Không gian pha và định lý liuvin

Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha định lý Liuvin MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Cùng với phát triển xã hội loài người, vật lí học trải qua nhiều giai đoạn phát triển đạt nhiều thành tựu đáng kể như: Thế kỉ XVIII học cổ điển Niutơn đời trở thành môn khoa học Thế kỉ XIX lí thuyết điện từ trường Mắcxoen - Faraday đời Đến kỉ XX kỉ vật lí học đại với khuynh hướng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô vật chất người ta nhận thấy quy luật tìm thấy không giống quy luật tìm thấy thống kê cổ điển mà có xuất quy luật gọi quy luật thống kê Ngày hệ trẻ thừa hưởng thành tựu khoa học tiên tiến kết lý thuyết vật lý đại Nói Vật lý học đề tài rộng, xin đề cập khía cạnh “không gian” Chúng ta biết không gian hai chiều, không gian ba chiều Cơ học, không gian bốn chiều Mincôpski Điện động lực học, hay không gian Hilbert Cơ học lượng tử học môn Nhiệt động lực học vật lý thống kê gặp khái niệm “không gian pha” Vậy không gian pha gì? Để giúp bạn trẻ bạn sinh viên khoa vật lý có nhìn rõ vấn đề liên quan tới không gian pha, hệ thống kiến thức, giải tập không gian pha định lý Liuvin làm tiền đề cho việc học tập nghiên cứu lí thuyết vật lí đại, tìm hiểu hôm chọn đề tài “Không gian pha định lý Liuvin” làm đề tài khóa luận Với nội dung đề tài “Không gian pha định lý Liuvin” muốn sâu tìm hiểu không gian pha định lý Liuvin - định lí bảo toàn thể tích pha để từ rút phương trình chuyển động tập hợp pha tìm SVTH: Trần Thị Hà GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha định lý Liuvin dạng tổng quát hàm phân bố thống kê dừng hệ nằm trạng thái cân nhiệt động Đối tượng nghiên cứu - Không gian pha - Định lí Liuvin thống kê cổ điển thống kê lượng tử Mục đích nghiên cứu - Biết cách biểu diễn hệ không gian pha - Tìm định lí Liuvin - Áp dụng không gian pha định lí Liuvin vào giải tập Nhiệm vụ nghiên cứu - Đưa phương pháp vật lí thống kê - Tìm mật độ xác suất - Phát biểu định lí Liuvin, đưa phương trình Liuvin - Đưa dạng tập không gian pha Phương pháp nghiên cứu - Tham khảo ý kiến đóng góp - Tra cứu tài liệu - Phương trình xác suất thống kê - Phương trình vật lý – toán SVTH: Trần Thị Hà GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha định lý Liuvin NỘI DUNG CHƯƠNG KHÔNG GIAN PHA 1.1 Phương pháp vật lý thống kê Ta biết rằng, thông số vĩ mô F hàm thông số vi mô, vậy, trường hợp tổng quát, biến thiên liên tục với thời gian Tuy nhiên, thí nghiệm vật lí nào, ta đo giá trị tức thời đại lượng vật lí, mà đo giá trị trung bình theo thời gian Thực để tiến hành đo đạc đại lượng áp suất chẳng hạn, ta cần khoảng thời gian t trị số đo giá trị trung bình F theo thời gian t t F   F (q1 , q2 , q3 N , p1 , p2 , , p3 N , t ) dt t0 t (1.1) Tức trị trung bình F lấy theo trạng thái vi mô khả hữu hệ Nhưng việc tìm trung bình theo thời gian kiểu (1.1) trường hợp tổng quát tiến hành được, vì, ta biết phụ thuộc 6N thông số vi mô vào thời gian tức theo dõi tất biến đổi trạng thái vi mô theo thời gian Để giải khó khăn Gipxơ đề xuất phương pháp tiếng gọi phương pháp Gipxơ Cơ sở phương pháp Gipxơ thay việc khảo sát biến đổi (vi mô) hệ cho với thời gian việc khảo sát tập hợp nhiều hệ tương tự hệ cho Các hệ có số lượng loại hạt điều kiện vĩ mô giống trạng thái khả hữu khác Đồng thời phải đảm bảo tập hợp thống kê sớm hay muộn qua biến đổi giành cho hệ tương tự khác tức SVTH: Trần Thị Hà GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha định lý Liuvin trạng thái vi mô dành cho hệ tương tự tập hợp; nội dung giả thuyết ecgodic Tuy nhiên lí thuyết chứng minh có hệ tuân theo giả thuyết Song ta thừa nhận cách gần hệ tập hợp thống kê trạng thái vi mô gần với trạng thái vi mô hệ khác; giả thuyết chuẩn ecgodic hệ gọi hệ chuẩn ecgodic Giả thuyết chuẩn ecgodic phát biểu sau: “ Trị trung bình theo thời gian đại lượng trị trung bình theo tập hợp thống kê” Vấn đề đặt làm để tìm trị trung bình theo tập hợp; muốn vậy, ta phải tìm mật độ xác suất hay hàm thống kê hệ Để giải vấn đề Gipxơ đưa vào cách biểu diễn hệ không gian pha để đưa vào mật độ xác suất 1.2 Biểu diễn hệ không gian pha 1.2.1 Không gian pha Để biểu diễn biến đổi trạng thái vi mô hệ nhiều hạt với thời gian người ta đưa vào không gian quy ước gọi không gian pha, đồng thời tọa độ không gian pha thông số độc lập xác định trạng thái vi mô hệ (tức tọa độ xung lượng suy rộng tất hạt cấu thành hệ) Phương pháp phải coi thuận tiện mặt nguyên tắc, rằng, việc mô tả tính cách hệ nhiều hạt không gian ba chiều gặp phải khó khăn nhiều Mặt khác, tất hệ vật lí thực, không gian pha không gian nhiều chiều Chẳng hạn như, không gian pha không gian phân tử khí lí tưởng đơn giản không gian sáu chiều; phân tử hai nguyên tử có năm bậc tự do, không gian pha mười chiều; hệ phức tạp nói chung 2fN chiều, với f số bậc tự hạt hệ, N số hạt hệ Có thể nói việc đưa không gian pha nhiều SVTH: Trần Thị Hà GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha định lý Liuvin chiều vào vật lí thống kê làm cho lí thuyết hết nét cụ thể nó, vì, ta hình dung không gian nhiều chiều Thế nhưng, trái lại, việc áp dụng không gian vào vật lí thống kê lại phong phú bổ ích để nghiên cứu hệ nhiều hạt Trong vật lý thống kê người ta thường xét hai loại không gian pha: không gian  không gian K + Không gian  không gian hạt, thí dụ phân tử chẳng hạn + Không gian K không gian hệ nhiều hạt, thí dụ chất khí xét toàn bộ, không gian pha có 2fN chiều 1.2.2 Các yếu tố không gian pha 1.2.2.1 Cách biểu diễn không gian pha thống kê cổ điển Trạng thái hệ xác định giá trị tất tọa độ xung lượng suy rộng hạt cấu thành hệ biểu diễn không gian pha điểm, gọi điểm pha, yếu tố đơn giản không gian pha Khi trạng thái hệ biến đổi với thời gian, điểm pha “chuyển động” vạch đường cong gọi quỹ đạo pha, đồng thời điểm quỹ đạo tương ứng với trạng thái tức thời xác định hệ Chú ý không gian pha, chắn quỹ đạo pha nét giống với quỹ đạo thực hệ chuyển động mà quỹ đạo quy ước giống không gian pha Bởi vì, phương trình Hamintơn xác định cách đơn trị tính cách hệ, nên từ suy rằng, quỹ đạo pha hệ không cắt không gian pha, vì, ứng với giao điểm có hai nghiệm phương trình Hamintơn, điểm không gian pha có quỹ đạo pha qua SVTH: Trần Thị Hà GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha định lý Liuvin Nếu ta xét hệ cô lập hệ lượng toàn phần không đổi nghĩa là: E = E(q1, q2,…, p1, p2…) = const Điều kiện xem phương trình liên hệ tất thông số vi mô trạng thái không gian pha phương trình mặt Mặt gọi siêu diện lượng, hay vắn tắt mặt lượng không gian pha Dễ dàng thấy rằng, mặt mặt 2fN -1 chiều, giống không gian thực chiều, mặt chiều Sau này, ta xét hệ mà tập hợp hệ (tập hợp thống kê) phân bố điểm pha chúng không gian pha Vì ta có lí để đưa vào quan niệm thể tích pha Để thuận tiện cho việc nghiên cứu phân bố hệ, ta chia không gian pha thành thể tích nguyên tố, độ lớn thể tích biểu thị sau: dX=dq1, dq2,…, dqfN, dp1, dp2,… , dpfN tất dqk, dpk biểu thị khoảng đủ nhỏ thông số trạng thái 1.2.2.1.1.Thí dụ việc mô tả hệ không gian pha Ở mức độ gần đó, trạng thái vi mô hệ vĩ mô mô tả học cổ điển Ta xét trường hợp đơn giản trường hợp hạt chuyển động chiều mở rộng cho trường hợp tổng quát Với khái niệm bậc tự số tọa độ cần thiết để xác định vị trí hạt trường hợp đơn giản hệ có bậc tự Ta biết học cổ điển, trạng thái học hạt mô tả tọa độ suy rộng q, động lượng suy rộng p, nghiệm phương trình Hamintơn: SVTH: Trần Thị Hà GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha định lý Liuvin  H q  p    p   H  q với H Hamintơn hệ Như nói trạng thái học cổ điển hạt thời điểm t biểu diễn điểm có tọa độ (q, p) gọi điểm pha   không gian tạo trục p 0q gọi không gian  không gian chiều Vì đại lượng p, q biến thiên theo thời gian nên điểm pha (q, p) vạch thành đường cong không gian pha quỹ đao pha p2 Ví dụ 1: Xét dao động tử điều hòa tuyến tính có động T  2m U  m q ; với m,  khối lượng, tần số pha dao động tử Do hàm Hamitơn p2 H=T+U=  m 2q 2m Và hệ phương trình tắc có dạng sau đây:  H q  p   m q    p   H  p  q m Từ ta tìm phương trình xác định q: q   q Ta có phương trình vi phân theo q: SVTH: Trần Thị Hà q  2q  GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha định lý Liuvin Từ tìm q  q0 sin(t   ) với q0  hai số phụ thuộc điều kiện ban đầu p  m q  p0cos(t   ) với p0  m q0 Ta chứng minh dao động tử điều hòa động trung bình trung bình Thực vậy: T p m q0  cos (t   ) 2m m q0 2 U sin (t   ) m q02 từ T  U  Bởi sin (t   )  cos (t   )  Ta nhận xét lượng dao động tử cổ điển tỉ lệ với bình phương biên độ q02 với bình phương tần số  Ta biểu diễn trạng thái dao động tử điều hòa không gian pha Bởi dao động tử có bậc tự nên không gian pha có chiều với tọa độ q, p Các phương trình q(t), p(t) có dạng: q  q0 sin(t   ) p  p0cos(t   ) phương trình thông số quỹ đạo pha dao động tử điều hòa phương trình quỹ đạo pha là: q2 p2  1 q0 p0 Như quỹ đạo pha dao động tử điều hòa elip có bán trục q0 p0 Trạng thái dao động tử biểu diễn điểm elip với thời gian điểm dịch chuyển elip SVTH: Trần Thị Hà GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha định lý Liuvin p Quỹ đạo p0 (p,q) điểm pha q0 - q0 q - p0 Hình 1.1 Ví dụ 2: Hệ gồm hạt chuyển động không gian chiều có vị trí xác định tọa độ ( q1  x, q2  y , q3  z ) Vậy hệ có bậc tự f = 3, không gian tương ứng không gian chiều (q1, q2, q3,, p1, p2, p3) Hệ có N hạt, hạt có bậc tự nên hệ có số bậc tự f=3N Hệ tương ứng với không gian chiều Vậy tập hợp đại lượng (q1, q2,…, qf, p1, p2,…, pf) tương ứng với điểm không gian 2f chiều gọi không gian K để phân biệt với không gian  chiều 1.2.2.2 Cách biểu diễn không gian pha thống kê lượng tử Để khảo sát hệ nhiều hạt, Bônxơman đề xuất phương pháp tiếng gọi phương pháp “ô” Bônxơman Nội dung phương pháp là: chia không gian pha làm “ô” tương ứng với giá trị khác lượng xét phân bố khác hạt hệ theo ô đó, từ tìm số trạng thái vi mô khả hữu hệ tương thích với điều kiện bên định Trong vật lý thống kê lượng tử, trạng thái hệ không gian pha tương ứng điểm pha mà thể tích cực tiểu SVTH: Trần Thị Hà GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha định lý Liuvin không gian pha Đối với hệ gồm N hạt, thể tích không gian   h3 N Do đó, hệ lượng tử gồm N hạt, thể tích  không gian pha có chứa  h3 N trạng thái lượng tử Mặt khác, ta biết vật lý thống kê lượng tử, tính phân biệt hạt, phép toán hoán vị chúng không đưa đến trạng thái vi mô Vì số trạng thái lượng tử N! lần nhỏ thể tích  không gian pha có chứa  h3 N N! trạng thái Hơn nữa, trạng thái lượng tử khác biệt định hướng spin hạt, mà spin lại không tham gia vào không gian pha, số trạng thái lượng tử (2s+1) lần lớn Như vậy, thể tích  không gian pha chứa tất (2s  1) trạng thái lượng tử Tương tự trường h3 N N ! vật lý thống kê cổ điển, người ta phân hai loại không gian pha: không gian K không gian  Như ví dụ phần 1.2.2.1.1 để đếm số trạng thái vi mô hạt trạng thái học hạt biểu diễn không gian pha ta chia   trục 0q, p thành lượng nhỏ  q,  p Như không gian pha trường hợp mặt phẳng phân thành ô chữ nhật nhỏ, ô có diện tích    q p Một trạng thái học hạt ứng với điểm pha nằm ô Cách mô tả xác  nhỏ Trong học cổ điển  chọn tùy ý, tức ô trở thành điểm điểm pha SVTH: Trần Thị Hà 10 GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha định lý Liuvin Mặt khác theo quy tắc nhân ma trận ta có: H nk km  ( H  ) nm  nk H km  ( H ) nm k Từ ta viết lại biểu thức đạo hàm (3.18) sau: i mn  ( H    H ) nm   H ,     nm t Như toán tử  thỏa mãn phương trình:  i   , H   t   (3.19)  , H  hệ thức giao hoán  H   Phương trình (3.19) phương trình chuyển động toán tử thống kê hay ma trận mật độ  Ý nghĩa (3.19) tương tự định lý Liuvin Phương trình (3.19) đưa tới hệ quan trọng Theo định nghĩa, giá trị   trung bình thống kê lượng tử (3.16) xác định công thức: A  sp  A Trong trạng thái cân nhiệt động A không phụ thuộc vào thời gian Điều thỏa mãn  không phụ thuộc tường minh vào thời gian Như trạng thái cân nhiệt động ta có:  0 t Điều có nghĩa trạng thái cân nhiệt động ma trận mật độ giao hoán với H:  , H     Trong học lượng tử ta biết hai toán tử giao hoán chúng dạng chéo Trong phép biểu diễn lượng toán tử H có dạng chéo: H nm  En nm SVTH: Trần Thị Hà 35 GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha định lý Liuvin Từ ta suy phép biểu diễn lượng ma trận mật độ có dạng chéo: nm  En nm (3.21) ta kí hiệu n yếu tố chéo ma trận nm tức n  nm Vì  giao hoán với H nên n hàm lượng: n  n ( En ) Chú ý tới (3.21) ta thu công thức tính trung bình thống kê đại lượng vât lí A trạng thái cân nhiệt động:   A  sp  A   nm Anm   n nm Amn n ,m n ,m Đưa vào kí hiệu An  Anm   En E* n A En dq để yếu tố chéo ma trận Anm biểu diễn lượng ta có: nm   P Cn  nn   P Cn Từ ta có:  Lấy spur ma trận ta được: sp     nn   n   P Cn   n n n    sp    P Cn  2 n Vì Cn hệ số khai triển hàm sóng   theo hệ hàm trực chuẩn  n nên ta có:  Cn  n  Từ ta có: sp    P  hay A   Ann ;  n  n 1 (3.23) n Kết lạ, n xác suất để đại lượng A có giá trị An trạng thái lượng En SVTH: Trần Thị Hà 36 GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha định lý Liuvin Bằng cách lập luận tương tự thống kê cổ điển, ta kết luận n phải phụ thuộc lượng dạng: n  Ae  En , A,  không phụ thuộc En Hệ số A hệ số chuẩn hóa, tức hệ số đảm bảo cho n thỏa mãn điều kiện:   A e     En 1 n Từ ta suy ra: A1   e  En (3.24) n Tóm lại, mật độ khả tìm kiếm hạt theo trạng thái mà ta có giá trị mn khác nhau, tập hợp tất giá trị mn tạo thành ma trận mật độ Dựa vào giá trị ma trận mật độ ta tính giá trị trung bình thống kê đại lượng vật lý A Như ma trận mật độ đóng vai trò then chốt thống kê lượng tử Dưới tổng kết lại nét phương pháp vật lí thống kê Thống kê cổ điển Thống kê lượng tử - Trạng thái vi mô tập hợp biến -Trạng thái vi mô trạng thái động học (q, p) tương ứng với pha lượng tử dừng biểu diễn không gian 2f chiều: vectơ trạng thái (hoặc hàm sóng) n (q, p)=(q1, q2, , qf, p1, p2, , pf) thỏa mãn phương trình Schrodinger: Các biến thỏa mãn hệ phương H n  E n trình Hamintơn:  H q  p    p   H  q - Không gian 2f chiều - Tập hợp trạng thái lượng tử n SVTH: Trần Thị Hà 37 GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha định lý Liuvin - Hàm phân bố xác suất  ( X , t ) - Ma trận mật độ (hay toán tử thống kê)  - Phương trình chuyển động  : - Phương trình chuyển động ma     , H   , H  móc trận mật độ:   i  , H  t  t   Poison  , H  hệ thức giao hoán   - Trong trạng thái cân nhiệt động - Trong trạng thái cân nhiệt :   , từ suy ra: t động:   , từ suy ra: t  (p, q)=  (H(q, p)) n = n (En) - Trung bình thống kê đại lượng - Trung bình thống kê đại lượng   vật lí F: động học A: A  sp  A , F   F ( p, q ) ( p, q )dpdq phép Và   ( p, q)dpdq  A   Ann ;  n  biểu n SVTH: Trần Thị Hà 38 diễn lượng: n GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha định lý Liuvin CHƯƠNG BÀI TẬP Bài 1: Vẽ quỹ đạo pha với dao động tử nghiệm giả thuyết lượng tử Bo  pdq  nh Bài làm Từ ví dụ phần 1.1.2.1.1 ta tìm phương trình qũy đạo pha: q2 p2  1 q0 p0 * Ta xác định q0, p0 Theo giả thiết Bo:  pdq  nh Mà q  q0 sin(t   )  dq  q0cos(t   ) dt (4.1) Thay dq, p vào phương trình (4.1) lấy tích phân từ đến T tức chu kì: T   p0cos(t   )q0cos(t   )dt  nh T  cos2(t   ) dt  nh  p0 q0   p0 q0  T p0 q0  sin 2(t   ) 4 T  nh p0 q0 2  nh   q0 q0 m  nh  q0  nh m  p0  q0 SVTH: Trần Thị Hà  2m2  nh nhm m 2   m  39 GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha định lý Liuvin  q2 p2  1 nh nhm m  Vậy bán trục phụ thuộc n suy quỹ đạo bị lượng tử hóa p q Hình 4.1 Bài 2: Hãy chứng minh thể tích không gian pha  khí lí tưởng đơn nguyên N tử   constV (2m) 3N gồm E 3N N hạt chứa thể V tích Bài làm Số bậc tự hạt khí lí tưởng đơn nguyên tử suy không gian pha N hạt khí lí tưởng đơn nguyên tử 2.3.N= 6N chiều Gọi tọa độ xung lượng suy rộng hạt N hạt là: x1, y1, z1 xN, yN, zN px1 , p y1 , pz1 , , pxN , p yN , pzN Nguyên tố thể tích pha N hạt : d   dx1 , dy1 , dz1 , , dx N , dy N , dz N , dp x1 , dp y1 , dp z1 , , dp x N , dp y N , dp z N hay d   d qd  p (4.2) đó: d  q  dx1 , dy1 , dz1 , , dxN , dy N , dz N  dV1 dVN d  p  dpx1 , dp y1 , dpz1 , , dpxN , dp yN , dpzN * Xét hạt: SVTH: Trần Thị Hà 40 GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha định lý Liuvin + d  q  dxdydz  dV   q  V   dxdydz V + d  p  dpx dp y dpz Bởi lượng phân tử khí lí tưởng đơn nguyên tử gồm động năng: 2 p px  p y  pz E   p  2mE 2m 2m (4.3) Trong không gian pha xung lượng: p  px2  p x2  px2  const Xét lớp cầu thể tích d  có bán kính từ p  p + dp d  p  d (  p )  4 p dp Từ (4.3) suy ra: 2pdp = 2mdE  dp  Thay vào (4.4) ta có: d  p  4 2m.E (4.4) 2m mdE mE dE  dp   dE 2p 2mE E mE dE  4 2m3 EdE E Thay vào (4.2) ta có: d   d  p d  q  dV 4 2.m    4 2.m 3V E 0  dV  E dE 3 E dE  4 2.m V E   V (2mE )3 3 Vậy hạt có    V (2mE )3 * Đối với N hạt mà ta xét: N N d   d 1d  d  N  d i      i i 1 với SVTH: Trần Thị Hà i 1 i   V (2mE )3 41 GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha định lý Liuvin Vậy với N hạt ta có:  N  (  ) N V N (2mE )3 N N hay N   constV (2mE ) 3N Bài 3: Kiểm nghiệm định lý Liuvin chất điểm chuyển động trường trọng lực có gia tốc g = const Bài làm Vì chất điểm chuyển động trường trọng lực theo phương thẳng đứng có bậc tự suy không gian có 2.1.1 chiều Chọn không gian pha q, p với q khoảng cách từ vị trí ban đầu chất điểm đến vị trí ta xét Chiều dương hướng xuống Xét nguyên tố thể tích pha chiếm điểm pha thời điểm t0 biểu thị d   dp0 dq0 giả sử nguyên tố thể tích pha hình chữ nhật hình vẽ D’ Sau thời gian t: ' p + dp ' B  B ' (q ' B , p  dp ) A’ p A  A (q A , p) D C p0 A B p0 + dp0 C  C ' (q 'C , p  dp ) D  D ' (q ' D  dq, p) C’ q0 q0 + dq0 q B’ q + dq Hình 4.3 Do ban đầu A, B vận tốc sau thời gian chúng vận tốc Nguyên tố thể tích pha thời điểm t là: d   dpdq d  q  qB'  q A' d  p  qD'  q A' Thật ta có: SVTH: Trần Thị Hà 42 GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha định lý Liuvin q A'  q A  pA p t  gt  q0  t  gt m m qB'  qB  PB p t  gt  q0  dq  t  gt m m (4.5)  qB'  q A'  dq0  dq  dq0 pD'  pD  mgt  p0  dp0  mgt p A'  p A  mgt  p0  mgt (4.6)  pD'  p A'  dp0  dp  dp0 Từ (4.5) (4.6) : d 0  d  Ta lại có D 'C '  DC   A' B '  AB   A' B 'C ' D ' hình bình hành D 'C ' A' B '  Vậy thể tích pha không thay đổi hình dạng thay đổi Bài 4: Nghiệm lại định lý Liuvin trường hợp va chạm đàn hồi hạt chuyển động quán tính Bài làm Do trước sau va chạm hạt chuyển động theo đường thẳng nên số bậc tự hạt suy số chiều không gian pha 2.2.1=4 chiều Chọn hệ tọa độ xung lượng suy rộng không gian pha q1, q2, p1, p2 Nguyên tố thể tích pha ban đầu hai hạt xác định: d   dq1dq2 dp1dp2 Gọi q1' , q2' , p1' , p2' tọa độ xung lượng suy rộng hạt sau va chạm  Nguyên tố thể tích pha sau va chạm là: d   dq1' dq2 ' dp1' dp ' SVTH: Trần Thị Hà 43 GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha định lý Liuvin Vì hạt va chạm đàn hồi nên lượng xung lượng bảo toàn Áp dụng định luật bảo toàn lượng xung lượng ta có:   ' ' p1  p2  p  p     p12 p2 p' p'    2m1 2m2 2m1 2m2     ' ' Từ (4.9)  p  p1  p2  p (4.9) (4.10) (4.11) Thay (4.9) vào (4.10):       p12 p2 ( p1  p2  p '2 )2 p ' 2    2m1 2m2 2m1 2m2        m  m p  p m  m p p ' 2 )2 p '2  p '2 2 0  p2 ( m1m2 m1 m1m2 m1    2m   m  m  p  ( m  m ) ' 1 p2 ).( p '2  p2 )   (p2  m1  m2 m1  m2 2m1  ( m1  m2 )   ' p   m  m p1  m  m p2 (4.12)  2   1  p '2  p2 (loai ) Thay (4.12) vào (4.11) ta được:  2m1  (m1  m2 )  p'1  p2  p1 m1  m2 m1  m2 (4.13) Chọn chiều dương chiều chuyển động ban đầu hạt Chiếu (4.12), (4.13) lên phương trình chuyển động ta có: SVTH: Trần Thị Hà p'1  (m1  m2 ) 2m1 p1  p2 m1  m2 m1  m2 p'  2m2 (m  m2 ) p1  p2 m1  m2 m1  m2 44 GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha định lý Liuvin Vì trước sau va chạm hai hạt chuyển động theo quán tính ' ' không gian pha sau va chạm q1 , q2 phụ thuộc vào giá trị xung lượng hạt mà không phụ thuộc vào q1, q2, p1, p2 Gọi I Jacobien chuyển từ nguyên tố thể tích d  sang nguyên tố thể tích d  : d   Id  I  q '1  q1  q '2  p '1  q2  q1  q '1  q2  q '2  q2 ' q  p1 ' q  p2 =(  p '2  q1  p '1  q2 ' p  p1 ' ' q2  p1 q2  p2 ' p  p2 0 0 0 0 ' 0 m1  m2 m1  m2 ' 0   p '2  q1  p2  p1  p2  p2  2m1 m1  m2 2m2 m1  m2 m1  m2 m1  m2 m1  m2 4m1m2 m  m2 )  ( ) 1 m1  m2 m  m  m1  m2  Vậy d0  d (đpcm) Bài 5: Giả sử chất khí lí tưởng (gồm N hạt đựng thể tích V) tuân theo thống kê Mắcxuen- Bônxơman       n( )  exp     exp   kT    kT  Hãy tìm số ô pha nguyên tố không gian pha  phân tử, tức số trạng thái vi mô phân tử đó, tương ứng với khoảng lượng từ     d  , biết thể tích ô pha nguyên tố h3 Tìm số hạt có lượng khoảng d  , dựa vào biểu thức số hạt tổng cộng N, tìm  Tìm lượng toàn phần chất khí từ suy lượng trung bình phân tử SVTH: Trần Thị Hà 45 GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha định lý Liuvin Bài làm Theo tập phần ta tích pha phân tử khí lí tưởng là: 0  3 4 (2m) V  Do thể tích không gian pha  ứng với khoảng lượng d  là: d   4 Vm 2m d  số ô pha d  4 Vm 2m d   h3 h3 Số hạt có lượng khoảng d  là: 2 V (2m) 12    dn   exp    d  h kT   Số hạt tổng cộng là:   2 V (2m)    N   dn  exp    exp  d     h  kT  0  Áp dụng tích phân Poatxông:     ( kT )3  d   kT    2exp  Ta được: (2 mkT ) N exp  V h3 Từ đó:  N (2 mkT )     ln  h3  V  Ta có   2 V (2m)    E    dn  exp    exp   d     h  kT  0 SVTH: Trần Thị Hà 46 GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha định lý Liuvin      ( kT )  d   kT    exp  biết Ta được: E 2 V (2m) 3(kT ) h3 N  4h3 (2 mkT ) V  NkT từ phân tử ta có   kT , nghĩa trùng với kết cổ điển Bài 6: Ma trận mật độ rút gọn không gian tọa độ xung lượng là? Bài làm Ma trận mật độ rút gọn biểu thức ma trận toán tử  (t ) tập hợp trực giao đầy đủ toán tử đơn tuyến, toán tử mật độ  (t ) định nghĩa cho giá trị kì vọng toán tử 0 là: 0  tr 0  (t )    Ta biết tập hợp trực giao đầy đủ trạng thái đơn tuyến   từ ta nhận ma trận mật độ rút gọn không gian tọa độ r không gian tọa độ: r '  (t ) r Tương tự ma trận mật độ rút gọn không gian xung lượng p '  (t ) p Trong  p  tập trực giao đầy đủ trạng thái đơn tuyến không gian xung lượng SVTH: Trần Thị Hà 47 GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha định lý Liuvin PHẦN KẾT LUẬN Trên toàn nghiên cứu đề tài “Không gian pha định lý Liuvin” Qua phần nghiên cứu rút số nội dung sau: Không gian pha không gian nhiều chiều, không gian hữu ích để nghiên cứu hệ nhiều hạt Việc xác định xác suất trạng thái vi mô (tức xác định hàm phân bố  ( X , t ) ) vấn đề then chốt vật lí thống kê Khi điểm pha miền không gian pha di chuyển hình dạng miền thay đổi thể tích không gian pha miền đại lượng bảo toàn Đó nội dung định lý Liuvin Một số dạng tập không gian pha định lý Liuvin thường gặp Do thời gian có hạn, mức độ nghiên cứu chưa sâu khóa luận nhiều hạn chế định Vì vậy, mong bảo thầy, cô ý kiến đóng góp bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện SVTH: Trần Thị Hà 48 GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha định lý Liuvin TÀI LIỆU THAM KHẢO Đỗ Xuân Hội - Vật lý thống kê nhiệt động lực học - 2003 Nguyễn Quang Báu, Bùi Bằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng - Vật lý thống kê - nxb Đại học quốc gia Hà nội – 1998 Nguyễn Hữu Mình – Cơ học lí thuyết – nxb Đại học quốc gia Hà nội – 1998 Nguyễn Hữu Mình, Tạ Duy Lợi, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường - Bài tập Vật lí lí thuyết - tập - nxb Đại học quốc gia Hà nội – 1998 Vũ Thanh Khiết – Nhiệt động lực học vật lí thống kê - nxb Đại học quốc gia Hà nội – 1998 SVTH: Trần Thị Hà 49 GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh [...]... luận tốt nghiệp Không gian pha và định lý Liuvin CHƯƠNG 2 ĐỊNH LÝ LIUVIN TRONG THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN 2.1 Định lý Liuvin Trong không gian pha, với thời gian, tập hợp các điểm biểu diễn pha chuyển từ một thể tích này sang thể tích khác Giả sử, ở một điểm nào đó, ta tách ra một thể tích dX 1 trong đó chứa dn  1dX 1 điểm biểu diễn pha của các hệ trong tập hợp thống kê Sau một khoảng thời gian nào đó, số các... Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha và định lý Liuvin Trở lại không gian pha, ta có thể viết được một phương trình tương tự vì có một sự tương tự hình thức giữa chuyển động của điểm biểu diễn pha với chuyển động của chất lỏng thực Có nghĩa là đối với không gian pha K, ta có thể lặp lại các lập luận giống như trên kia Muốn vậy, trong không gian pha ta đưa vào khái niệm vận tốc pha, đó là một vectơ có... pha và định lý Liuvin dạng có miền G) nhưng thể tích không gian pha của miền đó là đại lượng bảo toàn Đó là nội dung định lý Liuvin Định lý này là cơ sở để xây dựng vật lý thống kê cổ điển và lý thuyết thống kê các quá trình không cân bằng 2.5 Cân bằng thống kê Đối với hệ thực nằm trong trạng thái cân bằng nhiệt động, mật độ xác suất pha hay hàm phân bố thống kê  cần phải không phụ thuộc tường minh vào...  dqdp dt (v) So sánh (3.6) và (3.2) ta suy ra: (3.6)     , H  t Thay kết quả vào phương trình: d     , H     , H    , H   0 dt t (3.7) Như vậy hàm phân bố xác suất không thay đổi dọc theo quỹ đạo pha Đó là nội dung của định lý Liuvin SVTH: Trần Thị Hà 30 GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha và định lý Liuvin Từ định lý Liuvin ta suy ra một hệ quả... điểm biểu diễn pha của các hệ) chuyển động trong không gian pha có thể tích nguyên tố giữ nguyên không đổi về độ lớn mà chỉ có thể thay đổi về dạng Đó chính là định lý Liuvin Suy rộng các kết quả thu được, ta có thể nói rằng tập hợp pha chuyển động trong không gian pha với mật độ phân bố không đổi nhưng có thể bị biến dạng Gía trị căn bản của định lý Liuvin là: Nhờ nó ta chứng minh được giả thiết đã... động của tập hợp pha thống kê, nó đóng vai trò chủ đạo SVTH: Trần Thị Hà 22 GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha và định lý Liuvin trong việc giải quyết các vấn đề của lý thuyết thống kê về các quá trình cân bằng (hay vật lý thống kê cân bằng) Người ta gọi phương trình (2.16) là phương trình Liuvin 2.4 Chứng minh định lý Liuvin Ta nhắc lại một số khái niệm: Nguyên lý biến phân Hamintơn... Lagranggiơ là không đổi Trong các phương trình Hamintơn các tọa độ suy rộng qk và xung lượng suy rộng pk Trong không gian pha tức là không gian 2s chiều q1, q2 , , qs , p1, p2 , , ps thì trạng thái của cơ hệ ở thời điểm t được biểu diễn bằng một điểm Điểm này được gọi là điểm pha Theo thời gian trạng thái của cơ hệ thay đổi và do đó điểm pha vạch trong không gian một đường cong gọi là quỹ đạo pha Một tập... bằng một điểm pha, điểm pha này được gọi là điểm biễu diễn pha của hệ đó, và trạng thái của các tập hợp thống kê được biểu diễn bằng một tập hợp các điểm biểu diễn pha riêng biệt, gọi là tập hợp pha thống kê hay gọi tắt là tập hợp pha Bởi vì, các hệ trong tập hợp thống kê biến đổi với thời gian, cho nên các điểm biểu diễn pha của hệ đó chuyển động trong không gian pha và vạch ra các quỹ đạo pha, đồng thời... hàm phân bố thống kê có dạng:  ( X )  f H ( X , a ) Và nhiệm vụ của chúng ta là tìm biểu thức cụ thể của  (X) đối với các loại hệ khác nhau nằm trong trạng thái cân bằng nhiệt động SVTH: Trần Thị Hà 28 GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha và định lý Liuvin CHƯƠNG 3 ĐỊNH LÝ LIUVIN TRONG THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ 3.1 Định lý Liuvin – vai trò của năng lượng Trong mục này chúng ta sẽ... nào đó trong không gian pha thì mật độ phân bố  sẽ luôn luôn giữ không đổi Và khi đó, đẳng thức (2.4) chỉ rõ rằng, tại một chỗ nào đó trong không gian pha, nói chung  biến đổi với thời gian          qk  pk  0 và  t qk pk  t k  (2.13) Như vậy, nói chung là có sự biến thiên định xứ của mật độ phân bố Tại cùng một thời điểm, tại các chỗ khác nhau trong không gian pha, mật độ ... Không gian pha định lý Liuvin PHẦN KẾT LUẬN Trên toàn nghiên cứu đề tài Không gian pha định lý Liuvin Qua phần nghiên cứu rút số nội dung sau: Không gian pha không gian nhiều chiều, không gian. .. Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha định lý Liuvin CHƯƠNG ĐỊNH LÝ LIUVIN TRONG THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN 2.1 Định lý Liuvin Trong không gian pha, với thời gian, tập hợp điểm biểu diễn pha chuyển từ thể tích... tốt nghiệp Không gian pha định lý Liuvin dạng có miền G) thể tích không gian pha miền đại lượng bảo toàn Đó nội dung định lý Liuvin Định lý sở để xây dựng vật lý thống kê cổ điển lý thuyết thống