Các bài tập quy nạp liên quan đến đại số tuyến tính, không gian, ma trận, hạng, định thức

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn LI CM N Em xin chõn thnh gi li cm n ti cỏc thy, cụ giỏo khoa Toỏn_Trng i hc S phm H Ni 2, c bit l cỏc thy, cụ giỏo t Hỡnh hcs ó tn tỡnh dy d, ch bo, giỳp em sut thi gian em theo hc ti khoa v thi gian lm khúa lun tt nghip c bit em xin gi li cm n sõu sc ti Thy Nguyn Vn Vn, ngi trc tip hng dn em, luụn ch bo, nh hng cho em em cú th hon thnh khúa lun ny Em cng xin c gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố v th lp K33 C nhõn Toỏn trng HSP H Ni ó luụn bờn em, ng viờn, giỳp em sut quỏ trỡnh hc v thc hin khúa lun ny Mc dự ó cú rt nhiu c gng, song thi gian v kinh nghim bn thõn cũn nhiu hn ch nờn khúa lun ca em khụng th trỏnh nhng thiu xút rt mong c s úng gúp ý kin ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn sinh viờn khúa lun ca em c hon thin Em xin chõn thnh cm n! H Ni, thỏng nm 2011 Sinh viờn m Th Tho SVTH: Đàm Thị Thảo K33 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn LI CAM OAN Khúa lun tt nghip ny l kt qu ca bn thõn em quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v c ti liu Bờn cnh ú em cng nhn c s quan tõm, to iu kin ca cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn, c bit l s hng dn tn tỡnh ca thy Nguyn Vn Vn Em xin chõn thnh cm n! H Ni, thỏng nm 2011 Sinh viờn thc hin m Th Tho SVTH: Đàm Thị Thảo K33 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn MC LC M u6 Chng 1: Mt s kin thc c bn8 1.Quy np toỏn hc 2.Quy np .14 Quy np khụng hon ton15 Chng 2: Phng Phỏp Tớnh nh Thc Bng Quy Np .16 Đ1 Ma Trn 16 Đ2 nh thc 19 Kt lun .39 Ti liu tham kho .40 SVTH: Đàm Thị Thảo K33 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn M U Lý chn ti Cú th núi rng i s tuyn tớnh l mt mụn hc khỏ quan trng i vi mi sinh viờn ngnh Toỏn Nú c coi l mụn c s cho tt c cỏc mụn Toỏn m sinh viờn c hc Trong ú ma trn v cỏc bi toỏn liờn quan n ma trn v nh thc ca ma trn l phn kin thc c bn nht, gõy c nhiu hng thỳ nht ni dung mụn hc ny Cú nhiu khú liờn quan n ma trn v nh thc ma trn l mt nhng nhng nh th Vi ham mun tỡm tũi v hc hi nờn em ó i sõu vo tỡm hiu ny c s hng dn tn tỡnh ca thy giỏo, GVC Nguyn Vn Vn cựng vi lũng yờu thớch mụn hc ny em ó nghiờn cu ti: Cỏc bi quy np liờn quan n i s tuyn tớnh, khụng gian, ma trn, hng, nh thc Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu v cỏc bi quy np liờn quan n i s tuyn tớnh, khụng gian, ma trn, hng, nh thc Nhim v nghiờn cu Trỡnh by mt s kin thc c bn v quy np toỏn hc Trỡnh by mt s kin thc c bn v ma trn v nh thc Phng phỏp tớnh nh thc bng quy np v v cỏc bi ỏp dng ng dng ca nh thc i tng nghiờn cu Trong ti ny em xõy dng xung quanh cỏc v cỏch tớnh nh thc bng phng phỏp quy np SVTH: Đàm Thị Thảo K33 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn Phng phỏp nghiờn cu Tỡm v tham kho ti liu, phõn tớch v tng hp bi minh ha, tham kho ý kin ca giỏo viờn hng dn Cu trỳc lun Chng 1: Mt s kin thc c bn Chng 2: Phng phỏp tớnh nh thc bng quy np SVTH: Đàm Thị Thảo K33 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn CHNG 1: MT S KIN THC C BN 1) Quy np toỏn hc 1.1) Nguyờn lý quy np toỏn hc - Ta ký hiu mt khng nh toỏn hc ph thuc vo s n l p n õy n l s t nhiờn Ngi ta thng a v dng mnh vi mi n ( S no ú ) p n Trong ú S l ca cỏc s t nhiờn l tớnh sp th t.Ta tha nhn tớnh cht sau nh mt tiờn Trong mi hp khỏc rng cú nhng s t nhiờn cú mt phn t - Cho mi s t nhiờn n ng vi khng nh p n Vớ d: Cho dóy sau S n + Vi n ta cho tng ng vi khng nh p Tng ca dóy S n l S + Vi n ta cho tng ng vi khng nh p Tng ca dóy S n l S Tng t vi n 3,4, Bng phng phỏp nh vy ta to c dóy khng nh riờng: P , P , , P n , Nguyờn lý quy np cho ta mt phng phỏp kim tra khng nh p n ỳng hoc sai vi mi n nh lý 1: Cho no l mt s nguyờn dng v p n l mt mnh cú ngha vi mi s t nhiờn n n0 nu: a) P no l khng nh ỳng b) Nu p k ỳng thỡ p k cng ỳng vi mi s t nhiờn k SVTH: Đàm Thị Thảo no K33 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn Chng minh: Ga s mnh khng nh nh lý trờn khụng ỳng vi mt s t nhiờn n no no ú Ngha l tn ti mt s t nhiờn m no m p(m) khụng ỳng (iu ny th hin c nh tớnh cht tha nhn nh mt tiờn trờn) Theo a) Ta cú m no lun p m ỳng cho m m no m p(m 1) ỳng nh khụng th suy iu ny mõu thun vi gi thit iu phi chng minh Xut phỏt t mnh khng nh vi cỏc trng hp riờng chng hn n cỏc s n 1, 2,3, (ta gi l giai on quy np ) hoc ta cú th gi thuyt mnh ỳng vi mi s t nhiờn Sau ú ta a gi thuyt quy np chng minh mnh va a ngi ta lý lun theo nguyờn lý quy np toỏn hc Phng phỏp nh vy gi l phng phỏp quy np toỏn hc Theo nh lý trờn phng phỏp ny gm hai bc: + Bc c s: Kim tra khng nh ca bi toỏn vi n no + Bc quy np: Chng minh rng vi mi k no , p k tha tớnh cht ó bit thỡ suy p k cng cú tớnh cht y * Kt lun: p n cú tớnh cht ó cho vi n no * u im ca phng phỏp ny l: Chng minh theo quy np toỏn hc trỏnh cho ta phi kim tra vụ hn bc cỏc khng nh ca mnh 1.2) Giai on quy np v gi thit quy np minh cho giai on quy np v ga thit quy np ta xột mt s vớ d sau: Vớ d: Cho s t nhiờn n.Tớnh tng Sn n Gii: + Giai on quy np: ta tớnh tng Sn t mt vi s t nhiờn: SVTH: Đàm Thị Thảo K33 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn - Vi n thỡ S1 - Vi n thỡ S2 - Vi n thỡ S3 - Vi n thỡ S4 10 - Vi n thỡ S5 15 - Vi n thỡ S6 21 Nh s khộo lộo quan sỏt, s nhy cm d oỏn v kim tra ca mỡnh.T ú cú th tỡm mt quy lut chung Ta phõn tớch cỏc tng thnh tớch cỏc thnh phn nh sau: +S1 = = S2 11 1.2 2 2 2.3 3.4 3 S3 S4 10 4.5 4 S5 15 5.6 5 S6 21 6.7 6 T ú ta a gi thuyt quy np nh sau: Sn n n n (1) Mt gi thuyt c lm nh trờn c gi l gi thuyt quy np Nhng t l liu gi thuyt ú cú ỳng vi hay khụng ? Ta i chng minh (1) bng phng phỏp quy np toỏn hc: SVTH: Đàm Thị Thảo 10 K33 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn 11 Vi n thỡ :1 ( luụn ỳng ) Gi s ng thc luụn ỳng vi n k tc l: k k k 2 Ta phi chng minh ỳng vi n k Taphi bin i: k k k k k k k Hay ng thc ỳng vi n k Theo nguyờn lý quy np toỏn hc thỡ cụng thc ỳng vi mi n 1,2, Vớ d 2: Tớnh tng ca n s t nhiờn l u tiờn Sn 2n Gii: + Giai on quy np Ta tớnh tng Sn t mt vi s t nhiờn u tiờn -Vi n 1: S1 -Vi n : S2 -Vi n 3: S3 -Vi n 4: S4 16 -Vi n 5: S4 25 D dng nhn thy: S1 12 S2 SVTH: Đàm Thị Thảo 22 32 S3 S4 16 42 11 S5 25 52 K33 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn T õy ta a gi thuyt quy np nh sau: n2 2n Ta i chng minh ng thc : Vi n thỡ luụn ỳng Gi s ỳng vi n k tc l: k2 2k Ta phi chng minh ỳng vi n k 1 2k 1 k k 2k 1 k Vy ỳng vi mi s t nhiờn n iu phi chng minh 1.3) Bc quy np xõy dng trờn p( k ) Vớ d: Chng minh: 2n an bn a b n õy a b 0, a b Gii: Vi n thỡ : a b 2 Do a b v : a b a b a b 0 Cng theo hai v ca bt ng thc ta cú : a b a b + Gi s ỳng vi n k no ú ta cú: 2k ak SVTH: Đàm Thị Thảo bk a b k 12 (2) K33 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn Vớ d: Tớnh nh thc Vandermonde Dn x1 x12 x1n 1 x2 x22 x2n xn xn2 xnn Ly dũng th n nhõn vi - x1 ri cng vo dũng th n ,sau ú ly dũng th n nhõn vi x1 ri cng vo dũng th n ,, cho n bin i xong dũng th hai, ta c: Dn = 1 x2 x1 x2 x2 x1 x2n x2 x1 xn x1 xn xn x1 xnn xn x1 x2 x2 x22 x2n i j x1 xn xi x1 x3 x32 x3n x2 x1 x2 x2 x1 n x2 x2 x1 xn x1 xn xn x1 n xn xn x1 xn xn2 xnn xj Ti dũng th hai trờn ta ỏp dng khai trin Laplace theo ct th nht , ti dũng th hai ta ỏp dng cỏc nhõn t chung ca cỏc dũng ngoi du ca nh thc, cũn dũng cui cựng ta ỏp dng cụng thc truy hi 4.3) Rỳt cỏc nhõn t tuyn tớnh Nu mi phn t ca ma trn vuụng A cp n l mt a thc bc nht i vi bin x no ú, thỡ nh thc A l mt a thc ca cỏc bin ú vi bc ( tng th ) khụng quỏ n Nu bng cỏch no ú ta tỡm c n a thc bc SVTH: Đàm Thị Thảo 26 K33 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn nht f1, , f n c lp tuyn tớnh vi cho mi f i l c ca A , thỡ ta cú kt lun A v tớch f1 f n sai khỏc mt nhõn t hng s Vớ d: Tớnh nh thc x x n n n x L mt a thc bc ti a n 1, vỡ mi s hng nh ngha ca a thc l tớch a1 a2 .an u cú tha s th nht l mt hng s Thc n ta thy ch cú mt tớch cú bc ỳng bng n: nú tng ng vi tớch ca cỏc phn t trờn ng chộo, tc l hoỏn v ng nht Do ú bc a thc ỳng bng n v h s u l Mt khỏc ln lt cho x 1,2, , n ,ta nhn c nh thc cú hai dũng bng nờn chỳng u bng khụng Tc D D D n Do ú D x chia ht cho x 1, , x n D x x x x n 4.4) Phng phỏp truy hi Tỡm mt h thc gia nh thc cp n v cỏc nh thc cp thp hn c nh ngha tng ng ta cú: Dn pDn qDn + Nu q = thỡ Dn + Nu q 0, ta gi SVTH: Đàm Thị Thảo p n 1D1 v l hai nghim ca tam thc bc hai: 27 K33 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn x2 px q - Xột hai trng hp: Nu thỡ: Dn Nu thỡ: Dn D2 D1 n Theo dũng th mt ta c Dn Hn na D1 1, D2 n D2 n D2 D1 D1 2 Nh vy Dn chớnh l Fibonacci th n: n Dn n n Dn Dn n 5 n 1 4.5) S dng tớnh a tuyn tớnh Ta cú th a vic tớnh mt nh thc thnh tớnh tng cỏc nh thc n gin hn Vớ d : Nu vit cỏc dũng ca nh thc: x a1 a1 a1 a1 a2 x a2 a2 a2 a3 a3 x a3 a3 an an an x an Thnh tng ca hai dũng: a1, , x , , an a1, , , , an 0, , x, ,0 Thỡ nh thc trờn c vit thnh tng cỏc nh thc cha hai dũng nh nhau, tr cỏc trng hp sau: Mt nh thc m dũng th i cú dng 0, , x, ,0 , ( x v trớ th i , i 1, , n ) ú l nh thc xE v bng x n SVTH: Đàm Thị Thảo 28 K33 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn - n nh thc cú ỳng mt dũng j l (a1,.,an) cũn cỏc dũng khỏc cú dng ( , , x , , 0) ( x v trớ th i ) Theo nh ngha khai trin Laplace ta cú nh thc Vy D x xn xn a j xn a1 an 5) Tớnh nh thc bng phng phỏp quy np 5.1) Phng phỏp Bin i, khai trin nh thc theo hng hoc ct cho cú th biu din nh thc ó cho qua cỏc nh thc cựng dng cú cp thp hn Sau ú tớnh nh thc ca mt s nh thc cp thp v t ú oỏn nhn biu thc tng quỏt ca nh thc cp n V chng minh bng phng phỏp quy np 5.2) Bi ỏp dng: Bi 1: Tớnh a1 x1 Dn = an a1 n x1 a2 x1 x2 0 x1 x1 a3 SVTH: Đàm Thị Thảo x2 x2 a2 x2 x2 0 x3 a3 x3 an xn xn 1 2n xn an xn 29 K33 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn an x1x2 xn D2 a1 xn Dn x1 a2 x1 x2 x2 x1 a1 x2 a1 x1 x1 D3 x2 a1 x1a2 x1 a2 x1 x1x2 a1 x1 a2 a3 x2 x3 x3 x2 x3 a1 x1 x2 x3 Vy Dn x1 xn 1 x1 xn x1x2a3 a2 x1x3 a1 x1 a2 x2 a3 x1x2 a3 x3 a1 a n x1 xn an x1x2 xn xn x1 xn 1 an x1x2 xn x1 x2 x3a1 a2 x1x3 = x1 x2 x3 Ga s Dn a2 x2 a1 a n x1 xn x1 xn 1xn a1 a n x1 xn Bi 2: Tớnh Dn SVTH: Đàm Thị Thảo 1 1 x1 x2 xn x12 x22 xn2 30 x1n x2n xnn K33 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn Ly ct th n nhõn vi ( -xn ) ri cng vo ct n Sau ú ly ct th n nhõn vi ( -xn ) ri cng vo ct th ( n 1) , , cui cựng ly ct th nht nhõn vi ( -xn )ri cng vo ct th hai ta c: x1 xn x2 xn xn xn Dn x1 x1 xn x2 x2 xn xn xn xn x1n x2n xnn 12 x1 xn x1 xn x1 xn Khai trin nh thc theo dũng th n ri t tha s chung ca mi dũng ngoi ta cú: Dn Hay Dn n x1 xn xn xn x1 xn xn x2 xn x1 x2 xn x12 x22 xn2 x1n x2n xnn 12 xn Dn ý rng D1=1, bng quy np s dng cụng thc trờn ta cú: Dn i j xi x j Bi 3: Tớnh Dn x1 x2 3 x3 n n n xn Vit Dn di dng: SVTH: Đàm Thị Thảo 31 K33 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Dn GVHD: Nguyễn Văn Vạn x1 n x2 n n xn n Ri tỏch cỏc ct vit Dn di dng tng ca nhng nh thc tam giỏc ta cú: Dn x1 0 x1 0 x2 0 2 x3 xn n 0 x2 x1 0 x2 ++ 0 xn n 0 x1 xn n 1 x1 x2 0 xn xn n 0 n n n n n n xn n Bi 4: Tỡm tng s o ca cỏc gúc ca n giỏc Gii: Xột a giỏc n - cnh s cú n nh T mt nh bt k ca a giỏc k ng thng ni cỏc nh cũn li Khi ú s to thnh ( n ) tam giỏc Ta cú tng s o cỏc gúc ca mt tam giỏc bng 180o nờn ta s SVTH: Đàm Thị Thảo 32 K33 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn d oỏn tng s o cỏc gúc ca n giỏc l: Sn 180o n * Ta i chng minh bng phng phỏp quy np: + Vi n = ta cú tam giỏc nờn: S3 180o 180o ( luụn ỳng) + Vi n = ta cú t giỏc nờn: 360o ( luụn ỳng) S4 180o Gi s * ỳng vi n = k, tc l: Sk Vi n = k + ta cú: Sk 180o k 180o k 180o 180o k 180o Sk iu phi chng minh Bi 5: Trong mt phng cho n ng trũn: Ngi ta tụ mu tt c cỏc ca mt phng b n ng trũn ó cho phõn chia theo nguyờn tc: hai chung biờn gii l cỏc cung trũn tụ mu khỏc Chng t ch cn hai mu tụ cỏc trờn Gii: Ta chng minh bi toỏn bng phng phỏp quy np: + Vi n = bi toỏn hin nhiờn ỳng + Ga s bi toỏn ỳng vi n = k Ngha l ch vi hai mu ta cú th tụ mu tt c cỏc ca mt phng b k ng trũn phan chia theo nguyờn tc: chung biờn gii (cỏc cung trũn) c tụ bi mu khỏc + Ta chng minh bi toỏn ỳng vi n = k+1 SVTH: Đàm Thị Thảo 33 K33 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn Tht vy xột ng trũn th k+1 ng trũn ny s chia cỏc phn ca k ng trũn trc thnh hai (trong ng trũn v ngoi ng trũn th k+1 ny) lỳc ny ta gi nguyờn mu ngoi ng trũn k+1 v o li tt c nhng mu ng trũn th k+1 ny vi cỏch lm nh vy ta s chng minh cỏc mu tụ tho nguyờn tc u bi Tht vy nu k cú chung biờn gii nm ngoi ng trũn k+1 thỡ tho u bi hai thuc ca ng trũn k+1 cng tho nu hai cú chung biờn gii mi l cung ca ng trũn th k+1 Vy bi toỏn ỳng vi n k Theo nguyờn lý quy np iu phi chng minh Bi 6: Trong mt phng cho n ng thng ụi mt ct v khụng cú ng thng no ng quy Hóy tỡm s ca mt phng b n ng thng trờn phõn chia Gii: Ta i d oỏn cụng thc Cỏch 1: Ta gi Si l s ng vi i ng thng phõn chia mt phng i S1 i S2 2 S1 i S3 S1 i S4 S1 i n Sn Sn n S1 n S1 (n 1)(n 2) (1) Ta s chng minh (1) bng phng phỏp quy np: Ta cú Sn SVTH: Đàm Thị Thảo S1 (n 1)(n 2) 34 K33 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn Cỏch 2: Gi s (n-1) ng thng phõn chia mt phng thnh sn-1 k thờm ng thng th n na thỡ s tng thờm bng s giao im ca ng thng mi ny vi n-1 ng thng cú n-1 giao im vỡ ụi ct cng thờm Ta d oỏn : Sn Sn n Hay Sn Sn n Ta cú cụng thc truy hi vi S1 = Sn Sn n Sn Sn n Sn Sn n S S1 S1 Cng v: Sn n n n n S1 1 n n 1 n2 n iu phi chng minh Bi 7: Tớnh SVTH: Đàm Thị Thảo 35 K33 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp a0 GVHD: Nguyễn Văn Vạn a1 a1 a1 a1 a2 a2 0 a2 0 a3 a2 a3 0 an 0 an 1 an Khai trin theo dũng u ta c h thc: Dn a0 a Dn a12 Dn n D1 a0 a1 D0 n D2 a0 a1 D1 a12 D0 n D3 a0 a1 D2 n D4 a0 a1 D3 a12 D2 Ta cú: a12 D a12 D1 T ú theo nguyờn lý quy np l: Dn a0 a1 an a1a2 an a0 a1 a0 a2 an an a0 a1 an iu phi chng minh 6) Bi ỏp dng: Tớnh nh thc sau: a1 0 a) a1 a2 a2 a3 SVTH: Đàm Thị Thảo 0 an 0 an 36 K33 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp ao y1 b) 0 x1 x12 c) x13 n x1 a1 x1 y2 0 GVHD: Nguyễn Văn Vạn a2 x2 0 x2 x22 x23 n x2 an xn yn an 0 xn xn xn2 xn3 n xn d) Tỡm s phn ca khụng gian ( khụng cú im chung ) b n mt phng cho c bn mt phng bt k khụng cú im chung phõn chia Đ3 ng dng ca nh thc Cỏc nh thc c dựng kim tra cỏc ma trn cú ma trn nghch o khụng ( cỏc ma trn cú kh nghch v ch chỳng l cỏc ma trn khỏc ) v biu din nghim ca mt h phng trỡnh tuyn tớnh qua nh lý Cramer Chỳng c dựng tỡm cỏc vộc t riờng ca ma trn A qua cỏc a thc c trng: P x det xI A Trong ú I l ma trn n v cú cựng kớch thc vi I - Ngi ta cũn xem nh thc nh hm xỏc nh trờn lờn cỏc b n vộc t khụng gian R n , to ca n vộc t ny to thnh n ct ( n dũng ) ca mt ma trn vuụng Khi ú du ca nh thc ca mt c s cú th c dựng nh ngha khỏi nim hng ca cỏc c s khụng gian Euclide SVTH: Đàm Thị Thảo 37 K33 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn - Nu nh thc ca mt c s l dng thỡ ta núi cỏc vộc t ny to thnh mt c s thun chiu v nu nh thc ca chỳng l õm thỡ ta núi nú to thnh c s ngc chiu - Cỏc nh thc cũn c dựng tớnh th tớch gii tớch vộc t giỏ tr tuyt i ca cỏc nh thc ca cỏc vộc t trờn trng s thc thỡ bng vi th tớch ca hỡnh hp to bi cỏc vộc t ú Nh l mt h qu nu mt ỏnh x tuyn tớnh: f : Rn Rn c c trng bi ma trn A v S l o c bt k ca R n ,thỡ th tớch ca f(S) c cho bi: det A *Volumes( S ) Mt cỏch tng quỏt hn, nu ỏnh x tuyn tớnh : f : Rn Rn c trng bi mt ma trn Am.n v S l bt k o c no ú ca R n thỡ th tớch n chiu ca f(S) c tớnh bi: det At A *Volumes( S ) Bng cỏch tớnh th tớch ca t din cú nh, chỳng cú th c dựng nhn din (xỏc nh ) cỏc ng ghnh Th tớch ca t din bt k cho bi cỏc nh cho a, b, c, d l: det a b, b c, c d SVTH: Đàm Thị Thảo 38 K33 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn KT LUN Trờn õy l ton b ni dung khúa lun ca em Trong khúa lun ny em ó trỡnh by nhng hiu bit ca mỡnh v nhng kin thc c bn liờn quan n ma trn v nh thc ca ma trn v cac bi liờn quan n tớnh nh thc bng phng phỏp quy np Qua vic thc hin nghiờn cu ti ny, em ó c m rng tm hiu bit v cỏc phng phỏp tớnh nh thc bng phng phỏp quy np v lm quen vi vic nghiờn cu khoa hc Mc dự ó cú nhiu c gng song thi gian cú hn v õy cng l mi i vi bn thõn em nờn quỏ trỡnh vit cng nh quỏ trỡnh in n, khúa lun ny khụng th trỏnh nhng thiu xút Em kớnh mong cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn sinh viờn úng gúp ý kin giỳp em hon thnh khúa lun ny ca mỡnh Em xin trõn trng cm n cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn, trng i hc S phm H Ni c bit thy Nguyn Vn Vn ó giỳp v to iu kin em hon thnh khúa lun ny SVTH: Đàm Thị Thảo 39 K33 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn TI LIU THAM KHO [1] Lờ Tun Hoa, Vin Toỏn hc, Vin KH & CN Vit Nam [2] Ngụ Vit Trung, Giỏo trỡnh i s tuyn tớnh NXB HQG H Ni, 2001 [3] Bựi Xuõn Hi ( ch biờn ), Trnh Thanh ốo, Thỏi Minh ng, Trn Ngc Hi, i s tuyn tớnh, Nh xut bn HQG TP H Chớ Minh [4] Nguyn Hu Vit Hng, i s tuyn tớnh, NXB i hc Quc gia H Ni, 2000 [5] Ngụ Thỳc Lanh, i s tuyn tớnh, Nh xut bn, Nh xut bn H & THCN, 1970 [6] on Qunh ( ch biờn ), Giỏo trỡnh toỏn i cng phn mt i s tuyn tớnh v hỡnh hc gii tớch, NXB i hc Quc Gia H Ni, 1988 [7] Phan Hng Trng, Giỏo trỡnh i s tuyn tớnh [8] Serge Lang, i s phn 3, Nh xut bn H v Trung hc chuyờn nghip 1978 SVTH: Đàm Thị Thảo 40 K33 CN Toán [...]... Vạn 3.2) Ma trn chia khi + Cho A l ma trn vuụng (n.n, K ) vi mi i > j ta cú Aij 0 thỡ A c gi l ma trn tam giỏc trờn + Cho A l ma trn vuụng (n.n, K ) vi mi i < j ta cú Aij 0 thỡ A c gi l ma trn tam giỏc di Mat tam giỏc l ma trn tam giỏc trờn v ma trn tam giỏc di 3.3) Ma trn tam giỏc ng dng Cho hai ma trn A v B vuụng n.n, K Ta cú A v B l hai ma trn ng dng nu tn tai mt ma trn C kh nghch, C ma trn thu... B = C-1AC n.n, K sao cho B l A ng dng vi B 3.4) Ma trn i xng Cho A l mt ma trn vuụng: A nu At aij n c gi l ma trn i xng A Ma trn i xng lnh: cho A l mt ma trn vuụng ,m A l mt ma trn cú dng : At A A l ma trn i xng lnh khi ng chộo chớnh = 0 Mt ma trn vuụng bao gi cng phõn tớch thnh tng ca mt ma trn i xng v ma trn i xng lnh 3.5) Ma trn chia khi Ta ly mt ma trn A bt k v chia nú ra thnh mt h thng ( nhiu... hiu: C = A + B b) Tớch ca mt s v mt ma trn Cho s 0, A aij m.n Khi ú A C c gi l tớch ca mt s v mt ma trn c) Tớch ca hai ma trn Cho A dij aij aip bpj m.n , B bij n.k Khi ú A.B = D = dij m.k ai1b1 j ainbnj ; i 1, m; j 1, k ; p 1, n L tớch ca hai ma trn A v B 3) Cỏc dng ca ma trn 3.1) Ma trn chuyn Ta gi At l ma trn chuyn ca ma trn A nu s dũng ca ma trn A l s ct ca ma trn B Vớ d: A= At SVTH: Đàm Thị Thảo... BNG QUY NP Đ1 MA TRN 1) nh ngha Cho K l mt trng tu ý Mt bng gm m.n phn t aij trng K cú dng: a11 a12 a21 a22 a1n am1 am 2 amn 1 c gi l mt ma trn kiu (m,n) Mi aij c gi l mt thnh phn ca ma trn vộc t dũng ai1ai 2 ain c gi l dũng th i ca ma trn Vộc t ct: a1 j a2 j amj c gi l ct th j ca ma trn Ta thng ký hiu ma trn bi cỏc ch A, B ,Ma trn (1) cú th c ký hiu n gin bi A = aij m.n Khi m = n thỡ ma trn... phn ) bng mt h thng cỏc ng ngang dc Cỏc phn c to ra l cỏc ma trn con gi l nhng khi ca ma trn A Ma trn A nh vy c gi l ma trn chia khi 3.6) Ma trn ng chộo SVTH: Đàm Thị Thảo 18 K33 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn Cho A l mt ma trn vuụng, A c gi l ma trn ng chộo nu aij = 0, i j Đ2 NH THC 1) nh ngha Cho A aij m.n Ta gi l nh thc ca ma trn A mt phn t thuc trng K Kớ hiu: detA Khi ú: sgn DetA... bc xõy dng nguyờn lý quy np toỏn hc trờn ta suy ra c nh ngha sau: Bc 1: Kim tra mnh ỳng vi n = 1 Bc 2: Ga thit mnh ỳng vi mt s t nhiờn bt k n = k ( gi l gi thit quy np ) Chng minh rng nú ỳng vi n = k + 1 1 õy l phng phỏp quy np toỏn hc hay cũn gi l quy np toỏn hc 2) Quy np Suy din hay cũn gi l phộp suy din l i t cỏi chung n cỏi riờng, t tng quỏt n c th Quy np hay cũn gi l phộp quy np l i t cỏi riờng... = Ta cng núi A l ma trn cú m dũng n ct aij v c ký hiu n gin l: A = aij SVTH: Đàm Thị Thảo n.n c gi l mt ma trn vuụng cp n n 16 K33 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Vạn Tp hp tt c cỏc ma trn kiu ( m, n ) vi cỏc phn t thuc trng K c ký hiu l mat ( m.n, K ) 2) Cỏc phộp toỏn ca ma trn a) Cng hai ma trn Cho A aij m.n ; B bij m.n Khi ú C cij m.n aij bij gi l ; cij tng ca hai ma trn A v B Ký hiu:... c chng minh nu c dựng phng phỏp quy np toỏn hc Cỏc mnh (2), (3) cú c l kt qu ca phộp quy np khụng hon ton trong ú (2) l sai, (3) l ỳng Do phộp th ch cú tớnh d oỏn, nờn kt qu ca phộp quy np khụng hon ton ch l gi thuyt v vic phi lm tip theo l chng minh hay bỏc b Quy lun khụng hon ton l phộp suy lun quy np m kt lun chung ch da vo mt s trng hp c th xột n Kt lun ca phộp quy np khụng hon ton ch cú tớnh... khụng cú im chung phõn chia Đ3 ng dng ca nh thc Cỏc nh thc c dựng kim tra cỏc ma trn cú ma trn nghch o khụng ( cỏc ma trn cú kh nghch v ch chỳng l cỏc ma trn khỏc 0 ) v biu din nghim ca mt h phng trỡnh tuyn tớnh qua nh lý Cramer Chỳng c dựng tỡm cỏc vộc t riờng ca ma trn A qua cỏc a thc c trng: P x det xI A Trong ú I l ma trn n v cú cựng kớch thc vi I - Ngi ta cũn xem nh thc nh hm xỏc nh trờn lờn... 2, hoc khi ma trn A cú dng rt c bit Sau õy l mt vi phng phỏp thong dng: 4.1) Khai trin theo dũng hoc ct C s ca phng phỏp ny l nh lý khai trin Laplace Cho 1 k n Xột hai b ch s 1 i1 ik n v 1 j1 gm cỏc phn t nm trờn giao cỏc dũng 1 i1 ik 1 j1 jk jk n Ma trn n v cỏc ct n ca ma trn A c gi l mt ma trn con cp k v c kớ hiu: A i1, , ik ; j1, , jk , cũn nh thc ca nú c gi l nh thc con hay milnor Ma trn con ... nghiờn cu ti: Cỏc bi quy np liờn quan n i s tuyn tớnh, khụng gian, ma trn, hng, nh thc Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu v cỏc bi quy np liờn quan n i s tuyn tớnh, khụng gian, ma trn, hng, nh thc Nhim... 3.4) Ma trn i xng Cho A l mt ma trn vuụng: A nu At aij n c gi l ma trn i xng A Ma trn i xng lnh: cho A l mt ma trn vuụng ,m A l mt ma trn cú dng : At A A l ma trn i xng lnh ng chộo chớnh = Mt ma. .. mt ma trn i xng v ma trn i xng lnh 3.5) Ma trn chia Ta ly mt ma trn A bt k v chia nú thnh mt h thng ( nhiu phn ) bng mt h thng cỏc ng ngang dc Cỏc phn c to l cỏc ma trn gi l nhng ca ma trn A Ma