Định lý côsin và định lý sin trong tam giác

Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Phương – K29B Toán Lời nói đầu Lượng giác vấn đề quan trọng Toán học, việc vận dụng hệ thức lượng giác tam giác để đưa chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác tam giác giữ vai trò đặc biệt giải tốn lượng giác Định lý cơsin định lý sin tam giác hai hệ thức quan trọng, cơng cụ có hiệu lực để giải cơng việc Học sinh rèn luyện nhiều toán chứng minh đẳng thức, bất dẳng thức lượng giác không giúp cho họ hiểu rõ ứng dụng định lý tính tốn thực tế mà giúp họ luyện tập kĩ giải toán lượng giác Để góp phần làm rõ tính ưu việt hai định lý việc giải toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác điều kiện có điều kiện với mong muốn thân nắm sâu kiến thức lượng giác bậc THPT để sau trường dạy học tốt Mặt khác, với mong muốn giúp em học sinh không đào sâu kiến thức, mà thấy vai trò quan trọng kiến thức lượng giác Tốn học Chính lí kể trên, hướng dẫn thầy giáo Phan Hồng Trường, em nhận đề tài: “Định lý côsin định lý sin tam giác” làm khoá luận tốt nghiệp cho Trong khố luận này, em xin trình bày số vấn đề quan trọng sau đây: Chương I: Một số kiến thức cần thiết Chương II: Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác khơng có điều kiện Chương III: Bài tốn chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác có điều kiện Khố luận tốt nghiệp hồn thành thời gian ngắn nên khó tránh khỏi khiếm khuyết sai sót Kính mong góp ý, trao đổi thầy, giáo tồn thể bạn sinh viên khoa để khố luận hồn thiện đến với bạn đọc Hà Nội, tháng 05 năm 2007 Sinh viên thực Đỗ Thị Phương Lời cam đoan Tơi xin cam đoan Khố luận cơng trình nghiên cứu riêng tơi Trong q trình nghiên cứu, kế thừa, vận dụng thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Những kết nêu khố luận chưa cơng bố cơng trình khác Hà Nội, tháng 05 năm 2007 Tác giả Đỗ Thị Phương Các kí hiệu dùng khố luận Trong tam giác ABC, ta kí hiệu: a, b, c: độ dài cạnh tam giác (a = BC, b = CA, c = AB); A, B, C: ba góc đỉnh A, B, C tam giác; ha, hb, hc: độ dài đường cao tương ứng tam giác kẻ từ đỉnh A, B, C; ma, mb, mc: độ dài đường trung tuyến tam giác kẻ từ đỉnh A, B, C; la, lb, lc: độ dài đường phân giác góc A, B, C tương ứng; R, r: bán kính đường ngoại tiếp nội tiếp tam giác; ra, rb, rc: bán kính bàng tiếp góc A, B, C tương ứng; S: diện tích tam giác;  a+ b+ c   p: nửa chu vi tam giác p =   Mục lục Lời nói đầu Trang Lời cam đoan Các kí hiệu dùng khố luận Chương I: Một số kiến thức cần thiết Chương II: Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác khơng có điều kiện I Bài tốn chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác điều kiện II Giải tốn chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác khơng có điều kiện nhờ sử dụng định lý côsin, định lý sin định lý côsin mở rộng tam giác III số ví dụ IV tập đề nghị 10 10 10 Một 11 Bài 32 Chương III: Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác có điều kiện I Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác có điều kiện II Giải tốn chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác có điều kiện nhờ sử dụng định lý côsin, định lý sin định lý côsin mở rộng tam giác III Một số ví dụ IV Bài tập đề nghị 35 36 45 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 50 35 35 Chương I: Một số kiến thức cần thiết I Định lý côsin tam giác: Định lý: Với  ABC, ta có: a2 = b2 + c2 – 2 2 2 2bccosA; b = a + c – 2accosB; c = a + b – 2bccosC; 2 b + c − a cos A = ; 2bc 2 a + c − b cos B = ; 2ac 2 a + b − c cos C = ; 2ab Hệ quả: II Định lý sin tam giác: Với  ABC, ta có: a b c =sin =sin sin A B C = 2R III Định lý cơsin mở rộng: Trong  ABC bất kì, ta có: 2 b + c − a cot gA = ; 4S 2 a + c − b cot gB = ; 4S 2 a + b − c cot gC = ; 4S Chứng minh: Theo định lý cơsin, ta có: 2 2 a = b + c – 2bccosA = b + c – 2bcsinA.cotgA(*) Ta lại có: S = ⇒ sin A = bc sin A 2S thay vào (*) ta được: bc 2 a = b + c − 2bc b ⇒ cot gA = bc 2S cot gA 2 a + c − b Chứng minh tương tự, ta được: cot gB = cot gC = +c − a 4S 4S a + b2 − c 4S IV Một số kiến thức quan trọng khác: Cơng thức diện tích tam giác: S= ah = = ch ; bh a 2 b c 1 S= ab sin C = acsinB = bc sin A; 2 abc S =4R ; S = pr; S =p( p a)( p b)( p c): Công thức Hê-rông; S = ( p − a)ra = ( p − b)rb = ( p − c)rc ; Công thức bán kính đường tròn: • Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác: abc S =4R 2sin = A a = 2sin B b =C 2sin c • Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác: r= p S = ( p − a)tg A B C = ( p − b)tg = ( p − c)tg 2 • Bán kính đường tròn bàng tiếp tam giác: = S rb = p − rc = a S p − b S p−c = ptg = ptg A B C = ptg ; ; ; Công thức trung tuyến tam giác: m 2 b + c a a = − ; 2 a + c b m b m c 2 = − ; 2 a + b c − ; = Công thức phân giác tam giác: l = 2bc a b + c cos l = 2ac cos A bc = b+ c B b a + c ac = cos C c a + b p( p − b); a+ c l = 2ab p( p − a); ab = p( p − c); a+ b Một số đẳng thức lượng giác tam giác: a, sinA + sinB + sinC = 4cos A B cos C cos (1) b, sin2A + sin2B + sin2C = sinA sinB sinC c, cosA + cosB + cosC = + sin A sin B (2) sin C (3) d, cos2A + cos2B + cos2C = -1 - cosA cosB cosC (4) e, tgA + tgB + tgC = tgA tgB tgC (  (5) không vuông) ABC f, cotgA cotgB + cotgB cotgC + cotgC cotgA = g, cotg h, tg A A tg + cotg B B B + tg + cotg tg C C = cotg + tg C tg A A cotg B cotg (6) C (7) =1 (8) Chứng minh: a, Ta có: sinA + sinB + sinC = 2sin A+B = 2cos C −B cos cos A −B A + sinC + sin C cos C = 2cos C −B = cos C ( cos A + cos cos A cos A+ B ) B Vậy cơng thức (1) b, Ta có: sin2A + sin2B + sin2C = 2sin(A+B) cos(A-B) + 2sinC cosC = 2sinC cos(A-B) - 2sinC cos(A+B) = 2sinC[cos(A-B) - cos(A+B)] = sinC sinA sinB Vậy công thức (2) c, Ta có: cosA + cosB + cosC = 2cos A+B cos −B = 2sin C −B cos = + 2sin C −B = + sin A C A + cosC + 1-2sin [cos A - cos sin A sin C A+ B ] B Vậy cơng thức (3) d, Ta có: cos2A + cos2B + cos2C = 2cos(A+B) cos(A-B) + 2cos C – = -2cosC cos(A-B) – cosC cos(A+B) – = -1 – 2cosC[cos(A-B) + cos(A+B)] = -1 - cosA cosB cosC Vậy công thức (4) e, Ta có: A + B + C = π ⇒ A + B = π -C ⇒ tg(A+B) = tg(π -C) ⇒ tg(A+B) = -tgC ⇒ tgA + tgB = −tgC 1− tgAtgB ⇒ tgA + tgB = -tgC + tgAtgBtgC ⇒ tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC Vậy công thức (5) f, Chứng minh tương tự cơng thức (5) g, Ta có: A, B, C góc  ABC Khi đó: π π π A B C 3π A+ B ( − )+ ( − )+ ( − )= − π + C 3π = − = π 2 2 2 2 2 Hay π A π B π C − − 2 , 2 −2 , ... thức lượng giác khơng có điều kiện nhờ sử dụng định lý c sin, định lý sin định lý c sin mở rộng tam giác: Nếu đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác cần chứng minh có cạnh hay hàm số lượng giác góc... Một số đẳng thức lượng giác tam giác: a, sinA + sinB + sinC = 4cos A B cos C cos (1) b, sin2 A + sin2 B + sin2 C = sinA sinB sinC c, cosA + cosB + cosC = + sin A sin B (2) sin C (3) d, cos2A + cos2B... bất đẳng thức lượng giác có điều kiện II Giải tốn chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác có điều kiện nhờ sử dụng định lý c sin, định lý sin định lý c sin mở rộng tam giác III Một số ví