Luận văn sư phạm Đại số Tenxơ và đại số ngoài

TR NG IH CS PH M Hà N I KHOA TOÁN ********** d ng nga đ i s tenx đ i s ngồi KHĨA LU N T T NGHI P Chuyên ngành: Ng is ih ng d n khoa h c Th.S Nguy n huy h ng Hà N i - 2010 M U Lí ch n đ tƠi Ngày nay, v i s phát tri n c a nhanh chóng c a ngƠnh khoa h c cơng ngh , Tốn h c c ng đƣ đánh d u đ lƠ chuyên ngƠnh i s , nh ng t t ng ph cb c ti n đáng k c bi t ng pháp vƠ k t qu c a is đƣ thơm nh p vƠo h u h t l nh v c c a tốn h c, t tơpơ, hình h c t i gi i tích xác su t, c ng nh m t s l nh v c khoa h c khác: c h c, v t lí lí thuy t, hóa l ng t ầTrong đó, n tính m t tr i s đa n tính, c th lƠ ba đ i s đa ng tùy ý, lƠ: đ i s tenx , đ i s đ i x ng, đ i s ngoƠi đóng vai trị quan tr ng H n n a, vi c nghiên c u v n đ giúp cho ng i h c phát tri n t logic, sáng t o vƠ có t m nhìn sơu r ng h n v tốn h c T ni m yêu thích c a b n thơn v i b môn nƠy, v i s giúp đ t n tình c a th y giáo Nguy n Huy H ng m nh d n th c hi n khóa lu n t t nghi p v i tiêu đ : “ i s tenx vƠ đ i s ngoƠi” M c đích nghiên c u Cung c p nh ng ki n th c c b n v ba đ i s đa n tính m t tr ng tùy ý, lƠ: đ i s tenx , đ i s đ i x ng vƠ đ i s ngoƠi it + ng vƠ ph m vi nghiên c u it ng: Các ki n th c c b n v đ i s tenx vƠ đ i s ngoƠi + Ph m vi: N i dung ki n th c ph m vi c a đ i s n tính vƠ đ i s đa n tính Nhi m v nghiên c u Tìm hi u v lý thuy t đ i s tenx vƠ đ i s ngoƠi Ph ng pháp nghiên c u Phơn tích tƠi li u có liên quan, t ng h p kinh nghi m b n thơnầ CH NG NH NG KI N TH C B Trong ch TR ng nƠy tơi trình bƠy m t s ki n th c c b n c a đ i s n tính nh : khơng gian véct , ánh x n tính, tích tenx c a không gian vect , đ i s vƠ đ ng c u đ i s 1.1 Ánh x n tính Cho p  khơng gian véct  : E1   E p  G đ Ei  i  1, , p  , G M t ánh x c g i lƠ p- n tính n u i 1  i  p    x1 , , xi 1,  xi   yi , xi 1, , xp     x1 , , xi 1, xi , xi 1, , xp     x1, , xi 1, yi , xi 1, , xp  xi , yi  Ei ;  ,  *V i p   đ c g i lƠ ánh x song n tính * G    đ c g i lƠ p - hƠm s n tính 1.2 Tích tenx * Tính ch t ph d ng Cho E F lƠ không gian véct vƠ  lƠ ánh x song n tính t E  F vƠo khơng gian véct T Ta nói r ng  có tính ch t ph d ng n u th a mƣn u ki n sau: 1 : Các véct x  y  x  E, y  F  sinh T , ho c t ng đ ng Im   T 2 : N u  lƠ ánh x song n tính t E  F vƠo không gian véct b t kì H , t n t i ánh x n tính f : T  H cho bi u đ sau giao hoán:  EF H  f T Hai u ki n t ng đ ng v i u ki n sau:  : V i m i ánh x song n tính  : E  F  H t n t i nh t m t ánh x n tính f : T  H cho bi u đ (1.1) giao hoán * nh ngh a tích tenx Tích tenx c a hai khơng gian véct E F lƠ m t c p T ,  ,  : E  F  T lƠ ánh x song n tính có tính ch t ph d ng T c ng đ c g i lƠ tích tenx c a E F Kí hi u: E  F Tích tenx lƠ giao hốn v i ngh a lƠ E  F  F  E 1.3 Không gian vect th ng * Tích tenx c a khơng gian Cho ánh x song n tính  : E  F  T có tính ch t ph d ng vƠ hai không gian E1  E F1  F Cho ' lƠ kí hi u c a ánh x thu h p c a  lên E1  F1 T1  Im' Khi đó, T1, '  lƠ tích tenx c a E1 F1 * Tích tenx c a không gian th ng: Cho E1  E F1  F không gian T  E1, F1   E1  F  E  F1 Ánh x song n tính  : E  F   E  F / T  E1, F1  đ c đ nh ngh a   x, y    x, y ,  lƠ phép chi u t c  c m sinh ánh x n tính:  : E/E1  F / F1   E  F  / T  E1, F1    x, y     x, y , x  E/E1, y  F / F1 cho T đó, ta có đ ng c u sau:  E / E1  F / F1    E  F  /  E1  F  E  F1  1.4 Tích tenx c a vect c s Cho  a I b    J l nl t lƠ c s c a khơng gian véct E F Khi đó, tích  a  b I ,J lƠ m t c s c a E  F c bi t, n u E vƠ F lƠ h u h n chi u E  F c ng h u h n chi u vƠ dim  E  F   dimE.dimF 1.5 Tích tenx c a ánh x n tính Cho b n khơng gian véct E , E ' , F , F ' vƠ hai ánh x n tính:  : E  E',  : F  F' Khi đó, ánh x n tính E  F  E '  F ' đ c xác đ nh b i:  x, y   ( x)  ( y) Do đó, t n t i ánh x n tính  : E  F  E '  F ' cho   x  y   ( x)  ( y) Ánh x n tính  : L E; E '   L F , F '   L E  F ; E '  F '  đ sau:  ,    1.6 Tích tenx c a nhi u khơng gian vect * Tính ch t ph d ng:   Ei i  i, p p- không gian b t k vƠ  : E1   E p  T c cho nh p- ánh x n tính Ta nói  có tính ch t ph d ng n u th a mƣn u ki n sau: x1   xp ,  x1  E1  sinh T 1 : Các véct 2 : V i m i p- ánh x n tính  : E1   E p  H (H khơng gian véct b t kì) có th vi t:   x1, , xp   f  x1   xp  f : T  H lƠ ánh x n tính * nh ngh a   Tích tenx c a không gian véct Ei i  1, p lƠ c p T ,   : E1   E p  T p - ánh x n tính có tính ch t ph d ng Kí hi u: E1   E p 1.7 Khơng gian tích - M t tích trong khơng gian véct E lƠ hƠm s song n tính đ i x ng (,) khơng suy bi n E - Khơng gian tích E  F đ c g i lƠ tích tenx c a hai khơng gian tích E F 1.8 Các không gian đ i ng u * Ánh x song n tính: Cho hai h ba không gian véct E , E ' , E '' F , F ' , F '' vƠ hai ánh x song n tính:  : E  E '  E ''  : F  F '  F '' Khi t n t i nh t m t ánh x song n tính:  :  E  F    E '  F '   E"  F " cho:   x  y, x'  y'     x, x'    y, y'  ; x  E, x '  E' , y  F , y'  F ' * HƠm s song n tính: V i m i c p hƠm s song n tính   E  E ' F  F ' c m sinh m t hƠm s song n tính    E  F    E '  F '  cho:     x  y, x'  y'     x, x' .  y, y'  Ta có   khơng suy bi n vƠ ch   đ u không suy bi n Cho E * , E F* , F lƠ hai c p không gian đ i ng u vƠ tích vơ h ng đ c kí hi u lƠ , Khi đó, t n t i nh t m t hƠm s song n tính , E *  F * E  F cho: x*  y* , x  y  x* , x y* , y Do đó, hƠm s song n tính nƠy c ng khơng suy bi n vƠ có tính ch t đ i x ng   Gi s Ei* , Ei i  1, p lƠ c p không gian đ i ng u vƠ t t c tích vơ h ng đ u đ c kí hi u lƠ , ta có tích vơ h ng gi a E1*   E*p E1   E p là: x*1   x* p , x1   xp  x*1, x1 x* p , xp * Các ánh x đ i ng u: Cho Ei , Ei* Fi , Fi*  i  1,2  lƠ b n c p không gian véct đ i ng u vƠ  : E1  E2  * : E2*  E1*  :F1  F2  * : F2*  F1* lƠ hai c p ánh x đ i ng u Khi đó, ánh x :   : E1  F1  E2  F2  *  * : E2*  F2*  E1*  F1* i ng u v i quan h lƠ tích vơ h ng Ta có,      *  * * 1.9 nh ngh a đ i s M t đ i s tr ng K lƠ m t t p h p khác r ng A v i ba phép toán g m: (a) Phép c ng:  : A A  A  x, y  x  y (b) Phép nhân:  : A A  A  x, y  xy (c) Phép nhơn vô h ng(trong K)  : K  A A  , x    x Các phép toán nƠy th a mƣn u ki n sau:  A1  A v i hai phép tốn cơng vƠ nhơn l p thƠnh m t vƠnh  A2  A v i phép c ng vƠ phép nhơn vô h ng l p thƠnh m t không gian véct K  A3  Hai c u trúc vƠnh vƠ không gian véct A ràng bu c b i u ki n:   xy   x y  x y ;   K; x, y  A 1.10 i s Gi s A lƠ m t đ i s K M t t p c a A đ c g i lƠ đ i s n u v a lƠ m t vƠnh v a lƠ m t không gian véct c a A T p S  A Giao c a t t c đ i s c a ch a lƠ đ i s c a A sinh b i S ó lƠ đ i s nh nh t c a A ch a S 1.11 i s th ng T p B  A đ c g i lƠ iđêan c a đ i s A n u v a lƠ m t iđêan c a vƠnh A v a lƠ không gian véct c a A i s th ng A B v i ba phép toán sau t p l p k c a B A  x  B   y  B   x  y   B  x  B y  B   xy  B   x  B    x   B 1.12 x, y  A;  K ng c u đ i s Gi s A, A' lƠ đ i s K , ánh x  : A  A' đ c g i lƠ đ ng c u đ i s n u v a lƠ m t đ ng c u vƠnh v a lƠ m t đ ng c u K- không gian véct 1.13 i s phơn b c * VƠnh phơn b c: VƠnh phơn b c A vành có th phơn tích đ nhóm cơng tính A   An n฀ cho phép nhơn th a mƣn: As  Ar  Asr T c lƠ: x  a s , y  Ar Do  xy  Asr As Ar  Asr c thƠnh t ng tr c ti p * i s phơn b c: i s phơn b c vƠnh phơn b c A lƠ m t A-đ i s E cho E   Ei th o mƣn: i 1 Ai E j  Ei j   Ei E j  Ei j 10 E / N  E      p E  p Và E / N  E  lƠ m t đ i s phơn b c Vì N1  E   N  E   0, đ c bi t   1 E    0 E  l n l t đ ng c u v i 1 E  E 0 E   Do đó, ta s đ ng nh t   1 E    0 E  t ng ng v i E  T (3.13) ta có h th c giao hốn:  v   1 vu , pq (3.16) v i b t kì hai ph n t thu n nh t b c p vƠ q đ i s E / N  E  3.2.3 Các tenx ph n đ i x ng Ta đ nh ngh a không gian véct X  E   E nh sau: XE   X p E p p p M r ng phép chi u  A :  E   E (trong 1 E 0 E  A  i ) t i ánh x n  A : E  E Khi đó, ta có : Ker A  N  E  Im A  X  E  H n n a,  A lƠ phép chi u vƠ E  N  E   X  E  N u  lƠ ánh x thu h p c a phép chi u  lên khơng gian véct X  E   : X  E   E / N  E  lƠ đ ng c u n tính thu n nh t b c khơng Cho  X : E  X  E  lƠ ánh x thu h p c a  A Khi đó, bi u đ sau X giao hốn: E   XE  (3.17) E / N  E  39 3.2.4 Tích vơ h ng Cho c p khơng gian véct đ i ng u E , E * Khi đó, t n t i tích vơ h E * E T (3.7) ta suy s h n ch c a tích vơ h ng ng t i không gian véct X  E  X  E*  lƠ không suy bi n Vì h   : X  E    E / N  E  lƠ m t đ ng c u n tính, tích vô ng ,  c p E / N  E  , E* / N  E *  đ u* , u  p! u* , u , Rõ ràng, tích vơ h c cho nh sau: u  X p  E*  , u  X p  E  (3.18) ng (3.18) ph thu c vƠo s phơn b c H n n a, t (3.13) vƠ (3.18) suy  u* ,  u   X u* ,  X u   Au* ,  Au  p !  Au* ,  Au (3.19) * p * p V i u  E , u  E Bơy gi , ta gi s u u * lƠ phơn tích đ u  x1   xp , c u*  x*1   x* p K t h p (3.8) vƠ (3.19) ta có   x*1   x* p  ,   x1   xp   det  x*i , x j  (3.20) Bơy gi , cho u u * khơng gian tích Khi đó, E lƠ đ i ng u v i theo quan h tích vƠ ta có th đ t E*  E H n n a, tích vơ h ng E lƠ khơng suy bi n Do đó, tích đ khơng gian th ng E / N  E  là:  u, uv  p! u, v c xác đ nh u, v  X  E  T (3.20) ta có:   x1   xp  ,   y1   yp   det  xi , y j  , xi  E, y j  E 40 3.3 TENX I X NG 3.3.1 Không gian M p ( E ) Gi s u  u không gian M p ( E ) c a  p E đ c sinh b i tenx u  p E  lƠ phép chuy n trí n đ nh đ i v i m i phép chuy n trí Th t v y, Không gian M p ( E ) n u v  u   u  M p ( E )  lƠ phép chuy n trí ta có: '  'v   'u  u    'u  u    'u   ' u   M p  E  V i m i u  p E vƠ hốn v  ta có: u u M p E (3.21) 3.3.2 Tốn t đ i x ng hóa M t tenx c g i lƠ đ i x ng n u  u  u;   Sp u  p E đ T p tenx đ i x ng lƠ m t không gian Y p  E  c a  p E Ti p đó, cho ánh x n tính  :  E   E đ p S  q c cho b i công th c:  p!  (3.22) T đ nh ngh a, ta suy v i   S p  S  V y  S   S ; T 1      S  p!  p !    Sp ng t , ta có  S   S ;   Sp Bây gi , ta ch ng minh r ng: Ker S  M p  E  Và Im  A  Y p  E  (3.23) (3.24) 41 Th t v y, v  M p  E  v  u  u ,  lƠ phép chuy n trí Vì  S   S   S v   S v Mà  S v   S  u   u    S  u   u    S  u  u    S v p V y  S v   S v   S v  hay v  Ker S  M  E   Ker S Ng c l i, gi s v  Ker S   S v  ta có:  Sv  v  1  v   u  u       u   u    u  u    M p  E   p!  p!  p P Hay v  M  E   Ker S  M  E  V y, công th c (3.23) đ c ch ng minh ch ng minh (3.24) ta có: p Vì  S   S nên u  E ta có:  S u   su   S u  Y p  E  hay Im  S  Y p  E  Ng c  su  l i, u  Y p  E  ta có : u  u , ta l i 1  u  u  u  p!  p!   u  Im  s hay Y p  E   Im  s V y, công th c (3.24) đ c ch ng minh H n n a,  s lƠ phép chi u nên  s2   s (3.25) Do v y, ta có t ng tr c ti p:  p E  Yp  E   M p  E  (3.26) 42 có s đ Toán t c g i lƠ toán t đ i x ng hóa  p E  su đ c g i lƠ ph n t đ i x ng c a u 3.3.3 Không gian đ i ng u Gi s E , E * lƠ c p đ i ng u vƠ cho  s toán t đ i x ng  p E *  p     Sp , u*  p E* , u  p E , ta có:   1 phép toán đ i ng u nhau, t c lƠ: u* su   1u* , u Mà  s  1 1   s      p!  p!  p!  Nên ta có: u* , su   su* , u , u*  p E* , u  p E (3.27) Hay  s  s toán t đ i ng u T (3.26) ta suy s thu h p cúa tích vơ h ng ,  t i không gian Y p  E*  , Y p  E  lƠ không suy bi n Cho u*  x*1   x* p u  x1   xp lƠ tenx phơn tích đ T (3.25) (3.27) ta có:  s  x*1   x* p  , s  x1   xp   x*1   x* p , s  x1   xp   x*1   x* p ,  s  x1   xp   x*1 , x 1 x* p , x  p   p!  43 (3.28) c perm( ij )  1 1 p p   (3.28) đ c vi t d i d ng:  s  x*1   x* p  ,  s  x1   xp    perm x*1 , x j p!  (3.29) 3.3.4 Ph n t đ i x ng c a m t tích Cho E lƠ đ i s tenx E vƠ không gian vect M p  E    p E Ta có M  E   M  E   vƠ đ nh ngh a  s lƠ ánh x đ ng nh t 0 E 1 E Trong tr ng h p nƠy công th c xơy d ng v n Bây gi , cho v  u  u lƠ ph n t b t k c a M p E, p  w q E lƠ tenx b t k Khi ta có: v  w  u  w   u  w  u  w   u  w    Spq lƠ phép chuy n trí đ c cho b i:   v  v  p   v   v p+1  v  p+q Suy ra: M p  E   q E  M p  q  E  T ng t , ta có:  p E  M p  E   M p q  E  , u  p E v q E b t kì Ta có th vi t: u   su  u1; u1  M p  E  , (3.30a) v   s v  v1; v1  M q  E  44 (3.30b) Do đó: u  v   su   sv   su  v1  u1   sv  u1  v1  s  u  v   s  su   sv Hay Vì  s lƠ phép chi u nên  s  su  v   s  u  v   s u   sv v i u  p E v q E V y  s  u  v   s  s u   s v (3.31) = s  u   s v   s  su  v v i u  p E v q E IS 3.4 NG E / M  E  TH 3.4.1 Iđêan M  E  Cho t ng tr c ti p M E  M p E p Công th c (3.30a) vƠ (3.30b) ch ng t M  E  iđêan phơn b c đ i s phơn b c E Gi s u   p E v q E lƠ hai tenx b t kì Khi đó, ta có u  v  v  u  M p q  E  Th t vơy, n u  lƠ hoán v cho b i: 1, , p, p  1, , p  q    q  1, , p  q, , q    u  v  v  u Thì Ta có u  v  v  u  u  v    u  v  M p  q  E  M r ng ra, n u u E v E hai tenx b t kì thì: u v vu  M E 3.4.2 (3.32) i s E / M  E  Cho phép chi u t c 45  : E   E / M  E  Vì M  E  iđêan đ i s E / M  E  đ E , m t phép nhơn sinh c cho b i :   a  b    a  b a , b  E (3.33) T (3.33) ta có phép nhơn có tính ch t k t h p vƠ  1 lƠ ph n t đ n v T (3.32) suy phép nhơn có tính ch t giao hốn Vì M  E  phơn b c, s phơn b c sinh đ i s th ng  E / M  E  là: E / M  E       p E  p VƠ  E / M  E  lƠ đ i s phơn b c Vì M  E   M  E   Khi đó, s thu h p c a  lên 1 E   0 E   lƠ đ ng c u Do đó, ta đ ng nh t   1 E  v i E vƠ   0 E  v i  3.4.3 Các tenx đ i x ng Cho Y E   E lƠ không gian đ c cho b i Y E   Yp  E  p p p M r ng phép chi u  S :  E   E (  S  i 1 E 0 E ) t i ánh x n tính  S : E  E Khi đó, ta có Ker  S  M ( E ) , Im  S  Y  E  E  M  E   Y E  Ánh x thu h p  c a  lên không gian Y  E  lƠ đ ng c u thu n nh t b c không  : Y E   E / M  E  46 N u  Y : E  Y E  lƠ ánh x thu h p c a  S t i E,  Y E  , ta có bi u đ sau giao hốn : Y E (3.34) Y( E )   E / M ( E ) 3.4.4 Tích vơ h ng Cho E E * lƠ c p không gian véct đ i ng u vƠ tích  E  E * Theo (3.11), s h n ch c a thích vơ h ng t i không gian Y  E  Y E *  lƠ khơng gian suy bi n Do đó, có tích vơ h ng gi a khơng gian véct E / M  E  , E* / M  E*  là:  u* ,  u  p ! u* , u , u*  Y  E *  , u  Y p  E  Rõ ràng, tích vơ h (3.35) ng (3.33) ph thu c vƠo s phơn b c H n n a, t (3.33) (3.34) ta có:  u* ,  u  p !  su* ,  su , u*   E * , u   E Cho u u * lƠ phơn tích đ (3.36) c u  x1   xp , u*  x*1   x* p T (3.36) vƠ (3.29) tacó:     x*1   x* p  ,  x1   xp   prem x*i , x j 47 K T LU N tƠi tơi v a trình bƠy đơy khơng ch có ý ngh a v m t lý thuy t mƠ cịn có ý ngh a c v m t th c ti n Nó cung c p m t ph n lý thuy t v ba đ i s đa n tính m t tr ng, lƠ: đ i s tenx , đ i s ngoƠi vƠ đ i s đ i x ng Qua đó, có nh ng ng d ng c a đ i s vƠo hình h c, gi i tích, v t líầ Tuy nhiên th i gian có h n vƠ trình đ c a tơi cịn h n ch nên đ tƠi nƠy không th tránh kh i nh ng thi u sót Tơi r t mong đ c s đóng góp c a th y giáo, cô giáo b n sinh viên đ đ tƠi nƠy ngƠy cƠng đ hoƠn thi n h n 48 c TÀI LI U THAM KH O Ti ng Vi t 1 Nguy n H u Vi t H ng, is đ ic ng, NhƠ xu t b n giáo d c, 1999   HoƠng Xuơn Sính, is đ ic ng, NhƠ xu t b n giáo d c, 1994 Ti ng Anh 1 W Greub, Multilinear Algebra, Springer- verlag, 1978 49 L IC M N Tôi xin g i l i c m n chơn thƠnh đ n toƠn th th y cô giáo khoa Tốn, th y t i s , nh ng ng i t n tình d y d , giúp đ b n n m h c v a qua c ng nh t o u ki n cho tơi q trình hoƠn thƠnh khóa lu n c bi t, tơi xin bƠy t lòng bi t n sơu s c đ n th y Nguy n Huy H ng, ng i đƣ tr c ti p h ng d n, ch b o vƠ đóng góp nhi u ý ki n quý báu th i gian tơi th c hi n khóa lu n nƠy Hà N i, ngày 25 tháng n m 2010 Sinh viên D 50 ng Thanh Nga L I CAM OAN Khóa lu n nƠy lƠ k t qu c a b n thơn trình h c t p vƠ nghiên c u Bên c nh đó, đ c s quan tơm t o u ki n c a th y cô giáo khoa Toán, đ c bi t lƠ s h ng d n c a th y giáo Nguy n Huy H ng Trong trình nghiên c u hoƠn thƠnh khóa lu n tơi có tham kh o m t s tƠi li u đƣ ghi ph n tƠi li u tham kh o Tôi xin cam đoan k t qu đ tƠi “ i s tenx vƠ đ i s ngoƠi” khơng có s trùng l p c ng nh chép c a đ tƠi khác N u sai xin hoƠn toƠn ch u trách nhi m Ng i cam đoan Sinh viên D 51 ng Thanh Nga M CL C M U CH NG KI N TH C B TR CH NG I S TENX 10 2.1 Các véct 10 2.1.1 nh ngh a 10 2.1.2 i s tenx 11 2.1.3 Tính ch t ph d ng c a E vƠ c p ph d ng 13 2.1.4 ng c u 14 2.2 Tenx c p không gian đ i ng u 16 2.2.1 nh ngh a 16 2.2.2 ng c u 17 2.3 Tenx h n h p 18 2.3 nhngh a 18 2.2.4 i s tenx h n h p 19 2.2.5 Ánh x thu h p 19 2.1.6 Ánh x tenx 21 2.4 i s tenx khơng gian tích 22 2.4.1 Tích 22 2.4.2 2.5 ng c u   23 i s đa n tính 23 2.5.1 i s T   E  24 2.5.2 Phép th 24 2.5.3  T p  E  25 ng c u  p E  2.5.3 i s T  E  27 52 2.5.4 Tính đ i ng u gi a T p  E  Tp  E  28 2.5.6 CH NG i s T  E  29 I S TENX PH N I S TENX I X NG I X NG 31 3.1 Tenx ph n đ i x ng 31 3.1.1 Không gian N p  E  31 3.1.2 Toán t thay phiên 32 3.2.3 Không gian đ i ng u 34 3.3.4 Ph n t ph n đ i x ng c a m t tích 35 3.2 s th ng E / N  E  36 3.5 Iđêan N  E  36 3.6 i s E / N  E  37 3.7 Các tenx ph n đ i x ng 38 3.8 Tích vơ h ng 39 3.3 Tenx đ i x ng 40 3.3.1 Không gian M p  E  40 3.3.2 Tốn t đ i x ng hóa 40 3.3.3 Không gian đ i ng u 42 3.3.4 Ph n t đ i x ng c a m t tích 43 3.4 i s th ng E / M  E  44 3.4.1 Iđêan M  E  44 3.4.2 i s E / M  E  44 3.4.3 Các tenx đ i x ng 45 3.4.4 Tích vơ h ng 46 K T LU N 47 TÀI LI U THAM KH O 48 53 ... không gian véct E vào F Khi đó,  xác đ nh nh t m t đ ng c u  : E  F cho:  1  15 Th t v y, gi s ánh x n tính  : E  F đ c cho b i   j. (trong j lƠ phép nhúng t F vào F ) Khi đó,... h : E  A cho h 1  e h.i   ; t c bi u đ sau giao hoán:  E A j h E j lƠ phép nhúng c a E vào E b) C p ph d ng Cho U lƠ đ i s b t kì v i ph n t đ n v lƠ vƠ  : E  U ánh x n tính Ta nói... HoƠn toƠn t ng t , ta ch đ c g f  i ' , i ' lƠ ánh x đ ng nh t c a U ' Do đó, f lƠ đ ng c u t U vào U ' , g  f 1 nh lí đ c ch ng minh Vì  i, E  lƠ c p ph d ng E nên theo đ nh lí v s t n