Luận văn sư phạm Định lý Cayley - Hamilton và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRẦN THỊ MINH ĐỊNH LÍ CAYLEY-HAMILTON VÀ ỨNG DỤNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: HÌNH HỌC Người hướng dẫn khoa học Th PHẠM THANH TÂM Hà Nội - 2013 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Phạm Thanh Tâm Người thầy trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hồn thành khố luận Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Hình Học thầy khoa Tốn - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tạo điều kiện cho em hồn thành tốt khố luận Trong khn khổ có hạn khố luận, điều kiện thời gian, trình độ có hạn lần nghiên cứu khoa học không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, em kính mong nhận góp ý thầy bạn Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Trần Thị Minh LỜI CAM ĐOAN Khoá luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em quan tâm thầy giáo khoa Tốn, đặc biệt hướng dẫn tận tình Thầy Phạm Thanh Tâm Trong nghiên cứu hồn thành khố luận em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài “Định lí Cayley-Hamilton ứng dụng ” khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Trần Thị Minh Mục lục Mở đầu Chương Ánh xạ tuyến tính 1.1 Định nghĩa, tính chất 1.2 Ma trận ánh xạ tuyến tính 1.3 Ảnh, hạt nhân ánh xạ tuyến tính 1.4 Bài tập 15 Chương Cấu trúc tự đồng cấu tuyến tính 17 2.1 Trị riêng, vectơ riêng đa thức đặc trưng 17 2.2 Không gian bất biến 21 2.3 Dạng chuẩn Jordan 26 2.4 Bài tập 30 Chương Định lí Cayley- Hamilton ứng dụng 35 3.1 Định lí Cayley- Hamilton 35 3.2 Ứng dụng định lí Cayley- Hamilton 37 3.2.1 Tính lũy thừa ma trận vuông cấp 37 3.2.2 Tìm ma trận nghịch đảo 41 3.2.3 Ứng dụng định lí Cayley- Hamilton để tính giới hạn 42 3.2.4 Ứng dụng vào lũy thừa ma trận 44 3.2.5 Ứng dụng cho vết ma trận định thức 45 3.3 Bài tập Kết luận 46 50 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Định lí Cayley-Hamilton định lí hồn tồn chương trình đại số tuyến tính bậc đại học khối ngành sư phạm Nó định lí đóng vai trị quan trọng bậc đại số tuyến tính Sau học xong chương trình tốn dành cho cử nhân sư phạm, đặc biệt sau học xong môn đại số tuyến tính Em mong muốn học hỏi tìm hiểu sâu thêm định lí Cayley-Hamilton, số ứng dụng nhằm giải số vấn đề đại số tuyến tính Đồng thời, dùng làm tài liệu cho bạn sinh viên khóa sau tham khảo mở rộng kiến thức Đồng thời rèn luyện tư logic, tính xác cẩn thận cho người học Dưới góc độ sinh viên sư phạm chun ngành Tốn khn khổ khoá luận tốt nghiệp, đồng thời hướng dẫn nhiệt tình thầy Phạm Thanh Tâm tơi chọn đề tài “Định lí Cayley-Hamilton số ứng dụng” Mục đích nghiên cứu đề tài Nghiên cứu định lí Cayley-Hamilton số ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Định lí Cayley- Hamilton số dạng giải nhờ ứng dụng định lí Giới hạn phạm vi nghiên cứu đề tài Nghiên cứu định lí Cayley- Hamilton số dạng tập ứng dụng phạm vi mơn đại số tuyến tính Giả thuyết khoa học Xây dựng hệ thống tập ứng dụng định lí Cayley- Hamilton làm thành tài liệu giúp bạn sinh viên khóa sau thấy vai trị mơn đại số tuyến tính 6.Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Nghiên cứu số kiến thức chuẩn bị liên quan đến định lí CayleyHamilton Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tham khảo Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại khái niệm, tính chất Cấu trúc khóa luận Khố luận gồm chương: Chương Ánh xạ tuyến tính Chương Cấu trúc tự đồng cấu tuyến tính Chương Định lí Cayley- Hamilton ứng dụng Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2013 Tác giả Trần Thị Minh Chương Ánh xạ tuyến tính 1.1 Định nghĩa, tính chất Định nghĩa 1.1.1 Cho V, W hai không gian vectơ trường K Ánh xạ f : V → W ánh xạ tuyến tính nếu: f (α + β) = f (α) + f (β) f (kα) = kf (α) với α, β ∈ V, k ∈ K Một ánh xạ tuyến tính cịn gọi đồng cấu tuyến tính, hay cách vắn tắt đồng cấu Tính chất 1.1.2 Giả sử f : V → W ánh xạ tuyến tính Khi đó: a) f (0) = b) f (−α) = −f (α), ∀α ∈ V c) f (λ1 α1 +λ2 α2 + +λn αn ) = λ1 f (α1 )+λ2 f (α2 )+ +λn f (αn ), ∀α ∈ V Ví dụ 1.1.3 a) Ánh xạ : V → W cho 0(α) = 0, ∀α ∈ V ánh xạ tuyến tính b) Ánh xạ tuyến tính đồng idV : V → W; idV (α) = α ánh xạ tuyến tính c) Ánh xạ đạo hàm đa thức ẩn x d : R[x] → R[x] ; R[x] khơng gian dx d (an xn + + a1 x + a0 ) = nan xn−1 + + a1 dx ánh xạ tuyến tính d) Cho A = (aij )m×n ∈ M at(m × n, K) Ánh xạ f : Kn → Kn cho bởi:     x x       → A       xn xn n ánh  tuyến tính coi vectơ (x1 , , xn ) ∈ K ánh  xạ x    xạ cột:    xn e) Ánh xạ f : R → R, b = x → ax + b khơng phải ánh xạ tuyến tính Định lí 1.1.4 Giả sử V khơng gian vectơ n- chiều.Khi ánh xạ tuyến tính từ V vào W hoàn toàn xác định ảnh qua sở V W Nói rõ hơn, giả sử (ǫ) = ǫ1 , ǫ2 , · · · , ǫn sở V cặp β1 , β2 , , βn n vectơ W Khi tồn ánh xạ tuyến tính f : V → W cho f (ǫi ) = βi , i = 1, 2, , n Chứng minh Tồn tại: Nếu α = x1 ǫ1 + x2 ǫ2 + + xn ǫn ∈ V ta đặt: f (α) = x1 β1 + x2 β2 + + xn βn ∈ W dễ dàng thử lại f : V → W ánh xạ tuyến tính f (ǫi ) = βi , i = 1, 2, n Duy nhất: Nếu có ánh xạ tuyến tính f, g : V → W mà f (ǫi ) = g(ǫi ) = βi , i = 1, 2, , n với α = n i=1 xi ǫi ∈ V ta có: n f (α) = ( n xi ǫ i ) = i=1 n xi f (ǫi ) = i=1 n = xi g(ǫi ) i=1 g(xi ǫi ) = g(α) i=1 Vậy f = g Định nghĩa 1.1.5 Cho f : V → W ánh xạ tuyến tính Khi f gọi là: a) Một đơn cấu f đơn ánh b) Một toàn cấu f toàn ánh c) Một đẳng cấu f song ánh Nếu f : V → W đẳng cấu f −1 : V → W đẳng cấu gọi phép nghịch đảo f Do đó, ta nói đồng cấu đồng cấu khả nghịch Nếu có đẳng cấu f : V → W ta nói V đẳng cấu với W viết V∼ = W Quan hệ đẳng cấu không gian quan hệ tương đương Định lí 1.1.6 Cho V, W hai không gian vectơ hữu hạn chiều trường số K Khi V đẳng cấu với W dimV = dimW Chứng minh Giả sử V ∼ = W, tức có đẳng cấu tuyến tính f : V → W Khi đó, (α1 , , αn ) sở V (f (α1 ), , f (αn )) sở W Thật vậy, vectơ β ∈ W có dạng β = f (α) với α W, α có biểu thị tuyến tính α = a1 α1 + + an αn nên β = f (α) = f (a1 α1 + + an αn ) = a1 f (α1 ) + + an f (αn ) Nếu β biểu thị tuyến tính β = b1 f (α1 ) + + bn f (αn ) α = f −1 (β) = b1 α1 + + bn αn Vì (α1 , , αn ) sở V a1 = b1 , , an = bn Vậy vectơ β biểu thị tuyến tính qua hệ (f (α1 ), , f (αn )) nên hệ sở W Nói cách khác dimV = dimW Ngược lại, giả sử dimV = dimW = n Chọn sở (α1 , , αn ) V (β1 , , βn ) W Ánh xạ tuyến tính ϕ : V → W xác định ϕ(α1 ) = β1 , , ϕ(αn ) = βn đẳng cấu tuyến tính Thật vậy, nghịch đảo ϕ ánh xạ tuyến tính ψ : W → V xác định điều kiện ψ(β1 ) = α1 , , ψ(βn ) = αn 1.2 Ma trận ánh xạ tuyến tính Định nghĩa 1.2.1 Giả sử V, W K- không gian vectơ hữu hạn chiều Gọi (e) = {e1 , , en } sở V, (ǫ) = {ǫ1 , , ǫn } sở W Theo định lí 1.1.4, ánh xạ tuyến tính f : V → W biểu diến hệ vectơ {f (ǫ1 ), , f (ǫn )} Các vectơ f (ej ) lại biểu thị tuyến tính cách qua sở (ǫ) = {ǫ1 , , ǫn } W n f (ej ) = aij ǫi , j = 1, 2, , n i=1 aij thuộc trường K Đặt A ma trận xác định bởi:   a11 a12 · · · a1n    a21 a22 · · · a2n   = (aij )m×n A=  ···    am1 am2 · · · amn Khi A gọi ma trận ánh xạ tuyến tính f : V → W cặp sở (e) (ǫ) Biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tính Cho f : V → W ánh xạ tuyến tính có ma trận A = (aij )m×n cặp sở (e) (ǫ) 3.2 Ứng dụng định lí Cayley- Hamilton Định lí Cayley- Hamilton có nhiều ứng dụng quan trọng việc xác định đa thức tối tiểu, xác định dạng Jordan, ngồi cịn để tính lũy thừa ma trận.Chương giới hạn việc xem xét số ứng dụng định lí ma trận 3.2.1 Tính lũy thừa ma trận vuông cấp Từ (2) suy ra: (*) A2 = (a + d)A − (ad − bc)I Từ ta thu được: A3 = A.A2 = A[(a + d)A − (ad − bc)I] = (a + d)A2 − (ad − bc)A A4 = A.A3 = A[(a + d)A2 − (ad − bc)A] = (a + d)A3 − (ad − bc)A2 Để tính An phương pháp quen thuộc mà ta nghĩ tới phương pháp quy nạp tốn học Ví dụ Cho A = a 0 b Tính An Áp dụng công thức (*) ta được: a2 A = (a + d)A − abI = b2 A = (a + d)A − abA = n ⇒A = ⇒A n+1 an 0 bn n = A A = a3 0 b3 (**) an a 0 bn b 37 = an+1 0 bn+1 Vậy (**) với n = 1, 2, Với A ma trận đặc biệt, ta dễ dàng đoán An , nhiên, A ma trận bất kì, ta khó tìm quy luật để dự đốn An , hạn chế phương pháp Bây ta suy nghĩ sử dụng định lí Cayley- Hamilton để giải toán Trước hết, ta thấy đa thức đặc trưng đa thức đa thức bậc hai, phân tích (2) thành dạng: (A − αI)(A − βI) = 3.2.1a Trường hợp α = β Khi đó, từ (A − αI)(A − βI) = ⇒ (A − αI)A = (A − αI)β Từ quy nạp tốn học ta dễ dàng chứng minh được: (i) (A − αI)An = (A − αI)β n Hoàn toàn tương tự ta có: (ii) (A − βI)An = (A − βI)αn Lấy (ii) − (i) ta được: (α − β)An = (αn − β n )A − (αn β − αβ n )I αn − β n αβ(αn−1 − β n−1 ) ⇒A = A− I α−β α−β (4) n Ví dụ Cho A = −2 1 Tính An Theo định lí Cayley- Hamilton ta có: A2 − 5A + 6I = ⇒ (A − 2I)(A − 3I) = Áp dụng (4) ta có: n n n n n A = (3 − )A − (2.3 − 3.2 )I = 38 2.3n − 2n −2(3n − 2n ) 3n − 2n −3n + 2n+1 3.2.1b Trường hợp α = β Khi (2) trở thành: (A − αI)2 = Đặt A − αI = B ⇒ A = αI + B với B = Áp dụng khai triển nhị thức Newtơn: An = (αI)n + Cn1 (αI)n−1 B + Cn2 (αI)n−2 B + + B n Do B = nên ⇒ An = αn I + nαn−1 IB = αn I + nαn−1 (A − αI) (5) ⇒ An = nαn−1 A − (n − 1)αn I Ví dụ Cho A = −1 1 Tính An Đa thức đặc trưng A là: PA (t) = t2 − 4t + Theo định lí Cayley- Hamilton: A2 − 4A + 4I = ⇒ (A − 2I)2 = Áp dụng (5) với α = ta được: An = n.2n−1 A − (n − 1)2n I = (n + 2)2n−1 n.2n−1 n.2n−1 −(n − 2).2n−1 -Trong phương pháp trên, ta sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử Nếu nhìn từ khía cạnh đa thức, đa thức thức đặc trưng ma trận A là: PA (t) = t2 − (a + d)t + (ad − bc) Nếu gọi α, β hai nghiệm PA (t) có hai trường hợp xảy với α β: 39 + Trường hợp α = β Theo định lí phép chia đa thức, tồn đa thức Q(t) số p, q cho: tn = [t2 − (a + d)t + (ad − bc)]Q(t) + pt + q Lần lượt thay t = α, t = β vào biểu thức ta thu được:  αn − β n   p =  αp + q = αn α−β = αβ(αn−1 − β n−1 ) βp + q = β n   q = α−β Từ ta cơng thức (4): αβ(αn−1 − β n−1 ) αn − β n A− I A = α−β α−β n + Trường hợp α = β Khi ta có: tn = (t − α)2 Q(t) + pt + q Đạo hàm hai vế theo t ta được: ntn−1 = 2(t − α)Q(t) + (t − α)2 Q(t) + p Lần lượt thay t = α vào hai biểu thức ta có: αn = αp + q nαn−1 = p ⇒ p = nαn−1 q = −(n − 1)αn Từ ta thu cơng thức (5): An = nαn−1 A − (n − 1)αn I Đối với trường hợp đa thức đặc trưng có nghiệm phức, ta thử xét ví dụ cụ thể sau đây: Ví dụ Cho A = −3 −7 Tính An 40 Theo định lí Cayley- Hamilton ta có: A2 + A + I = Từ đó: A2 = −A − I = −1 −3 A3 = −A2 − A = = I Do đó: A3m =I= A3m+1 =A= A3m+2 = A2 = 1 −3 −7 2 −1 −3 , (m = 0, 1, ) , (m = 0, 1, ) , (m = 0, 1, ) Trong trường hợp nghiệm phương trình đặc trưng là: √ −1 + 3i 2π 2π α= = cos + sin i 2√ 3 4π 4π −1 − 3i = cos + sin i β= 3 3.2.2 Tìm ma trận nghịch đảo Đối với ma trận vng cấp 2, việc tìm ma trận nghịch đảo đơn giản từ ma trận cấp trở nên việc tìm ma trận nghịch đảo trở nên khó khăn Ở ta xem xét phương pháp khác để tìm ma trận nghịch đảo thơng qua việc sử dụng định lí Cayley- Hamilton Tổng quát: Giả sử A khả đảo det(A) = có đa thức đặc trưng: Pf (t) = tn + a1 tn−1 + a2 tn−2 + + an−1 t + an Với an = (−1)n det(A) = An + a1 An−1 + + an−1 A + an = 41 Ta nhân hai vế với A−1 được: An + a1 An−1 + a2 An−2 + + an−1 A + an = ⇒A−1 = − (An−1 + a1 An−2 + a2 An−3 + + an−1 I) an Ví dụ Cho A = Tìm ma trận nghịch đảo A−1 Det(A) = nên tồn A−1 Tính đa thức đặc trưng A: Pf (t) = t−1 = t2 − 4t − t−3 Áp dụng định lí Cayley- Hamilton ta có: A2 − 4A − 5I = Nhân hai vế đẳng thức với A−1 ta được: A − 4A − 5A−1 = ⇒5A−1 = A − 4I = ⇒A−1 = −3/5 −3 4/5 2/5 −1/5 −1 3.2.3 Ứng dụng định lí Cayley- Hamilton để tính giới hạn   1  2  Ví dụ Cho A =    Tìm lim aij (n) với i, j = 1, 2, biết: 0 n→∞   a11 (n) a12 (n) a13 (n)   n  A = a21 (n) a22 (n) a23 (n)  a31 (n) a32 (n) a33 (n) 42 Đa thức đặc trưng ma trận A: 1 PA (t) = (t − )(t − )(t − ) n Lấy t chia cho PA (t) ta được: (*) tn = P (t)Q(t) + at2 + bt + c Áp dụng định lí Cayley- Hamilton ta có: P (A) = nên thay A vào (*) ta được: (1) An = aA2 + bA + cI Thay t = 21 , t = 13 , t = n n n vào (1) ta được: 1 = a + b + c 1 = a + b + c 1 = a + b + c 36 (2) (3) (4) Giải hệ phương trình ẩn a.b.c (2), (3), (4) ta thu được: − + 2n 3n 6n b = −3 n − n + n c= − + 2n 3n 6n a = 18 Vậy a, b, c → n → ∞ mà có (1) nên An → Tức lim aij (n) = n→∞ với i, j = 1, 2, 43 3.2.4 Ứng dụng vào lũy thừa ma trận Ví dụ Tồn hay không ma trận vuông cấp thỏa mãn: −1 A2010 = 0 −1 − e e số dương.(Đề thi OLympic 2009 ) Gọi đa thức đặc trưng A PA (t) PA (t) đa thức bậc hai Khi chia t2010 cho PA (t) ta thương Q(t) dư đa thức bậc nhiều 1, kí hiệu pt + q (p, q số thực).Tức là: t2010 = PA (t)Q(t) + pt + q Theo định lí Cayley- Hamilton ta có, PA (A) = nên A2010 = pA + qI, với I ma trận đơn vị cấp −1 a b Từ pA + qI = Giả sử A = −1 − e c d   pa + q = −1 (1)     pd + q = −1 − e (2)  pc     pd =0 (3) =0 (4) ta suy ra: Từ (1) (2) ta suy p = Từ (3) (4) ta suy b = c = A= Theo giả thiết,A a 0 d −1 ⇒ A2010 = a2010 0 d2010 a2010 = −1 , suy (vơ lí) −1 − e d2010 = −1 − e Vậy ma trận cho có dạng khơng tồn 2010 = 44 3.2.5 Ứng dụng cho vết ma trận định thức Ví dụ Cho A, B ∈ M at(2 × 2, R), det(A) = det(B) = Chứng minh rằng: tr(AB) − tr(A).tr(B) + tr(AB −1 ) = (Đề kiểm tra đội tuyển OLympic Khoa Toán ĐHSP Hà Nội năm 2013 ) Đa thức đặc trưng B là: PB (t) = t2 − tr(B)t + det(B) = t2 − tr(B)t + Theo định lí Cayley- Hamilton ta có: PB (B) = B − tr(B)B + = Nhân hai vế đẳng thức với AB −1 : AB − tr(B)A + AB −1 = Lấy vết hai vế: tr(AB) − tr(A).tr(B) + tr(AB −1 ) = Ví dụ Cho A, B ∈ M at(3 × 3, R) Chứng minh rằng: tr[(AB − BA)3 ] = 3det(AB − BA) (Đề kiểm tra đội tuyển Olympic Khoa Toán ĐHSP Hà Nội 2013 ) Đặt D = AB − BA Vì A, B hai ma trận vng cấp nên ta có: tr(D) = Đa thức đặc trưng D có dạng: PD (t) = −t3 + tr(D)t − kt + det(D) 45 với k số Theo định lí Cayley- Hamilton ta có: PD (D) = −D3 + tr(D)D − kD + det(D) = Mà tr(D) = nên PD (D) = −D3 − kD + det(D) = Lấy vết hai vế ta được: tr(D3 ) = det(D)tr(I) = 3det(D) hay T r[(AB − BA)3 ] = 3det(AB − BA)      Tính detB, Ví dụ 10 Cho ma trận A =    B = A7 − 10A6 + 14A5 + 4A4 + 8I3 Đa thức đặc trưng A: PA (t) = 7−t 3 2−t 0 1−t = t3 − 10t2 + 14t + Áp dụng định lí Cayley-Hamilton ta có: ⇒A3 − 10A2 + 14A + 4I3 = (0)3 ⇒A7 − 10A6 + 14A5 + 4A4 = (0)3   0    ⇒ detB = 83 = 512 ⇒B = 8I3 =    0 3.3 Bài tập Bài tập 3.1 Cho A ma trận vuông cấp k số nguyên dương CMR Ak = A2 = 46 Hướng dẫn: Nếu Ak = |A| = Tức là, A = a b c d ad − bc = Do theo định lí Cayley- Hamilton ta có: A2 − (a + d)A + (ad − bc) = ⇒A2 = (a + d)A ⇒Ak = (a + d)k A Nếu a + d = rõ ràng Ak = với k ≥ Nếu a + d = Ak = với k ≥ A2 = Như hai trường hợp Ak = ta suy A2 = Bài tập 3.2 Cho A = a b c d ma trận C f (t) đa thức tùy ý Tính f (A) Hướng dẫn: Theo định lí Cayley- Hamilton đa thức đặc trưng A: PA (t) = t2 − (a + d)t + (ad − bc) nhận A làm nghiệm, tức PA (A) = Gọi α, β hai nghiệm tam thức bậc hai Khi đó: PA (t) = (t − α)(t − β) Ta tìm đa thức dư r(t) phép chia f (t) cho PA (t) Nếu α = β theo khai triển Taylor r(x) = f (x) + f ′ (α)(t − α) Nếu α = β từ r(α) = f (α) r(β) = f (β) suy r(t) = f (α) − f (β) αf (β) − βf (α) t+ α−β α−β Bây ta vận dụng r(A) = f (A) ta cơng thức tính f(A): f (A) = αf (β) − βf (α) f (α) − f (β) A+ α−β α−β 47 Bài tập 3.3 Cho A ma trận lũy linh Chứng minh An = định lí Cayley- Hamilton Hướng dẫn: Gọi PA (t) đa thức đặc trưng A Khi theo định lí Cayleyy- Hamilton ta có: PA (A) = Do A lũy linh nên ∃ k ∈ N∗ cho Ak = Nếu k ≤ n hiển nhiên An = Nếu k > n Khi đó, A nghiệm đa thức Q(t) = tk Tức tất giá trị riêng A nghiệm Q(t) Do A có giá trị riêng λi = ∀ i Khi P (t) đa thức đặc trưng A n P (t) = i=0 (t − λi ) = tn Theo định lí Cayley- Hamilton P (A) = nên P (A) = An = (đpcm) Bài tập đề nghị Bài tập 3.4 Cho A = acos2 (t) + bsin2 (t) Tính A2013 (b − a).sintcost asin2 (t) + bcos2 (t) (b − a)sintcost Bài tập 3.5 a) Cho A ∈ M at(3 × 3, Q) ma trận thỏa mãn A5 = I Chứng minh A = I b) Cho A ∈ M at(4 × 4, Q) ma trận thỏa mãn A5 = I Khi khẳng định câu a) cịn khơng? Bài tập 3.6 Tồn hay không ma trận vuông cấp thỏa mãn: A2014 = −2012 2014 −2011 Bài tập 3.7 Trong không gian M at(2 × 2, R) cho A = hạng hệ vectơ B = A, A2 , A3 , , A2014 48 −1 Tính Bài tập 3.8 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau:   0    A = 0 0  0 Bài tập 3.9 Cho A ma trận vuông cấp hai Dựa vào định lí CayleyHamilton chứng minh Ak = A2 = Bài tập 3.10 Cho A = tính f (A) = I + 2013 −1 −1 Chứng minh A2 − A + I = từ (−1)k Ak k=1   x 2013 Bài tập 3.11 Cho A =  2012 x  2014 An = a11 (n, x) a12 (n, x) a21 (n, x) a22 (n, x) Tính lim limaij (n, x), i, j = 1, n→∞ x→1 49 KẾT LUẬN Trong q trình tìm hiểu nghiên cứu khố luận, em bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Qua đó, em xây dựng hệ thống tập ứng dụng định lí Cayley- Hamilton để tính lũy thừa ma trận vng cấp 2, tìm ma trận nghịch đảo số ứng dụng khác, xem tài liệu tham khảo cho người quan tâm đến định lí đại số tuyến tính nói chung định lí Cayley- Hamilton nói riêng, đồng thời thấy phong phú, lý thú tốn học Để hồn thành khố luận tốt nghiệp em xin trân trọng cảm ơn thầy tổ Hình Học, thầy khoa Tốn Mặc dù em có nhiều cố gắng, song nhiều hạn chế thời gian kiến thức nên khố luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy bạn đọc đóng góp ý kiến trao đổi để khố luận hồn thiện tốt Em xin chân thành cảm ơn! 50 Tài liệu tham khảo [1] Phùng Hồ Hải (2010), Bài giảng Trường hè cho sinh viên, Viện Toán Học, Hà Nội [2] Lê Tuấn Hoa (2006), Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] Nguyễn Hữu Học (2012) , Ứng dụng định lí Cayley- Hamilton cho ma trận vng cấp 2, Nghiên cứu khoa học, Phịng Khoa Học- Trường Đại Học Đông Á, Hà Nội [4] Nguyễn Hữu Việt Hưng (2000), Đại số Tuyến tính , Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [5] Phan Hồng Trường (2009), Đại số Tuyến tính , Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, Vĩnh Phúc [6] Lewis Hirsch, Arthur Goodman (2005)Understanding Elementary Algebra With Geometry, A Course for College Students, Nhà xuất Cengage Learning 51 ... Định lí Cayley- Hamilton ứng dụng 3.1 Định lí Cayley- Hamilton Định lí Cayley- Hamilton định lí đại số tuyến tính Trong chương tìm hiểu nội dung định lí số ứng dụng đại số Định nghĩa 3.1.1 (Định. .. cứu định lí Cayley- Hamilton số ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Định lí Cayley- Hamilton số dạng giải nhờ ứng dụng định lí Giới hạn phạm vi nghiên cứu đề tài Nghiên cứu định lí Cayley- Hamilton. .. 30 Chương Định lí Cayley- Hamilton ứng dụng 35 3.1 Định lí Cayley- Hamilton 35 3.2 Ứng dụng định lí Cayley- Hamilton 37