SKKN Kinh nghiệm phát triển tư duy, óc sáng tạo và hứng thú học toán cho học sinh thông qua việc khai thác , phát triển từ một bài toán

Nếu người thầy chỉ dừng lại khi giải xong bài toán thì không thể khơi dậy học sinh óc tò mò, tính sáng và sự tìm tòi khám phá những điều lý thú ẩn sau mỗi bài toán, như thế không thể phá

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

a Cơ sở lí luận.

Dạy toán là một hoạt động nghiên cứu về toán học của học sinh và giáo viên bao

gồm day khái niệm, dạy định lý, giải toán , trong đó giải toán là công việc quan

trọng Bởi giải toán là quá trình suy luận nhằm khám phá ra quan hệ lôgic giữa cái

đã cho và cái chưa biết (giữa giả thiết và kết luận) Mỗi bài toán có thể có nhiều

cách giải, mỗi cách giải là một định hướng suy luận riêng nên khi đứng trước một

bài toán học sinh thường không biết bắt đầu từ đâu? phải làm như thế nào? Quá

trình bồi dưỡng học sinh giỏi nếu bắt đầu từ bài toán khó, rất khó dạy đối với thầy

và khó học đối với trò Mặt khác chúng ta không thể dạy hết cho học sinh tất cả

các bài tập cũng như các em không thể làm hết các bài tập đó Vì vậy để tạo mối

liên hệ giữa các bài tập, khi hướng dẫn cho học sinh giải một bài toán, giáo viên

cần hướng dẫn cho học sinh biết khai thác, mở rộng kết quả những bài toán đơn

giản và khai thác bài toán gốc để xây dựng các bài toán mới liên quan Điều này

giúp học sinh rèn luyện tư duy lôgic óc, sáng tạo, tự tìm tòi, suy nghĩ ra những bài

toán mới và có những cách giải hay Ngoài ra còn tạo điều kiện cho giáo viên và

học sinh không nhất thiết phải mua nhiều tài liệu bởi trên thực tế có rất nhiều đầu

sách có nội dung gần giống nhau Mặt khác muốn học giỏi toán thì yêu cầu học

sinh cần nắm chắc kiến thức và đứng trước một bài toán phải có cách nhìn,cách

tiếp cận, đánh giá và giải quyết các vấn đề của bài toán một cách triệt để chứ

không đơn thuần là giải cho xong Bởi việc tìm ra lời giải của bài toán nhiều khi

không phải là khó nhất là những bài toán ở sách giáo khoa Vì thế, đối với học

sinh nhất là học sinh khá giỏi thường mang tâm lý xem nhẹ bài toán ở sách giáo

khoa, nhưng thực ra đằng sau mỗi bài toán có bao nhiêu điều hấp dẫn, lý thú Quá

trình này phải bắt đầu từ các bài toán đơn giản đến phức tạp để rèn luyện năng lực

tư duy cho học sinh Như nhà toán học Đề Các đã nói: “Mỗi vấn đề mà tôi giải

quyết đều sẽ trở thành ví dụ mẫu mực dùng để giải quyết vấn đề khác” Từ đó giúp

các em có cơ sở khoa học khi phân tích, định hướng tìm lời giải cho các bài toán

khác và đặc biệt là củng cố cho các em lòng tin vào khả năng giải toán của mình

Để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, ngoài việc trang bị tốt hệ

thống kiến thức cơ bản và rèn luyện kỹ năng giải bài tập,Nhiệm vụ của người thầy

ngoài việc cung cấp kiến thức, rèn luyện kỹ năng cho học sinh còn có một nhiêm

vụ quan trọng đó là rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh trong quá trình giảng

dạy của mình Nếu người thầy chỉ dừng lại khi giải xong bài toán thì không thể

khơi dậy học sinh óc tò mò, tính sáng và sự tìm tòi khám phá những điều lý thú ẩn

sau mỗi bài toán, như thế không thể phát triển được năng lực tư duy của học sinh

và làm cho tiết học trở nên nhạt nhẽo và nhàm chán

Nếu sau mỗi bài toán, người thầy hướng dẫn học sinh khai thác sâu các kết

quả Từ đó tìm ra được chuỗi bài toán từ dễ đến khó thì không những rèn luyện

được năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh mà còn gây hứng thú làm cho giờ học

trở nên hấp dẫn hơn, giúp cho kiến thức của học sinh có tính hệ thống, được mở

rộng và sâu hơn Trong quá trình giảng dạy ở cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi,

tôi nhận thấy biện pháp tốt và rất hữu hiệu để bồi dưỡng năng lực tư duy theo định

hướng đổi mới phương pháp dạy học của Bộ Giáo Dục và Đào tạo: "Phương pháp

giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học

sinh, phù hợp với đặc điểm chung của từng lớp học, môn học ”(Trích “Một số

vấn đề đổi mới phương pháp dạy học ở trường THCS"- Bộ Giáo dục và Đào tạo )

b Cơ sở thực tiễn.

Trong những năm học gần đây, chúng ta đều thấy rằng việc đổi mới phương

pháp dạy học đã mang lại được một số hiệu quả nhất định

Trong quá trình giảng dạy, người giáo viên đã biết cách sử dụng các phương

pháp dạy học mới nhằm phát huy tính tích cực chủ động, năng lực tư duy, óc sáng

tạo cho học sinh

Qua thực tiễn và nghiên cứu tôi nhận thấy rằng việc dạy học theo định hướng

khai thác và phát triển bài toán là một cách làm hay, phù hợp với xu thế chung, góp

phần vào việc đổi mới phương pháp dạy học, rèn luyện kiến thức, kĩ năng, óc sáng

tạo và bồi dưỡng năng lực tư duy cho học sinh và ngoài ra còn gây hứng thú, ham

thích học toán cho các em

Tuy nhiên, trong thực tế giảng dạy của các giáo viên và trong các đề tài đã có

trước đây, thường mới chỉ chú trọng đến việc khai thác và phát triển một bài toán

hình học mà chưa thực sự quan tâm đến đại số nói chung và bất đẳng thức nói

riêng

Trong chương trình toán THCS, bất đẳng thức là một nội dung khó và quan

trọng, nó thường có mặt trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, thi học sinh

giỏi các cấp và trong cả các đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ sau này Nhưng tâm lí chung

của các học sinh là đều có cảm giác “sợ” và “ngại va chạm” đối với dạng toán này

Thực chất đó là do:

- Các em chưa nắm chắc được các bất đẳng thức cơ bản, các tính chất của bất đẳng

thức

- Chưa biết kết nối, xâu chuỗi các bất đẳng thức với nhau thành một hệ thống

- Chưa có kĩ năng quy lạ về quen, đưa nặng về nhẹ, chuyển đổi các bài toán phức

tạp cồng kềnh thành những bài toán đơn giản hơn

- Chưa biết cách biến đổi từ một bài toán gốc để đưa ra các bài toán mới, tổng quát

hóa, đặc biệt hóa,

- Chưa thực sự yêu thích môn học

Vậy nguyên nhân chủ yếu của thực trạng đó là gì?

- Thứ nhất, các bài toán về bất đẳng thức quá đa dạng và phức tạp và nó không có

một phương pháp chung nào để giải

- Thứ hai, một số giáo viên chưa thực sự có kiến thức tổng hợp về bất đẳng thức và

chưa đào sâu nghiên cứu kĩ về nội dung này

- Thứ ba, khi dạy về Đại số nói chung và bất đẳng thức nói riêng, các giáo viên

thường mới chỉ dạy theo cách phân dạng hoặc dạy các bài tập một cách rời rạc,

riêng lẻ mà chưa biết khai thác, phát triển một bài toán gốc rồi xâu chuỗi tạo thành

một hệ thống bài tập có lôgíc chặt chẽ với nhau

- Thứ tư, chưa rèn cho học sinh các kĩ năng cần thiết như quy lạ về quen, tổng quát

hóa, đặc biệt hóa,

- Thứ năm, trong quá trình giảng dạy chưa tạo được hứng thú, yêu thích học toán

cho học sinh

Để góp phần khắc phục tình trạng trên và phát huy được tối đa năng lực tư duy

của học sinh, tạo niềm say mê, yêu thích học toán, nhất là nội dung bất đẳng thức

Tôi xin được đưa ra đề tài: “Kinh nghiệm phát triển năng lực tư duy, óc sáng tạo

và tạo hứng thú học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một

bài toán” để đồng nghiệp tham khảo, bổ sung và góp ý.

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.

Nghiên cứu và đề xuất một số giải pháp về kinh nghiệm phát triển năng lực tư

duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú học toán cho học sinh thông qua việc khai thác,

phát triển một bài toán bất đẳng thức

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.

- Xác định cơ sở lí luận và thực tiễn của vấn đề phát triển năng lực tư duy, óc

sáng tạo và tạo hứng thú học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển

một bài toán

- Phân tích thực trạng của quá trình dạy học nhằm mục tiêu phát triển năng lực tư

duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú học toán cho học sinh THCS

- Đề xuất một số giải pháp thông qua việc khai thác và phát triển một bài toán bất

đẳng thức nhằm mục tiêu phát triển năng lực tư duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú

học toán cho học sinh THCS

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

- Phương pháp lí luận: Căn cứ vào chủ trương, chính sách của Đảng và Nhà nước,

của Bộ Giáo dục và Đào tạo về công tác “Đổi mới phương pháp dạy học nhằm

mục tiêu phát triển năng lực tư duy, tính tích cực, tự giác, tính chủ động sáng tạo

của học sinh, phù hợp với đặc điểm chung của từng lớp học, môn học…”(Trích

“Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học ở trường THCS"- Bộ Giáo dục và

Đào tạo )

- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: quan sát, điều tra, tổng hợp kinh nghiệm về

vấn đề “Kinh nghiệm phát triển năng lực tư duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú

học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán”

5 ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI.

- Đề tài đề cập đến một nội dung quan trọng nhưng nhiều giáo viên chưa thực khai

thác và thực hiện

- Đề tài đã đưa ra giải pháp có tính hệ thống, logic, khoa học để dạy học nhằm

phát triển năng lực tư duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú học toán cho học sinh thông

qua việc khai thác, phát triển một bài toán

- Các giải pháp đề tài đưa ra đã được trải nghiệm qua thực tế và được điều chỉnh

phù hợp theo đối tượng học sinh từng năm học nên có tính hợp lí, dễ dàng thực

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 Phương pháp nghiên cứu

5 Điểm mới của đề tài

Phần II: Nội dung

Phần III: Kết luận

1 Hiệu quả của đề tài

2 Nhận định về áp dụng sáng kiến kinh nghiệm và khả năng mở rộng đề tài

3 Bài học kinh nghiệm và đề xuất

PHẦN II: NỘI DUNG

Hệ thống các bất đẳng thức rất phong phú và đa dạng, tuy nhiên không phải mọi

bài toán đặt ra đều có ý nghĩa thực sự, ta chỉ nên quan tâm nhiều hơn đến các bất

đẳng thức sẽ để lại cho những ý nghĩa nhất định

Chúng ta cùng bắt đầu từ bài toán cơ bản trong chương trình THCS nhưng nó lại

là cơ sở cho nhiều bài toán khó sau này:

Bài 1: Với a, b là các số không âm, chứng minh rằng:

3 3

( )

a b ab a b (*)

(Đề thi HSG huyện Đô Lương- lớp 8 năm học 2011 – 2012)

Hướng dẫn: Đối với bài toán này, học sinh cũng sẽ dễ dàng thực hiện theo nhiều

cách Cách chứng minh bất đẳng thức quen thuộc nhất đối với học sinh THCS là

biến đổi tương đương:

Cách 2: Ngoài cách làm trên thì đối với học sinh lớp 8 ta có thể chứng minh được

bài toán bằng cách sử dụng bất đẳng thức quen thuộc: a2 b2  2ab

Ta có ab a b(  ) a b ab2  2 Để xuất hiện hạng tử a2b và ab2 ở vế phải và ta thấy bất

đẳng thức trên xảy ra dấu bằng khi a = b Bởi vậy, ta có thể sử dụng bất đẳng thức

Cauchy bằng cách sau:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

suy nghĩ tích cực giáo viên có thể tự hướng dẫn học sinh tự đặt ra câu hỏi: Bài toán

có gì đặc biệt? Liệu bài toán có thể phát triển được nữa hay không? Có thể tổng

quát hóa được bài toán đó hay không?

Từ kết quả bài toán học sinh có thể suy nghĩ để tổng quát hóa bài toán theo các

định hướng là: tổng quát hóa theo hướng tăng bậc hoặc tổng quát hóa theo hướng

tăng số số hạng hay mạnh hơn nữa là tổng quát hóa cả về nâng bậc và số số hạng

Để làm được điều đó, trước hết ta cần hướng dẫn cho học sinh cách mò mẫm và

- Với n = 3 ta đã có kết quả ở trên

- Với n = 4, làm tương tự như cách 3 bài toán 1 thì ta nhận thấy:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 4 số không âm, ta có:

4 4

Vậy ta có bài toán:

Bài 2: Với a, b là các số không âm, chứng minh rằng:

4 4 2 2

- Với n = 5, ta tiếp tục biến đổi theo định hướng như trên:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 5 số không âm, ta có:

5 5 5 5 5 3 2

5 5

Nên ta có bài toán 4 như sau:

Bài 4: Với a, b là các số không âm, chứng minh rằng:

6 6 2 2 2 2

- Tương tự, với n = 7, n = 8, ta chứng minh được các bất đẳng thức sau:

Bài 5: Với a, b là các số không âm, chứng minh rằng:

* Hướng thứ hai: Tổng quát hóa theo cách tăng số số hạng và tăng số mũ

Sử dụng cách làm tương tự như trên, ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bốn

Từ đó ta có bài toán mới sau:

Bài 9: Cho a, b, c là các số không âm Chứng minh rằng:

a4 b4 c4 abc a b c(   )

Tương tự ta cũng dễ dàng chứng minh được bài toán sau:

Bài 10: Cho a, b, c là các số không âm Chứng minh rằng:

5 5 5 5

a b c d abcd a b c d  

Nhận xét: Với định hướng như trên lại làm ta có thêm ý tưởng mới đó là đi tìm bài

toán tổng quát của các bất đẳng thức đó:

Với cách làm tương tự, ta thấy:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho (n+1) số không âm ta có:

Nhận xét: Ở bài toán tổng quát 3, bậc của từng hạng tử lớn hơn số hạng tử là 1 đơn

vị Vậy tổng quát hơn nếu cho bậc của từng hạng tử là n, số hạng tử là m (m, n N,

n  m) thì ta có được bất đẳng thức như thế nào?

Nhận xét: Như vậy ta đã tìm được bài toán tổng quát của bài toán 1, nếu thay mỗi

giá trị của n, m và phát triển thì ta có thể có được nhiều bài toán hay và khó nữa

Đối với học sinh khá giỏi thì bài toán 1 không có gì là quá khó, học sinh có thể tự

làm mà không cần đến sự gợi ý của giáo viên Nhưng cùng nhìn lại bài toán đó

chúng ta thấy còn thêm nhiều vấn đề mà các em có thể khám phá

Biến đổi một chút ta có: Với a, b là các số dương

Bài 13: Với ba số a, b, c dương, chứng minh rằng:

a3 b3 c3 ab bc ca

(Đề thi vào lớp 10 – ĐHKHTN – ĐHQG Hà Nội 1996 – 1997)

Hướng dẫn: Cách thứ nhất chúng ta có thể gợi mở cho học sinh làm với định

hướng như trên:

Nhận xét: Từ kết quả bài toán trên, nếu ta cho thêm điều kiện: abc = 1, thì ta lại có

thêm bài toán mới:

Bài 14: Với ba số a, b, c dương và abc = 1 Chứng minh rằng:

a3 b3 c3 1 1 1

b  c  a  a b c

Ngoài ra, để tạo bài toán khó hơn ta cũng có thể cho abc bằng một giá trị bất kỳ

Ví dụ: cho abc = 2 ta có bài toán:

Bài 15: Với 3 số dương a, b, c và abc = 2 Chứng minh rằng:

Nhận xét: Cũng từ bài toán 1, với điều kiện a, b > 0 ta có thể chia hai vếcủa bất

đẳng thức cho tích a.b, ta được:

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c

Nhận xét: Từ bài toán trên chúng ta nhận thấy rằng có thể sử dụng bất đẳng thức

tổng quát 3 áp dụng cho 4 số dương a, b, c, d để tạo ra bài toán mới khó hơn bằng

Ta có bài toán sau:

Bài 18: Cho 4 số dương a, b, c, d Chứng minh

Nhận xét: Ta dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức 2(a + b + c)

2 ab 2 bc 2 ca và kết hợp với bài toán 17, ta có được bất đẳng thức chặt hơn

Ta đề xuất bài toán sau:

Bài toán 20: Với 4 số dương a, b, c, d Chứng minh:

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = d

Nhận xét: Với cách làm tương tự, ta lại tổng quát hóa cho bài toán dạng này:

Bài toán 21Với n số dương a1, a2, a3, …., an Chứng minh:

Như vậy, qua các phép biến đổi tương đương chúng ta sáng tạo ra được các bài

toán mới và từ đó ta tìm cách đi tổng quát dạng toán đó Điều này giúp học sinh rất

dễ nhận dạng của một bài tập bất kì dù cho bài toán đó có số mũ lớn, hay cồng

Dấu “=” xảy ra  a = b = c Ta có tiếp bài 22:

Bài 22: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:

Từ đó ta có bài toán mới:

Bài 23: Với a, b, c là các số dương, chứng minh rằng:

8(a b c ) ( a b )  (b c )  (c a )

Hướng dẫn:

Nhìn vào bài tập này thì có thể học sinh sẽ cảm thấy khó định hướng cách chứng

minh nhưng nếu đặt nó vào chuỗi bài toán thì học sinh sẽ dễ dàng biết cách sử

Cộng hai vế của các bất đẳng thức cùng chiều này ta suy ra điều phải chứng minh

Cách 2: Ngoài cách làm trên thì học sinh có thể biến đổi theo cách khác nhưng việc

làm này có vẻ không tự nhiên và còn dài dòng

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Sử dụng tính bắc cầu ta có bất đẳng thức mới chặt hơn:

Bài 24: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:

Bây giờ nếu ta cho abc = 1, và với điều kiện a, b, c > 0 thì khi đó ta có:

Như vậy ta có được bài toán mới cũng rất hay

Bài 25: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng:

Ta có bài toán sau:

Bài 26: Cho a, b, c là ba số dương Chứng minh rằng:

a b abc b c abc c a abcabc

(Đề thi TS vào lớp 10 - tỉnh Hải Dương năm 2010 –

2011)

Hướng dẫn:

Đây là một bài toán khó, nếu vừa gặp bài tập này học sinh sẽ khó tìm được định

hướng lời giải Tuy nhiên, khi các em đã nắm được bất đẳng thức a3 b3 ab a b(  )

thì việc suy nghĩ để làm xuất hiện a3 + b3 + abc rất đơn giản bằng cách cộng vào

hai vế của bất đẳng thức trên với tích abc, ta có: