Giải tích vectơ trong không gian en và ứng dụng

Cung định hướng và trường vectơ tiếp xúc đơn vị Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương đương nói trên gọi là một cung định hướng trong En.. Trường vectơ tiếp xúc đơn vị Định nghĩa Cho  l

em trong suốt quá trình hoàn thành khoá luận này

Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế, mặc dù đã rất cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để khoá luận của em được hoàn thiện tốt hơn và có ứng dụng trong thực tế

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nộ, ngày 10 tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Đỗ Thị Ngọc

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận tốt nghiệp được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn của thầy giáo PGS-TS Nguyễn Năng Tâm, trong quá trình nghiên cứu tôi có sử dụng sách tham khảo của một số tác giả, các nhà nghiên cứu (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo)

Tôi xin cam đoan khoá luận là kết quả của bản thân trong quá trình học tập ở bậc Đại học, kết quả đề tài bảo đảm chính xác, khách quan, trung thực

Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2013 Sinh viên

Đỗ Thị Ngọc

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương I GIẢI TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN En 2

§1 Không gian vectơ Euclid n chiều 2

§2 Hàm vectơ 4

2.1 Định nghĩa 4

2.2 Phép toán trên các hàm vectơ 4

2.3 Giới hạn của hàm vectơ 7

2.4 Hàm vectơ liên tục 11

§3 Đạo hàm của hàm vectơ một biến số 12

3.1 Định nghĩa 12

3.2 Tính chất 12

3.3 Đạo hàm cấp cao 17

3.4 Đổi biến số 17

3.5 Nguyên hàm, tích phân của hàm vectơ 1 biến số 19

3.6 Nhận xét 20

Chương 2 ỨNG DỤNG 21

§1 Nghiên cứu đường trong En 21

1.1 Vectơ tiếp xúc 21

1.2 Cung tham số 22

1.3 Cung trong En 23

1.4 Cung chính quy 24

1.5 Cung định hướng và trường vectơ tiếp xúc đơn vị 27

1.6 Cung song chính quy 28

1.7 Công thức Frenet 29

§2: Nghiên cứu mặt trong E3 36

2.1 Mảnh tham số 36

2.2 Ánh xạ Weingarten 38 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

đề này còn được trình bày một cách sơ lược chưa được phân loại và hệ thống một cách chi tiết Xuất phát tư mong muốn và niềm đam mê tìm hiểu sâu sắc hơn về vấn đề này em quyết định chọn đề tài “Giải tích vectơ

trong không gian E và Ứng dụng” làm khoá luận tốt nghiệp n

2.Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của đề tài này là tìm hiểu và nâng cao kiến thức của

giải tích vectơ n chiều trong không gian En và ứng dụng của chúng

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Kiến thức về hàm vectơ, bán kính hàm vectơ, đạo hàm của hàm vectơ

và ứng dụng trong không gian En

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Khái niệm cơ bản trong giải tích vectơ n chiều trong không gian En

4 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích và tổng hợp tài liệu

Chương I

§1 Không gian vectơ Euclid n chiều

ịnh nghĩa 1 (xem [1.1], tr.5)

Không gian vectơ n-chiều trên trường số thực được gọi là không gian

vectơ Euclid n-chiều kí hiệu là En

nếu với mỗi cặp có thứ tự (a

b thỏa mãn các tiên đề sau đây:

ịnh nghĩa 2 (xem [1.1], tr.5)

Trong không gian Euclid n-chiều En là không gian afin liên kết với

không gian Euclid n-chiều En

Lưu ý rằng: với mọi điểm MEn, mọi x n

E



ta luôn tìm được duy nhất

điểm N của En sao cho MNx

gọi là một hệ toạ độ trực chuẩn của không

gian Euclid En và thường được gọi là hệ tọa độ Đề các vuông góc

Nếu {O,e , e , ,e } 1 2 n

là một hệ toạ độ trực chuẩn của không gian

(chuẩn/môđun) của vectơ 

Khoảng cách giữa 2 điểm M,NEn

X(u) x (u).e     x (u).e

gọi là các hàm toạ độ của hàm vectơ X

2.2 Phép toán trên các hàm vectơ (xem [1.3], tr.7)

Cho tập hợp U trong En cho các hàm vectơ X, Y : U  VEn

và hàm số : UR Ta định nghĩa:

a Tổng của hai hàm vectơ được xác định bởi

Suy ra (X.Y)(u)  (x y )(u)1 1 (x y )(u)2 2     (x y )(u)n n

x (u).y (u)1 1 x (u).y (u)2 2     x (u).y (u)n n (1)

(x y x y )(u),(x y x y )(u),(x y x y )(u)

(x (u).y (u)2 3 x (u).y (u), x (u).y (u)3 2 3 1 x (u).y (u),1 3

x (u).y (u)1 2 x (u).y (u))2 1 (3)

Mặt khác:

3 i i

Từ (3) và (4) suy ra (XY)(u) 

X(u)Y(u)

2.3 Giới hạn của hàm vectơ

2.3.1 Định nghĩa của điểm giới hạn (xem [3.1], tr.9)

Điểm u0 thuộc Em gọi là điểm giới hạn của tập hợp U thuộc Em nếu với mọi số thực   tồn tại điểm 0 uU \ u 0 sao cho du , u   0 

khi và chỉ khi các hàm số x : Ui R có giới hạn

là e khi u dần tới i u0với mọi i 1, , n :

Với mỗi số  0 tuỳ ý ta chỉ cần chỉ ra một số  0 sao cho u U,

du , u   kéo theo 0  | x (u)i e |i  

u U

  , du , u   kéo theo || X(u)0   e ||  

Vì mỗi i=1,2,…,n các hàm số x (u) có giới hạn i e khi u dần tới i u nên 0

(g(u).x (u),g(u).x (u), ,g(u).x (u))

g(u)(x (u), x (u), , x (u))

Mặt khác: X(u).Y(u)  x (u).y (u)1 1 x (u).y (u)2 2     x (u).y (u)n n

1 2 2 2 n 2

|| X || (u) ( (x ) (x )     (x ) )(u)

|| X || (u) (x ) (u) (x ) (u) (x ) (u)

|| X || (u) X(u).X(u) || X(u) ||

(theo định nghĩa giới hạn của hàm vectơ)

2.4 Hàm vectơ liên tục (xem [3.5], tr.12)

liên tục tại điểm u0U khi và chỉ

khi các hàm số x , , x liên tục tại 1 n u0U Từ đó X

§3 Đạo hàm của hàm vectơ một biến số 3.1 Định nghĩa (xem [3.5], tr.13)

Cho J là một khoảng trong R, xét hàm vectơ X : J  n

có đạo hàm tạit khi và chỉ khi các J

hàm số x , x , , x1 2 n có đạo hàm tại tJ Khi đó:

Hay X '(t) (x ) '(t).e1 1(x ) '(t).e2 2    (x ) '(t).en n

(ta có điều phải chứng minh)

hàm số là hàm hằng trên một khoảng khi và chỉ khi đạo hàm của nó bằng 0

tại mọi khoảng của nó bằng 0 tại mọi điểm của khoảng (điều phải chứng

minh)

c) Đạo hàm của hàm vectơ

Cho tập hợp U trong En cho các hàm vectơ X, Y : J  E ;n

((x ) '.y2 3x (y ) ' (x ) '.y2 3  3 2 x (y ) ',3 2

(x ) '.y3 1x (y ) ' (x ) '.y3 1  1 3x (y ) ',1 3

(x ) '.y1 2x (y ) ' (x )'.y1 2  2 1x (y ) ')2 1 (1)

(x ) '.y3 1x (y ) ' (x ) '.y3 1  1 3x (y ) ',1 3

(x ) '.y1 2x (y ) ' (x ) '.y1 2  2 1x (y ) ')2 1 (2)

(X (t) (t, t))k!

là hàm số có đạo hàm thì hàm vectơ

n(X ) : I E

i [ti 1 , t ]i

  khi max t i ti 1 0

b Nhận xét

Chương 2 ỨNG DỤNG Trong chương này ta tìm hiểu về một số ứng dụng của hàm vectơ trong

nghiên cứu đường và mặt trong En

§1 Nghiên cứu đường trong En 1.1 Vectơ tiếp xúc (xem [2.1], tr.11)

Nhắc lại rằng không gian Euclid En là một không gian afin liên kết với

không gian vectơ Euclid En

Hai điểm p,q của En xác định một vectơ n

Ta gọi mỗi phần tử  p (p, ) T.E  n

là một vectơ tiếp xúc của En tại

p TEn được gọi là tập các vectơ tiếp xúc của En

gọi T Ep n là không gian vectơ tiếp xúc của En tại p

Ta định nghĩa với mọi  p (p, )

vec tơ tiếp xúc của U tại p

1.2 Cung tham số (xem [2.4], tr.16)

Để nghiên cứu cung tham số người ta sử dụng hàm vectơ

được gọi là bán kính vectơ của đối với gốc O

Nói là cung tham số khả vi nếu là hàm vectơ khả vi

 là cung tham số khả vi: (t) a.e(t) bt.k

Cung tham số như trên gọi là cung đỉnh ốc tròn

1.3 Cung trong En (xem [1.1], tr.69)

Trong đó O là một điểm thuộc En, còn e ,e , ,e 1 2 n

là cơ sở trực chuẩn của

1.4 Cung chính quy (xem [1.2], tr.69)

a Điểm thuộc cung

thì nó được gọi là điểm kì dị

+ Cung  mà mọi điểm của nó đều chính quy được gọi là một cung chính quy

(a,b là các hằng số; a>0, b ) trong toạ 0

độ Decartes vuông góc (x,y,z) của E3, rõ ràng xác định một cung chính

cũng là đường thẳng qua O với vectơ chỉ phương n

nhưng 2 cung tham số

đó không tương đương '(t) 0

với mọi tR còn r '(u) 0

d Tiếp tuyến, pháp diện

Tiếp tuyến của cung  tại điểm chính quy t là đường thẳng đi qua 0

của điểm kí hiệu là (X , X , , X ) 1 2 n

Giả sử cung  xác định bởi:

Pháp diện của cung  tại từng điểm chính quy t0 là mặt phẳng (t )0

và cắt vuông góc với tiếp tuyến của  tại t0 Nếu (X , X , , X ) là toạ độ 1 2 nDescartes vuông góc thì phương trình pháp diện đó là:

1.5 Cung định hướng và trường vectơ tiếp xúc đơn vị

Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương đương nói trên gọi là một

cung định hướng trong En

Vậy ,r là 2 cung tương đương định hướng

b Trường vectơ tiếp xúc đơn vị

Định nghĩa

Cho  là cung định hướng trong En xác định bởi tham số hoá:

độc lập tuyến tính được gọi là một

điểm song chính quy

b) Một cung mà mọi điểm của nó đều là điểm song chính quy gọi là cung song chính quy

b Mệnh đề

a) Mọi cung song chính quy đều là cung chính quy

b) Một cung chính quy là song chính quy khi và chỉ khi nó có độ cong khác

0 tại mọi điểm

Như vậy, với mọi tR, '(t)

và ''(t)

là hai véctơ độc lập tuyến tính

trong E3 nên  là một cung song chính quy

d Trường vectơ pháp tuyến chính đơn vị

Giả sử T là trường vectơ pháp tiếp xúc đơn vị dọc với , trong tham số

hoá tự nhiên sr(s) của , T(s) r '(s)

 thì được trường vectơ N dọc  gọi là trường vectơ pháp

tuyến chính đơn vị dọc  Còn có thể viết đẳng thức xác định N đó dưới

ds  , k là hàm độ cong của 

e Trường vectơ trùng pháp tuyến chính đơn vị

 là một cung song chính quy định hướng trong En thì ta có trường vectơ tiếp xúc đơn vị T (xác định hướng) có tham số hoá tự nhiên sr(s)của , T(s) r '(s)

và trường vectơ pháp tuyến chính đơn vị N dọc , trong tham số hoá tự nhiên sr(s) của , T(s) r '(s)

Khi n=3, khi đó E3

đã có hướng thì xác định được trường vectơ đơn vị

BTN dọc  gọi là trường vectơ trùng pháp tuyến đơn vị dọc 

(Rõ ràng phương của B tại mỗi điểm là phương của trùng pháp tuyến của

Có T là trường vec tơ tiếp xúc đơn vị dọc cung  Giả sử E2 đã có hướng thì xác định được trường vec tơ dọc  sao cho {T,N} là trường mục tiêu trực chuẩn thuận dọc  gọi là trường mục tiêu trực chuẩn dọc  gọi là trường mục tiêu Frenet dọc ; với N là trường vectơ pháp tuyến đơn vị dọc

Gọi là công thức Frenet của , trong đó k là (hàm) độ cong của 

Ta đi chứng minh sự tồn tại của công thức trên

Giả sử cung  có tham số hóa tự nhiên sr(s) Trường vectơ DT

dskhông phụ thuộc tham số hóa đó Mặt khác, do {T,N} là trường mục tiêu

trực chuẩn thuận dọc  nên T.T=1, DT

ds .T=0 nên ta có

DTkN

ds  , với k là một hàm số dọc  là (hàm) độ cong của 

b Chú ý

Vì E2 có hướng , ta có thể nói đến độ cong của  trong E2, nó có thể mang giá trị dương hoặc âm Vì vậy k còn được gọi là độ cong đại số của

, khi đổi hướng của  thì độ cong (đại số) đổi dấu

c Độ cong của cung chính quy định hướng trong E2

*Công thức

Giả sử  là cung chính quy định hướng trong E2 (có hướng) và được

xác định bởi tham số hóa : JE , tn (t)

Lấy một tham số hóa tự nhiên r : IE2, sr(s) của  thì có phép đổi tham số : J để I  r ( >0)

Gọi {T,N} là trường mục tiêu dọc cung tham số r và coi độ cong k của

 là hàm số dọc r thì công thức Frenet cho:

Nên suy ra: 3

x ' y'' x '' y'k

Công thức trên gọi là công thức tính độ cong của cung chính quy định

hướng trong E2

Ví dụ Tính độ cong của cung tròn  có tham số hóa:

t (t)R.e(t) (R cos t, R sin t)(x(t), y(t))

Lời giải

Ta có:

x(t)R cos t, x '(t) R sin t, x ''(t) R cos t;

y(t)R sin t, y '(t)R cos t, y ''(t) R sin t

Thay vào công thức tính độ cong k ta có:

Cho  là một cung song chính quy định hướng trong E3 có trường

vectơ tiếp xúc đơn vị T, tham số hoá tự nhiên sr(s) của , T(s) r '(s)

(xác định hướng) và trùng vectơ pháp tuyến chính đơn vị N dọc 

Vậy cung song chính quy định hướng  trong E3, có trường mục tiêu trực chuẩn thuộc {T, N,B} dọc  gọi là trường mục tiêu Frenet dọc 

3

x '(t).y ''(t) x ''(t).y '(t)k(t)

(x ' (t) y ' (t))







b Độ cong, độ xoắn của cung song chính quy định hướng

Định nghĩa

Cho  là một cung song chính quy định hướng trong E3

Trường mục tiêu Frenet {T, N, B} dọc  ta có:

Khi nhân 2 vế của phương trình trên với T ta được B'Tx.T.Ty.N.T Vì

{T, N,B} là trường mục tiêu trực chuẩn thuận dọc  nên ta có: T.T 1 và

N.T0

Vậy B'.Tx.1 y.0 Từ đó ta suy ra: x=B’.T

Lại có: B.T=0 Đạo hàm hai vế ta được B’.T+B.T’=0

Thay x=B’.T với T’=k.N vào ta được x+ B.k.N=0

{T, N, B} là trường mục tiêu Frenet dọc cung song chính quy định

hướng  trong E3 (có hướng) Ta đã có:

gọi là công thức Frenet

*Nhận xét: Khi đổi hướng của một cung định hướng trong E3 (có hướng) thì T đổi hướng,N đổi hướng, B đổi hướng

Vì vậy độ cong k và độ xoắn  không đổi dấu (vì DB N

ds   ) Công thức tính độ cong, độ xoắn

Cung  có tham số hóa: t(t)

Độ cong của cung  là:

§2: Nghiên cứu mặt trong E3 2.1 Mảnh tham số (xem [1.1], tr.141)

2.1.1 Định nghĩa:

Mỗi ánh xạ khả vi r : UEn, (u, v)r(u, v); U mở trong R2 được

gọi là một mảnh tham số trong En

*Các đường toạ độ

a) Cố định v0 cho u thay đổi thì cung tham số: u r(u, v )0 được gọi là toạ

độ u đi qua (u , v ) : v0 0  v0

b) Cố định u cho v thay đổi, cung tham số :0 vr(u , v)0 được gọi là

đường toạ độ v đi qua (u , v ) : u0 0 u0

c) Có các trường vectơ tiếp xúc dọc các đường toạ độ: ur ' (u, v )u 0

tuyến tính thì được gọi là một điểm chính quy (r là một dìm tại (u , v ) ) 0 0

Trái lại, điểm (u , v ) gọi là điểm kì dị 0 0

b) Mảnh tham số r mà mọi điểm của nó đều chính quy được gọi là mảnh

tham số chính quy

Khi n đường thẳng đi qua 3 r(u , v ) và vuông góc với tiếp diện của 0 0

nó thì được gọi là pháp tuyến của mảnh tham số r tại điểm đó

2.1.3 Mảnh trong En

a Hai mảnh tham số tương đương

Cho hai mảnh tham số trong En:

là một trường vectơ đơn vị hoàn toàn xác định là vectơ chỉ phương của pháp tuyến trên S

2.2 Ánh xạ Weingarten

2.2.1 Cơ sở lí thuyết về ánh xạ Weingarten

1) Đa tạp 2-chiều (xem [2.2], tr.152)

Định nghĩa 1

Cho tập mở UR2 Khi đó ánh xạ r : UEn, (u, v)r(u, v) khả vi được gọi là mảnh tham số

Định nghĩa 2

Tập con S của En được gọi là một mảnh hình học nếu nó là ảnh của

một dìm, đồng phôi lên ảnh r : UEn từ tập mở UR2 vào En

Khi đó r gọi là tham số hoá của mảnh hình học S

Định nghĩa 3

Giả sử trong E3 với hệ toạ độ afin (x , x , x ) cho tập mở 1 2 3 UR2, ánh

xạ f : UR, (u, v)f (u, v) khả vi

S là tập con của En, tập con của S gọi là mở trong S nếu nó là giao của

S với một tập mở trong En Với p S , mọi tập con của S chứa một tập mở

trong S chứa p gọi là một lân cận p trong S

Tập con không rỗng S của En được gọi là đa tạp 2-chiều trong En nếu với mỗi p S có lân cận mở (của p trong S) là một mảnh hình học

Khi đó tham số hoá của mảnh hình học này được gọi là tham số hoá địa phương của đa tạp 2-chiều S

2) Phép tính vi phân trên đa tạp 2-chiều

Cho tập mở W trong E3, ánh xạ g : SW được gọi là ánh xạ khả vi

nếu mọi tham số hoá địa phương r : U ta đều có S g r : U W là ánh