Những ứng dụng của các định lý sylow trong lý thuyết nhóm hữu hạn

Cơng trình hồn thành Trường Đại học Sư phạm – ĐHĐN Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU Phản biện 1: …………………………………………………………… Phản biện 2: …………………………………………………………… Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp Trường Đại học Sư phạm – ĐHĐN vào ngày tháng 9s năm 2018 Có thể tìm hiểu luận văn - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong lý thuyết nhóm hữu hạn, định lý quan trọng tiếng Định lý Lagrange: “ Với nhóm hữu hạn có cấp ước ” Ngược lại, cấp nhóm hữu hạn cấp , nhóm ước ngun dương , có ln tồn nhóm cấp d nhóm hay khơng? Trả lời cho câu hỏi không, chẳng hạn nhóm thay phiên có cấp 12, khơng có nhóm cấp Tuy nhiên, d lũy thừa số nguyên tố , Định lý Sylow khẳng định tồn nhóm cấp d Các Định lý Sylow với -nhóm Sylow có nhiều ứng dụng sâu sắc hiệu lý thuyết nhóm, chẳng hạn: xác định phân loại đẳng cấu nhóm hữu hạn, khảo sát số tính chất nhóm tính giao hốn, tính đơn, tính giải được,… Nhằm tìm hiểu ứng dụng Định lý Sylow, chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ là: “ Những ứng dụng Định lý Sylow lý thuyết nhóm hữu hạn ” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cấu trúc nhóm p- nhóm hữu hạn - Tìm hiểu p- nhóm Sylow Định lý Sylow - Các ứng dụng Định lý Sylow nhóm hữu hạn Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Nhóm p- nhóm hữu hạn - Các ứng dụng Định lý Sylow nhóm hữu hạn Phƣơng pháp nghiên cứu 2 - Thu thập hệ thống tài liệu lý thuyết nhóm có liên quan đến nội dung đề tài Đặc biệt tài liệu Định lý Sylow ứng dụng chúng - Phân tích, khảo sát tài liệu thu thập - Trao đổi với người hướng dẫn chuyên gia để thực đề tài Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận chia thành chương: Chƣơng 1: Cấu trúc nhóm định lý Sylow Để làm sở cho chương sau, chương nhắc lại khái niệm, kết cấu trúc nhóm, đặc biệt Định lý Sylow hệ liên quan Chƣơng 2: Những ứng dụng Định lý Sylow Chương phần luận văn, trình bày số ứng dụng Định lý Sylow nhóm hữu hạn 3 CHƢƠNG CẤU TRÚC NHÓM VÀ CÁC ĐỊNH LÝ SYLOW Để làm sở cho chương sau, chương nhắc lại khái niệm, kết cấu trúc nhóm, đặc biệt Định lý Sylow hệ liên quan 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CỦA CẤU TRÚC NHÓM 1.1.1 Một số kết cấu trúc nhóm Mệnh đề 1.1.1.1 Cho nhóm , kí hiệu ( ) * + ( ) nhóm giao hốn chuẩn tắc Nhóm ( ) gọi nhóm tâm Mệnh đề 1.1.1.2 Cho nhóm nhóm Khi hai tập ( ) * | ( ) * | + + hai nhóm Định nghĩa 1.1.1.3 Hai nhóm hóa nhóm chuẩn hóa ( ) ( ) gọi nhóm tâm Định nghĩa 1.1.1.4 Một nhóm gọi nhóm xyclic chứa phần tử cho phần tử Phần tử xyclic lũy thừa nguyên có tính chất gọi phần tử sinh nhóm Hệ 1.1.1.5 (i) Mọi nhóm xyclic nhóm giao hốn (ii) Với số nguyên dương (iii) Hai nhóm xyclic có bậc đẳng cấu với có nhóm xyclic cấp Mệnh đề 1.1.1.6 Nếu chia hết cấp nhóm giao hốn hữu hạn số ngun tố có phần tử cấp Mệnh đề 1.1.1.7 Nếu nhóm hữu hạn, - nhóm Khi đó, -nhóm Sylow ( ) Định lý 1.1.1.8 (Định lý Lagrange) Giả sử nhóm hữu hạn nhóm Khi đó, | | bội | | Hệ 1.1.1.9 Mọi nhóm hữu hạn có cấp số nguyên tố nhóm xyclic sinh phần tử bất kì, khác phần tử đơn vị nhóm Định nghĩa 1.1.1.10 Giả sử nhóm nhóm Lực lượng tập gồm lớp kề trái , gọi số nhóm nhóm , kí hiệu , - Định nghĩa 1.1.1.11 Nếu nhóm số nhóm nhóm chuẩn tắc , Định nghĩa 1.1.1.12 (i) Giả sử số nguyên tố Nhóm gọi - nhóm cấp lũy Nhóm gọi -nhóm nhóm thừa (ii) nhóm (iii) hạn Nhóm vừa vừa - nhóm gọi - nhóm Sylow nhóm hữu - nhóm chia hết | | | | lũy thừa cao Mệnh đề 1.1.1.13 Nếu * - nhóm Sylow nhóm hữu hạn + , - nhóm Sylow Định lý 1.1.1.14 Mỗi - nhóm giao hốn đẳng cấu với tích trực tiếp - nhóm xyclic Hai phân tích khác thứ tự nhân tử Định nghĩa 1.1.1.15 Một nhóm gọi nhóm đơn * + có hai nhóm chuẩn tắc * + Định nghĩa 1.1.1.16 Một nhóm gọi nhóm giải tồn dãy nhóm * + nhóm chuẩn tắc giao hốn, với nhóm thương 1.1.2 Một số nhóm quen thuộc Định nghĩa 1.1.2.1 Xét đa giác cạnh với Gọi phép quay mặt góc (có hướng) phẳng xung quanh tâm phép đối xứng qua đường thẳng qua tâm Khi đó, tất phép đối xứng ⁄ , đỉnh (tức biến đối đẳng cự thành nó) liệt kê sau: mặt phẳng biến Chúng lập thành nhóm khơng giao hốn cấp , gọi nhóm nhị diện Nhóm , kí hiệu cịn biểu thị qua phần tử sinh quan hệ sau: 〈 | ( 〉 ) Định nghĩa 1.1.2.2 tập hợp Khi ấy, dễ dàng kiểm tra lại Giả sử tập hợp ( ) tất song ánh với phép hợp thành ánh xạ lập nên nhóm * Đặc biệt, đơn giản + nhóm ( ) kí hiệu gọi nhóm đối xứng nhóm hữu hạn cấp , ta đặt Xét tác động ) Do ( ) ∏ ∏ ( , định nghĩa sau: ( () ( )) ) ( song ánh tập * Vì mỗi nhân tử Với ( phần tử Nhóm xuất ( ) ( ) +, nên ) lần với dấu Định nghĩa 1.1.2.3 Kí số (hoặc dấu) phép , kí hiệu ( ), số ) * ( ) Nếu ( ) ( ( ) sau đây: , + , ta nói phép chẵn Trái lại, phép lẻ Mệnh đề 1.1.2.4 gồm tất phép chẵn tập * Tập nhóm nhóm Nhóm + , gọi nhóm thay phiên có cấp phần tử Mệnh đề 1.1.2.5 Cho hai ma trận /, với bậc ba đơn vị Khi nhóm sinh hai phần tử ( / nhóm khơng giao hốn cấp 12 nhóm ), ký hiệu ( ) ( Các phần tử nhóm ) thỏa mãn hệ thức sau: 1.2 CÁC ĐỊNH LÝ SYLOW VÀ KẾT QUẢ LIÊN QUAN Định nghĩa 1.2.1 Hai nhóm tồn nhóm , cho gọi liên hợp * + Định nghĩa 1.2.2 Cho nhóm cho hai tập khác rỗng nhóm , Tập ( Nếu gọi - liên hợp liên hợp ) Bổ đề 1.2.3 Cho nhóm hữu hạn, Khi đó, số nhóm ( ) số tập khác rỗng - liên hợp phân biệt , tức , , ( )- Mệnh đề 1.2.4 Giả sử 𝒜 tập tập nhóm 𝒜 ta định nghĩa quan hệ hai ngơi sau: với Khi đó, - liên hợp và Trên thuộc 𝒜, quan hệ tương đương 𝒜 Bổ đề 1.2.5 Giả sử 𝒜 tập hợp khác rỗng tập nhóm , 𝒜 với Giả sử với 𝒜 Kí hiệu quan hệ tương đương 𝒜, định 𝒜 nghĩa sau: B - liên hợp Gọi ℛ là, tập hợp tất đại diện lớp tương đương Khi |𝒜| ∑, ( )- ℛ Hệ 1.2.6 Cho 𝒜 tập khác rỗng nhóm * +; ℛ , , Đặt xác định Bổ đề 1.2.5 Khi |𝒜| ∑, ( )- , | | +, ( )- ℛ Hệ 1.2.7 Cho 𝒜 * quan hệ tương đương 𝒜 định nghĩa Bổ đề 1.2.5, với ℛ là, tập hợp phần tử đại diện lớp tương đương Đặt ℛ * ( ) ℛ + Khi | | | ( )| ∑ ℛ , | | | ( )| ∑ ℛ , ( )( ) -, hệ thức gọi phương trình lớp nhóm Mệnh đề 1.2.8 Nếu * +, ( ) - nhóm hữu hạn, * + Hệ 1.2.9 Nếu nhóm có cấp , với số ngun tố, nhóm giao hốn Mệnh đề 1.2.10 Giả sử Khi nhóm có cấp có nhóm chuẩn tắc cấp Hệ 1.2.11 Giả sử , đó: nhóm có cấp (i) nhóm giải (ii) nhóm đơn Định lý 1.2.12 ( Định lý Sylow thứ ) Giả sử nhóm hữu hạn, lũy thừa cao của có cấp chia hết cấp số nguyên tố Khi đó, tồn nhóm Định lý 1.2.13 ( Định lý Sylow thứ hai ) Giả sử nhóm nhóm hữu hạn , - nhóm Sylow - liên hợp Nếu - nhóm chứa 10 Định lý 1.2.14 ( Định lý Sylow thứ ba ) (i) Hai - nhóm Sylow nhóm hữu hạn - liên hợp với (ii) số - nhóm Sylow phân biệt Khi Gọi (mod ) Nếu | | (iii) , ( ) | , 1.3 TÍCH TRỰC TIẾP CỦA HAI NHÓM Định nghĩa 1.3.1 Giả sử nhóm (với luật hợp thành viết theo lối định nghĩa phép toán sau: ( dàng kiểm tra tập ) *( nhân) Trên tập hợp tích Decartes )( +, ta ) ( ) Dễ với phép toán nhóm Định lý 1.3.2 Nếu nhóm với hai nhóm * +, phần tử Khi và cho giao hoán với phần tử Hệ 1.3.3 Cho nhóm với hai nhóm chuẩn tắc * +, giả sử Khi , Định lý 1.3.5 Cho | || | nhóm hữu hạn với hai nhóm chuẩn tắc | | Khi , * + Định nghĩa 1.3.6 Cho Nhóm nhóm nhóm chuẩn tắc gọi tích trực tiếp nếu: 11 (i) * (ii) + Mệnh đề 1.3.7 Giả sử nhóm xyclic cấp nhóm xyclic và Khi nguyên tố Mệnh đề 1.3.8 Ta có: CHƢƠNG 2: NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ SYLOW Chương phần luận văn, trình bày số ứng dụng Định lý Sylow nhóm hữu hạn 2.1 KHẢO SÁT TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ LỚP NHĨM HỮU HẠN 2.1.1 Nhóm hữu hạn Mệnh đề 2.1.1.1 - nhóm Sylow nhóm hữu hạn nhóm chuẩn tắc Chứng minh: Theo Định lý 1.2.14, - nhóm Sylow đương với: Điều có nghĩa tương Mệnh đề 2.1.1.1 Định lý 1.3.3 cho ta ba hệ sau Hệ 2.1.1.2 Giả sử , nhóm cấp có cho với ước nguyên tố - nhóm Sylow Khi nhóm Sylow tích trực tiếp 12 Hệ 2.1.1.3 Nếu nhóm giao hốn hữu hạn, tích trực tiếp nhóm Sylow Hệ 2.1.1.4 Giả sử nguyên tố, - nhóm Sylow Khi 2.1.2 Nhóm có cấp , với nhóm hữu hạn có khơng phải nhóm đơn hai số nguyên tố Mệnh đề 2.1.2.1 Giả sử Khi nhóm cấp có , với hai số nguyên tố, - nhóm Sylow Chứng minh: Theo Định lý 1.2.14, , nghĩa | Vì , nên có - nhóm Sylow Hệ 2.1.2.2 Giả sử Khi nhóm cấp , với hai số ngun tố nhóm giải khơng phải nhóm đơn Mệnh đề 2.1.2.3 Nếu nhóm có cấp nhóm cấp Hơn nữa, có , với ngun tố lẻ, có có nhóm cấp nhóm cấp Chứng minh: Gọi Mệnh đề 2.1.2.1, Gọi - nhóm Sylow Theo có nhóm cấp 2- nhóm Sylow Định lý 1.2.14, ta có Khi | | ( mod ) || | , | | Suy Theo 13 có nhóm cấp Vậy, 2.1.3 Nhóm có cấp , với có nhóm cấp hai số nguyên tố Mệnh đề 2.1.3.1 Nếu nhóm cấp 12, chứa 2- nhóm Sylow chuẩn tắc 3- nhóm Sylow chuẩn tắc Chứng minh: Theo Định lý 1.2.14, ta có Mỗi 3- nhóm Sylow , có cấp 3, giao hai nhóm cấp phân biệt phần tử đơn vị Mỗi 2- nhóm Sylow Nếu có phần tử cấp 3, Nghĩa hoặc có cấp Vậy hoặc chứa 3- nhóm Sylow chuẩn tắc 2- nhóm Sylow chuẩn tắc Tổng quát Mệnh đề ta có Mệnh đề sau Mệnh đề 2.1.3.3 Giả sử nhóm có cấp tố phân biệt, , với hai số nguyên có - nhóm Sylow chuẩn tắc, có - nhóm Sylow chuẩn tắc Chứng minh: Gọi - nhóm Sylow - nhóm Sylow nhóm  Trường hợp: | Vì Theo Định lý 1.2.14, ta có nghĩa  nên Trường hợp: Nếu , nhóm chuẩn tắc Nếu với số nguyên dương , 14 chia hết cho Vì ( nên Vì | nên số nguyên tố nên | )( | ) Mà nên | | Từ suy Theo Mệnh đề 2.1.3.1 có nhóm chuẩn tắc cấp 3, có nhóm chuẩn tắc cấp Mệnh đề chứng minh Hệ 2.1.3.4 Nếu nhóm có cấp , với hai số nguyên tố, nhóm giải khơng phải nhóm đơn 2.1.4 Nhóm có cấp , với hai số nguyên tố Mệnh đề 2.1.4.1 Giả sử nhóm cấp Khi , với có hai số nguyên tố, - nhóm Sylow Chứng minh: Theo Định lý 1.2.14, , số nguyên tố nên giả thiết | Vì , nên Nếu , |( | ) Vậy ( Do |( )( ) ), điều khơng xảy , nghĩa có - nhóm Sylow Hệ 2.1.4.2 Giả sử đơn nhóm cấp Khi , với hai số ngun tố, nhóm giải khơng phải nhóm 15 2.2 XÁC ĐỊNH VÀ PHÂN LOẠI ĐẲNG CẤU MỘT SỐ LỚP NHĨM HỮU HẠN 2.2.1 Nhóm có cấp , với hai số nguyên tố Định lý 2.2.1.1 Sai khác đẳng cấu có hai nhóm cấp nguyên tố lẻ, nhóm xyclic cấp , với nhóm nhị diện số Chứng minh: Giả sử nhóm có cấp Mệnh đề 2.1.2.3,  có , với số nguyên tố lẻ Theo , Trường hợp 1: Gọi - nhóm Sylow, Theo Mệnh đề 2.1.1.1, | || | 2- nhóm Sylow * +, Hơn nữa: | | Do theo Định lý 1.3.5, Ta có nhóm xyclic cấp cấp , nên nhóm xyclic cấp (Mệnh đề 1.3.7)  Trường hợp 2: Gọi , - nhóm Sylow 〈 〉 nhóm xyclic cấp Gọi phần tử chứa , Khi đó: , phần tử phân biệt là: Mặt khác, * với có cấp nên: ( thuộc ( ) ( ) ̅ nhóm cấp ) ( (vì ) Gọi + phần tử )( ) nên Từ suy 16 ̅ có - Nếu , lập luận tương tự trên, ̅ nhóm xyclic Theo Hệ 2.1.1.5 nhóm xyclic cấp đẳng cấu cấp với Do đó, nhóm cấp có nhóm cấp đẳng cấu với nhau, đẳng cấu với nhóm xyclic cấp ̅ ̅ - Nếu có nhóm cấp 2, tương tự, có nhóm ̅ ( ̅) với phần tử ̅ có cấp cho: ̅ * ̅ ̅ xác định bởi: ( ) Nếu ( ) ( ̅ Vậy ( ) ̅ ) hay ̅ ̅ ( ̅̅ ) với ̅ , nghĩa ̅ ( ̅ , ̅ ̅ Suy ̅ ) ̅ (̅ ) + hay ) Nếu ( ̅̅ ̅ ̅ Suy ( Khi ̅ ̅ hay ) ánh xạ Với * cho + Khi , * + , ta có: ( ) ,( ) - ̅ ̅ ̅ Khi ( ( ( ̅ ̅ ) ) ( ) ( ) ) ( , ta có: ) ,( ̅ )( ̅ ( Do đó, ̅̅ +, ta có ( ̅ ̅ ) Xét  ̅ ̅ * Với  ̅ 〈 ̅〉 ̅ ) ( )- ( ̅ ̅̅ ) ) ̅ ̅ ̅̅ ̅ ( đồng cấu, song ánh nên ) ( ) đẳng cấu ̅ ̅ 17 Vậy, nhóm cấp , với số nguyên tố lẻ, có nhóm cấp đẳng cấu với Hơn phép chứng minh cho thấy sai khác đẳng cấu có nhiều nhóm cấp Hệ 1.1.1.5, số số nguyên tố lẻ Đồng thời theo nguyên dương tồn nhóm xyclic cấp Mặt khác nhóm nhị diện , với có cấp khơng phải xyclic với Do đó, kết luận sai khác đẳng cấu có nhóm cấp số nguyên tố lẻ, nhóm xyclic cấp , với nhóm nhị diện Định lý chứng minh Định lý 2.2.1.2 Giả sử hai số nguyên tố, số nguyên dương Mọi nhóm , với nhóm xyclic có cấp Chứng minh: Theo Mệnh đề 2.1.2.1, tắc cấp có - nhóm Sylow chuẩn Theo Định lý 1.2.14 giả thiết - nhóm Sylow chuẩn tắc Vì Do hai số ngun tố nên cấp có nhóm xyclic, * + Đặt * + Theo Định lý 1.1.1.8, ( - Nếu đó, với hay ) có cấp * + , nhóm xyclic sinh trùng với Khi ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅, suy Vậy, Khi đó, (mâu thuẫn) 18 ( - Nếu đó, ) với nhóm xyclic sinh trùng với Khi ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅, suy Vậy, Khi đó, hay (mâu thuẫn) ( - Nếu ) Do , suy , nghĩa là nhóm xyclic có cấp (mâu thuẫn) ( Vậy ) Định lý chứng minh 2.2.2 Nhóm có cấp , với hai số nguyên tố Định lý 2.2.2.1 Mọi nhóm có cấp , với hai số nguyên tố, (mod ), nhóm giao hốn Chứng minh: Giả sử tắc nhóm có cấp hai số nguyên tố, (mod ) Theo Định lý 1.2.14, nên nghĩa cấp có | Vì - nhóm Sylow chuẩn | Tương tự , nên tắc , với Theo giả thiết khơng chia hết có - nhóm Sylow chuẩn cấp Ta có hai nhóm chuẩn tắc, giao hốn * + Do theo Định lý 1.3.5, , nhóm giao hoán Định lý chứng minh Hệ 2.2.2.2 Cho hai số nguyên tố, sai khác đẳng cấu có hai nhóm cấp (mod ) Khi 19 Định lý 2.2.2.3 Mọi nhóm có cấp , với hai số nguyên tố, ), nhóm giao hốn (mod Chứng minh: Giả sử nhóm có cấp , với (mod ) Theo Định lý 1.2.14 điều kiện có (mod ), ta có -nhóm Sylow chuẩn tắc theo chứng minh Mệnh đề 2.1.3.5, ta có hai số nguyên tố, - nhóm Sylow chuẩn tắc Ta có cấp Nghĩa cấp Do Vì chứa hai nhóm chuẩn tắc, giao hốn * + Do theo Định lý 1.3.5, và nhóm giao hốn Định lý chứng minh Hệ 2.2.2.4 Cho hai số nguyên tố, (mod ) Khi sai khác đẳng cấu có hai nhóm cấp là: Định lý 2.2.2.6 [4] Sai khác đẳng cấu, có năm nhóm cấp 12, nhóm: ( ) Chứng minh: Giả sử Sylow nhóm cấp 12 Ta có số 2- nhóm số 3- nhóm Sylow Áp dụng Định lý 1.2.14, ta có: Gọi Tương tự, | (mod 2), suy Như có 20 trường hợp xảy ra: (i) (ii) (iii) (iv) Theo Mệnh đề 2.1.3.1, trường hợp (iv): không xảy Ta xét trường hợp lại:  Trường hợp (i) : Gọi 2- nhóm Sylow , 3- nhóm Sylow Khi * + Hơn nữa, | | | | , Mà | | Định lý 1.3.5, ta có , | | nên Vậy, Theo nên hoặc hai nhóm nhóm giao hốn, khơng đẳng cấu với Vì nhóm nhóm giao hốn nhóm chuẩn tắc, nên nhóm giao hốn cấp 12 cấp 12 Hơn nữa, giả sử Sylow cấp | nhóm khơng giao hốn 2- nhóm Sylow cấp 3- nhóm * + Áp dụng Mệnh đề 1.3.4, ta có: , | || | | | Với , Do Trong trường hợp lại, ta giả sử | , | || | | | Suy , tồn Giả sử với (vì (vì cho , ta có: nhóm giao hốn) nhóm giao hốn) 21 Do đó, nhóm giao hốn khơng phải nhóm giao hốn không xảy trường Vậy hợp  với Trường hợp (ii): Ta có: | | nên , a) * Vì + với * , + với 2- nhóm Sylow nên - Nếu , suy (mâu thuẫn với điều giả sử khơng phải nhóm giao hốn) - Nếu , nghĩa hay Suy Vậy hay (vơ lý) 〉 nhóm xyclic sinh phần tử ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ta thấy 〈 〈 〉 Do đó, ) , ta có: ( ( 〉 chứa phần tử ) ) ( ) , suy 〈 〉 nhóm giao hốn (mâu thuẫn với điều giả sử ) Vậy, khơng có nhóm cấp 12 với Sylow đẳng cấu với , (vô lý) - Nếu Xét 〈 hay Suy b) Tương tự phần a), ta có: đẳng cấu với nhóm Bằng lập luận tương tự, ta có kết sau: 2- nhóm 22  Trường hợp (iii) : Gọi * 2- nhóm Sylow +, với , 3- nhóm Sylow Xét trường hợp nhóm * a) + ( đẳng cấu với nhóm * b) + đẳng cấu với nhóm Tóm lại: Với * + nhóm cấp 12, ta có Trường hợp (i): Trường hợp (ii) (b): , ) , , có 2- nhóm Sylow , có 2- nhóm Sylow , có 2- nhóm Sylow Trường hợp (iii) (a): ( , ) Trường hợp (iii) (b): , Vậy sai khác đẳng cấu, có nhóm cấp 12 Định lý chứng minh 2.2.3 Nhóm có cấp , với hai số nguyên tố Định lý 2.2.3.1 Mọi nhóm có cấp , với hai số nguyên tố phân biệt , giao hoán Chứng minh: Giả sử phân biệt, nhóm có cấp , với hai số nguyên tố 23 Gọi - nhóm Sylow , | | | Các ước dương Nếu , ( cho )( Nếu Do tắc có cấp là: Vì | | nên chia hết (mâu thuẫn) có - nhóm sylow chuẩn Tương tự ta chứng minh nhóm sylow chuẩn tắc có cấp Vậy có - hai nhóm chuẩn tắc giao hoán ( Định lý 1.3.5 ) Ta có * +, và ) (mâu thuẫn) , Nên Theo Định lý 1.2.14, nhóm giao hốn Định lý chứng minh Hệ 2.2.3.2 Cho hết có nhóm cấp hai số nguyên tố phân biệt cho khơng chia hết là: , khơng chia Khi sai khác đẳng cấu , , 24 KẾT LUẬN Luận văn “ Những ứng dụng Định lý Sylow lý thuyết nhóm hữu hạn ” thực mục tiêu đề ra, cụ thể ứng dụng Định lý Sylow, để: Khảo sát tính chất số lớp nhóm hữu hạn, chẳng hạn tính chuẩn tắc, tính giao hốn, tính đơn tính giải - nhóm Sylow có cấp , với hai số nguyên tố Xác định phân loại đẳng cấu số lớp nhóm hữu hạn có cấp 12, cấp với số nguyên tố lẻ Hy vọng kỹ thuật sử dụng luận văn, tiếp tục khai thác mở rộng hơn, nhằm chứng tỏ tầm quan trọng tính hiệu định lý Sylow lý thuyết nhóm hữu hạn  ... hạn - Tìm hiểu p- nhóm Sylow Định lý Sylow - Các ứng dụng Định lý Sylow nhóm hữu hạn Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Nhóm p- nhóm hữu hạn - Các ứng dụng Định lý Sylow nhóm hữu hạn Phƣơng pháp nghiên... CHƢƠNG 2: NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ SYLOW Chương phần luận văn, trình bày số ứng dụng Định lý Sylow nhóm hữu hạn 2.1 KHẢO SÁT TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ LỚP NHĨM HỮU HẠN 2.1.1 Nhóm hữu hạn Mệnh... hiểu ứng dụng Định lý Sylow, chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ là: “ Những ứng dụng Định lý Sylow lý thuyết nhóm hữu hạn ” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cấu trúc nhóm p- nhóm hữu hạn