Định thức gram với khoảng cách giữa các phẳng và thể tích m hộp trong không gian en

Mục đích nghiên cứu: Khóa luận nhằm mục đích giúp sinh viên có cái nhìn rõ hơn về hai vấn đề: công thức tính khoảng cách giữa các phẳng và thể tích m – hộp trong không gian dựa vào định

2 Mục đích nghiên cứu:

Khóa luận nhằm mục đích giúp sinh viên có cái nhìn rõ hơn về hai vấn đề: công thức tính khoảng cách giữa các phẳng và thể tích m – hộp trong không gian dựa vào định thức Gram

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

* Đối tượng nghiên cứu: + Định thức Gram với công thức tính khoảng cách giữa các phẳng + Định thức Gram với công thức tính thể tích m – hộp

* Phạm vi nghiên cứu: Công thức tính khoảng cách, thể tích m – hộp qua một số cơ sở lý thuyết và một số bài toán điển hình

Nguyễn Thị Mai 2 Lớp K33D

4 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Tìm hiểu công thức tính khoảng cách giữa các phẳng và thể tích m – hộp theo định thức Gram qua việc giải một số bài toán của chúng

5 Phương pháp nghiên cứu:

+ Phân tích các tài liệu + Tổng kết thành từng mục lý thuyết và bài tập

(i) M , ⇨ ! N : = (ii) M, N, P ta có: + = + – gọi là không gian nền của : = + Nếu là trường số thực hoặc phức thì ta nói là không gian afin thực hoặc phức

+ Nếu có số chiều dim = n ⇨ – n chiều, dim = n Kí hiệu:

1.1.2 Ví dụ:

Xét không gian vectơ n chiều bất kỳ, lấy lấy Xét : →

( , ) - = [( M, N )] (i) , , ! , – = ⇨ = +

Nguyễn Thị Mai 4 Lớp K33D

(ii) , ta có: + = – hay [( , )] + [( , )] = [( , )] Khi đó, ( , , ) là không gian afin n chiều

1.1.3 Một số hệ quả của định nghĩa:

a M thì = b M, N mà = thì M N c M, N thì = -

khác Nếu các vectơ là hệ độc lập tuyến tính thì

tuyến tính

1.1.5 Định lý:

Trong không gian afin n – chiều , luôn tồn tại những hệ m điểm độc lập với 1 m n + 1, mọi hệ gồm số điểm nhiều hơn n + 1 điểm bao giờ cũng không độc lập ta gọi là hệ phụ thuộc

Nguyễn Thị Mai 5 Lớp K33D 1.1.6 Định nghĩa các phẳng trong không gian afin:

Cho không gian afin liên kết với không gian vectơ Gọi I là một điểm của và là không gian vectơ con của

Khi đó tập: = { M / } được gọi là cái phẳng ( gọi tắt là “ phẳng “ ) qua I và có phương là

Nếu có số chiều là m thì gọi là phẳng m- chiều hay m – phẳng Như vậy: 0 – phẳng chính là 1 điểm

1 – phẳng là đường thẳng ( n – 1 ) – phẳng là siêu phẳng

1.1.7 Đơn hình m – chiều:

Đơn hình m – chiều là sự mở rộng của khái niệm tam giác trong không gian 2 chiều, hoặc tứ diện trong không gian 3 chiều

a) Định nghĩa: Cho m + 1 điểm độc lập Ta xét tập hợp gồm những điểm M sao cho ( với điểm O nào đó ):

= với = 1 và 0, i = 0, 1, … , m Tập hợp đó gọi là m – đơn hình với các đỉnh: và kí hiệu

b) Ví dụ:

Đơn hình 0 – chiều chính là một điểm Đơn hình 1 – chiều là đoạn thẳng Đơn hình 2 – chiều là tam giác Đơn hình 3 – chiều là tứ diện

Mặt bên 0 –chiều đỉnh của đơn hình Mặt bên 0 –chiều gọi là cạnh của đơn hình

1.1.8 Hình hộp m – chiều:

Hình hộp m – chiều là sự mở rộng của khái niệm hình bình hành trong không gian 2 chiều hoặc hình hộp trong không gian 3 chiều

a) Định nghĩa: Cho m + 1 điểm độc lập Tập hợp những điểm M sao cho: , với 0 1

được gọi là m – hộp b) Ví dụ:

Hộp 2 – chiều chính là hình bình hành Hộp 3 – chiều là hình hộp

Trong định nghĩa của m – hộp ta cho p tham biến nào đó bằng 0 thì ta được một hình hộp m – p chiều và gọi là mặt bên m – p chiều của hình hộp Do đó, mặt bên 0 – chiều của hình hộp gọi là đỉnh của hình hộp; mặt bên 1 – chiều gọi là cạnh của hình hộp

1.2 Không gian Ơclít:

Nguyễn Thị Mai 7 Lớp K33D

Cho không gian vectơ thực và một ánh xạ μ : → ℝ

mà ta kí hiệu là μ ; ) = Nếu ánh xạ này thỏa mãn 4 điều kiện sau thì ta gọi là một hàm tích vô hướng hay một tích vô hướng trên

(i) = (ii) ( + ) = + + ) =

(iii) (k ) = k( ) = (k ) (iv) ≥ 0 & = 0 ⇨ = (Với ; ; ; ; ; ; ℝ ) Số thực được gọi là tích vô hướng của hai vectơ , Cặp = ( , μ ) được gọi là một không gian vectơ Ơclít

1.2.2 Định nghĩa không gian Ơclít:

Một không gian afin liên kết với không gian vectơ còn được gọi là một không gian Ơclít và kí hiệu là

Nếu số chiều là n thì gọi là n chiều Kí hiệu:

1.2.3 Ví dụ:

a) Không gian Ơclít thông thường học ở phổ thông b) Mỗi không gian vectơ Ơclít hữu hạn chiều với cấu trúc afin chính tắc là một không gian Ơclít, chẳng hạn như

1.2.4 Định nghĩa khoảng cách giữa hai điểm:

Cho hai điểm M, N của không gian Ơclít ,khoảng cách giữa hai điểm đó kí hiệu là d( M, N ), được định nghĩa là số:

Nguyễn Thị Mai 8 Lớp K33D

d( M, N ) = =

1.2.5 Khoảng cách giữa hai phẳng:

a) Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai phẳng trong không gian , kí hiệu là d( ) là số: d( ) = infd( M, N ), M , N

Nếu = thì d( ) = 0 b) Định thức Gram:

* Định nghĩa: Trong không gian vectơ Ơclít cho m vectơ: ,

Kí hiệu: Gr( , ) =

Và gọi là định thức gram của hệ vectơ: { , } * Tính chất:

i) Gr( , ) 0 , , Do đó định thức Gram không phụ thuộc vào thứ tự các vectơ trong bộ

Gr( , ) = 0 khi và chỉ khi { , } là hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính

Suy ra Gr( , ) > 0 khi và chỉ khi hệ { , } độc lập tuyến tính

ii) Trong không gian vectơ Ơclít cho m vectơ bất kỳ , Khi đó ta có:

Gr( , ) …

Nguyễn Thị Mai 9 Lớp K33D

(bất đẳng thức Hadmard) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi { , } là hệ trực giao c) Khoảng cách giữa hai phẳng:

Cho hai cái phẳng của Giả sử không gian vectơ + có cơ sở ( , ) thì với điểm bất kỳ A , B , ta có:

d( , ) =

) Nếu , là 0 – phẳng thì:

d( , ) = Gr( ) = | | Điều này đúng với định nghĩa khoảng cách giữa hai điểm trong ; trong trường hợp n = 2, hoặc n = 3, ta trở về các công thức tính khoảng cách giữa hai điểm ở phổ thông trung học

) Nếu là 0 – phẳng, là m – phẳng qua B và có phương ,

Khi là 2 – phẳng, tức m = 2, lấy một cơ sở { } của thì:

( A, ) =

Khi n = 3, trong cơ sở trực chuẩn ε = của thì:

=

⇨ = (Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng đã biết ở phổ thông trung học )

) , là 1 – phẳng:

(i) Nếu là hai đường thẳng song song thì = , và m = 1, ta quay trở lại mục (i) ở phần b), và khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng này đến đường thẳng kia Điều này hoàn toàn phù hợp với kiến thức đã biết ở phổ thông

(ii) Nếu , là hai đường thẳng không song song , lấy các vectơ chỉ phương của , của thì:

Nếu thì A ≡ B ⇨ = ⇨ d(

( Với { } là cơ sở của ) Tức khoảng cách giữa là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng

) là 2 - phẳng, ∥ : ∥ ⇨ ⇨ + Chọn { } là cơ sở của

1.2.6 Thể tích của m – hộp trong :

Xét m – hộp H xác định bởi m + 1 điểm độc lập , , …,

Nguyễn Thị Mai 13 Lớp K33D

(1 n ) Ta đặt = , i = 1, 2, …, m

Thể tích của m – hộp được kí hiệu: V( H ) và được định nghĩa: V( H ) =

* Khi m = 1, hộp H là đoạn , lúc đó: V( H ) = = d( ) Vậy trong trường hợp này thể tích chính là độ dài đoạn thẳng * Khi m = 2, n = 2 thì 2 – hộp H gọi là hình bình hành và V( H ) =

chính là diện tích hình bình hành đã biết ở trường phổ thông

1.2.7 Thể tích của đơn hình:

Cho m – đơn hình S với các đỉnh , , …, ( 1 n ) Gọi H là m – hộp xác định bởi , , …, Thể tích của m – đơn hình S, kí hiệu là V( S ) và được xác định bởi công thức:

V ( S ) =

Khi m = 1 thì 1 – đơn hình là đoạn thẳng Thể tích của 1 – đơn hình chính là độ dài đoạn thẳng đó Khi m = 2, n = 2 thì 2 – đơn hình gọi là tam giác và thể tích của 2 – đơn hình gọi là diện tích, ta kí hiệu là S ( )

S ( ) =

Đó chính là công thức tính diện tích tam giác ở phổ thông trung học Khi m = 3, n = 3, thì 3 – đơn hình là tứ diện, 3 – hộp là hình hộp và

các cạnh của nó đều có độ dài bằng a (ta gọi đơn hình này là đơn hình đều, cạnh a)

a,Tính thể tích của b,Tính khoảng cách từ 1đỉnh đến (m - 1) mặt đối diện (khoảng cách này gọi là chiều cao của đơn hình đều)

c,Tính khoảng cách từ một đỉnh đến trọng tâm G của

Lời giải:

a, Ta có: = =

= + - 2

Nguyễn Thị Mai 15 Lớp K33D

= 2 - 2 ( i, j 0, i j ) Vậy với i j và i, j 0 thì:

Khi m = 2, 2 – đơn hình đều là tam giác đều cạnh a, khoảng cách từ một đỉnh

đến cạnh đối diện của tam giác đều là: a

c) G là trọng tâm của đơn hình , … , Có: đều cạnh a (i j k )

⇨ = cos ⇨ = ⇨ ( m + 1 ) + =

Bài 2: Trong với mục tiêu trực chuẩn { O, … , }

Gọi (i = 1, … , n ) là các điểm mà = , i = 1, … , n Tính thể tích của ( n – 1 ) – hộp H( ) Lời giải: Ta có: = - = ⇨ = ( ).( ) = ( i j )

=

( Kí hiệu nghĩa là không chứa trong tích )

⇨ V( H ) =

Nguyễn Thị Mai 20 Lớp K33D

Có : Gr

= … …

= (đpcm) * n= 3, ta có:

Nguyễn Thị Mai 21 Lớp K33D

Lời giải:

nên bất đẳng thức hiển nhiên đúng Nếu hệ độc lập tuyến tính thì ta trực giao hóa Gram Schmidt bộ để được bộ

; mà theo công thức trực giao hóa thì = , còn với k > 1

thì có dạng: = – ( ℝ ) hay là = +

Vì ⊥ , … , nên suy ra = , Bây giờ ta tính:

=

=

=

Nguyễn Thị Mai 22 Lớp K33D

=

= ……… ( tiếp tục làm cho đến cột thứ m ) Với i < j thì = ( + ) = = 0

( vì với

Với i = j thì = ( + ) = ( vì với Do đó:

được trực giao giao hóa thành bộ nên theo lập luận ở phần

trên ta có: Gr( ) = Vậy Gr( ) =

Nhưng Gr( ) = -

⇨ = 0, tức là Vì giá trị Gr( ) không phụ thuộc vào thứ tự các vectơ trong tập nên với mọi i j cho trước trong tập { 1, … , m } ta có thể cho ( i, j ) đóng vai trò ( 1, 2 ) và như thế ta được Nói cách khác

Bài 5: Trong cho m – đơn hình có các đỉnh Chứng minh rằng:

Nguyễn Thị Mai 24 Lớp K33D

Dấu bằng xảy ra khi nào?

Lời giải: Theo bất đẳng thức Hadmard ( bài tập 4 ) ta có:

Chứng minh rằng:

= + + … +

Lời giải: Đặt = ( i = 1, … , m ) ta có: = , ⊥ với i j

Gr , … , , , … , ) = … …

Gr , … , ) = …

Gr , … , ) = … Đặt = , = ( i = 1, …, m – k ) Theo qui tắc trực giao hóa ta có thể viết:

= = + , trong đó , ⊥ Do đó

= + ( ⊂ ) = + ( )

= ( + ) + với + , ⊥ ( + ) Do đó

= + ( ⊂ ) = +

( )

= ( + ) + với + , ⊥ ( + )

Nguyễn Thị Mai 28 Lớp K33D

Do đó ……… = + với , ⊥ Do đó ( i = 1, … , m – k )

Gr , … , , , … , )=Gr , … , )Gr , … , ) Suy ra: V( H ) V( ).V( )

Ngược lại, giả sử V( H ) V( ).V( ) thì:

Nguyễn Thị Mai 29 Lớp K33D

Từ = + , ⊥ , suy ra = 0, tức là = Do đó, = ( i = 1, … , m – k )

= = = = + - 2

= + - 2

Mà

c) Tính khoảng cách giữa hai mặt bên đối diện ,

KẾT LUẬN

Khóa luận đưa ra hai vấn đề: công thức tính khoảng cách giữa các phẳng và công thức tính m – hộp trong theo định thức Gram, cung cấp cho sinh viên một số kiến thức về hình học cao cấp, bước đầu giúp sinh viên có hướng tư duy phù hợp để giải quyết các bài tập hình học cao cấp Đồng thời qua đó chúng ta có cái nhìn rõ hơn về các công thức tính diện tích, thể tích đã biết ở phổ thông trung học ( ứng với n = 2 hoặc n = 3 ) Số lượng bài tập không nhiều, nhưng đó là những bài tập em đã cố gắng chọn ra phù hợp với đề tài “ Định thức Gram với khoảng cách giữa các phẳng và thể tích m – hộp trong không gian “ và được giải quyết một cách chi tiết Em hy vọng rằng khóa luận sẽ giúp các bạn giải quyết các bài toán có liên quan đến công thức tính khoảng cách và công thức tính thể tích m – hộp dễ dàng hơn và thu được kết quả tôt hơn

Nguyễn Thị Mai 32 Lớp K33D

Với thời gian chuẩn bị chưa nhiều cộng với vốn kiến thức cũng như kinh nghiệm nghiên cứu của bản thân còn hạn chế nên khóa lận khó tránh khỏi những thiếu sót Em rấy mong được sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến của thầy cô giáo và các bạn sinh viên để bổ sung cho đề tài hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2011

Sinh viên

Nguyễn Thị Mai

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Văn Như Cương, Tạ Mân (1998), Hình học afin và hình học Ơclit,

Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội

2 Phạm Khắc Ban, Phạm Đình Đô, Hình học afin và hình học Ơclit trên những ví dụ và bài tập, Nxb Đại học sư phạm

3 Hà Trầm, Bài tập hình học afin và hình học Ơclit, Nxb Đại học sư

phạm