ng m t ph gi i đ i c trình bƠy c b ng ph nh lí Kronecker đ ng th i ng trình cao h n b c b n th ng không th ng pháp đ i s b tr cho vi c ch ng minh đ nh lí Kronecker, tr c h t ta ch ng minh b đ sau: 2.2.1 B đ 2.2.1: “Cho ph ng trình b c n (v i n lƠ s nguyên t l ) f(x) = lƠ b t kh qui mi n h u t t nhiên đ c m t cách đ i s R N u ph ng trình f(x) = c ng lƠ gi i R ph ng trình f(x) = có nh t m t nghi m th c” Ch ng minh: xn 1   ( x 1)( xn1  xn2   x 1)  Bùi V Ng c N ng 30 K30G – Tốn nh lí khơng th có đ Khố lu n t t nghi p G i  lƠ c n b c n c a đ n v ,   n  cos ph c c a Abel 2 2  i.sin Do nghi m c a n n ng trình xn 1  1,1. ,1. , ,1. n 1 ;  không lƠ nghi m c a đa th c (x - 1) nên  ph i lƠ nghi m c a ph ng trình xn1  xn2   x   Theo đ nh lí 2.1.8, (n 1)  n (n lƠ s nguyên t l ) nên f(x) không kh qui R ( ) V i K  R _ s , đ t   q K (q lƠ s nguyên t ) cho f(x) v n b t R nh ng tr thƠnh kh qui nhóm R (  ) t c f ( x)  ( x,  ). ( x,  ). ( x,  ) đơy,  , ,  , lƠ đa th c b t kh qui nhóm kh qui R (  ) (nh ng không lƠ đa th c R ) có h s lƠ đa th c c a  R Do  lƠ nghi m c a ph ng trình b t kh qui xq  K (q lƠ s nguyên t ), mƠ f(x) kh qui R (  ) nên theo đ nh lí 2.1.8 ta có q n ; n, q đ u s nguyên t nên suy q = n Khi đó, ph ng trình xq  K tr thƠnh xn  K vƠ theo b đ Abel, n nghi m c a ph ng trình b t kh qui xn  K R là: 0  , 1   , 2   , , n1   n1 Theo trên,  ( x,  ) lƠ m t đ u lƠ nghi m c a ph c s c a f(x) (trong ng trình b t kh qui ph n ch ng minh đ nh lí R (  ) ); 0 , 1 , , n1 R : xq  K nên theo 2.1.8,  ( x, i ) c ng lƠ ( i  1, n 1)  ( x, i ) c ng lƠ hƠm b t kh qui b t kh qui M t c s c a f(x) R (  ) (do  ( x,  ) R (  ) ) khác, ta ln có  ( x,   )  ( x,  v ) , (   v  , v{0,1, , n 1} ) Bùi V Ng c N ng 31 K30G – Tốn ; nh lí khơng th có đ Khoá lu n t t nghi p Th t v y, n u ng c c a Abel   , v{0,1, , n 1} ,   v cho : c l i: gi s  ( x,   )  ( x,  v ) C ng theo ch ng minh đ nh lí 2.1.8,  có th đ c thay b ng nghi m   v , t suy r ng :  ( x,  )  ( x,   v ) t H=   v Khi :  ( x,  )  ( x,  H )  ( x,  H )  ( x,  H ) t  ( x,  H )  ( x,  H ) ng t c ng có  ( x,  )  ( x,  H )  ( x,  H )   ( x,  H n1 )  ( x,  )  V ph i c a ph  ( x,  )  ( x,  H )   ( x,  H n1 ) ng trình lƠ m t đa th c đ i x ng c a n nghi m  ,  H ,  H , ,  H n1 c a ph th c c a x n ng trình xn  K , đ ng th i c ng lƠ m t đa R , suy  ( x,  ) lƠ m t đa th c c a x R Tuy nhiên theo trên,  ( x,  ) không lƠ m t đa th c c a x R (mơu thu n)  u gi s sai hay  ( x,   )  ( x,  v ) , (   v ;  , v{0,1, , n 1} ) n 1 Do f ( x) ( x, i ) , i  0, n 1 , nên n u đ t  ( x)   ( x, i ) f   , i 0 t c lƠ  U(x) lƠ đa th c c a x R cho: f ( x)  ( x).U ( x) , ( degU(x) < deg f(x) ) L i có f(x) b t kh qui R nên U(x) = 1, vƠ : f ( x)  ( x)  ( x, 0 ). ( x, 1). ( x, 2 )  ( x, n1) Bùi V Ng c N ng 32 K30G – Tốn nh lí khơng th có đ Khố lu n t t nghi p Do đó,  ( x, i ) ph i lƠ th a s c c a Abel n tính, t c lƠ, n u 0 , 1, ,n1 nghi m vƠ x  0 , x  1 , , x  n1 lƠ th a s n tính c a f(x), x  0   ( x, 0 ), x  1  ( x, 1 ), , x  n1  ( x, n1 ) 0  C0  C1.0  C2 02   Cn1.0n1 VƠ b i v y: 1  C0  C1.1  C2 12   Cn1.1n1 n1  C0  C1.n1  C2 n12   Cn1.n1n1 , t t c Ci đ u lƠ R_s Vì f(x) có b c l nên t ch ng minh ta có th k t lu n: ph f(x) = có nh t m t nghi m th c 2.1.2 ฀ nh lí Kronecker “Cho ph ng trình f(x) = b c n (v i n lƠ s nguyên t l ) lƠ gi i đ m t cách đ i s vƠ lƠ b t kh qui mi n h u t t nhiên ph ng trình c R ng trình f(x) = ho c ch có m t nghi m th c ho c ch có nghi m th c.” Ch ng minh: áp d ng b đ 2.1.1, ph ng trình f(x) = có nh t m t nghi m th c, không m t tính t ng qt, gi s nghi m lƠ : 0  C0  C1.0  C2 02   Cn1.0n1 (trong 0    n K lƠ nghi m c a ph Ci R _s , i  0, n 1 ) Khi đó, ta xét hai tr Tr ng trình b t kh qui xn  K , ng h p: ng h p 1: C s K c a c n kh qui  s th c Bùi V Ng c N ng 33 K30G – Tốn nh lí khơng th có đ Khố lu n t t nghi p ng h p 2: C s K c a c n kh qui  s ph c Tr Tr c c a Abel đơy, ta có th gi đ nh r ng  lƠ s th c, lƠ c n b c n ng h p 1: c a đ n v thu c nhóm R Khi đó, ta có liên h p ph c c a 0 là: 0  C0  C1.0  C2 0   Cn1.0 n1 , Ci lƠ liên h p ph c c a Ci ( i = 0, n 1) vƠ c ng lƠ R _s Theo gi thi t, 0 lƠ s th c nên 0  0  (C0  C0 )  (C1  C1 ).0  (C2  C2 ).0   (Cn1  Cn1 ).0 n1  hay  lƠ nghi m c a ph ng trình b c (n - 1) R : (C0  C0 )  (C1  C1 ).x  (C2  C2 ).x2   (Cn1  Cn1 ).xn1  Nh ng  lƠ nghi m c a ph (trong ng trình b t kh qui b c n : xn  K R ) nên theo h lu n I (phía sau đ nh lí b t kh qui c a Abel), ta có: C0  C0  C1  C1  C2  C2   Cn1  Cn1  hay Ci  Ci ,  i  0, n 1 Các đ i l ng Ci v y c ng lƠ s th c (  i  0, n 1 ) H n n a, cịn có: v  C0  C1.v  C2.v2   Cn1.vn1 nv  C0  C1.nv  C2.n2v   Cn1.nnv1 v   v Nh ng ( v {1,2,…,n-1} ) nv   nv   n. v   v lƠ liên h p ph c nên suy v n v c (do   n1 ) ng lƠ liên h p ph c, t c là: Bùi V Ng c N ng 34 K30G – Tốn nh lí khơng th có đ Khoá lu n t t nghi p Ph ng trình f(x) = có m t nghi m th c n-1 nghi m ph c liên h p thành c p ( 1 Tr c c a Abel n1 , 2 n2 , ) ( I ) ng h p : Trong tr cịn có liên h p ph c ng h p nƠy, ngoƠi c n kh qui 0    n K n K t   .  n K.K Rõ ràng  lƠ m t s th c N u ch riêng phép th   n K.K (t c lƠ khơng có  ) lƠ đ đ lƠm f(x) kh qui lúc  đóng vai trị nh tr ng h p 1, b i v y ta có th gi s  , nh th ta quay v r ng f(x) v n b t kh qui R (  ) vƠ ch tr thƠnh kh qui cho t i b sung thêm phép th  0  C0  C1.0  C2 02   Cn1.0n1 T 0  C0  C1.0  C2.02   Cn1.0n1 suy ra:     C0  C1.   C2     Cn1.   0   0   0  n 1 Theo gi thi t, 0  0 nên C0  C1.0  C2 02   Cn1.0n1     C0  C1.   C2     Cn1.   0   0   0  Trong ph ng trình nƠy, ngo i tr n 1 0 , l i t t c đ i l ng đ u R (  ), vƠ ph ng trình xn  K (theo b đ Abel) lƠ b t kh qui nhóm nƠy, ta có th thay th 0 ph ng trình b ng thu c nhóm b t c nghi m v nƠo c a ph ng trình xn  K H n n a, l i có : Bùi V Ng c N ng 35 K30G – Tốn nh lí khơng th có đ Khố lu n t t nghi p c c a Abel v         v  v ,   v v v   nên ta đ c: C0  C1.v  C2 v2   Cn1.vn1 = C0  C1.v  C2 v2   Cn1.vn1 v  v hay , ( v {1,2,…,n-1} ) Vì v y, t t c nghi m c a ph ng trình f(x) = đ u s th c ( II ) c u ph i ch ng minh ฀ T ( I ) vƠ ( II ) ta có đ Nh v y, ta ch ng minh xong đ nh lí Kronecker đ ng th i ch ng minh r ng m t ph không th gi i đ c b ng ph Ch ng h n, ta xét ph nh lí nƠy ng trình cao h n b c b n th ng ng pháp đ i s ng trình b c n m đ n gi n: x5  a.x  b  không th gi i b ng đ i s a vƠ b lƠ s nguyên d ng tho mãn: t n t i s nguyên t p cho a  p, b p  b  p  5 4 a  b Th t v y,  a  p, b p   b  p ( a, b nguyên d nên theo đ nh lí Schoenemann, ph Bùi V Ng c N ng ng; p nguyên t ) , ng trình lƠ b t kh qui 36 K30G – Tốn nh lí khơng th có đ Khố lu n t t nghi p c c a Abel Gi thi t l i cho : 44 a  55 b4 , mƠ đ nh lí Sturm ch ng minh r ng v i u ki n nƠy ph ng trình cho có ba nghi m th c vƠ hai nghi m ph c B i v y, ph ng trình cho khơng gi i đ c b ng đ i s theo đ nh lí Kronecker C ng b ng cách nƠy, t ng t ta có th ch r ng, ph ng trình x7  a.x  b  khơng gi i đ c b ng đ i s a vƠ b lƠ s nguyên d ng tho mãn : t n t i s nguyên t p cho a  p, b p   b  p  a  77 b6   , …v v…… Bùi V Ng c N ng 37 K30G – Tốn nh lí khơng th có đ Khoá lu n t t nghi p c c a Abel K t lu n Trên đơy lƠ toƠn b n i dung đ tƠi : “ c a Abel” Tr đ nh lí, b đ b c tiên, ng tr nh lí khơng th có đ c i vi t đ a m t h th ng lý thuy t vƠ lƠm ti n đ c s cho vi c ch ng minh đ nh lí Kronecker, r i thơng qua ch ng minh đ nh lí khơng th có đ cc a Abel Nói chung, đơy lƠ m t ch ng minh khó đ c liên quan t i nhi u ki n th c ph c t p c s c p l n cao c p B i v y, khoá lu n đ th c hi n v i mong mu n lƠ trình bƠy l i m t cách t c ng minh h n vƠ có h th ng h n n i dung c a ch ng minh đ nh lí khơng th có đ c c a Abel, m t s nh ng đ nh lí quan tr ng nh t tốn s c p, qua đó, giúp b n đ c ti p c n v i đ nh lí nƠy m t cách d dƠng h n, đ t có th sơu vƠo nghiên c u l nh v c i s s c p Hi v ng r ng tƠi li u nƠy s góp ích đ c m t ph n nƠo đ i v i b n sinh viên quan tơm t i đ i s nói riêng vƠ tốn h c nói chung Ch c ch n khố lu n khơng th tránh kh i sai sót, r t mong nh n đ c s đóng góp ý ki n chơn thƠnh c a th y cô vƠ b n HƠ N i, tháng 05, n m 2008 Sinh viên Bùi V Ng c N Bùi V Ng c N ng 38 ng K30G – Tốn nh lí khơng th có đ Khố lu n t t nghi p c c a Abel Tài li u tham kh o i s s h c - t p 2, 3, NXB [1] Ngô Thúc Lanh (1987), GD [2] Nguy n Ti n Quang (2005), C s lý thuy t tr thuy t Galoa, NXB H S ph m [3] 100 toán quan tr ng nh t toán s tâm t ng lý c p, Trung v n xu t b n, NXB Giao thông v n t i, 1999 Bùi V Ng c N ng 39 K30G – Toán ... ng không c a f(x), vƠ chu i có m t s thay đ i d u Bùi V Ng c N ng 17 K30G – Tốn nh lí khơng th có đ Khố lu n t t nghi p Ch c c a Abel ng đ nh lý khơng th có đ Ch ng minh c a đ nh lí khơng th có. .. nh lí khơng th có đ “Nh ng ph c c a Abel c c a Abel ng trình cao h n b c b n nói chung khơng có phép gi i đ is ” Ch ng minh c a đ nh lí khơng th có đ c c a Abel đ thông qua ch ng minh m t đ nh... lí khơng th có đ Khố lu n t t nghi p c c a Abel K t lu n Trên đơy lƠ toƠn b n i dung đ tƠi : “ c a Abel? ?? Tr đ nh lí, b đ b c tiên, ng tr nh lí khơng th có đ c i vi t đ a m t h th ng lý thuy t