Luận văn sư phạm Định lý côsin và định lý sin trong tam giác

Khoá lu n t t nghi p Th Ph ng – K29B Tốn L i nói đ u L ng giác m t nh ng v n đ r t quan tr ng c a Toán h c, vi c v n d ng h th c l ng giác tam giác đ đ a ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác tam giác gi vai trò đ c bi t gi i tốn l ng giác nh lý cơsin đ nh lý sin tam giác hai h th c quan tr ng, cơng c r t có hi u l c đ gi i quy t công vi c H c sinh đ c rèn luy n nhi u v toán ch ng minh đ ng th c, b t d ng th c l ng giác không ch giúp cho h hi u rõ h n nh ng ng d ng c a đ nh lý tính tốn c ng nh th c t mà giúp h luy n t p k n ng gi i tốn l ng giác góp ph n làm rõ tính u vi t c a hai đ nh lý vi c gi i toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác khơng có u ki n có u ki n c ng nh v i mong mu n c a b n thân đ c n m ch c sâu h n v ki n th c l ng giác b c THPT đ sau tr ng d y h c đ c t t h n M t khác, v i mong mu n giúp em h c sinh khơng ch đào sâu ki n th c, mà th y đ c vai trò h t s c quan tr ng c a ki n th c l ng giác Tốn h c Chính nh ng lí k trên, d i s h ng d n c a th y giáo Phan H ng Tr ng, em nh n đ tài: “ nh lý côsin đ nh lý sin tam giác” làm khố lu n t t nghi p cho Trong khố lu n này, em xin đ c trình bày m t s v n đ quan tr ng sau đây: Ch ng I: M t s ki n th c c n thi t Ch ng II: Bài toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác khơng có u ki n Ch ng III: Bài toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác có u ki n Khố lu n t t nghi p đ c hoàn thành th i gian ng n nên khó tránh kh i nh ng m khuy t sai sót Kính mong đ c s góp ý, trao đ i c a th y, giáo tồn th b n sinh viên khoa đ khoá lu n đ c hoàn thi n h n đ n v i b n đ c Hà N i, tháng 05 n m 2007 Sinh viên th c hi n Th Ph ng Khoá lu n t t nghi p Th Ph ng – K29B Toán L i cam đoan Tơi xin cam đoan Khố lu n cơng trình nghiên c u c a riêng tơi Trong q trình nghiên c u, tơi k th a, v n d ng nh ng thành qu nghiên c u c a nhà khoa h c, nhà nghiên c u v i s trân tr ng bi t n Nh ng k t qu nêu khoá lu n ch a đ c công b b t k cơng trình khác Hà N i, tháng 05 n m 2007 Tác gi Th Ph ng Khoá lu n t t nghi p Th Ph ng – K29B Tốn Các kí hi u dùng khố lu n Trong tam giác ABC, ta kí hi u: a, b, c: đ dài c nh c a tam giác (a = BC, b = CA, c = AB); A, B, C: ba góc đ nh A, B, C c a tam giác; ha, hb, hc: đ dài đ ng ng c a tam giác k t đ nh A, B, ng cao t C; ma, mb, mc: đ dài đ ng trung n c a tam giác l n l t k t đ nh A, B, C; la, lb, lc: đ dài đ R, r: bán kính đ ng phân giác c a góc A, B, C t ng ngo i ti p n i ti p tam giác; ra, rb, rc: bán kính bàng ti p góc A, B, C t S: di n tích tam giác; a bc  p: n a chu vi c a tam giác  p     ng ng; ng ng; Khoá lu n t t nghi p Th Ph ng – K29B Toán M cl c Trang L i nói đ u L i cam đoan Các kí hi u dùng khố lu n Ch ng I: M t s ki n th c c n thi t Ch ng II: Bài toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l khơng có u ki n I Bài toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l Ch ng giác 10 ng giác khơng có u ki n II Gi i toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác khơng có u ki n nh s d ng đ nh lý côsin, đ nh lý sin 10 đ nh lý côsin m r ng tam giác III M t s ví d 10 11 IV Bài t p đ ngh 32 ng III: Bài toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l có u ki n I Bài toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác 35 ng giác có u ki n II Gi i toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác có u ki n nh s d ng đ nh lý côsin, đ nh lý sin đ nh lý côsin 35 m r ng tam giác III M t s ví d 35 36 IV Bài t p đ ngh 45 K t lu n 48 Tài li u tham kh o 50 Khoá lu n t t nghi p Ch I Th Ph ng – K29B Toán ng I: M t s ki n th c c n thi t nh lý côsin tam giác: nh lý: V i m i ฀ ABC, ta có: a2 = b2 + c2 – 2bccosA; b2 = a2 + c2 – 2accosB; c2 = a2 + b2 – 2bccosC; H qu : II b2  c  a ; cos A  2bc cos B  a  c  b2 ; 2ac cos C  a  b2  c ; 2ab nh lý sin tam giác: V i m i ฀ ABC, ta có: a b c    2R sin A sin B sin C III nh lý cơsin m r ng: Trong ฀ ABC b t kì, ta có: b2  c  a ; cot gA  4S cot gB  a  c2  b2 ; 4S cot gC  a  b2  c ; 4S Ch ng minh: Theo đ nh lý cơsin, ta có: a2 = b2 + c2 – 2bccosA = b2 + c2 – 2bcsinA.cotgA(*) Ta l i có: S  bc sin A  sin A  2S thay vào (*) ta đ bc c: Khoá lu n t t nghi p Th Ph a  b2  c  2bc Ch ng minh t b2  c  a 2S cot gA  cot gA  4S bc ng t , ta c ng đ a  c2  b2 c: cot gB  4S cot gC  a  b2  c 4S IV M t s ki n th c quan tr ng khác: Công th c v di n tích tam giác: 1 S  aha  bhb  chc ; 2 1 S  ab sin C  acsinB  bc sin A; 2 abc ; 4R S  pr ; S S p( p  a )( p  b)( p  c) : Công th c Hê-rông; S  ( p  a )ra  ( p  b)rb  ( p  c)rc ; Công th c v bán kính đ  Bán kính đ S  r  ng tròn: ng tròn ngo i ti p tam giác: abc a b c    R 2sin A 2sin B 2sin C Bán kính đ ng tròn n i ti p tam giác: S A B C  ( p  a )tg  ( p  b)tg  ( p  c)tg p 2 Bán kính đ ng tròn bàng ti p tam giác:  S A  ptg ; pa rb  S B  ptg ; p b rc  S C  ptg ; pc Công th c trung n c a tam giác: b2  c a ma   ; ng – K29B Toán Khoá lu n t t nghi p mb  Th Ph ng – K29B Toán a  c2 b2  ; a  b2 c mc   ; Công th c phân giác c a tam giác: la  2bc A bc cos = bc bc p ( p  a ); lb  2ac B ac cos = a c a c p( p  b); lc  2ab C ab cos = a b a b p ( p  c); M t s đ ng th c l ng giác c b n tam giác: a, sinA + sinB + sinC = 4cos A B C cos cos 2 b, sin2A + sin2B + sin2C = sinA sinB sinC c, cosA + cosB + cosC = + sin A B C sin sin 2 (1) (2) (3) d, cos2A + cos2B + cos2C = -1 - cosA cosB cosC (4) e, tgA + tgB + tgC = tgA tgB tgC ( ฀ ABC không vuông) f, cotgA cotgB + cotgB cotgC + cotgC cotgA = (5) (6) g, cotg h, tg A B C A B C + cotg + cotg = cotg cotg cotg 2 2 2 A B B C C A tg + tg tg + tg tg = 2 2 2 (7) (8) Ch ng minh: A B A B cos + sinC 2 a, Ta có: sinA + sinB + sinC = 2sin = 2cos C A B C C cos + sin cos 2 2 C = 2cos ( cos = cos A B A B + cos ) 2 C A B cos cos 2 V y cơng th c (1) b, Ta có: sin2A + sin2B + sin2C = 2sin(A+B) cos(A-B) + 2sinC cosC Khoá lu n t t nghi p Th Ph ng – K29B Toán = 2sinC cos(A-B) - 2sinC cos(A+B) = 2sinC[cos(A-B) - cos(A+B)] = sinC sinA sinB V y cơng th c (2) c, Ta có: cosA + cosB + cosC = 2cos = 2sin A B A B cos + cosC 2 C A B C cos + 1-2sin2 2 = + 2sin C A B A B [cos - cos ] 2 = + sin C A B sin sin 2 V y công th c (3) d, Ta có: cos2A + cos2B + cos2C = 2cos(A+B) cos(A-B) + 2cos2C – = -2cosC cos(A-B) – cosC cos(A+B) – = -1 – 2cosC[cos(A-B) + cos(A+B)] = -1 - cosA cosB cosC V y công th c (4) e, Ta có: A + B + C =   A + B =  -C  tg(A+B) = tg(  -C)  tg(A+B) = -tgC  tgA tgB  tgC  tgAtgB  tgA + tgB = -tgC + tgAtgBtgC  tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC V y công th c (5) f, Ch ng minh t ng t cơng th c (5) g, Ta có: A, B, C góc c a ฀ ABC Khi đó:  A  B  C 3 A B  C (  )(  )(  )   2 2 2 Hay    3    2 A  B  C ,  ,  c ng góc c a ฀ ABC 2 2 T (5) ta có: tg(   A  B  C  A  B  C ) + tg (  ) + tg (  ) = tg(  ) tg (  ) tg (  ) 2 2 2 2 2 Khoá lu n t t nghi p  cotg Th Ph ng – K29B Toán A B C A B C + cotg + cotg = cotg cotg cotg 2 2 2 V y công th c (7) đ c ch ng minh h, Ch ng minh t ng t công th c (7), t công th c (6) ta suy công th c (8) M t s b t đ ng th c l ng giác c b n tam giác: a, sinA + sinB + sinC  3 b, 1< cosA + cosB + cosC  c, cos (9) (10) A B C + cos + cos  2 2 d, < sin (11) A B C + sin + sin  2 2 (12) e, cotgA + cotgB + cotgC  f, tg A B C + tg + tg  2 (13) (14) g, cotg2A + cotg2B + cotg2C  (15) A B C + tg2 + tg2  2 (16) h, tg2 Ch ng minh: a, Ta có:   C C  A B A B cos sinA + sinB + sinC + sin = 2sin cos + 2sin 2 2 C  C  A B A B = 2sin cos +2sin (  ) cos (  ) 6 2 C  A B  2sin +2sin (  ) (vì < cos A B  1và ( sin , sin , sin >0) 2 2 2 3 A B A B C   2cos cos + 1-2sin2 2 2  4sin2 C C A B -4sin cos +1 0 2  (2sin C A B A B  : -cos ) + sin2 2 V y b t đ ng th c (10) c, B t đ ng th c (11) đ d, B t đ ng th c (12) đ c suy t (9) c suy t (10) e, Ta có: cotgA + cotgB + cotgC   (cotgA + cotgB + cotgC)2   cotg2A + cotg2B + cotg2C + 2(cotgA cotgB + cotgB cotgC + cotgC cotgA) 3  cotg2A + cotg2B + cotg2C +   cotg2A + cotg2B + cotg2C -1   cotg2A + cotg2B + cotg2C -(cotgA cotgB + cotgB cotgC + cotgC cotgA)   (cotgA -cotgB)2 + (cotgB – cotgC)2 + (cotgC – cotgA)2  0: V y b t đ ng th c (13) Các b t đ ng th c l i đ c suy t (13) Khoá lu n t t nghi p Th Ph ng – K29B Toán A B A B C C c s  2sin c s 2 2  sin Asin B C A B A B   c s 2c s  c s  2 2   sin Asin B C A B 2c s 2sin sin 2  A A B B 2sin co s 2sin co s 2 2 2sin A B  A B co s co s 2 A B B A sin co s  2sin co s 2 2  A B co s co s 2 A B  tg  tg 2 sin Nh v y: tg A B a bc  tg  2 hc Mà theo gi thi t: tg T (1) A B  tg  (2) 2 (1) (2) suy ra: a bc =  a  b  c  hc (đpcm) hc Ví d 3: Ch ng minh r ng n u tam giác ABC tho mãn: 2cot gA  cot gB  cot gC góc A c a tam giác tho mãn: A 600 Gi i áp d ng đ nh lý côsin m r ng cho ฀ ABC , ta có: cot gA  b2  c  a a  c2  b2 a  b2  c ; cot gB  ; cot gC  4S 4S 4S Do đó, theo gi thi t ta có: 2cot gA  cot gB  cot gC Khoá lu n t t nghi p  Th Ph ng – K29B Toán b2  c  a a  c  b2 a  b2  c   4S 4S 4S  2a  b  c  a  b2  c2  a  a  2bcc sA (vì theo đ nh lý cơsin ฀ ABC : b2  c  a  2bcc sA )  c sA  a2 2bc Theo b t đ ng th c Cơsi, ta có: b2  c  2bc nên: c sA  a2 a2 a2  2 2 2bc b  c 2a 2 Nh v y: c sA   A  600 b  c ฀ ABC tam giác đ u 2 cot gA  cot gB  cot gC D u “ = ” x y   Sau đây, s xét m t s toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác mà u ki n cho tr c cho d i d ng m t h th c đ i s : Ví d 4: Cho ฀ ABC tho mãn u ki n: a  b2  c  4R2 Ch ng minh r ng: 1 tgAtgB  tg 2C 1 tgAtgB Gi i Theo đ nh lý sin ฀ ABC , ta có: a  R sin A, b  R sin B, c  R sin C Do đó: a  b2  c  R2 (sin A sin B  sin C ) Mà theo gi thi t: a  b2  c  4R2 T (1) (2) suy ra: sin A sin B  sin C   sin A sin B   sin C  c s A  c s B     sin C 2   (c s A c s B)  sin C  c s ( A B).c s( A B)  sin C  c sC.c s( A B)  sin C (1) (2) Khoá lu n t t nghi p  Th Ph ng – K29B Toán c s( A B) sin C  sin C c sC c s( A B)  tgC sin( A B) c sAc sB  sin Asin B   tgC sin Ac sB  sin Bc sA  Chia c t m u v trái c a đ ng th c trên, ta đ  tgAtgB  tgC tgA tgB c: (3) Ta l i có: tgA tgB  sin A sin B sin Ac sB  sin Bc sA sin( A B)    c sA c sB c sAc sB c sAc sB sin C c sAc sB sin Cc sC  c sAc sBc sC c s ( A B)  tgC c sAc sB sin Asin B  c sAc sB  tgC c sAc sB  tgC (tgAtgB  1)  Nh v y, ta có: tgA tgB  tgC (tgAtgB  1) thay vào (3) ta đ c:  tgAtgB tgAtgB   tgC   tg 2C (đpcm) tgC (tgAtgB  1) tgAtgB  Ví d 5: Cho ฀ ABC tho mãn u ki n: c mb   Ch ng minh r ng: b mc 2cot gA  cot gB  cot gC Gi i Theo cơng th c trung n, ta có: 2(a  c )  b mb 2(a  c )  b   mc 2(a  b )  c 2(a  b )  c Do đó, t gi thi t ta có: c mb c2 m c 2(a  c )  b    b2   b mc b mc b 2(a  b )  c Khoá lu n t t nghi p Th Ph ng – K29B Toán  2a 2c  2b2c  c  2a 2b  2b 2c  b  2a (c  b2 )  (c  b )(c  b2 ) Vì (1) c   c  b2  nên t (1) suy ra: b a  (c  b )  2(b2  c  a )  (a  c  b2 )  (a  b  c )  2(b2  c  a ) a  c  b2 a  b  c   4S 4S 4S (2) Theo đ nh lý côsin m r ng ฀ ABC , ta có: cot gA  b2  c  a a  c2  b2 a  b2  c ; cot gB  ; cot gC  4S 4S 4S K t h p v i (2), ta có: 2cot gA  cot gB  cot gC (đpcm) Ví d 6: Cho tam giác ABC có di n tích S tho mãn u ki n: S  (c  a  b)(c  b  a ) Ch ng minh r ng: tgC  15 Gi i Theo gi thi t ta có:  a bc  a  b  c   b   a   4( p  a )( p  c) S  (c  a  b)(c  b  a )   2     S  16( p  a )2 ( p  b2 ) (1) Theo cơng th c Hê-rơng, ta l i có: S p( p  a )( p  b)( p  c)  S  p( p  a )( p  b)( p  c) (2) T (1) (2) suy ra: ( p  a )( p  b)  p( p  c) 16 (3) M t khác, theo đ nh lý côsin tam giác ta có: ( p  a )( p  b) C a  b2  c c  (a  b)2 (b  c  a )(a  c  b) 2sin   c sC      2 2ab 2ab 2ab ab Khoá lu n t t nghi p 2co s2 Th Ph ng – K29B Toán C a  b2  c (a  b)2  c (a  b  c)(a  b  c) p ( p  c)   c sC      2 2ab 2ab 2ab ab Do đó: tg C ( p  a )( p  b)  p ( p  c) (4) T (3) (4) suy ra: tg C C   tg  16 Vì v y, ta có: C 2   (đpcm) tgC  C 15  tg 1 16 2tg Ví d 7: Cho tam giác ABC có góc tho mãn u ki n: A 3B   Ch ng minh r ng c nh c a tam giác tho mãn: a  b  c Gi i Ta có:  3B  3B  A  sin A  c s     A B    2      A B  C   C    B sin C  c s B   2 Theo đ nh lý sin tam giác, ta có: a b c   sinA sin B sin C a b c   B 3B sin B c s c s 2 a b c    B B B B B c s 4c s  3c s 2sin cos 2 2 a b   c B B 4c s  2sin 2  Khoá lu n t t nghi p  Th Ph ng – K29B Tốn a b  c (theo tính ch t c a dãy t s b ng nhau) B B 4c s   2sin 2  a  b  c(4cos B B   2sin ) 2 5  B 1   a  b  c    2sin     c 2     V y ta có: a  b  c (đpcm) Nh n xét: Ngoài ra, u ki n cho tr c c a toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c có u ki n có th đ c cho d i d ng m t c p s c ng hay m t c p s nhân C th , ta xét ví d sau đây: Ví d 8: Ba c nh a, b, c c a tam giác ABC theo th t l p thành m t c p s c ng Ch ng minh r ng tam giác tho mãn h th c sau: a, cos A C  2sin B b, 2sin A.sin C (1  cos B)  3sin B Gi i Ta có: a, b, c theo th t l p thành m t c p s c ng (gi thi t) Suy ra: a + c = 2b (1) a, Theo đ nh lý sin ฀ ABC , ta có: a  R sin A, b  R sin B, c  R sin C Do đó: (1)  R(sin A sin C )  R sin B A C A C  2sin B cos 2 B A C B B  cos cos  2sin cos 2 2  2sin  cos A C B  2sin 2 b, Ta có: (1)  (a  c)2  4b  (a  c)  b  3b  a  c  b2  2ac  3b2 (2) Theo đ nh lý cơsin ฀ ABC , ta có: Khố lu n t t nghi p Th Ph ng – K29B Toán a  c  b2  2ac cos B Theo đ nh lý sin ฀ ABC , ta có: a  R sin A, b  R sin B, c  R sin C Do đó, t (2) suy ra: 2ac cos B  2ac  3b  2ac(1  cos B)  3b  2.4 R2 sin AsinC (1  cos B)  3.4 R2 sin B  2sin Asin C (1  cos B)  3sin B (đpcm) Ví d 9: Ch ng minh r ng n u tam giác ABC có sin2A, sin2B, sin2C theo th t l p  thành m t c p s c ng B  Gi i Ta có: sin2A, sin2B, sin2C theo th t l p thành m t c p s c ng (theo gi thi t) Suy ra: sin A sin C  2sin B (1) Theo đ nh lý sin ฀ ABC , ta có: sin A  a b c ,sin B  ,sin C  2R 2R 2R Do đó, t (1) suy ra: a  c  2b2  a  c  b2  b2  2acocsB  b2 (vì theo đ nh lý cơsin tam giác có: a  c  b2  2acocsB ) b2  cos B  2ac (2) Mà theo b t đ ng th c Cơsi, ta có: a  c  2ac nên t (2): cos B  b2 b2 b2  2  2 2ac a  c 2b Nh v y, ta có: cos B    B  (đpcm) Ví d 10: Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C theo th t l p thành m t c p s nhân v i công b i q = Ch ng minh r ng: Khoá lu n t t nghi p a, Th Ph ng – K29B Toán 1   a b c b, a  b2  c  R2 Gi i Vì A, B, C ba góc c a tam giác ABC theo th t l p thành m t c p s nhân v i công b i q = nên ta có:   A  A B  C    2    B  B  A C  A   4  C   Theo đ nh lý sin ฀ ABC , ta có: 1 1 1 ,  ,   a R sin  b R sin 2 c R sin 4 7 a, Ta có:  1  1     b c R  sin 2 sin 4  7  4 2 3   2sin cos  sin  sin 7       R sin R 2sin co s sin(  4 ) sin  7 7   R sin Nh v y, ta có:  1   a b c b, Ta có: a  b2  c  4R2 (sin   R2 (1  cos  sin 2 4  sin ) 7 2 4 8   cos   cos ) 7   2 4 6  R2 3   cos  cos  cos 7   (vì cos Ta tính t ng: S  cos    (1) 8 8 6  cos(2  )  cos ) 7 2 4 6  cos  cos 7 (2)  a Khoá lu n t t nghi p Th Ph Nhân c hai v c a (2) v i sin 2sin  2sin   S  sin S  sin  7  ta đ c: 2  4  6  sin cos  sin cos 7 7 3  5 3 5  sin  sin  sin  sin   sin 7 7  2sin T suy ra: S   cos  ng – K29B Toán  S   sin  thay vào (1) ta đ c: a  b2  c  R2 (đpcm) IV Bài t p đ ngh : Bài Cho tam giác ABC tho mãn u ki n: tg A B tg  2 Ch ng minh r ng: c  (a  b) Bài Cho tam giác ABC có: a  b4  c Ch ng minh r ng tam giác ABC tam giác nh n tho mãn: tgBtgC  2sin A Bài Cho tam giác ABC tho mãn h th c: sin B a c  2a Ch ng minh r ng: a  b2  c Bài Cho ABC tam giác có góc tho mãn: cot gC  2(cot gA cot gB) Ch ng minh r ng: tam giác ABC có hai đ ng trung n AM, BN vng góc v i Bài Ch ng minh r ng n u tam giác ABC tho mãn u ki n sau: a  cot gA  c b sin A (v i b  c ) ta có: A + B = C Bài Cho tam giác ABC có góc tho mãn h th c: Khoá lu n t t nghi p Th Ph ng – K29B Toán cos A cos B   cot g A cot g B 2 sin A sin B Ch ng minh r ng: sinA = sinB Bài Các c nh góc c a tam giác ABC tho mãn u ki n:  cos B 2a  c  sin B 4a  c Ch ng minh r ng: a = b Bài Cho tam giác ABC tho mãn h th c: atgB  btgA  (a  b)tg A B Ch ng minh r ng: A = B Bài Ch ng minh r ng n u tam giác ABC tho mãn u ki n: a sin B  b2 sin A  c cot g C ta có: cos(A – B) =1 Bài 10 Tam giác ABC có góc tho mãn: 5sin A cos B  cos 2C  Ch ng minh r ng: sin A AGB  C  1800 Bài 11 Cho tam giác ABC v i tr ng tâm G tho mãn: ฀ Ch ng minh r ng: a  b2  2c Bài 12 Cho tam giác ABC tho mãn u ki n: ma  c Ch ng minh r ng: sin A  2sin( B  C ) Bài 13 V i ABC tam giác không vuông tho mãn: mc  R Ch ng minh r ng: 3tgAtgB  1 Bài 14 Ch ng minh r ng tam giác ABC n u B = 2C ta có: a, b2  ac  c b, r  (b  c)sin C Bài 15 Cho tam giác ABC tho mãn h th c: rc  r   rb Ch ng minh r ng: tg C  Bài 16 Ba c nh a, b, c c a tam giác ABC theo th t l p thành m t c p s c ng Ch ng minh r ng: Khoá lu n t t nghi p Th Ph a, tg A C tg  2 b, sin Asin C  3sin Bài 17 Cho tam giác ABC có tg c ng Ch ng minh r ng: 2cos ng – K29B Toán B A B C , tg , tg theo th t l p thành m t c p s 2 B A C  cos 2 Bài 18 Ch ng minh r ng tam giác ABC n u cotgA, cotgB, cotgC theo th t l p thành m t c p s c ng ta có h th c: 2b2  a  c Bài 19 Ch ng minh r ng n u ba c nh a, b, c c a tam giác ABC theo th t l p thành m t c p s c ng góc B tho mãn:  B Bài 20 Các góc A, B, C c a tam giác ABC theo th t l p thành m t c p s nhân Ch ng minh r ng: a, bc  a (a  b) b, bc  c  a b a c, cos A cos B  cos C   Khoá lu n t t nghi p Th Ph ng – K29B Toán K t lu n Gi i toán l ng giác m t v n đ r t phong phú đa d ng ch ng trình Tốn nhà tr ng ph thơng M t ph n gi vai trò đ c bi t quan tr ng c a ch đ h th c l ng tam giác Vi c ch ng minh đ ng th c b t đ ng th c l ng giác bi u th m i liên h gi a y u t m t tam giác m t công vi c r t hay khó đ i v i h c sinh ph thông Tuy nhiên, n u em bi t v n d ng linh ho t sáng t o ki n th c h c v l ng giác cơng vi c s tr nên đ n gi n h n M t công c r t có hi u qu tr giúp đ c l c cho vi c ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác tam giác hai đ nh lý côsin đ nh lý sin Chính v y, sau nghiên c u hồn thành khố lu n t t nghi p này, em xin đ c nêu lên m t vài suy ngh c a b n thân v vi c d y h c đ nh lý côsin đ nh lý sin tam giác cho h c sinh l p 10 nh sau: 1) C n t o u ki n cho h c sinh ti p c n v i nhi u tài li u tham kh o v vi c s d ng đ nh lý côsin đ nh lý sin tam giác đ gi i toán v i nhi u d ng t p đ c phân lo i t m c đ d đ n m c đ khó 2) V vi c xây d ng h th ng t p sách giáo khoa Hình h c 10: S l ng t p c ng c cho h c sinh v hai đ nh lý t ng đ i nhi u, nhiên m i ch d ng l i t p tính tốn y u t tam giác, tốn ch ng minh đ ng th c b t đ ng th c l ng giác tam giác h u nh ch a có C n ph i b xung thêm m t s toán ch ng minh h th c l ng tam giác vào h th ng t p đ h c sinh th y đ c vai trò quan tr ng c a hai đ nh lý gi i toán l ng giác 3) V vi c gi ng d y hai đ nh lý côsin đ nh lý sin Hình h c 10: Khi gi ng d y ti t lý thuy t v hai đ nh lý này, giáo viên c n nh n m nh m i liên h gi a y u t tam giác th hi n hai đ nh lý đ h c sinh có th n m đ c n i dung c a đ nh lý đ a m t h th ng ví d (bao g m c ví d tính tốn y u t tam giác c ví d ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác tam giác) đ h c sinh bi t v n d ng đ nh lý vào gi i toán th y đ c ng d ng c a hai đ nh lý th c t Trên nh ng ý ki n c a riêng em v v n đ đ c quan tâm vi c gi ng d y đ nh lý côsin đ nh lý sin tam giác cho h c sinh l p 10 Khoá lu n t t nghi p Th Ph ng – K29B Tốn góp ph n làm rõ tính u vi t c a hai đ nh lý côsin đ nh lý sin tam giác, khoá lu n đ a h th ng ví d v i h th ng t p v hai l p toán: toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác khơng có u ki n toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác có u ki n V i khố lu n nh c a em, em mong r ng s giúp đ đ c ph n b n sinh viên, đ c bi t sinh viên s p tr ng có thêm m t tài li u tham kh o b ích cho vi c nghiên c u gi ng d y n i dung l ng giác đ c t t h n ng th i, c ng m t tài li u giúp em h c sinh n m ch c ki n th c h n, có đ c m t cách nhìn m i, m t ph ng pháp t m i sâu, r ng h n q trình em gi i tốn M c dù c g ng r t nhi u, song b c đ u làm quen v i nghiên c u khoa h c kh n ng t ng k t kinh nghi m c a b n thân h n ch nên khố lu n khơng tránh kh i nh ng thi u sót Kính mong đ c s ch b o, đóng góp ý ki n c a th y cô giáo b n sinh viên đ khoá lu n t t nghi p c a em đ c hoàn thi n h n, có giá tr th c ti n h n Cu i cùng, cho phép em đ c bày t lòng bi t n chân thành sâu s c đ i v i th y giáo Phan H ng Tr ng, ng i đ ng viên, ch b o t n tình giúp đ em hồn thành khố lu n ng th i, em xin trân tr ng c m n th y giáo khoa Tốn, đ c bi t th y giáo t Hình h c toàn th b n sinh viên khoa đóng góp nhi u ý ki n quý báu cho khoá lu n c a em Hà N i, tháng 05 n m 2007 Sinh viên th c hi n: Th Ph ng Khoá lu n t t nghi p Th Ph ng – K29B Toán Tài li u tham kh o 1) Phan Huy Kh i (2005) Toán nâng cao l ng giác THPT – NXB Hà N i 2) Hàn Liên H i, Phan Huy Kh i, Ng c Nam, Lê T t Tôn (1996) Tốn b i d ng h c sinh hình h c 10 – NXB Hà N i 3) Hàn Liên H i, Phan Huy Kh i, Ng c Nam, Lê T t Tơn (1996) Tốn b i d ng h c sinh PTTH l ng giác – NXB Hà N i 4) Tr n Thành Minh, Tr n Quang Ngh a, Nguy n Qu c, Nguy n Anh Tr ng (2001) Gi i tốn hình h c 10 – NXB Giáo d c 5) Tr n Thành Minh, Tr n Quang Ngh a, Lâm V n Tri u, D Gi i toán l ng Qu c Tu n (2001) ng giác – NXB Giáo d c 6) Lê Quang ánh, Nguy n Thành D ng, Tr n Thái Hùng, Ph m T n Ph Gi i đ thi n sinh đ i h c chuyên đ l c (1998) ng giác – NXB TPHCM 7) Nguy n Ng c Thu (2001) Tuy n t p chuyên đ l ng giác – NXB Tr 8) Phan Huy Kh i (1998) Tuy n ch n toán l 9) Võ ng giác (T p 1) – NXB Giáo d c i Mau (1999) Phân lo i ph ng pháp gi i toán l ng giác – NXB Tr 10) H i toán h c Vi t Nam (2003) Tuy n t p n m t p chí Tốn h c tu i tr (1991 – 1995) – NXB Giáo d c Khoá lu n t t nghi p Th Ph ng – K29B Toán ... sin C  sin  asinB (6) Theo đ nh lý sin cho ฀ ABC , ta có: a c c sin C    sin A sin C a sin A Do đó: (6)  sin C.c s  sin  c sC sin C  sin  sin Asin B sin C.c s  sin  c sC sin( A... nh lý sin ฀ ABC , ta có: a  RsinA; b  R sin B; c  R sin C Do đó: B T (2)  R sin Ac sA R sin Bc sB  R sin Cc sC  R (sin A sin B  sin C ) sin A sin B  sin 2C  2 (sin A sin B  sin. .. M t s đ ng th c l ng giác c b n tam giác: a, sinA + sinB + sinC = 4cos A B C cos cos 2 b, sin2 A + sin2 B + sin2 C = sinA sinB sinC c, cosA + cosB + cosC = + sin A B C sin sin 2 (1) (2) (3) d, cos2A