Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 53 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
TR NG IH CS PH M Hà N I KHOA TOÁN ********** d ng nga đ i s tenx đ i s ngồi KHĨA LU N T T NGHI P Chuyên ngành: Ng is ih ng d n khoa h c Th.S Nguy n huy h ng Hà N i - 2010 M U Lí ch n đ tƠi Ngày nay, v i s phát tri n c a nhanh chóng c a ngƠnh khoa h c cơng ngh , Tốn h c c ng đƣ đánh d u đ lƠ chuyên ngƠnh i s , nh ng t t ng ph cb c ti n đáng k c bi t ng pháp vƠ k t qu c a is đƣ thơm nh p vƠo h u h t l nh v c c a tốn h c, t tơpơ, hình h c t i gi i tích xác su t, c ng nh m t s l nh v c khoa h c khác: c h c, v t lí lí thuy t, hóa l ng t ầTrong đó, n tính m t tr i s đa n tính, c th lƠ ba đ i s đa ng tùy ý, lƠ: đ i s tenx , đ i s đ i x ng, đ i s ngoƠi đóng vai trị quan tr ng H n n a, vi c nghiên c u v n đ giúp cho ng i h c phát tri n t logic, sáng t o vƠ có t m nhìn sơu r ng h n v tốn h c T ni m yêu thích c a b n thơn v i b môn nƠy, v i s giúp đ t n tình c a th y giáo Nguy n Huy H ng m nh d n th c hi n khóa lu n t t nghi p v i tiêu đ : “ i s tenx vƠ đ i s ngoƠi” M c đích nghiên c u Cung c p nh ng ki n th c c b n v ba đ i s đa n tính m t tr ng tùy ý, lƠ: đ i s tenx , đ i s đ i x ng vƠ đ i s ngoƠi it + ng vƠ ph m vi nghiên c u it ng: Các ki n th c c b n v đ i s tenx vƠ đ i s ngoƠi + Ph m vi: N i dung ki n th c ph m vi c a đ i s n tính vƠ đ i s đa n tính Nhi m v nghiên c u Tìm hi u v lý thuy t đ i s tenx vƠ đ i s ngoƠi Ph ng pháp nghiên c u Phơn tích tƠi li u có liên quan, t ng h p kinh nghi m b n thơnầ CH NG NH NG KI N TH C B Trong ch TR ng nƠy tơi trình bƠy m t s ki n th c c b n c a đ i s n tính nh : khơng gian véct , ánh x n tính, tích tenx c a không gian vect , đ i s vƠ đ ng c u đ i s 1.1 Ánh x n tính Cho p khơng gian véct : E1 E p G đ Ei i 1, , p , G M t ánh x c g i lƠ p- n tính n u i 1 i p x1 , , xi 1, xi yi , xi 1, , xp x1 , , xi 1, xi , xi 1, , xp x1, , xi 1, yi , xi 1, , xp xi , yi Ei ; , *V i p đ c g i lƠ ánh x song n tính * G đ c g i lƠ p - hƠm s n tính 1.2 Tích tenx * Tính ch t ph d ng Cho E F lƠ không gian véct vƠ lƠ ánh x song n tính t E F vƠo khơng gian véct T Ta nói r ng có tính ch t ph d ng n u th a mƣn u ki n sau: 1 : Các véct x y x E, y F sinh T , ho c t ng đ ng Im T 2 : N u lƠ ánh x song n tính t E F vƠo không gian véct b t kì H , t n t i ánh x n tính f : T H cho bi u đ sau giao hoán: EF H f T Hai u ki n t ng đ ng v i u ki n sau: : V i m i ánh x song n tính : E F H t n t i nh t m t ánh x n tính f : T H cho bi u đ (1.1) giao hoán * nh ngh a tích tenx Tích tenx c a hai khơng gian véct E F lƠ m t c p T , , : E F T lƠ ánh x song n tính có tính ch t ph d ng T c ng đ c g i lƠ tích tenx c a E F Kí hi u: E F Tích tenx lƠ giao hốn v i ngh a lƠ E F F E 1.3 Không gian vect th ng * Tích tenx c a khơng gian Cho ánh x song n tính : E F T có tính ch t ph d ng vƠ hai không gian E1 E F1 F Cho ' lƠ kí hi u c a ánh x thu h p c a lên E1 F1 T1 Im' Khi đó, T1, ' lƠ tích tenx c a E1 F1 * Tích tenx c a không gian th ng: Cho E1 E F1 F không gian T E1, F1 E1 F E F1 Ánh x song n tính : E F E F / T E1, F1 đ c đ nh ngh a x, y x, y , lƠ phép chi u t c c m sinh ánh x n tính: : E/E1 F / F1 E F / T E1, F1 x, y x, y , x E/E1, y F / F1 cho T đó, ta có đ ng c u sau: E / E1 F / F1 E F / E1 F E F1 1.4 Tích tenx c a vect c s Cho a I b J l nl t lƠ c s c a khơng gian véct E F Khi đó, tích a b I ,J lƠ m t c s c a E F c bi t, n u E vƠ F lƠ h u h n chi u E F c ng h u h n chi u vƠ dim E F dimE.dimF 1.5 Tích tenx c a ánh x n tính Cho b n khơng gian véct E , E ' , F , F ' vƠ hai ánh x n tính: : E E', : F F' Khi đó, ánh x n tính E F E ' F ' đ c xác đ nh b i: x, y ( x) ( y) Do đó, t n t i ánh x n tính : E F E ' F ' cho x y ( x) ( y) Ánh x n tính : L E; E ' L F , F ' L E F ; E ' F ' đ sau: , 1.6 Tích tenx c a nhi u khơng gian vect * Tính ch t ph d ng: Ei i i, p p- không gian b t k vƠ : E1 E p T c cho nh p- ánh x n tính Ta nói có tính ch t ph d ng n u th a mƣn u ki n sau: x1 xp , x1 E1 sinh T 1 : Các véct 2 : V i m i p- ánh x n tính : E1 E p H (H khơng gian véct b t kì) có th vi t: x1, , xp f x1 xp f : T H lƠ ánh x n tính * nh ngh a Tích tenx c a không gian véct Ei i 1, p lƠ c p T , : E1 E p T p - ánh x n tính có tính ch t ph d ng Kí hi u: E1 E p 1.7 Khơng gian tích - M t tích trong khơng gian véct E lƠ hƠm s song n tính đ i x ng (,) khơng suy bi n E - Khơng gian tích E F đ c g i lƠ tích tenx c a hai khơng gian tích E F 1.8 Các không gian đ i ng u * Ánh x song n tính: Cho hai h ba không gian véct E , E ' , E '' F , F ' , F '' vƠ hai ánh x song n tính: : E E ' E '' : F F ' F '' Khi t n t i nh t m t ánh x song n tính: : E F E ' F ' E" F " cho: x y, x' y' x, x' y, y' ; x E, x ' E' , y F , y' F ' * HƠm s song n tính: V i m i c p hƠm s song n tính E E ' F F ' c m sinh m t hƠm s song n tính E F E ' F ' cho: x y, x' y' x, x' . y, y' Ta có khơng suy bi n vƠ ch đ u không suy bi n Cho E * , E F* , F lƠ hai c p không gian đ i ng u vƠ tích vơ h ng đ c kí hi u lƠ , Khi đó, t n t i nh t m t hƠm s song n tính , E * F * E F cho: x* y* , x y x* , x y* , y Do đó, hƠm s song n tính nƠy c ng khơng suy bi n vƠ có tính ch t đ i x ng Gi s Ei* , Ei i 1, p lƠ c p không gian đ i ng u vƠ t t c tích vơ h ng đ u đ c kí hi u lƠ , ta có tích vơ h ng gi a E1* E*p E1 E p là: x*1 x* p , x1 xp x*1, x1 x* p , xp * Các ánh x đ i ng u: Cho Ei , Ei* Fi , Fi* i 1,2 lƠ b n c p không gian véct đ i ng u vƠ : E1 E2 * : E2* E1* :F1 F2 * : F2* F1* lƠ hai c p ánh x đ i ng u Khi đó, ánh x : : E1 F1 E2 F2 * * : E2* F2* E1* F1* i ng u v i quan h lƠ tích vơ h ng Ta có, * * * 1.9 nh ngh a đ i s M t đ i s tr ng K lƠ m t t p h p khác r ng A v i ba phép toán g m: (a) Phép c ng: : A A A x, y x y (b) Phép nhân: : A A A x, y xy (c) Phép nhơn vô h ng(trong K) : K A A , x x Các phép toán nƠy th a mƣn u ki n sau: A1 A v i hai phép tốn cơng vƠ nhơn l p thƠnh m t vƠnh A2 A v i phép c ng vƠ phép nhơn vô h ng l p thƠnh m t không gian véct K A3 Hai c u trúc vƠnh vƠ không gian véct A ràng bu c b i u ki n: xy x y x y ; K; x, y A 1.10 i s Gi s A lƠ m t đ i s K M t t p c a A đ c g i lƠ đ i s n u v a lƠ m t vƠnh v a lƠ m t không gian véct c a A T p S A Giao c a t t c đ i s c a ch a lƠ đ i s c a A sinh b i S ó lƠ đ i s nh nh t c a A ch a S 1.11 i s th ng T p B A đ c g i lƠ iđêan c a đ i s A n u v a lƠ m t iđêan c a vƠnh A v a lƠ không gian véct c a A i s th ng A B v i ba phép toán sau t p l p k c a B A x B y B x y B x B y B xy B x B x B 1.12 x, y A; K ng c u đ i s Gi s A, A' lƠ đ i s K , ánh x : A A' đ c g i lƠ đ ng c u đ i s n u v a lƠ m t đ ng c u vƠnh v a lƠ m t đ ng c u K- không gian véct 1.13 i s phơn b c * VƠnh phơn b c: VƠnh phơn b c A vành có th phơn tích đ nhóm cơng tính A An n cho phép nhơn th a mƣn: As Ar Asr T c lƠ: x a s , y Ar Do xy Asr As Ar Asr c thƠnh t ng tr c ti p * i s phơn b c: i s phơn b c vƠnh phơn b c A lƠ m t A-đ i s E cho E Ei th o mƣn: i 1 Ai E j Ei j Ei E j Ei j 10 E / N E p E p Và E / N E lƠ m t đ i s phơn b c Vì N1 E N E 0, đ c bi t 1 E 0 E l n l t đ ng c u v i 1 E E 0 E Do đó, ta s đ ng nh t 1 E 0 E t ng ng v i E T (3.13) ta có h th c giao hốn: v 1 vu , pq (3.16) v i b t kì hai ph n t thu n nh t b c p vƠ q đ i s E / N E 3.2.3 Các tenx ph n đ i x ng Ta đ nh ngh a không gian véct X E E nh sau: XE X p E p p p M r ng phép chi u A : E E (trong 1 E 0 E A i ) t i ánh x n A : E E Khi đó, ta có : Ker A N E Im A X E H n n a, A lƠ phép chi u vƠ E N E X E N u lƠ ánh x thu h p c a phép chi u lên khơng gian véct X E : X E E / N E lƠ đ ng c u n tính thu n nh t b c khơng Cho X : E X E lƠ ánh x thu h p c a A Khi đó, bi u đ sau X giao hốn: E XE (3.17) E / N E 39 3.2.4 Tích vơ h ng Cho c p khơng gian véct đ i ng u E , E * Khi đó, t n t i tích vơ h E * E T (3.7) ta suy s h n ch c a tích vơ h ng ng t i không gian véct X E X E* lƠ không suy bi n Vì h : X E E / N E lƠ m t đ ng c u n tính, tích vô ng , c p E / N E , E* / N E * đ u* , u p! u* , u , Rõ ràng, tích vơ h c cho nh sau: u X p E* , u X p E (3.18) ng (3.18) ph thu c vƠo s phơn b c H n n a, t (3.13) vƠ (3.18) suy u* , u X u* , X u Au* , Au p ! Au* , Au (3.19) * p * p V i u E , u E Bơy gi , ta gi s u u * lƠ phơn tích đ u x1 xp , c u* x*1 x* p K t h p (3.8) vƠ (3.19) ta có x*1 x* p , x1 xp det x*i , x j (3.20) Bơy gi , cho u u * khơng gian tích Khi đó, E lƠ đ i ng u v i theo quan h tích vƠ ta có th đ t E* E H n n a, tích vơ h ng E lƠ khơng suy bi n Do đó, tích đ khơng gian th ng E / N E là: u, uv p! u, v c xác đ nh u, v X E T (3.20) ta có: x1 xp , y1 yp det xi , y j , xi E, y j E 40 3.3 TENX I X NG 3.3.1 Không gian M p ( E ) Gi s u u không gian M p ( E ) c a p E đ c sinh b i tenx u p E lƠ phép chuy n trí n đ nh đ i v i m i phép chuy n trí Th t v y, Không gian M p ( E ) n u v u u M p ( E ) lƠ phép chuy n trí ta có: ' 'v 'u u 'u u 'u ' u M p E V i m i u p E vƠ hốn v ta có: u u M p E (3.21) 3.3.2 Tốn t đ i x ng hóa M t tenx c g i lƠ đ i x ng n u u u; Sp u p E đ T p tenx đ i x ng lƠ m t không gian Y p E c a p E Ti p đó, cho ánh x n tính : E E đ p S q c cho b i công th c: p! (3.22) T đ nh ngh a, ta suy v i S p S V y S S ; T 1 S p! p ! Sp ng t , ta có S S ; Sp Bây gi , ta ch ng minh r ng: Ker S M p E Và Im A Y p E (3.23) (3.24) 41 Th t v y, v M p E v u u , lƠ phép chuy n trí Vì S S S v S v Mà S v S u u S u u S u u S v p V y S v S v S v hay v Ker S M E Ker S Ng c l i, gi s v Ker S S v ta có: Sv v 1 v u u u u u u M p E p! p! p P Hay v M E Ker S M E V y, công th c (3.23) đ c ch ng minh ch ng minh (3.24) ta có: p Vì S S nên u E ta có: S u su S u Y p E hay Im S Y p E Ng c su l i, u Y p E ta có : u u , ta l i 1 u u u p! p! u Im s hay Y p E Im s V y, công th c (3.24) đ c ch ng minh H n n a, s lƠ phép chi u nên s2 s (3.25) Do v y, ta có t ng tr c ti p: p E Yp E M p E (3.26) 42 có s đ Toán t c g i lƠ toán t đ i x ng hóa p E su đ c g i lƠ ph n t đ i x ng c a u 3.3.3 Không gian đ i ng u Gi s E , E * lƠ c p đ i ng u vƠ cho s toán t đ i x ng p E * p Sp , u* p E* , u p E , ta có: 1 phép toán đ i ng u nhau, t c lƠ: u* su 1u* , u Mà s 1 1 s p! p! p! Nên ta có: u* , su su* , u , u* p E* , u p E (3.27) Hay s s toán t đ i ng u T (3.26) ta suy s thu h p cúa tích vơ h ng , t i không gian Y p E* , Y p E lƠ không suy bi n Cho u* x*1 x* p u x1 xp lƠ tenx phơn tích đ T (3.25) (3.27) ta có: s x*1 x* p , s x1 xp x*1 x* p , s x1 xp x*1 x* p , s x1 xp x*1 , x 1 x* p , x p p! 43 (3.28) c perm( ij ) 1 1 p p (3.28) đ c vi t d i d ng: s x*1 x* p , s x1 xp perm x*1 , x j p! (3.29) 3.3.4 Ph n t đ i x ng c a m t tích Cho E lƠ đ i s tenx E vƠ không gian vect M p E p E Ta có M E M E vƠ đ nh ngh a s lƠ ánh x đ ng nh t 0 E 1 E Trong tr ng h p nƠy công th c xơy d ng v n Bây gi , cho v u u lƠ ph n t b t k c a M p E, p w q E lƠ tenx b t k Khi ta có: v w u w u w u w u w Spq lƠ phép chuy n trí đ c cho b i: v v p v v p+1 v p+q Suy ra: M p E q E M p q E T ng t , ta có: p E M p E M p q E , u p E v q E b t kì Ta có th vi t: u su u1; u1 M p E , (3.30a) v s v v1; v1 M q E 44 (3.30b) Do đó: u v su sv su v1 u1 sv u1 v1 s u v s su sv Hay Vì s lƠ phép chi u nên s su v s u v s u sv v i u p E v q E V y s u v s s u s v (3.31) = s u s v s su v v i u p E v q E IS 3.4 NG E / M E TH 3.4.1 Iđêan M E Cho t ng tr c ti p M E M p E p Công th c (3.30a) vƠ (3.30b) ch ng t M E iđêan phơn b c đ i s phơn b c E Gi s u p E v q E lƠ hai tenx b t kì Khi đó, ta có u v v u M p q E Th t vơy, n u lƠ hoán v cho b i: 1, , p, p 1, , p q q 1, , p q, , q u v v u Thì Ta có u v v u u v u v M p q E M r ng ra, n u u E v E hai tenx b t kì thì: u v vu M E 3.4.2 (3.32) i s E / M E Cho phép chi u t c 45 : E E / M E Vì M E iđêan đ i s E / M E đ E , m t phép nhơn sinh c cho b i : a b a b a , b E (3.33) T (3.33) ta có phép nhơn có tính ch t k t h p vƠ 1 lƠ ph n t đ n v T (3.32) suy phép nhơn có tính ch t giao hốn Vì M E phơn b c, s phơn b c sinh đ i s th ng E / M E là: E / M E p E p VƠ E / M E lƠ đ i s phơn b c Vì M E M E Khi đó, s thu h p c a lên 1 E 0 E lƠ đ ng c u Do đó, ta đ ng nh t 1 E v i E vƠ 0 E v i 3.4.3 Các tenx đ i x ng Cho Y E E lƠ không gian đ c cho b i Y E Yp E p p p M r ng phép chi u S : E E ( S i 1 E 0 E ) t i ánh x n tính S : E E Khi đó, ta có Ker S M ( E ) , Im S Y E E M E Y E Ánh x thu h p c a lên không gian Y E lƠ đ ng c u thu n nh t b c không : Y E E / M E 46 N u Y : E Y E lƠ ánh x thu h p c a S t i E, Y E , ta có bi u đ sau giao hốn : Y E (3.34) Y( E ) E / M ( E ) 3.4.4 Tích vơ h ng Cho E E * lƠ c p không gian véct đ i ng u vƠ tích E E * Theo (3.11), s h n ch c a thích vơ h ng t i không gian Y E Y E * lƠ khơng gian suy bi n Do đó, có tích vơ h ng gi a khơng gian véct E / M E , E* / M E* là: u* , u p ! u* , u , u* Y E * , u Y p E Rõ ràng, tích vơ h (3.35) ng (3.33) ph thu c vƠo s phơn b c H n n a, t (3.33) (3.34) ta có: u* , u p ! su* , su , u* E * , u E Cho u u * lƠ phơn tích đ (3.36) c u x1 xp , u* x*1 x* p T (3.36) vƠ (3.29) tacó: x*1 x* p , x1 xp prem x*i , x j 47 K T LU N tƠi tơi v a trình bƠy đơy khơng ch có ý ngh a v m t lý thuy t mƠ cịn có ý ngh a c v m t th c ti n Nó cung c p m t ph n lý thuy t v ba đ i s đa n tính m t tr ng, lƠ: đ i s tenx , đ i s ngoƠi vƠ đ i s đ i x ng Qua đó, có nh ng ng d ng c a đ i s vƠo hình h c, gi i tích, v t líầ Tuy nhiên th i gian có h n vƠ trình đ c a tơi cịn h n ch nên đ tƠi nƠy không th tránh kh i nh ng thi u sót Tơi r t mong đ c s đóng góp c a th y giáo, cô giáo b n sinh viên đ đ tƠi nƠy ngƠy cƠng đ hoƠn thi n h n 48 c TÀI LI U THAM KH O Ti ng Vi t 1 Nguy n H u Vi t H ng, is đ ic ng, NhƠ xu t b n giáo d c, 1999 HoƠng Xuơn Sính, is đ ic ng, NhƠ xu t b n giáo d c, 1994 Ti ng Anh 1 W Greub, Multilinear Algebra, Springer- verlag, 1978 49 L IC M N Tôi xin g i l i c m n chơn thƠnh đ n toƠn th th y cô giáo khoa Tốn, th y t i s , nh ng ng i t n tình d y d , giúp đ b n n m h c v a qua c ng nh t o u ki n cho tơi q trình hoƠn thƠnh khóa lu n c bi t, tơi xin bƠy t lòng bi t n sơu s c đ n th y Nguy n Huy H ng, ng i đƣ tr c ti p h ng d n, ch b o vƠ đóng góp nhi u ý ki n quý báu th i gian tơi th c hi n khóa lu n nƠy Hà N i, ngày 25 tháng n m 2010 Sinh viên D 50 ng Thanh Nga L I CAM OAN Khóa lu n nƠy lƠ k t qu c a b n thơn trình h c t p vƠ nghiên c u Bên c nh đó, đ c s quan tơm t o u ki n c a th y cô giáo khoa Toán, đ c bi t lƠ s h ng d n c a th y giáo Nguy n Huy H ng Trong trình nghiên c u hoƠn thƠnh khóa lu n tơi có tham kh o m t s tƠi li u đƣ ghi ph n tƠi li u tham kh o Tôi xin cam đoan k t qu đ tƠi “ i s tenx vƠ đ i s ngoƠi” khơng có s trùng l p c ng nh chép c a đ tƠi khác N u sai xin hoƠn toƠn ch u trách nhi m Ng i cam đoan Sinh viên D 51 ng Thanh Nga M CL C M U CH NG KI N TH C B TR CH NG I S TENX 10 2.1 Các véct 10 2.1.1 nh ngh a 10 2.1.2 i s tenx 11 2.1.3 Tính ch t ph d ng c a E vƠ c p ph d ng 13 2.1.4 ng c u 14 2.2 Tenx c p không gian đ i ng u 16 2.2.1 nh ngh a 16 2.2.2 ng c u 17 2.3 Tenx h n h p 18 2.3 nhngh a 18 2.2.4 i s tenx h n h p 19 2.2.5 Ánh x thu h p 19 2.1.6 Ánh x tenx 21 2.4 i s tenx khơng gian tích 22 2.4.1 Tích 22 2.4.2 2.5 ng c u 23 i s đa n tính 23 2.5.1 i s T E 24 2.5.2 Phép th 24 2.5.3 T p E 25 ng c u p E 2.5.3 i s T E 27 52 2.5.4 Tính đ i ng u gi a T p E Tp E 28 2.5.6 CH NG i s T E 29 I S TENX PH N I S TENX I X NG I X NG 31 3.1 Tenx ph n đ i x ng 31 3.1.1 Không gian N p E 31 3.1.2 Toán t thay phiên 32 3.2.3 Không gian đ i ng u 34 3.3.4 Ph n t ph n đ i x ng c a m t tích 35 3.2 s th ng E / N E 36 3.5 Iđêan N E 36 3.6 i s E / N E 37 3.7 Các tenx ph n đ i x ng 38 3.8 Tích vơ h ng 39 3.3 Tenx đ i x ng 40 3.3.1 Không gian M p E 40 3.3.2 Tốn t đ i x ng hóa 40 3.3.3 Không gian đ i ng u 42 3.3.4 Ph n t đ i x ng c a m t tích 43 3.4 i s th ng E / M E 44 3.4.1 Iđêan M E 44 3.4.2 i s E / M E 44 3.4.3 Các tenx đ i x ng 45 3.4.4 Tích vơ h ng 46 K T LU N 47 TÀI LI U THAM KH O 48 53 ... không gian véct E vào F Khi đó, xác đ nh nh t m t đ ng c u : E F cho: 1 15 Th t v y, gi s ánh x n tính : E F đ c cho b i j. (trong j lƠ phép nhúng t F vào F ) Khi đó,... h : E A cho h 1 e h.i ; t c bi u đ sau giao hoán: E A j h E j lƠ phép nhúng c a E vào E b) C p ph d ng Cho U lƠ đ i s b t kì v i ph n t đ n v lƠ vƠ : E U ánh x n tính Ta nói... HoƠn toƠn t ng t , ta ch đ c g f i ' , i ' lƠ ánh x đ ng nh t c a U ' Do đó, f lƠ đ ng c u t U vào U ' , g f 1 nh lí đ c ch ng minh Vì i, E lƠ c p ph d ng E nên theo đ nh lí v s t n