Định lý giá trị trung bình trong không gian định chuẩn và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ——————–o0o——————— NGUYỄN ÁNH DUNG ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH TRONG KHƠNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VÀ ỨNG DỤNG KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Hà Nội, tháng năm 2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ——————–o0o——————— NGUYỄN ÁNH DUNG ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH TRONG KHƠNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VÀ ỨNG DỤNG KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Tốn Giải tích Hướng dẫn khoa học: TS HỒNG NGỌC TUẤN Hà Nội, tháng năm 2019 LỜI CẢM ƠN Sau trình nghiên cứu với giúp đỡ, động viên từ thầy giáo, cô giáo với bạn sinh viên trường đại học sư phạm Hà Nội đến khóa luận em hoàn thành Đặc biệt cho em xin gửi lời cảm ơn chân thành, lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Hoàng Ngọc Tuấn - người trực tiếp quan tâm hướng dẫn em thực đề tài nghiên cứu Qua em xin cảm ơn giúp đỡ thầy cô khoa Tốn, thầy tổ giải tích tạo điều kiện tốt cho em suốt trình em thực khóa luận Dù thân cố gắng suốt trình lần tiếp xúc với nghiên cứu khoa học, điều kiện thời gian lực thân hạn chế nên phần trình bày em khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô với bạn sinh viên để khóa luận em hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2019 Sinh viên Nguyễn Ánh Dung LỜI CAM ĐOAN Bài khóa luận kết trung thực, khách quan dựa kiến thức suốt trình học tập, tìm hiểu thân em với hướng dẫn, bảo tận tình TS Hồng Ngọc Tuấn Trong trình thực nghiên cứu em có tham khảo số tài liệu nêu mục tài liệu tham khảo Em xin cam đoan khóa luận: “Định lý giá trị trung bình khơng gian định chuẩn ứng dụng” cơng trình nghiên cứu riêng em, kết thu đề tài không trùng với tác giả khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2019 Sinh viên Nguyễn Ánh Dung MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Không gian định chuẩn 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Giới hạn tính liên tục 1.1.3 Tập đóng, tập mở 1.1.4 Tập compact 11 1.1.5 Không gian Banach 12 Phép tính vi phân 13 1.2.1 Đạo hàm có hướng 13 1.2.2 Vi phân 15 Định lý giá trị trung bình ứng dụng 19 2.1 Định lý giá trị trung bình mở rộng 20 2.2 Đạo hàm riêng 24 2.3 Tích phân 27 2.4 Phép tính vi phân dấu tích phân 32 Kết luận chung 36 Tài liệu tham khảo 37 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Định lý giá trị trung bình định lý đóng vai trò vơ quan trọng tốn học Nó đề tài thường xuyên khai thác kì thi học sinh giỏi Olympic tốn học Nhờ mà ta giải tốn liên quan đến tồn nghiệm phương trình, vấn đề cực trị hàm số, lý thuyết giải tích số cách dễ dàng Từ giải tốn liên quan cách nhanh chóng thuận tiện Chính tầm quan trọng định lý giá trị trung bình hướng dẫn TS Hồng Ngọc Tuấn, em chọn đề tài “Định lý giá trị trung bình khơng gian định chuẩn ứng dụng” để hồn thành khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu định lý giá trị trung bình ứng dụng Từ cung cấp thêm tư liệu toán học giúp người đọc có thêm thơng tin phục vụ việc học tập giảng dạy Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu định lý giá trị trung bình - Đưa vài ứng dụng định lý toán học Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: định lý giá trị trung bình - Phạm vi: Toán cao cấp, Topo - độ đo - tích phân Giải tích hàm Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu tham khảo theo phương pháp hệ thống lại kiến thức có liên quan - Hỏi ý kiến chuyên gia Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian định chuẩn 1.1.1 Định nghĩa Giả sử tất không gian vectơ thực Cho E không gian vectơ Một ánh xạ : E → R gọi chuẩn ∀x, y ∈ E, λ ∈ R ta có x ≥ 0; x = ⇔ x = ; λx = |λ| x ; x + y ≤ x + y Cặp (E, ) gọi khơng gian định chuẩn ta nói x chuẩn x Tính chất thứ tư bất đẳng thức tam giác không gian định chuẩn Nếu khơng có nhầm lẫn, ta viết đơn giản E cho không gian định chuẩn Để phân biệt chuẩn không gian định chuẩn E F , ta viết E với chuẩn E với chuẩn F Những chuẩn thông F dụng Rn định nghĩa sau: x = |x1 | + · · · + |xn |, x = x21 + · · · + x2n , = max|x1 |, , |xn | n p Cho p > với x ∈ Rn ta đặt x p = |xi |p x Mệnh đề 1.1 x p ∞ chuẩn i=1 Rn 1.1.2 Giới hạn tính liên tục Bây ta xét dãy khơng gian định chuẩn Nếu (xn )n∈N dãy khơng gian định chuẩn E có phần tử l ∈ E cho limn→∞ xn − l = ta nói dãy hội tụ Dễ dàng thấy phần tử l phải Ta gọi l giới hạn dãy viết limn→∞ xn = l Ta viết gọn (xn )n∈N thành (xn ) limn→∞ xn = l thành lim xn = l Mệnh đề 1.2 Nếu (xn ) (yn ) dãy hội tụ E , với lim xn = l1 lim yn = l2 , λ ∈ R lim (xn + yn ) = l1 + l2 lim (λxn ) = λl1 Giả sử có hai khơng gian định chuẩn, (E, E) (F, F ) Cho A tập E , f ánh xạ từ A đến F a ∈ A Ta nói f liên tục a điều kiện sau thỏa mãn: Với ε > tồn δ > cho x ∈ A x − a E < δ f (x) − f (a) < ε Nếu f liên tục điểm a ∈ A ta nói f liên tục A Cuối cùng, A ⊂ E, B ⊂ F f : A → B liên tục cho ánh xạ nghịch đảo f −1 liên tục ta nói f phép đồng phôi Mệnh đề 1.3 Chuẩn không gian định chuẩn hàm số liên tục Mệnh đề 1.4 Cho E F không gian định chuẩn, A ⊂ E, a ∈ A, f g ánh xạ từ E đến F λ ∈ R Nếu f g liên tục a f + g liên tục a Nếu f liên tục a λf liên tục a Nếu α hàm số thực xác định E , f α liên tục a ta có αf liên tục a Hệ 1.1 Hàm số f : E → F liên tục a có dạng khơng gian vectơ với x ∈ (c, c + η), từ điều ta thu f (x) − f (c) F ≤ g(x) − g(c) + ε(x − c) Bây sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có f (x) − f (a) F ≤ f (x) − f (c) F + f (c) − f (a) F ≤ (g(x) − g(c) + ε(x − c)) + (g(c) − g(a) + ε(c − a)) = g(x) − g(a) + ε(x − a), kéo theo (c, c + η) ⊂ A(ε) Điều mâu thuẫn với định nghĩa c Cho nên c = b ta có f (b) − f (a) F ≤ g(b) − g(a) + ε(b − a) Cho ε hội tụ đến 0, ta thu kết Hệ 2.1 Cho a, b ∈ R, với a < b, F không gian vectơ chuẩn f : [a, b] → F liên tục [a, b] khả vi (a, b) Nếu có số K cho f˙(t) F ≤ K , f (b) − f (a) F ≤ K(b − a) Hệ 2.2 Cho E F không gian định chuẩn, O tập mở E f : O → F khả vi O Nếu [a, b] ⊂ O, f (b) − f (a) F ≤ sup f (x) x∈(a,b) L(E,F ) b−a E Chứng minh Nếu supx∈(a,b) |f (x)|L(E,F ) = ∞, khơng có điều để chứng minh, giả sử trường hợp không xảy Cho u : [0, 1] → E xác định u(t) = (1 − t)a + tb Nếu g = f ◦ u, g liên tục [0, 1] khả vi (0, 1), với g(t) ˙ = f (u(t)) ◦ u (t)1 = f (u(t))(b − a) Do g(t) ˙ F ≤ sup f (x) x∈(a,b) 23 L(E,F ) b−a E Từ Hệ 2.1 ta có g(1) − g(0) F ≤ sup f (x) x∈(a,b) L(E,F ) b−a E (1 − 0), nghĩa f (b) − f (a) F ≤ sup f (x) x∈(a,b) L(E,F ) b−a E Từ ta nhận điều phải chứng minh Hệ 2.3 Cho E F không gian định chuẩn, O tập mở E f : O → F khả vi Nếu đoạn [a, b] ⊂ O ta có f (b) − f (a) − f (a)(b − a) F ≤ sup f (x) − f (a) x∈(a,b) L(E,F ) b−a E Chứng minh Nếu đặt φ(x) = f (x)−f (a)x, φ khả vi φ = (f (x)−f (a)) Áp dụng hệ ta kết Định lý 2.4 Cho E F không gian định chuẩn, O tập mở liên thông E f : O → F ánh xạ khả vi Nếu f triệt tiêu, f hàm 2.2 Đạo hàm riêng Cho E1 , , En F không gian định chuẩn Ta đặt E = E1 × × En xác định chuẩn E cách thông thường (x1 , , xn ) E = max xk k Ek Cho O tập mở E f ánh xạ từ O đến F Nếu lấy a ∈ O cho tọa độ thứ k thay đổi cố định thành phần tọa độ khác ta thu ánh xạ fa,k : Ek → F xác định tập mở Ek chứa ak Nếu ∈ L(Ek , F ) vi phân phần fa,k khả vi ak , ta gọi vi phân f a,k (ak ) thứ k f a kí hiệu ∂k f (a) cho f a,k (ak ) Trong trường hợp E = Rn , f có vi phân phần thứ k a f có đạo hàm riêng thứ k a 24 Mệnh đề 2.1 Nếu f : O → F khả vi a ∈ O, tất vi phân phần ∂k f (a) tồn n ∂k f (a)hi , f (a)h = k=1 h = (h1 , , hn ) ∈ E Chứng minh Cho k = 1, , n, ta xác định ánh xạ ia,k : Ek → E ia,k (t) = (a1 , , t, , an ), t vị trí thứ k Ta có ia,k ánh xạ afin khả vi Hơn nữa, fa,k = f ◦ ia,k Bởi vậy, f khả vi a, đạo hàm riêng ∂k f (a) xác định ∂k f (a)hk = f (a)(ik (ak )hk ) = f (a)(0, , hk , , 0) Sử dụng tính tuyến tính f (x), ta thu n f (a)h = ∂k f (a)hk k=1 Mệnh đề chứng minh Nếu f : O → F khả vi, với k ta có ánh xạ ∂k f : O → L(Ek , F ) gọi vi phân phần Nếu f thuộc lớp C a ∈ O, (∂k f (a + x) − ∂k f (a)hk F = (f (a + x) − f (a))(0, , hk , , 0) ≤ f (a + x) − f (a) L(E,F ) hk Ek E , kéo theo |∂k f (a + x) − ∂k f (a)|L(E,F ) ≤ f (a + x) − f (a) L(E,F ) Cho nên đạo hàm riêng ∂k f liên tục a Tóm lại, ta vừa chứng minh Mệnh đề 2.2 Nếu f thuộc lớp C , vi phân phần tồn liên tục Định lý 2.5 Cho E1 , , En F không gian định chuẩn, O tập mở E = E1 × × En a ∈ O Nếu f ánh xạ từ O đến F có vi phân phần liên tục lân cận V a, f khả vi liên tục a 25 Chứng minh Cho h = (h1 , , hn ) ∈ E Ta đặt h0 = (0, , 0) hi = (h1 , , hi , 0, , 0) với i = 1, , n Rõ ràng hn = h Cho δ > cho có hình cầu mở B(x, δ) ⊂ V Nếu h < δ a + hi ∈ B(a, δ) với i Với x ∈ B(a, δ) ta đặt n ∂i f (a)(xi − ) g(x) = f (x) − f (a) − i=1 Thế g (a) = tất vi phân phần g xác định V : ∂i g(x) = ∂i f (x) − ∂i f (a) Cố định ε > Vì vi phân phần ∂i f xác định liên tục V , có δ > , với δ ≤ δ , cho h < δ ⇒ |∂i f (a + h) − ∂i f (a)|L(Ei ,F ) < ε với i = 1, , n Bây giờ, sử dụng Hệ 2.2, ta có n g(a + h) F n i ≤ i−1 g(a + h ) − g(a + h ) F ≤ i=1 ε hi Ei ≤ nε h i=1 nghĩa n f (a + h) − f (a) − ≤ nε h ∂i f (a)hi i=1 E F Từ suy f khả vi a n f (a)h = ∂i f (a)hi i=1 Ta có n (f (a + k) − f (a))h F ≤ |∂i f (a + k) − δi f (a)|L(Ei ,F ) hi Ei |∂i f (a + k) − ∂i f (a)|L(Ei ,F ) h E i=1 n ≤ i=1 Dẫn tới n f (a + k) − f (a) L(E,F ) ≤ |∂i f (a + k) − ∂i f (a)|L(Ei ,F ) i=1 Vì f liên tục a 26 , E , Hệ 2.4 Nếu E1 , , En F không gian định chuẩn, O tập mở E = E1 × × En f : O → F có vi phân phần liên tục O, f thuộc lớp C Kết hợp kết nhận trên, ta chứng minh định lý sau: Định lý 2.6 Nếu E1 , , En F không gian định chuẩn, O tập mở E = E1 × × En f : O → F , f thuộc lớp C f có vi phân phần liên tục xác định O 2.3 Tích phân Cho [a, b] đóng bị chặn R E không gian Banach Ta xác định chuẩn B([a, b] , E), không gian vectơ ánh xạ bị chặn xác định [a, b] với ảnh E , đặt f = sup x∈[a,b] f (x) E Không gian định chuẩn B([a, b] , E) khơng gian Banach Ta nói f : [a, b] → E ánh xạ bậc thang phần P : a = x0 < x1 < < xn = b [a, b] phần tử c1 , , cn ∈ E cho f (x) = ci (xi−1 , xi ) Tập ánh xạ bậc thang, mà ta kí hiệu S ([a, b] , E), tạo thành không gian vectơ B([a, b] , E) Bao đóng S ([a, b] , E), mà ta viết R ([a, b] , E), gọi không gian vectơ B([a, b] , E) phần tử gọi ánh xạ quy Mệnh đề 2.3 Một phần tử B([a, b] , E) quy có giới hạn trái điểm x ∈ (a, b] giới hạn phải điểm x ∈ [a, b) Chứng minh Cho f ánh xạ quy (fn ) dãy ánh xạ 27 bậc thang hội tụ đến f Lấy ε > Khi tồn fn cho f (t) − fn (t) E < ε với t ∈ [a, b] Cố định x ∈ (a, b] Với η đủ nhỏ, fn số (x − η, x) vậy, với s, t ∈ (x − η, x), ta có f (s) − f (t) E ≤ f (s) − fn (s) < E + fn (s) − fn (t) E + fn (t) − f (t) E ε ε + + = ε 2 Từ giả thiết E không gian Banach, ta suy limt→x− f (t) tồn Lập luận tương tự limt→x+ f (t) tồn x ∈ [a, b) Bây giờ, giả sử f thỏa mãn điều kiện giới hạn trái giới hạn phải Lấy ε > Với điểm x ∈ (a, b] tồn cx < x cho s, t ∈ (cx , x) ⇒ f (s) − f (t) E < ε, E < ε với điểm x ∈ [a, b) tồn dx > x cho s, t ∈ (x, dx ) ⇒ f (s) − f (t) Sử dụng tính compact [a; b], ta thấy có phần tử x1 , , xn ∈ [a; b] cho [a, b] ⊂ [a, da ) ∪ (cb , b] ∪ (cxi , dxi ) i n Bây ta đặt Y = {a, da , cb , b, cx1 , cxn , dx1 , , dxn } viết P : a = y0 < y1 < < yp = b phân hoạch [a, b] thu việc xếp phần tử Y theo thứ tự tăng dần Nếu s, t ∈ (yi−1 , yi ), f (s) − f (t) E < ε suy có ánh xạ bậc thang φ cho f − φ < ε Do đó, f giới hạn dãy ánh xạ bậc thang quy Một hàm số thực quy khả tích Từ mệnh đề trên, hàm số đơn điệu liên tục phần quy khả tích Tuy nhiên, có hàm số khả tích khơng quy 28 Ví dụ 2.1 Hàm số thực f xác định đoạn [−1; 1] f (x) =    sin , x = x   0, x = khả tích khơng quy Chúng ta định nghĩa tích phân hàm quy mà ảnh nằm không gian Banach tổng quát E Đầu tiên ta xét ánh xạ bậc thang Nếu f ánh xạ bậc thang xác định đoạn [a, b] có phân hoạch P : a = x0 < x1 < < xp = b [a, b] phần tử c1 , , cn ∈ E cho f (x) = ci (xi−1 , xi ) Ta xác định tích phân f n b I(f ) = (xi − xi−1 )ci , f= a i=1 Ánh xạ I : S ([a, b] , E) → E tuyến tính n I(f ) E ≤ (xi − xi−1 ) ci E ≤ (b − a) f , i=1 I liên tục Nếu a < u < b f : [a, u] → E f : [u, b] → E ánh xạ bậc thang b u f= a b f+ a f u Với a ≤ u ≤ v ≤ b, ta đặt u u u v f =− f = 0, f v u Với quy ước này, với u, v, w ∈ [a, b] ta có quan hệ w v u v f+ f= u f, w gọi Chasle’s Law Giả sử f ánh xạ quy Thì f giới hạn dãy ánh xạ bậc thang (fn ) Mà I tuyến tính liên tục, dãy (I(fn )) dãy Cauchy có giới hạn l, E không gian Banach Nếu (gn ) dãy ánh xạ bậc thang khác hội tụ đến f , fn − gn ≤ fn − f + f − gn , 29 dãy (fn − gn ) hội tụ đến n → ∞ Điều kéo theo dãy (I(gn )) có giới hạn l, ta định nghĩa tích phân f b I(f ) = b f = lim fn , a a (fn ) dãy ánh xạ bậc thang hội tụ đến f Ta sử dụng b f (s)ds a thay cho b f a Dễ dàng thấy hàm số I xác định R ([a, b] , E) tuyến tính Vì (I(fn )) hội tụ đến I(f ) fn hội tụ đến f , ta có I(f ) E ≤ (b − a) f , I liên tục R ([a, b] , E) Cho E không gian Banach f : [a, b] → E điều hòa Giả sử c ∈ [a, b] với x ∈ [a, b] ta đặt x F (x) = f c Định lý 2.7 Cho F hàm liên tục Nếu f liên tục x ∈ [a, b], F có đạo hàm x F˙ (x) = f (x) Chứng minh Ta có x+h F (x + h) − F (x) = x f− c x+h f= c f x F (x + h) − F (x) E ≤ |h| sup f (t) t∈[x,x+h] E ≤ |h| f E Dẫn tới F liên tục Giả sử f liên tục x ∈ [a, b] Thế F (x + h) − F (x) − f (x) = h h x+h (f (t) − f (x)) dt x Từ suy F (x + h) − F (x) − f (x) h ≤ E 30 sup t∈[x,x+h] f (t) − f (x) E F˙ (x) = f (x) Nếu ánh xạ F mà có F˙ = f , ta nói F ngun hàm f Rõ ràng, F nguyên hàm f c ∈ E F + c nguyên hàm f Từ định lý ta có hệ sau: Hệ 2.5 Nếu f : [a, b] → E liên tục, f có ngun hàm Mệnh đề 2.4 Nếu F G nguyên hàm ánh xạ f : [a, b] → E có số c ∈ E cho G = F + c Chứng minh Đạo hàm F − G có giá trị t ∈ (a, b) vi phân (F − G) có giá trị Sử dụng Định lý 2.4 ta có F − G = c, c số Tuy nhiên, F G liên tục, F − G = c [a, b] ta có kết Trước kết thúc phần ta ý đến tính chất đạo hàm ánh xạ mà ảnh nằm không gian định chuẩn Cho F không gian định chuẩn, I đoạn R, f ánh xạ từ I đến F α hàm số thực xác định I Thì αf ánh xạ từ I vào F Mệnh đề 2.5 Nếu α f có đạo hàm t ∈ I , αf có đạo hàm t d (αf ) (t) = α (t) f˙ (t) + α˙ (t) f (t) dt Chứng minh Vì α (t + h) f (t + h) − α (t) f (t) = α (t + h) f (t + h) − α (t + h) f (t) +α (t + h) f (t) − α (t) f (t) đạo hàm α(t) ˙ f˙(t) tồn tại, ta viết 1 (α(t + h)f (t + h) − α(t)f (t)) = lim α(t + h) (f (t + h) − f (t)) h h→0 h→0 h + lim (α(t + h) − α(t)) f (t) h→0 h lim suy điều phải chứng minh 31 2.4 Phép tính vi phân dấu tích phân Giả sử O tập mở không gian định chuẩn E, F không gian Banach, [a, b] đoạn đóng bị chặn R f : [a, b] × O → F liên tục Bổ đề 2.2 Với x0 ∈ O ε > 0, có δ > cho với t ∈ [a, b] ta có x − x0 E < δ ⇒ f (t, x) − f (t, x0 ) F < ε Chứng minh Cho t ∈ [a, b] Vì f liên tục (t, x0 ), có δt > cho (s, x) − (t, x0 ) R×E < δt ⇒ f (s, x) − f (t, x0 ) F ε < Các đoạn (t − δt , t + δt ) tạo thành phủ mở đoạn compact [a, b] Ta rút phủ mở hữu hạn: [a, b] ⊂ ∪ni=1 (ti − δti , ti + δti ) Đặt δ = δti Giả sử x − x0 E < δ cho t ∈ [a, b] Có ti cho |t − ti | < δti Ta có f (t, x) − f (t, x0 ) F ≤ < f (t, x) − f (ti , x0 ) F + f (ti , x0 ) − f (t, x0 ) ε ε + = ε 2 Từ ta có điều phải chứng minh Bây ta xét ánh xạ b g : O → F, x → f (t, x)dt a Mệnh đề 2.6 Ánh xạ g liên tục Chứng minh Cố định x ∈ O Ta có b f (t, x + h) − f (t, x)dt a ≤ sup f (t, x + h) − f (t, x) t∈[a,b] F Cố định ε > Áp dụng Bổ đề 2.2 ta nhận δ > cho h E < δ ⇒ sup f (t, x + h) − f (t, x) t∈[a,b] 32 F ≤ ε, F F kéo theo g(x + h) − g(x) với h E ≤ (b − a)ε F < δ Từ suy g liên tục x Mệnh đề 2.7 Giả sử E không gian định chuẩn, F không gian Banach, [a, b] đoạn đóng bị chặn R A ánh xạ quy từ [a, b] vào L(E, F ) Nếu h ∈ E A(t)h ánh xạ quy từ [a, b] vào F b b A(t)hdt = A(t)dt a h a Chứng minh Cho S ánh xạ bậc thang từ [a, b] vào L(E, F ) Ta có phân hoạch P : a = x0 < x1 < < xp = b [a, b] cho S(t) = li ∈ L(E, F ) với t ∈ (ti−1 , ti ) Rõ ràng S(t)h ánh xạ bậc thang từ [a, b] vào F n b S(t)dt (ti − ti−1 )li h= a h i=1 n (ti − ti−1 )li h = i=1 b = S(t)hdt a Bây cho A(t) ánh xạ quy từ [a, b] vào L(E, F ) (Si (t)) dãy ánh xạ bậc thang hội tụ đến A(t) Thế (Si (t)h) dãy ánh xạ bậc thang hội tụ đến A(t)h Do b b A(t)dt h= lim Si (t)dt a h a b = lim Si (t)hdt a b = A(t)hdt a Kết thúc điều phải chứng minh Bây ta giả sử vi phân phần ∂2 f xác định liên tục 33 [a, b] × O Thế ta có Định lý 2.8 Ánh xạ b g : O → F, x → f (t, x)dt a thuộc lớp C b g (x) = ∂2 f (t, x)dt a Chứng minh Cố định x ∈ O xét ánh xạ b φx : E → F, h → ∂2 f (t, x)hdt a φx tuyến tính Hơn nữa, ∂2 f (t, x)h F ≤ |∂2 f (t, x)|L(E,F ) h E ≤ sup |∂2 f (t, x)|L(E,F ) h t∈[a,b] E , dẫn tới b ≤ (b − a) sup |∂2 f (t, x)|L(E,F ) h ∂2 f (t, x)hdt a t∈[a,b] F E Vì φx liên tục Ta φx = g (x) Trước tiên ta có b g(x + h) − g(x) − φx (h) F f (t, x + h) − f (t, x) − ∂2 f (t, x)hdt = a F ≤ (b − a) sup f (t, x + h) − f (t, x) − ∂2 f (t, x)h F |∂2 f (t, y) − ∂2 f (t, x)|L(E,F ) h t∈[a,b] Từ Hệ 2.3, với t f (t, x + h) − f (t, x) − ∂2 f (t, x)h F ≤ sup y∈[x,x+h] E Cố định ε > Bởi giả thiết ∂2 f liên tục, nên từ Bổ đề 2.2 ta suy có δ > cho, với t ∈ [a, b] h E < δ ⇒ |∂2 f (t, x + h) − ∂2 f (t, x)|L(E,F ) < ε Do g(x + h) − g(x) − Φx (h) 34 F ≤ (b − a)ε h E Điều chứng tỏ Φx vi phân g x Tuy nhiên, từ Mệnh đề 2.7, ta có b b ∂2 f (t, x)hdt = ∂2 f (t, x)dt a a ta viết b g (x) = ∂2 f (t, x)dt a Áp dụng Mệnh đề 2.6 có g liên tục 35 h KẾT LUẬN CHUNG Qua trình tìm hiểu, nghiên cứu khóa luận, em bước đầu làm quen với cách làm việc khoa học, hiệu Qua đó, em củng cố thêm kiến thức giải tích, đồng thời thấy phong phú, lý thú tốn học Đặc biệt, khóa luận này, với việc nghiên cứu: Định lý giá trị trung bình ứng dụng, em hy vọng đóng góp phần nhỏ giúp bạn trình học tập nghiên cứu vấn đề giải tích nói riêng tốn học nói chung Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề luận em chưa trình bày sâu sắc khơng thể tránh khỏi sai sót Em mong góp ý thầy bạn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy khoa Tốn, thầy tổ Giải tích TS Hồng Ngọc Tuấn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2019 Sinh viên Nguyễn Ánh Dung 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Avez, A.:Differential Calculus J Wiley and Sons Ltd, New York (1986) [2] Barvinok, A.:A Course in Convexity American Mathematical Society, Providence, RI (2002) [3] Beauzamy, B.: Introduction to Banach Spaces and their Geometry NorthHolland, Amsterdam (1983) [4] Bonsall, F.F., Duncan, J.: Complete Normed Space Springer- Verlag, Berlin (1970) [5] Borwein, J., Lewis, A.S.: Convex Analysis and Nonlinear Optimization, 2nd Canadian mathematical Society, Vancouver BC (2006) 37 ... rcosθdθ) 18 Chương Định lý giá trị trung bình ứng dụng Trong chương ta giới thiệu định lý giá trị trung bình mở rộng hay gọi định lý giá trị trung bình Những định lý có nhiều ứng dụng mà ta giới... nói khơng gian định chuẩn E đầy đủ, không gian Banach, dãy Cauchy E hội tụ Định lý 1.6 Không gian định chuẩn (Rn , 12 ∞) không gian Banach Định lý 1.7 Hình cầu đơn vị S không gian định chuẩn E... Tuấn, em chọn đề tài Định lý giá trị trung bình khơng gian định chuẩn ứng dụng để hồn thành khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu định lý giá trị trung bình ứng dụng Từ cung cấp thêm