Không gian định chuẩn lồi đều

LỜI CẢM ƠN Trước tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn- Th.S Hoàng Ngọc Tuấn, người hướng dẫn tận tình thường xuyên động viên em trình hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ Giải tích, khoa Toán tạo điều kiện đóng góp ý kiến để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Do thời gian khuôn khổ cho phép đề tài hạn chế nên chắn không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến tiếp tục xây dựng đề tài quý thầy cô bạn để khóa luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Trần Thị Hà LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận kết nghiên cứu riêng có hướng dẫn tận tình Th.S Hoàng Ngọc Tuấn Khóa luận với đề tài: “Không gian định chuẩn lồi đều” chưa công bố công trình nghiên cứu khác Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Trần Thị Hà Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian định chuẩn 1.2 Không gian Hilbert 12 Chương Không gian định chuẩn lồi 14 2.1 Modul lồi không gian định chuẩn 14 2.2 Sự biểu diễn hữu hạn không gian định chuẩn 23 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Năm 1936 Clarkson đặt móng cho hướng nghiên cứu quan trọng Giải tích toán học “ Hình học không gian Banach” Đây công cụ quan trọng để giải nhiều vấn đề khoa học kỹ thuật Năm 1948 khái niệm modul lồi (moduls of convexity), đặc trưng lồi (Characteristic of convexity) xuất hiện, thu hút nhiều nhà toán học nghiên cứu quan hệ modul lồi, đặc trưng lồi không gian định chuẩn lồi như: Bynum, Day, James, Goebel, Với mong muốn tìm hiểu sâu mối quan hệ modul lồi, đặc trưng lồi, không gian định chuẩn lồi biểu diễn hữu hạn không gian định chuẩn lồi đều, với giúp đỡ hướng dẫn tận tình Th.S Hoàng Ngọc Tuấn mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: “Không gian định chuẩn lồi đều” Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài xây dựng tổng quan modul lồi, không gian định chuẩn lồi biểu diễn hữu hạn không gian định chuẩn lồi Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu trên, nhiệm vụ nghiên cứu : - Nghiên cứu mối quan hệ modul đặc trưng lồi không gian định chuẩn Nghiên cứu đặc trưng không gian định chuẩn lồi - Nghiên cứu biểu diễn hữu hạn không gian định chuẩn lồi Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu modul lồi, không gian định chuẩn lồi biểu diễn hữu hạn không gian định chuẩn lồi Phương pháp nghiên cứu - Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu - Phân tích, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu Đóng góp Đây tổng quan không gian định chuẩn lồi biểu diễn hữu hạn không gian định chuẩn Giúp người đọc hiểu khái niệm không gian định chuẩn lồi đều, tính chất, đặc trưng không gian lồi biểu diễn hữu hạn không gian định chuẩn lồi Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận triển khai theo chương: Chương 1: Kiến thức mở đầu Chương 2: Không gian định chuẩn lồi Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số khái niệm không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert, số tính chất quan trọng ví dụ minh họa không gian 1.1 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1 Cho X không gian vectơ trường K (K= R K= C), ánh xạ : X → R gọi chuẩn X nếu: (i) x ≥ với x ∈ X; (ii) x = ⇔ x = θ (ký hiệu phần tử không θ ); (iii) λ x = |λ | x với x ∈ X với vô hướng λ ∈ K; (iv) x + y ≤ x + y với x, y ∈ X (bất đẳng thức tam giác) Một không gian vectơ với chuẩn (X, ) gọi không gian tuyến tính định chuẩn (hay đơn giản không gian định chuẩn) Định nghĩa 1.2 Dãy điểm {xn } không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x ∈ X, lim xn − x = Ký hiệu lim xn = x hay xn → x n→∞ n→∞ (n → ∞) Định nghĩa 1.3 Dãy điểm {xn } không gian định chuẩn X gọi dãy (hay dãy Cauchy), lim m,n→∞ xm − xn = Định nghĩa 1.4 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy X hội tụ Ví dụ 1.1 C [0, 1], không gian số giá trị thực liên tục đoạn [0, 1] không gian Banach với chuẩn f ∞ = sup {| f (t)| : t ∈ [0, 1]} = max {| f (t) : t ∈ [0, 1]|} Thật vậy, dễ kiểm tra C [0, 1] không gian định chuẩn Xét dãy { fn }∞ n=1 C [0, 1] Vì | f k (t) − f l (t)| ≤ f k − f l , nên dãy { fn (t)}∞ n=1 dãy với t Đặt f (t) = lim ( f n (t)) n→∞ Khi f liên tục fn hội tụ đến f Cho ε > 0, có n0 cho | fn (t) − fm (t)| ≤ ε với t ∈ [0, 1] n, m ≥ n0 Cố định n ≥ n0 cho m → ∞, ta | fn (t) − f (t)| ≤ ε với n ≥ n0 t ∈ [0, 1] Lấy t0 ∈ [0, 1] ε > cố định Chọn δ > để fn0 (t) − fn0 (t0 ) < ε |t − t0 | < δ Thế | f (t) − f (t0 )| ≤ f (t) − fn0 (t) + fn0 (t) − fn0 (t0 ) + fn0 (t0 ) − f (t0 ) < 3ε |t − t0 | < δ Bởi vậy, f ∈ C [0, 1] { fn } hội tụ (theo chuẩn ) tới f Do C [0, 1] không gian Banach Không gian C (K) hàm vô hướng liên tục không gian compact K, cho chuẩn supremum, lập thành không gian Banach Định nghĩa 1.5 Hai chuẩn không gian tuyến tính X gọi tương đương tồn hai số dương α, β cho: α x ≤ x ≤ β x , ∀x ∈ X Định nghĩa 1.6 Cho không gian định chuẩn X dãy điểm {xn } ⊂ X Ta gọi chuỗi biểu thức dạng: x1 + x2 + + xn + (∗) ∞ Chuỗi (∗) thường viết ∑ xn n=1 k Biểu thức sk = ∑ xn ,, (k = 1, ) tổng riêng thứ k chuỗi n=1 Nếu tồn lim sk = s chuỗi (∗) gọi hội tụ s tổng k→∞ ∞ chuỗi (ta viết s = ∑ xn ) n=1 Chuỗi (∗) gọi hội tụ tuyệt đối, chuỗi sau hội tụ: x1 + x2 + + xn + Định lý 1.1 Không gian định chuẩn X không gian Banach không gian X chuỗi hội tụ tuyệt đối hội tụ Định nghĩa 1.7 Một dãy {xn } không gian định chuẩn X gọi bị chặn có số C cho xn ≤ C với n ∈ N Mệnh đề 1.1 Cho X không gian định chuẩn Nếu dãy {xn }∞ n=1 ⊂ X dãy Cauchy, bị chặn X Định nghĩa 1.8 Tập hàm số F gọi liên tục đồng bậc không gian định chuẩn X nếu: ∀x0 ∈ X, ∀ε > 0, ∃δ > cho ∀ f ∈ F, ∀x ∈ X, x − x0 < δ ⇒ f (x) − f (x0 ) < ε Định nghĩa 1.9 Tập X0 = 0/ gọi không gian định chuẩn không gian định chuẩn X, X0 không gian tuyến tính không gian X chuẩn xác định X0 chuẩn xác định X Nếu X0 đồng thời tập đóng không gian X X0 gọi không gian định chuẩn đóng không gian X Định nghĩa 1.10 Cho Y không gian đóng không gian định chuẩn X tập xˆ = {z ∈ X : (x − z) ∈ Y } = {x + y ∈ Y } Khi không gian X Y = {xˆ : x ∈ X} với chuẩn xˆ = inf { x : x ∈ x} ˆ gọi không gian định chuẩn thương X theo Y Cho X = (X, ) không gian định chuẩn Ta có số ký hiệu sau: • Tập BX = {x ∈ X : x ≤ 1} hình cầu đơn vị đóng X • SX = {x ∈ X : x = 1} mặt cầu đơn vị X • conv (M) bao lồi M, conv (M) bao lồi đóng M • Cho tập M ⊂ X, span (M) bao tuyến tính M (tức là, giao tất không gian tuyến tính X chứa M) span (M) bao lồi đóng tuyến tính M Định nghĩa 1.11 Cho X không gian định chuẩn X hữu hạn chiều hình cầu đơn vị đóng BX X compact Định nghĩa 1.12 Không gian định chuẩn X gọi tách (hay khả ly) không gian X tồn tập hợp đếm trù mật khắp nơi Định nghĩa 1.13 Cho hai không gian tuyến tính X Y trường K (K trường số thực trường số phức) Ánh xạ T từ không gian X vào không gian Y gọi tuyến tính, ánh xạ T thỏa mãn: (i) ∀x, x ∈ X : T (x + x ) = T x + T x (ii) ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K : T λ x = λ T x Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính toán tử tuyến tính Khi Y = K toán tử T thường gọi phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 1.14 Cho không gian định chuẩn X Y Toán tử tuyến tính T từ không gian X vào không gian Y gọi bị chặn nếu, tồn số C > cho: T x ≤ C x , ∀x ∈ X (**) Định nghĩa 1.15 Cho T toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Hằng số C ≥ nhỏ thỏa mãn hệ thức (**) gọi chuẩn toán tử T, ký hiệu T , xác định T = sup { T (x) Y : x ∈ BX } Không gian B (X,Y ) biểu thị không gian vectơ tất toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y Nếu X = Y , ta viết B (X) = B (X,Y ) Dễ chứng minh B (X,Y ) không gian định chuẩn Mệnh đề 1.2 Cho T toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y ba mệnh đề sau tương đương: (i) T liên tục; (ii) T liên tục điểm x0 thuộc X; (iii) T bị chặn Từ đó, ta có B (X,Y ) không gian vectơ tất toán tử tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y 2kn+1 −2 ∑ i=2kn −1 k xi ≥ + n −1 x0 với (kn, ε) −sự phân tích x0 Vì thế, X siêu phản xạ K, ε > cho trước, có M = M (ε, K) cho với (M, ε) −sự phân 2M 2M i=1 i=1 tích z = ∑ xi z ∈ X\ {0} ta có ∑ x j ≥ K z Bổ đề 2.4 Cho (X, ) không gian siêu phản xạ, ε ∈ 0, Khi có hàm không âm |.| X cho: (a) (b) (c) |αx| = |α| |x|; − ε4 ε ; x ≤ |x| ≤ − 12 Tồn η > cho x = y = x − y ≥ ε, |x + y| ≤ |x| + |y| − η Chứng minh Ta định nghĩa với x ∈ X  2n    ∑ uj  j=1 |x| = inf   + ε6 − 4n+1        ,     infimum chạy qua n ∈ N0 (n, ε) −sự phân tích 2n x = ∑ u j x j=1 Dễ dàng kiểm tra (a) Để có (b), lưu ý |x| ≥ x ≥ x + ε6 1− ε x ε 1− ε ≤ x 1+ 12 ε Bây ta chứng minh (c) Cho M = M ε, + Từ (b), ta giả sử định nghĩa |x| |y| n < M Cố định δ > lấy Khi đó(0, ε) −phân tích {x} dẫn đến |x| ≤ 32 x = u1 + u2 + + u2k , y = v1 + v2 + + v2l cho xấp xỉ |x|, tương ứng đến |y| với δ , k, l < M Giả sử l ≥ k Bằng phép cộng vectơ thích hợp l từ (l, ε) −sự phân tích {vi }2i=1 y, ta có (k, ε) −sự phân tích k {ωi }i=1 y thỏa mãn 2l 2k ∑ ωj ∑ vj j=1 j=1 ≤ + ε6 1+ ε ≤ |y| + δ 1 − 4l+1 Từ x = y = x − y ≥ ε, ta có x + y = u1 + + u2k + ω1 + + ω2k (k + 1, ε) −sự phân tích x + y ∑ uj +∑ ωj 1+ ε 1 − 4k+2 Bởi vậy, ta có |x| + |y| − |x + y| ≥ ∑ uj + ε6 − − + 4k+1 ∑ uj +∑ ωj 1 + ε6 − 4k+2 − 2δ + ε6 − ε 4k+2 4k+1 ε 4k+2 ∑ ωj = − + ε6 ∑ ωj + ε6 ∑ uj 1 + ε6 − 4k+2 1 + ε6 − 4k+2 − 2δ ε |x| − 13 (|y| + δ ) ≥ k+2 − 2δ ε 1+ 1− ε ≥ 2.4k+2 4k+2 − ε4 − − 2δ 33 ≥ |x + y| ε − − 2δ < ε ≤ ≥ ε 32.4M ≥ ε − − 2δ = η > 32.4M 64 với δ đủ nhỏ thỏa mãn Bổ đề 2.5 Cho (X, ) không gian siêu phản xạ, ε ∈ 0, 81 Cho |.| hàm không âm X với tính chất (a)-(b) Bổ đề 2.3 Thế X chứa chuẩn tương đương | | có tính chất sau: ε ε x ≤ 1− x với x ∈ X; (A) 1− 12 (B) Nếu x = y = x − y ≥ 5ε | x + y | ≤ | x | + | y | − ηε, η lấy từ Bổ đề 2.3 (c) Chứng minh Cho x ∈ X, định nghĩa | x | = inf n ∑ x j − x j−1 : n ∈ N, x j j=1 n j=0 ⊂ X, x0 = 0, xn = x Rõ ràng ta có | αx | = |α| | x | với x ∈ X với vô hướng α Hàm | | thỏa mãn bất đẳng thức tam giác: Chọn δ > bất kỳ, cho = x0 , x1 , , xn = x = y0 , y1 , , ym = y xấp xỉ với | x | | y | tới δ Thế thì, cách xét dãy x0 , x1 , , xn = xn + y0 , xn + y1 , xn + y2 , , xn + ym x + y, ta | x + y | ≤ |x1 − x0 | + |x2 − x1 | + + |xn − xn−1 | + |y1 − y0 | + |y2 − y1 | + + |ym − ym−1 | ≤ | x | + | y | + 2δ Từ δ bất kỳ, bất đẳng thức tam giác Do đó, | | chuẩn tương đương ε Từ dãy {0, x}, ta có | x | ≤ |x| ≤ − 12 34 x Mặt khác, n n j=1 j=1 ∑ x j − x j−1 ≥ ∑ − ε x j − x j−1 ≥ − ε x ta có (A) Để chứng minh (B), cho x = y = x − y ≥ 5ε, cho = x0 , x1 , , xn = x = y0 , y1 , , ym = y xấp xỉ với | x | | y | tới ε δ ∈ 0, Chú ý x nằm đoạn [xi , xi+1 ] dãy x˜0 = x0 , , x˜i = xi , x˜i+1 = x, x˜i+2 = xi+1 , , x˜n+1 = xn thỏa mãn n+1 n ∑ x j − x j−1 = ∑ x˜ j − x˜ j−1 j=1 j=1 Bằng phân chia điểm theo cách này, ta giả sử y j − y j−1 = x j − x j−1 với j ≤ (m, n) Giả n ≤ m Khi ta có n 1= x ≤ ∑ x j − x j−1 ≤ j=1 1 − ε4 n ∑ x j − x j−1 j=1 ε − 12 + ε2 | x | + ε2 ≤ < + ε ≤ − ε4 − ε4 n Tương tự, ta có ≤ ∑ y j − y j−1 ≤ + ε j=1 n n Từ ∑ x j − x j−1 = ∑ y j − y j−1 ta có j=1 j=1 m ∑ y j − y j−1 ≤ ε j=n+1 Do n ∑ n (xi − xi−1 ) − (yi − yi−1 ) ≥ i=1 ∑ ((xi − xi−1 ) − (yi − yi−1 )) i=1 = xn − yn = x − yn ≥ x − y − y − yn ≥ 5ε − ε = 4ε Đặt = {i ∈ {1, , n} : (xi − xi−1 ) − (yi − yi−1 ) ≥ ε xi − xi−1 } Thế ∑ xi − xi−1 ≥ ∑ (xi − xi−1 ) − (yi − yi−1 ) i∈J i∈J 35 n = ∑ (xi − xi−1 ) − (yi − yi−1 ) i=1 n − ∑ (xi − xi−1 ) − (yi − yi−1 ) i∈J / n ≥ 4ε − ∑ (xi − xi−1 ) − (yi − yi−1 ) i∈J / n ≥ 4ε − ∑ ε xi − xi−1 ≥ 4ε − ∑ ε xi − xi−1 i∈J / i=1 ≥ 4ε − ε (1 + ε) ≥ 2ε Hơn i ∈ J, |(xi − xi−1 ) + (yi − yi−1 )| < |xi − xi−1 | + |yi − yi−1 | − η xi − xi−1 Xét dãy {zk } ⊂ X N = n + m − |J| điểm cho z0 = 0, zN = x + y hiệu hai điểm liên tiếp (xi−1 + yi−1 ) − (xi + yi ) với i ∈ J, xi−1 − xi yi−1 − yi với i ∈ / J yi−1 − yi với i > n Chú ý thứ tự hiệu không quan trọng argument chúng Khi | x + y | ≤ ∑ |(xi − xi−1 ) + (yi − yi−1 )| + i∈J + ∑ i≤n,i∈J / ∑ |xi − xi−1 | i≤n,i∈J / |yi − yi−1 | + ∑ |yi − yi−1 | i>n ≤ ∑ |xi − xi−1 | + ∑ |yi − yi−1 | − η ∑ xi − xi−1 i∈J + i∈J ∑ i≤n,i∈J / |xi − xi−1 | + i∈J ∑ i≤n,i∈J / |yi − yi−1 | + ∑ |yi − yi−1 | ≤ | x | + δ + | y | + δ − ηε Từ η ε không phụ thuộc vào δ , δ bất kỳ, ta có | x + y | ≤ | x | + | y | − ηε 36 i>n Ta có điều phải chứng minh Chứng minh Định lý 2.6: (1) ⇒ (2): Cho εn = 2−n−3 , n ∈ N, ta tìm từ Bổ đề 2.4 chuẩn tương đương | |n X thỏa mãn có | x + y |n ≤ | x |n + | y |n − ηn εn ∞ | x | n 2n n=1 Định nghĩa chuẩn | |0 X | x |0 = ∑ Cuối cùng, ta định nghĩa chuẩn tương đương x = | x |20 + x cho lim xm m→∞ 2 +2 2 −2 xm + ym X lồi Cho xm , ym ∈ X = {xm } bị chặn Thế Ta định ym lim (| xm |0 − | ym |0 ) = lim (| xm | − | ym |) = Giả sử m→∞ m→∞ lim | xm |0 = lim | ym |0 = lim | xm | = lim | ym | = a > Xét m→∞ m→∞ m→∞ m→∞ ym xm vm = Khi lim um − vm m→∞ xm ym vectơ um = = Thật vậy, ta có xm − aum = | xm | − a| um |0 → từ {um } bị chặn Tương tự, ym − avm Ngược lại, giả sử um − vm , 2n0 +3 2n0 +2 n0 cho δ ∈ 0 → xm − ym → ≥ δ > với δ > m Cố định Từ Bổ đề 2.4 argument lồi, ta có | um |0 + | vm |0 − | um + vm |0 | um |n0 + | vm |n0 − | um + vm |n0 2n0 ηn εn ≥ 0n 20 ≥ Điều mâu thuẫn với thực tế | um |0 → a, | vm |0 → a, | um + vm |0 = ym xm + xm ym → Do đó, (i) suy (ii) a (2) ⇒ (3): Nếu X chứa chuẩn tương đương lồi đều, X ∗ chứa 37 chuẩn tương đương khả vi Fréchet theo Định lý 2.2 Từ Mệnh đề 2.1, không gian Y biểu diễn hữu hạn X ∗ chứa chuẩn khả vi Fréchet đều, theo Định lý 2.4, không gian Y phản xạ Vì thế, X ∗ siêu phản xạ từ (i) ⇒ (ii) ta có X ∗ chứa chuẩn tương đương lồi Chuẩn đối ngẫu với X khả vi Fréchet theo Định lý 2.2 (3) ⇒ (1): Cho | | chuẩn tương đương khả vi Fréchet (X, ) Cho Y biểu diễn hữu hạn (X, ) và, từ Mệnh đề 2.1, Y chứa chuẩn tương đương khả vi Fréchet Vì vậy, Y phản xạ theo Định lý 2.4 Do X siêu phản xạ Bây ta chứng minh (1) − (3) suy (4) Cho chuẩn tương đương lồi X cho X Định nghĩa ∗ ∗ n chuẩn tương đương khả vi Fréchet X ∗ f chuẩn đối ngẫu ta ∗ n Từ ∗2 ∗2 + n1 ( n = f ∗ lồi theo lồi đều, chuẩn đối ngẫu n f ∗ 0) , Định lý 2.4, X khả vi Fréchet theo Định lý 2.2 | x |2 = ∑ 2−n x n Chú ý đạo hàm n bị chặn tập hợp bị chặn khả vi Fréchet n Nếu xm , ym ∈ X thỏa mãn 2| xm |2 + 2| ym |2 − | xm + ym |2 → {xn } bị chặn, khẳng định với chuẩn n , từ n hội tụ tập bị chặn tới , ta có xm + ym − xm + ym → Từ lồi đều, ta có lim xm − ym = Do đó, | | lồi m→∞ Định lý 2.8 ([13]) Cho (X, ) không gian Banach lồi với modul 38 ∞ lồi δ (ε) Nếu ∑ xi hội tụ tuyệt đối X, ∑ δ < ∞ xj j=1 Ta chứng minh định lý dựa vào bổ đề sau Bổ đề 2.6 Cùng kí hiệu trên, cho z1 , , zn ∈ X cho n n ∑ εi zi ≤ Thế ∑ δ max εi =±1 i=1 ≤ zj j=1 n Chứng minh Không tính tổng quát, giả sử với sn = ∑ z j , ta có j=1 sn ≥ n ∑ ε j z j với cách chọn ε j = ±1 Khi đó, với j ∈ {1, , n} j=1 ta thừa nhận điều sau zj ≤ (sn − 2z j ) sn nằm BX , ta sn sn Từ δ (ε) hàm không giảm từ có δ zj (sn − 2z j ) sn − sn sn zj = sn (sn − 2z j ) sn − sn sn ≤δ (sn − 2z j ) sn + sn sn ≤ 1− = 1− sn − z j sn Bởi vậy, n ∑δ j=1 n zj ≤ ∑ 1− j=1 ≤ n− sn sn − 2z j sn n = n− ∑ j=1 n ∑ (sn − z j ) j=1 39 = n− sn sn − z j sn (n − 1) sn = n Chứng minh Đinhl lý 2.8: Có n0 cho ∑ ε j x j ≤ với n > n0 j=n0 n ε j = ±1 Bởi vậy, ∑ δ xj < với n > n0 , j=n0 n ∑δ xj < ∞ j=1 Ta có điều phải chứng minh Điều không gian siêu phản xạ không gian định chuẩn modul lồi thỏa mãn δ (ε) ≥ kε p với p ≥ Ta biết modul lồi không gian L p (µ) có dạng: Nếu < p < 2, tồn k p > cho với modul lồi δ p (ε) L p (µ) ta có δ p (ε) ≥ k p ε , ε ∈ (0, 2] Nếu ≤ p < ∞, có k p > cho δ p (ε) ≥ k p ε p , ε ∈ (0, 1] ([13]) Nếu modul lồi không gian Banach X thỏa mãn δ (ε) ≥ kε p với p ≥ X đối loại p ([5]) Cơ sở chuẩn tắc p p không đối loại q < p L p (µ) thuộc đối loại ([14]) Như hệ tất yếu từ Định lý 2.8 ta có ≤ p ≤ ∑ xi chuỗi hội tụ tuyệt đối L p [0, 1] ∑ xi < ∞ Định nghĩa 2.8 Cho X không gian định chuẩn vô hạn chiều Một dãy {xi }∞ i=1 X gọi sở Schauder X với x ∈ X, ∞ tồn dãy vô hướng (ai )∞ i=1 , gọi tọa độ x, cho x = ∑ xi i=1 Một sở Schauder {xi } không gian Banach X gọi nửa chuẩn tắc < inf xi ≤ sup xi < ∞ Định lý 2.9 ([12] , [15]) Cho (X, ) không gian Banach siêu phản xạ với sở nửa chuẩn tắc Schauder {xi } Thế thì, tồn p, q ∈ (1, ∞) n K > cho với x = ∑ αi xi ∈ X ta có i=1 40 K ∞ q ∑ |αi | q ≤ x ≤K i=1 ∞ q q ∑ |αi | i=1 Định lý 2.9 chứng minh từ Định lý 2.6 Bổ đề 2.6 2.7 Bổ đề 2.7 Cho (X, ) không gian Banach với sở nửa chuẩn tắc Schauder {xi } Nếu X lồi đều, có p ∈ (1, ∞) K > cho với ∞ x = ∑ αi xi X ta có x ≤ K ∞ q ∑ |αi | q i=1 i=1 Chứng minh Không tính tổng quát, ta giả sử sở chuẩn tắc Chọn ε ∈ 0, đặt λ = (1 − δ (ε)), δ (ε) modul bc {xi } lồi Chọn p ∈ (1, logλ 2) Trước tiên, ta có α ∈ (0, 1) cho x + ty p < + t p với |t − 1| ≤ α x, y ∈ SX hữu hạn có giá liên tiếp Ta giả sử l = max (sup (x)) < (sup (y)) Cho Pl phép chiếu liên kết tắc với {xi } Thế thì, bc {xi } x − y ≥ Pl (x − y) = > ε, ta có x + y ≤ λ Từ λ p < , ta x = Do đó, x − y ≥ bc {xi } p p có x + 1.y < + Từ hàm x + ty cho x + ty p p liên tục t = với x, y ∈ SX , ta có α ∈ (0, 1) < + t p với |t − 1| < α x, y nêu n Đặt K = α2 Ta cần Zn ≤ K ∑ |αi | p p với vectơ hữu i=1 n hạn liên hợp zn = ∑ αi xi Ta tiếp tục phương pháp quy nạp theo n N i=1 Với n = 1, kết Giả giả kết với n Xét n+1 dãy vectơ khác không zn+1 = ∑ αi xi ta chia làm trường hợp sau: i=1 (1) (2) |αi | ≤ zn+1 ; K αi0 > zn+1 với i ∈ {1, , n + 1} K 41 s Trong trường hợp đầu tiên, đặt z0 = 0, zs = ∑ αi xi với s = 1, , n + 1, i=1 n+1 ys = ∑ αi xi với s = 0, 1, , n, yn+1 = Thế z0 < y0 , zn+1 > i=s+1 zn+1 K yn+1 , | zi+1 − zi | ≤ | yi+1 − yi | ≤ zn+1 K với i = 1, , n Mệnh đề 2.2 Cho {ξi }ni=1 {ηi }ni=1 hai tập hợp số thực ε > Giả sử ξ1 < η1 , ξn < ηn , |ξi+1 − ξi | < ε, |ηi+1 − ηi | < ε với i = 1, 2, , n − Thế thì, có số i0 ∈ {1, , n} cho ξi0 − ηi0 < ε Điều có cách xét số j mà ξ j > η j Từ khẳng định trên, có r ∈ {1, , n} cho | zr − yr | ≤ K zn+1 Vì vai trò zr yr nhau, ta giả sử zr ≥ yr Từ tính đồng nhất, không tính tổng quát giả sử zr = Từ yr ≤ zr zn+1 = zr + yr , ta zn+1 ≤ |1 − yr | ≤ K2 = α yr Đặt t = yr y˜r = Áp dụng phần đầu chứng minh với x = zr yr y = y˜r (chú ý |1 − t| ≤ α) ta zr + t y˜r p < + t p Do zn+1 p = zr + yr p = zr + t y˜r p < + t p = zr p + yr Theo giả thuyết quy nạp, zr Bởi ta có zk+1 p + yr p p r n+1 i=1 i=r+1 ≤ K p ∑ |αi | p + K p ∑ |αi | p n+1 ≤ K p ∑ |αi | p , trường hợp (1) i=1 Trong trường hợp (2), giả sử αi0 > zn+1 , ta K zn+1 ≤ K αi0 ≤ K 42 n+1 p ∑ |αi | i=1 p p Vậy, quy nạp tới bước n + Bổ đề 2.6 chứng minh Bổ đề 2.8 Cho (X, ) không gian Banach với sở nửa chuẩn tắc Schauder {xi } Nếu trơn đều, có q ∈ (1, ∞) L > cho ∞ ∞ i=1 i=1 q với x = ∑ αi xi X ta có x ≥ L ∑ |αi |q Chứng minh Cho fi hàm song trực giao với xi Thế thì, { fi } fi (xi ) sở Schauder X ∗ X phản xạ theo Định lý 2.4 Ta có fi ≥ ≥ xi , fi ≤ 2bc {xi }, { fi } sở nửa chuẩn tắc Từ chuẩn sup xi đối ngẫu ∗ X ∗ lồi theo Định lý 2.2, ta sử dụng Bổ đề 2.6 cho sở Schauder { fi } X ∗ Bởi vậy, có p ∈ (1, ∞) K > cho với ∞ f = ∑ βi fi ∈ X ∗ ta có f ∗ ∞ ∑ |βi | ≤K p p i=1 i=1 Ta nhận định L = p số đối q = thỏa mãn kết luận K p−1 n n i=1 i=1 Bổ đề 2.7 Thật vậy, cho zn = ∑ αi xi gn = ∑ βi fi ∈ X ∗ Thế p n |gn (zn )| ≤ gn ≤ K ∑ |βi | p zn i=1 n Bởi vậy, zn |gn (zn )| ≥ K p n p ∑ |βi | ∑ αi βi = K i=1 p ∑ |βi | i=1 Chọn βi = |αi | p−1 i=1 sign (αi ) với i = 1, , n Khi ta có n zn p n ≥ K p ∑ |αi | p−1 i=1 n ∑ |αi | p p−1 i=1 Ta có điều phải chứng minh 43 p = K n q ∑ |αi | i=1 q KẾT LUẬN Đề tài “Không gian định chuẩn lồi đều” trình bày tổng quan modul lồi, không gian định chuẩn lồi biểu diễn hữu hạn không gian định chuẩn lồi Đồng thời tính chất quan trọng không gian định chuẩn lồi số ví dụ minh họa Cụ thể là: Chương 1: Trình bày hệ thống số kiến thức chuẩn bị không gian định chuẩn, không gian Banach không gian Hilbert Chương 2: Trình bày không gian định chuẩn lồi biểu diễn hữu hạn không gian định chuẩn lồi 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nxb Khoa học kỹ thuật [2] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2004), Bài tập giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Đỗ Văn Lưu (1999), Giải tích hàm, Nxb Khoa học Kỹ Thuật, Hà Nội [4] Hoàng Tụy (2000), Hàm thực giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [5] Deville, R, Godefroy, G, and Zizler, V (1993), Smootheness and Renormings in Banach spaces, Pitman Monographys 64, Pitman, New York [6] Dvoretzky, A (1961), Some results on convex bodies and,Banach spaces, Jerasalem, pp 123 − 160 [7] Diestel, J (1975), Geometry of Banach spaces, Slected Topics, Lecture Notrs in Mathematics 485, Springer-Verlag, Berlin [8] Enflo, P, Lindenstrauss, J, and Pisier, G (1975), On the tree space problem, Math Scand 36, 189 − 210 [9] Fabian, M, Habala, P, Hajek, P, Montesinos Santalucia, V,Pelant, J, Zizler, V.(2001), Functional Analysis and Infinite Dimensional Geometry, Springer-Verlag New York, Inc [10] Figiel, T (1976), On the moduli of convexity and smoothness, Stud Math 66, 121 − 155 [11] Figiel, T, Lindenstrauss, J and Milman, V.D (1977),The dimension 45 of almost spherical sections of convex bodies, Acta Math 139, 53 − 94 [12] Gurarii, V.I and Gurarii, N.I (1971), On bases in uniformly convex and uniformly smooth spaces, Izv Akad Nauk SSSR Ser Mat 35, 210 − 215 [13] Kadec, M.I (1956), Unconditional convergence of serries in uniformly Convex spaces, Usp Mat Nauk SSSSR 11, 185 − 190 [14] Lindenstrauss, J and Tzafriri, L (1979), Classical Banach Spaces II Classical Banach Spaces II, Function Spaces, New York [15] James, R.C (1972), Supperreflexive spaces with bases, Pac J Math 41 − 42, 409 − 419 [16] James, R.C (1972), Some Self – Dual Properties of Normed Linear Spaces, Sym – posium on Infinite – Dimensional Topology, Annals of Mathematical Sudies 69, 159 − 175 [17] Johnson, W.B, Rosenthal, H.P and Zippin, M (1971),On bases, finite Dimensional decompositions and weaker structures in Banach spaces, Isr J Math 9, 488 − 506 46 [...]... lên Y Định nghĩa 1.18 Cho không gian định chuẩn X trên trường K Ta gọi không gian I (X, P) các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian X là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của không gian X và ký hiệu X ∗ Ta có không gian liên hợp X ∗ của không gian định chuẩn X là không gian Banach Không gian liên hợp của không gian X ∗ là không gian liên hợp thứ hai của không gian định chuẩn X... ∗∗ Định lý 1.2 Nếu không gian liên hợp X ∗ của không gian định chuẩn X là tách được thì không gian X tách được Định nghĩa 1.19 Không gian định chuẩn X gọi là không gian phản xạ, nếu X = X ∗∗ Định lý 1.3 Không gian phản xạ là không gian Banach và không gian con đóng của không gian phản xạ là không gian phản xạ Định nghĩa 1.20 Không gian n ∞ là không gian vect n chiều của tất cả n bộ vô hướng với chuẩn. .. Với p ∈ [1, ∞], không gian p là một không gian Banach 2 Không gian c và c0 là không gian con đóng của ∞ và do đó chúng là các không gian banach 3 Không gian L p , L p (µ) là các không gian Banach với p ∈ [1, ∞) 4 Không gian L∞ là không gian banach Mệnh đề 1.6 Cho X, Y là các không gian định chuẩn Nếu Y là không gian Banach thì B (X,Y ) cũng là không gian banach 1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.28... vào không gian Hilbert Y Toán tử A ánh xạ không gian Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp với toán tử T, nếu: T x, y = x, Ay , ∀x ∈ X, Toán tử liên hợp A thường ký hiệu là T ∗ 13 ∀y ∈ Y Chương 2 Không gian định chuẩn lồi đều Trong chương này chúng ta sẽ xét modul lồi trong không gian định chuẩn, sự biểu diễn hữu hạn trong không gian định chuẩn và một số ví dụ minh họa 2.1 Modul lồi trong không. .. (t)| p dµ hội tụ Ω Định nghĩa 1.27 Không gian (∑ n) ∞ 2 biểu thị không gian vectơ của tất cả các dãy giá trị vô hướng, với chuẩn xác định bởi: ∀x = (xi ) ∈ (∑ ∀xi ∈ i ∞ ∞ (i = 1, 2, ) , x = ∑ xi2 i=1 Mệnh đề 1.4 1 Nếu p ∈ [1, ∞), thì không gian p và không gian L p là tách được 2 Không gian c và c0 là các không gian tách được 3 Không gian ∞ và không gian L∞ không tách được 4 Không gian C [0, 1] tách... Đối với không gian Hilbert H, ta có ρH (τ) = √ 1 + τ 2 − 1; Đặc biệt, H là trơn đều Thực tế, không gian Hilbert là không gian lồi đều lớn nhất và là không gian trơn đều lớn nhất; chính xác hơn, với mọi không gian Banach X, √ 2 ta có δX (ε) ≤ 1 − 1 − ε4 và ρX (τ) ≥ 1 + τ 2 − 1 [7] Định lý 2.2 [5] Cho (X, ) là không gian Banach và (X ∗ , ∗ ) là không gian đối ngẫu của nó Ta có: 1 Chuẩn là lồi đều nếu... lồi trong không gian định chuẩn Định nghĩa 2.1 Cho (X, ) là một không gian Banach Với mọi ε ∈ (0, 2], ta định nghĩa modul lồi (hoặc độ tròn) của bởi δX (ε) = inf 1 − x+y : x, y ∈ BX , x − y ≥ ε 2 14 Chuẩn được gọi là lồi đều (UC) (hoặc tròn đều (UR)) nếu δX (ε) > 0 với mọi ε ∈ (0, 2] Khi đó không gian (X, ) được gọi là không gian lồi đều Chú ý rằng δX (ε) = inf {δY (ε) : Y là không gian con hai chiều... nếu mọi không gian Banach biểu diễn hữu hạn trong X đều là phản xạ Chú ý rằng X = (∑ n) ∞ 2 là không gian phản xạ nhưng không là siêu phản xạ Định lý 2.6 Cho X là không gian Banach Những điều sau là tương đương: 1 X là siêu phản xạ 2 X có một chuẩn lồi đều tương đương 3 X có một chuẩn có khả vi Fréchet đều tương đương 4 X có một chuẩn tương đương là lồi đều và là khả vi Fréchet đều Để chứng minh định. .. việc chứng minh Định lý 2.4 và Định lý 2.5 Bổ đề 2.3 Cho X của không gian Banach X là lồi đều (tương ứng, khả vi Fréchet đều; tương ứng, cho X là không gian Hilbert) Nếu một không gian 26 Banach Y có thể biểu diễn hữu hạn thô trong X, thì Y chứa một chuẩn tương đương lồi đều (tương ứng, khả vi Fréchet đều; tương ứng, Y là một đẳng cấu tới một không gian Hilbert) Ta sẽ chứng minh từng nhận định riêng,... chỉ ra từ Mệnh đề 2.1 và Định lý 2.1 rằng nếu chuẩn của không gian Banach X là lồi đều hoặc khả vi Fréchet đều và Y có thể biểu diễn hữu hạn thô trong X, thì Y là phản xạ Từ đó, chẳng hạn, c0 là không gian phản xạ và có thể biểu diễn hữu hạn trong (∑ 2.5, (∑ n) ∞ 2 n) ∞ 2 , từ Định lý không chứa bất kỳ chuẩn nào là lồi đều hoặc khả vi Fréchet Định nghĩa 2.7 ([8] , [16]) Không gian Banach X được gọi là ... tài Không gian định chuẩn lồi đều trình bày tổng quan modul lồi, không gian định chuẩn lồi biểu diễn hữu hạn không gian định chuẩn lồi Đồng thời tính chất quan trọng không gian định chuẩn lồi. .. ∗ không gian định chuẩn X không gian Banach Không gian liên hợp không gian X ∗ không gian liên hợp thứ hai không gian định chuẩn X ký hiệu X ∗∗ Định lý 1.2 Nếu không gian liên hợp X ∗ không gian. .. gian định chuẩn X tách không gian X tách Định nghĩa 1.19 Không gian định chuẩn X gọi không gian phản xạ, X = X ∗∗ Định lý 1.3 Không gian phản xạ không gian Banach không gian đóng không gian