Định lý côsin và định lý sin trong tam giác

Lời nói đầu Lượng giác là một trong những vấn đề rất quan trọng của Toán học, việc vận dụng các hệ thức lượng giác trong tam giác để đưa ra và chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức lượ

Lời nói đầu

Lượng giác là một trong những vấn đề rất quan trọng của Toán học, việc vận dụng các hệ thức lượng giác trong tam giác để đưa ra và chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác trong tam giác giữ vai trò đặc biệt trong giải toán lượng giác Định lý côsin và định lý sin trong tam giác là hai

hệ thức quan trọng, là công cụ rất có hiệu lực để giải quyết công việc đó Học sinh được rèn luyện nhiều về các bài toán chứng minh các đẳng thức, bất dẳng thức lượng giác không chỉ giúp cho họ hiểu rõ hơn những ứng dụng của các định lý này trong tính toán cũng như trong thực tế mà còn giúp họ luyện tập các kĩ năng giải toán lượng giác

Để góp phần làm rõ tính ưu việt của hai định lý này trong việc giải các bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác không có điều kiện

và có điều kiện cũng như với mong muốn của bản thân được nắm chắc và sâu hơn về kiến thức lượng giác ở bậc THPT để sau này ra trường dạy học được tốt hơn Mặt khác, với mong muốn giúp các em học sinh không chỉ đào sâu kiến thức, mà còn thấy được vai trò hết sức quan trọng của kiến thức lượng giác trong Toán học Chính vì những lí do kể trên, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Phan Hồng Trường, em đã nhận đề tài: “Định lý côsin và định

lý sin trong tam giác” làm khoá luận tốt nghiệp cho mình

Trong khoá luận này, em xin được trình bày một số vấn đề quan trọng sau đây:

Chương I: Một số kiến thức cần thiết

Chương II: Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác không có điều kiện

Chương III: Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác

có điều kiện

Khoá luận tốt nghiệp được hoàn thành trong thời gian ngắn nên khó tránh khỏi những khiếm khuyết và sai sót Kính mong được sự góp ý, trao đổi của các thầy, cô giáo cùng toàn thể các bạn sinh viên trong khoa để khoá luận này được hoàn thiện hơn khi đến với bạn đọc

Hà Nội, tháng 05 năm 2007

Sinh viên thực hiện

Đỗ Thị Phương

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Khoá luận là công trình nghiên cứu của riêng tôi Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa, vận dụng những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn

Những kết quả nêu trong khoá luận chưa được công bố trên bất kỳ công trình nào khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2007

Tác giả

Đỗ Thị Phương

Các kí hiệu dùng trong khoá luận

Trong tam giác ABC, ta kí hiệu:

a, b, c: độ dài các cạnh của tam giác (a = BC, b = CA, c = AB);

A, B, C: ba góc ở đỉnh A, B, C của tam giác;

ha, hb, hc: độ dài các đường cao tương ứng của tam giác kẻ từ các đỉnh A, B, C;

ma, mb, mc: độ dài các đường trung tuyến của tam giác lần lượt kẻ từ các đỉnh

A, B, C;

la, lb, lc: độ dài các đường phân giác trong của các góc A, B, C tương ứng;

R, r: bán kính đường ngoại tiếp và nội tiếp tam giác;

ra, rb, rc: bán kính các bàng tiếp các góc A, B, C tương ứng;

S: diện tích tam giác;

p: nửa chu vi của tam giác

Mục lục

Trang

Lời nói đầu 1

Lời cam đoan 2 Các kí hiệu dùng trong khoá luận 3

Chương I: Một số kiến thức cần thiết 4

Chương II: Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác không có điều kiện 10

I Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác không có điều kiện 10

II Giải bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác không có điều kiện nhờ sử dụng định lý côsin, định lý sin và định lý côsin mở rộng trong tam giác 10

III Một số ví dụ 11

IV Bài tập đề nghị 32

Chương III: Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác có điều kiện 35

I Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác có điều kiện 35

II Giải bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác có điều kiện nhờ sử dụng định lý côsin, định lý sin và định lý côsin mở rộng trong tam giác 35

III Một số ví dụ 36

IV Bài tập đề nghị 45

Kết luận 48

Tài liệu tham khảo 50

Chương I: Một số kiến thức cần thiết

I Định lý côsin trong tam giác:

Định lý: Với mọi ABC, ta có:

II Định lý sin trong tam giác:

Với mọi ABC, ta có:

2sin sin sin

Ta lại có: 1 sin sin 2

IV Một số kiến thức quan trọng khác:

1 Công thức về diện tích tam giác:

abc S R

 Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác:

4 2sin 2sin 2sin

2 2 2 2

;

b

m   

2 2 2 2

;

c

m   

4 Công thức phân giác trong của tam giác:

2

a

bc l

b c



 cos2

A

= 2 bc p p( a);



2

b

ac l

a c



 cos2

B

= 2 ac p p b( );



2

c

ab l

a b



 cos 2

C

= 2 ab p p c( );



5 Một số đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác:

a, sinA + sinB + sinC = 4cos

2

A

cos 2

B

cos 2

C

(1)

b, sin2A + sin2B + sin2C = 4 sinA sinB sinC (2)

c, cosA + cosB + cosC = 1 + 4 sin 2 A sin 2 B sin 2 C (3)

d, cos2A + cos2B + cos2C = -1 - 4 cosA cosB cosC (4)

e, tgA + tgB + tgC = tgA tgB tgC (ABC không vuông) (5)

f, cotgA cotgB + cotgB cotgC + cotgC cotgA = 1 (6)

g, cotg 2 A + cotg 2 B + cotg 2 C = cotg 2 A cotg 2 B cotg 2 C (7)

h, tg 2 A tg 2 B + tg 2 B tg 2 C + tg 2 C tg 2 A = 1 (8) Chứng minh:

a, Ta có: sinA + sinB + sinC = 2sin

2

A B

cos 2

A B

+ sinC

= 2cos

2

C

cos

2

A B

+ 2 sin

2

C

cos 2

C

= 2cos

2

C

( cos

2

A B

+ cos

2

A B

)

= 4 cos

2

C

cos 2

A

cos 2

B

Vậy công thức (1) đúng

b, Ta có: sin2A + sin2B + sin2C = 2sin(A+B) cos(A-B) + 2sinC cosC

= 2sinC cos(A-B) - 2sinC cos(A+B)

A

sin2

B

Vậy công thức (3) đúng

d, Ta có: cos2A + cos2B + cos2C = 2cos(A+B) cos(A-B) + 2cos2C – 1

= -2cosC cos(A-B) – 2 cosC cos(A+B) – 1

f, Chứng minh tương tự công thức (5)

g, Ta có: A, B, C là 3 góc của ABC Khi đó:

cotg2

C

Vậy công thức (7) được chứng minh

h, Chứng minh tương tự công thức (7), từ công thức (6) ta suy ra công thức (8)

6 Một số bất đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác:

a, sinA + sinB + sinC 3 3

B

+ tg2

B

+ tg22

C

 1 (16) Chứng minh:

Từ đó suy ra: sinA + sinB + sinC  3 sin

3



= 3 3

2 Vậy bất đẳng thức (9) được chứng minh

B

sin2

B

, sin2

C

cos2

c, Bất đẳng thức (11) được suy ra từ (9)

d, Bất đẳng thức (12) được suy ra từ (10)

e, Ta có: cotgA + cotgB + cotgC  3

 (cotgA + cotgB + cotgC)2  3

 cotg2A + cotg2B + cotg2C + 2(cotgA cotgB + cotgB cotgC + cotgC cotgA)

3

cotg2A + cotg2B + cotg2C + 2  3

 cotg2A + cotg2B + cotg2C -10

 cotg2A + cotg2B + cotg2C -(cotgA cotgB + cotgB cotgC + cotgC cotgA) 0

 (cotgA -cotgB)2 + (cotgB – cotgC)2 + (cotgC – cotgA)2 0: luôn đúng Vậy bất đẳng thức (13) đúng

Các bất đẳng thức còn lại được suy ra từ (13)

Chương II: bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng

Thức lượng giác không có điều kiện

I Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác không

có điều kiện:

1 Bài toán chứng minh đẳng thức lượng giác không có điều kiện:

 Bài toán có dạng: Cho tam giác ABC cùng một số yếu tố trong tam giác Chứng minh rằng tam giác ABC thoả mãn hệ thức: X = Y (trong đó X,

Y là các biểu thức lượng giác trong tam giác)

 Các phương pháp chủ yếu để chứng minh:

1) Biến đổi X thành Y (hay Y thành X): thường chọn biểu thức phức tạp để biến đổi

2) Biến đổi X thành Z, Y thành Z

3) Biến đổi X = Y tương đương với một đẳng thức đúng

2 Bài toán chứng minh bất đẳng thức lượng giác không có điều kiện:

 Bài toán có dạng: Cho tam giác ABC cùng một số yếu tố trong tam giác Chứng minh rằng: X  Y (*) (hoặc X  Y, hoặc X >Y, hoặc X <Y) Trong đó:

X, Y là các biểu thức lượng giác trong tam giác

 Để chứng minh (*) ta cũng sử dụng các phương pháp chủ yếu sau đây: 1) Biến đổi X thành Z sao cho Z  Y (hoặc Y thành T sao cho X  T) 2) Biến đổi X thành Z, Y thành T sao cho Z  T

3) Biến đổi X  Y tương đương với một bất đẳng thức đúng

Hoàn toàn tương tự với các bất đẳng thức: X  Y (hoặc X >Y, hoặc X <Y)

II Giải bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác không có điều kiện nhờ sử dụng định lý côsin, định lý sin và định lý côsin mở rộng trong tam giác:

Nếu trong các đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác cần chứng minh có các cạnh hay các hàm số lượng giác của các góc thì ta sử dụng các định lý đó để biến đổi các biểu thức đã cho thành các biểu thức chỉ có hàm số lượng giác của các góc (hay chỉ có các cạnh) để việc chứng minh được dễ dàng hơn

Ta tiến hành giải bài toán này theo các thao tác sau:

III Một số ví dụ:

Trước hết, ta đi chứng minh các đẳng thức lượng giác biểu thị mối liên hệ giữa các cạnh và các hàm số lượng giác của các góc trong một tam giác bằng việc

sử dụng trực tiếp định lý côsin và định lý sin trong tam giác

Ví dụ 1: Cho ABC Chứng minh các hệ thức sau:

= (a + b) [ab + c2 (a2 – ab + b2)]

= (a + b) [c2 – (a – b)2]

A B

2sin2

C

c s C

A B

sin2sin2

A B C

c, Ta có: VT(3) = sin

sin

tgA A c sB tgB B c sA

Vậy (3) đúng

Nhận xét: Bằng việc sử dụng định lý côsin và định lý sin trong tam giác ta còn có

thể chứng minh các đẳng thức biểu thị mối liên hệ giữa nửa chu vi, diện tích tam giác và các cạnh, các hàm số lượng giác của các góc Ta xét ví dụ sau đây:

Ví dụ 2: Chứng minh các hệ thức sau trong ABC:

a, abc (cosA + cosB + cosC) = a2 (p – a) + b2 (p – b) + c2 (p – c) (1)

S  a B b A (3)

Giải

a, áp dụng định lý côsin trong ABC, ta có:

VT (1) = abc (cosA + cosB + cosC)

= a.bccosA + b.accosB + c.abcosC

áp dụng định lý sin trong ABC, ta có:

a = 2RsinA; b = 2RsinB; c = 2RsinC Theo công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, ta có:

= 2 cot 2 cot 2 cot

Ta thấy rằng: VT (2) = VP (2) Như vậy, (2) đúng

c, Theo định lý côsin trong ABC, ta có:

2 2 2cos

abc

R = S = VT (3) Vậy hệ thức (3) đúng

Nhận xét:

Qua các ví dụ trên ta thấy định lý côsin và định lý sin trong tam giác là hai

công cụ rất có hiệu quả trong việc chứng minh các đẳng thức lượng giác không có

điều kiện Tuy nhiên, cần phải vận dụng linh hoạt hai định lý này cùng với việc biến

đổi thành thạo các biểu thức lượng giác thì mới có được một lời giải nhanh, gọn và

đúng

Trong ABC, nếu D là trung điểm cạnh BC thì chúng ta có ngay công thức

tính trung tuyến AD quen thuộc Nếu điểm D thuộc cạnh BC sao cho AD là đường

phân giác thì công thức phân giác trong cũng được xác định Vậy trong trường hợp

tổng quát D là điểm bất kì trên cạnh BC thì độ dài AD sẽ được xác định như thế

nào? Chúng ta sẽ đi chứng minh định lý sau đây:

áp dụng định lý côsin trong ABD, ta có:

Lấy (1) nhân với n và (2) nhân với m rồi cộng lại, ta được:

Nhận xét: Đây là một định lý rất quan trọng, mà trong một số trường hợp cụ thể nó

cho ta những công thức quen thuộc thường hay sử dụng trong tính toán cũng như trong chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức lượng giác Cụ thể:

 Khi D là trung điểm của BC thì (*) cho ta công thức trung tuyến quen thuộc:

2 2 2 2

Ví dụ 4: Cho ABC và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác Chứng minh rằng:

a, 4 sin sin sin

sin sin

B C r

R c s thay vào (3) ta được:

4 sin sin sin

r IA

A

sin2

r IC

sin sin sin

Nhận xét: Công thức (1) và (2) biểu thị mối liên hệ giữa bán kính đường tròn ngoại

tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Ngoài ra, với việc sử dụng định lý sin trong tam giác, ta dễ dàng chứng minh được công thức biểu diễn khoảng cách giữa hai tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp một tam giác theo bán kính của hai đường tròn đó Cụ thể, ta xét ví dụ sau đây:

2 2

2

l R  Rr

Giải Gọi D = AI  (O),

E = AB  (I)

Ta có:   

2

A BADCADCBD

 

2

B ABI CBI 

Do đó:   

2

A B IBDIBCCBD 

0(180 )

2

2

2

A B C

hay IBD cân đỉnh D

Vậy công thức Euler được chứng minh

Nhận xét: Nhờ có định lí sin trong tam giác cùng với việc kết hợp khéo léo các kiến

thức của hình học phẳng giúp ta chứng minh công thức Euler một cách nhanh

chóng

Ví dụ 6: Cho  ABC và H là trực tâm của tam giác Giả sử R1, R2, R3 tương ứng là

bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HBC, HCA, HAB Chứng minh

2sin

BC R

Do vậy: R1R2 R3 R (đpcm)

Nhận xét: Ta thay việc xét trực tâm H bởi tâm I của đường tròn nội tiếp  ABC, ta

được bài toán sau đây:

Ví dụ 7: Cho  ABC và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác Giả sử R1, R2, R3 lần

lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác IBC, ICA, IAB Chứng

minh rằng:

22

b R

B

c s

22

c R

Lại áp dụng định lý sin trong ABC, ta có:

a = 2RsinA; b = 2RsinB; c = 2RsinC

8 sin sin sin

8 sin sin sin

Nhận xét: Nếu ta chuyển việc xét tam giác ABC sang xét tứ giác ABCD nội tiếp

một đường tròn với M là giao điểm của hai đường chéo Vậy thì bán kính của

đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD sẽ được xác định như thế nào nếu biết bán

kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác MAB, MBC, MCD, MDA? Để giải

quyết được bài toán đó thì ta cần phải chứng minh định lý quan trọng sau đây:

AC.BD = AB.CD + AD.BC

Giải Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD

Tương tự trong ACD có: CD 2 sinR 

Và trong ABC có: BC 2 sinR 

AC.BD = AB.CD + AD.BC

Vậy định lý Ptôlêmê được chứng minh

Ví dụ 9: Cho tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn và M là giao điểm của hai

đường chéo AC, BD Giả sử R1, R2, R3, R4 lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác MAB, MBC, MCD, MDA và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Chứng minh rằng:

AC.BD = AB.CD + AD.BC

Hay AC.BD = ac+bd

R R R R R R R R

R R R R R

Nhận xét: Các ví dụ đã xét ở trên đều được giải quyết một cách dễ dàng nhờ sử

dụng định lý côsin và định lý sin trong tam giác kết hợp với việc biến đổi linh hoạt, sáng tạo các biểu thức lượng giác hay các kiến thức của hình học phẳng Sau đây, chúng ta sẽ chuyển sang nghiên cứu một số ví dụ minh hoạ cho việc chứng minh các hệ thức lượng giác trong tam giác nhờ sử dụng định lý côsin mở rộng

Ví dụ 10: Chứng minh các hệ thức sau trong ABC:

a, áp dụng định lý sin trong ABC, ta có:

a 2RsinA b;  2 sin ;R B c 2 sinR C

cc sB bc sC cc sA ac sC ac sB bc sA

          

2 sin( ) 2 sin( ) 2 sin( )

(cot cot cot )

2

sC C

1.24

4

2(1)

abc R

R

abc VP

Vậy hệ thức (1) được chứng minh

b, áp dụng định lý sin trong ABC, ta có:

2 sin (2 sin 2 sin )

2 sin (2 sin 2 sin )

sin sincotcot

A Cc sB

B Cc sA gB

Nhận xét: Qua ví dụ này cho chúng ta thấy rằng không chỉ có hai định lý côsin và

định lý sin trong tam giác mới là công cụ có hiệu quả cao trong việc chứng minh các hệ thức lượng giác mà hiệu quả của định lý côsin mở rộng cũng vô cùng to lớn

Để minh hoạ cho nhận định trên, ta xét tiếp ví dụ sau đây:

Ví dụ 11: Cho ABC và AM, BN, CP là các đường trung tuyến của tam giác, G là trọng tâm của tam giác Đặt AMB,AGB Chứng minh rằng:

a, 2 cotg cotgC cotgB (1)

b,

2 2 2cot cot

S



(3) Theo công thức trung tuyến, ta có:

2 2 2

cot4

gC S

2 2 2

cot4

gB S

 



Kết hợp với (4), ta được: 2 cotg cotgC cotgB

Vậy (1) được chứng minh