Luận văn sư phạm Định lí Ceva và định lí Menelaus trong E2

L IC M N Tơi xin bày t lịng c m n chân thành sâu s c t i: Th y Phan H ng Tr ng s h ng d n, ch b o t n tình, nh ng nh n xét góp ý quý báu c a th y c q trình tơi th c hi n khố lu n Các th y khoa Tốn d y d tơi su t q trình h c t p t i tr ng Ban giám hi u, phòng đào t o t o u ki n t t nh t đ hồn thành khố lu n Gia đình, bè b n giúp đ đ ng viên tinh th n cho HƠ N i, ngƠy 25 tháng n m 2010 Ng i th c hi n Nguy n Th Len -6- L I CAM OAN Tôi xin cam đoan k t qu đ tài đúng, xác, khách quan, trung th c không trùng v i k t qu c a tác gi khác N u sai xin hoàn toàn ch u trách nhi m HƠ N i, ngƠy 25 tháng n m 2010 Ng i th c hi n Nguy n Th Len -7- M CL C Trang L ic m n L i cam đoan M cl c L i nói đ u Ch ng 1: nh lí Ceva 1.1 Vài nét v tác gi Ceva n i dung đ nh lí Ceva ng d ng c a đ nh lí Ceva gi i toán 1.2 1.3 M r ng c a đ nh lí Ceva 34 1.4 D ng l 37 1.5 ng giác c a đ nh lí Ceva nh lí đ ng quy ng giác l i 1.6 S đ ng quy c a đ Ch ng 2: ng vng góc nh lí Menelaus 41 43 47 2.1 Vài nét v tác gi Menelaus n i dung đ nh lí Menelaus 47 2.2 D ng m r ng c a đ nh lí Menelaus 49 2.3 ng d ng c a đ nh lí Menelaus vi c gi i tốn hình 51 h c ph ng Ch ng 3: M t s bƠi t p c ng c 63 K t lu n 70 TƠi li u tham kh o 71 -8- Ch ng 1: nh lí Ceva 1.1 VƠi nét v nhƠ toán h c Ceva n i dung đ nh lí Ceva 1.1.1 VƠi nét v nhƠ tốn h c Ceva Giovani Ceva sinh ngày tháng 12 n m 1647 t i Milan, n m t ngày 15 tháng n m 1734 t i Mantua, n Thu nh , ông theo h c t i tr h c t i tr Tốn t i tr ng c Ý.Ơng c Ý ng dòng thiên chúa giáo i h c Pisa sau đó, n m 1686 đ Milan, l n lên ông c b nhi m làm giáo s ng đ i h c Mantua, n i ông g n bó su t cu c đ i N m 1686, m i đ c b nhi m, Giovani Ceva làm vi c d c a vua Gonzagas Tuy nhiên, n m 1708 n i quy n cai tr c Áo đem quân chi m đóng b t đ u xây d ng công s , Giovani Ceva nhanh chóng chuy n sang làm vi c d i ch đ th ng tr c a ng in c Áo Ph n l n cu c đ i Giovani Ceva giành cho nghiên c u hình h c Ơng khám phá m t nh ng k t qu quan tr ng v tam giác b ng ph pháp hình h c t ng h p nh lí phát bi u r ng đ ng ng th ng qua đ nh c a m t tam giác c t c nh đ i di n rõ ràng đ ng quy tích t s đo n th ng chia c nh tam giác b ng nh lí Ceva đ c in cu n “ De lineis rectis” (1678) Ceva cho xu t b n “ Opuscula mathematica” n m 1682 Trong “Geometria Motus” (1692), m t ch ng m c đó, ơng đ c p đ n phép tính vi phân N m 1711, ơng cho đ i cu n “Dere Nummeraria”, m t nh ng cơng trình đ u tiên v tốn kinh t , nh m tìm u ki n cân b ng cho h th ng ti n t c a bang Mantua Ceva c ng có nh ng cơng trình quan tr ng v thu l c h c, tiêu bi u cu n “Opus hydro staticum” (1728) Ông m t viên ch c nh -9- Mantua, dùng ki n th c c a v thu l c h c đ bác b thành cơng d án ng n dịng ch y sơng Reno đ vào sông Po 1.1.2 N i dung đ nh lí Ceva G i E, F, G ba m t ng ng n m c nh BC, CA, AB c a tam giác ABC Lúc đó, ba đ ng th ng AE, BF, CG c t t i m t m O ch : AG BE CF 1 GB EC FA A F K G O E B C L Ch ng minh Ph n thu n: Gi s AE, BF, CG c t t i m t m O T A, C k đ t i K, L t Ta có: ng th ng song song v i BF, chúng l n l ng ng AG BE AK  GB EC CL (1) AK AO FA   (2) CL OL CF T (1) (2) ta thu đ c: AG BE FA  GB EC CF - 10 - t c t CG AE  AG BE CF 1 GB EC FA (đi u ph i ch ng minh) Ph n đ o Gi s E, F, G l n l t n m ba c nh BC, CA, AB tho mãn AG BE CF 1 GB EC FA Ta ph i ch ng minh AE, BF, CG đ ng quy G i AE c t BF t i O N i C v i O c t AB tai G1 Khi theo ph n thu n ta có: Mà theo gi thi t ta có: AG BE CF 1 G1B EC FA AG AG AG BE CF 1   GB EC FA G1B GB  G1  G  AE, BF, CG đ ng quy t i O 1.1.3 Nh n xét : (a) Trong ch ng minh ph n thu n c a đ nh lí Cêva s d ng t s di n tích nh sau: A K B C E H G i K, H hình chi u c a B, C xu ng đ Khi : BE BK  EC CH - 11 - ng th ng AE M t khác: SAOB SCOA BK.AO BK   CH.AO CH Do : T BE SAOB  EC SCOA ng t ta đ c:  AG SCOA  GB  S  BOC   CF  SBOC  FA SAOB Nh v y: AG BE CF SCOA SAOB SBOC  GB EC FA SBOC SCOA SAOB  (b) AG BE CF 1 GB EC FA t lòng tơn kính Ceva ng i ta g i đo n th ng AE, BF, CG Cevian T ng quát : m t Cevian m t đo n th ng n i m t đ nh c a tam giác v i m t m c nh đ i c a đ nh 1.2 ng d ng c a đ nh lí Ceva vi c gi i tốn hình h c ph ng 1.2.1 Ví d ( Các m đ c bi t tam giác) Dùng đ nh lí Ceva, ch ng minh a) Ba đ m đ c g i tr ng tâm b) Ba đ đ ng trung n c a m t tam giác đ ng quy t i m t m, ng phân giác c a m t tam giác đ ng quy t i m t m ( tâm ng tròn n i ti p) c) Ba đ ng cao c a m t tam giác đ ng quy t i m t m, m g i tr c tâm - 12 - d) G i D, E, F ti p m tròn n i ti p tam giác ABC ng v i c nh BC, CA, AB Ch ng minh r ng: Các đ t i m t m, m đ ng th ng AD, BE, CF giao c g i m Gergonne e) Cho tam giác ABC v i trung n AM Gi s CAM  MAB Ta nói ASa m t đ i trung n c a tam giác ABC n u Sa thu c c nh BC BASa  CAM Ch ng minh r ng : Trong m t tam giác, ba đ i trung n đ ng quy t i m t m, m đ c g i m Lemoine g) G i Xa ti p m c a c nh BC v i đ bàng ti p góc A c a tam giác ABC m Xb Xc c nh t Ch ng minh r ng: Ba đ ng tròn tâm Ia , đ nh ngh a t ng t nh th cho ng ng AC AB ng th ng AXa , BXb , CXc giao t i m t c g i m Nagel m , m đ Gi i a) A N P B G i M, N, P l n l  ng M t trung m c a BC, CA , AB BM CN AP 1 MC NA PB  Theo đ nh lí Ceva AM , BN , CP đ ng quy - 13 - C A b) E F B C D Theo tính ch t c a đ ng phân giác, ta có : BD AB CE CB AF AC   ; ;  DC AC EA BA FB BC  BD CE AF AB CB AC  DC EA FB AC BA BC Theo đ nh lí Ceva AD , BE , CF đ ng quy c) A E F C D B Ta có:  ACD  BCE hai tam giác đ ng d ng  CE BE  CD AD (1)  AFC  AEB hai tam giác đ ng d ng  AF CF  AE BE (2)  BAD  BCF hai tam giác đ ng d ng  BD AD  FB CF (3) T (1), (2), (3) ta đ c: AF BD CE AF BD CE CF AD BE  = =1 FB DC EA AE FB CD BE CF AD - 14 -  AF BD CE 1 FB DC EA  Theo đ nh lí Ceva AD , BE , CF đ ng quy d) A E F B D G i D, E , F l n l C t ti p m c a đ ng tròn n i ti p tam giác ABC v i c nh BC , CA , AB Khi : BD = BF , CD = CE , AE = AF V y: BD CE AF BD CE AF  = DC EA FB BF CD AE Do theo đ nh lí Ceva AD , BE , CF đ ng quy e) A B C Sa Ma G i ba đ i trung n c a  ABC ASa , BSb , CSc Ta tính di n tích tam giác b ng cách s d ng hai công th c 2S = a.b.sinC 2S = c.hc - 15 - Do tr ng h p (*) đ c tho mãn (hình 1) Gi s X n m gi a A B’ (hình 2) Gi s XG c t AC t i Y’ Lúc đó, G n m khác phía v i B C so v i đ C Suy ra: ng th ng XY nên Y ph i n m gi a Y’ SGYC '  SGY 'C' Nh v y, tr SXGB'  SY 'GC ' ng h p này, ta c n ch ng minh: Áp d ng đ nh lí Menelaus vào tam giác ABC đ ng th ng XGY’ ta có: XB ' GC' Y ' A 1 XA GB Y ' C Hay XB ' Y' C'   , G trung m c a B’C’ XA Y' A Suy ra: AB' AX XB '   AC AY' Y' C' G i hB kho ng cách t G đ n AB hC kho ng cách t G đ n AC Ta có:  h B AB' SAGB'  1 h C AC ' SAGC ' h B AB'  h C AC'  h C XB'  h B Y' C' V y : SBXGY + SCYGX   SY 'GC '  SXGB ' ng th c x y X  B' Y  C' hay SBXGY + SCYGX =  XY // BC XY qua G - 62 - 2.3.7 Ví d ( Olympic Bulgaria, vịng 3, 1998) Cho t giác ABCD có AD = CD; DAB  ABC < 900.Qua D k đ th ng đ n trung m BC, đ ng th ng c t đ ng ng th ng AB t i E Ch ng minh r ng: BEC  DAC Gi i A D B M P C E G i M trung m c a BC, gi s AD c t c nh BC t i N, AN c t c nh EC t i P Áp d ng đ nh lí Menelaus cho tam giác DMN:  P, C, E th ng hàng Ta có: PD CN EM 1 PN CM ED (1)  A, B, E th ng hàng Ta có: T (1)  AD BN EM 1 AN BM ED PD CM.ED  PN CN.EM (2) (3) M t khác: NAB  ABN nên ABN tam giác cân Vì v y AN = BN - 63 - T (2) ta có: AD.EM ED AD 1  th vào (3) ta đ BM.ED EM BM c: PD CM AD AD   PN CN BM CN Do AD = CD theo gi thi t nên PD CD  PN CN  CP phân giác c a góc DCN  ACP  ACD  DCP  (NBC  DCN )  NAB  DCP  CAB  BEC  ABC  BCE  BAD  DCP  DAC t c BEC  DAB (đi u ph i ch ng minh) 2.3.8 Ví d (Balkal, Senior, 1995) Cho đ ng tròn tâm O O’ g p t i A B, cho OA  OA’ OO’ c t hai đ m t đ ng tròn C, E, D, F cho m C, O, E, D, O’, F n m ng th ng theo th t BE c t đ th hai K c t CA t i M BD c t đ c t AF t i N Ch ng minh r ng: ng tròn tâm O’ t i m th hai L KE LN O' E  KM LD OD Gi i - 64 - ng tròn tâm O t i m M L K A N L F D C O D O' AOO'  2ACF Ta có:  AO ' O  2AFC Mà AOO'AO' O  1800  OAA'  900  AC F  AFC  450 O' AL  1800  AO ' L  ALO '  2OAL  1800  AO ' L  O' AL  900  AO ' L  CAL  CAO  OAO'O' AL  ACD  1800  ABL V y: CAL  1800  C, A, L th ng hàng T ng t : K, A, F th ng hàng Áp d ng đ nh lý Menelaus vào tam giác CME v i K, A, F th ng hàng, ta có: KE AM FC 1 KM AC FE Áp d ng đ nh lý Menelaus vào tam giác FND v i L, A, C th ng hàng, ta có: LD AN CF 1 LN AF CD - 65 -  KE LN AC.FE.AN.CF AC.AN.FE AC.AN O' E    KM LD AM.FC.AF.CD AM.AF.CD AM.AF.O D Ta có: MAN  CAF  1800 (ACF  AFC)  1800  450  1350 MBN  EBA  ABD  EFA  ACD  450  T giác AMBN n i ti p đ  AMN  ABN (1) Mà t giác ACBD n i ti p đ Và ng tròn ACD  ACF  ABN  ABD ng tròn (O)  ABD  ACD (2) (3) T (1),(2),(3) ta có: AMN  ACF  MN // CF V y:  AC AF  AM AN  AC.AN 1 AM.AF KE LN O' E  (đi u ph i ch ng minh) KM LD OD - 66 - CH NG 3: M T S BÀI T P C NG C Bài 3.1: Thi h c sinh gi i vùng c a M (ARML), 1997 Cho hình thang ABCD v i AB > CD; E giao m c a hai c nh bên AD BC; F trung m c a AB a) Ch ng minh r ng: AC, BD, EF đ ng quy b) Bi t di n tích hình thang b ng ng chéo hình thang có th l y giá tr bé nh t bao nhiêu? Bài 3.2 Trên c nh AB, BC, CA c a tam giác ABC, ta l y m C1, A1,B1 t ng ng cho đ ng th ng AA1, BB1 ,CC1 đ ng quy t i O th ng v qua O song song v i AC c t đ ng th ng A1B1, B1C1 t ng ng ng t i m K, M Ch ng minh r ng OK = OM Bài 3.3 ( Olympic Toán h c Bankal, 1998) Cho tam giác ABC vuông, không cân, n i ti p đ l nl ng tròn (O) G i A1,B1,C1 t trung m c a c nh BC, CA, AB Trên tia OA1 l y A2 cho tam giác OAA1 đ ng d ng v i tam giác OA2A Trên tia OB1, OC1 t t cho m B2 , C2 Ch ng t r ng: đ ng ng th ng AA2, BB2, CC2 đ ng quy t i m t m Bài 3.4 ( Olympic Toán h c mùa ông Bulgaria, P.9.2, 2001 ) Cho m A1, B1, C1 l n l t n m c nh BC, CA, AB c a tam giác ABC G i G tr ng tâm c a tam giác ABC; Ga, Gb Gc l n l - 67 - t tr ng tâm c a tam giác AB1C1, BA1C1 CA1B1 Kí hi u G1, G2 t ng ng tr ng tâm c a tam giác A1B1C1 tam giác GaGbGc Ch ng minh r ng: a) Các m G, G1 G2 th ng hàng b) Ba đ ng th ng AGa, BGb CGc đ ng quy t i m t m n u ch n u AA1, BB1 CC1 đ ng quy Bài 3.5 Trong tam giác ABC, g i M trung m c a c nh BC, cho AB = 12 AC  16 2AF Các đ i m E F l y l n l t hai c nh AC AB cho AE = ng th ng EF AM c t t i G Hãy tính t s EG GF Bài 3.6 ( Balkan, Junior, 2001 ) Cho tam giác ABC có C  900 , CA  CB CH đ ng cao, CL phân giác Ch ng minh r ng v i m i m X  C n m đ XAL  XBC v i m i m Y  C n m đ ng th ng CL ta có ng th ng CH ta c ng có YAC  YBC Bài 3.7 ( Olympic Bulgary, Vòng 3, 1996) Cho hai đ đ ng trịn k1, k2 l n l t có tâm O1, O2 ti p xúc t i C M t ng trịn k có tâm O ti p xúc v i c hai đ ti p n chung t i C c a k1, k2; AB đ ng tròn k1, k2 G i (d) ng kính vng góc v i (d) c a k ; m A O1 n m m t n a m t ph ng v i b đ (d) Ch ng minh r ng ba đ ng th ng AO2, BO1 (d) đ ng quy - 68 - ng th ng Bài 3.8 Cho t giác l i ABCD tho mãn u ki n BAD  900 G i M, N l n l t hai m n m BC CD cho MAD  NAB  900 Ch ng t r ng n u MN BD c t t i I IA  AC BƠi 3.9 ( Olympic toán h c Mùa Xuơn Bulgaria, P.10.2, 2001 ) G i A1, B1 l n l G i D, E l n l t hai m n m c nh BC, CA c a tam giác ABC t giao c a AA1 BB1, A1B1 CD Ch ng minh r ng n u A1 EC  900 m A, B, A1, E n m m t đ ng trịn AA1= BA1 BƠi 3.10 ( Thi h c sinh gi i Romania, Problem 10.2, 1999) M t m t ph ng c t c nh AB, BC, CD, DA c a t di n đ u ABCD t i m t ng ng M, N, P, Q Ch ng minh r ng MN.NP.PQ.QM  AM.BN.CP.DQ H ng d n gi i Bài 3.1 a) Áp d ng đ nh lí Ceva cho tam giác ABE v i Cevian EF, BD, AC b) G i D1 ,C1 l n l t hình chi u c a D C lên AB t d1= BD, p1 = BD, p2 =AC1, CC1 = h, AB = a, CD = b Không m t tính t ng qt, có th gi s d1  d2 , p1  p2 D th y, p1+ p2  a + b Ta có: S p1  a  b  ABCD  h h - 69 - Sau áp d ng b t đ ng th c Cơsi, ta tính đ V yđ c d1  ng chéo c a hình thang có th l y giá tr bé nh t Bài 3.2 V qua B đ t ng th ng song song v i AC c t đ ng th ng B1C1 B1A1 ng ng t i m M1, K1 M nh đ ch ng minh t ng đ ng v i vi c ch ng minh BM1 = BK1 S d ng s đ ng d ng c a hai tam giác AB1C1 BM1C1 đ nh lí Ceva ta suy đ c u ph i ch ng minh Bài 3.3 Ta ch ng minh A2 , B2, C2 l p thành đ nh c a m t tam giác nh n O làm tâm đ ng tròn n i ti p, A, B, C ti p m Sau ta đ a toán cho v toán quen thu c: Trong m t tam giác, ba đ v i m ti p xúc c a đ ng th ng n i ba đ nh ng tròn n i ti p đ ng quy Bài 3.4 a) S d ng ph ng pháp vect b) B ng vi c xét t s di n tích, sau s d ng đ nh lí Ceva Bài 3.5 Kéo dài BC FE c t t i H Áp d ng đ nh lí Menelaus vào tam giác FBH v i ba m G, A, M th ng hàng tam giác ECH v i ba m G, A, M th ng hàng Sau tính tốn ta đ c GE  GF - 70 - Bài 3.6 Áp d ng đ nh lí Menelaus vào tam giác m:  OAB A1, B1,C1  OBC B1, C1, A1  OAC A1, C1, B1 Sau ta nhân v v i v c a h th c ta thu đ c u ph i ch ng minh Bài 3.7 Ch ng minh b ng ph ng pháp ph n ch ng Bài 3.8 Ta kí hi u r, r1, r2 l n l t bán kính c a k, k1 k2; G i M, N t ng ng ti p m c a k v i k1 k2; P giao m c a (d) AB Các đ ng th ng AN, BM, (d) có chung m H, m g i tr c tâm c a tam giác ABC Áp d ng đ nh lí Ceva, sau ta có k t qu sau: m c a (d) v i đ ng th ng BO1 , AO2 l n l giác O1CD BPD1 đ ng d ng nên  CD1 r  T D1 P PB CD1 CD  D1 P D P  D1  D - 71 - r1 r  Gi s giao PB AP t D1 D2 Có hai tam ng t , ta có: CD r  D P AP Bài 3.9 G i F giao c a AE BC gi i toán, ta ch c n ch ng minh EA1 phân giác c a góc BEF Bài 3.10 S d ng đ nh lí Cosin vào tam giác MBN b t đ ng th c Trung bình c ngtrung bình nhân Sau áp d ng đ nh lí Menelaus cho tam giác ABC v i M, N, T th ng hàng tam giác ADC v i Q, P, T th ng hàng - 72 - K T LU N Có th nói r ng vi c ch ng minh toán đ ng quy th ng hàng hình h c ph ng b ng vi c s d ng hai đ nh lí Ceva Menelaus, nhi u khơng h d dàng Trong khố lu n, tơi đ a m t s ví d minh ho t p t gi i v i mong mu n hình thành k n ng kh n ng suy lu n cho b n đ c Hi v ng r ng, khoá lu n s tài li u đ cho b n đ c yêu toán phát tri n nhi u tốn hay, sâu h n có s d ng đ nh lí Ceva Menelaus M t l n n a tơi xin bày t lịng c m n chân thành, sâu s c c a t i th y Phan H ng Tr ng, giáo viên tr c ti p h ng d n đ tơi có th hồn thành t t khố lu n M c dù h t s c c g ng song h n ch v kh n ng ki n th c nên khố lu n khơng tránh kh i nh ng thi u sót Tơi r t mong nh n đ góp ý c a th y b n đ c Xin chân thành c m n ! - 73 - cs TÀI LI U THAM KH O [1] Nguy n V n Nho (2007), Nh ng đ nh lí ch n l c hình h c ph ng qua kì thi Olympic, NXBGD [2]Nguy n V Thanh (2008), Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i toán trung h c c s hình h c, NXBGD [3] Nguy n V n Nho (2003), Olympic Toán h c Châu Á- Thái Bình D ng, NXBGD [4] Nguy n V n Nho (2002), Tuy n t p toán t nh ng cu c thi t i Trung Qu c, NXBGD [5] Nguy n V n Nho (2004), Tuy n ch n toán t nh ng cu c thi t i m ts n c ông Âu, t p 1, NXBGD [6] Nguy n Quý Dy - Nguy n V n Nho - Tam -L u Xuân Tình (2004), Tuy n t p 200 thi vô đ ch Tốn, t p 4: Hình h c ph ng, NXBGD [7] M t s trang Internet: http:/violet.vn http:/maths.forum.vn http:/diendantoanhoc.net.vn - 74 - L I NĨI U 1.Lí ch n đ tƠi Các đ nh lí v i khái ni m Toán h c t o thành n i dung c b n c a môn Toán, làm n n t ng cho vi c rèn luy n k n ng b môn, đ c bi t kh n ng suy lu n ch ng minh, phát tri n n ng l c trí tu chung, rèn luy n t t ng, ph m ch t đ o đ c M t đ nh lí m t k t qu suy di n ch t ch t đ nh đ , tính ch t ho c đ nh lí tr c Có nh ng đ nh lí mà ngày đ c ch ng minh m t cách không m y khó kh n nh ng t m quan tr ng c a u khơng th ph nh n, b i giá tr c a n m ch đ i th i đ i đ ng d ng sao; bên c nh đó, v đ p c a cịn có th đ c c mơ ph ng đ đ n nhi u k t qu đ p khác m c tiêu nghiên c u thu c v Toán h c hi n đ i Trong ch ng trình tốn ph thơng, đ i v i tốn hình h c ph ng tốn ch ng minh s đ ng quy, s th ng hàng th ng g p đ c bi t kì thi h c sinh gi i, thi Olympic toán n gi i c toán d ng có r t nhi u cách song không th không nh c đ n vi c ng d ng c a hai đ nh lí Ceva Menelaus V i mong mu n giúp b n thân bè b n tìm hi u, nghiên c u sâu h n v ng d ng c a hai đ nh lí n i ti ng này, tơi ch n “ nh lí Ceva vƠ đ nh lí Menelaus IE2” làm đ tài cho khố lu n c a M c đích nghiên c u Nghiên c u đ nh lí Ceva Menelaus ng d ng vi c gi i m t s tốn c a hình h c ph ng - 75 - Nhi m v nghiên c u Xây d ng h th ng ví d minh h a, th hi n tác d ng c a hai đ nh lí vi c gi i quy t tốn c a hình h c ph ng Ph ng pháp nghiên c u Nghiên c u lí lu n, s d ng cơng c tốn h c C u trúc khố lu n Ch ng 1: nh lí Ceva Ch ng 2: nh lí Menelaus Ch ng 3: M t s t p c ng c - 76 - ... ng 1: nh lí Ceva 1.1 Vài nét v tác gi Ceva n i dung đ nh lí Ceva ng d ng c a đ nh lí Ceva gi i toán 1.2 1.3 M r ng c a đ nh lí Ceva 34 1.4 D ng l 37 1.5 ng giác c a đ nh lí Ceva nh lí đ ng quy... a đ nh lí Ceva XB, YA OZ đ ng quy 1.4 D ng l D ng l ng giác c a đ nh lí Ceva ng giác c a đ nh lí Ceva th c ch t ch h qu c a đ nh lí Ceva, g i t t nh lí Tri -Ceva ( Trigonomeric Form of Ceva? ??s... Ch ng 2: ng vng góc nh lí Menelaus 41 43 47 2.1 Vài nét v tác gi Menelaus n i dung đ nh lí Menelaus 47 2.2 D ng m r ng c a đ nh lí Menelaus 49 2.3 ng d ng c a đ nh lí Menelaus vi c gi i tốn hình