Các bài toán về góc và khoảng cách trong hệ tọa độ Oxyz – Trần Đình Sỹ

MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12 MỘT SỐ BÀI TỐN CĨ LIÊN QUAN ĐẾN GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH I LIÊN QUAN ĐẾN GÓC (5 BÀI ) Bµi ( KA-2006) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A 'B'C'D' với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0;1; 0), A'(0; 0;1) Gọi M N trung điểm AB, CD Tính khoảng cách hai đường thẳng A'C MN Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C tạo với mặt phẳng Oxy góc α biÕt cosα = GIẢI a/ Tính h( A’C,MN) Z uuuu r uuuu r uuuu  r D’  A’ - Ta có : A ' C = ( 1;1;1) , MN = ( 0;1;0 ) , MA ' =  − ;0;1÷   B’ C’ - Do : uuuu uuuu uuuu r r r 1 1 11  A ' C , MN  MA ' = − + +1 = +1 =   0 21 A uuuu uuuu uuuu r r r D M  A ' C , MN  MA '  N ’ - Vậy : h ( A ' C , MN ) =  uuuu uuuu = = r r B 1+ +1 2  A ' C , MN  C   b/ Lập mặt phẳng (P) chứa A’C - Gọi (P) : ax+by+cz+d=0 (1) - Do qua (A’C) : Qua A’(0;0;1) suy : c+d=0 (2) Suy c=-d = a+b (P) qua C(1;1;0) : a+b+d =0 (3) suy : (P) : ax+by+(a+b)z-(a+b)=0 (*) r r - Mặt phẳng (P) có : n = ( a; b; c ) , mặt phẳng (Oxy) có véc tơ pháp tuyến k = ( 0;0;1) Do ta có : rr n.k a+b  a = −2b cosα = r = = ⇔ ( a + b ) = a + b2 + c2 ⇒  (4) n.k a + b2 + c b = −2a - Với : a=-2b, chọn b=-1, ta (P) : 2x-y+z-1=0 - Với b=-2a , chọn a=1 , ta (P) : x-2y-z+1=0 Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(−1; 2; −3), B(2; −1; −6) mp(P): x + 2y + z −3= Viết phương trình mp(Q) chứa AB tạo với mp(P) góc α thỏa mãn: cos α = GIẢI Gọi (Q) có dạng : ax+by+cz+d=0 (Q) qua A(-1;2;-3) ta có : -a+2b-3c+d=0 (1) (Q) qua B(2;-1;-6) : 2a-b-6c+d=0 (2) r - Mặt phẳng (P) có n = ( 1; 2;1) Suy uu r r nP n Q a + 2b + c cosα = uu r = = ⇔ ( a + 2b + c ) = ( a + b + c ) (3) r nP n Q a + b2 + c2 + +  −a + 2b − 3c + d = c = a + b ⇔ - Từ (1) (2) ta có :   2a − b − 6c + d = d = 4a + b Sưu tầm giải – Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 Trang MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12 - Thay vào (3) :  a = −4b → c = −3b, d = −15b 2 ⇔ ( 2a + 3b ) =  a + b + ( a + b )  ⇔ 3a + 11ab + 8b = ⇒     a = −b → c = 0, d = −3b - Vậy có hai mặt phẳng : (Q): -4x+y-3z-15=0 (Q’): -x+y-3=0 Bài Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2; −1; 1), B(0; 1: −2) đường thẳng (d): x y − z +1 = = Viết phương trình đường thẳng (∆) qua giao điểm đường thẳng (d) với mặt phẳng −1 (OAB), nằm mặt phẳng (OAB) hợp với đường thẳng (d) góc α cho cos α = GIẢI uuu r uuu r uuu uuu r r  −1 1 2 −1  r ; ; - Ta có : OA = ( 2; −1;1) , OB = ( 0;1; −2 ) ⇒ OA, OB  =  ÷ = ( 1; 4; ) = n    −2 −2 0  - Do : mp(OAB): x+4y+2z=0 (1) Gọi M giao d với (OAB) tọa độ M nghiệm hệ :  x + y + 2z x = t  ⇔ t + 4(3 − t ) + 2(2t − 1) = ↔ t = −10 ⇔ M = ( −10;13; −21)  y = 3−t  z = −1 + 2t  uu r ruu r - Vì ∆ ∈ ( OAB ) ⇒ α = ( d , ∆ ) , nP u∆ = ⇔ a + 4b + 2c = ( ) u = ( a; b; c ) uu uu r r ud nP uu uu r r a − b + 2c a − b + 2c = = ( 4) r r - Do : cos ud , nP = uu uu = 2 2 2 ud nP a + b + c 1+1+ a +b +c ( ( ) )  ( 4b − 2c ) + b + c  ⇔ 11b − 16bc + 5c = ⇔ b = 11 c - Suy : ⇔ ( −5b ) = 25    b = c  x = −10 + 2t uu  r   r - Với b = c → a = − c ⇒ ud =  − c; c; c ÷/ / u = ( 2; −5; −11) ⇔ ∆ :  y = 13 − 5t 11 11  11 11   z = −21 − 11t   x = −10 + 6t uu r ur  - Với b=c, thay vào (2) ta có a=-6c ⇒ u∆ = ( −6c; c; c ) / / u ' = ( 6; −1; −1) ⇔ ∆ :  y = 13 − t  z = −21 − t  Bài Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A(0;1;−2), vng góc x+ y- z = = tạo với mặt phẳng (P): 2x + y − z +5 = góc 300 với đường thẳng (d ) : - 1 GIẢI r uu r * Đường thẳng d có véc tơ phương u = ( 1; −1;1) , đường thẳng ∆ có véc tơ phương u∆ = ( a; b; c ) uu uu r r r Mặt phẳng (P) có n = ( 2;1; −1) Gọi α = ( d ; P ) = u∆ , ud uu r r u∆ , n 2a + b − c 2a + b − c = = cos300 = r - Do : cosα = uu r = 2 2 2 u∆ n a + b + c +1+1 a +b +c ( ) ⇔ 2a + b − c = a + b + c ⇔ ( 2a + b − c ) = ( a + b + c ) Trang ( 2) Sưu tầm giải – Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12 uu uu r r - Vì : d ⊥ ∆ ⇒ ud u∆ = ⇔ a − b + c = ⇔ b = a + c ( 3) - Thay (3) vào (2) ta : c = ⇔ 18a =  a + c + ( a + c )  ⇔ 2a = 2a + c + 2ac ⇔ c ( c + 2a ) = ⇒    c = −2a x = t uu r r  - Với c-0, thay vào (3) ta có b=a suy u∆ = ( b; b;0 ) / / u = ( 1;1;0 ) ⇔ ∆ :  y = + t  z = −2  x = t uu r ur  - Với : c=-2a , thay vịa (3) ta có b=-a ⇒ u∆ = ( a; −a; −2a ) / / u ' = ( 1; −1; −2 ) ⇔ ∆ :  y = − t  z = −2 − 2t  Bài Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác Oxyz, cho hai đường thẳng : x y z x −1 y +1 z −1 = , = = ∆1 : = ∆2 : −2 1 −1 a/Chứng minh hai đường thẳng ∆1 ∆2 chéo b/Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆2 tạo với đường thẳng ∆1 góc 300 GIẢI a/Chứng minh hai đường thẳng ∆1 ∆2 ur nhau: chéo * Đường thẳng ∆1 có véc tơ phương u1 = ( 1; −2;1) qua O(0;0;0), ∆ qua B(1;-1;1) uu r ur uu  −2 1 1 −2  r ; ; Có véc tơ phương u2 = ( 1; −1;3) ⇒ u1 , u2  =  ÷ = ( −5; −2; −1) (1)    −1 3 1 −3  ur uu uuu r r Mặt khác : u1 , u2  OB = ( ) − 1( −2 ) + ( −1) = ≠ Kết hợp với (1) suy hai đường thẳng ∆1 ∆2   chéo b/ Viết phương trình (P)  x −1 y +1  = −1 x + y =  ⇔ Đường thẳng ∆ :  3x − z − =  x −1 = z −1   * Vì (P) chứa ∆ ⇒ ( P ) thuộc chùm : m ( x + y ) + n ( 3x − z − ) = ⇔ ( m + 3n ) x + my − nz − 2n = Mặt khác (P) tạo với đường thẳng ∆1 góc 300 : r ur n, u1 r ur r ur ⇒ 300 = 900 − n, u1  ⇔ n, u1 = 600 ↔ cos60o = r ur ⇔ =   n u1 ( ) ( ) (m + n2 ≠ 0) ( *) m + 3n − 2m − n ( m + 3n ) + m2 + n2 + + 11  m=− n ⇔ ( 2m + 10n + 6mn ) = ( 2n − m ) ⇔ 2m + 13mn + 11n = ⇔   m = −n - Thay (3) vào (*) ta có : 11 11 - Với m = − n ⇒ ( P ) : − x − y − z − = ⇔ ( P ) : 5x + 11 y + 2z + = 2 Với m=-n (P): 2nx-ny-nz-2n=0 , Hay (P): 2x-y-z-2 =0 Sưu tầm giải – Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 ( 3) Trang MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12 Bài Trong kh«ng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d d lần lợt có phơng trình : y2 x−2 z+5 x= = z vµ d’ : = y 3= hoctoancapba.com Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua d tạo với d góc 300 GIẢI Tương tự 4, ta chuyển d sang dạng giao hai mặt phẳng : x-z=0 x+y-2=0 Do (P) thuộc chùm : m(x-z)+n(x+y-2)=0 ; hay : (m+n)x+ny-mz-2n=0 (1) r Đường thẳng d’ có u = ( 2;1; −1) Vì (P) tạo với d’ góc 300 r ur n, u ' r ur r ur ( m + n) + n + m ⇒ 300 = 900 − n, u1  ⇔ n, u1 = 600 ↔ cos60o = r ur ⇔ =   n u' ( m + n ) + n2 + m2 + + ( ) ( )  m = −2n  m = −2n ⇔ ( m + n + mn ) = ( m + n ) ⇔ 2m + 5mn + 2n = ⇔  n ⇔ m = −  n = −2m  - Với m=-2n thay vào (1) (P): -nx+ny+2nz-2n=0 ; hay (P):-x+2y+2z-2=0 - Với n=-2m thay vào (1) (P): -mx-2my-mz+4m=0 ; hay (P): -x-2y-z+4=0 2 2 ( 3) II LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH ( 32 BÀI ) Bài 1.(ĐH_KD-2009) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có tọa độ đỉnh A(1;2;1),B(-2;1;3), C(2;-1;1),D(0;3;1).Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A B cho khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (P) GIẢI - Mặt phẳng (P) có dạng : ax+by+cz+d=0 - (P) qua A(1;2;1) : a+2b+c+d=0 (1) (P) qua B(-2;1;3) : -2a+b+3c+d=0 (2) 2a − b + c + d 3b + c + d = ⇔ 2a − b + c + d = 3b + c + d - Theo giả thiết : h(C,P)=h(D,P) ⇔ 2 a +b +c a + b2 + c2  2a − b + c + d = 3b + c + d a = b ⇔ ⇔  2a − b + c + d = −3b − c − d a + b + c + d = 3b + c + d = b = ⇔ ⇔ ( P) : cz − c = ⇔ ( P) : z − = • Nếu a=b thay vào (1) (2) :   −b + c + d =  d = −c • Nếu : a+b+c+d=0 thay vào (1) (2) :  a + 2b + c + d = 2b =    −a + b + 3c + d = ⇔ c = a ⇒ ( P ) : ax + az − 2a = ⇒ ( P ) : x + z − = a + b + c + d = d = −2a   Bài Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) đường thẳng d có phương trình : (P): 2x-y-2z-2=0 (d): x y +1 z − = = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc −1 (d), I cách (P) khoảng (P) cắt (S) theo đường trịn giao tuyến có bán kính GIẢI Gọi (S) có tâm I(a;b;c) bán kính R Theo giả thiết : Trang Sưu tầm giải – Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 d: MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12 2a − b − 2c − = ⇔ 2a − b − 2c − = - I thuộc d I( -t;2t-1;t+2) (1) h(I,P)=2 ⇔ +1+ - (P) cắt (S) theo giao tuyến đường trịn (C ) tâm H bán kính r=3 : h ( I , P ) = IH =  ⇔ ( 3) 2  R = IH + r = + = 13  ( 2)   10  t = − → I1 =  ; − ; − ÷  −2t − 2t + − 2t − =  −6t =   ⇔ ⇔ - Thay (1) vào (2) : ⇒    5  −2t − 2t + − 2t − = −6  −6t = −5 t = → I =  − ; ; ÷  6  2  7  10   7  ( S1 ) :  x − ÷ +  y + ÷ +  z + ÷ = 13 6  3  6  - Vậy có mặt cầu (S) :  2  ( S ) :  x +  +  y −  +  z −  = 13  ÷  ÷  ÷ 6  3  6    Bài Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng (d): x y − z +1 = = hai điểm −1 A(2; −1; 1), B(0; 1: −2) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) cho tam giác ABM có diện tích nhỏ GIẢI - Nếu M thuộc d M có tọ độ M=(t;3-t;2t-1) - Ta có : uuuu r  AM = ( t − 2; − t ; 2t − ) uuuu uuuu  − t 2t − 2t − t − t − − t  r r  ⇒  AM , BM  =  ; ; r  uuuu ÷ = ( t + 8; t + 2; −4 )   t t 2−t   − t 2t + 2t +  BM = ( t ; − t ; 2t + 1)  r r uuuu uuuu 1 2 - Do : S =  AM , BM  = ( t + 8) + ( t + ) + 16 = ( t + 5) + 34 ≥ 34  2 2 34 - Vậy : S = t=-5 M=( -5;8;-11) Bài Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) đường thẳng ( ∆) : x +1 y −1 z = = Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng (∆) để tam giác MAB có diện tích nhỏ −1 GIẢI Cách giải tương tự - Nếu M thuộc d M có tọ độ M=(2t-1;1-t;2t) - Ta có : uuuu r  AM = ( 2t − 2; −4 − t ; 2t ) uuuu uuuu  −4 − t r r  ⇒  AM , BM  =  r  uuuu    −2 − t  BM = ( 2t − 4; −2 − t ; 2t − )  2t 2t 2t − 2t − −4 − t  ; ; ÷ 2t − 2t − 2t − 2t − −2 − t  = ( 2t + 24;8t − 12; 2t − 12 ) r r uuuu uuuu 2  23  1547  AM , BM  = 2t + 14 ) + ( 8t − 12 ) + ( 2t − 12 ) = 18  t − ÷ + ≥ 1547  ( 2 36  18  23  14 23  1547 ⇒ M =  ;− ; ÷ - Vậy : S = t = 18  18  - Do : S = Sưu tầm giải – Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 Trang MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12 Bài Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4;9;−9), B(−10;13;1) mặt phẳng (P): x + 5y − 7z − = Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng (P) cho MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ GIẢI Gọi M (x;y;z) thuộc (P) ta có : x+5y-7z-5=0 (1) uuuu r  AM = ( x − 4; y − 9; z + ) → AM = ( x − ) + ( y − ) + ( z + )  Khi :  uuuu r 2 2  BM = ( x + 10; y − 13; z − 1) → BM = ( x + 10 ) + ( y − 13) + ( z − 1)  Do MA2 + MB = ( x − ) + ( y − ) + ( z + ) + ( x + 10 ) + ( y − 13) + ( z − 1) 2 2 2 2 2 Hay : MA + MB = ( x + 3) + ( y − 11) + ( z + )  + 156 (2)   Từ (1) -75=1(x+3)+5(y-11)-7(z+4) Theo bất đẳng thức Bu nhe cốp ski suy : 2 2 ( −75) = 1( x + 3) + ( y − 11) − ( z + )  ≤ ( + 25 + 49 ) ( x + 3) + ( y − 11) + ( z + )      75 2 Do : ( x + 3) + ( y − 11) + ( z + )  ≥ = 75   75 2 2 Và : MA + MB = ( x + 3) + ( y − 11) + ( z + )  + 156 ≥ 2.75 + 156 = 306   50    x = − 17  x + y − 11  y = 5x+26 5x − y = −26   =  192    ⇔ 7x + z = −25 ⇔  z = −7x − 25 ⇔  y = − Dấu đẳng thức xảy :  17 x+3 = z +4  x + y − 7z − =   50   75 x = −  −7  17   z = 17  • Ta cịn cách khác , sử dụng hệ thức trung tuyến : Gọi I trung điểm AB AB Ta có : MA2 + MB = 2MI + ( *) uuu r uuu r Với : AB = ( −14; 4;10 ) ⇒ AB = 196 + 16 + 100 = 312 Và I(-3;11;-4) suy MI = ( x + 3; y − 11; z + ) 2 2 Do : MI = ( x + 3) + ( y − 11) + ( z + )  Vậy (*)   312 2 2 2 ⇔ MA2 + MB = ( x + 3) + ( y − 11) + ( z + )  + = ( x + ) + ( y − 11) + ( z + )  + 156     ( Kết ) Bài Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(5; 8; −11), B(3; 5; −4), C(2; 1; −6) đường thẳng thẳng (d): uuu uuu uuur r r u MA − MB − MC đạt giá trị nhỏ x −1 y − z −1 = = Xác định toạ độ điểm M thuộc (d) cho 1 GIẢI Điểm M thuộc d M(2t+1;2+2t;1+t) , : uuu r  MA = ( 2t − 4; 2t − 6; t + 12 )  uuu uuu uuu uuur r r u  r  MB = ( 2t − 2; 2t − 3; t + ) ⇒ MA − MB − MC = ( −2t − 1; −2t − 4; −t ) u  uuur  MC = ( 2t − 1; 2t + 1; t + )  Trang Sưu tầm giải – Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12 uuu uuu uuur r r u ⇔ MA − MB − MC = 53  10  53 + ( 2t + ) + t = 9t + 20t + 17 =  t + ÷ + ≥ 9  11  x = −  10   11  Dấu đẳng thức xảy : t = − ⇒ M =  y = − ⇔ M =  − ; − ; − ÷ 9  9 9   z = −  Bài Trong không gian hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; −1; 2), B(1; 3; 0), C(−3; 4; 1) D(1; 2; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) GIẢI Mặt phẳng (P) có dạng : ax+by+cz+d=0 Nếu (P) qua A(1;-1;2) ta có phương trình : a-b+2c+d=0 (1) Nếu (P) qua B(1;3;0) ta có phương trình : a+3b+d=0 (2) Theo giả thiết : h(C,P)=h(D,P) ta có : −3a + 4b + c + d a + 2b + c + d  −3a + 4b + c + d = a + 2b + c + d b = 2a ⇔ = ⇔ ⇔ a + b2 + c2 a2 + b2 + c2  −3a + 4b + c + d = −a − 2b − c − d  − a + 3b + c + d = Kết hợp với hai phương trình (1) (2) ta có hai hệ xét cho hai trường hợp : b = 2a b = 2a   • Trường hợp 1: ⇔ − a + 2c + d = ⇔ c = 4a ⇒ ( P ) : x + y + 4z − = 7a + d = d = −7a   • ( 2t + 1) − a + 3b + c + d = a + 3b + d = c = 2a    Trường hợp 2: ⇔ a − b + 2c + d = ⇔ 2a − 4b + c = ⇔ a = b ⇔ ( P ) : x + y + 2z − = a + 3b + d = 2a − c = d = −4a    Bài 7.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x − y + z + 37 = điểm A(4;1;5), u B(3;0;1), C(−1;2; 0) Tìm toạ độ điểm M thuộc (α) để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: uuuu uuur uuur uuur uuur uuuu r u r MA.MB + MB.MC + MC.MA GIẢI Gọi M(x;y;z) thuộc (P) ta có phương trình :uuur 3x-3y+2z+37=0 (1) Khi ta có : uuu r uuu r u MA = ( x − 4; y − 1; z − ) , MB = ( x − 3; y; z − 1) , MC = ( x + 1; y − 2; z ) : uuu uuu r r MA.MB = ( x − 3) ( x − ) + y ( y − 1) + ( z − 1) ( z − ) = x + y + z − 7x − y − 6z + 17 ( ) uuu uuur r u MB.MC = ( x − 3) ( x + 1) + y ( y − ) + z ( z − 1) = x + y + z − 2x − y − z-3 ( 3) uuur uuu u r 2 MC.MA = ( x + 1) ( x − ) + ( y − ) ( y − 1) + z ( z − ) = x + y + z − 3x − y − 5z − ( ) Lấy (2)+(3)+(4) vế với vế ta : uuuu uuur uuur uuur uuur uuuu r u u r 2 MA.MB + MB.MC + MC.MA = ( x + y + z − 4x − y − 4z + ) = ( x − ) + ( y − 1) + ( z − ) −    Áp dụng bất đẳng thức Bu nhe cốp ski cho phương trình (1) : 2 2 ⇒ ( −44 ) = 3 ( x − ) − ( y − 1) + ( z − )  ≤ ( + + ) ( x − ) + ( y − 1) + ( z − )      44.44 2 = 88 Suy : ( x − ) + ( y − 1) + ( z − ) ≥ 22 Sưu tầm giải – Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 Trang MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12 uuuu uuur uuur uuur uuur uuuu r u u r Hay : ( x − ) + ( y − 1) + ( z − )  − 15 ≥ 3.88 − 15 = 249 Vậy : MA.MB + MB.MC + MC.MA ≥ 249   2 Dấu đẳng thức xảy :  x − y −1  = −3 y = 3− x  x = −4   2x + x−2 z −2   ⇔ = ⇔ z = ⇔  y = ⇒ M = ( 4;7; −2 ) 3    z = −2  3x − y + 2z + 37 = 22x + 88 =    Bài Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A ( 0;1;2 ) , B ( −1;1;0 ) mặt phẳng (P): x − y + z = Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) cho tam giác MAB vuông cân B GIẢI Gọi M=(x;y;z) Nếu M thuộc (P) : x-y+z=0 (1) uur u uuu r Ta có : BA = ( 1;0; ) , MB = ( x + 1; y − 1; z ) Nếu tam giác MAB vuông cân B kết hợp với (1) ta có hệ phương trình : uur uuu u r y = x + z  x + = −2z  x = −2z −  BA.MB =         ⇔  BA = MB ⇔  y + z + = ⇔  y=-z-1 ⇔  y = −z −1 y = x + z    2 2 2      5 = ( x + 1) + ( y − 1) + z 5 = 5z + ( y − 1) 5z + ( − z − ) =   −2 − 10 −2 + 10 z = z = 6     −1 − 10 −4 + 10   ⇔ x = ∨ x = 3     −4 + 10 −2 + 10 y = y = 6      x = −2t  Bài Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d):  y = t  z = −1 − 2t  x + y − z + = Gọi (d’) hình chiếu (d) lên mặt phẳng (P) Tìm toạ độ điểm H thuộc mặt phẳng (P): (d’) cho H cách điểm K(1; 1; 4) khoảng GIẢI Lập phương trình đường thẳng d’ hình chiếu vng góc d (P) - Tìm tọa độ A giao d với (P) Tọa độ A nghiệm hệ :  x = −2t y = t  ⇔ −2t + t + + 2t + = ⇔ t = −2 ⇒ A = ( 4; −2;3 )   z = −1 − 2t x + y − z +1 =  uu r uu r  −2 −2 −2 −2  r ; ; - Do hình chiếu vng góc nên ud ' = ud , n  =  ÷ = ( 1; −4; −3 )    −1 −1 1  Trang Sưu tầm giải – Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12 x = + t uu r  - Vậy d’ qua A(4;-2;3)có véc tơ phương ud ' = ( 1; −4; −3) ⇒ d ' :  y = −2 − 4t  z = − 3t  Tìm tọa độ H uuur Nếu H thuộc d’ H=(t+4;-2-4t;3-3t) (*) ,suy KH = ( −3 − t ; 4t + 3;3t + 1) Do : KH = ( + t ) + ( 4t + 3) + ( + 3t ) = 26t + 36t + 19 = 25 ⇔ 26t + 36t − = 2 −9 − 30 −9 + 30 , thay vào (*) ta tìm tọa độ H ; t2 = 13 13 Bài 10 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng Vậy : t1 =  x = −1 + 2t  x +1 y +1 z − = = ∆1: ; ∆2:  y = −1 −1 z = t  Đường thẳng ∆ qua điểm I(0;3;−1), cắt ∆1 A, cắt ∆2 B Tính tỷ số IA =k IB GIẢI Do A thuộc ∆1 ⇒ A = ( −1 − t '; −1 + t ';3 − t ' ) B thuộc ∆ ⇒ B = ( −1 + 2t ;1; t ) uu r uu r Ta có : IA = ( −1 − t '; t '− 4; − t ' ) ; IB = ( −1 + 2t ; −2; t + 1) 4−t'  k =  −1 − t ' = k ( 2t − 1) t =   IA  ⇔ t ' = −6 ⇒ =5 Theo giả thiết :  − t ' = 2k 2k = k ( t + 1) IB 4 − t ' = k t +  k = ( ) 1 − t ' = k ( 2t − 1)    Bài 11 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng ∆1: ∆1: x −1 y z + = = ; −1 x +1 y −1 z − = = Đường vng góc chung ∆1 ∆2 cắt ∆1 A, cắt ∆2 B Tính diện tích ∆ −1 OAB GIẢI *Do A thuộc ∆1 ⇒ A = ( + 2t '; −t '; −2 + t ' ) B thuộc ∆ ⇒ B = ( −1 + t ;1 + 7t;3 − t ) uuu r Ta có : AB = ( t − 2t '− 2;7t + t '+ 1;5 − t − t ' ) ; - Nếu AB đường vng góc chung :hoctoancapba.com uuu u r r  AB.u1 =    2 ( t − 2t '− ) − ( 7t + t '+ 1) + ( − t − t ' ) = t = → B = ( −1;1;3 ) ⇔ ⇔ r r  uuu uu ( t − 2t '− ) + ( 7t + t '+ 1) − ( − t − t ' ) = t ' = → A = ( 1;0; −2 )  AB.u2 =    uuu uuu r r - Gọi S diện tích tam giác OAB : S = OA, OB   2 uuu r uuu r uuu uuu r r  3 −1 −1  ; ; - Do : OA = ( 1;0; −2 ) , OB = ( −1;1;3 ) ⇒ OA, OB  =  ÷ = ( −2;1; −1)    −2 −2 1  - Và S = uuu uuu r r OA, OB  =   +1+1 = Sưu tầm giải – Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 Trang MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12 Bài 12 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P): 2x + y − 2z + = 0, đường thẳng (d): x +1 y −1 z − = = Viết phương trình đường thẳng ∆ vng góc với (P) thỏa mãn ∆ cắt (d) −1 điểm M cách (P) khoảng GIẢI Tìm M d M=(t-1;7t+1;3-t) Khoảng cách từ M đến (P) h(M,P)= ⇔ ( t − 1) + 7t + − ( − t ) + =2 +1+   19 45 41  t = − 11 → M =  − 11 ; − 11 ; 11 ÷ 11t + = −6   ⇔ 11t + = ⇔  ⇔   39 29  11t + = t = → M =  − ; ; ÷  11 11 11   11 uu uu r r Vì ∆ cắt d ∆ qua M ∆ ⊥ (P) ⇒ u∆ = nP = ( 2;1; −2 ) 19 41 39 29 x+ y+ z− x+ y− z− Vì 11 = 11 = 11 , Hoặc : ∆ : 11 = 11 = 11 ∆: −2 −2 Chú ý : Ta cịn có cách khác sau - Lập mặt phẳng (Q) song song với (P) cách (P) khoảng - Do (Q) có dạng : 2x+y-2z+m=0 Ví h(P,Q) = suy : Trên (Q) chọn N(-2;-3;1) ta tính 2(−2) + (−3) − 2(1) + m m − =  m = 14 = ⇔ m −8 = ⇔  ⇒ h(N,Q)= Như : có hai mặt +1+  m − = −6  m = phẳng (Q) ; 2x+y-2z+14=0 2x+y-2z+2=0 - Bây ta tìm tọa độ M giao d với (Q), tọa độ M nghiệm : x = t −1  y = 7t +  ⇔ 2(t − 1) + 7t + − 2(3 − t ) + 14 = ⇔ 11t = → t =  11  z = − 2t  2x + y − 2z+14 =  x = t −1  y = 7t +  ⇔ 2(t − 1) + 7t + − 2(3 − t ) + = ⇔ 11t = −5 → t = − - Hoặc :  11  z = − 2t  2x + y − 2z+2 =  x −1 y − z −1 = = −1 hai điểm A(0;1:−2), B(2;−1;1) Tìm tọa độ điểm C thuộc đường thẳng ∆ cho tam giác ABC có diện tích nhỏ GIẢI Nếu C thuộc ∆ có tọa độ : C=(t+1 ;2-t ;1+2t) Ta có : uuu r  AC = ( t + 1;1 − t ; 2t + 3) uuu uuu r r  − t 2t + 2t + t + t + 1 − t   ⇒  AC , AB  =  ; ; r  uuu ÷ = ( t + 9;3 − t ; −4 )   3 2 −2   −2  AB = ( 2; −2;3)  r r uuu uuu 2 Gọi S diện tích tam giác ABC : S =  AC , AB  = ( t + ) + ( − t ) + 16  2 Bài 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: Trang 10 Sưu tầm giải – Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12 88 = 22 Dấu đẳng thức xảy t=-3 , C=( -2 ;5 ;-5 ) Bài 14 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(−1;0;1), B(2; − 1;0), C (2; 4; 2) mặt phẳng (α ) : x + y + z + = Tìm tọa độ điểm M (α) cho biểu thức T = MA2 + MB + MC đạt giá trị nhỏ GIẢI Nếu M thuộc mặt phẳng (α ) : x + y + z + = (1) Khi ta có : uuu r 2 MA = ( x + 1; y; z − 1) → MA2 = ( x + 1) + y + ( z − 1) = x + y + z + 2x − 2z + uuu r 2 MB = ( x − 2; y + 1; z ) → MB = ( x − ) + ( y + 1) + ( z ) = x + y + z − 4x+2y + uuur u 2 MC = ( x − 2; y − 4; z − ) → MC = ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = x + y + z − 4x − y − 4z + 24 ⇔ S = ( t + 3) + 88 ≥ Cộng vế ba đẳng thức ta : 2 2 2 2 T= MA + MB + MC = ( x + y + z − 2x − y − 2z ) + 31 = ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1)  + 22   ( 2) Do M thuộc (P) : x+y+2z+2=0 ⇔ ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) + = Áp dụng bất đẳng thức Bu nhe cốp ski cho ba cặp số : (1;1;2) (x-1;y-1;z-1 ) ta có : 2 2 ⇔ ( −6 ) = 1( x − 1) + 1( y − 1) + ( z − 1)  ≤ ( + + ) ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1)      2 ⇒ T = ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1)  + 22 ≥ + 22 = 40   Dấu đẳng thức xảy xảy trường hợp dấu bẳng bất đẳng thức Bu nhe cốp ski:  x −1 y −1  = y = x x =    x −1 z −1  ⇔ = ⇔  z = 2x − ⇔  y = ⇔ M = ( 0;0; −1)   x + x + 2x − + =  z = −1 ( )    x + y + 2z + =   Bài 15 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;0;−3); B(2;0;−1) mặt phẳng (P): 3x − y − z +1 = Tìm tọa độ điểm C nằm (P) cho ABC tam giác GIẢI Nếu M=(x;y;z) thuộc (P) suy ; 3x-y-z+1=0 (1) Khi ta tính : uuu r uuu r 2 MA = ( x; y; z + 3) ⇔ MA2 = x + y + ( z + 3) ; MB = ( x − 2; y; z + 1) ⇒ MB = ( x − ) + y + ( z − 1) Nếu tam giác ABC tam giác ta có hệ phương trình :  x=   x + y + ( z + 3) = ( x − ) + y + ( z − 1)  MA2 = MB  4x + 8z + =    2    ⇔  x + y + ( z + 3) = 2 + 2 ⇔ 6z + = ⇔ z = −  MA = AB 3x − y − z + = 3x − y − z + = 3x − y − z + =    10    y =  2 1 Vậy điểm M cần tìm : ⇒ M =  ; ; − ÷ 3 6 2 2 2 Bài 16 Trong không gian Oxyz cho mp (P): 3x − 8y + 7z + = hai điểm A(1; 1; −3), Sưu tầm giải – Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 Trang 11 MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12 B(3; 1; −1) Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (P) cho tam giác ABC GIẢI Nếu C thuộc (P) tọa độ C=(x;y;z) thỏa mãn : 3x-8y+7z+4=0 (1) uuu r Ta có : AB = ( 2;0; ) ⇒ AB = + = uuu r 2 MA = ( x − 1; y − 1; z + 3) ⇔ MA2 = ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 3) = x + y + z − 2x − y + 6z + 11 uuu r 2 MB = ( x − 3; y − 1; z + 1) ⇒ MB = ( x − 3) + ( y − 1) + ( z + 1) = x + y + z − 6x − y + 2z + 11 Nếu tam giác ABC tam giác ta có hệ phương trình : x = − y x = − y  MA2 = MB    3− 6 2  2 ⇔ ( − y ) + ( y − 1) + ( y − 1) = + ⇔  y = ∨ y = 1+  MA = AB 3 3x − y + z + = z = y −    z = −x     6 6 6 6 ;1 − ; −2 − ;1 + ; −2 + Vậy có hai điểm C : C1 =  + ÷; C2 =  − ÷   3 ÷ 3 ÷     Bài 17 Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(3; 1; 0), B nằm mặt phẳng Oxy C nằm trục Oz Tìm tọa độ điểm B, C cho H(2; 1; 1) trực tâm tam giác ABC GIẢI Nếu B nằm mp(Oxy) B( x;y;0), cịn C nằm trục Oz C(0;0;z) Gọi H trực tâm tam giác ABC giao ba đường cao hạ từ ba đỉnh tam giác có nghĩa uuur uuu r  AH BC =  uuu uuu  r r ta có hệ ba phương trình : CH AB = (1) r r  uuu uuu BH AC =   uuu r uuu r uuu ruuur Ta có : AB = ( x − 3; y − 1;0 ) ; CH = ( 2;1;1 − z ) ⇒ ABCH = ( x − 3) + y − = 2x + y − uuu r uuu r uuu ruuur Tương tự : AC = ( −3; −1; z ) , BH = ( − x;1 − y;1) ⇒ AC BH = ( x − ) + y − + z = 3x + y + z − uuu r uuur uuu ruuur Và : BC = ( − x; − y; z ) , AH = ( −1;0;1) ⇒ BC AH = x + z 2x + y − =  y = − 2x x = t    ⇔  y = − 2t Do hệ (1) ⇔ 3x + y + z − = ⇔  z = − x x + z = 3x + − 2x − x − =  z = −t    ( t ∈ R) Vậy điểm C cần tìm có tọa độ C=( t;7-2t;-t ) ( Có vơ số điểm C) x+ y- = =z - điểm M(4 ; ; 6) Đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S) tâm M hai điểm A, B cho AB = Viết phương trình mặt cầu (S) GIẢI r uuuu r Đường thẳng d qua N(-5;7;0) vả có véc tơ phương u = ( 2; −2;1) ⇒ MN = ( −9;6; −6 ) Bài 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d): Trang 12 Sưu tầm giải – Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12 2  −6   −6 −9   −9  uuuu u r r  ÷ + ÷ + ÷  MN , U  Do :  r  =  −2     −2  h( M ,d ) = + +1 u A B H d M 36 + + 36 =3 .3 -Xét tam giác vuông MAH ( H chân đường vuông góc M d ) , ta có : 2  AB  6 2 Vậy mặt cầu (S) có tâm MA = R = MH +  ÷ = +  ÷ = 18  2   M(4;1;6) , bán kính R= = Có phương trình : ( S ) : ( x − ) + ( y − 1) + ( z − ) = 18 2 Bài 19 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x – y + z + = x- y+2 z- x+1 y- z- = = ;(d2 ); = = hai đường thẳng (d1 ) : 3 Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với (P); vng góc với (d1) cắt (d2) E có hồnh độ GIẢI d2 Đường thẳng d1 qua điểm M(1;-2;3) có véc tơ phương ur uu r E u1 = ( 2;1;3) , đường thẳng d có véc tơ phương u2 = ( 2;3; ) d1 uu r Gọi ∆ đường thẳng song song với (P) có u∆ = ( a; b; c ) thì: uu r P u∆ = ( a; b; c ) uu r uu uu r r uu uu r r  ⇒ u∆ nP = 2a − b + c = ( 1) r - ∆ ⊥ nP ⇔ u∆ nP = 0;  uu  nP = ( 2; −1;1)  uu u r r - ∆ ⊥ d1 ⇔ u∆ u1 = 0; ⇔ 2a + b + 3c = ( ) ∆ 3 = + 2t t =   - ∆ qua E d với E(3;y;z) ⇒  y = −2 + t ⇔  y = −1 ⇔ E = ( 3; −1;6 )  z = + 3t z =   r r  2a − b + c =  a = −c uu ⇔ ⇒ u∆ = ( −c; −c; c ) / / u = ( 1;1; −1) - Từ (1) (2) ta có hệ :   2a + 2c = b = −c x = + t r  - Vậy ∆ qua E(3;-1;6) có u = ( 1;1; −1) ⇒ ∆ :  y = −1 + t z = + t  Bài 20 Trong kh«ng gian víi hƯ täa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) đờng thẳng d x −1 y z −1 = = cã ph¬ng trình Lập phơng trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách tõ d tíi (P) lµ lín nhÊt GIẢI r Gọi (P) mặt phẳng qua A(10;2;-1) có véc tơ pháp tuyến n = ( a; b; c ) Do (P) có phương trình : a(x-10)+b(y-2)+c(z+1)=0 ; Hay (P): ax+by+cz-10a-2b+c=0 (*) Sưu tầm giải – Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 Trang 13 MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12 r Đường thẳng d qua B(1;0;1) có véc tơ phương u = ( 2;1;3) r r rr - Nếu (P) song song với d n ⊥ u ⇒ nu = ⇔ 2a + b + 3c = ( 1) - Khoảng cách từ d đến (P) khoảng cách từ M thuộc d đến (P) , với M=(2t+1;t;3t+1) ta a + c − 10a + c − 2b 2c − 2b − 9a = cho t=0 M=(1;0;1) : h(M,P)= (2) Áp dụng bất đẳng thức Bu nhe a + b2 + c2 a + b2 + c2 cốp ski cho tử số : ( 2c − 2b − 9a ) ≤ 89 ⇔ 2c − 2b − 9a ≤ 89 2 2 2 ( 2c − 2b − 9a ) ≤ ( + + ) ( c + b + a ) ⇒ 2 (c +b +a ) a + b2 + c2 - Vậy: h(M;P) đạt GTNN 89 trường hợp xảy dấu bất đẳng thức : b = −c c b a  ⇔ = = ⇔ −2 −9 a = − c  Bài 21 Cho điểm A(1 ; ; 3), B(−1 ; ; 2) và hai mp : (P): 2x – 6y + 4z + = (Q): x – y + z + = Tìm tọa độ giao điểm K của đường thẳng AB với mp(P) Tìm tọa độ điểm C nằm mp(Q) cho tam giác ABC là tam giác đều GIẢI uuu r - Đường thẳng (AB) qua A(1;2;3) có véc tơ phương AB = ( −2; 2; −1) (AB) có phương trình  x = − 2t  :  y = + 2t Đường thẳng (AB) cắt mặt phẳng (P) K , tọ độ K nghiệm hệ : z = − t   x = − 2t  y = + 2t   23 57  ⇔ ( −2t ) − ( + 2t ) + ( − t ) + = ⇔ −20t + = ↔ t = ⇒K = ; ; ÷  20  10 10 20  z = − t  2x − y + 4z + =  Nếu C nằm mặt phẳng (Q) C(x;y;z) thỏa mãn : x-y+z+1=0 (1)  AB = AC  AB = AC   ⇔  AB = BC ( 2) Tam giác ABC :  AB = BC x − y + z +1 = x − y + z +1 =   uuu r Từ (1) (2) ta có : AB = ( −2; 2; −1) ⇔ AB = + + = uuu r 2 AC = ( x − 1; y − 2; z − 3) ⇒ AC = ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) uuu r 2 BC = ( x + 1; y − 4; z − ) ⇒ BC = ( x + 1) + ( y − ) + ( z − ) ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) =   2 2 2   (2) ⇔ ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = ( x + 1) + ( y − ) + ( z − ) 4x − y + 2z = −7 x − y + z +1 = x − y + z +1 =     Trang 14 Sưu tầm giải – Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12    11 − 11 + 5  y = y = x= y− x= y−   4 2        3 1− 1+    ⇔ z = ⇔ z = ⇔ x =  x = 2 4     2 19 3     7 3   y − ÷ + ( y − ) +  − ÷ = 2 y − 11 y + = z = z =  2 2       Bài 22 Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(9; 1; 1) cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất hoctoancapba.com GIẢI Gọi A(a;0;0) tuộc Ox,B(0;b;0) thuộc Oy C(0;0;c) thuộc Oz ( a,b,c khác ) x y z Khi mặt phẳng (P) có dạng : + + − = ⇔ bcx + acy + abz − abc = ( 1) a b c 1 Nếu (P) qua M(9;1;1) ta có : + + = ( ) a b c Do thể tích tứ diện VOABC = abc ( 3) Ta áp dụng bất đẳng thức cô si : Từ (2) abc=9bc+ac+ab ≥ 3 ( abc ) ⇔ ( abc ) ≥ 27.9 ( abc ) ⇔ abc ≥ 243 ( 3)   9bc = ac  a = 9b b =   x y z  ⇔ c = b ⇔ c = ⇒ ( P ) : + + = Dấu đẳng thức xảy :  ac = ab 27 3 9 1 1 1 a = 27   + + =1  + + =1 a b c b b b Bài 23 Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho đường thẳng d x −2 y z +1 = = −6 −8 hai điểm A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2).Tìm điểm I đường thẳng d cho IA +IB đạt giá trị nhỏ GIẢI Nhận xét : A B Đường thẳng d có véc tơ phương r ur uuu uuuu r r u = ( 4; −6; −8 ) / / u ' = ( 2; −3; −4 ) = AB ≠ AM = ( 1;1; −3 ) Cho nên đường H thẳng d song song với (AB) Do (AB) d thuộc mặt phẳng Từ , theo kết hình học phẳng , ta làm sau : I d - Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d - Lập đường thẳng d’ qua A’ B A’ - Tìm tọa độ I giao (A’B) với d Theo cách làm , rõ ràng dường thẳng d trung trực AA’ IA=IA’ , : IA+IB=IA’+IB=A’B Nếu có I’ thuộc d I’A+I’B>A’B Vậy I điểm - Cũng theo nhận xét IH đường trung bình tam giác A’BA AB=2IH Hay IA’=IB=IA (*) Do : Nếu I nằm d điểm I có tọa độ I=(2+4t;-6t;-8t-1) Từ ta có : uur 2 ⇔ AI = ( 4t + 1;1 − 6t ; −8t − 3) ⇒ AI = ( 4t + 1) + ( − 6t ) + ( 8t + ) uu r 2 Tương tự : ⇔ BI = ( 4t − 1; − 6t ;1 − 8t ) ⇒ BI = ( 4t − 1) + ( − 6t ) + ( − 8t ) Sưu tầm giải – Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 Trang 15 MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12 Từ (*) : IA=IB ⇔ ( 4t + 1) + ( − 6t ) + ( 8t + ) = 2 ( 4t − 1) + ( − 6t ) + ( − 8t ) 2 2 Hay : ⇔ 116t + 44t + 11 = 116t − 72t + 18 ⇔ 44t + 72t = 18 − 11 ⇔ 116t = → t = 58 45   64 Tọa độ I thỏa mãn yêu cầu : I =  ; − ; − ÷  29 29 29  Chú ý : Năm 1998 ĐH Thái nguyên K-A+B dạng tập * Đề thi : Cho điểm A(1;2;-1) điểm B(7;-2;3) , đường thẳng d giao hai mặt phẳng có phương trình : 2x+3y-4=0 y+z-4=0 a/ Chứng tỏ d đường thẳng (AB) thuộc mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng b/ Tìm tọa độ giao điểm d với mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB c/ Tìm điểm I thuộc d cho chu vi tam giác ABI có giá trị nhỏ ? Tính chu vi tam giác ABI với điểm I tìm Bài 24 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) đường thẳng d có phương trình  x = + 3t   y = −2t (t ∈ R)  z = + 2t  Tìm d điểm M cho tổng khoảng cách từ M đến A B nhỏ A GIẢI Nhận xét : Đường thẳng d có véc tơ phương r uuu r uuu r u = ( 3; −2; ) / / AB = ( 6; −4; ) ≠ AN = ( 1; −2;5 ) Cho nên đường thẳng d B H song song với (AB) Do (AB) d thuộc mặt phẳng Từ , theo kết hình học phẳng , ta làm sau : - Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d - Lập đường thẳng d’ qua A’ B A’ - Tìm tọa độ M giao (A’B) với d Theo cách làm , rõ ràng dường thẳng d trung trực AA’ MA=MA’ , : MA+MB=MA’+MB=A’B Nếu có M’ thuộc d M’A+M’B>A’B Vậy M điểm - Cũng theo nhận xét MH đường trung bình tam giác A’BA AB=2MH Hay MA’=MB=MA (*) Do : Nếu M nằm d điểm I có tọa độ M=(2+3t;-2t;4+2t) Từ ta có : uuuu r 2 ⇔ AM = ( 3t + 1; −2 − 2t ; 2t + ) ⇒ AM = ( 3t + 1) + ( + 2t ) + ( 2t + ) uuuu r 2 Tương tự : ⇔ BM = ( 3t − 5; − 2t ; 2t + 1) ⇒ BM = ( 3t − ) + ( − 2t ) + ( 2t + 1) M Từ (*) : MA=MB = d ( 3t + 1) + ( + 2t ) + ( 2t + ) = 2 ( 3t − ) + ( − 2t ) + ( 2t + 1) 2 Hay : ⇔ 17t + 34t + 30 = 17t − 36t + 30 ⇔ 34t + 36t = − 11 ⇔ 70t = → t = Tọa độ I thỏa mãn yêu cầu : M=(2;0;4 ) Bài 25 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho ( P ) : x + y − z + = đường thẳng x+3 (d ) : = y + = z − , điểm A( -2; 3; 4) Gọi ∆ đường thẳng nằm (P) qua giao điểm ( d) (P) đồng thời vng góc với d Tìm ∆ điểm M cho khoảng cách AM ngắn GIẢI Gọi B(x;y;z) giao d với (P) tọa độ B nghiệm hệ : Trang 16 Sưu tầm giải – Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 d M B P A MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12  x = 2t −  y = t −1  ⇔ 2t − + ( t − 1) − ( + t ) + = ⇔ 3t =  z = + t x + y − z + =  ↔ t = ⇔ B = ( −1;0; ) uu r - Do ∆ nằm (P) suy ∆ ⊥ nP , uu uu  −1 −1 1  r r uu r ∆ ⊥ d ⇒ ∆ / /  nP , u d  =  ; ; ÷ = ( 3; −3; −3 ) / / u∆ = ( 1; −1; −1)   1 1 2 1  x = −1 + t uu r  - Vậy ∆ qua B(-1;0;4) có véc tơ phương u∆ = ( 1; −1; −1) ⇒ ∆ :  y = −t z = − t  - Nếu M thuộc ∆ M=(-1+t;-t;4-t) uuuu r 2   26 ⇒ AM = ( t − 2; −2 − t ;1 − t ) ⇔ AM = ( t − ) + ( t + ) + ( t − 1) = 3t − 2t + =  t − ÷ + ≥  3  11  26 Do AM đạt GTNN= t = ⇒ M =  − ; − ; ÷  3 3 x = t  Bài 26 Trong Không gian với hệ tọa độ Oxyz.Cho đường thẳng ∆ :  y = 2t z =  điểm 26 A(1, , − 1) Tìm tọa độ điểm E F thuộc đường thẳng ∆ để tam giác AEF tam giác GIẢI uur - Nếu E,F thuộc ∆ ⇒ E = ( t1 ; 2t1 ;1) , F = ( t2 ; 2t2 ;1) ⇔ EF = ( t2 − t1; 2t2 − 2t1;0 ) (1) uuu r - Ta lại có : AE = ( t1 − 1; 2t1 ; ) ⇔ AE = ( t1 − 1) + 4t12 + = 5t12 − 2t1 + uuu r 2 Tương tự : AE = ( t2 − 1; 2t2 ; ) ⇔ AE = ( t2 − 1) + 4t2 + = 5t2 − 2t2 + - Nếu tam giác AEF tam giác ta có hệ : 2    AE = EF2  ( t2 − t1 ) + ( t2 − t1 ) = 5t1 − 2t1 + 5t2 − 2t2 ( 5t1 − 1) − = ⇔ ⇔ ⇔ 2  AE = AF 5t1 − 2t1 + = 5t2 − 2t2 +  ( t2 − t1 ) 5 ( t2 + t1 ) −  =       t1 ≠ t2 t1 ≠ t2 t1 ≠ t2     2 − 76 + 76      ⇔ t2 = ∨ t2 = 5t2 − 2t2 5  − t2 ÷− 1 − = ⇔ t1 = − t2 15 15    5     15t2 − 2t2 − =  + 76 − 76  ∨ t1 = t1 = − t2 t1 = 15 15   Thay hai cặp t tìm vào tọa độ M , ta tìm hai cặp E,F ∆  + 76 10 + 76   − 76 − 76  E1 =  ; ;1÷, F1 =  ;1÷  15 ÷  15 ; 15 ÷ 15     Sưu tầm giải – Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 Trang 17 MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12  − 76 10 − 76   + 76 + 76  E2 =  ; ;1÷, F2 =  ;1÷  15 ÷  15 ; 15 ÷ 15     Bài 27 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho M(2; 1; 2) đường thẳng (d): x y + z −1 = = Tìm 1 (d) hai điểm A, B cho tam giác MAB hoctoancapba.com GiẢI Nếu A,B thuộc d ta có : uuuu r 2 ⇔ A = ( t1 ; t1 − 2; t1 + 1) ⇒ AM = ( t1 − 2; t1 − 3; t1 − 1) ⇔ MA2 = ( t1 − ) + ( t1 − 3) + ( t1 − 1) = 3t12 − 12t1 + 14 uuu r 2 2 ⇔ B = ( t2 ; t2 − 2; t2 + 1) ⇒ MB = ( t2 − 2; t2 − 3; t2 − 1) ⇔ MB = ( t2 − ) + ( t2 − 3) + ( t − 1) = 3t2 − 12t2 + 14 uuu r 2 ⇔ AB = ( t2 − t1 ; t2 − t1 ; t2 − t1 ) ⇒ AB = ( t2 − t1 ) = 3t12 + 3t2 − 6t1.t Nếu tam giác AMB tam giác ta có hệ :     MA2 = MB  3t − 12t1 = 3t2 − 12t2 ( t2 − t1 ) ( t2 + t1 − ) = t1 = − t2 ⇔  12 ⇒ ⇔  2 2  MA = AB 3t2 − ( − t2 ) ( t2 − ) − 14 = 3t1 − 12t1 + 14 = 3t1 + 3t2 − 6t1.t2 3t2 − 6t1 ( t2 − ) − 14 =      6−  6+ t2 = t2 = t1 = − t2 t1 = − t2   3 ⇔ ⇔ ⇔ ∨ 9t2 − 36t2 + 34 = 9t2 − 36t2 + 34 = t = + t = − 1 1 3   Vậy thay hai cặp t tìm vào tọa độ A,B ta có kết  6+ 2 9+  6− 2 9−  ⇔ A= ; ; ;− ; ÷; B =  ÷   3 ÷ 3 ÷     Bài 28 Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vng góc Oxyz cho Cho mặt phẳng x −1 y − z x−5 y z +5 = = , d2 : = = −3 −5 Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho MN song song với (P) đường thẳng MN cách (P) khoảng ( P ) : x − y + z − = đường thẳng d1 : GIẢI  13 t = 12 M ∈ d1 ⇒ M = ( 2t + 1;3 − 3t ; 2t ) ⇔ h ( M , P ) = = ⇔ 12t − = ⇔  1+ + t =  12   11 t = 12 6t + − ( 4t ) + ( −5t − ) N ∈ d ⇒ N = ( 6t + 5; 4t ; −5 − 5t ) ⇔ h ( N , P ) = = ⇔ −12t − = ⇔  1+ + t = −   12 Như ta tìm hai cặp M,N :  19 13   11   17 1   13  M =  ; − ; ÷, M =  ; ; ÷, N1 =  ; ; ÷, N =  ; ; − ÷ 6 6 6 6  6 6 6 Bài 29 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: 2t + − ( − 3t ) + ( 2t − 1) Trang 18 Sưu tầm giải – Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12 x y z x +1 y z −1 (d1 ) : = = = = (d ) : 1 −2 1 Tìm tọa độ điểm M thuộc (d1 ) N thuộc (d ) cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng ( P) : x – y + z + 2010 = độ dài đoạn MN GIẢI uuuu r - M thuộc d1 ⇒ M ( t ; t ; 2t ) , N ∈ d ⇒ N = ( −1 − 2t '; t ';1 + t ' ) ⇔ MN = ( −2t '− t − 1; t '− t ; t '− 2t + 1) - Theo giả thiết ta có hệ : 2 2     MN = 42 ( 2t '− t − 1) + ( t '− t ) + ( t '− 2t + 1) = t ' = −t ⇔ ⇔ uuuu r r  2  MN n = ( 3t + 1) + 4t + ( t − 1) =  2t '− t − − ( t '− t ) + t '− 2t + =    t = t ' = −t   5 ⇔ ⇔ ⇔ M = ( 0;0;0 ) , N =  − ; − ; ÷  7 7 14t + 4t = t ' = −  x − y + z +1 = = Bài 30 Trong không gian toạ độ cho đường thẳng d: mặt phẳng (P): x + y + z + 2 −1 = Gọi M giao điểm d (P) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng (P), vng góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới ∆ 42 GIẢI - Tìm tọa độ điểm M giao d với (P) , tọa độ M nghiệm hệ :  x = + 2t  y = −2 + t  ⇔ ⇔ 2t + = ⇒ t = −1; ⇔ M = ( 1; −3;0 )  z = −1 − t x + y + z + =  - Đường thẳng uu uu r r uu uu r r uu r uu uu r r d ∆ ∈ ( P ) ⇒ u∆ ⊥ nP ; ∆ ⊥ d ⇒ u∆ ⊥ ud ⇔ u∆ =  nP , ud    uu r uu uu  −1 −1 2  r r M H ; ; Do : u∆ =  nP , ud  =  ÷ = ( 2; −3;1)   P 1 1 1 1 -Gọi H (x;y;z) hình chiếu vng góc M ∆ ta có : H thuộc (P) : x+y+z+2=0 (1) uu uuuu r r u∆ ⊥ MH ⇔ ( x − 1) − ( y + 3) + z = ⇔ 2x − y + z − 11 = ( ) ∆ Mặt khác theo giả thiết : MH = ( x − 1) + ( y + 3) + z = 2 ( 42 ) = 42 ( 3)  x = 13 − y  x = 13 − y  x = 13 − y      ⇒  z = y − 15 ⇔  z = y − 15 ⇔  z = y − 15    y2 + y + = 2 2 2  ( x − 1) + ( y + 3) + z = 42 ( 12 − y ) + ( y + ) + ( y − 15 ) = 42   Vậy : H=(29;-4;-27) H=(21;-2;-21) Do có hai đường thẳng ∆ có véc tơ phương  x = 29 + 2t  x = 21 + 2t uu r   ∆ :  y = −2 − 3t u∆ = ( 2; −3;1) qua hai điểm H tìm : ∆1 :  y = −4 − 3t ;  z = −27 + t  z = −21 + t   Sưu tầm giải – Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 Trang 19 MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12 Bài 31 (KB-08 ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) tìm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – = cho MA = MB = MC GIẢI r uuu uuu r r - Lập mặt phẳng (ABC) qua A(0;1;2) có véc tơ pháp tuyến n =  AB, AC    uuu r uuu r uuu uuu r r  −3 −1 −1 2 −3  ; ; Với : AB = ( 2; −3; −1) , AC = ( −2; −1; −1) ⇒  AB, AC  =  ÷ = ( 2; 4; −8 )   −1 −1 −1 −2 −2 −1   Do (ABC) có phương trình : x+2(y-1)-4(z-2)=0 , Hay (ABC): x+2y-4z+6=0 - Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) : 2x+2y+z-3=0 Nếu M=(x;y;z) thuộc (P) : 2x+2y+z-3=0 (1) Ta có : uuu r 2 ⇔ MA = ( x; y − 1; z − ) ⇔ MA2 = x + ( y − 1) + ( z − ) = x + y + z − y − 4z + uuu r 2 ⇔ MB = ( x − 2; y + 2; z − 1) ⇔ MB = ( x − ) + ( y + ) + ( z − 1) = x + y + z − 4x+4y − 2z + uuur u 2 ⇔ MC = ( x + 2; y; z − 1) ⇔ MC = ( x + ) + ( y ) + ( z − 1) = x + y + z + 4x − z + - Theo giả thiết , MA=MB=MC ta có hệ :  MA2 = MB −2 y − 4z = −4x + y − 2z + 2x-3y − z =  z = −7     ⇔ −2 y − 4z = 4x − 2z ⇔ 2x + y + z = ⇔  y = ⇔ M ( 2;3; −7 )  MA = MC  2x + y + z − = 2x + y + z − = 2x + y + z =    x =  Bài 32 Trong kh«ng gian víi hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1;4;2),B(-1;2;4) đờng th¼ng ∆ : x −1 y + z = = Tìm toạ độ điểm M cho: MA2 + MB = 28 −1 GIẢI Nếu M thuộc ∆ M=(1-t;t-2;2t ) Khi ta có : uuu r 2 ⇔ MA = ( −t ; t − 6; 2t − ) ⇔ MA2 = t + ( t − ) + ( t − ) = 6t − 20t + 40 uuu r 2 ⇔ MB = ( − t ; t − 4; 2t − ) ⇔ MB = ( t − ) + ( t − ) + ( 2t − ) = 6t − 28t + 36 Theo giả thiết cho : MA2 + MB = 28 ⇔ 12t − 48t + 76 = 28, ⇔ ( t − ) = ⇒ t = ⇔ M = ( −1;0; ) Trang 20 Sưu tầm giải – Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 ... vng góc với d Tìm ∆ điểm M cho khoảng cách AM ngắn GIẢI Gọi B(x;y;z) giao d với (P) tọa độ B nghiệm hệ : Trang 16 Sưu tầm giải – Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 d M B P A MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ... −  Bài Trong không gian hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; −1; 2), B(1; 3; 0), C(−3; 4; 1) D(1; 2; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách. .. t + ) + ( − t ) + 16  2 Bài 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: Trang 10 Sưu tầm giải – Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ HH-KG LỚP 12 88 = 22 Dấu