Thông tin tài liệu
Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Phương – K29B Toán Lời nói đầu Lượng giác vấn đề quan trọng Toán học, việc vận dụng hệ thức lượng giác tam giác để đưa chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác tam giác giữ vai trò đặc biệt giải toán lượng giác Định lý côsin định lý sin tam giác hai hệ thức quan trọng, công cụ có hiệu lực để giải công việc Học sinh rèn luyện nhiều toán chứng minh đẳng thức, bất dẳng thức lượng giác không giúp cho họ hiểu rõ ứng dụng định lý tính toán thực tế mà giúp họ luyện tập kĩ giải toán lượng giác Để góp phần làm rõ tính ưu việt hai định lý việc giải toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác điều kiện có điều kiện với mong muốn thân nắm sâu kiến thức lượng giác bậc THPT để sau trường dạy học tốt Mặt khác, với mong muốn giúp em học sinh không đào sâu kiến thức, mà thấy vai trò quan trọng kiến thức lượng giác Toán học Chính lí kể trên, hướng dẫn thầy giáo Phan Hồng Trường, em nhận đề tài: “Định lý côsin định lý sin tam giác” làm khoá luận tốt nghiệp cho Trong khoá luận này, em xin trình bày số vấn đề quan trọng sau đây: Chương I: Một số kiến thức cần thiết Chương II: Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác điều kiện Chương III: Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác có điều kiện Khoá luận tốt nghiệp hoàn thành thời gian ngắn nên khó tránh khỏi khiếm khuyết sai sót Kính mong góp ý, trao đổi thầy, cô giáo toàn thể bạn sinh viên khoa để khoá luận hoàn thiện đến với bạn đọc Hà Nội, tháng 05 năm 2007 Sinh viên thực Đỗ Thị Phương Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Phương – K29B Toán Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Khoá luận công trình nghiên cứu riêng Trong trình nghiên cứu, kế thừa, vận dụng thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Những kết nêu khoá luận chưa công bố công trình khác Hà Nội, tháng 05 năm 2007 Tác giả Đỗ Thị Phương Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Phương – K29B Toán Các kí hiệu dùng khoá luận Trong tam giác ABC, ta kí hiệu: a, b, c: độ dài cạnh tam giác (a = BC, b = CA, c = AB); A, B, C: ba góc đỉnh A, B, C tam giác; ha, hb, hc: độ dài đường cao tương ứng tam giác kẻ từ đỉnh A, B, C; ma, mb, mc: độ dài đường trung tuyến tam giác kẻ từ đỉnh A, B, C; la, lb, lc: độ dài đường phân giác góc A, B, C tương ứng; R, r: bán kính đường ngoại tiếp nội tiếp tam giác; ra, rb, rc: bán kính bàng tiếp góc A, B, C tương ứng; S: diện tích tam giác; abc p: nửa chu vi tam giác p Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Phương – K29B Toán Mục lục Trang Lời nói đầu Lời cam đoan Các kí hiệu dùng khoá luận Chương I: Một số kiến thức cần thiết Chương II: Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác điều kiện 10 I Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác điều kiện II Giải toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác điều kiện nhờ sử dụng định lý côsin, định lý sin định lý côsin mở rộng tam giác III Một số ví dụ IV Bài tập đề nghị 10 10 11 32 Chương III: Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác có điều kiện I Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác có điều kiện II Giải toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác có điều kiện nhờ sử dụng định lý côsin, định lý sin định lý côsin mở rộng tam giác III Một số ví dụ IV Bài tập đề nghị 35 36 45 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 50 35 35 Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Phương – K29B Toán Chương I: Một số kiến thức cần thiết I Định lý côsin tam giác: Định lý: Với ABC, ta có: a2 = b2 + c2 – 2bccosA; b2 = a2 + c2 – 2accosB; c2 = a2 + b2 – 2bccosC; Hệ quả: b2 c a ; cos A 2bc cos B a c b2 ; 2ac cos C a b2 c ; 2ab II Định lý sin tam giác: Với ABC, ta có: a b c 2R sin A sin B sin C III Định lý côsin mở rộng: Trong ABC bất kì, ta có: b2 c a ; cot gA 4S cot gB a c2 b2 ; 4S cot gC a b2 c ; 4S Chứng minh: Theo định lý côsin, ta có: a2 = b2 + c2 – 2bccosA = b2 + c2 – 2bcsinA.cotgA(*) Ta lại có: S bc sin A sin A 2S thay vào (*) ta được: bc Khoá luận tốt nghiệp a b2 c 2bc Đỗ Thị Phương – K29B Toán b2 c a 2S cot gA cot gA 4S bc a c2 b2 Chứng minh tương tự, ta được: cot gB 4S cot gC a b2 c 4S IV Một số kiến thức quan trọng khác: Công thức diện tích tam giác: 1 S aha bhb chc ; 2 1 S ab sin C acsinB bc sin A; 2 abc ; 4R S pr ; S S p( p a)( p b)( p c) : Công thức Hê-rông; S ( p a)ra ( p b)rb ( p c)rc ; Công thức bán kính đường tròn: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác: S Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác: r abc a b c R 2sin A 2sin B 2sin C S A B C ( p a)tg ( p b)tg ( p c)tg p 2 Bán kính đường tròn bàng tiếp tam giác: S A ptg ; pa rb S B ptg ; p b rc S C ptg ; pc Công thức trung tuyến tam giác: b2 c a ma ; Khoá luận tốt nghiệp mb Đỗ Thị Phương – K29B Toán a c2 b2 ; a b2 c mc ; Công thức phân giác tam giác: la 2bc A bc cos = bc bc p ( p a ); lb 2ac B ac cos = ac ac p( p b); lc 2ab C ab cos = ab ab p ( p c); Một số đẳng thức lượng giác tam giác: a, sinA + sinB + sinC = 4cos A B C cos cos 2 b, sin2A + sin2B + sin2C = sinA sinB sinC c, cosA + cosB + cosC = + sin A B C sin sin 2 (1) (2) (3) d, cos2A + cos2B + cos2C = -1 - cosA cosB cosC (4) e, tgA + tgB + tgC = tgA tgB tgC ( ABC không vuông) f, cotgA cotgB + cotgB cotgC + cotgC cotgA = (5) (6) g, cotg h, tg A B C A B C + cotg + cotg = cotg cotg cotg 2 2 2 A B B C C A tg + tg tg + tg tg = 2 2 2 (7) (8) Chứng minh: A B A B cos + sinC 2 a, Ta có: sinA + sinB + sinC = 2sin = 2cos C A B C C cos + sin cos 2 2 C = 2cos ( cos = cos A B A B + cos ) 2 C A B cos cos 2 Vậy công thức (1) b, Ta có: sin2A + sin2B + sin2C = 2sin(A+B) cos(A-B) + 2sinC cosC Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Phương – K29B Toán = 2sinC cos(A-B) - 2sinC cos(A+B) = 2sinC[cos(A-B) - cos(A+B)] = sinC sinA sinB Vậy công thức (2) c, Ta có: cosA + cosB + cosC = 2cos = 2sin A B A B cos + cosC 2 C A B C cos + 1-2sin2 2 = + 2sin C A B A B [cos - cos ] 2 = + sin C A B sin sin 2 Vậy công thức (3) d, Ta có: cos2A + cos2B + cos2C = 2cos(A+B) cos(A-B) + 2cos2C – = -2cosC cos(A-B) – cosC cos(A+B) – = -1 – 2cosC[cos(A-B) + cos(A+B)] = -1 - cosA cosB cosC Vậy công thức (4) e, Ta có: A + B + C = A + B = -C tg(A+B) = tg( -C) tg(A+B) = -tgC tgA tgB tgC tgAtgB tgA + tgB = -tgC + tgAtgBtgC tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC Vậy công thức (5) f, Chứng minh tương tự công thức (5) g, Ta có: A, B, C góc ABC Khi đó: A B C 3 A B C ( )( )( ) 2 2 2 Hay 3 2 A B C , , góc ABC 2 2 Từ (5) ta có: tg( A B C A B C ) + tg ( ) + tg ( ) = tg( ) tg ( ) tg ( ) 2 2 2 2 2 Khoá luận tốt nghiệp cotg Đỗ Thị Phương – K29B Toán A B C A B C + cotg + cotg = cotg cotg cotg 2 2 2 Vậy công thức (7) chứng minh h, Chứng minh tương tự công thức (7), từ công thức (6) ta suy công thức (8) Một số bất đẳng thức lượng giác tam giác: a, sinA + sinB + sinC 3 b, 1< cosA + cosB + cosC c, cos (9) (10) A B C + cos + cos 2 2 d, < sin (11) A B C + sin + sin 2 2 (12) e, cotgA + cotgB + cotgC f, tg A B C + tg + tg 2 (13) (14) g, cotg2A + cotg2B + cotg2C (15) A B C + tg2 + tg2 2 (16) h, tg2 Chứng minh: a, Ta có: C C A B A B cos sinA + sinB + sinC + sin = 2sin cos + 2sin 2 2 C C A B A B = 2sin cos +2sin ( ) cos ( ) 6 2 C A B 2sin +2sin ( ) (vì < cos A B 1và ( sin , sin , sin >0) 2 2 2 3 A B A B C 2cos cos + 1-2sin2 2 2 4sin2 C C A B -4sin cos +1 0 2 (2sin C A B A B : -cos ) + sin2 2 Vậy bất đẳng thức (10) c, Bất đẳng thức (11) suy từ (9) d, Bất đẳng thức (12) suy từ (10) e, Ta có: cotgA + cotgB + cotgC (cotgA + cotgB + cotgC)2 cotg2A + cotg2B + cotg2C + 2(cotgA cotgB + cotgB cotgC + cotgC cotgA) 3 cotg2A + cotg2B + cotg2C + cotg2A + cotg2B + cotg2C -1 cotg2A + cotg2B + cotg2C -(cotgA cotgB + cotgB cotgC + cotgC cotgA) (cotgA -cotgB)2 + (cotgB – cotgC)2 + (cotgC – cotgA)2 0: Vậy bất đẳng thức (13) Các bất đẳng thức lại suy từ (13) Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Phương – K29B Toán A B A B C C c s 2sin c s 2 2 sin A sin B C A B A B 2c s c s c s 2 2 sin A sin B C A B 2c s 2sin sin 2 A A B B 2sin co s 2sin co s 2 2 2sin A B A B co s co s 2 A B B A sin co s 2sin co s 2 2 A B co s co s 2 A B tg tg 2 sin Như vậy: tg A B abc tg 2 hc Mà theo giả thiết: tg (1) A B tg (2) 2 Từ (1) (2) suy ra: abc = a b c hc (đpcm) hc Ví dụ 3: Chứng minh tam giác ABC thoả mãn: 2cot gA cot gB cot gC góc A tam giác thoả mãn: A 600 Giải áp dụng định lý côsin mở rộng cho ABC , ta có: cot gA b2 c a a c2 b2 a b2 c ; cot gB ; cot gC 4S 4S 4S Do đó, theo giả thiết ta có: 2cot gA cot gB cot gC Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Phương – K29B Toán b2 c a a c b2 a b2 c 4S 4S 4S 2a b c a b2 c2 a a 2bcc sA (vì theo định lý côsin ABC : b2 c a 2bcc sA ) c sA a2 2bc Theo bất đẳng thức Côsi, ta có: b c 2bc nên: c sA a2 a2 a2 2 2 2bc b c 2a 2 Như vậy: c sA A 600 b c ABC tam giác 2 cot gA cot gB cot gC Dấu “ = ” xảy Sau đây, xét số toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác mà điều kiện cho trước cho dạng hệ thức đại số: Ví dụ 4: Cho ABC thoả mãn điều kiện: a b2 c 4R Chứng minh rằng: tgA.tgB tg 2C tgA.tgB Giải Theo định lý sin ABC , ta có: a R sin A, b R sin B, c R sin C Do đó: a b2 c R (sin A sin B sin C ) Mà theo giả thiết: a b2 c 4R Từ (1) (2) suy ra: sin A sin B sin C sin A sin B sin C c s A c s B sin C 2 (c s A c s B) sin C c s ( A B).c s( A B) sin C c sC.c s( A B) sin C (1) (2) Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Phương – K29B Toán c s( A B) sin C sin C c sC c s( A B) tgC sin( A B) c sAc sB sin A sin B tgC sin Ac sB sin Bc sA Chia tử mẵu vế trái đẳng thức trên, ta được: tgAtgB tgC tgA tgB (3) Ta lại có: tgA tgB sin A sin B sin Ac sB sin Bc sA sin( A B) c sA c sB c sAc sB c sAc sB sin C c sAc sB sin Cc sC c sAc sBc sC c s( A B) tgC c sAc sB sin A sin B c sAc sB tgC c sAc sB tgC (tgAtgB 1) Như vậy, ta có: tgA tgB tgC (tgAtgB 1) thay vào (3) ta được: tgAtgB tgAtgB tgC tg 2C (đpcm) tgC (tgAtgB 1) tgAtgB Ví dụ 5: Cho ABC thoả mãn điều kiện: c mb Chứng minh rằng: b mc 2cot gA cot gB cot gC Giải Theo công thức trung tuyến, ta có: 2(a c ) b mb 2(a c ) b mc 2(a b ) c 2(a b ) c Do đó, từ giả thiết ta có: c mb c2 m c 2(a c ) b b2 b mc b mc b 2(a b ) c Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Phương – K29B Toán 2a 2c 2b2c c 2a 2b 2b 2c b 2a (c b2 ) (c b )(c b2 ) Vì (1) c c b2 nên từ (1) suy ra: b a (c b ) 2(b2 c a ) (a c b2 ) (a b c ) 2(b2 c a ) a c b2 a b c 4S 4S 4S (2) Theo định lý côsin mở rộng ABC , ta có: cot gA b2 c a a c2 b2 a b2 c ; cot gB ; cot gC 4S 4S 4S Kết hợp với (2), ta có: 2cot gA cot gB cot gC (đpcm) Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có diện tích S thoả mãn điều kiện: S (c a b)(c b a) Chứng minh rằng: tgC 15 Giải Theo giả thiết ta có: abc a b c S (c a b)(c b a ) b a 4( p a )( p c) 2 S 16( p a)2 ( p b2 ) (1) Theo công thức Hê-rông, ta lại có: S p( p a)( p b)( p c) S p( p a)( p b)( p c) (2) Từ (1) (2) suy ra: ( p a)( p b) p( p c) 16 (3) Mặt khác, theo định lý côsin tam giác ta có: C a b2 c c (a b)2 (b c a)(a c b) ( p a)( p b) 2sin c sC 2 2ab 2ab 2ab ab Khoá luận tốt nghiệp 2co s2 Đỗ Thị Phương – K29B Toán C a b2 c (a b)2 c (a b c)(a b c) p ( p c) c sC 2 2ab 2ab 2ab ab Do đó: tg C ( p a)( p b) p ( p c) (4) Từ (3) (4) suy ra: tg C C tg 16 Vì vậy, ta có: C 2 (đpcm) tgC C 15 tg 1 16 2tg Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có góc thoả mãn điều kiện: A 3B Chứng minh cạnh tam giác thoả mãn: a b c Giải Ta có: 3B 3B A sin A c s A B 2 A B C C B sin C c s B 2 Theo định lý sin tam giác, ta có: a b c sinA sin B sin C a b c 3B sin B B c s c s 2 a b c B B B B B 4c s 3c s 2sin cos c s 2 2 a b c B B 4c s 2sin 2 Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Phương – K29B Toán ab c (theo tính chất dãy tỉ số nhau) B B 4c s 2sin 2 a b c(4cos B B 2sin ) 2 5 B 1 a b c 2sin c 2 Vậy ta có: a b c (đpcm) Nhận xét: Ngoài ra, điều kiện cho trước toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức có điều kiện cho dạng cấp số cộng hay cấp số nhân Cụ thể, ta xét ví dụ sau đây: Ví dụ 8: Ba cạnh a, b, c tam giác ABC theo thứ tự lập thành cấp số cộng Chứng minh tam giác thoả mãn hệ thức sau: a, cos AC 2sin B b, 2sin A.sin C (1 cos B) 3sin B Giải Ta có: a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng (giả thiết) Suy ra: a + c = 2b (1) a, Theo định lý sin ABC , ta có: a R sin A, b R sin B, c R sin C Do đó: (1) R(sin A sin C ) R sin B AC AC cos 2sin B 2 B AC B B cos cos 2sin cos 2 2 2sin cos AC B 2sin 2 b, Ta có: (1) (a c)2 4b (a c) b 3b a c b2 2ac 3b2 (2) Theo định lý côsin ABC , ta có: Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Phương – K29B Toán a c b2 2ac cos B Theo định lý sin ABC , ta có: a R sin A, b R sin B, c R sin C Do đó, từ (2) suy ra: 2ac cos B 2ac 3b 2ac(1 cos B ) 3b 2.4 R sin AsinC (1 cos B ) 3.4 R sin B 2sin A sin C (1 cos B) 3sin B (đpcm) Ví dụ 9: Chứng minh tam giác ABC có sin2A, sin2B, sin2C theo thứ tự lập thành cấp số cộng B Giải Ta có: sin2A, sin2B, sin2C theo thứ tự lập thành cấp số cộng (theo giả thiết) Suy ra: sin A sin C 2sin B (1) Theo định lý sin ABC , ta có: sin A a b c ,sin B ,sin C 2R 2R 2R Do đó, từ (1) suy ra: a c 2b2 a c b2 b2 2acocsB b2 (vì theo định lý côsin tam giác có: a c b2 2acocsB ) b2 cos B 2ac (2) Mà theo bất đẳng thức Côsi, ta có: a c 2ac nên từ (2): cos B b2 b2 b2 2 2 2ac a c 2b Như vậy, ta có: cos B B (đpcm) Ví dụ 10: Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q = Chứng minh rằng: Khoá luận tốt nghiệp a, Đỗ Thị Phương – K29B Toán 1 a b c b, a b2 c R Giải Vì A, B, C ba góc tam giác ABC theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q = nên ta có: A A B C 2 B B A C A 4 C Theo định lý sin ABC , ta có: 1 1 1 , , a R sin b R sin 2 c R sin 4 7 a, Ta có: 1 1 b c R sin 2 sin 4 7 4 2 3 2sin cos sin sin 7 R sin R 2sin co s sin( 4 ) sin 7 7 R sin Như vậy, ta có: 1 a b c b, Ta có: a b2 c 4R (sin R (1 cos sin 2 4 sin ) 7 2 4 8 cos cos ) 7 2 4 6 R 3 cos cos cos 7 (vì cos Ta tính tổng: S cos (1) 8 8 6 cos(2 ) cos ) 7 2 4 6 cos cos 7 (2) a Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Phương – K29B Toán Nhân hai vế (2) với sin 2sin 2sin S sin S sin 7 ta được: 2 4 6 sin cos sin cos 7 7 3 5 3 5 sin sin sin sin sin 7 7 2sin Từ suy ra: S cos S sin thay vào (1) ta được: a b2 c R (đpcm) IV Bài tập đề nghị: Bài Cho tam giác ABC thoả mãn điều kiện: tg A B tg 2 Chứng minh rằng: c (a b) Bài Cho tam giác ABC có: a b4 c Chứng minh tam giác ABC tam giác nhọn thoả mãn: tgBtgC 2sin A Bài Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức: sin B ac 2a Chứng minh rằng: a b2 c Bài Cho ABC tam giác có góc thoả mãn: cot gC 2(cot gA cot gB) Chứng minh rằng: tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM, BN vuông góc với Bài Chứng minh tam giác ABC thoả mãn điều kiện sau: a cot gA sin A c b (với b c ) ta có: A + B = C Bài Cho tam giác ABC có góc thoả mãn hệ thức: Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Phương – K29B Toán cos A cos B cot g A cot g B 2 sin A sin B Chứng minh rằng: sinA = sinB Bài Các cạnh góc tam giác ABC thoả mãn điều kiện: cos B 2a c sin B 4a c Chứng minh rằng: a = b Bài Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức: atgB btgA (a b)tg A B Chứng minh rằng: A = B Bài Chứng minh tam giác ABC thoả mãn điều kiện: a sin B b2 sin A c cot g C ta có: cos(A – B) =1 Bài 10 Tam giác ABC có góc thoả mãn: 5sin A cos B cos 2C Chứng minh rằng: sin A AGB C 1800 Bài 11 Cho tam giác ABC với trọng tâm G thoả mãn: Chứng minh rằng: a b2 2c Bài 12 Cho tam giác ABC thoả mãn điều kiện: ma c Chứng minh rằng: sin A 2sin( B C ) Bài 13 Với ABC tam giác không vuông thoả mãn: mc R Chứng minh rằng: 3tgAtgB 1 Bài 14 Chứng minh tam giác ABC B = 2C ta có: a, b2 ac c b, r (b c)sin C Bài 15 Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức: rc r rb Chứng minh rằng: tg C Bài 16 Ba cạnh a, b, c tam giác ABC theo thứ tự lập thành cấp số cộng Chứng minh rằng: Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Phương – K29B Toán a, tg A C tg 2 b, sin A sin C 3sin Bài 17 Cho tam giác ABC có tg cộng Chứng minh rằng: 2cos B A B C , tg , tg theo thứ tự lập thành cấp số 2 B AC cos 2 Bài 18 Chứng minh tam giác ABC cotgA, cotgB, cotgC theo thứ tự lập thành cấp số cộng ta có hệ thức: 2b2 a c Bài 19 Chứng minh ba cạnh a, b, c tam giác ABC theo thứ tự lập thành cấp số cộng góc B thoả mãn: B Bài 20 Các góc A, B, C tam giác ABC theo thứ tự lập thành cấp số nhân Chứng minh rằng: a, bc a(a b) b, bc c a b a c, cos A cos B cos C Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Phương – K29B Toán Kết luận Giải toán lượng giác vấn đề phong phú đa dạng chương trình Toán nhà trường phổ thông Một phần giữ vai trò đặc biệt quan trọng chủ đề hệ thức lượng tam giác Việc chứng minh đẳng thức bất đẳng thức lượng giác biểu thị mối liên hệ yếu tố tam giác công việc hay khó học sinh phổ thông Tuy nhiên, em biết vận dụng linh hoạt sáng tạo kiến thức học lượng giác công việc trở nên đơn giản Một công cụ có hiệu trợ giúp đắc lực cho việc chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác tam giác hai định lý côsin định lý sin Chính vậy, sau nghiên cứu hoàn thành khoá luận tốt nghiệp này, em xin nêu lên vài suy nghĩ thân việc dạy học định lý côsin định lý sin tam giác cho học sinh lớp 10 sau: 1) Cần tạo điều kiện cho học sinh tiếp cận với nhiều tài liệu tham khảo việc sử dụng định lý côsin định lý sin tam giác để giải toán với nhiều dạng tập phân loại từ mức độ dễ đến mức độ khó 2) Về việc xây dựng hệ thống tập sách giáo khoa Hình học 10: Số lượng tập củng cố cho học sinh hai định lý tương đối nhiều, nhiên dừng lại tập tính toán yếu tố tam giác, toán chứng minh đẳng thức bất đẳng thức lượng giác tam giác chưa có Cần phải bổ xung thêm số toán chứng minh hệ thức lượng tam giác vào hệ thống tập để học sinh thấy vai trò quan trọng hai định lý giải toán lượng giác 3) Về việc giảng dạy hai định lý côsin định lý sin Hình học 10: Khi giảng dạy tiết lý thuyết hai định lý này, giáo viên cần nhấn mạnh mối liên hệ yếu tố tam giác thể hai định lý để học sinh nắm nội dung định lý đưa hệ thống ví dụ (bao gồm ví dụ tính toán yếu tố tam giác ví dụ chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác tam giác) để học sinh biết vận dụng định lý vào giải toán thấy ứng dụng hai định lý thực tế Trên ý kiến riêng em vấn đề quan tâm việc giảng dạy định lý côsin định lý sin tam giác cho học sinh lớp 10 Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Phương – K29B Toán Để góp phần làm rõ tính ưu việt hai định lý côsin định lý sin tam giác, khoá luận đưa hệ thống ví dụ với hệ thống tập hai lớp toán: toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác điều kiện toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác có điều kiện Với khoá luận nhỏ em, em mong giúp đỡ phần bạn sinh viên, đặc biệt sinh viên trường có thêm tài liệu tham khảo bổ ích cho việc nghiên cứu giảng dạy nội dung lượng giác tốt Đồng thời, tài liệu giúp em học sinh nắm kiến thức hơn, có cách nhìn mới, phương pháp tư sâu, rộng trình em giải toán Mặc dù cố gắng nhiều, song bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học khả tổng kết kinh nghiệm thân hạn chế nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Kính mong bảo, đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên để khoá luận tốt nghiệp em hoàn thiện hơn, có giá trị thực tiễn Cuối cùng, cho phép em bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc thầy giáo Phan Hồng Trường, người động viên, bảo tận tình giúp đỡ em hoàn thành khoá luận Đồng thời, em xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán, đặc biệt thầy cô giáo tổ Hình học toàn thể bạn sinh viên khoa đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho khoá luận em Hà Nội, tháng 05 năm 2007 Sinh viên thực hiện: Đỗ Thị Phương Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Phương – K29B Toán Tài liệu tham khảo 1) Phan Huy Khải (2005) Toán nâng cao lượng giác THPT – NXB Hà Nội 2) Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải, Đào Ngọc Nam, Lê Tất Tôn (1996) Toán bồi dưỡng học sinh hình học 10 – NXB Hà Nội 3) Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải, Đào Ngọc Nam, Lê Tất Tôn (1996) Toán bồi dưỡng học sinh PTTH lượng giác – NXB Hà Nội 4) Trần Thành Minh, Trần Quang Nghĩa, Nguyễn Quốc, Nguyễn Anh Trường (2001) Giải toán hình học 10 – NXB Giáo dục 5) Trần Thành Minh, Trần Quang Nghĩa, Lâm Văn Triệu, Dương Quốc Tuấn (2001) Giải toán lượng giác – NXB Giáo dục 6) Lê Quang ánh, Nguyễn Thành Dũng, Trần Thái Hùng, Phạm Tấn Phước (1998) Giải đề thi tuyển sinh đại học chuyên đề lượng giác – NXB TPHCM 7) Nguyễn Ngọc Thu (2001) Tuyển tập chuyên đề lượng giác – NXB Trẻ 8) Phan Huy Khải (1998) Tuyển chọn toán lượng giác (Tập 1) – NXB Giáo dục 9) Võ Đại Mau (1999) Phân loại phương pháp giải toán lượng giác – NXB Trẻ 10) Hội toán học Việt Nam (2003) Tuyển tập năm tạp chí Toán học tuổi trẻ (1991 – 1995) – NXB Giáo dục Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Phương – K29B Toán [...]... vừa xét ở trên cho chúng ta thấy hiệu lực của các định lý c sin, định lý sin và định lý c sin mở rộng trong tam giác đối với việc chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác Việc sử dụng các định lý này trong chứng minh giúp cho ta có một lời giải ngắn gọn, đơn giản và dễ hiểu Đối với các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác thì việc sử dụng các định lý này để chứng minh cũng có hiệu quả tương tự Chúng... dụng định lý sin trong tam giác kết hợp với các phép biến đổi lượng giác như sau: áp dụng định lý sin trong MAB , ta có: MB AB AB AB sin sin AMB sin( B) sin B MB AB .sin sin B (4) Lại áp dụng cho MBC , ta có: MB BC MB BC sin( C ) sin( C ) sin MCB sin BMC MB BC .sin( C ) sin C (5) Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Phương – K29B Toán AB .sin BC .sin( C ) sin B sin. .. b, Theo định lý sin trong ABC , ta có: a 2 RsinA; b 2 R sin B; c 2 R sin C Do đó: BĐT (2) 2 R sin Ac sA 2 R sin Bc sB 2 R sin Cc sC 1 2 R (sin A sin B sin C ) 2 sin 2 A sin 2 B sin 2C 1 2 (sin A sin B sin C ) 2 4sin A .sin B .sin C 1 A B C 2 8c s c s c s 2 2 2 A B C 1 sin sin sin 2 2 2 8 A B C BC 4sin c s c s 1 2 2 2 A B C A sin ... nghiệp Đỗ Thị Phương – K29B Toán AB .sin BC .sin( C ) sin B sin C Từ (4) và (5) suy ra: sin( C ) c sin C sin asinB (6) Theo định lý sin cho ABC , ta có: a c c sin C sin A sin C a sin A Do đó: (6) sin C.c s sin c sC sin 2 C sin sin A sin B sin C.c s sin c sC sin( A B) sin sin C sin A sin B cot g cot gC cot gA cot gB cot g cot gA cot gB cot... không chỉ có hai định lý c sin và định lý sin trong tam giác mới là công cụ có hiệu quả cao trong việc chứng minh các hệ thức lượng giác mà hiệu quả của định lý c sin mở rộng cũng vô cùng to lớn Để minh hoạ cho nhận định trên, ta xét tiếp ví dụ sau đây: Ví dụ 11: Cho ABC và AM, BN, CP là các đường trung tuyến của tam giác, G là AMB , AGB Chứng minh rằng: trọng tâm của tam giác Đặt a, 2... tốt nghiệp Đỗ Thị Phương – K29B Toán cot gA 2 2 3c s sin Bài 13 Cho ABC Chứng minh rằng: a, c 2 sin 2 A a 2 sin 2C b2 cot g B 2 b, 2 (sin A sin 2 A sin B sin 2 B sin C sin 2C ) (sin A sin B sin C) (sin 2 A sin 2B sin 2C ) r c, sin A sin B sin B sin C sin C sin A 9 R 2 Bài 14 Chứng minh rằng, với mọi tam giác ABC ta có: c s 2 A c s 2 B c s 2C a 2 b 2 c... chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác không có điều kiện nhờ sử dụng định lý c sin, định lý sin và định lý c sin mở rộng trong tam giác: Nếu trong các đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác cần chứng minh có các cạnh hay các hàm số lượng giác của các góc thì ta sử dụng các định lý đó để biến đổi các biểu thức đã cho thành các biểu thức chỉ có hàm số lượng giác của các góc (hay chỉ có các cạnh) để... giữa các cạnh và các hàm số lượng giác của các góc trong một tam giác bằng việc sử dụng trực tiếp định lý c sin và định lý sin trong tam giác Ví dụ 1: Cho ABC Chứng minh các hệ thức sau: a, 2abc(cosA + cosB) = (a + b) (c + b – a) (c + b – a) b, (a – b) cotg c, C B A + (c – a) cotg + (b – c) cotg = 0 2 2 2 tgA c 2 a 2 b 2 tgB c 2 b 2 a 2 (1) (2) (3) Giải a, áp dụng định lý c sin trong ABC... BC 2 = r B C sin sin 2 2 A sin c s = r sin A 2 B C sin 2 2 I B J C Khoá luận tốt nghiệp Từ đó suy ra: r Đỗ Thị Phương – K29B Toán B C sin 2 2 A c s 2 asin (3) áp dụng định lý sin trong ABC , ta có: a = 2RsinA = 4 R sin r 4 R sin A A c s thay vào (3) ta được: 2 2 A A B C c s sin sin 2 2 2 2 hay r 4 R sin A sin B sin C A 2 2 2 c s 2 Vậy (1) được chứng minh b, Xét v BIJ có: sin B IJ 2 IB... 2 1 A sin 2 2 1 = S( sin 2 Ta lại có: VT (2) = bc cotg = A 2 A 2 1 B sin 2 2 1 sin 2 rc s B 2R sin B sin 2 1 C sin 2 rc s C 2R sin C sin 2 ) 1 sin 2 C 2 ) A B C + ac cotg + ab cotg 2 2 2 2S A 2S B 2S C cot g cot g cot g sin A 2 sin B 2 sin C 2 = S( 1 A sin 2 2 1 B sin 2 2 1 C sin 2 ) 2 Ta thấy rằng: VT (2) = VP (2) Như vậy, (2) đúng c, Theo định lý c sin trong ABC , ta có: cos ... rằng: a, c sin A a sin 2C b2 cot g B b, 2 (sin A sin A sin B sin B sin C sin 2C ) (sin A sin B sin C) (sin A sin 2B sin 2C ) r c, sin A sin B sin B sin C sin C sin A ... lượng giác tam giác hai định lý c sin định lý sin Chính vậy, sau nghiên cứu hoàn thành khoá luận tốt nghiệp này, em xin nêu lên vài suy nghĩ thân việc dạy học định lý c sin định lý sin tam giác. .. c sin C sin asinB (6) Theo định lý sin cho ABC , ta có: a c c sin C sin A sin C a sin A Do đó: (6) sin C.c s sin c sC sin C sin sin A sin B sin C.c s sin c sC sin(
Ngày đăng: 31/10/2015, 08:07
Xem thêm: Định lý côsin và định lý sin trong tam giác
