Thông tin tài liệu
Khoá luận tốt nghiệp Định lí có Abel Trường đại học sư phạm hà nội Khoa Toán =====o0o===== Bùi Vũ Ngọc Nương Định lý có ABEL Khoá Luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Đại số Hà Nội - 2008 Bùi Vũ Ngọc Nương K30G – Toán Định lí có Abel Khoá luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến toàn thể thầy cô khoa Toán, thầy cô tổ Đại số, người tận tình dạy dỗ, giúp đỡ em bốn năm học vừa qua tạo điều kiện cho em trình hoàn thành khoá luận Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Huy Hưng, người trực tiếp hướng dẫn, bảo đóng góp nhiều ý kiến quí báu thời gian em thực khoá luận Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng năm 2008 Sinh viên Bùi Vũ Ngọc Nương Bùi Vũ Ngọc Nương K30G – Toán Định lí có Abel Khoá luận tốt nghiệp Lời cam đoan Khoá luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh đó, em quan tâm tạo điều kiện thầy cô giáo khoa Toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy giáo Nguyễn Huy Hưng Trong trình nghiên cứu hoàn thành khoá luận, em có tham khảo số tài liệu ghi phần Tài liệu tham khảo Em xin cam đoan kết đề tài “ Định lí có Abel ” trùng lặp chép kết đề tài khác Nếu sai, em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Người cam đoan Sinh viên Bùi Vũ Ngọc Nương Bùi Vũ Ngọc Nương K30G – Toán Khoá luận tốt nghiệp Định lí có Abel Mục lục Trang Lời nói đầu……………………………………………… Chương 1: Những kiến thức bổ trợ……………………… .4 1.1 Nhóm- Vành- Miền nguyên- Trường………………… 1.2 Đa thức ……………………………………………… 1.3 Nhóm số……………………………………………… 1.4 Một số khái niệm bổ trợ khác………………………… 12 Chương 2: Định lí có Abel…………….14 2.1 Một số định lí bổ trợ…………………………………… 14 2.1.1 Bổ đề Abel………………………………………….14 2.1.2 Định lí Gauss……………………………………… 15 2.1.3 Định lí Schoenemann……………………………… 17 2.1.4 Định lí Sturm……………………………………… 18 2.1.5 Định lí Waring………………………………………19 2.1.6 Định lí bất khả qui Abel………………………….19 2.1.7 Định lí 2.1.7……………………………………… 21 2.1.8 Định lí 2.1.8……………………………………… 23 2.2 Định lí bất khả qui Abel…………………………… 25 2.2.1 Bổ đề …………………………………………… 26 2.2.2 Định lí Kronecker………………………………… 28 Kết luận…………………………………………………… 33 Tài liệu tham khảo………………………………………… 34 Bùi Vũ Ngọc Nương K30G – Toán Định lí có Abel Khoá luận tốt nghiệp Lời nói đầu Bộ môn đại số có vị trí quan trọng Toán học Trước đây, nói đến đại số nói đến việc giải phương trình Loài người biết giải phương trình bậc từ trước Công nguyên đến thời kì Phục hưng, khoảng kỉ 16 sau Công nguyên, với đời số phức người ta đưa công thức nghiệm phương trình đại số tổng quát có bậc không vượt bốn Các kết tạo động lực thúc nhà toán học nhiều kỉ tìm công thức nghiệm tổng quát phương trình đại số bậc năm Trong công tìm kiếm phải kể đến nhà Vật lý người ý Paolo Ruffini (1765 – 1822) , ông nhìn nhận vấn đề theo chiều hướng ngược lại nhận việc tìm công thức nghiệm phương trình tổng quát có bậc lớn năm không thể, theo ông: “ Những phương trình cao bậc bốn nói chung phép giải đại số ” Ruffini đưa định lí lần sách Teoria generale delle equazioni mình, xuất Bologna vào năm 1798 Tuy nhiên, chứng minh ông không đầy đủ Phải đến năm 1826 chứng minh đầy đủ định lí đưa tập Crelle’s Journal fur Mathematik nhà toán học trẻ người Na Uy Niels Henrik Abel (1802 – 1829) Chứng minh định lí có Abel dựa định lí Kronecker xuất vào năm 1856 Monatsberichte der Berliner Akademie Sau này, dựa kết đó, E.Galois (1811 – 1832) điều kiện để phương trình cho trước, tồn công thức tính Bùi Vũ Ngọc Nương K30G – Toán Khoá luận tốt nghiệp Định lí có Abel nghiệm Cũng từ trở đi, lý thuyết phương trình không đóng vai trò chủ đạo môn Đại số mà đối tượng phân môn nhóm, vành, trường, Có thể nói, định lí có Abel định lí quan trọng, đánh dấu bước ngoặt lớn lịch sử phát triển Đại số Tuy nhiên nay, Việt Nam, tài liệu định lí chưa nhiều, chứng minh định lí dịch dạng “thô”, chưa trình bày cách rõ ràng, hệ thống hoá đầy đủ ngôn ngữ chưa thật sáng Với lí trên, em mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Định lí có Abel ” nhằm trình bày lại cách tường minh có hệ thống, sở chặt chẽ nội dung chứng minh định lí quan trọng Nội dung khoá luận gồm chương lớn: Chương : Những kiến thức bổ trợ Chương : Định lí có Abel Trong đó, Chương dành cho việc trình bày lý thuyết bổ trợ liên quan lý thuyết trường, đa thức, nhóm số khái niệm phục vụ cho chứng minh phía sau, Chương dành để đưa định lí bổ trợ làm tiền đề, sở cho việc chứng minh định lí Kronecker, định lí Kronecker chứng minh đồng thời định lí có Abel chứng minh Phương pháp nghiên cứu đề tài đọc tài liệu trao đổi kinh nghiệm Bùi Vũ Ngọc Nương K30G – Toán Khoá luận tốt nghiệp Định lí có Abel Mặc dù cố gắng, thời gian nghiên cứu vốn kiến thức kinh nghiệm hạn chế nên luận văn em không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn sinh viên để khoá luận hoàn thiện Hà Nội, tháng 5, năm 2008 Sinh viên Bùi Vũ Ngọc Nương Bùi Vũ Ngọc Nương K30G – Toán Định lí có Abel Khoá luận tốt nghiệp Chương kiến thức bổ trợ 1.1 Nhóm- Vành- Miền nguyên- Trường Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi phép toán hai (hay gọi tắt phép toán) tập hợp X ánh xạ f từ X X đến X Một phép toán hai “ * ” tập hợp X gọi kết hợp (x*y)*z = x*(y*z) , x, y, z X; giao hoán ta có x*y = y*x , x, y X Một phận A X gọi ổn định (đối với phép toán “ * ” X ) x*y A, x, y A Khi đó, phép toán “ ** ” xác định phận ổn định A quan hệ x**y = x*y, x, y A gọi phép toán cảm sinh A phép toán “ * ” X Người ta thường kí hiệu phép toán cảm sinh phép toán X Định nghĩa 1.1.2 Cho “ * ” phép toán hai tập hợp X Một phần tử e X gọi đơn vị trái phép toán “ * ” e*x = x , x X; đơn vị phải phép toán “ * ” x*e = x , x X Nếu phần tử e X vừa đơn vị trái, vừa đơn vị phải, e gọi đơn vị , phần tử trung lập phép toán “ * ” Một phép toán hai có nhiều phần tử trung lập Định nghĩa 1.1.3 Cho X tập hợp khác , “ * ” phép toán hai X ( X, *) gọi nhóm i) x, y, z X : (x*y)*z = x*(y*z) , ii) e X, x X: e*x = x*e = x , iii) x X, x’ X: x*x’ = x’*x = e Bùi Vũ Ngọc Nương K30G – Toán Định lí có Abel Khoá luận tốt nghiệp Định nghĩa 1.1.4 Cho X tập hợp khác Trên X, ta xác định hai phép toán +, X vành i) (X, +) nhóm giao hoán , ii) Phép có tính chất kết hợp , iii) Phép phân phối với phép + Nếu phép có thêm tính chất: x, y X, x y = y x (X, +, ) vành giao hoán Nếu phép có thêm tính chất : e X cho x X có: xe=ex=x ( X, +, ) gọi vành có đơn vị Định nghĩa 1.1.5 Cho X vành a X\{0} gọi ước không b X\{0} cho a b = Một vành giao hoán có đơn vị, ước không gọi miền nguyên Định nghĩa 1.1.6 Cho X tập hợp khác (X, +, ) gọi trường i) (X, +) nhóm giao hoán, ii) (X\{0}, ) nhóm giao hoán , iii) Phép phân phối với phép + Nói cách ngắn gọn: trường miền nguyên mà phần tử khác phần tử khả nghịch Cho X trường, A phận X ổn định hai phép toán X A trường trường X A với hai phép toán cảm sinh A trường, X gọi mở rộng trường A Kí hiệu X A X A Mọi trường có trường Bùi Vũ Ngọc Nương K30G – Toán Định lí có Abel Khoá luận tốt nghiệp Định nghĩa 1.1.7 Một trường trường khác gọi trường nguyên tố Định nghĩa 1.1.8 Cho trường K với phần tử đơn vị e Nếu n số tự nhiên bé nhất, n ≠ 0, cho bội ne n gọi đặc số trường K, kí hiệu Char(K) Trái lại, ta nói K có đặc số Có thể thấy trường K có đặc số n ≠ n số nguyên tố p 1.2.Đa thức Định nghĩa 1.2.1 Cho X vành giao hoán có đơn vị Kí hiệu tập A={( a0 , a1 , , an , ) | A ( i 0,1, 2, ) hầu hết, có số thành phần hữu hạn không 0} Trên A, ta xác định hai qui tắc sau: Với , A, (a0 , a1 , , an , ), (b0 , b1, , bn , ) (a0 b0 , a1 b1 , , an bn , ) , (c0 , c1, , cn , ) , c0 ao b0 c1 a0 b1 a1.b2 c2 a2 b0 a1.b1 a0 b2 cn an b0 an 1.b1 a1.bn 1 a0 bn a b i j n i j Tập A hai qui tắc + lập thành vành giao hoán có đơn vị, gọi vành đa thức Các phần tử gọi đa thức Bùi Vũ Ngọc Nương 10 K30G – Toán Khoá luận tốt nghiệp Định lí có Abel g(x) = V(x).F(x) + v(x).f(x) , tất hàm đa thức R Nếu hàm F(x) f(x) ước số chung g(x) số, mà ta đặt số Tuy nhiên, theo giả thiết, f(x) bất khả qui nghiệm phương trình f(x) = nghiệm phương trình F(x) = nên thực có ước số chung, bậc ( x- ), F(x) f(x) Khi đó, f bất khả qui , f f1.g f1 ( x) 1 f ( x) g ( x) Thay vào phương trình F ( x) F1 ( x).g ( x) ta F ( x) F1 ( x) f ( x) Do vậy, F ( x) f ( x) nghiệm f(x) nghiệm F(x) Định lí trực tiếp dẫn đến hai hệ luận quan trọng sau : I/ Cho phương trình f(x) = bất khả qui R Nếu nghiệm phương trình f(x) = nghiệm phương trình F(x) = R , có bậc thấp bậc f, tất hệ số F không II/ Nếu f(x ) = phương trình bất khả qui nhóm R phương trình bất khả qui khác R có nghiệm chung với phương trình f(x) = 2.1.7 Định lí 2.1.7 “Cho phương trình f ( x) xn a1.xn1 an1.x an (1) bất khả qui bậc n R Gọi nghiệm phương trình (1) Khi Bùi Vũ Ngọc Nương 25 K30G – Toán Định lí có Abel Khoá luận tốt nghiệp R ( ) biểu diễn đa thức bậc (n-1) với hệ số R _số Và cách biểu diễn đó, số nhóm Chứng minh: số nhóm R ( ) (được xác định phép +) Gọi nghiệm phương trình (1) R ) Theo định nghĩa 1.3.3, ta biểu diễn = ( )/ ( ) , đa thức R Có nghiệm phương trình (1) f( ) = hay n a1. n1 an1. an n a1. n1 an1. an Do đó, luỹ thừa có số mũ n lớn n biểu diễn luỹ thừa n1 , n2 , , đó, biểu diễn ( ) / ( ) , ( với ( ) ≠ ) , đa thức R có bậc không lớn (n - 1) ) Lại có, phương trình f(x) = phương trình bất khả qui bậc n nhóm R , ( x) ≠ 0, deg ( x) ≤ n - 1, nên theo hệ luận I, f(x) ( x) ước số chung nào, tức ( f(x) , ( x) ) = 1, u( x), v( x) R [x] cho : u( x). ( x) v( x) f ( x) Thay x = ta được: u ( ). ( ) ( f( ) = ) u( ) ( ) ( ) / ( ) u( ). ( ) Khai triển tích u ( ). ( ) lại biểu diễn luỹ thừa có số mũ n lớn n qua luỹ thừa n1 , n2 , , Cuối ta thu được: Bùi Vũ Ngọc Nương 26 K30G – Toán Khoá luận tốt nghiệp Định lí có Abel C0 C1. Cn2 n2 Cn1. n1 (Ci R _số , i 0, n 1) +) Giả sử có cách biểu diễn : d0 d1. dn2 n2 dn1. n1 , di Ci , di R _số , i 0, n Ta có: C0 C1. Cn2 n2 Cn1. n1 d0 d1. dn2 n2 dn1. n1 (C0 d0 ) (C1 d1 ). (Cn2 dn2 ). n2 (Cn1 dn1 ). n1 tức nghiệm phương trình : (C0 d0 ) (C1 d1 ).x (Cn2 dn2 ).xn2 (Cn1 dn1 ).xn1 (2) phương trình có bậc (n - 1) Theo hệ luận I đó, tất hệ số phưong trình (2) không tức Ci di ( i 0, n 1 ) Như vậy, hàm f(x) bất khả qui trong R ( ) với R lại khả qui nghiệm phương trình f(x) = Đây ví dụ đơn giản hàm bất khả qui nhóm trở thành khả qui qua phép nghiệm Ta xét trường hợp tổng quát hơn, mà đó, hàm f(x), có bậc nguyên tố p, bất khả qui R trở thành khả qui qua phép nghiệm phương trình bất khả qui g(x) = bậc q khác R Ta có định lí sau: 2.1.8 Định lí 2.1.8 “ Cho hai phương trình bất khả qui R là: f ( x) x p a1.x a p 1.x a p (với p số nguyên tố) g ( x) x q b1.x bq 1.x bq Bùi Vũ Ngọc Nương 27 K30G – Toán Định lí có Abel Khoá luận tốt nghiệp Gọi nghiệm phương trình g(x) = Khi đó, f(x) khả qui R ( ) q p Chứng minh: Giả sử có f(x) khả qui R ( ), tức f(x) phân tích thành tích hai đa thức ( x, ) ( x, ) có bậc tương ứng m n : f ( x) ( x, ). ( x, ) f (r ) (r, ). (r, ) với r số hữu tỉ f (r ) (r, ). (r, ) hay hàm u( x) f (r ) (r, x). (r, x) R nhận nghiệm Theo định lí hàm bất khả qui (định lí bất khả qui Abel) ta có : gọi , ', ", nghiệm phương trình bất khả qui g(x) = , ', ", nghiệm phương trình u(x) = Do g(x) có bậc q nên phương trình g(x) = có nhiều q nghiệm (định lí 1.1.2) Do ' nghiệm phương trình u(x) = f (r ) (r, '). (r, ') r hữu tỉ , f ( x) ( x, '). ( x, ') x hữu tỉ Hoàn toàn tương tự f ( x) ( x, ''). ( x, '') x hữu tỉ, f ( x) ( x, '''). ( x, ''') x hữu tỉ, ………………………… Khi đó, từ q phương trình f ( x) ( x, ). ( x, ) f ( x) ( x, '). ( x, ') f ( x) ( x, ''). ( x, '') ………………………… Bùi Vũ Ngọc Nương 28 K30G – Toán Định lí có Abel Khoá luận tốt nghiệp tương ứng với q nghiệm , ', ", phương trình bất khả qui g(x) = 0, cách nhân vế với vế, ta thu f q ( x) ( x).( x) , ( x) ( x, ). ( x, '). ( x, '') đa thức bậc m.q , ( x) ( x, ). ( x, '). ( x, '') đa thức bậc n.q Rõ ràng ( x) ( x) hàm đối xứng nghiệm , ', ", phương trình g(x) = Do theo định lí Waring, ( x) ( x) biểu diễn cách hợp lí theo hệ số g(x), cho ( x) ( x) đa thức R Vì f q ( x) ( x).( x) nên nghiệm phương trình bất khả qui f(x) = nghiệm ( x) nghiệm ( x) , mà ( x) ≠ 0, ( x) ≠ 0, đó, theo định lí bất khả qui Abel , ( x) ( x) chia hết cho f(x) hàm dư Do f(x) bất khả qui R ( x) f ( x ) ( x) f v ( x ) nên f ước số ( v p ) deg ( x) deg f ( x) deg ( x)deg f v ( x) hay Từ ta có : m.q p n.q v p mq p nq p m, n < p , p số nguyên tố, nên suy q p Bùi Vũ Ngọc Nương 29 K30G – Toán Định lí có Abel Khoá luận tốt nghiệp 2.2 Định lí có Abel “Những phương trình cao bậc bốn nói chung phép giải đại số” Chứng minh định lí có Abel trình bày thông qua chứng minh định lí nhà toán học người Đức Leopold Kronecker (1823 - 1891): ”Cho phương trình f(x) = bậc n (với n số nguyên tố lẻ) giải cách đại số bất khả qui miền hữu tỉ tự nhiên R phương trình f(x) = có nghiệm thực có nghiệm thực” Định lí Kronecker đồng thời chứng minh phương trình cao bậc bốn thường giải phương pháp đại số Để bổ trợ cho việc chứng minh định lí Kronecker, trước hết ta chứng minh bổ đề sau: 2.2.1 Bổ đề 2.2.1: “Cho phương trình bậc n (với n số nguyên tố lẻ) f(x) = bất khả qui miền hữu tỉ tự nhiên cách đại số R Nếu phương trình f(x) = giải R phương trình f(x) = có nghiệm thực” Chứng minh: xn 1 ( x 1)( xn1 xn2 x 1) Bùi Vũ Ngọc Nương 30 K30G – Toán Định lí có Abel Khoá luận tốt nghiệp Gọi bậc n đơn vị, n cos 2 2 i.sin Do nghiệm n n phương trình x n 1 1,1. ,1. , ,1. n 1 ; không nghiệm đa thức (x - 1) nên phải nghiệm phương trình xn1 xn2 x Theo định lí 2.1.8, (n 1) n (n số nguyên tố lẻ) nên f(x) không khả qui R ( ) Với K R _ số, đặt q K (q số nguyên tố) cho f(x) bất R trở thành khả qui nhóm R ( ) tức f ( x) ( x, ). ( x, ). ( x, ) đây, , , , đa thức bất khả qui nhóm khả qui R ( ) (nhưng không đa thức R ) có hệ số đa thức R Do nghiệm phương trình bất khả qui x q K (q số nguyên tố), mà f(x) khả qui R ( ) nên theo định lí 2.1.8 ta có q n ; n, q số nguyên tố nên suy q = n Khi đó, phương trình x q K trở thành x n K theo bổ đề Abel, n nghiệm phương trình bất khả qui x n K R là: 0 , 1 , 2 , , n1 n1 Theo trên, ( x, ) ước số f(x) (trong nghiệm phương trình bất khả qui phần chứng minh định lí R ( ) ); 0 , 1 , , n1 R : xq K nên theo 2.1.8, ( x, i ) ước số f(x) ( i 1, n 1) ( x, i ) hàm bất khả qui bất khả qui Mặt khác, R ( ) (do ( x, ) R ( ) ) ta có ( x, ) ( x, v ) , ( v , v {0,1, , n 1} ) Bùi Vũ Ngọc Nương 31 K30G – Toán ; Định lí có Abel Khoá luận tốt nghiệp Thật vậy, ngược lại: giả sử , v {0,1, , n 1} , v cho : ( x, ) ( x, v ) Cũng theo chứng minh định lí 2.1.8, thay nghiệm v , từ suy : ( x, ) ( x, v ) Đặt H = v Khi : ( x, ) ( x, H ) ( x, H ) ( x, H ) tương tự có ( x, H ) ( x, H ) ( x, ) ( x, H ) ( x, H ) ( x, H n1 ) ( x, ) ( x, ) ( x, H ) ( x, H n1 ) n Vế phải phương trình đa thức đối xứng n nghiệm , H , H , , H n1 phương trình x n K , đồng thời đa thức x R , suy ( x, ) đa thức x R Tuy nhiên theo trên, ( x, ) không đa thức x R (mâu thuẫn) điều giả sử sai hay ( x, ) ( x, v ) , ( v ; , v {0,1, , n 1} ) n 1 Do f ( x) ( x, i ) , i 0, n 1 , nên đặt ( x) ( x, i ) f , i 0 tức U(x) đa thức x R cho: f ( x) ( x).U ( x) , ( degU(x) < deg f(x) ) Lại có f(x) bất khả qui R nên U(x) = 1, : f ( x) ( x) ( x, 0 ). ( x, 1). ( x, 2 ) ( x, n1) Bùi Vũ Ngọc Nương 32 K30G – Toán Định lí có Abel Khoá luận tốt nghiệp Do đó, ( x, i ) phải thừa số tuyến tính, tức là, 0 , 1, ,n1 nghiệm x 0 , x 1 , , x n1 thừa số tuyến tính f(x), x 0 ( x, 0 ), x 1 ( x, 1 ), , x n1 ( x, n1 ) 0 C0 C1.0 C2 02 Cn1.0n1 Và vậy: 1 C0 C1.1 C2 12 Cn1.1n1 n1 C0 C1.n1 C2 n12 Cn1.n1n1 , tất Ci R _ số Vì f(x) có bậc lẻ nên từ chứng minh ta kết luận: phương trình f(x) = có nghiệm thực 2.1.2 Định lí Kronecker “Cho phương trình f(x) = bậc n (với n số nguyên tố lẻ) giải cách đại số bất khả qui miền hữu tỉ tự nhiên R phương trình f(x) = có nghiệm thực có nghiệm thực.” Chứng minh: áp dụng bổ đề 2.1.1, phương trình f(x) = có nghiệm thực, không tính tổng quát, giả sử nghiệm : 0 C0 C1.0 C2 02 Cn1.0n1 (trong 0 n K nghiệm phương trình bất khả qui x n K , Ci R _số, i 0, n 1 ) Khi đó, ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Cơ số K khả qui số thực Bùi Vũ Ngọc Nương 33 K30G – Toán Khoá luận tốt nghiệp Định lí có Abel Trường hợp 2: Cơ số K khả qui số phức Trường hợp 1: đây, ta giả định số thực, bậc n đơn vị thuộc nhóm R Khi đó, ta có liên hợp phức 0 là: 0 C0 C1.0 C2 0 Cn1.0 n1 , Ci liên hợp phức Ci ( i = 0, n 1) R _số Theo giả thiết, 0 số thực nên 0 0 (C0 C0 ) (C1 C1 ).0 (C2 C2 ).0 (Cn1 Cn1 ).0 n1 hay nghiệm phương trình bậc (n - 1) R : (C0 C0 ) (C1 C1 ).x (C2 C2 ).x (Cn1 Cn1 ).x n1 Nhưng nghiệm phương trình bất khả qui bậc n : x n K (trong R ) nên theo hệ luận I (phía sau định lí bất khả qui Abel), ta có: C0 C0 C1 C1 C2 C2 Cn1 Cn1 hay Ci Ci , i 0, n 1 Các đại lượng Ci số thực ( i 0, n 1 ) Hơn nữa, có: v C0 C1.v C2.v2 Cn1.vn1 nv C0 C1.nv C2.n2v Cn1.nnv1 Nhưng ( v {1,2,…,n-1} ) v v nv nv n. v v liên hợp phức nên suy (do n1 ) v n v liên hợp phức, tức là: Bùi Vũ Ngọc Nương 34 K30G – Toán Định lí có Abel Khoá luận tốt nghiệp Phương trình f(x) = có nghiệm thực n-1 nghiệm phức liên hợp thành cặp ( 1 Trường hợp : n1 , 2 n2 , ) ( I ) Trong trường hợp này, khả qui có liên hợp phức 0 n K nK Đặt . n K K Rõ ràng số thực Nếu riêng phép n K K (tức ) đủ để làm f(x) khả qui lúc đóng vai trò , ta quay trường hợp 1, ta giả sử f(x) bất khả qui R ( ) trở thành khả qui bổ sung thêm phép Từ 0 C0 C1.0 C2 02 Cn1.0n1 0 C0 C1.0 C2.02 Cn1.0n1 suy ra: C0 C1. C2 Cn1. 0 0 0 n 1 Theo giả thiết, 0 0 nên C0 C1.0 C2 02 Cn1.0n1 C0 C1. C2 Cn1. 0 0 0 Trong phương trình này, ngoại trừ n 1 0 , lại tất đại lượng R ( ), phương trình xn K (theo bổ đề Abel) bất khả qui nhóm này, ta thay 0 phương trình thuộc nhóm nghiệm v phương trình xn K Hơn nữa, lại có : Bùi Vũ Ngọc Nương 35 K30G – Toán Định lí có Abel Khoá luận tốt nghiệp v v v , v v v nên ta : C0 C1.v C2 v Cn1.v n1 = hay C0 C1.v C2 v Cn1.v n1 v v , ( v {1,2,…,n-1} ) Vì vậy, tất nghiệm phương trình f(x) = số thực ( II ) Từ ( I ) ( II ) ta có điều phải chứng minh Như vậy, ta chứng minh xong định lí Kronecker Định lí đồng thời chứng minh phương trình cao bậc bốn thường giải phương pháp đại số Chẳng hạn, ta xét phương trình bậc năm đơn giản: x5 a.x b giải đại số a b số nguyên dương thoả mãn: tồn số nguyên tố p cho a p, b p b p 5 4 a b Thật vậy, a p, b p b p ( a, b nguyên dương; p nguyên tố) , nên theo định lí Schoenemann, phương trình bất khả qui Bùi Vũ Ngọc Nương 36 K30G – Toán Định lí có Abel Khoá luận tốt nghiệp Giả thiết lại cho : 44 a5 55 b4 , mà định lí Sturm chứng minh với điều kiện phương trình cho có ba nghiệm thực hai nghiệm phức Bởi vậy, phương trình cho không giải đại số theo định lí Kronecker Cũng cách này, tương tự ta rằng, phương trình x7 a.x b không giải đại số a b số nguyên dương thoả mãn : tồn số nguyên tố p cho a p, b p b p a 77 b6 , …v v…… Bùi Vũ Ngọc Nương 37 K30G – Toán Khoá luận tốt nghiệp Định lí có Abel Kết luận Trên toàn nội dung đề tài : “Định lí có Abel” Trước tiên, người viết đưa hệ thống lý thuyết định lí, bổ đề bổ trợ làm tiền đề sở cho việc chứng minh định lí Kronecker, thông qua chứng minh định lí có Abel Nói chung, chứng minh khó đọc liên quan tới nhiều kiến thức phức tạp sơ cấp lẫn cao cấp Bởi vậy, khoá luận thực với mong muốn trình bày lại cách tường minh có hệ thống nội dung chứng minh định lí có Abel, số định lí quan trọng toán sơ cấp, qua đó, giúp bạn đọc tiếp cận với định lí cách dễ dàng hơn, để từ sâu vào nghiên cứu lĩnh vực Đại số sơ cấp Hi vọng tài liệu góp ích phần bạn sinh viên quan tâm tới đại số nói riêng toán học nói chung Chắc chắn khoá luận tránh khỏi sai sót, mong nhận đóng góp ý kiến chân thành thầy cô bạn Hà Nội, tháng 05, năm 2008 Sinh viên Bùi Vũ Ngọc Nương Bùi Vũ Ngọc Nương 38 K30G – Toán Khoá luận tốt nghiệp Định lí có Abel Tài liệu tham khảo [1] Ngô Thúc Lanh (1987), Đại số số học - tập 2, 3, NXB GD [2] Nguyễn Tiến Quang (2005), Cơ sở lý thuyết trường lý thuyết Galoa, NXB ĐH Sư phạm [3] 100 toán quan trọng toán sơ cấp, Trung tâm tư vấn xuất bản, NXB Giao thông vận tải, 1999 Bùi Vũ Ngọc Nương 39 K30G – Toán [...]... 17 K30G – Toán Định lí không thể có được của Abel Khoá luận tốt nghiệp Chương 2 định lý không thể có được của abel Chứng minh của định lí không thể có được của Abel được đưa ra dựa trên khá nhiều các định lí, bổ đề khác Do đó, để thuận tiện, trước tiên, ta sẽ dành một phần để trình bày một số kết quả quan trọng bổ trợ cho việc chứng minh định lí này 2.1 Một số định lí bổ trợ 2.1.1 Bổ đề Abel “Cho p là... của Abel Khoá luận tốt nghiệp 2.2 Định lí không thể có được của Abel “Những phương trình cao hơn bậc bốn nói chung không có phép giải đại số” Chứng minh của định lí không thể có được của Abel được trình bày thông qua chứng minh một định lí của nhà toán học người Đức Leopold Kronecker (1823 - 1891): ”Cho phương trình f(x) = 0 bậc n (với n là số nguyên tố lẻ) là giải được một cách đại số và là bất khả... một nghiệm của phương trình (1) Khi Bùi Vũ Ngọc Nương 25 K30G – Toán Định lí không thể có được của Abel Khoá luận tốt nghiệp R ( ) có thể được biểu diễn như một đa thức bậc (n-1) của với các hệ số là các R _số Và cách biểu diễn đó là duy nhất đó, mỗi số của nhóm Chứng minh: là một số của nhóm R ( ) (được xác định bởi phép thế của +) Gọi một nghiệm của phương trình (1) trong R ) Theo định nghĩa... trong R có bậc không lớn hơn (n-1) Định nghĩa 1.3.4: Một phương trình f(x) = 0 bậc n trong nhóm R được gọi là có thể giải được một cách đại số khi nó giải được bằng một loạt căn thức, nghĩa là, khi một nghiệm w có thể xác định theo phương pháp sau: 1 Xác định = a R là căn bậc a của một không là luỹ thừa a của một R _số R, tuy nhiên đó R _số, và phép thế vào trong R , sao cho nhóm A = R ( ) được. .. Cơ số K của căn khả qui là số thực Bùi Vũ Ngọc Nương 33 K30G – Toán Khoá luận tốt nghiệp Định lí không thể có được của Abel Trường hợp 2: Cơ số K của căn khả qui là số phức Trường hợp 1: ở đây, ta có thể giả định rằng là số thực, vì là căn bậc n của đơn vị thuộc nhóm R Khi đó, ta có liên hợp phức của 0 là: 0 C0 C1.0 C2 0 2 Cn1.0 n1 , trong đó các Ci là các liên hợp phức của Ci... dẫn đến một nhóm mà w, là căn tìm được, thuộc vào nhóm đó và trong đó f(x) trở thành khả qui ( vì f(x) có ước số (x-w)) ở Bùi Vũ Ngọc Nương 15 K30G – Toán Khoá luận tốt nghiệp Định lí không thể có được của Abel đây giả định rằng tất cả các số mũ căn a,b,c… là các số nguyên tố Điều này không thể hiện sự hạn chế vì bất kì sự khai căn nào với các số mũ là hợp số đều có thể được thu gọn tới khai căn liên... ’ = R ( , , ) ra bởi phép thế của các đại lượng , , trong nhóm được tạo R được hiểu là tổng của tất cả các hàm hữu tỷ , , mà các hệ số của nó là R _ số Trường hợp chung nhất của phép thế trong một nhóm R bao gồm phép thế của một nghiệm của một phương trình bất khả qui bậc n : Bùi Vũ Ngọc Nương 14 K30G – Toán Định lí không thể có được của Abel Khoá luận tốt nghiệp f ( x) xn... ( m s ) 23 K30G – Toán Khoá luận tốt nghiệp Định lí không thể có được của Abel Ví dụ, mỗi số tự nhiên đều là tổng của nhiều nhất 4 số bình phương, hoặc 9 số lập phương hoặc 19 số hạng luỹ thừa bốn Định lí này được chứng minh đầy đủ bởi Hilbert vào năm 1909, và sau này được biết đến với tên gọi là định lí Hilbert- Waring 2.1.6 Định lí bất khả qui của Abel Đa thức khả qui và bất khả qui khi đặt trong... đều có thể chia hết cho f(x) không có hàm dư Do f(x) bất khả qui trong chính nó R ( x) f ( x ) ( x) f v ( x ) nên f không có ước số nào ngoài ( v p ) deg ( x) deg f ( x) deg ( x)deg f v ( x) hay Từ trên ta có : m.q p n.q v p mq p nq p nhưng do m, n < p , p là số nguyên tố, nên suy ra q p Bùi Vũ Ngọc Nương 29 K30G – Toán Định lí không thể có được của Abel. .. đa thức khả qui có thể được phân tích thành tích của hữu hạn các đa thức bất khả qui Tất cả các định lí có liên quan được trình bày ở đây đều dựa trên định lí bất khả qui của Abel hay còn gọi là định lí cơ bản của các hàm bất khả qui sau: “Cho phương trình f ( x) a0 a1.x an1.xn1 xn (1) bất khả qui trong R Nếu một nghiệm của phương trình bất khả qui (1) cũng là một nghiệm của phương trình ... x qua điểm không f(x), chuỗi có thay đổi dấu Bùi Vũ Ngọc Nương 17 K30G – Toán Định lí có Abel Khoá luận tốt nghiệp Chương định lý có abel Chứng minh định lí có Abel đưa dựa nhiều định lí, bổ... tốt nghiệp Định lí có Abel nghiệm Cũng từ trở đi, lý thuyết phương trình không đóng vai trò chủ đạo môn Đại số mà đối tượng phân môn nhóm, vành, trường, Có thể nói, định lí có Abel định lí quan... tốt nghiệp Định lí có Abel Kết luận Trên toàn nội dung đề tài : Định lí có Abel Trước tiên, người viết đưa hệ thống lý thuyết định lí, bổ đề bổ trợ làm tiền đề sở cho việc chứng minh định lí
Ngày đăng: 31/10/2015, 08:07
Xem thêm: Định lý không thể có được của abel
