Bài giảng số 7. Các dạng toán về phương trình mặt cầu trong hệ tọa độ Oxyz

BÀI GIẢNG SỐ 07: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU A.. Định nghĩa mặt cầu: Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng bẳng R không đổi được gọi là mặt cầu tâm O bán kính R Nh

BÀI GIẢNG SỐ 07: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa mặt cầu:

Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng bẳng R không đổi được gọi là mặt cầu tâm O bán kính R

Như vậy ta có: S (O; R) = M OM/ R

Vậy một mặt cầu hoàn toàn xác định khi biết:

- Tâm và bán kính của nó hoặc

- Đường kính của nó

Chú ý: Nếu góc AMB900 thì M thuộc mặt cầu đường kính AB

2 Phương trình mặt cầu:

-Với phương trình cho dưới dạng chính tắc:  2  2  2 2

x a  y b  zc R thì (S) có tâm O a b c , , , bán kính R

- Với phương trình cho dưới dạng tổng quát: 2 2 2

x y z  ax by czd  (1)

Để (1) là phương trình mặt cầu thì a2b2c2d Khi đó (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính 0

R a b c d

2 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu S (O; R) và mặt phẳng (P) bất kì Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (P) và d = OH là khoảng cách từ O đến (P) Khi đó:

- Nếu d R ( )P ( )S  

- Nếu d R(P) tiếp xúc với (S) tại H Khi đó (P) được gọi là tiếp diện của (S)

- Nếu dR( )P ( )S ( )C là một đường tròn nằm trong mặt phẳng (P) với  2 2

;

C H R d

Chú ý: Trường hợp đặc biệt d = 0  OH Khi đó C(O; R) được gọi là đường tròn lớn của mặt cầu S(O; R)

3 Vị trí tương đối của một mặt cầu và một đường thẳng

Cho mặt cầu S (O; R) và đường thẳng d bất kì Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên d và h = OH là khoảng cách từ O đến d Khi đó:

- Nếu hRd( )S  

- Nếu hR d tiếp xúc với (S) tại H Khi đó d được gọi là tiếp tuyến của (S)

- Nếu hRd( )S A B, 

Chú ý: Trường hợp đặc biệt d = 0  OH Khi đó AB là đường kính của (S)

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu, đường tròn

Phương pháp:

Mặt cầu (S) có phương trình:  2  2  2 2

x a  y b  zc R

 Mặt cầu (S) có tâm O a b c , , , bán kính R

Mặt cầu (S) có phương trình x2y2z2 2ax2by2czd 0

 Mặt cầu (S) có tâm O a b c , , , bán kính R a2 b2c2d

Ví dụ 1: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình

a) x2 y2 z2 8x2y10 b) 2 2 2

x y z 4x2y 6z 5  0 c) x2 y2 z2  x8y2z40 d) x2(y2)2(2z3)2  1

Bài giải:

a) Ta có: a= 4, b = -1, c = 0 và d = 1 nên: 2 2 2

a b c d       Vậy mặt cầu (S) có tâm O4; 1;0 , bán kính R 4

b) Ta có: 2 2 2

x y z 4x2y 6z 5  0  2  2  2

Vậy mặt cầu (S) có tâm O  2;1; 3  bán kính R 3

c) Ta có: x2 y2 z2  x8y2z40x22y42z12 25

Vậy mặt cầu (S) có tâm O   2; 4;1, bán kính R 5

d) Ta thấy hệ số của z bằng 4 khác với hệ số của 2 x , do đó phương trình đã cho không phải là phương 2

trình của mặt cầu

Ví dụ 2: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:

a)





























0 1 z 2

y

2

x

0 10 z 2 y 2 x z y

x2 2 2

Bài giải:

Mặt cầu (S): 2 2 2

x y z  x y z   2  2  2

Vậy (S) có tâm I3; 1;1 , bán kính R = 1

Mặt phẳng (P): x2y2z  có VTPT 1 0 n1; 2; 2 

Đường thẳng qua I vuông góc với mp (P) nên nhận VTPT n1; 2; 2 

của (P) là VTCP nên có PTTS là:

(d):

3

1 2 ,

1 2

 







  



Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên mp (P) Khi đó H d( )P  H là nghiệm của hệ phương trình:

3

1 2

1 2

 



   





 





O



Vậy đường tròn (C) có tâm H3; 1;1 , bán kính R = 1

Chú ý: Để tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) ta làm như sau:

- Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)

- Tìm tọa độ hình chiếu H của tâm I lên (P) Sau đó tính d = IH Khi đó:

- Nếu d R ( )P ( )S  

- Nếu d R(P) tiếp xúc với (S) tại H Khi đó (P) được gọi là tiếp diện của (S)

- Nếu dR( )P ( )S ( )C là một đường tròn nằm trong mặt phẳng (P) với  2 2

;

C H R d

Ví dụ 3: Cho họ (S ) : xm 2y2z24mx2my 6z m24m0

a) Tìm m để (S ) là một mặt cầu? m

b) Chứng minh rằng tâm của (S ) nằm trên một đường thẳng cố định Viết phương trình đường m thẳng cố định đó

Bài giải:

a Ta có: (S ) : xm 2y2z24mx2my 6z m24m0

 2  2  2 2

Ta thấy

2

2

m  m  m    m

Vậy (S ) là một mặt cầu với m m

b Mặt cầu (S ) có tâm m I (-2m; m; 3) m

Ta có:

2 3 3

z z

 

 



Vậy trong mặt phẳng z = 3 tâm I luôn nằm trên đường thẳng m 1

2

y  x

Ví dụ 4: Cho họ mặt cong(S ) : m x2y2z22m x2 4my8m2  4 0

a Tìm điều kiện của m để (S ) là họ mặt cầu m

b Chứng minh tâm của họ(S ) luôn nằm trên một parabol cố định trong mặt phẳng Oxy, khi m thay đổi m

Bài giải:

a Để (S ) là một họ mặt cầu điều kiện cần và đủ là: m

Với m   2 thì (S ) là phương trình mặt cầu với tâm m  2 

; 2 ; 0

I m m , bán kính R m22

b Ta có:

2

2

4 2

0 0

z z

 







 



Vậy trong mp (Oxy) tâm I luôn nằm trên parabol (P): m 2

4

y  x

 Tổng quát phương pháp thực hiện yêu cầu: “ Chứng tỏ rằng tâm của họ mặt cầu S m luôn nằm trên một đường cố định”:Ta tìm mối liên hệ giữa hoành độ và tung độ của điểm I mà không phụ thuộc vào m.

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu

Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu có tâm I (3; -2; 1) và đi qua A(-2; 3; 1)

Bài giải:

Vì (S) qua A nên (S) có bán kính R = IA = 5 2

Vậy phương trình (S) có tâm I (3; -2; 1), bán kính R = 5 2 là:

 2  2  2

x  y  z 

Chú ý: Từ ví dụ 1 để viết phương trình mặt cầu khi biết tâm I(a; b; c) và đi qua một điểm A cho trước thì

ta tìm bán kính R = IA Khi đó phương trình (S) có dạng:  2  2  2 2

x a  y b  zc R

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu với đường kính AB, trong đó A(3; -4; 5), B(-5; 2; 1)

Bài giải:

Ta có AB  8; 6; 4  AB 64 36 16   116



Gọi I là trung điểm của ABI 1; 1;3

Vì (S) nhận AB là đường kính nên

2

AB

Vậy (S) có tâm I   1; 1;3, bán kính R= 29 có phương trình là:

 2  2 2

x  y  z 

Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng (d ) :1 x y z 4



  và (d ) :2 x y 3 0

  





 a) Chứng minh rằng (d ), (d ) chéo nhau 1 2

b) Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d ), (d ) 1 2

Bài giải:

a) Đường thẳng  d1 có VTCP là u 1 2;1; 0



qua M1(0;0; 4) Đường thẳng  d2 có VTCP là u 2 3; 3; 0 

qua M2(0;3; 0)

Ta có: u u1; 2 0;0; 9 

 

,M M 1 2 0;3; 4 



  

Vậy (d ), (d ) chéo nhau 1 2

b) Chuyển d1 về dạng tham số:

2 , 4

z









 



Chuyển  d2 về dạng tham số:

3 '

3 3 ', ' 0

z









 

 Gọi M, M’ lần lượt thuộc vào (d ), (d )1 2 M2 ; ; 4 ,t t  M' 3 ';3 3 '; 0 t  t 

' 3 ' 2 ;3 3 ' ; 4

Để MM’ là đoạn vuông góc chung của (d ), (d ) thì 1 2

2

3



   

   

Vậy M2;1; 4 , M' 2;1;0 

Vì (S) nhận MN là đường kính nên tâm I của (S) là trung điểm của MNI2;1; 2 và bán kính

4

2

MN

Vậy phương trinh (S) là:  2  2 2

x  y  z 

Chú ý: Từ ví dụ 1+2: Để lập phương trình mặt cầu nhận AB là đường kính thì ta tìm tâm I là trung điểm

của AB và bán kính

2

AB

R 

Ví dụ 4: Lập phương trình mặt cầu có tâm I( 2; -1; 4) và

a Tiếp xúc với mp (Oxy)

b Tiếp xúc với mp (Oyz)

c Tiếp xúc với mp (Oxz)

Bài giải:

a mp (Oxy) có phương trình z = 0

Vì (S) tiếp xúc với mp(Oxy) nên Rd I , (Ox )y 4

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2; -2; 4) và bán kính R = 4 là:

 2  2 2

x  y  z 

b Tương tự phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với mp (Oyz) là:

 2  2 2

x  y  z 

c Phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với mp (Oxz) là:

 2  2 2

x  y  z 

Chú ý: Từ ví dụ 4: để lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với một mặt phẳng (P) cho trước,

ta lập phương trình của (S) với tâm I và Rd I P   

Ví dụ 5: Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; -6) và

a Tiếp xúc với trục Ox

b Tiếp xúc với trục Oy

c Tiếp xúc với trục Oz

Bài giải:

a Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên Ox 1 H12;0;0

1

Vậy (S) có tâm I(2; 1; -6) và bán kính R  37nên có phương trình là:

 2  2 2

x  y  z 

b Tương tự phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với Oy là:  2  2 2

x  y  z 

c phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với Oz là:  2  2 2

x  y  z 

Chú ý: Từ ví dụ 5: để lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với một đường thẳng (d) cho trước, ta lập phương trình của (S) với tâm I và Rd I d   

Ví dụ 6: Lập phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A(1; 2; 2), B(0; 1; 0) và tâm I thuộc trục Oz

Bài giải:

Mặt cầu (S) có tâm I thuộc trục Oz I0; 0;c

IAIBIA IB    c   c c

Vậy phương trình của (S) là: 2 2 2

x y  z 

Ví dụ 7: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  : 1

 và hai điểm A(2; 1; 0), B( -2; 3; 2) Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng (d)

Bài giải:

Chuyển (d) về dạng tham số:

1 2

2

y t

 









  

 Gọi (S) là mặt cầu cần tìm và I là tâm của (S)

Vì (S) qua hai điểm A, B nên tâm I thuộc mp (P) là mp trung trực của AB.Khi đó mp (P) qua E(0; 2; 1) là trung điểm của AB và nhận AB  4; 2; 2



là VTPT nên có phương trình: 2x    y z 3 0 Khi đó tâm I    d  P nên tọa độ I là nghiệm của hệ

1 2

2

y t

x y z

 



 





 





 1; 1; 2

I

Bán kính mặt cầu RIA 17

Phương trình mặt cầu (S) là:  2  2 2

x  y  z 

Chú ý: từ ví dụ 6 và ví dụ 7 ” để lập phương trình mặt cầu đi qua 2 điểm A, B và có tâm thuộc đường thẳng (d) ta có cách sau:

Cách 1:

Bước 1: Chuyển (d) về dạng tham số Tâm I thuộc (d) nên thỏa mãn phương trình (d) ẩn t

Bước 2: (S) qua A, B nên IA = IBt tọa độ tâm Ibán kính R = IA

Bước 3: Viết (S) với tâm I, bán kính R

Cách 2:

Bước 1: (S) qua 2 điểm A, B nên tâm I thuộc mặt phẳng (P) là mp trung trực của AB

Bước 2: Tìm tọa độ tâm I với I    d  P bán kính R = IA

Bước 3: Viết (S) với tâm I và bán kính R

Ví dụ 8:Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A(2; 1; 1), B(1; 1; 0), C(0; 2; 4) và

a Có tâm nằm trên mp (Oyz)

b Có bán kính bằng 5

Bài giải:

Giải sử (S) có phương trình: x2y2z22ax2by2czd 0,vớia2b2c2d  0

Vì tâm I (a; b; c) thuộc mp (Oyz) nên a = 0

Vì A, B, C thuộc (S) nên IA = IB = IC

0;1; 2 1

I b





Bán kính RIA3

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: 2  2 2

x  y  z 

b Mặt cầu (S) tâm I (a; b; c) và bán kính bằng 5 nên có phương trình:

 2  2 2

x a  y b  zc 

Vì A, B, C thuộc (S) nên ta có:

2

2





 2  2 2

2













Vậy (S) có phương trình là:

0





Chú ý: Từ ví dụ 8: để lập phương trình mặt cầu qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) ta có thể tận dụng được tính chất của ABC để có được lời giải đơn giản hơn:

Bước 1: Ta có:

- Nếu ABC đều thì tâm đường tròn ngoại tiếp ABC là trọng tâm H của ABC

- Nếu ABC vuông tại A thì tâm đường tròn ngoại tiếp ABC là trung điểm H của BC

Bước 2: Lập phương trình đường thẳng (d) qua H và vuông góc với (ABC)

Bước 3: Tim tâm I    P  d

Bước 4: Viết phương trình mặt cầu (S) với tâm I, bán kính R = IA

Ví dụ 9: Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1;1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 2)và D(2;

2; 1)

Bài giải:

Ta có: AB0;1; 0 , AC0;0;1 , AD1;1; 0AB AC AD,   1 0

, ,

AB AC AD

  

 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng Giả sử mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) Vì (S) qua 4 điểm A, B, C, D nên ta có hệ:

IA IB



















3 0

y

x y





   



Vậy phương trình mặt cầu (S) là:

Chú ý: Ngoài cách giải trên , để lập phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D( hay ngoại tiếp tứ diện ABCD) ta có thể vận dụng tính chất của tứ diện ABCD để có lời giải đơn giản hơn

Trường hợp 1: Nếu DA = DB = DC thì xác định tâm I bằng cách:

- Dựng đường cao DH ABC

- Dựng mp trung trực (P) của DA Khi đó I DH P

- Viết (S) với tâm I, bán kính RIA

Trường hợp 2: Nếu DAABCthì xác định tâm I bằng cách:

- Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếpABC Dựng đường thẳng (d) qua K và song song với DA ( hoặc   d  ABC)

- Dựng mp trung trực (P) của DA Khi đó I    d  P

- Viết phương trình (S) với tâm I và bán kính RIA

Trường hợp 3: Nếu

2

    thì mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm I là trung điểm của

AB và bán kính

2

AB

R 

Trường hợp 4: Nếu AD và BC có đoạn trung trực chung là EF thì

- Lập phương trình tham số của đường thẳng EF( theo t)

- Khi đó mặt cầu (S) có tâm I EF( thỏa mãn phương trình tham số của EF)

- Từ điều kiện IA2 IC2 R2 giá trị t tọa độ tâm IRIA

Ví dụ 10: Cho 3 điểm A(1; 2; 3), B(3; 5; 4), C(3; 0; 5).Lập phương trình mặt cầu nhận đường tròn ngoại

tiếp ABClàm đường tròn lớn

Bài giải:

Vì mặt cầu (S) nhận đường tròn ngoại tiếp ABClàm đường tròn lớn nên mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, ta có:

AI BI





  









39 7

81 14

x

z













14

Vậy (S):

Chú ý: Từ ví dụ 10: để lập phương trình mặt cầu (S) nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn lớn thì ta có:

- Tâm I của (S) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

- Giải hệ

IA IB

IA IC







 



Dạng 3: Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Phương pháp:

Cho mặt cầu S (I; R) và mặt phẳng (P) bất kì Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (P) và d = IH là khoảng cách từ I đến (P) Khi đó:

- Nếu d R ( )P ( )S  

- Nếu d R(P) tiếp xúc với (S) tại H Khi đó (P) được gọi là tiếp diện của (S)

- Nếu dR( )P ( )S ( )C là một đường tròn nằm trong mặt phẳng (P) với  2 2

;

C H R d

Chú ý: Trường hợp đặc biệt d = 0  I H Khi đó C(I; R) được gọi là đường tròn lớn của mặt cầu S(I; R)

Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng sau đây:

a) x2 y2 z2 6x2y4z50 và x2yz10

b) x2 y2 z2 6x y2z100 và x2y2z10

c) x2 y2 z2  x8y2z40 và x2yz100

Bài giải:

a Mặt cầu (S) có tâm I (3; 1; -2) và R  9 1 4 5    3

Ta có:  ,   3 2 2 1 2 6

3

 

Ta thấy d I P ,   6

3

 < R = 3  P ( )S  C là một đường tròn nằm trong mặt Phẳng (P)

b Mặt cầu (S) có tâm I (3; -1; 1) và R  9 1 1 10    1

Ta có:  ,   3 2 2 1 0

1 4 4

 

Ta thấy d I P ,   = 0 < R = 3  P ( )S  C là một đường tròn lớn của mặt cầu (S)

Với đường tròn (C) có tâm I (3; -1; 1), bán kính R = 1

c Mặt cầu (S) có tâm I (-2; -4; 1) và R  4 16 1 4    5

Ta có:  ,   2 8 1 10 21 7 6

2

 

Ta thấy d I P ,   7 6

2

 > R = 5  P ( )S  

Ví dụ 2: Cho mặt cầu (S): 2 2 2

x y z  x y z Tùy theo giá trị của k, xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P): x + y – z + k = 0

Bài giải:

Mặt cầu (S) có tâm I1; 2;3 , R  14

Ta có:  ,   1 2 3

3

1 1 1

3

k

d R   k   (P) không cắt (S)

3

k

d R   k   (P) tiếp xúc với (S)

3

k

dR   k   (P) cắt (S) theo một đường tròn

Dạng 4: Các bài toán tiếp diện

Phương pháp:

Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu 2 2 2

(S) : x y z 2x4y 6z  tại điểm 0 M(4, 3, 1)

Bài giải:

Mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; 3) và bán kính R  14

Gọi (P) là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) tại điểm M(4; 3; 1) Khi đó (P) qua M và nhận

3;1; 2



là VTPT nên có phương trình là:

3x41y32z103xy2z130

Vídụ2: Cho mặt cầu 2 2 2

(S) : x y z 2x4y 6z  và đường thẳng 0 (d) : x 1 y 1 z 1

a) Tìm toạ độ giao điểm M, N của mặt cầu (S) với đường thẳng (d)

b) Viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại M và N

Bài giải:

a Chuyển (d) về dạng tham số:

1

1 2 ,

1 4

 







  

 Thay x, y, z vào phương trình của (S) ta có:

1t  1 2 t  1 4 t 2 1t 4 1 2 t 6 1 4 t 0

2

1

7

t

t







 



Vậy (d) cắt (S) tai hai điểm 2; 1;5 , 4 13; ; 5

b Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3), bán kính R  1 4 9   14

Gọi (P), (Q) là hai mp lần lượt tiếp xúc với (S) tại M, N

Khi đó mp (P) qua M(2; -1; 5) và nhận IM 1; 3; 2 



là VTPT nên có phương trình:

1 2 3 1 2 5 0

Mp (Q) qua 4 13; ; 5

N  

IN     



là VTPT nên có phương trình:

106

7

x y z 