Phát triển tư duy của học sinh qua bài toán tính số đo góc Hình học 7

Mỗi dạng bài toán Hình có những phương pháp giải bài tập khác nhau, tuy nhiên khi làm bài tập Hình, nếu học sinh có được cái nhìn ở các góc cạnh khác nhau thì sẽ hiểu sâu sắc bài tập Hìn

4/ Đối tượng, phạm vi nghiên cứu ……… Trang 4

Phần II: Nội dung

2/ Thực trạng vấn đề nghiên cứu ……… trang 6

Phần III: Kết luận và khuyến nghị

1/ Đánh giá cơ bản về SKKN ……… trang 33

2/ Các khuyến nghị đề xuất ……… trang 34

Tư duy là một hình thức nhận thức lí tính của con người Về mặt tâm lí thì

tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối

liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hịên tượng trong hiện

thực khách quan mà trước đó con người chưa biết

1

Tư duy thể hiện sự phát triển của con người trong xã hội Tư duy không tự nhiên

mà có mà do quá trình rèn luyện lâu dài, muốn tư duy phát triển cần được rèn

luyện thường xuyên, học các môn các môn khoa học tự nhiên đặc biệt là môn

Toán sẽ phát triển tư duy rất tốt Lứa tuổi THCS đang phát triển mạnh về tư duy

nên giáo viên cần quan tâm không được xem nhẹ vấn đề này

Mỗi dạng bài toán Hình có những phương pháp giải bài tập khác nhau, tuy nhiên

khi làm bài tập Hình, nếu học sinh có được cái nhìn ở các góc cạnh khác nhau

thì sẽ hiểu sâu sắc bài tập Hình và hơn nữa tìm được cái đẹp của môn Toán Cái

nhìn ở các phương diện khác nhau chính là cách thay đổi bài toán có thể trở

thành bài dễ hơn nhưng cũng có thể thành bài toán khó hơn Khi làm được như

vậy thì ý thức tự học của học sinh sẽ cao hơn, những bài tập khó sẽ trở nên dễ

hơn, và quan trọng nhất là học sinh có được sự tự tin khi làm bài tập

Trong định hướng đổi mới phương pháp bậc THCS thì tự học là một yêu cầu

quan trọng đối với học sinh Tự học giúp cho HS say mê học tập, hiểu sâu kiến

thức và quan trọng hơn là phát triển óc sáng tạo Vấn đề đặt ra là làm thế nào có

thể giúp HS tạo hứng thú trong việc tự học, tìm thấy niềm vui khi học toán Để

làm được như vậy thì GV phải cung cấp cho học sinh hệ thống bài tập từ dễ đến

khó, cho học sinh nhìn thấy những bài toán khó đều bắt đầu từ những bài toán

cơ bản HS cảm thấy bản thân cũng có thể tạo ra các bài toán có dạng tương tự

như vậy

Đối với học sinh lớp 7, các em mới thật sự tiếp xúc với chương trình hình

học cho nên khi đứng trước một bài tập hình, để có một hướng giải phù hợp cho

việc tìm tòi ra lời giải thật sự là một việc quá khó Thông thưòng đối với một bài

toán chứng minh thì mệnh đề cần chứng minh đã được nêu rõ ràng trong kết

luận của bài toán, học sinh chỉ phân tích, tìm tòi các mối liên quan giữa các dữ

kiện của bài toán để suy luận đi từ giả thiết và những điều kiện đã biết để khẳng

định kết luận Đây là việc thật chẳng dễ dàng đối với học sinh Còn đối với bài

2

tính số đo góc, nó thuộc loại phải tìm tòi, cái giá trị cần tìm là chưa biết, chứng

minh các dự đoán mới xác định được số đo cần tìm, cho nên loại này càng khó

hơn đối với các em

Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài: “Phát triển tư duy của học sinh qua bài

toán tính số đo góc Hình học 7”, giúp học sinh thay đổi cách nhìn về bài toán,

thay đổi phong cách học tập và tư duy cho phù hợp với lứa tuổi, bằng cách nêu

một hệ thống bài tập để học sinh phân loại được tốt các dạng bài tập Làm được

như vậy học sinh sẽ thấy tự tin hơn khi gặp bài toán lạ có khả năng tự tìm lời

giải cho bài toán, phát huy tính sáng tạo để đáp ứng nhu cầu của cuộc sống hiện

đại

2/ Mục đích nghiên cứu:

Đây là đề tài rộng và ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể hiện rõ vẻ đẹp của

môn Hình học và đặc biệt nó giúp phát triển rất nhiều tư duy của học sinh, nếu

vấn đề này tiếp tục được khai thác hàng năm và được sự quan tâm góp ý của các

thầy cô thì chắc hẳn nó sẽ là kinh nghiệm quý dành cho việc dạy học sinh khá

giỏi Vì đây là đề tài khó nên trong kinh nghiệm này tôi chỉ trình bày một vài

chương của môn Hình lớp 7, phần này thường chỉ xuất hiện trong các bài thi của

kì thi học sinh giỏi

Chỉ có thể thấy được sự thú vị của những bài toán này trong thực tế giảng dạy,

những bài toán cơ bản nhưng cũng có thể làm cho một số học sinh khá lúng túng

do chưa nắm được những bài toán cơ bản Khi đi sâu tìm tòi những bài toán cơ

bản ấy không những học sinh nắm sâu kiến thức mà còn tìm được vẻ đẹp của

môn Hình Vẻ đẹp đó được thể hiện qua những cách giải khác nhau, những cách

kẻ đường phụ, những ý tưởng mà chỉ có thể ở môn Hình mới có, làm được như

vậy học sinh sẽ yêu thích môn Hình Đó là mục đích của bất kì giáo viên dạy ở

môn nào cần khêu gợi được niềm vui, sự yêu thích của học sinh ở môn học đó

3

Nhưng mục đích lớn nhất trong việc dạy học là phát triển tư duy của học sinh và

hình thành nhân cách cho học sinh.Qua mỗi bài toán học sinh có sự nhìn nhận

đánh giá chính xác, sáng tạo và tự tin qua việc giải bài tập Hình đó là phẩm chất

của con người mới

3/ Kết quả cần đạt:

Các bài tập tính số đo góc trong bài tập Hình 7 đều là các bài toán khó,

yêu cầu học sinh phải có sự tư duy trừu tượng cao, sự phân loại tốt các dạng

toán Vì vậy GV phải giúp cho số học sinh đó hiểu được một số bài toán phát

triển từ bài toán cơ bản đó nhưng quan trọng hơn GV cần giúp cho học sinh hiểu

được hướng phát triển một bài toán Tại sao phải làm như vậy? Làm như thế đạt

được mục đích gì? Qua đó giúp các em say mê môn Toán, số học sinh làm được

điều này không nhiều vì đây là vấn đề khó cần sự kiên trì và cố gắng của cả HS

và GV mặc dù vậy tôi hướng đến 1/5 số học sinh đạt được điều này, có thể học

sinh sẽ không tạo ra những dạng mà thầy đã làm vì vốn kinh nghiệm của học

sinh còn rất hạn chế nên GV cần phải động viên giúp các em tự tin hơn Việc

sáng tạo đó không những cần có kiến thức vô cùng chắc chắn học sinh cần có sự

nhạy cảm của toán học Điều này chỉ phù hợp với học sinh giỏi nên tôi chỉ áp

dụng yêu cầu này trong quá trình dạy học sinh giỏi Cho dù là học sinh giỏi hay

học sinh khá khi nhìn một bài toán dưới nhiều góc độ thì học sinh đó sẽ tự tin

hơn, thích thú hơn với môn học, yếu tố đó rất quan trọng trong quá trình tự học,

nó giúp quá trình rèn luyện hình thành tư duy cho học sinh tốt hơn

4/ Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu:

Đề tài này được viết trong quá trình dạy và học, được rút ra từ một số

kinh nghiệm nhỏ trong quá trình dạy học ở trường THCS Vĩnh Phong và trường

4

THCS Nhân Hoà nên đương nhiên đối tượng là học sinh của các trường đại trà

không có nhiều học sinh khá giỏi Đối tượng chính là học sinh lớp 7 trường

THCS Nhân Hoà Trường THCS Nhân Hoà có 2 lớp 7 với 70 học sinh nhưng

chủ yếu là học sinh trung bình và khá, số lượng học sinh giỏi rất ít nên việc đào

tạo bồi dưỡng học sinh giỏi luôn là việc rất khó khăn của nhà trường Chính đối

tượng học sinh chiếm chủ yếu là học sinh trung bình và khá cộng thêm với phạm

vi nhỏ hẹp nên vấn đề được nghiên cứu rất đơn giản, nâng cao từng cấp độ để

phù hợp với từng đối tượng học sinh

PHẦN II

1/ Cơ sở lí luận:

Do tư duy là thuộc tính của tâm lí, tư duy hình thành và phát triển theo từng

giai đoạn trong quá trình trưởng thành của con người Tư duy đặc biệt phát triển

mạnh ở giai đoạn thanh, thiếu niên Vì vậy giáo viên cần phải quan tâm đến

phương pháp giảng dạy nhằm phát triển tư duy cho học sinh một cách tốt nhất

Tất cả các môn học đều phát triển tư duy cho học sinh nhưng môn toán có vai

trò quan trọng hơn cả Giải bài tập toán là lúc học sinh được thể hiện kĩ năng,

tính sáng tạo, phát triển óc tư duy

Các bài tập tính số đo góc của hình 7 rất khó và phức tạp vì các em chưa có

nhiều kiến thức về môn hình Do đặc điểm của môn Hình khó, phải tư duy trừu

tượng và kèm thêm việc vẽ hình phức tạp nên GV phải tạo cho học sinh kĩ năng

vẽ hình và hướng dẫn học sinh tư duy dựa trên những bài toán cơ bản

2 Thực trạng vấn đề cần nghiên cứu: (khi ở trường THCS Nhân Hòa)

5

Trường THCS Nhân Hoà là một trường nhỏ không có lớp chọn, trường có 8

lớp chia đều cho các khối Phần lớn học sinh học khá và trung bình, kĩ năng cơ

bản không có Những học sinh xuất sắc của xã đều chuyển trường khác nên

trường rất khó có học sinh giỏi Việc dạy ôn thi học sinh giỏi là trách nhiệm

quan trọng của nhà trường Năm học này tôi được phân công dạy 2 lớp 7 của

trường Mỗi lớp có 35 học sinh trong đó quá nửa là học sinh trung bình và khá

Mục tiêu chính của trường chúng tôi là nâng cao chất lượng đại trà, củng cố

thêm cho học sinh giỏi, bên cạnh việc hình thành cho học sinh ý thức của con

người mới: sáng tạo và năng động

Được phân công dạy đội tuyển toán 7 trong những năm học (2004-2005,

2005-2006, 2006-2007, 2007-2008, 2008-2009) tôi đã lựa chọn cho một hướng đi cụ

thể: từ đơn giản đến phức tạp nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi của

trường Sau đây là nội dung tôi trình bày:

3/ Giải pháp thực hiện:

I NHẬN XÉT CHUNG:

- Hiện trạng khi chưa thực hiện đề tài:

* Về học sinh: Một số em còn ngán ngại và sợ học môn hình học, trong

giờ học chỉ chờ có bài giải mẫu để chép, ít chiu suy nghĩ, tìm tòi lời giải, thường

giải bài tập xong là xong, khi đưa bài toán “khai thác” thì ít học sinh làm được

6

* Đối với giáo viên cũng khó khăn như bài tập quá đa dạng, phong phú,

nếu không có thời gian và phương pháp lựa chọn thích hợp thì dễ bị phiến diện,

bài tập dễ quá hoặc khó quá, không đủ thời gian làm dễ gây cho học sinh tâm lý

“sợ toán” chán nản và từ đó chỉ chú ý vào thủ thuât giải mà quên đi luyện

phương thức tư duy

- Kết quả khi thực hiện đề tài : Học sinh yêu thích môn hình học, vẽ hình chuẩn

hơn và chính xác hơn, thích suy nghĩ và tìm tòi lời giải hơn Trong quá trình giải

toán đưa ra bài tập tương tự bài đã làm, nhưng thay đổi cấu trúc bài toán thì học

sinh làm tốt hơn

- Những biện pháp tác động giáo dục :

* Học sinh có kiến thức cơ bản tổng hợp

* Hướng dẫn học sinh “nhìn thấy” cấu trúc logic của bài toán, đặc biệt nhìn

thấy sự “ tương đương” của các mệnh đề toán học

* Tổ chức cho học sinh hoạt động ngôn ngữ thông qua sử dụng các hệ thống

khái niệm khác nhau

* Hướng dẫn học sinh “nhận ra” sự thống nhất về cấu trúc logic của bài toán

có biểu tượng trực quan hình học ứng với các hệ thống khái niệm khác nhau đó

- Những giải pháp khoa học tiến hành :

* Rèn luyện kỹ năng vẽ hình

* Từ một bài toán điển hình hướng dẫn học sinh phân tích giả thiết và kết luận

* Từ một bài toán điển hình hướng dẫn học sinh vẽ thêm đường phụ, điểm phụ

* Từ một bài toán điển hình hướng dẫn học sinh phân tích để quy từ lạ về quen

PHẦN 1 NHỮNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ HƯỚNG GIẢI QUYẾT

1 Trong tam giác, tổng số đo 3 góc bằng 1800

Như vậy:

7

a Trong một tam giác , biết 2 góc thì tính được góc còn lại.

b Trong một tam giác cân, biết một góc thì tính được 2 góc kia

2 Trong tam giác vuông, 2 góc nhọn phụ nhau

Như vậy:

a Trong tam giác vuông, biết một góc nhọn thì tính được góc nhọn kia

b Trong tam giác vuông cân mỗi góc nhọn bằng 450

3 Trong tam giác đều, mỗi góc luôn bằng 600

4 Nửa tam giác đều:

Ta có thể hiểu “Nửa tam giác đều” là tam giác vuông có một cạnh góc vuông

bằng nủa cạnh huyền

Trong nửa tam giác đều các góc đối diện với cạnh góc vuông bé, cạnh góc

vuông lớn và cạnh huyền theo thứ tự là 300; 600 và 900

5 Hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành góc vuông

Hai tia phân giác của hai góc kề phụ tạo thành góc có số đo bằng 450

Thông thường khi gặp bài toán tính số đo góc ta nghĩ đến việc xét số đo góc

đó trong mối liên hệ với các góc của một trong các hình nêu trên để thông qua

đó xác định số đo góc cần tìm hoặc nhiều khi phải chứng minh tam giác bằng

nhau để từ đó rút ra các góc tương ứng bằng nhau

Nhưng trong thực tế khi giải toán, không phải lúc nào đề bài cũng cho sẳn

những yếu tố như tam giác cân, tam giác đều, nửa tam giác đều để ta vận

dụng Như vậy vấn đề đặt ra là có cách nào để tạo ra một trong các hình đó một

cách thích hợp để vận dụng Nghĩ như vậy sẽ giúp ta có hướng vẽ thêm đường

phụ thích hợp để tìm ra lời giải bài toán

PHẦN II

CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI

DẠNG I : TÍNH SỐ ĐO GÓC THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN

8

“NỬA TAM GIÁC ĐỀU”

AD chia góc BAC thành 3góc băng nhau

*Tìm tòi: sau khi vẽ hình tương đối chính xác

Ta thấy VABC có dạng giống “nửa tam giác đều”

từ đó gợi ý ta có thể vận dụng điều này Xét thấy

HD = HB =BD2 =CD2 cần làm xuất hiện đoạn thẳng

bằng HD và tạo với CD thành một tam giác vuông, từ đó

ta nghĩ đến việc kẻ DK ^AC tại K Lúc này chứng minh DCDK là nửa D đều

và bài toán được giải quyết

Giải tóm tắt:

Vẽ DK ^ AC tại k

Dễ thấy AH cũng là trung tuyến của DABD Þ HD = 1/2 BD = 1/2 DC D

thuộc phân giác của góc HAC Þ DH = DK

Þ DK =12 DC

D CDK là nửa D đều Þ µC = 300

Từ đó tính được: µA = 900 và B =µ 60 0

BÀI TOÁN 2: Cho DABC có góc ACB = 300

Đường cao AH bằng nửa cạnh BC D là trung

điểm của AB Tính góc BCD

*Tìm tòi: Theo giả thiết AH = 1

2 BC hay BC = 2 AH

Ta tìm xem có đoạn nào cũng bằng 2 AH Để ý đến giả

thiết µC = 300 ,

ta thấy ngay DAHC là nửa D đều Þ AC = 2AH Như vậy DACB cân tại C

trung tuyến CD cũng là phân giác Từ đó tính được ·BCD

9

30 A

H

A E

F

H

K I

Giải tóm tắt:

Theo giả thiết: AH = 1

2 BC Þ BC = 2 AH

D AHC là nửa D đều Þ AC = 2 AH Þ BC = AC Þ DABC cân tại C,

trung tuyến CD cũng là phân giác Vậy ·BCD = 150

BÀI TOÁN 3:

Cho DABC có góc C = 300 và BC = 2AB

Tính các góc A,B

* Tìm tòi:

Vẽ hình chính xác, ta dự đoán DABC là nửa D đều

Chứng minh được điều này là xong Đã có µC = 30 0

nên nếu vẽ BH ^AC tại K thì D HBC là nửa D đều,

chỉ cần chứng minh H Aº là xong

Giải tóm tắt:

Hạ BC ^ AC tại HDHBC là nửa D đều , µC= 300 Þ BH=12BC=AB

Như vậy: H º A vì nếu không thì DABH cân tại B Þ Hº A

Vậy DABC là nửa D đều Þ µA = 900 ; µB = 600

BÀI TOÁN 4:

Cho DABC ở miền ngoài D vẽ các D đều ABE và ACF Gọi H là trực tâm D

ABE I là trung điểm của BC Tính các góc của DFIH

*Tìm tòi: Nhìn hình vẽ ta dự đoán DFIH là nửa D đều từ đó ta nghĩ đến việc

vẽ D đều cạnh FH cũng từ đó ta nghĩ đến việc lấy K trên tia đối của tia IH sao

cho:

IK = IH Như vậy chỉ cần

chứng minh DFHK đều Muốn vậy ta xét 2 D

tương ứng chứa FH và FK Chứng minh 2 D

10

nàybằng nhau, ta giải quyết được bài toán

Giải tóm tắt:

Trên tia đối của tia IH lấy điểm K sao cho

IK=IH Nối KF dễ thấyDBHI=DCKI ( cgc)

Þ CK = BH Xét DHAF và D KCF có :

AH = CK ( vì cùng bằng BH)

AF = CF ( cạnh tam giác đều)

Và chứng minh được HAF KCF A· = · = + µ 90 0

Þ DAHF = DKCF (cgc) Þ HF = KF (1)

và AFH CFK· = · mà ·AFH HFC+ · = 60 0 Þ CFK HFC· + · = 60 0 hay ·HFH =, 60 0(2)

(1) và (2) Þ D HFK đều Þ FI cũng là phân giác và là đường cao

Vậy các góc của DFIH là : $I = 90 ; 0 Hµ = 60 ; 0 Fµ = 30 0

BÀI TOÁN 5:

Cho D nhọn ABC, ở miền ngoài D

ta vẽ các Dđều ACB1 và ABC1

Gọi K và L, thứ tự là trung điểm

của AC1 và CB1, điểm M thuộc cạnh

BC sao cho BM = 3MC Tính các

góc của D KLM

*tìm tòi:

Vẽ hình tương đối chính xác, ta thấy DKLM có dạng nửa D đều Để dễ xét

ta vẽ DKLP với P là điểm trên tia đối của tia ML sao cho MP = ML và tìm cách

chứng minh tam giác này đều

Về cạnh, ta có KL là một cạnh của D AKL trước hết ta xét KP và LP

Chúng không là cạnh của D nào tương ứng bằng DAKL cả Ta tìm D chứa

cạnh bằng cạnh LP mà D này có thể bằng DAKL

11

Gọi N là trung điểm của BC, I là trung điểm của AC.

Như vậy cần chứng minh D AKL = D NIB1 và NB1 = LP D KLP cân tại L chỉ

cần chứng minh 1 góc 600

Xét DKLP Muốn có KLI ILM· + · = 60 0 Cần chứng minh KLI· = ·MLC MLC MPN, · = ·

Cần chứng minh DIKL = DNPL và thế là bài toán được giải quyết

* Giải tóm tắt:

Gọi N là trung điểm của BC , gọi I là trung điểm AC Ta có MN = NC

Trên tia đối của tia ML lấy điểm P sao cho MP = ML Þ D NMP = D CML

DẠNG II: TÍNH SỐ ĐO GÓC THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN

TAM GIÁC VUÔNG CÂN

BÀI TOÁN 1:

12

Cho DABC vuông cân đỉnh A lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh AC, kẻ tia Ax vuông

góc với BM Gọi H là giao điểm của Ax với BC và K là điểm thuộc tia đối của

tia HC sao cho HK = HC kẻ tia Ky vuông góc với BM Gọi I là giao điểm của

Ky với AB Tính góc AIM

*Tìm tòi:

Theo hình vẽ ta nghĩ ngay đến AML vuông

cân tại A

Chưa có thể chứng minh AM = AI được Ta

cần tìm đoạn thứ ba làm trung gian

Trên tia đối của tia AB lấy L sao cho AL = AM

Chỉ cần chứng minh AI = AL

Giải tóm tắt:

Trên tia đối của tia AB lấy điểm L sao cho AL = AM (1)

Nối LC DABM = D ACL (cgc)

Þ ·ACL= ·ABM mà ·ACL ALC+ · = 1v Þ ·ABM ALC+ · = Þ 1v BM CL^

Þ LC // AH // IK , có CH = HK Þ AI = AL (2)

Từ (1) và (2) Þ AM = AI Þ DAMI vuông cân tại A

Vậy ·AIM =45 0

BÀI TOÁN 2:

Cho D ABC có góc B = 450; Góc C = 1200 Trên tia đối của tia CB lấy điểm D

sao cho CD = 2 CB Tính ·ADB

*Tìm tòi: Với giả thiết cho ¶ 0 ¶ 0

C = Þ C = Khi có góc bằng 600, ta nghĩ đến việc vận

dụng nửa D đều ( hoặc D đều) Từ đó gợi ý

1 2

1

A

D H

450

3 2 1

B

D E

cho ta hạ DH ^ AC Có ngay ¶ 0

D = Chỉ cần tìm D¶2, D¶2 là góc nhọn của D vuông

phải chăng D ADH vuông cân ? Muốn

Dễ thấy ·ABH =15 0 mà BAC =· 180 0 - (120 0 + 45 0) hay ·BAC = 150

Þ D ABH cân tại H Þ HB = HA (2)

Từ (1) và (2) Þ HD = HA Þ D AHD vuông cân tại H Þ ¶ 0

của D vuông cân Ta cần tìm Dvuông cân

chứa góc này nghĩ vậy, từ trung điểm E của

14

B C

A D

tại F lợi dụng D bằng nhau, chứng minh

DBEC vuông cân là xong

Giải tóm tắt:

Trên nửa mặt phẳng đối của nửa mặt phẳng bờ AC có chứa B vẽ tia Cx sao cho

ACx ADB= Từ trung điểm E của AD vẽ đường vuông góc với AC cắt Cx tại F,

nối BF Dễ thấy DFEC = DBAD (gcg) Þ EF = AB = AC3

Hạ FK ^AB chứng minh được D FKB = DFEC (cgc)

Cho DABC, vẽ phía ngoài D dựng các D vuông cân đỉnh A ADB và ACE

Gọi P, Q, M thứ tự là trung điểm của BD, CE và BC Tính các góc của DPQM

Tìm tòi: Trước hết ta nhận xét D PQM có

thể vuông cân tại M, từ đó ta nghĩ đến chứng

minh MP = MQ (*) Thường trong bài toán

có nhiều trung điểm ta nghĩ ngay đến việc

vận dụng đường trung bình tam giác dễ thấy

dễ có (*) cần chứng minh BE = CD đó chính

là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng I

nhau ADC và ABE Cuối cùng muốn có MP ^MQ cần chứng minh CD^

BE là xong

Giải tóm tắt:

Ta có DABE = D ADC (cgc) Þ BE = CD

Gọi I là giao điểm của BE và DC Dễ dàng

chứng minh được IDB IBD· + · = 90 0 Þ BE CD^

15

2DC MQ=2BE (theo t/c đường trung bình D)

Þ MP = MQ và MP ^MQ Þ DPMQ vuông cân tại M Vậy các góc của D

PMQ lần lượt là P Qµ = =µ 45 ; 0 M¶ = 90 0

BÀI TOÁN 5:

Cho D ABC , biết các đường cao hạ từ A và B ,xuống các cạnh đối diện không

nhỏ hơn các cạnh đối diện ấy Hãy tính các góc của D ABC

*Tìm tòi:

Gọi 2 đường cao là AH và BK có AH ³ BC;

BK ³ AC Ta phải tính góc A ,B,C

Xét vài trường hợp hình vẽ, nếu một chiều

cao lớn hơn cạnh tương ứng thì chiều cao kia

bé hơn cạnh tương ứng từ đó ta nghĩ đến

trường hợp cả hai chiều cao đều bằng cạnh

đối diện tương ứng của D vuông cân và đi chứng minh DABC vuông cân tại C

Vẽ hình tương đối chính xác, ta dự đoán góc

ADB = 450, từ đó nghĩ đến việc tạo ra tam

A

D K

H

B C

D H

A E

giác vuông cân bằng cách hạ BK ^ AC

Ta cần chứng minh D KBD vuông cân tại K

Để ý tính chất: Trong D đường phân giác

trong của một góc và hai phân giác ngoài của

hai góc còn lại đồng qui ta có µA1 =A¶2 lợi dụng góc ngoài của D và góc có cạnh

tương ứng vuông góc ta sẽ chứng minh được D¶1 =KDB·

Giải tóm tắt:

Vẽ BK ^ AC tại K Xét D ABH có BD là phân giác trong HD là phân giác

ngoài đỉnh H Þ AD là phân giác ngoài đỉnh A Þ µA1 =A¶2

Mà Aµ1 =KBH· Þ ¶A2 =KBH· Trong D ABD góc ngoài ¶A2 =D¶1 +Bµ1

Cho D ABC vuông ở A , có góc B = 750 Trên tia đối của tia AB lấy điểm H

sao cho BH = 2 AC Tính góc BHC

*Tìm tòi:

Từ giả thiết BH = 2 AC Muốn vận dụng giả thiết

này ta gọi E là trung điểm của BH và BE=EH=AC

D A

E

B

E D

và DHB DBH· = · = 15 0 chứng minh DHB DHC· = ·

Giai tóm tắt:

Gọi E là trung điểm của BH Dựng D đều BDC

(D và A thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ BC)DEDB = DABC (cgc)Þ ¶

Cho D ABC cân tại A Có góc A = 400 Trên

nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia

Bx sao cho góc CBx = 100 Trên Bx lấy

điểm E sao cho BE = BA Tính góc BEC

*Tìm tòi: Ta thấy góc BEC là một góc của

·BAC Þ ·BAD= 200 Chỉ cần chứng minh CEB BAD· = · nhờ 2 D bằng nhau

Giải tóm tắt: Vẽ D đều BDC ( D và A ở cùng nửa mp bờ BC)

Chứng minh đượcDCEB=DDAB (cgc) Þ BEC BAD· = ·

Dễ thấy AD là trung trực của BC nên trongD ABC, AD cũng là phân giácÞ

·BAD=200 Vậy ·BEC = 200

BÀI TOÁN 3:

Cho D ABC vuông cân ở A Điểm E nằm

trong Dsao cho EAC ECA· = · = 150 Tính ·AEB

*tìm tòi:

Có EAC· = 15 0 Þ EAB· = 75 0, để ý 750 = 150 + 600

18