Sáng kiến kinh nghiệm phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc hình học 7

Mỗi dạng bài toán Hình có những phương pháp giải bài tập khác nhau, tuy nhiên khi làmbài tập Hình, nếu học sinh có được cái nhìn ở các góc cạnh khác nhau thì sẽ hiểu sâu sắc bài tậpHình

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ:

1/ Lí do chọn đề tài:

Tư duy là một hình thức nhận thức lí tính của con người Về mặt tâm lí thì tư duy là mộtquá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong cótính quy luật của sự vật hịên tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó con người chưa biết

Tư duy thể hiện sự phát triển của con người trong xã hội Tư duy không tự nhiên mà có

mà do quá trình rèn luyện lâu dài, muốn tư duy phát triển cần được rèn luyện thường xuyên, họccác môn các môn khoa học tự nhiên đặ00

c biệt là môn Toán sẽ phát triển tư duy rất tốt Lứa tuổi THCS đang phát triển mạnh về tưduy nên giáo viên cần quan tâm không được xem nhẹ vấn đề này

Mỗi dạng bài toán Hình có những phương pháp giải bài tập khác nhau, tuy nhiên khi làmbài tập Hình, nếu học sinh có được cái nhìn ở các góc cạnh khác nhau thì sẽ hiểu sâu sắc bài tậpHình và hơn nữa tìm được cái đẹp của môn Toán Cái nhìn ở các phương diện khác nhau chính

là cách thay đổi bài toán có thể trở thành bài dễ hơn nhưng cũng có thể thành bài toán khó hơn.Khi làm được như vậy thì ý thức tự học của học sinh sẽ cao hơn, những bài tập khó sẽ trở nên dễhơn, và quan trọng nhất là học sinh có được sự tự tin khi làm bài tập

Trong định hướng đổi mới phương pháp bậc THCS thì tự học là một yêu cầu quan trọng đối vớihọc sinh Tự học giúp cho HS say mê học tập, hiểu sâu kiến thức và quan trọng hơn là phát triển

óc sáng tạo Vấn đề đặt ra là làm thế nào có thể giúp HS tạo hứng thú trong việc tự học, tìm thấyniềm vui khi học toán Để làm được như vậy thì GV phải cung cấp cho học sinh hệ thống bài tập

từ dễ đến khó, cho học sinh nhìn thấy những bài toán khó đều bắt đầu từ những bài toán cơ bản

HS cảm thấy bản thân cũng có thể tạo ra các bài toán có dạng tương tự như vậy

Đối với học sinh lớp 7, các em mới thật sự tiếp xúc với chương trình hình học cho nênkhi đứng trước một bài tập hình, để có một hướng giải phù hợp cho việc tìm tòi ra lời giải thật sự

là một việc quá khó Thông thưòng đối với một bài toán chứng minh thì mệnh đề cần chứngminh đã được nêu rõ ràng trong kết luận của bài toán, học sinh chỉ phân tích, tìm tòi các mối liênquan giữa các dữ kiện của bài toán để suy luận đi từ giả thiết và những điều kiện đã biết đểkhẳng định kết luận Đây là việc thật chẳng dễ dàng đối với học sinh Còn đối với bài tính số đogóc, nó thuộc loại phải tìm tòi, cái giá trị cần tìm là chưa biết, chứng minh các dự đoán mớixác định được số đo cần tìm, cho nên loại này càng khó hơn đối với các em

Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài: “phát triển tư duy của học sinh qua bài toán tính số đo gócHình học 7”, giúp học sinh thay đổi cách nhìn về bài toán, thay đổi phong cách học tập và tưduy cho phù hợp với lứa tuổi, bằng cách nêu một hệ thống bài tập để học sinh phân loại được tốtcác dạng bài tập Làm được như vậy học sinh sẽ thấy tự tin hơn khi gặp bài toán lạ có khả năng

tự tìm lời giải cho bài toán, phát huy tính sáng tạo để đáp ứng nhu cầu của cuộc sống hiện đại

2/ Mục đích nghiên cứu:

Đây là đề tài rộng và ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể hiện rõ vẻ đẹp của môn Hình học vàđặc biệt nó giúp phát triển rất nhiều tư duy của học sinh, nếu vấn đề này tiếp tục được khai tháchàng năm và được sự quan tâm góp ý của các thầy cô thì chắc hẳn nó sẽ là kinh nghiệm quýdành cho việc dạy học sinh khá giỏi Vì đây là đề tài khó nên trong kinh nghiệm này tôi chỉ trìnhbày một vài chương của môn Hình lớp 7, phần này thường chỉ xuất hiện trong các bài thi của kìthi học sinh giỏi

Chỉ có thể thấy được sự thú vị của những bài toán này trong thực tế giảng dạy, những bàitoán cơ bản nhưng cũng có thể làm cho một số học sinh khá lúng túng do chưa nắm được nhữngbài toán cơ bản Khi đi sâu tìm tòi những bài toán cơ bản ấy không những học sinh nắm sâu kiếnthức mà còn tìm được vẻ đẹp của môn Hình Vẻ đẹp đó được thể hiện qua những cách giải khácnhau, những cách kẻ đường phụ, những ý tưởng mà chỉ có thể ở môn Hình mới có, làm đượcnhư vậy học sinh sẽ yêu thích môn Hình Đó là mục đích của bất kì giáo viên dạy ở môn nào cầnkhêu gợi được niềm vui, sự yêu thích của học sinh ở môn học đó Nhưng mục đích lớn nhấttrong việc dạy học là phát triển tư duy của học sinh và hình thành nhân cách cho học sinh.Quamỗi bài toán học sinh có sự nhìn nhận đánh giá chính xác, sáng tạo và tự tin qua việc giải bài tậpHình đó là phẩm chất của con người mới

3/ Kết quả cần đạt:

Các bài tập tính số đo góc trong bài tập Hình 7 đều là các bài toán khó, yêu cầu học sinhphải có sự tư duy trừu tượng cao, sự phân loại tốt các dạng toán Vì vậy GV phải giúp cho sốhọc sinh đó hiểu được một số bài toán phát triển từ bài toán cơ bản đó nhưng quan trọng hơn GVcần giúp cho học sinh hiểu được hướng phát triển một bài toán Tại sao phải làm như vậy? Làmnhư thế đạt được mục đích gì? Qua đó giúp các em say mê môn Toán, số học sinh làm được điềunày không nhiều vì đây là vấn đề khó cần sự kiên trì và cố gắng của cả HS và GV mặc dù vậy tôihướng đến 1/5 số học sinh đạt được điều này, có thể học sinh sẽ không tạo ra những dạng màthầy đã làm vì vốn kinh nghiệm của học sinh còn rất hạn chế nên GV cần phải động viên giúpcác em tự tin hơn Việc sáng tạo đó không những cần có kiến thức vô cùng chắc chắn học sinhcần có sự nhạy cảm của toán học Điều này chỉ phù hợp với học sinh giỏi nên tôi chỉ áp dụngyêu cầu này trong quá trình dạy học sinh giỏi Cho dù là học sinh giỏi hay học sinh khá khi nhìnmột bài toán dưới nhiều góc độ thì học sinh đó sẽ tự tin hơn, thích thú hơn với môn học, yếu tố

đó rất quan trọng trong quá trình tự học, nó giúp quá trình rèn luyện hình thành tư duy cho họcsinh tốt hơn

4/ Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu:

Đề tài này được viết trong quá trình dạy và học, được rút ra từ một số kinh nghiệm nhỏtrong quá trình dạy học ở trường THCS nên đương nhiên đối tượng là học sinh của các trườngđại trà không có nhiều học sinh khá giỏi Đối tượng chính là học sinh lớp 7 trường THCS với Xhọc sinh nhưng chủ yếu là học sinh trung bình và khá, số lượng học sinh giỏi rất ít nên việc đàotạo bồi dưỡng học sinh giỏi luôn là việc rất khó khăn của nhà trường Chính đối tượng học sinhchiếm chủ yếu là học sinh trung bình và khá cộng thêm với phạm vi nhỏ hẹp nên vấn đề đượcnghiên cứu rất đơn giản, nâng cao từng cấp độ để phù hợp với từng đối tượng học sinh

PHẦN II : GiảI quyết vấn đề1/ Cơ sở lớ luận:

Do tư duy là thuộc tớnh của tõm lớ, tư duy hỡnh thành và phỏt triển theo từng giai đoạntrong quỏ trỡnh trưởng thành của con người Tư duy đặc biệt phỏt triển mạnh ở giai đoạn thanh,thiếu niờn Vỡ vậy giỏo viờn cần phải quan tõm đến phương phỏp giảng dạy nhằm phỏt triển tưduy cho học sinh một cỏch tốt nhất Tất cả cỏc mụn học đều phỏt triển tư duy cho học sinhnhưng mụn toỏn cú vai trũ quan trọng hơn cả Giải bài tập toỏn là lỳc học sinh được thể hiện kĩnăng, tớnh sỏng tạo, phỏt triển úc tư duy

Cỏc bài tập tớnh số đo gúc của hỡnh 7 rất khú và phức tạp vỡ cỏc em chưa cú nhiều kiếnthức về mụn hỡnh Do đặc điểm của mụn Hỡnh khú, phải tư duy trừu tượng và kốm thờm việc vẽhỡnh phức tạp nờn GV phải tạo cho học sinh kĩ năng vẽ hỡnh và hướng dẫn học sinh tư duy dựatrờn những bài toỏn cơ bản

2 Thực trạng vấn đề cần nghiờn cứu:

Trường THCS Liờn Sơn là một trường nhỏ khụng cú lớp chọn Phần lớn học sinh học khỏ vàtrung bỡnh, kĩ năng cơ bản khụng cú Việc dạy ụn thi học sinh giỏi là trỏch nhiệm quan trọngcủa nhà trường Cỏc năm học này tụi được phõn cụng dạy lớp 7 của trường Mỗi lớp cú 35 họcsinh trong đú quỏ nửa là học sinh trung bỡnh và khỏ Mục tiờu chớnh của trường chỳng tụi lànõng cao chất lượng đại trà, củng cố thờm cho học sinh giỏi, bờn cạnh việc hỡnh thành cho họcsinh ý thức của con người mới: sỏng tạo và năng động

Được phõn cụng dạy đội tuyển toỏn 7 trong những năm học (2006-2007, 2007-2008,2008-2009) tụi đó lựa chọn cho một hướng đi cụ thể: từ đơn giản đến phức tạp nhằm nõng caochất lượng học sinh giỏi của trường Sau đõy là nội dung tụi trỡnh bày:

3/ Giải phỏp thực hiện:

I NHẬN XẫT CHUNG:

- Hiện trạng khi chưa thực hiện đề tài:

* Về học sinh: Một số em cũn ngỏn ngại và sợ học mụn hỡnh học, trong giờ học chỉ chờ

cú bài giải mẫu để chộp, ớt chịu suy nghĩ, tỡm tũi lời giải, thường giải bài tập xong là xong, khiđưa bài toỏn “khai thỏc” thỡ ớt học sinh làm được

* Đối với giỏo viờn cũng khú khăn như bài tập quỏ đa dạng, phong phỳ, nếu khụng cú thờigian và phương phỏp lựa chọn thớch hợp thỡ dễ bị phiến diện, bài tập dễ quỏ hoặc khú quỏ, khụng

đủ thời gian làm dễ gõy cho học sinh tõm lý “sợ toỏn” chỏn nản và từ đú chỉ chỳ ý vào thủ thuõtgiải mà quờn đi luyện phương thức tư duy

- Kết quả khi thực hiện đề tài : Học sinh yờu thớch mụn hỡnh học, vẽ hỡnh chuẩn hơn vàchớnh xỏc hơn, thớch suy nghĩ và tỡm tũi lời giải hơn Trong quỏ trỡnh giải toỏn đưa ra bài tậptương tự bài đó làm, nhưng thay đổi cấu trỳc bài toỏn thỡ học sinh làm tốt hơn

- Những biện pháp tác động giáo dục :

* Học sinh có kiến thức cơ bản tổng hợp

* Hướng dẫn học sinh “nhìn thấy” cấu trúc logic của bài toán, đặc biệt nhìn thấy sự “tương đương” của các mệnh đề toán học

* Tổ chức cho học sinh hoạt động ngôn ngữ thông qua sử dụng các hệ thống khái niệmkhác nhau

* Hướng dẫn học sinh “nhận ra” sự thống nhất về cấu trúc logic của bài toán có biểutượng trực quan hình học ứng với các hệ thống khái niệm khác nhau đó

- Những giải pháp khoa học tiến hành :

* Rèn luyện kỹ năng vẽ hình

* Từ một bài toán điển hình hướng dẫn học sinh phân tích giả thiết và kết luận

* Từ một bài toán điển hình hướng dẫn học sinh vẽ thêm đường phụ, điểm phụ

* Từ một bài toán điển hình hướng dẫn học sinh phân tích để quy từ lạ về quen

PHẦN 1 NHỮNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ HƯỚNG GIẢI QUYẾT

1 Trong tam giác, tổng số đo 3 góc bằng 1800

Như vậy:

a Trong một tam giác , biết 2 góc thì tính được góc còn lại

b Trong một tam giác cân, biết một góc thì tính được 2 góc kia

2 Trong tam giác vuông, 2 góc nhọn phụ nhau

Như vậy:

a Trong tam giác vuông, biết một góc nhọn thì tính được góc nhọn kia

b Trong tam giác vuông cân mỗi góc nhọn bằng 450

3 Trong tam giác đều, mỗi góc luôn bằng 600

4 Nửa tam giác đều:

Ta có thể hiểu “Nửa tam giác đều” là tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nủa cạnhhuyền

Trong nửa tam giác đều các góc đối diện với cạnh góc vuông bé, cạnh góc vuông lớn vàcạnh huyền theo thứ tự là 300; 600 và 900

5 Hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành góc vuông

Hai tia phân giác của hai góc kề phụ tạo thành góc có số đo bằng 450

Thông thường khi gặp bài toán tính số đo góc ta nghĩ đến việc xét số đo góc đó trong mối liên

hệ với các góc của một trong các hình nêu trên để thông qua đó xác định số đo góc cần tìm hoặcnhiều khi phải chứng minh tam giác bằng nhau để từ đó rút ra các góc tương ứng bằng nhau Nhưng trong thực tế khi giải toán, không phải lúc nào đề bài cũng cho sẳn những yếu tố nhưtam giác cân, tam giác đều, nửa tam giác đều để ta vận dụng Như vậy vấn đề đặt ra là cócách nào để tạo ra một trong các hình đó một cách thích hợp để vận dụng Nghĩ như vậy sẽ giúp

ta có hướng vẽ thêm đường phụ thích hợp để tìm ra lời giải bài toán

PHẦN II

CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI

DẠNG I : TÍNH SỐ ĐO GÓC THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN

“NỬA TAM GIÁC ĐỀU”

cao AH, trung tuyến AD chia góc BAC thành 3góc băng

nhau

*Tìm tòi: sau khi vẽ hình tương đối chính xác Ta thấy

ABC

V có dạng giống “nửa tam giác đều” từ đó gợi ý ta có

thể vận dụng điều này Xét thấy HD = HB = 2 2

BD=CD

cần làm xuất hiện đoạn thẳng bằng HD

và tạo với CD thành một tam giác vuông, từ đó

ta nghĩ đến việc kẻ DK ^AC tại K Lúc này chứng minh DCDK là nửa D đều và bài toánđược giải quyết

Đường cao AH bằng nửa cạnh BC D là trung

điểm của AB Tính góc BCD

30 A

H

A E

F

H

K I

*Tìm tòi: Theo giả thiết AH = 1

Chứng minh được điều này là xong Đã có µC = 30 0

nên nếu vẽ BH ^AC tại K thì D HBC là nửa D đều,

Cho DABC ở miền ngoài D vẽ các D đều ABE

và ACF Gọi H là trực tâm DABE I là trung điểm

của BC Tính các góc của DFIH

*Tìm tòi: Nhìn hình vẽ ta dự đoán DFIH là

nửa D đều từ đó ta nghĩ đến việc vẽ D đều cạnh

FH cũng từ đó ta nghĩ đến việc lấy K trên tia đối

của tia IH sao cho: IK = IH Như vậy chỉ cần chứng minh DFHK đều Muốn vậy ta xét 2 Dtương ứng chứa FH và FK Chứng minh 2 D nàybằng nhau, ta giải quyết được bài toán

Giải tóm tắt:

Trên tia đối của tia IH lấy điểm K sao cho

IK=IH Nối KF dễ thấyDBHI=DCKI ( cgc)

Þ CK = BH Xét DHAF và D KCF có :

AH = CK ( vì cùng bằng BH)

AF = CF ( cạnh tam giác đều)

Và chứng minh được ·HAF KCF A=· = +µ 900

Þ DAHF = DKCF (cgc) Þ HF = KF (1)

và ·AFH CFK=· mà ·AFH HFC+· =600Þ CFK HFC· +· =600 hay ·HFH =, 600(2)

(1) và (2) Þ D HFK đều Þ FI cũng là phân giác và là đường cao.

Vậy các góc của DFIH là : $I =90 ;0 Hµ =60 ;0 Fµ =300

BÀI TOÁN 5:

Cho D nhọn ABC, ở miền ngoài D

ta vẽ các Dđều ACB1 và ABC1

Gọi K và L, thứ tự là trung điểm

của AC1 và CB1, điểm M thuộc cạnh

Về cạnh, ta có KL là một cạnh của D AKL trước hết ta xét KP và LP Chúng không là cạnhcủa D nào tương ứng bằng DAKL cả Ta tìm D chứa cạnh bằng cạnh LP mà D này có thểbằng DAKL

Gọi N là trung điểm của BC, I là trung điểm của AC

Như vậy cần chứng minh D AKL = D NIB1 và NB1 = LP D KLP cân tại L chỉ cần chứngminh 1 góc 600

Xét DKLP Muốn có ·KLI ILM+· =600 Cần chứng minh ·KLI=MLC MLC MPN· ,· =·

Cần chứng minh DIKL = DNPL và thế là bài toán được giải quyết

* Giải tóm tắt:

Gọi N là trung điểm của BC , gọi I là trung điểm AC Ta có MN = NC Trên tia đối của tia

ML lấy điểm P sao cho MP = ML Þ D NMP = D CML (cgc)

DẠNG II: TÍNH SỐ ĐO GÓC THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN

TAM GIÁC VUÔNG CÂN

BÀI TOÁN 1:

Cho DABC vuông cân đỉnh A lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh AC,

kẻ tia Ax vuông góc với BM Gọi H là giao điểm của Ax với BC

và K là điểm thuộc tia đối của tia HC sao cho HK = HC kẻ tia

Ky vuông góc với BM Gọi I là giao điểm của Ky với AB Tính

góc AIM

*Tìm tòi:

Theo hình vẽ ta nghĩ ngay đến AML vuông cân tại A Chưa có

thể chứng minh AM = AI được Ta cần tìm đoạn thứ ba làm

trung gian Trên tia đối của tia AB lấy L sao cho AL = AM

Chỉ cần chứng minh AI = AL

Giải tóm tắt:

Trên tia đối của tia AB lấy điểm L sao cho AL = AM (1)

Nối LC DABM = D ACL (cgc)

Þ ·ACL=·ABM mà ·ACL ALC+· = 1v Þ ·ABM ALC+· = Þ1v BM CL^

Þ LC // AH // IK , có CH = HK Þ AI = AL (2)

Từ (1) và (2) Þ AM = AI Þ DAMI vuông cân tại A

Vậy ·AIM =450

BÀI TOÁN 2:

tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2 CB

Dễ thấy ·ABH =150 mà ·BAC =1800- (1200+450) hay ·BAC = 150

Þ D ABH cân tại H Þ HB = HA (2)

Từ (1) và (2) Þ HD = HA Þ D AHD vuông cân tại H Þ ¶D =2 450

Vậy ·ADB =300+450 =750

BÀI TOÁN 3:

2 1 2

1

A

D H

450

B C

AD

B

D E

Cho D ABC , có µA = 900 AC = 3AB Trên cạnh AC lấy 1 điểm D sao cho DA = 2 DC Tính

vuông cân Ta cần tìm Dvuông cân chứa góc

này nghĩ vậy, từ trung điểm E của AD Vẽ

đường thẳng vuông góc AC cắt Cx tại F lợi

dụng D bằng nhau, chứng minh DBEC vuông cân là xong

Giải tóm tắt: Trên nửa mặt phẳng đối của nửa mặt phẳng bờ AC có chứa B vẽ tia Cx sao cho

BÀI TOÁN 4:

Cho DABC, vẽ phía ngoài D dựng các D vuông cân đỉnh

A ADB và ACE Gọi P, Q, M thứ tự là trung điểm của BD,

CE và BC Tính các góc của DPQM

Tìm tòi: Trước hết ta nhận xét D PQM có thể vuông cân tại

M, từ đó ta nghĩ đến chứng minh MP = MQ (*) Thường

trong bài toán có nhiều trung điểm ta nghĩ ngay đến việc

vận dụng đường trung bình tam giác dễ thấy dễ có (*) cần

chứng minh BE = CD đó chínhlà hai cạnh tương ứng của

hai tam giác bằng nhau ADC và ABE Cuối cùng muốn

Cho D ABC , biết các đường cao hạ từ A và B ,xuống các

cạnh đối diện không nhỏ hơn các cạnh đối diện ấy Hãy tính

các góc của D ABC

BC; BK ³ AC Ta phải tính góc A ,B,C Xét vài trường

hợp hình vẽ, nếu một chiều cao lớn hơn cạnh tương ứng thì

chiều cao kia bé hơn cạnh tương ứng từ đó ta nghĩ đến

trường hợp cả hai chiều cao đều bằng cạnh đối diện tương

ứng của D vuông cân và đi chứng minh DABC vuông cân tại C

*Tìm tòi: Vẽ hình tương đối chính xác, ta dự

đoán góc ADB = 450, từ đó nghĩ đến việc tạo ra tam

giác vuông cân bằng cách hạ BK ^ AC Ta cần

chứng minh D KBD vuông cân tại K Để ý tính chất:

Trong D đường phân giác trong của một góc và hai

phân giác ngoài của hai góc còn lại đồng qui ta có

giác ngoài đỉnh H Þ AD là phân giác ngoài đỉnh A Þ µA1=¶A2

Mà µA1=KBH· Þ ¶A2=KBH· Trong D ABD góc ngoài ¶A2=D¶1+Bµ1

A

DK

H

B C

D H

A E

x

D A

Vậy D KBD vuông cân tại K và do đó ·ADB =450

DẠNG III : TÍNH SỐ ĐO GÓC THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN RA TAM GIÁC ĐỀU

BÀI TOÁN 1:

Cho D ABC vuông ở A , có góc B = 750 Trên tia đối của tia AB

lấy điểm H sao cho BH = 2 AC Tính góc BHC

*Tìm tòi:

Từ giả thiết BH = 2 AC Muốn vận dụng giả thiết này ta gọi E

là trung điểm của BH và BE=EH=AC Có BC là cạnh củaDABC

có µC =150 và để ý 750-150 = 600 ta nghĩ đến việc dựng D đều

BDC Lúc này có ngay DABC =DEBD (cgc)Þ µE = 1V

và ·DHB DBH=· =150 chứng minh ·DHB DHC=·

BDC (D và A thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ BC)DEDB = D

Cho D ABC cân tại A Có góc A = 400 Trên nửa mặt

phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia Bx sao cho góc CBx

= 100 Trên Bx lấy điểm E sao cho BE = BA Tính góc

BEC

cần tìm Dbằng D này Để ý ·CBE =100 và ·ABC =

700 = 100 + 600 Ta vẽ D đều BDC lúc này AD là trung

trực của BC cũng chính là phân giác của ·BAC Þ ·BAD =

200 Chỉ cần chứng minh ·CEB BAD=· nhờ 2 D bằng

nhau