Định thức gram với khoảng cách giữa các phẳng và thể tích m hộp trong không gian en

Mục đích nghiên cứu: Khóa luận nhằm mục đích giúp sinh viên có cái nhìn rõ hơn về hai vấn đề: công thức tính khoảng cách giữa các phẳng và thể tích m – hộp trong không gian dựa vào định

và không gian xạ ảnh Các vấn đề trong đó là rất phong phú và đa dạng, việc học tập của sinh viên có nhiều khó khăn khi mới bắt đầu Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về môn hình học và bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài “ Định thức Gram với khoảng cách giữa các phẳng và thể tích m – hộp trong không gian “

2 Mục đích nghiên cứu:

Khóa luận nhằm mục đích giúp sinh viên có cái nhìn rõ hơn về hai vấn đề: công thức tính khoảng cách giữa các phẳng và thể tích m – hộp trong không gian dựa vào định thức Gram

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

* Đối tượng nghiên cứu:

+ Định thức Gram với công thức tính khoảng cách giữa các phẳng

+ Định thức Gram với công thức tính thể tích m – hộp

* Phạm vi nghiên cứu:

Công thức tính khoảng cách, thể tích m – hộp qua một số cơ sở lý thuyết

và một số bài toán điển hình

Nguyễn Thị Mai 2 Lớp K33D

4 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Tìm hiểu công thức tính khoảng cách giữa các phẳng và thể tích m – hộp theo định thức Gram qua việc giải một số bài toán của chúng

5 Phương pháp nghiên cứu:

+ Phân tích các tài liệu

+ – gọi là không gian nền của : =

+ Nếu là trường số thực hoặc phức thì ta nói là không gian afin thực hoặc phức

+ Nếu có số chiều dim = n ⇨ – n chiều, dim = n

Nguyễn Thị Mai 4 Lớp K33D

(ii) , ta có: + = –

hay [( , )] + [( , )] = [( , )]

Khi đó, ( , , ) là không gian afin n chiều

1.1.3 Một số hệ quả của định nghĩa:

Cho không gian afin với nền là

Hệ 1 điểm của được gọi là một hệ điểm độc lập Hệ m + 1 điểm

( m 1 ) của không gian afin được gọi là hệ điểm độc lập nếu như hệ m vectơ là hệ độc lập tuyến tính trong

Trong định nghĩa này không đóng vai trò gì đặc biệt so với các điểm khác Nếu các vectơ là hệ độc lập tuyến tính thì

tuyến tính

1.1.5 Định lý:

Trong không gian afin n – chiều , luôn tồn tại những hệ m điểm độc lập với 1 m n + 1, mọi hệ gồm số điểm nhiều hơn n + 1 điểm bao giờ cũng không độc lập ta gọi là hệ phụ thuộc

Nguyễn Thị Mai 5 Lớp K33D

1.1.6 Định nghĩa các phẳng trong không gian afin:

Cho không gian afin liên kết với không gian vectơ Gọi I là một

điểm của và là không gian vectơ con của

Khi đó tập: = { M / }

được gọi là cái phẳng ( gọi tắt là “ phẳng “ ) qua I và có phương là

Nếu có số chiều là m thì gọi là phẳng m- chiều hay m – phẳng

Như vậy: 0 – phẳng chính là 1 điểm

1 – phẳng là đường thẳng

( n – 1 ) – phẳng là siêu phẳng

1.1.7 Đơn hình m – chiều:

Đơn hình m – chiều là sự mở rộng của khái niệm tam giác trong không

gian 2 chiều, hoặc tứ diện trong không gian 3 chiều

a) Định nghĩa:

Cho m + 1 điểm độc lập Ta xét tập hợp gồm những điểm

M sao cho ( với điểm O nào đó ):

Đơn hình 0 – chiều chính là một điểm

Đơn hình 1 – chiều là đoạn thẳng

Đơn hình 2 – chiều là tam giác

Đơn hình 3 – chiều là tứ diện

Nguyễn Thị Mai 6 Lớp K33D

Một đơn hình được hoàn toàn xác định bởi các đỉnh của nó

( các đỉnh này phải lập thành một hệ điểm độc lập )

Trong đơn hình n – chiều ta lấy p + 1 điểm nào đó ( 0 p

m – 1 ) thì tất nhiên p + 1 điểm đó cũng lập thành hệ điểm độc lập và nó xác định cho ta một đơn hình p – chiều, gọi là mặt bên p – chiều của đơn hình

đã cho Các điểm còn lại nếu có cũng lập thành một đơn hình m – (p + 1 ) chiều ( vì nó còn m – p đỉnh còn lại ) gọi là mặt bên đối diện của mặt bên p – chiều đã chọn

Mặt bên 0 –chiều đỉnh của đơn hình

Mặt bên 0 –chiều gọi là cạnh của đơn hình

Nguyễn Thị Mai 7 Lớp K33D

Cho không gian vectơ thực và một ánh xạ μ : → ℝ

mà ta kí hiệu là μ ; ) = Nếu ánh xạ này thỏa mãn 4 điều kiện sau thì

ta gọi là một hàm tích vô hướng hay một tích vô hướng trên

Số thực được gọi là tích vô hướng của hai vectơ ,

Cặp = ( , μ ) được gọi là một không gian vectơ Ơclít

1.2.2 Định nghĩa không gian Ơclít:

Một không gian afin liên kết với không gian vectơ còn được gọi là

một không gian Ơclít và kí hiệu là

Nếu số chiều là n thì gọi là n chiều

Kí hiệu:

1.2.3 Ví dụ:

a) Không gian Ơclít thông thường học ở phổ thông

b) Mỗi không gian vectơ Ơclít hữu hạn chiều với cấu trúc afin chính tắc

là một không gian Ơclít, chẳng hạn như

1.2.4 Định nghĩa khoảng cách giữa hai điểm:

Cho hai điểm M, N của không gian Ơclít ,khoảng cách giữa hai

điểm đó kí hiệu là d( M, N ), được định nghĩa là số:

Gr( , ) = 0 khi và chỉ khi { , } là hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính

Suy ra Gr( , ) > 0 khi và chỉ khi hệ { , } độc lập tuyến tính

ii) Trong không gian vectơ Ơclít cho m vectơ bất kỳ , Khi

đó ta có:

Gr( , ) …

) Nếu là 0 – phẳng, là m – phẳng qua B và có phương ,

(ii) Nếu , là hai đường thẳng không song song , lấy các vectơ chỉ phương của , của thì:

( Với { } là cơ sở của )

Tức khoảng cách giữa là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng

1.2.6 Thể tích của m – hộp trong :

Xét m – hộp H xác định bởi m + 1 điểm độc lập , , …,

Cho m – đơn hình S với các đỉnh , , …, ( 1 n )

Gọi H là m – hộp xác định bởi , , …, Thể tích của m – đơn hình S, kí hiệu là V( S ) và được xác định bởi công thức:

V ( S ) =

Khi m = 1 thì 1 – đơn hình là đoạn thẳng

Thể tích của 1 – đơn hình chính là độ dài đoạn thẳng đó

Khi m = 2, n = 2 thì 2 – đơn hình gọi là tam giác và thể tích của 2 – đơn hình gọi là diện tích, ta kí hiệu là S ( )

S ( ) =

Đó chính là công thức tính diện tích tam giác ở phổ thông trung học Khi m = 3, n = 3, thì 3 – đơn hình là tứ diện, 3 – hộp là hình hộp và

các cạnh của nó đều có độ dài bằng a (ta gọi đơn hình này là đơn hình đều, cạnh a)

* m = 2, 2 – đơn hình đều chính là tam giác đều cạnh a

diện tích tam giác đều được xác định bởi:

S ( ) = =

Nguyễn Thị Mai 16 Lớp K33D

* m = 3, 3 – đơn hình đều chính là tứ diện đều cạnh a

thể tích tứ diện đều cạnh a được xác định bởi:

Khi m = 2, 2 – đơn hình đều là tam giác đều cạnh a, khoảng cách từ một đỉnh

đến cạnh đối diện của tam giác đều là: a

c) G là trọng tâm của đơn hình , … ,

Có: đều cạnh a (i j k )

⇨ = cos

⇨ =

⇨ ( m + 1 ) + =

Nguyễn Thị Mai 17 Lớp K33D

⇨

⇨ =

=

=

= [ m + ] = ⇨ G = = a Vì vai trò bình đẳng giữa các đỉnh của nên khoảng cách từ một đỉnh bất kỳ đến trọng tâm G là: a * m = 2 thì 2 - đơn hình đều cạnh a là tam giác đều cạnh a, khoảng cách từ một đỉnh đến trọng tâm trong tam giác đều cạnh a là:

Bài 2: Trong với mục tiêu trực chuẩn { O, … , }

Gọi (i = 1, … , n ) là các điểm mà = , i = 1, … , n Tính thể tích của ( n – 1 ) – hộp H( ) Lời giải: Ta có: = - = ⇨ = ( ).( )

= ( i j )

Nguyễn Thị Mai 18 Lớp K33D

V ( H ) =

Có:

=

= =

+

= +

= +

Tiếp tục quá trình trên ta được: = +

⇨ =

Cứ tiếp tục quá trình đó được:

=

( Kí hiệu nghĩa là không chứa trong tích )

⇨ V( H ) =

Nguyễn Thị Mai 19 Lớp K33D

* n = 2, có: | | =

Bài 3: Đơn hình S( ) gọi là vuông tại đỉnh nếu

= 0 với i j, ( i,j = Ta xét ( m – 1 ) – đơn hình (

) Kí hiệu nghĩa là ta bỏ điểm trong tập các điểm

Nguyễn Thị Mai 21 Lớp K33D

Lời giải:

nên bất đẳng thức hiển nhiên đúng Nếu hệ độc lập tuyến tính thì ta trực giao hóa Gram Schmidt bộ để được bộ

; mà theo công thức trực giao hóa thì = , còn với k > 1

Khi trực giao hóa bộ để được bộ thì bộ

được trực giao giao hóa thành bộ nên theo lập luận ở phần

Bài 5: Trong cho m – đơn hình có các đỉnh

Chứng minh rằng:

từ đến ( m – 1 ) – phẳng qua , , (còn gọi h là chiều cao của ứng với đỉnh

Chứng minh rằng:

= + + … +

Lời giải:

Đặt = ( i = 1, … , m ) ta có: = , ⊥ với i j

Nguyễn Thị Mai 26 Lớp K33D

=

=

=

= … (2)

Từ (1) và (2) suy ra: =

= + + … +

Bài 7: Trong cho m - hộp {

} Gọi là hộp, hộp { }, và là ( m – k ) – hộp,

Chứng minh rằng: V( H ) V( ).V( )

Và dấu bằng đạt được khi và chỉ khi ⊥ với mọi i = 1, … , k và với mọi j = k + 1,… , m

Lời giải:

Nguyễn Thị Mai 27 Lớp K33D

Đặt = ( i = 1, … , k ), = (j = k + 1,… , m ) thì bộ ( , …

, , , … , ) độc lập tuyến tính Giả sử trực giao hóa Gram –

Schmidt bộ đó ta được bộ ( , … , , , … , ), còn trực giao hóa

Gram – Schmidt bộ ( , … , ) ta được bộ ( , … , ) Khi trực giao hóa bộ( , … , , , … , ) thì bộ ( , … , ) được trực giao hóa thành bộ ( , … , ) Theo lời giải của bài 4 ( ý a) ta có:

Gr , … , , , … , ) = … …

Gr , … , ) = …

Gr , … , ) = …

Đặt = , = ( i = 1, …, m – k ) Theo qui tắc trực giao hóa ta có thể viết:

Bài 8: Trong cho m - đơn hình có các đỉnh , ,

Kí hiệu là khoảng cách giữa hai điểm , Chứng minh rằng:

Nguyễn Thị Mai 31 Lớp K33D

3)Trong cho m - đơn hình đều cạnh a, có các đỉnh , , Cho một k – mặt bên và ( m – k – 1 ) – mặt bên đối diện của Gọi G, , lần lượt là trọng tâm của , ,

a) Chứng minh rằng G nằm trong đoạn [ ]

b) Chứng minh rằng đường thẳng là đường vuông góc chung của k – phẳng chứa và ( m – k – 1 ) – phẳng chứa

c) Tính khoảng cách giữa hai mặt bên đối diện ,

KẾT LUẬN

Khóa luận đưa ra hai vấn đề: công thức tính khoảng cách giữa các phẳng và công thức tính m – hộp trong theo định thức Gram, cung cấp cho sinh viên một số kiến thức về hình học cao cấp, bước đầu giúp sinh viên có hướng tư duy phù hợp để giải quyết các bài tập hình học cao cấp Đồng thời qua đó chúng ta có cái nhìn rõ hơn về các công thức tính diện tích, thể tích đã biết ở phổ thông trung học ( ứng với n = 2 hoặc n = 3 ) Số lượng bài tập không nhiều, nhưng đó là những bài tập em đã cố gắng chọn ra phù hợp với

đề tài “ Định thức Gram với khoảng cách giữa các phẳng và thể tích m – hộp trong không gian “ và được giải quyết một cách chi tiết Em hy vọng rằng khóa luận sẽ giúp các bạn giải quyết các bài toán có liên quan đến công thức tính khoảng cách và công thức tính thể tích m – hộp dễ dàng hơn và thu được kết quả tôt hơn

Nguyễn Thị Mai 32 Lớp K33D

Với thời gian chuẩn bị chưa nhiều cộng với vốn kiến thức cũng như kinh nghiệm nghiên cứu của bản thân còn hạn chế nên khóa lận khó tránh khỏi những thiếu sót Em rấy mong được sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến của thầy cô giáo và các bạn sinh viên để bổ sung cho đề tài hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2011

Sinh viên

Nguyễn Thị Mai

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Văn Như Cương, Tạ Mân (1998), Hình học afin và hình học Ơclit,

Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội

2 Phạm Khắc Ban, Phạm Đình Đô, Hình học afin và hình học Ơclit trên những ví dụ và bài tập, Nxb Đại học sư phạm

3 Hà Trầm, Bài tập hình học afin và hình học Ơclit, Nxb Đại học sư

phạm