Các bài toán về góc và khoảng cách giữa các phẳng trong không gian euclide hữu hạn chiều

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn Mục lục Trang Lời cảm ơn PHẦN I: GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI I Lý chọn đề tài II Phạm vi nghiên cứu III Mục đích chọn đề tài IV Ứng dụng đề tài PHẦN II: NỘI DUNG Chương I: Cơ sở lí luận §1 Sơ lược không gian Affine Không gian Affine 1.1 Định nghĩa Phẳng 2.1 Định nghĩa Giao phẳng 3.1 Định lí 3.2 Định nghĩa Vị trí tương đối phẳng 4.1 Định nghĩa 4.2 Một số tính chất §2 Sơ lược khơng gian Euclide Tích vô hướng 1.1 Định nghĩa 1.2 Tính chất tích vơ hướng Không gian euclide 2.1 Các định nghĩa Vũ Quang Huy – 09ST Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn Định nghĩa trực giao phẳng không gian vector Euclide 3.1 Định nghĩa 3.2 Định lí Biểu thức tọa độ tích vơ hướng 4.1 Biểu thức tọa độ tích vơ hướng 4.2 Hệ Một số vấn đề ma trận định thức Gram 5.1 Định lí 10 Khoảng cách 13 6.1 Định nghĩa 13 6.2 Đường vng góc chung 13 6.3 Các công thức tính khoảng cách 14 Thể tích hình hộp m-chiều khơng gian Euclide 16 7.1 Các định nghĩa 16 7.2 Cơng thức tính thể tích hình hộp m-chiều 16 Góc 21 8.1 Góc hai vector 21 8.2 Góc hai đường thẳng 21 8.3 Góc hai siêu phẳng 21 8.4 Góc đường thẳng siêu phẳng 21 Chương II: Các tốn góc khoảng cách khơng gian E n 23 §1 Các tập tính khoảng cách thể tích 23 §2 Một số tốn xác định góc 37 §3 Một số tập tổng hợp 42 §4 Một số tập đề nghị 49 PHẦN III: KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 Vũ Quang Huy – 09ST Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn Lời Cảm Ơn Tôi xin chân thành cảm ơn cô giáo Đinh Thị Văn nhiệt tình hướng dẫn, bảo, truyền đạt kinh nghiệm gợi mở ý tưởng giúp tơi hồn thành khóa luận Tơi xin chân thành cảm ơn thầy, giáo khoa Tốn Trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ, đóng góp ý kiến quỹ báu giúp tơi hồn thành tốt khóa luận tố nghiệp Tơi xin cảm ơn phịng thư viện Trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng tạo điều kiện thuận lợi để tơi có nguồn tài liệu làm khóa luận Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè người ln ủng hộ tôi, cung cấp cho thông tin cần thiết, lời động viên, khích lệ chân thành ý kiến q báu thời gian tơi làm khóa luận Đà Nẵng, tháng năm 2013 Sinh viên thực Vũ Quang Huy Vũ Quang Huy – 09ST Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn PHẦN I: GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI I Lý chọn đề tài Toán học có nguồn gốc thực tiễn, có vai trị to lớn đời sống khoa học kĩ thuật, giúp rèn luyện phương pháp suy luận, giải vấn đề, rèn luyện trí thơng minh sáng tạo Đồng thời rèn luyện đức tính cần cù, nhẫn nại, tự lực cánh sinh nên dù học ngành nào, cơng tác kiến thức tốn học quan trọng Ở trường phổ thơng, mơn tốn mơn học quan trọng, hay, địi hỏi nhiều tư duy, kĩ Đặc biệt mơn hình học, môn học trừu tượng khiến học sinh tương đối vất vả Hình học mơn học xuất sớm Con người phải đo đạc ruộng, đong thóc gạo thu hoạch Lúc mơn hình học đời khoa học đo đạc người lại nghiên cứu nhiều vấn đề phức tạp Do hình học trở thành mơn khoa học thực người nêu lên tính chất hình học đường suy diễn chặt chẽ Hệ tiên đề hình học lấy mơ hình từ không gian vật lý theo nhận thức khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng Từ ba khái niệm Euclide xây dựng thành nội dung toàn mơn hình học phổ thơng Sau gọi hình học Euclide Hình học Euclide mơn học hay, quan trọng sinh viên Trong mơn học ta biết cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách hai đường thẳng, mặt phẳng, tính thể tích, góc vận dụng vào việc giải tốn phổ thơng nhanh hơn, ngắn gọn Chính tơi xây dựng đề tài nhằm nghiên cứu vấn đề xoay quanh việc tính khoảng cách, góc khơng gian Euclide hữu hạn chiều Vũ Quang Huy – 09ST Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn Với lý nên tơi chọn đề tài: “Các tốn góc khoảng cách phẳng không gian Euclide hữu hạn chiều” II Phạm vi nghiên cứu Đề tài tìm hiểu, nghiên cứu đưa lời giải, cách giải cho số dạng tốn tính khoảng cách góc Đồng thời mở rộng vấn đề có liên quan đến khoảng cách góc thể tích Ngồi cịn vận dụng cơng thức tổng qt góc, khoảng cách, thể tích để áp dụng vào khơng gian Euclide ba chiều trung học phổ thơng III Mục đích đề tài Đề tài nghiên cứu công thức, cách giải, trình bày lời giải tốn tính góc, khoảng cách, thể tích khơng gian Euclide hữu hạn chiều nhằm thấy tương ứng không gian Euclide ba chiều khơng gian Euclide có số chiều lớn ba IV Ứng dụng đề tài Đề tài sử dụng cho tất sinh viên khoa Toán, giáo viên dạy Toán THPT nhằm củng cố, mở rộng số kiến thức không gian Affine, khơng gian Euclide, đại số tuyến tính Vũ Quang Huy – 09ST Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN §1: SƠ LƯỢC VỀ KHƠNG GIAN AFFINE KHƠNG GIAN AFFINE 1.1 Định nghĩa Cho V không gian vectơ trường K A tập hợp khác rỗng mà phần tử gọi điểm.Giả sử có ánh xạ f: A  A  V (M,N) f (M,N)  MN Thỏa mãn hai điều kiện sau i ii Với điểm M thuộc A vectơ v  V có điểm N thuộc A sau cho MN  v Với ba điểm M,N,P tùy ý thuộc A ta có f (M,N) + f (N,P) = f (M,P) hay MN  NP  MP Khi ta nói A không gian affine, hay đầy đủ A không gian affine trường K liên kết với không gian vectơ V Không gian vectơ V liên kết với khơng gian affine A cịn kí hiệu A gọi không gian affine A Khi K=R ta nói A khơng gian affine thực Khi K=C, ta nói A khơng gian affine phức Đơi ta nói A K-không gian affine để nhấn mạnh trường K (A, A ,f ) ký hiệu đầy đủ khơng gian affine Trong trường hợp khơng có điều gây nhầm lẫn, để đơn giản ta ghi vắn tắt A(K) A ⃗⃗ không gian vector n-chiều ta nói A khơng gian affine nKhi 𝑨 chiều dùng ký hiệuAn để nhấn mạnh số chiều A Ký hiệu số chiều A dimA Như Vũ Quang Huy – 09ST Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn dim A = dim⃗⃗⃗𝑨 Nếu khơng nói thêm khơng gian affine không gian affine nchiều trường K trường số thực R trường số phức C Tuy vậy, số phần liên quan đến siêu mặt bậc hai trọng đến việc trình bày khơng gian thực Ví dụ a) Đối với hình học giải tích PTTH, cần phân biệt không gian ba chiều thông thường, không gian gồm điểm (ký hiệu E3) không gian vector “tự do” (ký hiệu V3 ) Xét ánh xạ f: E3  E3  V3 (M,N) MN Khi f thỏa mãn điều kiện i) ii) Vậy E3 không gian affine Tương tự ta có E2 khơng gian affine b) Cho V không gian vectơ Nếu ta xem vectơ V điểm xét ánh xạ f: V  V  V  a, b    f a, b = a  b Ánh xạ f xác định thỏa mãn hai điều kiện i) ii) nên V trở thành không gian affine liên kết với Một số tính chất a) MN  M  N b) MN   NM c) MN  PQ  MP  NQ d) MN  PN  PM PHẲNG 2.1 Định nghĩa ⃗⃗ ,f ) không gian affine, P điểm thuộc A  Cho (A,𝑨 ⃗⃗ Tập hợp không gian vectơ 𝑨   {M  A: PM  } Gọi phẳng qua P với không gian phương  Nếu dim  = m ta nói  m- phẳng viết dim  = m Siêu phẳng phẳng có đối chiều Nhận xét Vũ Quang Huy – 09ST Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán a) Nếu  phẳng qua P P   M , N   , vectơ MN  b) 0- phẳng tập hợp gồm điểm c) Điểm P định nghĩa phẳng bình đẳng với điểm khác phẳng d) Giả sử  phẳng qua P với phương   là phẳng qua  P   Q với phương  Khi         e) Phẳng xem không gian affine GIAO GIỮA CÁC PHẲNG 3.1 Định lí : Cho i : i  I  họ không rỗng phẳng không gian affine A Nếu iI i  {M  A : PM  phẳng có phương 3.2 Định nghĩa: iI iI iI  i } khác rỗng iI i i i  {M  A : PM  iI  i } định lí gọi phẳng giao phẳng  i VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA CÁC PHẲNG 4.1 Định nghĩa Hai phẳng   gọi cắt cấp r    rphẳng Hai phẳng   gọi chéo cấp r        dim     r Hai phẳng   gọi song song       4.2 Một số tính chất Định lí 1: Cho hai mặt phẳng song song   Nếu            Định lí 2: Qua điểm A có m- phẳng song song với m phẳng cho Định lí 3: Trong khơng gian affine n chiều 𝑨 cho siêu phẳng  m-phẳng  với 1  m  n  1 Khi   song song cắt theo  m  1 -phẳng Vũ Quang Huy – 09ST Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn §2:SƠ LƯỢC VỀ KHƠNG GIAN EUCLIDE TÍCH VƠ HƯỚNG 1.1 Định nghĩa: Cho V không gian vector tường số thực xét phép toán f ( hay ánh xạ f) f: V  R  a, b    f a, b : a.b Thỏa mãn bốn tiên đề sau a) a.b  b.a b) a b  c  a.b  a.c       c) .a b   a.b với   R d) a.a  , dấu “=” xảy kho a  Một không gian vector tran bị thêm tích vơ hướng hai vector trở thành khơng gian vector Euclide 1.2 Tính chất tích vơ hướng    a.b | a | | b | cos a, b  | a |2  a | a | a  a  b  a.b  KHÔNG GIAN EUCLIDE 2.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1: Không gian affine thực gọi không gian Euclide không gian liên kết không gian vector Euclide Định nghĩa 2: Cho E n không gian Euclide n- chiều Một mục tiêu affine E n gọi mục tiêu trực chuẩn sở tương ứng n sử trực chuẩn E Tọa độ điểm M  E n mục tiêu trực chuẩn gọi tọa độ trực chuẩn Nhận xét: a) Tọa độ điểm M không gian Euclide n chiều mục tiêu trực chuẩn E0 , Ei  gọi tọa độ trực chuẩn Vũ Quang Huy – 09ST Trang Khóa luận tốt nghiệp M  x1, x2 , , xn  Khoa Toán E0 Ei   E0 M  x1 E0 E1  x2 E0 E2   xn E0 En   b) Trong E n , xét công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu trực chuẩn O, ei   sang mục tiêu trực chuẩn O ', ei'  x  A x '  a (*)   sang sở trực chuẩn A ma trận chuyển từ sở trực chuẩn ei e  nên A ma trận trực giao ' i c) Ngược lại cơng thức có dạng (*) với A ma trận trực giao công thức chuyển mục tiêu từ mục tiêu trực chuẩn cho sang mục tiêu trực chuẩn hoàn toàn xác định ĐỊNH NGHĨA SỰ TRỰC GIAO GIỮA CÁC PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN VECTOR EUCLIDE Nếu hình học affine, hai phẳng nói đến vị trí tương đối : cắt nhau, song song chéo hình học Euclide ta có vị trí tương đối trực giao (vng góc) 3.1 Định nghĩa Hai phẳng   không gian Euclide E gọi trực giao (hay vng góc) với nhau, kí hiêu    , phương chúng không gian vector trực giao E Nếu phương   bù trực giao E , ta nói   bù trực giao Chú ý: Theo định nghĩa, hai phẳng   trực giao      , nên     {0} Từ suy dim    = dim  dim  Do  Nếu dim  + dim   n   khơng trực giao (Trong không gian Euclide chiều, hai mặt phẳng trực giao có định nghĩa hai mặt phẳng vng góc phổ thơng )  Nếu   bù trực giao dim  + dim   n Hay     En Vũ Quang Huy – 09ST Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn §3 : MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Trong E n tìm tập hợp tất điểm M cho M cách a) Hai điểm phân biệt cho trước b) Hai siêu phẳng cho trước Giải Giả sử ta có hai điểm A  a1 , a2 , , an  B  b1 , b2 , , bn  phân biệt thuộc E n Gọi M  x1 , x2 , xn   E n M cách hai điểm A , B n  x  a  AM  BM  i 1 i i  n  x  b  i 1 i i n n    xi      xi  bi  i 1 i 1 n n n n n n i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1   xi2  2 xi  ai2   xi2  2 xi bi  bi2  2 xi  ai2  2 xi bi  bi2 n n n i 1 i 1 i 1  2 xi  2 xi bi  ai2  bi2    xi   bi   ai2  bi2 0 Vậy điểm M thuộc siêu phẳng   có phương trình ai2  bi2 xi   bi   0  i 1 n Siêu phẳng có vector pháp tuyến n   a1  b1 , a2  b2 , , an  bn   BA Với xi   bi i  1, n  thỏa mãn phương trình siêu phẳng  Suy siêu phẳng  a b   a b a b qua điểm I  1 , 2 , , n n  trung 2   điểm đoạn thẳng AB Vậy điểm M nằm siêu phẳng  qua trung điểm I AB bù trực giao với đường thẳng AB b) Cho hai siêu phẳng  P   Q  E n Gọi M  x1 , x2 , xn  điểm thuộc E n M cách hai siêu phẳng d  M ,( P)   d  M ,  Q   Vũ Quang Huy – 09ST  P Q  Trang 42 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán TH1: Nếu  P   Q  trùng với M E n ta có d  M ,( P)   d  M ,  Q   Vậy tập hợp điểm M lúc toàn không gian En TH2: Nếu  P   Q  song song phương trình hai siêu phẳng có dạng  P  : a1 y1  a2 y2   an yn  a0  Với a0  b0 n a i 1 i  Q  : a1 y1  a2 y2   an yn  b0  0 n d  M ,( P)   d  M ,  Q    a x  a i 1 i i n n  xi  a0  i 1 n a x i 1 i i n  a i 1  a x  b i i i 1 n a i i 1 i  b0 n n a x  a  xi  b0  a0  b0  i i  i 1 i 1 (Vì a0  b0 )  n  n n  2 xi  b0  a0   a x  a   a x b  i 1  i i i i   i 1 i 1 n n i 1 i 1  2 xi  b0  a0    xi  b0  a0 0 b0  a0  Siêu phẳng  i 1  Q  Áp dụng cơng thức tính khoảng cách n Vậy điểm M nằm siêu phẳng  :  xi  song song với hai siêu phẳng  P  hai siêu phẳng ta thấy khoảng cách   P  khoảng cách   Q  Bài 2: Trong E n cho hai điểm phân biệt A,B số thực dương k Tìm tập hợp điểm M  E n cho d  M , A  d  M , B   k 2 Giải Giả sử A  a1 , a2 , , an  B  b1 , b2 , , bn  M  x1 , x2 , , xn  thuộc E n Vũ Quang Huy – 09ST Trang 43 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán n n n i 1 i 1 i 1 n n n i 1 i 1 i 1 Ta có d  M , A    xi2   xi   ai2 ; d  M , A    xi2   xibi   bi2 Suy 2 n n n i 1 i 1 i 1 d  M , A   d  M , B    xi2   xi (ai  bi )   ai2  bi2  k 2 n n n i 1 i 1 i 1   xi2   xi (ai  bi )   ai2  bi2  k  Vậy tập hợp điểm M siêu mặt bậc hai E n có phương trình n n  x   x (a i 1 i i 1 i i n  bi )   ai2  bi2  k  i 1 Bài 3: Trong E n cho siêu phẳng qua điểm A1   a1 ,0, ,0  A2   0, a2 , ,0  An   0,0, , an  Hãy tìm khoảng cách từ gốc tọa độ tới siêu phẳng Giải:  A1 A2   a1 , a2 ,0, ,0    A A   a1 ,0, a3 , ,0  Ta có     A1 An   a1 ,0,0, , an  Các vector A1 Ai   với i  2, n độc lập tuyến tính có định thức cấp hai khác không Gọi  phẳng qua điểm  Ai i 1  nhận n-1 vector A1 Ai n   với i  2, n làm sở Với X  x1 , x2 , , xn  thuộc E n Vũ Quang Huy – 09ST Trang 44 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán X  x1 , x2 , , xn     A1 X  t1 A1 A2  t2 A1 A3   t n1 A1 An  x1  a1  a1  t1  t2   tn 1   x1  a1   a1   a1   a1   x   a  0  0  2  x2  t1a2            x3    t1 0   t2  a3    tn1 0    x3  t2 a3                   x   0       xn  tn 1an a    n   n     x1  a1  a1  t1  t2   tn 1    x2  t  a2  x    t2  a3    xn  t n 1 a  n * Thay giá trị t1 , t2 , tn1 vào phương trình (*) x x x  x x x Ta có x1  a1  a1     n      n  an  a1 a2 an  a2 a3 Vậy siêu phẳng  qua điểm  Ai i 1 có phương trình n Siêu phẳng  x x1 x2    n  a1 a2 an 1 1 nhận n   , , ,  làm vector pháp tuyến Áp dụng an   a1 a2 cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến siêu phẳng ta có dO ,   | 1|  1    a12 a22 an n a i 1 i Bài 4: Trong không gian Euclide E ,với mục tiêu trực chuẩn chọn, cho điểm A 1, 2,0,1  , B  2, 2,1,1 , C  3,3,0,  , D 1,1, 2,0  Vũ Quang Huy – 09ST Trang 45 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn a) Viết phương trình tổng quát phẳng P có số chiều bé chứa điểm A, B, C, D b) Gọi Q phẳng qua điểm M  0,1,0,  có hai vector phương a   0,1, 2,1 b   3,1,1,1 Hãy xét vị trí tương đối P Q c) Tính khoảng cách từ điểm M tới phẳng P Giải a) Ta có AB  1,0,1,0  ; AC   2,1,0,1 ; AD   0, 1, 2, 1 Giả sử AD  mAB  nAC m, n số thực không đồng thời Khi 0  m  n 1  n m    Vậy AD  2AB  AC nên ba vector không  n    m    1  n độc lập tuyến tính Suy bốn điểm A, B, C, D không độc lập Tương tự ta kiểm tra AB, AC hai vector độc lập tuyến tính Từ phẳng P qua A nhận AB, AC làm vector phương M  x1 , x2 , x3 , x4   E  x1   1   2  x  2 0 1    t  t   M  ( P)  AM  t1 AB  t2 AC   x3   1  0        0 1   x4    x1   t1  2t2 x   t2   Sau khử tham số ta phương trình tổng x  t   x4  t2  x1  x3  x4  1 quát phẳng ( P )   x2  x4  Vũ Quang Huy – 09ST Trang 46 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán b) Hai vector a b biểu diễn tuyến tính qua hai vector AB, AC Mặt khác điểm M  0,1,0,  thuộc Q , không thuộc P nên ta suy hai   phẳng P Q song song Và hệ hai vector a, b độc lập tuyến tính nên phẳng Q có số chiều với phẳng P c) Gọi R phẳng qua M bù vng góc với phẳng P Khi R nhận hai vector độc lập u  1, 3, 2,0  v   0,1,0, 1 làm sở cho không gian phương  x1  t1 x   t2  Từ suy phẳng R có phương trình tham số   x3   t1  x4   2t1  t2 Tọa độ giao điểm H phẳng R phẳng P nghiệm hệ  t    t   x1  t1 2 x    t2   x1   x3   t1   1    Vậy H  , , ,   4 4 4 x   x4   2t1  t2   x1  x3  x4  1    x2  x4   x3      x4   Từ d  M , P   MH  Q Do P Q song song nên khoảng cách P Vũ Quang Huy – 09ST Trang 47 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Vũ Quang Huy – 09ST Trang 48 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn §4 : MỘT SỐ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Viết phương trình  n  m  - phẳng qua điểm cho trực giao với m-phẳng cho Bài 2: Trong E với mục tiêu trực chuẩn cho trước a) Viết phương trình tổng quát 2-phẳng  qua ba điểm A 1,0,0,1 , B  2,3,3,  C  4,1,0,  b) Viết phương trình 2-phẳng  qua điểm D 1, 2,0, 12  bù vơng góc với  E c) Tính khoảng cách từ điểm D đến 2- phẳng  Bài 3: Trong E n cho siêu phẳng  đường thẳng d bù vng góc với  Giả sử d cắt  H Lấy A  d B  tùy ý Chứng minh d  A, H   d  H , B   d  A, B  (Định lý Pitagore) 2 Bài 4: Trong E với mục tiêu trực chuẩn cho trước, cho đường thẳng d mặt phẳng  có phương trình  x1  x2   d : 2 x2  x3    : x1  x2  x3   Chứng minh , d song song với  tính khoảng cách d  Bài 5: Trong E với mục tiêu trực chuẩn cho trước, xét vị trí tương đối hai phẳng   biết phương trình tham số chúng là: Vũ Quang Huy – 09ST Trang 49 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn  x1   v  x   3u  4v   :  x3  u  3v  x4   3u  11v  x1  2t x    :   x3  1  3t  x4   t Bài 6: Trong E với mục tiêu trực chuẩn cho trước, xét vị trí tương đối tính khoảng cách hai phẳng   biết phương trình tổng quát chúng  : x1  x2  3x3  x4   3  x1  x2   : 4 x1  x2  x3  2 x  x  x   Bài 7: Trong E với mục tiêu trực chuẩn cho trước, tính khoảng cách từ a) Điểm A 1, 2,4,1  đến siêu phẳng  có phương trình x1  4x2  8x3   b) Điểm B  0,2,8, 1  đến đường thẳng có phương trình  x1   t  x  2t    x3  1  t  x4  Bài 8: Trong E với mục tiêu trực chuẩn cho trước tính khoảng cách phẳng  x1  x2  x4   2 x2  x3  x4    : Vũ Quang Huy – 09ST Trang 50 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán 2 x1  x2  x3  11   x2  x3  x4  17   : Bài 9: Trong không gian Euclide E , cho điểm A 1,1, 1, 1 phẳng Q  x1  x2  x3  x4  cho phương trình  Tính khoảng cách từ điểm A đến x  x  x  x  2  phẳng Q Bài 10: Trong E tìm điểm đối xứng điểm A 1, 2,3,  qua a) Siêu phẳng x1  x2  x3  x4   2 x1  x2  x3  x4   b) Mặt phẳng   x1  x2  x3  x4   Bài 11: Trong E n (n  1) với mục tiêu trực chuẩn cho trước, cho đường thẳng d có phương trình tham số  x1  b1  c1t x  b  c t  2    xn  bn  cnt siêu phẳng  có phương trình tổng qt a1x1  a2 x2   an xn  a0  Hãy xác định số đo góc d  Bài 12 : Trong không gian Euclide E với mục tiêu trực chuẩn E0 ; E1; E2 ; E3 ; E4 a) Lập phương trình tổng quát phẳng P có số chiều bé chứa điểm E1 , E2 , E3 Vũ Quang Huy – 09ST Trang 51 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn b) Lập phương trình tổng quát phẳng Q bù vng góc với P qua điểm M 1, 2,3,  c) Tính khoảng cách từ M tới phẳng P Bài 13: Trong E với mục tiêu trực chuẩn cho trước xác định số đo góc đường thẳng sau  x1  x2  x3   a) d1 :   x1  x3    x1  x2  x3   d2 :  2 x1  x2  x3  10   x1  x2  x3   b) d1 :   x1  x2  x3   2 x1  x2  x3  10  d2 :   x1  x2   Bài 14: Tìm quỹ tích điểm M cách siêu phẳng  cho trước khoảng cách h cho trước Bài 15: Trong E n tìm quỹ tích a) Những điểm cách hai điểm A,B phân biệt cho trước b) Những điểm cách ba điểm A,B,C độc lập cho trước Bài 16: Tìm độ dài đường chéo hình lập phương n- chiều cạnh a không gian E n Bài 17: Trong E n cho mục tiêu trực chuẩn E0 ; Ei  , i  1,2, , n Trên đường thẳng E0 Ei ta lấy điểm Ai không trừng với gốc mục tiêu E0 a) Chứng minh hệ n điểm A1, A2 , , An độc lập lập phương trình siêu phẳng P xác định n điểm Ai độc lập b) Gọi h khoảng cách từ E0 tới siêu phẳng P gọi khoảng cách d  E0 Ai  , i  1,2, , n Chứng minh hệ thức Vũ Quang Huy – 09ST n 1   h2 i 1 ai2 Trang 52 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn PHẦN III: KẾT LUẬN I Nhận xét đánh giá chung đề tài Kết đạt -Đề tài dẫn dắt từ khái niệm ban đầu, định lý hình học Euclide, khái niệm tính chất, cơng thức tính khoảng cách, góc, thể tích không gian Euclide đến số vấn đề phức tạp -Các tập đưa có chọn lọc phân loại cho dạng hợp lí Mỗi dạng có đưa phương pháp giải lời giải cụ thể cho tập -Các tập xếp theo trình tự từ dễ đến khó, giúp người đọc phát triển tư rèn luyện kĩ giải tốn hình học góc, khoảng cách không gian Euclide cách logic, hệ thống -Phận cụ thể có tập áp dụng hợp lí, sau đưa số tập tổng hợp Hạn chế Với kiến thức có hạn thời gian cịn hạn chế, đề tài tránh khỏi thiếu sót sai lầm, phương pháp giải có phần áp đặt, chưa thể tìm nhiều cách giải cho toán Đồng thời đề tài chưa thể khai thác hết tất dạng toán liên quan đến góc khoảng cách khơng gian Euclide hữu hạn chiều II Hướng phát triển đề tài Đề tài hi vọng tiếp tục nghiên cứu kết hợp với nhiều giáo viên có kinh nghiệm để phát triển bổ sung thêm dạng toán thường gặp góc khoảng cách khơng gian Euclide hữu hạn chiều Tôi mong nhận ủng hộ đóng góp ý kiến thầy giáo bạn để đề tài ngày hoàn thiện Vũ Quang Huy – 09ST Trang 53 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn Cuối tơi xin chân thành cảm ơn q thầy bạn có ý kiến đóng góp cho tơi để tơi có thêm kinh nghiệm sau này, có hành trang chuẩn bị tốt trường hòa nhập vào sống vững vàng Vũ Quang Huy – 09ST Trang 54 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Mộng Hy, “Hình học cao cấp”, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Mộng Hy, “Bài tập hình học cao cấp” ,NXB Giáo Dục [3] Jean- Marie Monier (1997), “Giáo trình tốn học tập 7- Hình học”, NXB Giáo Dục [4] PGS-TS Mỵ Vinh Quang (2006) , “Giáo trình Đại số tuyến tính”, NXB ĐHSP TPHCM [5] Văn Như Cương- Hồnh Trọng Thái, “Hình học cao cấp”, NXB Giáo Dục [6] Văn Như Cương- Hồng Trọng Thái, “Bài tập Hình học cao cấp” ,NXB Giáo Dục [7] Khu Quốc Anh, “Bài tập Đại số tuyến tính hình học giải tích” , NXB ĐHQGHN Vũ Quang Huy – 09ST Trang 55 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN Đà nẵng, ngày …… tháng …… năm 201… Giáo viên hướng dẫn Vũ Quang Huy – 09ST Trang 56 ... tính khoảng cách, góc không gian Euclide hữu hạn chiều Vũ Quang Huy – 09ST Trang Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn Với lý nên tơi chọn đề tài: ? ?Các tốn góc khoảng cách phẳng không gian Euclide hữu hạn. .. nghiệp Khoa Tốn CHƯƠNG II: CÁC BÀI TỐN VỀ GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG KHƠNG GIAN E n §1 CÁC BÀI TỐN TÍNH KHOẢNG CÁCH VÀ TÍNH THỂ TÍCH Bài 1: Trong E n cho điểm I m- phẳng  không chứa I với  m