Luận văn sư phạm Định thức và ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đại số tuyến tính mơn tốn nghiên cứu khơng gian vectơ, hệ phương trình tuyến tính, phép biến đổi tuyến tính chúng, mơn học có vai trị quan trọng cho phát triển tốn học, mơn học sở chương trình tốn học cao cấp ngày Đại số tuyến tính sử dụng nhiều tốn học đại số đại cương, giải tích hàm, hình học giải tích…Nó có vơ vàn ứng dụng khoa học tự nhiên (vật lí, cơng nghệ, ) khoa học xã hội Định thức công cụ quan trọng Đại số tuyến tính có nhiều ứng dụng tốn học Phương pháp định thức cho phép tiếp cận kiến thức toán học cách gọn gàng sáng sủa, đồng thời sử dụng định thức cịn phương pháp giải tốn hiệu Nó có tác dụng tích cực việc phát triển tư cho người học toán Với mong muốn tìm hiểu nghiên cứu sâu mảng kiến thức này,tôi lựa chọn đề tài “ Định thức ứng dụng ” để thực khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiêm cứu Trình bày lí thuyết định thức ứng dụng định thức Nhiệm vụ nghiên cứu Đưa kiến thức liên quan định thức ứng dụng định thức Nghiên cứu định nghĩa, tính chất,các phương pháp định thức ma trận đồng thời đưa ví dụ minh họa cho phương pháp Bùi Thị Hoa K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy Xây dựng hệ thống tập qua lớp toán ứng dụng định thức Đối tượng nghiên cứu Xây dựng xung quanh vấn đề định thức ứng dụng định thức toán học Phương pháp nghiên cứu Đọc sách nghiên cứu tài liệu tham khảo Tổng hợp kiến thức vận dụng cho mục đích nghiên cứu Bùi Thị Hoa K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy NỘI DUNG Chương 1: MA TRẬN VÀ CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 Ma trận 1.1.1 Định nghĩa ma trận Cho K trường tùy ý Một bảng gồm m.n phần tử a ij  K có dạng:  a11   a 21     a m1 a12  a 22  am2    a1n   a2n     amn  (1) gọi ma trận kiểu  m , n  Mỗi aij gọi thành phần ma trận Ta thường kí hiệu ma trận chữ A , B , Ma trận (1) kí hiệu đơn giản A  ( a ij ) m  n , i  1, m số dòng j  1, n số cột phần tử Tập hợp tất ma trận kiểu  m , n  với phần tử thuộc trường K kí hiệu M at  m  n , K  ● Khi m  n ma trận A  ( a ij ) m  n gọi ma trận vng cấp n kí hiệu A  ( a ij ) n ● Khi m  ma trận có dịng n cột, gọi ma trận dòng Bùi Thị Hoa K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy ● Khi n  ma trận có cột m dịng, gọi ma trận cột 1.2 Một số dạng ma trận đặc biệt: 1.2.1 Ma trận chéo Ma trận vng có phần tử ngồi đường chéo gọi ma trận chéo (hay ma trận đường chéo) Ma trận chéo cấp n có dạng:  a11  A     0  a22       ann  Nhận xét: Ma trận đường chéo thường ký hiệu diag( a1 , a2 , , an ) với phần tử đường chéo a1 , a2 , , an 1.2.2 Ma trận đơn vị: Một ma trận chéo cấp n, có tất phần tử đường chéo 1, gọi ma trận đơn vị, ký hiệu I n 1.2.3 Ma trận tam giác Ma trận vng có phần tử (hoặc dưới) đường chéo gọi ma trận tam giác Ma trận tam giác có dạng:  a11  A     Bùi Thị Hoa a12 a22  a1n  a2 n  ( aij  i  j )     ann  K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp 1 0 Ví dụ: A   0  0 0 3 GVHD: Đinh Thị Kim Thúy 4  ma trận tam giác 2  5 Ma trận tam giác có dạng:  a11 a A   21     an1 a22  an   ( a  i  j )    ij  ann  3 0 Ví dụ: B    ma trận tam giác 0 1   Nhận xét: Ma trận tam giác ma trận tam giác gọi chung ma trận tam giác 1.2.4 Ma trận chuyển vị a) Định nghĩa: Cho ma trận A  Mat  m  n, K  Ma trận chuyển vị ma trận A, ( ký hiệu AT ) ma trận mà vai trị dịng cột hoán chuyển cho giữ nguyên số chúng Bùi Thị Hoa K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp  a11 a Giả sử ta có ma trận A   21     am1 GVHD: Đinh Thị Kim Thúy a12 a22  am  a11 a T chuyển vị ma trận A A   12     a1n a1n  a2 n  ma trận     amn  a21 a22  a2 n am1  am      amn  Nếu ma trận A có cấp m n ma trận AT có cấp n  m Trường hợp đặc biệt chuyển vị ma trận cột ma trận dòng ngược lại chuyển vị ma trận dịng ma trận cột Ví dụ: 1 4 Ma trận A    ma trận chuyển vị A 9 3   1 2 AT   3  4 9  2  3 b) Định lý: Cho ma trận A, B  Mat (m  n, K) Khi ta có khẳng định sau: A  T T  A AT  B T  A  B Bùi Thị Hoa K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy 1.2.5 Ma trận nghịch đảo Ma trận vuông A  Mat (n  n, K) ma trận khả nghịch có ma trận vng B  Mat (n  n, K) thỏa mãn : AB  BA  I n Khi đó, B gọi ma trận nghịch đảo A , kí hiệu : B  A1 1.2.6 Ma trận đối xứng – Ma trận phản đối xứng: Nếu ma trận vuông A thỏa mãn: AT  A ta nói A ma trận đối xứng  3 Ví dụ: Ma trận A    ma trận đối xứng cấp 3 1   Nếu ma trận vuông A thỏa mãn: AT   A A ma trận phản đối xứng Ví dụ:   2  Ma trận B   3   4  5  ma trận phản đối xứng 3  3  Định lý: Nếu A ma trận đối xứng aij  a ji , i, j  1, n Nếu A ma trận phản xứng aij  a ji , i, j  1, n , từ suy aii  (các phần tử đường chéo 0) 1.3 Phép nhân hai ma trận: Cho hai ma trận A  ( aij ) m  r B  ( bij ) r  n , tích hai ma trận A B, ký hiệu AB ma trận C  ( cij ) m  n với phần tử cij Bùi Thị Hoa K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy ( tổng tích phần tử tương ứng dòng i ma trận A với cột j ma trận B ) cho bởi: r cij  ai1b1 j  2b2 j   air brj   aik bkj k 1 Chú ý: Tích ma trận A ma trận B xác định số dòng ma trận B số cột ma trận A Tức A ma trận cấp m  r B ma trận cấp r  n AB ma trận cấp m  n Do đó, với A B hai ma trận có tích AB, ta khơng hẳn suy tích hai ma trận BA, nói cách khác, tích hai ma trận khơng giao hốn Ngồi ra, có ma trận khác tích chúng lại ma trận 1.4 Hạng ma trận  Hạng hệ vec tơ: Cho hệ gồm số hữu hạn vectơ không gian vectơ V Ta gọi số vectơ hệ độc lập tuyến tính tối đại hệ hạng hệ vectơ cho Kí hiệu hạng hệ vec tơ 1 ,  , ,  n  rank 1 ,  , ,  n   Hạng ma trận Cho A  M at  m  n , K  Coi cột ( hay dòng) A vectơ ta hệ n vectơ (tương ứng m vectơ) không gian vectơ Kn (tương ứng K m ) Ta gọi hạng hệ n (tương ứng m ) vectơ hạng ma trận A kí hiệu rank A Bùi Thị Hoa K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy Như hạng ma trận định nghĩa hạng hệ vectơ cột ( hạng hệ vectơ dịng ) 1.5 Phép dấu phép 1.5.1 Phép  Ta gọi song ánh từ tập 1, 2,  n lên phép bậc n Tập hợp tất phép bậc n với phép lấy tích ánh xạ lập thành nhóm kí hiệu Sn Sn có n! phần tử Với   S n ta thường viết sau:   n       1       n   Như  1 ,  2 ,,  n   cách xếp thứ tự 1, 2, n Tổng quát : song ánh tập hợp A gồm n phần tử vào gọi phép tập A ta liệt kê phần tử A dạng A= a1 , a , , a n  phép  A có dạng:  a1 a2  an      a j1 a j  a jn  Trong  j1 , j2 , j3 ,  j n   1, 2, 3,  , n Như đồng phép với phép thế: 1    j1 Bùi Thị Hoa  j2  n jn  K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy  Phép   S n mà   i   j ,  j   i ;   k   k , k  i, j gọi phép chuyển trí, kí hiệu  i , j  Nghĩa phép  đổi chỗ hai phần tử i, j  1, 2, n cho giữ nguyên phần tử lại 1.5.2 Nghịch thế, dấu phép  Với n  ta gọi cặp số {i,j}  {1,2,…,n} nghịch phép    i     j  trái dấu với i-j nghĩa là:  i     j  i j 0  Phép với số nghịch chẵn (tương ứng lẻ) gọi phép chẵn ( tương ứng lẻ)  Dấu phép số kí hiệu sgn   cho bởi: 1 sgn     1 Bùi Thị Hoa  phép chẵn  phép lẻ 10 K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp  B 1  a11  ann GVHD: Đinh Thị Kim Thúy  a22  ann         0  a11a33  ann   a11  ann            a11  an1n1    0   a  11       a 22        a33              0    a nn   Bài tập Tìm hạng hệ vectơ sau       a,   1, 2, 1,3  ,    0,3, 3,7  ,   7,5, 2,0  ,    2,1,1, 1 b,  1   4, 1,3,   ,    8, 2, 6,  ,    3, 1, 4,   ,     6,  2,8,   Lời giải     a, Hạng hệ vectơ  ,  ,  ,  hạng ma trận sau: 1 2 A  1 3  3 Bùi Thị Hoa 2  1  1  72 K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Ta có định thức D  GVHD: Đinh Thị Kim Thúy 3 Xét định thức cấp bao quanh D : 52 7 3 3 0 3 1 3 2 3 12 1 3 1 3 3 2 0 3 3  rank A      Vậy rank 1 , , ,       b, Hạng hệ vectơ 1 ,  ,  ,   hạng ma trận: 6 4   2 1 2   B 3     4 2 4  Ta có định thức D2   1  1 1 Xét định thức cấp bao quanh D2 4 D3  1 2 1  1 1 1  Bùi Thị Hoa 3 73 K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy 3 D '3  1 1 2  1 1 1  4  rank B      Vậy rank 1 ,  ,  ,    Bài tập Giải hệ phương trình tuyến tính sau:   x     1 1  y            z         Lời giải Ta có: 1 1 det A  1 1  2 90 3 Suy ra, hệ phương trình hệ Cramer 0 det A1  1  6 ; det A2  1 1  3; det A  1 1  0 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm : x det A3 det A1 2 det A2   ; z 0 ; y det A det A det A Bùi Thị Hoa 74 K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy Bài tập Tìm giá trị riêng vectơ riêng tự đồng cấu    f có ma trận sau sở e1 , e2 , e3  R 1 2  a, A  1  1     1 0 b, B   1   1   Lời giải    a, Đa thức đặc trưng ma trận A sở e1 , e2 , e3  là: 1  det  A   I   1  2      1     Vậy f có giá trị riêng 1  , 2  3 , 3  2 x1  x2  x3   ● Với 1  hệ phương trình  x1  3x2  x3   x  x  3x   có nghiệm khơng tầm thường    x1  0, x2  a , x3  a  với a   Vậy vectơ   a  e2  e3  với a  vectơ riêng f ứng với giá trị riêng 1  4 x  x2  x3  ● Với 2  3 hệ phương trình :   x1  x2  x3  có nghiệm khơng tầm thường Bùi Thị Hoa  x1  6b , x2  7b , x3  5b  với b  75 K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp  GVHD: Đinh Thị Kim Thúy    Vậy vectơ   b  e1  e2  5e3  với b  vectơ riêng f ứng với giá trị riêng 2  3 x2  x3    ● Với 3  hệ phương trình :  x1  x2  x3   x  3x  x   có nghiệm khơng  x1  2c , x2  c , x3  c  với c  tầm thường     Vậy vectơ   c  2e1  e2  e3  với c  vectơ riêng f ứng với giá trị riêng 3     b, Đa thức đặc trưng ma trận B sở e1 , e2 , e3  R là: 1  det  B   I   1 1 2 1      2       Vậy f có giá trị riêng     x1  x2   Với   hệ phương trình   x1  x3   x  x 0  có nghiêm khơng tầm thường     x1  a , x2  a, x3  a  với a 0  Vậy vectơ   a  e1  e2  e3  với a  vectơ riêng f ứng với giá trị riêng   Bài tập Xét độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ sau: Bùi Thị Hoa 76 K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy a,           1, 0, 3,1 ,   1, 2,1,3  ,   2,1,1, 1 ,   4, 3,3,5      b,     1   1,1,0,1 ,   1, 0,1,1 ,    3,1, 2, 1 ,    3,3, 0,3  Đáp số:     a, D  108      1 , , ,  độc lập tuyến tính     b, D        ,  ,  ,   phụ thuộc tuyến tính Bài tập Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: a,  1 A   0  5 1   1 0  b, B     0  1  1 1  1  1       1 Đáp số: 1   0    1 a, det A  3  A   1 1   1 1       1  1  0 b, det B   B 1      0 0  0 0  Bùi Thị Hoa 77       0  0    1  1 K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy Bài tập Giải phương trình ma trận sau: 2 1 1 0   a,   X   1   2 0 1     1 0  b,    0  1  1 1  0 1  1   1 X          0  1         n  n   n  2     Đáp số: 2 5  1  a, X      2  1 0  b, X     0  3    1      1  1 1  1  1       1 Bài tập Tìm hạng hệ vectơ sau:        a, a1  1, 2, 1,3  , a2   0,3, 3,  , a3   7,5, 2,  , a   2,1,1,  1  b,{ b1   2,1,1,3,5  , b2  1, 2,1,1,3  , b3   7,1, 6,0,  , b4   3, 4, 4,1,  , Bùi Thị Hoa 78 K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy  b5   3,1,3, 2,1 } Đáp số:     a, rank a1 , a2 , a3 , a4          b, rank b1 , b2 , b3 , b4 , b5  Bài tập 10 Giải phương trình tuyến tính sau:  2x  3y  z   3 x  y  z   x  y  z  1  Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm nhất: x  3, y  1, z  Bài tập 11 Giải biện luận hệ phương trình theo tham số   1    x1  x2  x3    x1  1    x2  x3    x  x  1    x   2  Đáp số: Ta có: det A       ●     3 hệ phương trình có nghiệm nhất:     2    x1  ; x2  ; x    3  3   3 ●     hệ phương trình vơ nghiệm Bùi Thị Hoa 79 K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy Bài tập 12 Tìm giá trị riêng vectơ riêng tự đồng cấu    f có ma trận sau sở e1 , e2 , e3  R  1  a, A   1   1 2     3  b, B   7   7    Đáp số: a, Đa thức đặc trưng A : det  A   I       1 Ma trận A có giá trị riêng:        Vectơ riêng ứng với giá trị riêng    :   a  e1  e2  e3  với a  b, Đa thức đặc trưng B : det  B   I      1     Ma trận B có hai giá trị riêng: 1  1, 2  Hai vectơ riêng ứng với hai giá trị         riêng:   a  e1  2e2  e3  với a    b  e1  2e2  2e3  với b  Bùi Thị Hoa 80 K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Hồng Trường Đại số tuyến tính Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, 2001 [2] Ngô Thúc Lanh Đại số tuyến tính NXB ĐH&THCN 1970 [3] Đồn Quỳnh ( chủ biên ) Giáo trình tốn đại cương phần Đại số tuyến tính hình học giải tích NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 1998 Bùi Thị Hoa 81 K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương 1: MA TRẬN VÀ CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 Ma trận 1.2 Một số dạng ma trận đặc biệt: 1.3 Phép nhân hai ma trận: 1.4 Hạng ma trận 1.5 Phép dấu phép Chương 2: ĐỊNH THỨC 11 2.1 Định nghĩa 11 2.2 Định lý Laplace: 14 2.3 Các phương pháp tính định thức 23 BÀI TẬP VẬN DỤNG 36 Chương 3: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH THỨC 50 3.1 Xét tính độc lập, phụ thuộc hệ vectơ 50 3.2 Tìm ma trận ngịch đảo 52 3.3 Tìm hạng ma trận 56 3.4 Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính 58 3.5 Tìm giá trị riêng, vectơ riêng 65 BÀI TẬP VẬN DỤNG 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO 81 Bùi Thị Hoa 82 K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Bùi Thị Hoa GVHD: Đinh Thị Kim Thúy 83 K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Đinh Thị Kim Thúy, giảng viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tận tình hướng dẫn, giúp đỡ để tơi hồn thành khóa luận Trong trình học tập, đặc biệt suốt q trình làm khóa luận tơi nhận dạy dỗ ân cần động viên, bảo, tạo điều kiện thầy cô tham gia giảng dạy, công tác trường Đại học Sư phạm Hà Nội Qua đây, xin gửi lời cảm ơn tới thầy tổ Hình học, khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy giáo giảng dạy suốt khóa học Một lần xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Bùi Thị Hoa Bùi Thị Hoa 84 K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy LỜI CAM ĐOAN Dưới hướng dẫn cô ThS Đinh Thị Kim Thúy khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên ngành Hình học với đề tài “Định thức ứng dụng” hồn thành nhận thức thân, khơng trùng với khóa luận khác Trong trình nghiên cứu thực luận, thừa kế thành tựu nhà khoa học với lòng chân trọng biết ơn Một số kết đưa dựa thành tựu Hà nội, ngày 08 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Bùi Thị Hoa Bùi Thị Hoa 85 K35A – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương 1: MA TRẬN VÀ CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 Ma trận 1.2 Một số dạng ma trận đặc biệt: 1.3 Phép nhân hai ma trận: 10 1.4 Hạng ma trận 11 1.5 Phép dấu phép 12 Chương 2: ĐỊNH THỨC 14 2.1 Định nghĩa tính chất 14 2.2 Định lý Laplace: 17 2.3 Các phương pháp tính định thức 26 BÀI TẬP VẬN DỤNG 29 Chương 3: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH THỨC 52 3.1 Xét tính độc lập, phụ thuộc hệ vectơ 52 3.2 Tìm ma trận nghịch đảo 53 3.3 Tìm hạng ma trận 56 3.4 Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính 58 3.5.Tìm giá trị riêng, vectơ riêng 64 BÀI TẬP VẬN DỤNG 68 Tài liệu tham khảo 80 Bùi Thị Hoa 86 K35A – SP Toán ... pháp truy hồi Ta biến đổi định thức theo dịng cột cho biểu diễn định thức cho qua định thức dạng có cấp thấp hơn, sau tính định thức số định thức cấp thấp ta tìm định thức cấp n Ta thường gặp... có định lý Laplace, để tính định thức cấp cao (n > 3) ta khai triển định thức theo dòng cột để đưa tính định thức cấp bé Cứ vậy, sau số lần ta đưa việc tính định thức cấp cao dạng tính định thức. ..Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy Xây dựng hệ thống tập qua lớp toán ứng dụng định thức Đối tượng nghiên cứu Xây dựng xung quanh vấn đề định thức ứng dụng định thức toán học