Luận văn sư phạm Đại số Tenxơ và đại số ngoài

Tr ng đ i h c s ph m hà n i Khoa toán ********** C n th nga i s tenx đ i s ngồi Khóa lu n t t nghi p đ i h c is Chuyên ngành: H tên ng ih ng d n khoa h c Th.S Nguy n huy h ng Hà n i – 2009 L ic m n Em xin g i l i c m n chân thành t i tồn th th y giáo khoa Tốn, th y t i s , nh ng ng i t n tình d y d , giúp đ em b n n m h c v a qua c ng nh t o u ki n cho em q trình hồn thành khoá lu n c bi t, em xin bày t lòng bi t n sâu s c đ n th y Nguy n Huy H ng, ng i tr c ti p h ng d n, ch b o đóng góp nhi u ý ki n quý báu th i gian em th c hi n khoá lu n Hà N i, ngày 10 tháng n m 2009 Sinh viên C n Th Nga L i cam đoan Khoá lu n k t qu c a b n thân em trình h c t p nghiên c u Bên c nh đó, đ Tốn, đ c bi t s h c s quan tâm t o u ki n c a th y cô giáo khoa ng d n t n tình c a th y giáo Nguy n Huy H ng Trong trình nghiên c u hồn thành b n khố lu n em có tham kh o m t s tài li u ghi ph n tài li u tham kh o Em xin cam đoan k t qu c a đ tài “ i s tenx đ i s ngồi” khơng có s trùng l p c ng nh chép k t qu c a đ tài khác N u sai em xin hoàn toàn ch u trách nhi m Ng i cam đoan Sinh viên C n Th Nga M cl c M đ u Ch ng Ki n th c b tr Ch ng đ i s tenx ………………………………………………….6 13 2.1 nh ngh a 13 2.2 i s tenx 14 2.3 Tính ch t ph d ng c a  E 15 2.4 C p ph d ng 17 2.5 ng c u 19 2.6 nh ngh a 20 2.7 ng c u 21 2.8 nh ngh a 22 2.9 i s tenx h n h p 23 2.10 ánh x thu h p ……………………………………………………………….23 2.11 ánh x tenx …………………………………………………………………25 2.12 Tích 26 2.13 ng c u   26 2.14 Tenx mêtric 27 2.15 i s T ฀ ( E ) 28 2.16 Phép th 29  2.17 ng c u  p E  T p ( E ) 30 2.18 i s T฀ ( E ) 32 2.19 Tính đ i ng u gi a T p ( E ) Tp ( E ) 32 2.20 i s T ( E ) 33 Ch i s tenx ph n đ i x ng ng i s tenx đ i x ng 35 3.1 Không gian N p ( E ) 35 3.2 Toán t thay phiên 36 3.3 Không gian đ i ng u 38 3.4 Ph n t ph n đ i x ng c a m t tích 39 3.5 Iđêan N ( E ) 40 3.6 i s  E / N ( E ) 40 3.7 Các tenx ph n đ i x ng 41 3.8 Tích vơ h ng 41 3.9 Không gian M p ( E ) 42 3.10 Toán t đ i x ng hoá 42 3.11 Không gian đ i ng u 44 3.12 Ph n t đ i x ng c a m t tích 45 3.13 Iđêan M ( E ) 46 3.14 i s E / M ( E ) 46 3.15 Các tenx đ i x ng 47 3.16 Tích vơ h K t lu n ng 48 ……………………………………………………………………… 49 Tài li u tham kh o 50 M đ u Lý ch n đ tài Ngày nay, nh ng t t ng, ph ng pháp k t qu c a i s thâm nh p vào h u h t l nh v c c a toán h c, t tơ pơ hình h c t i gi i tích xác su t, c ng nh m t s l nh v c c h c, v t lý lý thuy t, hoá h c l ng t Trong đó, đ i s đa n tính, c th ba đ i s đa n tính m t tr ng tu ý, là: đ i s tenx , đ i s đ i x ng, đ i s ngồi đóng vai trò quan tr ng H n n a, vi c nghiên c u v n đ giúp ng i h c phát tri n t duy, có t m nhìn sâu r ng h n v tốn h c T ni m yêu thích c a b n thân v i b môn này, v i s giúp đ t n tình c a th y giáo Nguy n Huy H ng em m nh d n th c hi n khoá lu n t t nghi p v i tiêu đ : " i s tenx đ i s ngồi" M c đích nghiên c u Cung c p nh ng ki n th c c b n v ba đ i s đa n tính m t tr ng tu ý, là: đ i s tenx , đ i s đ i x ng đ i s it ng ph m vi nghiên c u + it ng: Các ki n th c c b n v đ i s tenx đ i s + Ph m vi: N i dung ki n th c ph m vi c a đ i s n tính đ i s đa n tính Nhi m v nghiên c u Tìm hi u v lý thuy t đ i s tenx đ i s Ph ng pháp nghiên c u + Phân tích tài li u có liên quan + T ng h p kinh nghi m b n thân Ch ng ki n th c b tr 1.1 ánh x đa n tính Cho p+ không gian véct Ei (i= 1,…,p), G M t ánh x  : E1   E p  G đ c g i p – n tính n u i 1  i  p    x1 , , xi 1 ,  xi   yi , xi 1 , , xp     x1 , , xi 1 , xi , , xp     x1 , , yi , , xp  xi , yi  Ei ;  ,    * V i p=  đ c g i ánh x song n tính * V i G    đ c g i p – hàm s n tính 1.2 Tích tenx * Tính ch t ph d ng: Cho E F không gian véct  ánh x song n tính t E  F vào khơng gian véct T Ta nói r ng  có tính ch t ph d ng n u th a mãn u ki n sau: 1 : Các véct x  y x  E, y  F  sinh T, ho c t ng đ ng Im   T 2 : N u  ánh x song n tính t E  F vào khơng gian véct b t k H, t n t i ánh x n tính f : T  H cho bi u đ sau giao hoán: EF  H  f T (1.1) Hai u ki n t ng đ ng v i u ki n sau:  : V i m i ánh x song n tính  : E  F  H t n t i nh t m t ánh x n tính f : T  H cho bi u đ (1.1) giao hốn * nh ngh a tích tenx Tích tenx c a hai không gian véct E F m t c p T ,  ,  : E  F  T ánh x song n tính có tính ch t ph d ng T c ng đ c g i tích tenx c a E F Kí hi u: E  F Tích tenx giao hốn v i ngh a E  F  F  E 1.3 Không gian không gian th ng * Tích tenx c a khơng gian con: Cho ánh x song n tính  : E  F  T có tính ch t ph d ng hai khơng gian E1  E vµ F1  F Cho ' kí hi u c a ánh x thu h p c a  lên E1  F1 T1  Im' Khi đó, T ,   tích tenx ' c a E1 vµ F1 * Tích tenx c a khơng gian th ng: Cho E1  E vµ F1  F không gian T  E1, F1   E1  F  E  F1 ánh x song n tính  : E  F   E  F  / T  E1, F1  đ c đ nh ngh a   x, y    x  y  phép chi u t c  c m sinh ánh x n tính:  : E / E1  F / F1   E  F  / T  E1, F1  cho    x, y    x, y , x  E / E1, y  F / F1 T đó, ta có đ ng c u sau:  E / E1  F / F1    E  F  /( E1  F  E  F1 ) 1.4 Tích tenx c a véct c s   Cho  a I vµ b  F Khi tích a  b l nl  J  I ,  J t c s c a không gian gian véct E m t c s c a E  F c bi t, n u E F h u h n chi u E  F c ng h u h n chi u dim  E  F   dim E.dim F 1.5 Tích tenx c a ánh x n tính Cho b n khơng gian véct E , E ' , F , F ' hai ánh x n tính:  : E  E' , : F  F ' Khi đó, ánh x n tính E  F  E '  F ' đ c xác đ nh b i:  x, y   x  y Do đó, t n t i ánh x n tính:  : E  F  E'  F ' cho   x  y   x  y      ánh x n tính  : L E; E '  L F ; F '  L E  F ; E '  F '  đ c cho nh sau:  ,    1.6 Tích tenx c a nhi u khơng gian véct * Tính ch t ph d ng:   Ei i  1, p p không gian véct b t k  : E1   E p  T p - ánh x n tính Ta nói  có tính ch t ph d ng n u th a mãn u ki n sau: 1 : Các véct x1   xp ,  xi  Ei  sinh T 2 : V i m i p - ánh x n tính  : E1   E p  H (H khơng gian véct b t kì) có th vi t:   x1, , xp   f  x1   xp  f : T  H ánh x n tính * nh ngh a:   Tích tenx c a không gian véct Ei i  1, p c p T ,   : E1   E p  T p - ánh x n tính có tính ch t ph d ng Kí hi u E1   E p 1.7 Khơng gian tích * M t tích trong khơng gian véct E hàm s song n tính đ i x ng (,) khơng suy bi n E * Khơng gian tích E  F đ c g i tích tenx c a hai khơng gian tích E F 1.8 Các không gian đ i ng u * ánh x song n tính: Cho hai h ba khơng gian véct E , E ' , E '' vµ F , F ' , F '' hai ánh x song n tính:  : E  E '  E '' vµ  : F  F '  F '' Khi đó, t n t i nh t ánh x song n tính:  :  E  F    E '  F '   E ''  F '' cho   x  y, x'  y'     x, x'    y, y'  ; x  E , x'  E ' , y  F , y'  F ' * Hàm s song n tính: V i m i c p hàm s song n tính  vµ  E  E ' F  F ' c m sinh m t   hàm s song n tính    E  F   E '  F ' cho: 10 Vì N p  E  n đ nh đ i v i  nên suy  u    u  N p  E  Do  u   u  N p  E  M t khác: u   u  N p  E  V y u   u  N p  E  B ng ph ng pháp quy n p (3.1) đ c ch ng minh 3.2 Tốn t thay phiên M t tenx u  p E đ c g i ph n đ i x ng n u  u   u ví i   Sp T p t t c tenx ph n đ i x ng b c p không gian X p  E  c a  p E Toán t thay phiên  p E ánh x n tính  A :  p E   p E đ xác đ nh b i:  A  c   p!  T đ nh ngh a ta suy v i   S p 1           p!  p!  =         A p!   A.  Do đó, ta có: T  A.    A,   Sp (3.2)   A    A,   Sp (3.3) ng t : Ti p theo, ta thi t l p quan h sau: Và Ker  A  N p  E  (3.4) Im  A  X p  E  (3.5) 37 Th t v y, cho u  x1   xp  N p  E  Khi đó, xét phép chuy n trí cho  u  u T công th c (3.2) ta có  Au   Au Do v y  Au  i u ch ng t N p  E   Ker  A M t khác, t đ nh ngh a c a  A suy v i u  p E  Au  u    u  u   N p  E   p!  N u  Au   u  N p  E  hay Ker  A  N p ( E ) V y công th c (3.4) đ c ch ng minh ch ng minh cơng th c (3.5), ta xét (3.3) có: Im  A  X p  E  M t khác v i u  X p  E    Au  u  X p  E   Im  A Ti p theo, t cơng th c (3.3) ta có  A2   A Th t v y 1         A   A  p!   p!     A    A     A2  p!. A p! Hay  A2   A Vì v y  A m t phép chi u T h th c (3.4) (3.5) ta có t ng tr c ti p p E  X p  E  N p  E  Do đó, m i tenx u  p E đ u phân tích đ u  v  w, Tenx v   Au đ (3.6) c nh t d i d ng v  X p  E  , w N p  E  c g i ph n t đ i c a u 38 3.3 Không gian đ i ng u Gi s r ng E, E* c p không gian đ i ng u  A toán t thay phiên c a  p E* , p  N u x*1   x* p x1   xp l n l t tenx phân tích đ c  p E * vµ  p E Ta có v i b t k   S p x*1   x* p ,  x1   xp   x*1 , x 11 x* p , x 1 p  * 1 = x *  p  , x1 x , xp =  1  x*1   x* p  , x1   xp Do đó, ta có đ ng th c  u , u   *  1u* , u , u*  p E* ,u   p E Ch ng t  vµ  1 phép tốn đ i ng u Vì  A  1 1    vµ  A            p!  p!  p!  Nên suy  A vµ  A phép toán đ i ng u, t c là: u* , A u =  Au* , u , u*  p E* ,u  p E T tính ch t đ i ng u c a  A vµ  A s h n ch c a tích vơ h (3.7) ng lên    E  không gian Im A  X p  E  vµ Im A  X p E * khơng suy bi n Và ta có tính ch t đ i ng u gi a X p  E  vµ X p Gi s đ * u*  x*1   x* p vµ u=x1   xp l n l t tenx phân tích c  p E * vµ  p E T cơng th c (3.7) ta có: 39  A  x*1   x* p  ,  A  x1   xp   x*1   x* p ,  A2  x1   xp     x*1 , x 11 x* p , x 1 p   p!  Do v y  A  x*1   x* p  ,  A  x1   xp    det x*i , x j p!  (3.8) 3.4 Ph n t ph n đ i x ng c a m t tích Cho  E    p E m t đ i s tenx E không gian véct p 0 N p  E    p E, p  Tr c N1  E   N  E   Khi đó,  A ánh x ng h p p=1 p=0 ta quy đ ng nh t 1 E 0 E công th c đ tr c thi t l p v n ng h p p=0 p=1 Theo đ nh ngh a c a Np(E) ta có: N p ( E)  q E  N p q ( E)  p E  N q ( E)  N p q ( E) p  0, q  (3.9) Bây gi , cho u  p E v  q E tenx b t kì Khi đó, ta có th vi t u   Au  u1, u1  N p ( E) v   Av  v1, v1  N q ( E) Do u  v   Au   Av   Au  v1  u1   Av  u1  v1 Tác đ ng phép chi u  A vào đ ng th c t công th c (3.9) (3.4) ta có cơng th c  A (u  v)   A ( Au   Av) Vì  A phép chi u nên suy  A ( Au  v)   A (u  v)   A (u   Av) 40 (3.11) i s th ng E / N ( E) 3.5 Iđêan N(E) Cho t ng tr c ti p N ( E)   N p ( E) Công th c (3.9) ch ng t N(E) m t p iđêan phân b c đ i s phân b c  E Bây gi , gi s r ng u  p E v  q E tenx b t kì Khi đó, ta có: u  v  (1) pq v  u  N p q ( E) Th t v y, n u  hoán v đ (3.12) c cho b i (1, , p, p  1, , p  q)  (q  1, , p  q,1, , q) Suy  (u  v)  v  u   (1) pq Do đó, t (3.1) ta có u  v  (1) pq v  u  u  v    (u  v)  N pq (E) Tác đ ng toán t  A vào (3.12) ta có cơng th c  A  u  v   1  A  v  u ; pq 3.6 u   p E; v  q E (3.13) i s E / N ( E ) Cho phép chi u t c  : E  E / N ( E) (3.14) Vì N(E) iđêan  E , phép nhân E / N ( E) là:  a. b    a  b ; a, b  E (3.15) T công th c (3.15) suy phép nhân có tính ch t k t h p  1 ph n t đ n v Vì iđêan N ( E ) đ đ c sinh đ i s th c phân b c đ i s phân b c E , s phân b c ng  E / N ( E ) b i:  E / N( E )    p E p   E / N ( E ) m t đ i s phân b c Vì N  E   N  E   , đ c bi t   1 E    0 E  l n l nh t   1 E    0 E  t t đ ng c u v i 1 E  E 0 E   Do đó, ta s đ ng ng ng v i E  T (3.13) ta có h th c giao hoán: 41 uv   1 vu pq (3.16) v i b t kì hai ph n t thu n nh t b c p q đ i s E / N ( E) 3.7 Các tenx ph n đ i x ng Ta đ nh ngh a không gian véct X  E    E nh sau: X  E   X p  E p m r ng phép chi u  A : p E  p E (trong 1 E 0 E  A  i ) t i ánh x Ker  A  N  E  vµ Im  A  X  E  n tính  A : E  E Khi đó, ta có: H n n a,  A phép chi u  E  N  E   X  E  N u  ánh x thu h p c a phép chi u  lên không gian véct X(E)  : X  E    E / N  E  đ ng c u n tính thu n nh t b c không Cho  X :  E  X  E  ánh x thu h p c a  A Khi đó, bi u đ sau giao hoán: E X   X  E  E / N  E  3.8 Tích vơ h (3.17) ng Cho c p không gian vect đ i ng u E,E* Khi đó, t n t i tích vơ h  E* T (3.7) ta suy s h n ch c a tích vơ h ng  E ng t i không gian véct X(E) X(E*) không suy bi n  Vì  : X  E   E / N  E  m t đ ng c u n tính, tích vơ h E / N  E , E* / N ( E* ) đ c cho nh sau:  u* ,  u  p! u* , u , Rõ ràng, tích vơ h ng c p     u*  X p E* , u  X p E ng (3.18) ph thu c vào s phân b c H n n a, t (3.17) (3.18) suy 42 (3.18)  u* , u   Xu* ,  Xu (3.19)   Au* ,  Au  p!  Au* , Au v i u* p E* , u p E Bây gi , gi s u u* phân tích đ u  x1   xp , c u*  x*   x* p K t h p (3.8) (3.19) ta có   ( x*   x* p ),  ( x1   xp )  det x* i , x j  (3.20) Bây gi , cho E không gian tích Khi đó, E đ i ng u v i theo quan h tích ta có th đ t E*= E H n n a, tích vơ h  E khơng suy bi n Do đó, tích đ E / N  E  là:  u, v  p!  u, v ; ng c xác đ nh không gian th ng u, v  X( E) T (3.20) ta có:  ( x1   xp ), ( y1   yp )   det  xi , yj  ; x i  E, yj  E Tenx đ i x ng 3.9 Không gian M p  E  Gi s không gian M p  E c a  p E đ c sinh b i tenx u  u u  p E  phép chuy n trí Khơng gian M p  E n đ nh đ i v i m i phép chuy n trí Th t v y, n u v  u   u  M p  E   ' phép chuy n trí ta có:  ' v   'u  u   u  u   u   ' u  M p  E  V i m i u  p E hoán v  ta có: u   u  M p  E (3.21) 3.10 Toán t đ i x ng hóa M t tenx u  p E đ c g i đ i x ng n u  u  u;   Sp T p tenx đ i x ng m t không gian Y p  E  c a  p E Ti p đó, cho ánh x n tính  S : p E  q E đ c cho b i: 43 S   p!  (3.22) T đ nh ngh a ta suy v i   Sp  S   S   S; V y T  p!  ng t ta có =  = S p!    Sp  S   S;   Sp Bây gi , ta s ch ng minh r ng Và Ker S  M p ( E) (3.23) Im  S  Yp ( E) (3.24) Th t v y, v  M p  E  v  u  u ,  phép chuy n trí Vì  S   S   S v   Sv Mà  S v   S  u   u   S  u   u   S  u  u   Sv V y  Sv   Sv   Sv  hay v  Ker S  M p  E   Ker S Ng c l i, gi s v  Ker S   Sv  ta có:  v   u  u p!  =    u   u   u  u   M p  E  p!   Sv  v  hay v  M p  E   Ker S  M p  E  V y công th c (3.23) đ c ch ng minh ch ng minh (3.24) ta có: Vì  S   S nên u  p E ta có:  Su   Su   Su  Y p  E hay Im S  Y p  E  Ng c l i, u  Y p  E  ta có:  u  u ta l i có  Su  1 u  u  u  p!  p!  44  u  Im s hay Y p  E  Im s V y công th c (3.24) đ c ch ng minh H n n a,  S phép chi u nên  S2   S (3.25) Do v y, ta có t ng tr c ti p:  p E  Y p  E   M p  E  Toán t  S đ (3.26) c g i toán t đ i x ng hóa  p E  Su đ c g i ph n t đ i x ng c a u 3.11 Không gian đ i ng u Gi s E, E* c p không gian đ i ng u cho  S toán t đ i x ng  p E* ( p  2)   Sp , u*   p E* , u   p E ta có:  vµ  1 phép tốn đ i ng u nhau, t c là: u* , u   1u* , u Mà  S  1   S     1  p!  p!  p!  nên ta có: u* ,  Su   Su* , u , u*   p E* , u   p E (3.27) hay  S vµ  S toán t đ i ng u T (3.27) ta suy s thu h p c a tích vơ h   ng t i không gian   Y p E* , Y p E không suy bi n Cho u*  x*   x* p vµ u  x1   xp tenx phân tích đ c T (3.25) (3.27) ta có:  S  x*   x* p  ,  S  x1   xp    x   x    x*   x* p ,  S2 x1   xp  x*   x* p ,  S  p x* 1, x (1) x* p , x ( p)  p!  45 (3.28)   perm  ij   1 (1) p( p) (3.28) đ c vi t d  i d ng:  S  x*1   x* p  , S  x1   xp    perm x* i , xj p!  (3.29) 3.12 Ph n t đ i x ng c a m t tích Cho  E đ i s tenx E không gian vect M p  E    p E Ta có M  E   M  E   đ nh ngh a  S ánh x đ ng nh t 0 E 1 E Trong tr ng h p cơng th c đ c xây d ng v n Bây gi , cho v  u  u ph n t b t kì c a M p  E , p  w  q E tenx b t kì Khi đó, ta có: v  w  u  w   u  w  u  w   ' (u  w)  '  Sp q phép chuy n trí đ c cho b i:  (v) nÕu  v  p  ' (v)   v nÕu p   v  p  q Suy T M p  E   q E  M p  q  E  (3.30a)  p E  M q  E   M p q  E  (3.30b) ng t ta có: v i u  p E vµ v q E b t kì Ta có th vi t: u   Su  u1; u1  M p  E vµ v   Sv  v1; v1  M q  E Do : u  v   Su   Sv   Su  v1  u1   Sv  u1  v1 , hay  S  u  v   S  Su   Sv Vì  S phép chi u nên  s  su  v   s  u  v   s  u   sv v i u  p E vµ v q E V y 46  S  u  v   S  Su   Sv (3.31) = S  u   Sv   S  Su  v v i u  p E vµ v q E i s th ng E / M  E  3.13 Iđêan M(E) Cho t ng tr c ti p M  E   M p  E p Công th c (3.30a) (3.30b) ch ng t M(E) iđêan phân b c đ i s phân b c E Gi s u  p E vµ v q E hai tenx b t kì Khi đó, ta có u  v  v  u  M p q  E  Th t v y, n u  hoán v cho b i: 1, , p, p  1, , p  q   q  1, , p  q,1, , q   u  v  v  u Ta có: u  v  v  u  u  v    u  v  M p q  E  M r ng ra, n u u E vµ v E hai tenx b t kì thì: u  v  v  u M  E (3.32) i s E / M  E  3.14 Cho phép chi u t c:  : E  E / M  E Vì M(E) iđêan đ i s  E , m t phép nhân sinh E / M  E đ c cho b i:   a  b   a. b; a, b   E T (3.33) ta có phép nhân có tính ch t k t h p  1 ph n t đ n v 47 (3.33) T (3.32) suy phép nhân có tính ch t giao hốn Vì M ( E ) phân b c, s phân b c sinh đ i s th ng E / M ( E ) là:  E / M ( E )    p E p  Và E / M ( E ) đ i s phân b c Vì M  E   M  E   Khi đó, s thu h p c a  lên 1 E   vµ 0 E   đ ng c u Do đó, ta đ ng nh t   1 E  v i E   0 E  v i  3.15 Các tenx đ i x ng Cho Y  E    E không gian đ c cho b i Y  E   Y p  E p M r ng phép chi u  S : p E  p E( S  i 1 E 0 E ) t i ánh x n tính  S :  E   E Khi đó, ta có: Ker S  M ( E ) Im  S  Y( E ) E  M ( E )  Y( E ) ánh x thu h p  c a  lên không gian Y(E) đ ng c u thu n nh t b c không  : Y( E)   E / M  E  N u  Y : E  Y( E) ánh x thu h p c a  S t i  E, Y( E) , ta có bi u đ sau giao hoán: Y E  Y( E )  E / M ( E ) (3.34) 48 3.16 Tích vơ h ng Cho E E* c p khơng gian véct đ i ng u tích E vµ  E* Theo ph n 3.11, s h n ch c a tích vơ h khơng suy bi n Do đó, có tích vơ h ng t i không gian Y( E ) Y( E * ) ng gi a không gian véct E / M ( E ) ,   E* / M E* là:  u* , u  p! u* , u (3.35) u  Y ( E ), u  Y ( E ) * Rõ ràng, tích vơ h p * p ng (3.35) ph thu c vào s phân b c H n n a, t (3.35) (3.34) ta có:  u* , u  p!  su* , su , Cho u* u phân tích đ (3.36) c u  x1   xp , T (3.36) (3.29) ta có: u*   E* , u   E u*  x*   x* p    x*   x* p  ,   x1   xp   perm x* i , x j 49  K t lu n tài khơng ch có ý ngh a v m t lý thuy t mà có ý ngh a c v m t th c ti n Nó cung c p m t ph n lý thuy t v ba đ i s đa n tính m t tr ng, là: đ i s tenx , đ i s ngoài, đ i s tenx đ i x ng Qua đó, có nh ng ng d ng c a đ i s vào hình h c, gi i tích, c h c, v t lí,… Tuy nhiên, th i gian có h n trình đ c a tơi h n ch nên đ tài không th tránh kh i nh ng thi u sót Tơi r t mong đ c s đóng góp ý ki n c a th y, cô giáo b n sinh viên đ đ tài ngày đ h n 50 c hoàn thi n Tài li u tham kh o Ti ng Vi t [1].Nguy n H u Vi t H ng, [2] Hồng Xn Sính, is đ ic is đ ic ng, Nhà xu t b n giáo d c, 1999 ng, Nhà xu t b n giáo d c, 1994 Ti ng Anh [1] W Greub, Multilinear Algebra, Springer- Verlag, 1978 51 ...  A' đ c g i đ ng c u đ i s n u v a m t đ ng c u vành v a m t đ ng c u K – không gian véct 1.13 i s phân b c *Vành phân b c: Vành phân b c A vành có th phân tích đ c thành t ng tr c ti p nhóm... (A1) A v i hai phép toán c ng nhân l p thành m t vành (A2) A v i phép c ng phép nhân vô h ng l p thành m t không gian véct K (A3) Hai c u trúc vành không gian véct A ràng bu c b i u ki n:  ... F vào khơng gian véct T Ta nói r ng  có tính ch t ph d ng n u th a mãn u ki n sau: 1 : Các véct x  y x  E, y  F  sinh T, ho c t ng đ ng Im   T 2 : N u  ánh x song n tính t E  F vào