Định lý giá trị trung bình trong không gian định chuẩn và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN ——————–o0o——————— NGUYỄN ÁNH DUNG ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VÀ ỨNG DỤNG KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: T

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

——————–o0o———————

NGUYỄN ÁNH DUNG

ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH TRONG

KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VÀ ỨNG DỤNG

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Hướng dẫn khoa học:

TS HOÀNG NGỌC TUẤN

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

LỜI CẢM ƠN

Sau quá trình nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ, động viên từ các thầy giáo,

cô giáo cùng với các bạn sinh viên trường đại học sư phạm Hà Nội 2 đến naybài khóa luận của em đã được hoàn thành

Đặc biệt cho em xin được gửi lời cảm ơn chân thành, lòng biết ơn sâu sắcnhất tới thầy Hoàng Ngọc Tuấn - người đã trực tiếp quan tâm và hướng dẫn

em thực hiện đề tài nghiên cứu này Qua đây em cũng xin cảm ơn sự giúp đỡcủa thầy cô trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ giải tích đã tạo điều kiện tốtnhất cho em trong suốt quá trình em thực hiện khóa luận

Dù bản thân đã rất cố gắng trong suốt quá trình nhưng do đây là lần đầutiên được tiếp xúc với một bài nghiên cứu khoa học, hơn nữa do điều kiện vềthời gian và năng lực bản thân còn hạn chế nên phần trình bày của em khôngtránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của cácthầy cô cùng với các bạn sinh viên để bài khóa luận của em được hoàn thiệnhơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Nguyễn Ánh Dung

LỜI CAM ĐOAN

Bài khóa luận là kết quả trung thực, khách quan dựa trên kiến thức trongsuốt quá trình học tập, tìm hiểu của bản thân em cùng với sự hướng dẫn, chỉbảo tận tình của TS Hoàng Ngọc Tuấn

Trong quá trình thực hiện bài nghiên cứu của mình em có tham khảo một

số tài liệu và đã được nêu trong mục tài liệu tham khảo

Em xin cam đoan bài khóa luận: “Định lý giá trị trung bình trongkhông gian định chuẩn và ứng dụng” là công trình nghiên cứu của riêng

em, những kết quả thu được trong đề tài không trùng với bất kì tác giả nàokhác

Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Nguyễn Ánh Dung

MỤC LỤC

Trang

1.1 Không gian định chuẩn 7

1.1.1 Định nghĩa 7

1.1.2 Giới hạn và tính liên tục 8

1.1.3 Tập đóng, tập mở 9

1.1.4 Tập compact 11

1.1.5 Không gian Banach 12

1.2 Phép tính vi phân 13

1.2.1 Đạo hàm có hướng 13

1.2.2 Vi phân 15

2 Định lý giá trị trung bình và ứng dụng 19 2.1 Định lý giá trị trung bình mở rộng 20

2.2 Đạo hàm riêng 24

2.3 Tích phân 27

2.4 Phép tính vi phân dưới dấu tích phân 32

Tài liệu tham khảo 37

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Định lý giá trị trung bình là định lý đóng vai trò vô cùng quan trọng trongtoán học Nó là một đề tài thường xuyên được khai thác trong các kì thi họcsinh giỏi và Olympic toán học Nhờ nó mà ta có thể giải các bài toán liên quanđến sự tồn tại nghiệm của phương trình, vấn đề cực trị của hàm số, lý thuyếtgiải tích số một cách dễ dàng hơn Từ đó có thể giải quyết được các bài toánliên quan một cách nhanh chóng và thuận tiện nhất

Chính vì tầm quan trọng của định lý giá trị trung bình và được sự hướngdẫn của TS Hoàng Ngọc Tuấn, em đã chọn đề tài “Định lý giá trị trung bìnhtrong không gian định chuẩn và ứng dụng” để hoàn thành khóa luận tốtnghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về định lý giá trị trung bình và ứng dụng của nó Từ đó cungcấp thêm tư liệu toán học giúp người đọc có thêm thông tin phục vụ việc họctập và giảng dạy của mình

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu về định lý giá trị trung bình

- Đưa ra một vài ứng dụng của định lý trong toán học

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: định lý giá trị trung bình

- Phạm vi: Toán cao cấp, Topo - độ đo - tích phân Giải tích hàm

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu tham khảo theo phương pháp hệ thống lại các kiếnthức có liên quan.

- Hỏi ý kiến các chuyên gia

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian định chuẩn

Nếu không có sự nhầm lẫn, ta viết đơn giản là E cho một không gian địnhchuẩn Để phân biệt các chuẩn trên các không gian định chuẩn E và F, ta cóthể viết k.kE với chuẩn trên E và k.kF với chuẩn trên F Những chuẩn thôngdụng nhất trên Rn được định nghĩa như sau:

kxk1= |x1| + · · · + |xn|, kxk2 =

.Mệnh đề 1.1 kxkp là một chuẩn trên Rn

x ∈ A và kx − akE < δ thì kf (x) − f (a)k < ε.

Nếu f là liên tục tại mọi điểm a ∈ A thì ta nói f là liên tục trên A Cuối cùng,nếu A ⊂ E, B ⊂ F và f : A → B là liên tục sao cho ánh xạ nghịch đảo f−1 cũngliên tục thì ta nói f là phép đồng phôi

Mệnh đề 1.3 Chuẩn trên một không gian định chuẩn là một hàm số liên tục.Mệnh đề 1.4 Cho E và F là các không gian định chuẩn, A ⊂ E, a ∈ A, f và g

là ánh xạ đi từ E đến F và λ ∈R

1 Nếu f và g là liên tục tại a thì f + g cũng liên tục tại a

2 Nếu f là liên tục tại a thì λf cũng liên tục tại a

3 Nếu α là một hàm số thực xác định trên E, cả f và α đều liên tục tại a thì

ta cũng có αf liên tục tại a

Hệ quả 1.1 Hàm số f : E → F liên tục tại a có dạng một không gian vectơ

Bây giờ ta xét tích đề-các của các không gian định chuẩn Cho

Dễ dàng thấy k.kS và k.kM là chuẩn tương đương trên E1× × Ep Tổng quát,

ta sẽ sử dụng chuẩn thứ hai như là chuẩn thông thường Nếu E 1 = = E p =R

Mệnh đề 1.6 Cho E, F, G là các không gian định chuẩn, A ⊂ E, B ⊂ F,

f : A → F và g : B → G Nếu f (A) ⊂ B , f là liên tục tại a ∈ A và g liên tục tại

f (a) thì g ◦ f là liên tục tại a

Hệ quả 1.2 Nếu A ⊂ E và f : A →R là liên tục và khác không trên A thì hàm

Cho E là một không gian định chuẩn Một tập con O của E được gọi là

mở nếu với mỗi x ∈ O, có một hình cầu mở tâm x nằm hoàn toàn trong O Nếu

A ⊂ E và có một tập mở O sao cho a ∈ O ⊂ A, thì A được gọi là lân cận của a.Nếu tập mở của A là chính nó thì ta nói A là một lân cận mở của a.

mở, thì ta nóiC là đóng Chú ý rằng một tập con bao gồm một điểm là một tậpđóng

Mệnh đề 1.8 Một hình cầu đóng B (a, r) là một tập đóng

Sử dụng định luật Morgan ta nhận được: Nếu E là một không gian địnhchuẩn, thì

1 E, ∅ là tập đóng

2 Nếu (Cα)α∈A là tập của các tập con đóng thì ∩α∈ACα là một tập đóng

3 Nếu(C i )ni=1 là tập hữu hạn của các tập con đóng thì∪ni=1C ilà một tập đóng.Mệnh đề 1.9 Cho E là một không gian định chuẩn và A ⊂ E A là tập đóngkhi và chỉ khi mọi dãy hội tụ trong A có giới hạn nằm trong A

Mệnh đề 1.10 Chỉ có các tập con vừa mở vừa đóng của không gian định chuẩn

E là tập E và ∅

Mệnh đề 1.11 Cho E và F là các không gian định chuẩn, A ⊂ E và f là ánh

xạ đi từ A đến F Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:

1 f là liên tục;

2 f−1(O) là giao của A với tập con mở của E, nếu O là mở trong F;

3 f−1(C) là giao của A với tập con đóng của E, nếu C là đóng trong F.1.1.4 Tập compact

Trong phần này ta sẽ giới thiệu các khái niệm cơ bản về tập compact Đầutiên ta xét điểm giới hạn Như ở trên, ta giả sử rằng E là một không gian địnhchuẩn Cho A là một tập con của E Ta nói rằng x ∈ E là một điểm giới hạncủa A nếu mọi hình cầu mở B(x, r) chứa các điểm của A ngoại trừ x (Chú ý, x

không nhất thiết nằm trong A.) A được nói là có tính chất Bolzano-Weierstrassnếu mọi tập con vô hạn của A có một điểm giới hạn trong A

Ví dụ 1.1 0 là điểm giới hạn của tập 1,12,13,

Mệnh đề 1.12 NếuA ⊂ E là tập compact thìAcó tính chất Bolzano-Weierstrass.Nếu A ⊂ E thì ta định nghĩa đường kính của A bởi

diam(A) = sup {kx − yk : x, y ∈ A}

Chú ý : Nếu A = ∅thì diam(A) = −∞ Tập A là bị chặn nếu nó nằm tronghình cầu mở tâm là điểm gốc Với tập khác rỗng, tính bị chặn là tương đươngvới tính hữu hạn đường kính

Nếu E và F là các không gian định chuẩn, A là tập con của E và f là ánh

xạ đi từ A đếnF, thì ta nói f là liên tục đều nếu các điều kiện sau là thỏa mãn:với mọi ε > 0, tồn tại α > 0 sao cho nếu x, y ∈ A và kx − ykE < α thì

kf (x) − f (y)kF < ε

Rõ ràng, nếu f là liên tục đều thì f là liên tục Dễ dàng tìm được ví dụ của ánh

xạ liên tục nhưng không liên tục đều Ví dụ hàm số f : R∗+ → R, t 7→ 1t là liêntục nhưng không liên tục đều Tuy nhiên, ta có các kết quả sau:

Mệnh đề 1.13 Nếu E và F là không gian định chuẩn, A ⊂ E compact theo dãy

và f : A → F liên tục trên A thì f là liên tục đều

Định lý 1.2 Nếu E là không gian định chuẩn và A ⊂ E thì ba mệnh đề sau làtương đương:

1 A là compact;

2 A có tính chất Bolzano-Weierstrass;

3 A là compact theo dãy

Mệnh đề 1.14 Nếu E là một không gian định chuẩn và A ⊂ E là compact, thì

A là đóng và bị chặn

Định lý 1.3 NếuE là một không gian định chuẩn, A ⊂ E compact vàf : A → R

liên tục, thì f là bị chặn trên A và nó bị chặn trên và chặn dưới

Định lý 1.4 Nếu k.k là một chuẩn xác định trên Rn thì k.k là tương đương với

k.k∞ Cho nên tất cả các chuẩn trên Rn là tương đương

Hệ quả 1.3 Tất cả các chuẩn trong không gian vectơ hữu hạn chiều E là tươngđương

Định lý 1.5 Các tập con compact của một không gian định chuẩn hữu hạnchiều là đóng và bị chặn

1.1.5 Không gian Banach

Một dãy Cauchy trong R có thể tổng quát thành một không gian địnhchuẩn Ta nói rằng một dãy (xk) trong không gian định chuẩn E là một dãyCauchy nếu nó thỏa mãn tính chất sau:

với mọi ε > 0, tồn tại một N (ε) ∈N sao cho kum− unk < ε, nếu m, n>N (ε)

Dế dàng thấy một dãy hội tụ là một dãy Cauchy và một dãy Cauchy là bị chặn

Ta nói rằng một không gian định chuẩn E là đầy đủ, hoặc một không gianBanach, nếu mọi dãy Cauchy trong E hội tụ

Định lý 1.6 Không gian định chuẩn (Rn, k.k∞) là không gian Banach

Định lý 1.7 Hình cầu đơn vị S của không gian định chuẩn E là compact khi

và chỉ khi E là hữu hạn chiều

lim

t→0

f (a + tu) − f (a)

t

tồn tại, thì ta viết∂uf (a) Nó được gọi là đạo hàm của f tại atheo biếnu Chúng

ta gọi đạo hàm như trên là đạo hàm có hướng Chú ý rằng, nếu∂uf (a) xác định

và λ ∈R∗, thì ∂λuf (a) xác định và

∂λuf (a) = λ∂ u f (a).

Nếu E =Rn và cơ sở chuẩn tắc của nó là(ei), thì đạo hàm có hướng∂eif (a)

được gọi là đạo hàm riêng thứ i của f tại a, hoặc đạo hàm của f theo biến xi

tại a Trong trường hợp này chúng ta viết∂if (a) hoặc ∂x∂f

i (a) Nếu a = (a1, , an),thì

i xác định trên O Nếu những hàm số là xácđịnh và liên tục với mọi i, thì ta nói rằng hàm số f thuộc lớp C1

Ví dụ 1.2 Nếu f là hàm số xác định trên R2 bởi f (x, y) = xexy, thì đạo hàmriêng theo biến x và y xác định với mọi điểm (x, y) và

∂f

∂x (x, y) = (1 + xy)exy và ∂f∂y(x, y) = x2exy.

Vì hàm số (x, y) 7→ (1 + xy)exy và (x, y) 7→ x2exy liên tục, f thuộc lớp C1.

Mệnh đề 1.15 Cho O là một tập con mở của Rn, a ∈ O và hàm số thực f và g

xác định trên O có đạo hàm riêng theo biến xi tại a Thế thì

Ví dụ 1.3 Nếu ánh xạf của R3 vào R2 được xác định bởi f (x, y, z) = (xy, zexy),thì tất cả đạo hàm riêng xác định tại mọi điểm (x, y, z) ∈R3 và

Dễ dàng để tổng quát định nghĩa của lớpC1 đến một ánh xạ có ảnh trong

Rm Ta nói rằng một hàm số là thuộc lớp C1 nếu các tọa độ của nó thuộc lớp

C1

Lưu ý Cho A là một tập con khác rỗng của một không gian vectơ E, hàm sốthực f xác định trên A, và a ∈ A Nếu u là một phần tử khác không của E vàtồn tại ε > 0 sao cho a + tu ∈ A, khi |t| < ε, thì hàm số fu : t → f (a + tu) đượcxác định trên khoảng mở (−ε, ε) Nếu đạo hàm dfu

dt (0) xác định, thì ta viết đạohàm này là ∂f u (a) và gọi là đạo hàm của f tại a theo biến u

1.2.2 Vi phân

Cho E và F là không gian định chuẩn, O là một tập con mở của E chứa

0, và một ánh xạ g từ O vào F sao cho g(0) = 0 Nếu tồn tại một ánh xạ ε xácđịnh trên một lân cận của 0 ∈ E và với ảnh trong F, sao cho limh→0ε(h) = 0 và

g(h) = khkEε(h),

thì ta viết g(h) = o(h)và nói rằng g là một “ vô cùng bé củah” Nếu k.k×E ∼ k.kE

và k.k×F ∼ k.kF, thì g(h) = o(h) với chuẩn k.kE và k.kF khi và chỉ khi g(h) = o(h)

với chuẩnk.k×E vàk.k×F Đặc biệt, nếuE =Rn vàF =Rm, thì điều kiệng(h) = o(h)

là độc lập với các chuẩn mà ta chọn cho hai không gian

Cho O là một tập con mở của không gian định chuẩn E và một ánh xạ f

từ O vào một không gian định chuẩn F Nếu a ∈ O và có một ánh xạ tuyến tínhliên tục φ từ E vào F sao cho

Ví dụ 1.4 Nếu E và F là không gian định chuẩn vàf : E → F là không đổi thì

f0(a)là ánh xạ 0tại mọi điểm a ∈ E Nếu là tuyến tính và liên tục, thì f0(a) = f

tại mọi điểm a ∈ E

Mệnh đề 1.17 Nếu ta thay thế chuẩn trên không gian E và F bởi chuẩn tươngđương, thì khả vi tại a ∈ O và vi phân là không thay đổi Đặc biệt, nếu E và F

là hữu hạn chiều, thì ta có thể chọn bất kì cặp chuẩn nào

ở đó | |2 là chuẩn ma trận phụ thuộc vào k k2 Vì vậy f0(a) = φ

Mệnh đề 1.18 Cho f là một ánh xạ được xác định trên một tập con mở O củakhông gian định chuẩn E với ảnh trong tích đề các F = F1× × Fp Thế thì f

là khả vi tại a ∈ O khi và chỉ khi các thành phần fi, với i = 1, , p, là khả vi tại

a

Lưu ý Vi phân f0(a) là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F Ta có thểchỉ ra rằng các tọa độ ánh xạ củaf0(a)tại a là các vi phân tại a của các tọa độánh xạ của f, nghĩa là

f0(a) = (f10(a), , fp0(a)).

Mệnh đề 1.19 Nếu O là một tập con mở của một không gian định chuẩn E và

f : E →R là khả vi tại a ∈ O, thì đạo hàm có hướng ∂fu(a) là xác định với mọivectơ u ∈ E khác vectơ không và ∂f u (a) = f0(a) u Đặc biệt, nếu E =Rn, thì đạohàm riêng ∂x∂f

1 (a) , ,∂x∂f

n (a) được xác định

Mệnh đề 1.20 Cho E, F là không gian định chuẩn, O là một tập con mở của

E và a là một phần tử của O Nếu f, g là khả vi tại a thì f + g là khả vi tại a và

λf cũng khả vi tại a với λ ∈R, và

(f + g)0(a) = f0(a) + g0(a) và (λf )0(a) = λf0(a).Nếu F là một không gian đại số giao hoán, thì f g là khả vi tại a và

(f g)0(a) = f (a) g0(a) + g (a) f0(a)

Giả sử rằng E và F là các không gian định chuẩn, O là một tập con mởcủa E và f : O → E khả vi tại a ∈ O Nếu F˜ là một không gian vectơ con của F

và ảnh của f nằm trong F˜ thì f khả vi tại a như một ánh xạ từ O vào F˜ nếuảnh của f0(a) nằm trong F˜

Cho E, F, G là các không gian định chuẩn, O là một tập con mở của E, U

là một tập con mở của F và f : O → F, g : U → G sao cho f (O) ⊂ U Thì ánh xạ

g ◦ f là xác định trên O

Định lý 1.8 Nếu f là khả vi tại a và g là khả vi tại f (a), thì g ◦ f khả vi tại a

và

(g ◦ f )0(a) = g0(f (a)) ◦ f0(a)

Xét một hàm số thực f xác định trên một tập con mở O của Rn Ta có thểthấy nếuf có đạo hàm riêng tại một điểm a ∈ O, thì điều này không thể suy ra

f là khả vi tại a Tuy nhiên nếu ta thêm một một điều kiện thì ta được hàm sốkhả vi

f0(r, θ) = (cosθdr − rsinθdθ, sinθdr + rcosθdθ)

Chương 2 Định lý giá trị trung bình và ứng dụng

Trong chương này ta sẽ giới thiệu những định lý giá trị trung bình mở rộnghay cũng được gọi định lý giá trị trung bình Những định lý này có nhiều ứngdụng mà ta sẽ giới thiệu ở đây

Chúng ta sẽ tổng quát đạo hàm thông thường của hàm số thực Nếu λ ∈R∗

và x ∈ E, là một không gian định chuẩn ta thường viết xλ với 1λx có nghĩa là tích

vô hướng của λ1 với x Giả sử I ⊂ R là một đoạn và f là một ánh xạ mà ảnhnằm ở không gian định chuẩnE Thế thì ta có thể xác định đạo hàm theo cáchthông thường Nếu a ∈ I và giới hạn

lim

t→0

f (a + t) − f (a)

t

tồn tại, thì ta gọi nó là đạo hàm của f tạia và kí hiệu là dxdf(a) hoặcf˙ Nếu đoạn

I là mở thì ta có thể chứng minh f khả vi tại a ∈ I khi và chỉ khi f có đạo hàmtại a Trong trường hợp này ta có

f0(a)t = t ˙ f (a).

Nếu hàm sốf là khả vi tại mọi điểmx ∈ I, thì chúng ta có hàm sốf : I → E˙

được xác định một cách tự nhiên Ta cũng chú ý rằng chuẩn của f0(x) là bằngvới chuẩn của f (x)˙ và vì tính liên tục của f˙ tại x là tương đương với tính liêntục của f0 tại x Do đó f thuộc lớp C1, nếu f˙ là liên tục

Lưu ý: Ta có thể mở rộng thuật ngữ khả vi đối với hàm số xác định trong đoạn

I Nếu f : I → E có đạo hàm f (x). tại mọi điểm x ∈ I, thì ta nói rằng f là khả

vi Trong trường hợp này nếu hàm số f. là liên tục, thì ta nói rằng f thuộc lớp

C1