Tô pô yếu trong không gian định chuẩn

Mục lục Trang Lời nói đầu . 2. Chơng I : Kiến thức chuẩn bị . 3. Đ1 Không gian mêtric và không giantôpô 3 Đ2 Không gian định chuẩn 8 Đ3Không gian liên hợp 11 Chơng II Tô pô yếu và hội tụ yếu trong không gian định chuẩn 15 Đ1Tô pô yếu . 15 Đ2 Hội tụ yếu . 22 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 1 Lời nói đầu Luận văn này với đề tài:"Tôpô yếu trong không gian định chuẩn" nhằm cung cấp cho độc giả một số khái niệm và các tính chất của tô pô yếu trong không gian dịnh chuẩn. Trên cơ sở kiến thức cơ bản của tô pô đại cơng, không gian định chuẩn, không gian liên hợp của không gian định chuẩn, bạn đọc có thể hiểu thêm cách đa một tô pô vào một không gian tuỳ ý. Độc giả có thể xem đây là một tài liệu tham khảo thêm khi đi vào nghiên cứu các khái niệm và tính chất của tô pô yếu trong không gian định chuẩn. Luận văn này gồm những nội dung sau: Chơng 1: Kiến thức chuẩn bị: Trình bày các khái niệm và tính chất của không gian mêtric, không gian tô pô, không gian định chuẩn, không gian liên hợp của không gian định chuẩn. Chơng 2: Tôpô yếu và hội tụ yếu: Đi sâu vào nghiên cứu một số khái niệm, tính chất của tô pô yếu trong không gian định chuẩn. Trong khuôn khổ kiến thức và thời gian có hạn, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, Tác giả rất mong sự góp ý, chỉ bảo của các thầy cô trong tổ giải tích và trong khoa toán. Cuối cùng tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành đến TS. Tạ Khắc C đã giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này. Vinh, tháng 05/2003 Tác giả 2 Chơng1. kiến thức chuẩn bị Đ1. Không gian mêtric và không gian tôpô 1.1. Định nghĩa. Giả sử X là tập hợp tuỳ ý . Một khoảng cách trong X là một ánh xạ : d: XxXR thoả mãn các điều kiện : 1) d(x,y)0 x,yX và d(x,y) =0 x=y 2) d(x,y) d(y,x) x,yX 3) d(x,y) d(x,z)+d(z,y) x,y,zX (bất dẳng thức tam giác) khi đó (X,d)- là không gian mêtric. 1.2. Định nghĩa: Cho X là không gian Mêtric ,aX, r >0 ta gọi : - Hình cầu mở tâm a, bán kính r là tập S (a,r)={xX: d(a,x)<r } - Hình cầu đóng tâm a bán kính r là tập S [a,r]={xX: d(a,x)r} 1.3 Định nghĩa: - Nếu AX , x X là điểm trong của A nếu tồn tại S (x,r) A - Tập G X, G là tập mở trong X nếu mọi xG đều là điểm trong. - Tập F X là tập đóng nếu phần bù X \F là mở . 1.4 Định nghĩa. Cho X là không gian Mêtric , x X, tập VX là lân cận của x nếu tồn tại S(x,r)V . 1.5 Định nghĩa . Nếu G là tập mở chứa điểm x X thì G là một lân cận mở của X. 1.6 Nhận xét . - Điều kiện cần và đủ để tập A X là lân cận của xX là : x là điểm trong của A. 3 - Trong không gian mêtric X một hình cầu mở là tập mở, một hình cầu đóng là tập đóng 1.7 Định nghĩa : Một dãy {x n } trong không gian Mêtric X là hội tụ đến x 0 X Nếu n Lim d(x 0 ,x n )=0 ta ký hiệu n Lim x n =x 0 hoặc x n x 0 1.8 Nhận xét : 1) Dãy điểm {x n } hội tụ đến x 0 khi và chỉ khi mọi r>0,tồn tại n 0 sao cho x n S(x o ,r), nn o . 2) Dãy điểm{x n } hội tụ đến x o khi và chỉ khi với mọi lân cận V của x o ,tồn tại n o sao cho x n V, nn o . 1.9 Định nghĩa. - A,B là hai tập trong không gian Mêtric Xvới AB. Tập A đợc gọi là trù mật trong B nếu B A . - Nếu A =X thì A đợc gọi là trù mật khắp nơi trong X. - Một không gian mêtric Xđợc gọi là khả ly nếu tồn tại một tập AX, với A không quá đếm đợc và A trù mật trong X. 1.10 Đinh nghĩa. Một dãy điểm {x n } trong không gian mêtric X gọi là một dãy cô si nếu mọi >0, tồn tại n o N sao cho :nn o và mn o ,ta có d(x n ,x m )< hay mn Lim , d(x n ,x m )=0 1.11 Định nghĩa. Một không gian mêtricX đợc gọi là đầy đủ nếu mọi dãy côsi trong X đều hội tụ(có giới hạn trong X). 1.12 Định nghĩa. Tập hợp KX gọi là compắc nếu mọi dãy điểm{x n }trong Kđều có một dãy con{ k n x }{x n }hội tụ đến một điểm thuộc K. 1.13 Định nghĩa. Giả sử X là một tập hợp bất kỳ. Một họ t những tập con của X là một tôpô trên X nếu họ t thoả mãn các điều kiện : 4 N 1 ) ,Xt N 2 ) Nếu G t () thì G N 3 ) Nếu G 1 ,G 2 t thì G 1 G 2 t Khi đó X cùng với tô pô t là một không gian tô pô, ký hiệu (X,t). Các phần tử của t đợc quy định là các tập hợp mở trong không gian tô pô X 1.14 Nhận xét : - Mọi không gian nếu cho đợc tập mở thì có thể trang bị đợc tôpô trên nó. - Không gian mêtric là một không gian tô pô . 1.15 Định nghĩa: - X là một không gian tô pô , A X . Một tập V đợc gọi là lân cận của A nếu tồn tại tập mở W sao cho : A W V . - Họ v= {V: V là lân cận của xX} gọi là một cơ sở lân cận của x nếu với mọi lân cận U của x, V v sao cho xVU 1.16 Định nghĩa: Nếu t, là hai tô pô trên X và t (tức là số lân cận của nhiều hơn t) thì ta nói tô pô t yêu hơn tô pô ký hiệu t 1.17 Định lý: Giả sử t 1 ,t 2 là hai tô pô trên cùng một tập hợp X. Để t 1 t 2 điều kiện cần và đủ là với mọi xX , nếu v (1) là một cơ sở t 1 lân cận của x và v (2) là một cơ sở t 2 - lân cận của x thì với mọi V 1 v (1) , V 2 v (2) sao cho v 2 v 1 Chứng minh: Cần: Giả sử t 1 t 2 và V 1 v (1) , xX . Khi đó V 1 cũng là t 2 -lân cận của x. Do đó tồn tại V 2 v (2) sao cho V 2 V 1 Đủ : Giả sử G X là một tập hợp t 1 - mở . Ta cần chứng minh G là tập t 2 -mở. Thật vậy: nếu x G thì G là một t 1 -lân cận của x, do đó suy ra : V 1 v (1) sao cho : V 1 G . Theo giả thiết V 2 v (2) với V 2 V 1 . Dẫn đến ta đợc : V 2 G . Vậy, G 2 cũng là t 2 -lân cận của x . vì x tuỳ ý nên suy ra G là t 2 -mở. Vậy: t 1 t 2 . 5 1.18 Định lý : 1 0 . X là không gian tô pô , V x là một cơ sở lân cận của x . Họ v ={v x : xX} có các tính chất . a) xX và V x v x thì : xV x . b) V x 1 ,V x 2 v x thì W x v x : W x V x 1 V x 2 . c) với V x v x ,W x v x sao cho : yW x , V y v y sao cho V y V x . 2 0 . Ngợc lại giả sử X là tập hợp tuỳ ý và với mọi xX ta xét một họ v x những tập hợp V x X sao cho : v={v x : xX} có các tính chất a,b,c,. Khi đó tồn tại một tô pô duy nhất t trên X sao cho : tai mỗi xX, họ v x là một cơ sở lân cận của x. 1.19 Định nghĩa: Một không gian tô pô X là một không gian Haudơđooc(T 2 không gian) hay là không gian tô pô tách nếu x,yX, xy, tồn tại lân cận U của x và V của y sao cho : UV= . 1.20 Nhận xét: Không gian mêtric (X,d) là một T 2 -không gian. Chứng minh : Giả sử X là một không gian mêtric ta chứng minh X là T 2 - không gian. Thật vậy, giả sử x,yX , xy . Khi đó d(x,y)>0 chọn r=d(x,y)>0 ta đợc : xS(x,r/2) ; yS(y,r/2) Ta dễ dàng suy ra: S(x,r/2)S(y,r/2) = Vậy, không gian mêtric (X,d) là T 2 -không gian 1.21 Định nghĩa : Cho (x ) là dãy suy rộng trong không gian tô pô X. Ta nói rằng (x ) hội tụ đến aX nếu mọi lân cận V của a, tồn tại 0 sao cho khi 0 thì : x V ký hiệu x: x a . 1.22 Định lý : Nếu X là không gian tô pô tách thì một dãy suy rộng trong X chỉ có thể hội tụ đến một giới hạn duy nhất 6 Chứng minh Giả sử (x ) là một dãy suy rộng trong X và (x ) hội tụ đến a,b mà ab. Vì X là một không gian tô pô tách nên tồn tại lân cận U của a, V của b sao cho : UV= . Mặt khác a là giới hạn của (x ) nên theo định nghĩa (1.21) 1 sao cho : 1 thì x U . Tơng tự tồn tại 2 sao cho x V khi 2 . Đặt 0 =max{ 1 , 2 } thì x UV, 0 từ đó suy ra UV điều này trái với giả thiết UV= Vậy a=b. 1.23 Nhận xét. Nếu tại mọi điểm của không gian tô pô X đều có một cơ sở lân cận đếm đợc, khi đó ta có thể thay thế dãy suy rộng (x ) bởi dãy thông th- ờng (x n ) n 1 . 1.24 Định nghĩa. Giả sử (X ) là họ những không gian tô pô. Xét tích đề các : X= x là một họ {x : x X , } viết tắt là (x ) với 0 cố đinh, ta thành lập phép chiếu : 0 pr : X 0 X xác định bởi công thức : 00 ))(( xxpr = Khi đó tồn tại tô pô yếu nhất trên X sao cho tất cả các phép chiếu pr liên tục trên X . Tô pô này thờng đợc gọi là tôpô Tikhônôp trên X 1.25 Định nghĩa : X là không gian tô pô , K X là tập compắct nếu với mọi phủ mở U 1 ,U 2 , ,U n , của K , tồn tại phủ con hữu hạn U 1 , ,U p phủ K tức là : K p i i U 1 = 1.26 Định nghĩa: Giả sử (X,t) là một không gian tô pô và Y là một tập hợp con của X Khi đó họ : t Y = {GY : Gt } là một tô pô trên Y, và gọi là tô pô cảm sinh trên Y. 1.27 Nhận xét : - Mọi tập hợp mở A trong (Y,t Y ) đều có dạng A=GY . 7 - Mọi tập hợp đóng B trong (Y,t Y ) đều có dạng : B= FY, F đóng trong X Đ2 Không gian định chuẩn . 2.1 Định nghĩa . Giả sử X là không gian véc tơ trên K (C hoặc R) . Ta gọi một chuẩn trên X là một hàm . : XR đặt tơng ứng với mỗi xX với một số x R sao cho thoả mãn các điều kiện 1) Xxx ,0 và 0 = x x=0 2) xx = XxK , 3) yxyx ++ Xyx , Không gian véc tơ X cùng với chuẩn xác định trên nó gọi là một không gian định chuẩn trên K . Ký hiệu (X, . ) hay X 2.2) Nhận xét. Nếu (X, . ) là một không gian định chuẩn thì công thức d(x,y)= yx , Xyx , xác định một mêtric trên X. Do đó mỗi không gian định chuẩn là một không gian mêtric và ta gọi là mêtric sinh bởi chuẩn Vì vậy: tất cả các tính chất tôpô của không gian mêtric đều có giá trị cho không gian định chuẩn 2.3 Định nghĩa. - Dãy {x n } trong không gian định chuẩn X gọi là hội tụ đến x 0 X nếu : 0 0 = xxLim n n ký hiệu : 0 . xx n hay 0 xxLim n n = . - Dãy {x n } trong không gian định chuẩn X gọi là dãy côsi nếu 0 > tuỳ ý n 0 N sao cho : n n 0 và pN ta có : ||x n+p -x n || < hay npn n xxLim + =0 2.3 Định nghĩa:- Cho X là không gian định chuẩn , x 0 X , r >0 ta gọi 8 - Hình cầu mở tâm x 0 bán kính r là tập : S(x 0 ,r)={xX: ||x 0 -x||<r } - Hình cầu đóng tâm x 0 bán kính r là tập S[x 0 ,r]={xX: ||x 0 -x||r } . 2.4 Định nghĩa. Giả sử X,Y là các không gian định chuẩn, nếu tồn tại một ánh xạ : : XY thoả mãn : 1) (x+y) =(x)+(y) x,yX ,,K 2) xx = )( thì là phép đẳng cấu tuyến tính. Khi đó X đẳng cấu với Y và ta có thể đồng nhất phần tử xX với phần tử (x)Y 2.5 Định nghĩa. Giả sử 21 .,. là hai chuẩn xác định trên không gian véc tơ X . Gọi t 1 ,t 2 là hai tô pô trên X , sinh ra bởi các chuẩn 21 .,. Khi đó chuẩn 1 . mạnh hơn chuẩn 2 . nếu t 1 t 2 . Nếu t 1 =t 2 thì 1 . và 2 . tơng đơng . 2.6 Định nghĩa: Một không gian định chuẩn X đầy đủ (theo mêtric sinh bởi chuẩn ) đợc gọi là không gian Banach 2.7 Định nghĩa. Cho X là không gian định chuẩn và Y X, khi đó Y đợc gọi là không gian con của X. Nếu Y đóng thì ta nói Y là một không gian con đóng 2.8 Định lí: Giả sử M={x n : n=1,2, . } là tập con đếm đợc của X. Không gian con đóng gây nên bởi M là không gian định chuẩn và khả ly . Chứng minh. Gọi Y là không gian véc tơ của X gây nên bởi M. Khi đó ZY = , tức là Y trù mật trong Z. Mặt khác nếu gọi L là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính với hệ số hữu tỉ của một số hửu hạn các phần tử của M thì L là tập hợp đếm đợc. Hơn nữa ta có yY thì Y có dạng : y= ),1,(, . 1 1 piMxxx ip nnpn =++ Với mỗi i ta hãy tìm số hữu tỉ r i sao cho: p xr i nii < (i=1, p) , > 0 tuỳ ý. Khi đó với z= Lxrxr ii npn ++ . 1 ta có 9 )()()( 1111 ==== == p i nii p i n p i ii p i nii iii xrxrxryz <p = p . suy ra : L là trù mật trong Y L trù mật trong Z . Vậy Z là không gian định chuẩn khả ly. 2.9 Định nghĩa: - Giả sử X là không gian véc tơ trên K . Một phiếm hàm tuyến tính f xác định trên X là một ánh xạ tuyến tính. Tập L(X,K)={f| X f K là phiếm hàm tuyến tính } đợc gọi là không gian đối ngẫu đại số của X, ký hiệu là X # 2.10 Định nghĩa. Cho X ,Y là các không gian định chuẩn trên trờng K . Khi đó ánh xạ tuyến tính A:XY là một toán tử tuyến tính 2.11 Định lý: (Nguyên lý bị chặn đều) Giả sử {f : } là một họ những phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên không gian Banach X nếu xX ta có < )(xfSup thì +< fSup 2.12 Định lý. (Hanh-Banach) Giả sử X là một không gian định chuẩn Y là một không gian véc tơ con của X và f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục xác đinh trên Y . Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f ~ xác định trên X sao cho: f ~ | Y =f và ff = ~ 2.13 Hệ quả. Giả sử X là không gian Banach , {f n } là dãy phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X . Nếu với mỗi x X ,f n (x) là dãy côsi , thì tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên X sao cho xX : )()( xfxfLim n n = và n n fLimf 2.14. Hệ quả. Giả sử Y là không gian con đóng của không gian định chuẩn X và x 0 Y. Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác đinh trên X sao cho : f(x 0 )=1, f(y)=0 khi yY . 10