Rèn luyện cho học sinh lớp 12 trường THPT lê lợi kỹ năng giải một số dạng toán về phương trình mặt cầu bằng phương pháp phân loại thông qua một số bài tập thực hành

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LÊ LỢI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT LÊ LỢI KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN LOẠI THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TẬP THỰC HÀNH Người thực hiện: Đỗ Thị Thủy Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Tốn THANH MỤCHĨA LỤCNĂM 2017 MỤC LỤC Nội dung Trang MỞ ĐẦU …… 1.1 Lý chọn đề tài ………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu ……………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu …………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu ………………………………………… NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Cơ sở lý thuyết 2.3.2 Một số dạng toán thường gặp … Bài toán 1: Xác định tọa độ tâm bán kính mặt cầu cho trước Bài tốn 2: Viết phương trình mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho trước Dạng Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I qua điểm M …………………………………………… Dạng Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB… Dạng Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P)………………………………… Dạng Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với đường thẳng d………………………………… Dạng Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A, B, C, D (ngoại tiếp tứ diện ABCD)………… 10 Dạng Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A, B, C có tâm I nằm mặt phẳng (P)……… 11 Dạng Viết phương trình mặt cầu (S) qua hai điểm A, B tâm I nằm đường thẳng cho trước………… 12 Bài toán 3: Bài toán liên quan đến tương giao mặt cầu mặt phẳng …………………………………………… 13 Bài toán 4: Bài toán liên quan đến tương giao mặt cầu đường thẳng ………………………………………… 15 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giái dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 16 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 17 - Tài liệu tham khảo 19 - Danh mục đề tài SKKN mà tác giả Hội đồng Cấp Sở GD&ĐT cấp cao đánh giá đạt từ loại C trở lên ……… 20 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài : Trong Chương trình Tốn hình học lớp 12, phần kiến thức phương pháp tọa độ khơng gian có nhiều dạng tập địi hỏi em học sinh cần phải nắm vững phương pháp giải rèn luyện giải dạng toán này, thời lượng luyện tập lớp ỏi, điều gây khó khăn cho đa số em học sinh Các tốn phương trình mặt cầu thường hay gặp đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia Dạng toán hay khơng q khó em học sinh lớp 12, với mức độ tư vừa phải, lời giải nhẹ nhàng, lơgíc thường dễ gây hứng thú học tập cho học sinh so với dạng toán hình khác Để làm dạng tốn phương trình mặt cầu không gian tọa độ Oxyz thỏa mãn điều kiện cho trước này, ngồi u cầu đọc kỹ đề bài, phân tích giả thiết tốn, địi hỏi em phải nắm vững kiến thức hình học khơng gian, nắm vững kiến thức vectơ, tọa độ mà phải nắm vững kiến thức đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu mối quan hệ chúng Qua trình giảng dạy lớp 12 nhiều năm thấy học sinh thường lúng túng trước tốn phương trình mặt cầu, khơng định hướng cách giải quyết, trình học để giúp học sinh khơng bị khó khăn gặp dạng tốn này, tơi hệ thống số dạng tập yêu cầu học sinh phải nắm vững giúp em đưa phương pháp phân loại tập từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận cách đơn giản dễ nhớ bước giúp học sinh hình thành lối tư giải vấn đề, từ làm tốn phương trình mặt cầu chương trình Do đặc điểm lớp 12 năm học sinh phải thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia nên phần lớn học sinh có ý thức học tập trang bị kiến thức cần thiết cho kỳ thi vào cuối năm học Trường THPT Lê Lợi có học sinh điểm tuyển đầu vào cao so với trường tỉnh chất lượng lại không đều, số lượng học sinh có học lực trung bình cịn chiếm tỉ lệ 17% Với đề tài “Rèn luyện cho học sinh lớp 12 Trường THPT Lê Lợi kỹ giải số dạng tốn phương trình mặt cầu phương pháp phân loại thông qua số tập thực hành” giúp học sinh lớp 12 không bị lúng túng trước tốn phương trình mặt cầu không gian tọa độ Oxyz 1.2 Mục đích nghiên cứu : - Góp phần đổi phương pháp dạy học mơn tốn nói chung mơn Hình học giải tích 12 nói riêng theo phương hướng tinh giản kiến thức, phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh có phương pháp học tốt thích ứng với xu hướng - Góp phần gây hứng thú học tập mơn Tốn cho học sinh, mơn học coi khơ khan, hóc búa, giúp giáo viên lên lớp tự tin, nhẹ nhàng, học sinh lĩnh hội tri thức cách đầy đủ, khoa học mà giúp em củng cố khắc sâu tri thức 1.3 Đối tượng nghiên cứu : Đề tài rèn luyện cho học sinh lớp 12 phân loại đưa phương pháp làm số dạng tốn phương trình mặt cầu không gian tọa độ Oxyz thông qua số tập thực hành nhằm giúp em có tảng vững chắc, có kỹ giải tốt dạng tốn đề thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia 1.4 Phương pháp nghiên cứu : Để thực đề tài này, sử dụng phương pháp sau : 1.4.1 Nghiên cứu tài liệu : - Đọc tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục, có liên quan đến nội dung đề tài - Đọc SGK, sách giáo viên, loại sách tham khảo Nghiên cứu thực tế : - Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp nội dung phương trình mặt cầu không gian tọa độ Oxyz - Tổng kết rút kinh nghiệm trình dạy học - Tổ chức tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án thông qua tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi đề tài Để dạy đối tượng học sinh lớp 12 đại trà cách hiệu quả, đề tài đưa ba yêu cầu sau: +) Cơ +) Phù hợp với đối tượng học sinh +) Phù hợp với kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia Tôi tiến hành xây dựng chương trình nội dung giảng dạy cho học sinh lớp 12 theo bố cục sau : Phân loại dạng tập Nêu phương pháp làm cụ thể tỉ mỉ loại Mỗi loại lấy ví dụ minh họa Bài tập đề nghị học sinh làm Kiểm tra, đánh giá việc làm tập học sinh NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm : Phương pháp giáo dục đại phải phát huy tính tích cực, chủ động học sinh bồi dưỡng cho học sinh có lực tư sáng tạo, lực giải vấn đề Nhằm phục vụ cho lý luận dựa theo lý luận : bồi dưỡng cho học sinh kiến thức vấn đề sau tạo cho học sinh khả tự học độc lập suy nghĩ, từ học sinh tự phân loại dạng tập theo chun đề Có học sinh dễ dàng làm tốt thi kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm : Trong trình giảng dạy chương trình Tốn hình học lớp 12, tơi nhận thấy tốn phương trình mặt cầu thường xuất đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia Thấy tầm quan trọng nên ơn tập mảng: “ Các tốn phương trình mặt cầu khơng gian tọa độ Oxyz ” hình học 12, tơi băn khoăn nên làm để giúp em học sinh tái lại kiến thức học, phân loại dạng tập phương pháp giải tốn hiệu quả, đặc biệt đối tượng học sinh tơi lớp 12A9, lớp học trung bình khối, hầu hết em “ngại” học toán, khả nhận thức em chậm, nhanh qn tính tốn kém, thách thức ! Bên cạnh học sinh hiếu động, ham hiểu biết mới, thích tự tìm tịi, khám phá, sáng tạo lại có phận khơng nhỏ học sinh lại học trung bình, trung bình yếu, lười suy nghĩ nên đòi hỏi người giáo viên phải tâm huyết, có lực thật sự, đa dạng phương pháp, biết tổ chức, thiết kế trân trọng qua tiết dạy Theo tôi, dạy đối tượng học sinh đại trà nay, người giáo viên phải thật cô đọng lý thuyết, xếp lại bố cục dạy, định hướng phương pháp, tăng cường ví dụ tập từ đơn giản đến nâng cao theo dạng chuyên đề phù hợp với đối tượng học sinh 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề : 2.3.1 Cơ sở lý thuyết : a) Định nghĩa : * Mặt cầu tập hợp điểm M không gian cách điểm I cố định khoảng không đổi R > +) Điểm I cố định gọi tâm mặt cầu +) Khoảng cách không đổi R >0: Gọi bán kính mặt cầu b) Phương trình mặt cầu: Dạng 1: Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R: 2 ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R (1) 2 2 2 Dạng 2: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = ( a + b + c − d > ) (2) Khi đó: Mặt cầu tâm I(-a; -b; -c), bán kính R = a + b + c − d c) Vị trí tương đối mặt cầu với đường thẳng: Cho mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R đường thẳng ( ∆ ) Tính: d ( I , ∆ ) , sau so sánh d ( I , ∆ ) R +) Nếu: d ( I , ∆ ) > R : ( ∆ ) ∩ ( S ) = ∅ ; +) Nếu: d ( I , ∆ ) < R : ( ∆ ) ∩ ( S ) điểm phân biệt; +) Nếu: d ( I , ∆ ) = R : ( ∆ ) ( S ) tiếp xúc nhau, ( ∆ ) gọi tiếp tuyến mặt cầu (S) d) Vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng: Cho mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = Tính: d ( I , ( P ) ) = Nếu: 1) d ( I , ( P ) ) Aa +Bb +Cc+D so sánh d ( I , ( P ) ) với R A2 + B2 + C > R :( P ) ∩ ( S ) = ∅ ; ( 2 2) d ( I , ( P ) ) < R : ( P ) ∩ ( S ) đường tròn H ; r = R − d ( I ; ( P ) ) ) với H hình chiếu I (P) Vậy đường trịn khơng gian có phương trình: ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R     Ax + By + Cz + D = 3) d ( I , ( P ) ) = R : ( P ) (S) tiếp xúc điểm H l Với H hình chiếu I (P), (P) gọi tiếp diện mặt cầu (S) 2.3.2 Một số dạng toán thường gặp : Bài toán 1: Xác định tọa độ tâm bán kính mặt cầu cho trước Phương pháp chung: 2 Cách 1: Nếu PT(S) có dạng (1) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R mặt cầu có tâm I(a; b; c), bán kính R Cách 2: Nếu PT(S) có dạng (2) : x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = ta có hướng làm +) Hướng 1: Biến đổi đưa phương trình dạng kết luận tâm, bán kính +) Hướng 2: Trước hết ta phải chuyển ba hệ số x , y , z hệ số 1(nếu có), sau đồng hệ số hai phương trình tìm a, b, c d Xét điều kiện: a + b + c − d > kết luận VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S): ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 36 Xác định tọa độ tâm I bán kính mặt cầu (S) Hướng dẫn: Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;2) có bán kính R= Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x + y + z + 3x + y − z + = Xác định tọa độ tâm I bán kính mặt cầu (S) 2  a=−   −2a =   −2b = b = − 13   ⇔ >0 ⇒ a2 + b2 + c2 − d = Hướng dẫn: Ta có:   −2c = −5 c =  d =  d =  5  26 Vậy mặt cầu (S) có tâm I  − ; −2; ÷và có bán kính R= 2  2 Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x + y + z + x − y + 12 z + 10 = Xác định tọa độ tâm I bán kính (S) Hướng dẫn: Chia hai vế phương trình cho ta được: x2 + y + z + x − y + 6z + =  −2a =  a = −2  −2b = −2 b =   ⇔ ⇒ a2 + b2 + c2 − d = > Ta có:  − c = c = −    d = d = Vậy mặt cầu (S) có tâm I(-2;1;-3) có bán kính R= Bài tập đề nghị : Bài 1[1] : Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − ) + ( z − 1) = Tìm tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu (S) A I(1 ; -2 ; -1) R = B I(-1 ; ; 1) R = C I(-1 ; ; 1) R = D I(1 ; -2 ; -1) R = 2 Bài 2[2] : Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + 10 y − z + 49 = Tìm tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu (S) A I(4 ; -5 ; 3) R = B I(-4 ; ; -3) R = C I(-4 ; ; -3) R = D I(4 ; -5 ; 3) R = 2 Bài 3[3] : Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : 3x + y + 3z − x − y + 15 z − = Tìm tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu (S) −15  139 ÷; R =  139  −5  C I 1; ; ÷; R =  2  2  −15  B I  3; ; ÷; R =  2   A I  3; ;  2 −5   D I 1; ; ÷; R =  2  Bài : Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + 4mx + 2my + z + m2 + 4m = Giá trị thực m để bán kính mặt cầu nhỏ B m = A Không tồn m C m = D m = − Bài tốn 2: Viết phương trình mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp chung: Cách 1: Xác định yếu tố: Tọa độ tâm I(a; b; c) bán kính R 2 Từ suy phương trình mặt cầu : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R Cách 2: Xác định phương trình mặt cầu theo dạng (2) - Bước 1: Gọi phương trình mặt cầu (S) có dạng : x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = ( Điều kiện : a + b + c − d > ) - Bước 2: Từ giả thiết tốn, lập hệ phương trình ẩn a, b, c, d - Bước 3: Giải hệ phương trình ta tìm a, b, c , d kết luận Dạng Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I qua điểm M uuur • Bước 1: Tính vectơ IM • Bước 2: Suy bán kính mặt cầu (S) là: R = IM • Bước 3: Viết phương trình mặt cầu (S) dạng (1) VÍ DỤ MINH HỌA Trong khơng gian Oxyz, cho điểm E(-1;4;5) F(3;2;7) Viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm F có tâm E uuur Hướng dẫn: Ta có: EF = ( 4; −2; ) Suy bán kính mặt cầu (S) là: R = EF = ( 4) + ( −2 ) + ( ) = 2 Vậy phương trình mặt cầu (S) là: ( x + 1) + ( y − ) + ( z − 5) = 24 2 Bài tập đề nghị : Bài 1[4] : Trong không gian Oxyz, cho A(1 ; ; 0), B(3 ; -2 ; 2) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A qua B 2 2 A ( x − 1) + ( y − ) + z = 24 B ( x − 1) + ( y − ) + z = 20 C ( x − 1) + ( y − ) + z = 16 D ( x − 1) + ( y − ) + z = 2 Bài 2[5] : Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ( d ) : x −1 y − z +1 = = điểm −1 A(2 ; -1 ; 1) Gọi I hình chiếu vng góc A lên d Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I qua A 2 2 A x + ( y − 3) + ( z − 1) = 20 B x + ( y + 1) + ( z + ) = C ( x − ) + ( y − 1) + ( z + 3) = 20 2 D ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 1) = 14 2 2 Dạng Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB Phương pháp chung: uuu r • Bước 1: Tính vectơ AB • Bước 2: Suy bán kính mặt cầu (S) là: R = AB • Bước 3: Tìm tọa độ tâm I (S) trung điểm đoạn AB • Bước 4: Viết phương trình mặt cầu (S) dạng (1) * Chú ý: Nếu ta tìm tâm I trước bán kính cịn tính R=IA R=IB VÍ DỤ MINH HỌA Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A(-1;2;3) B(3;2;-7) Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB uuu r Hướng dẫn: Ta có: AB = ( 4;0; −10 ) 2 Suy bán kính mặt cầu (S) là: R = AB = ( ) + ( ) + ( −10 ) = 29 2 Gọi I(x; y; z) tâm mặt cầu (S) Khi I trung điểm đoạn AB Suy ra: I(1; 2; -2) 2 Vậy phương trình mặt cầu (S) là: ( x − 1) + ( y − ) + ( z + ) = 29 Bài tập đề nghị [6]: : Trong không gian Oxyz, cho điểm A(6 ; ; -5), B(-4 ; ; 7) Phương trình mặt cầu đường kính AB : 2 2 2 A ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 62 B ( x + ) + ( y + 1) + ( z − ) = 62 C ( x − 5) + ( y − 1) + ( z + ) = 62 2 D ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = 62 2 Dạng Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) Phương pháp chung: • Bước 1: Vì (P) tiếp xúc với (S) nên bán kính mặt cầu (S) là: R = d [ I , ( P) ] • Bước 2: Viết phương trình mặt cầu (S) dạng (1) VÍ DỤ MINH HỌA Trong khơng gian Oxyz, cho điểm I(1;2;3) mặt phẳng (P): 2x-2y-z-4=0 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) Hướng dẫn: Vì (P) tiếp xúc với (S) nên bán kính mặt cầu (S) là: 2.1 − 2.2 − 1.3 − R= d [ I , ( P) ] = ( 2) + ( −2 ) + ( −1) 2 = Vậy phương trình mặt cầu (S) là: ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 2 Bài tập đề nghị : Bài 1[7] : Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1 ; ; -3) mặt phẳng ( P ) : x + y − z − = Viết phương trình mặt cầu tâm M tiếp xúc với mp(P): 2 2 2 A ( x + 1) + ( y + ) + ( z − 3) = B ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 3) = C ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 3) = 81 D ( x + 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 25 [8] Bài : Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P) mặt cầu ( S ) có phương trình ( P ) : x + y + z − m + 4m − = 0; ( S ) : x + y + z − x + y − z − = Tất giá trị m để ( P ) tiếp xúc với ( S ) A m = B m = −1 m = −5 C m = −1 D m = −1 m = [9] Bài : Trong không gian Oxyz, cho mp(P): x – 2y + 2z + = Mặt cầu (S) tâm O tiếp xúc với mp(P) H(a ; b ; c), tổng a + b + c : A -1 B C D -2 Bài [10] 2 2 x = t  : Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ( d ) :  y = −1 hai mặt phẳng  z = −t  (P): x + 2y + 2z + = (Q): x + 2y + 2z + = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng d tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) (Q) = A ( x + 3) + ( y − 1) + ( z − 3) = 2 C ( x − 3) + ( y + 1) + ( z + 3) 2 2 2 2 D ( x − 3) + ( y + 1) + ( z + 3) = B ( x + 3) + ( y − 1) + ( z − 3) = 2 Dạng Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với đường thẳng d Phương pháp chung: • Bước 1: Vì (d) tiếp xúc với (S) nên bán kính mặt cầu (S) là: R = d [ I , (d ) ] • Bước 2: Viết phương trình mặt cầu (S) dạng (1) 10 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm I (0;1; −2) Viết phương trình mặt cầu có tâm I tiếp xúc với trục Ox Hướng dẫn: Vì (S) tiếp xúc với trục Ox nên bán kính mặt cầu (S) là: R= d ( I , Ox ) = 2 Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x + ( y − 1) + ( z + ) = Ví dụ V: [11] x = x =   : Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d1 :  y = ; d :  y = u ; z = t z = 1+ u   x −1 y z −1 = = Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với d1, d2 có tâm thuộc 1 đường thẳng ∆ 2 2 2 2 2 1  1  1  B  x − ÷ +  y + ÷ +  z − ÷ = 2  2  2  A ( x − 1) + y + ( z − 1) = 2 3  1  3  C  x − ÷ +  y − ÷ +  z − ÷ = 2  2  2  5  1  5  D  x − ÷ +  y − ÷ +  z − ÷ = 4  4   16  Hướng dẫn: ur HS rút : d1 qua M1(1 ; ; 0) có vectơ phương u1 = ( 0;0;1) uu r u d2 qua M2(2 ; ; 1) có vectơ phương = ( 0;1;1) uuuu r uuuur Giả sử tâm mặt cầu I, I ∈V⇒ I ( + t ; t ;1 + t ) ⇒ IM = ( −t;1 − t; −1 − t ) ; IM = ( − t ; −t; −t ) Theo giả thiết ta có : d ( I ; d1 ) = d ( I ; d ) ur uuuu r uu r uuuur u1 ; IM  u2 ; IM      ⇔ = ⇔ ur uu r u1 u2 ( 1− t ) + t2 = ( 1− t ) 2 ⇔t=0 Suy I(1 ; ; 1) Bán kính mặt cầu R = d ( I ; d1 ) = 2 Vây mặt cầu : ( x − 1) + y + ( z − 1) = Chọn đáp án A Bài tập đề nghị : x +1 y − z + = = điểm −1 I (1; −2;3) Phương trình mặt cầu có tâm I tiếp xúc với d A ( x − 1) + ( y + 2) + ( z − 3) = B ( x + 1)2 + ( y − 2)2 + ( z − 3) = 50 Bài 1[8] : Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : C ( x + 1) + ( y − 2) + ( z + 3) = 50 D ( x − 1)2 + ( y + 2)2 + ( z − 3) = 50 Bài 2[12] : Trong không gian Oxyz, cho điểm I (0; 2;3) Viết phương trình mặt cầu có tâm I tiếp xúc với trục Oy A x + ( y + 2)2 + ( z + 3)2 = B x + ( y − 2)2 + ( z − 3) = C x + ( y − 2)2 + ( z − 3)2 = D x + ( y + 2) + ( z + 3)2 = Dạng Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A, B, C, D (ngoại tiếp tứ diện ABCD) 11 Phương pháp chung: • Bước 1: Viết phương trình mặt cầu (S) dạng (2) • Bước 2: Do (S) qua bốn điểm A, B, C, D nên tọa độ bốn điểm vào phương trình ta bốn phương trình • Bước 3: Giải hệ bốn phương trình tìm được, suy bốn ẩn là: a,b,c d • Bước 4: Thay bốn ẩn tìm vào (2) ta suy phương trình (S) * Chú ý: Ta giải cách khác sau: - Gọi I(a;b;c) tâm mặt cầu (S) - Vì A, B, C, D ∈ ( S ) nên IA=IB=IC=ID=R (*) - Giải (*) tìm a, b, c - Tính R=IA - Viết phương trình mặt cầu (S) dạng (1) VÍ DỤ MINH HỌA Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;0;-1), B(1;2;1), C(0;2;0) Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm O, A, B C 2 Hướng dẫn: Giả sử phương trình (S) có dạng: x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = ( *) Vì (S) qua bốn điểm O, A, B, C nên ta tọa độ bốn điểm vào phương trình (*) ta hệ phương trình: d =0  d = d =  − 2a  a = + 2c + d = + 2c = −2   −2 a  ⇔ ⇔  6 − 2a − 4b − 2c + d = −2a − 4b − 2c = −6 b =   c = − 4b +d = − 4b =−4 Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x + y + z − 2x − y = Bài tập đề nghị : Bài 1[13] : Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD biết A(1 ; ; 0), B(1 ; ; 2), C(2 ; ; 1), D(-1 ; ; -3) Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD : 5 50 =0 7 31 50 C x + y + z + x+ y + z- = 7 7 A x + y + z + x+ z- 31 50 y+ z- = 7 7 31 50 D x + y + z + x+ y − z- = 7 7 B x + y + z + x- Bài : Trong không gian Oxyz, gọi I tâm mặt cầu qua điểm M(1 ; ; 0), N(0 ; ; 0), P(0 ; ; 1), Q(1 ; 1; 1) Tìm tọa độ tâm I 1 1 A  ; − ; ÷ 2 2 2 2 B  ; ; ÷ 3 3 1 1 C  ; ; ÷ 2 2  1 1 D  − ; − ; − ÷  2 2 Dạng Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A, B, C có tâm I nằm mặt phẳng (P) Phương pháp chung: • Bước 1: Viết phương trình mặt cầu (S) dạng (2), sau cho (S) qua ba điểm A, B, C ta ba phương trình • Bước 2: Thay tọa độ tâm I với a, b, c vào phương trình mặt phẳng (P) ta phương trình thứ tư Vậy ta có hệ bốn phương trình bốn ẩn 12 • Bước 3: Giải hệ, ta suy a, b, c d Thay vào phương trình dạng (2) ta có phương trình (S) VÍ DỤ MINH HỌA Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(-2;4;1), B(3;1;-3), C(-5;0;0) có tâm thuộc mặt phẳng (P): 2x+y-z+3=0 2 Hướng dẫn: Giả sử phương trình (S) có dạng: x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = ( *) Vì (S) qua ba điểm A, B, C nên ta tọa độ ba điểm vào phương trình (*) ta 21 + 4a − 8b − 2c + d = ( 1)  hệ phương trình: 19 − 6a − 2b + 6c + d = ( )  +d =0 ( 3) 25 + 10a 10a − 6b − 8c = −3 ( ) −6a − 8b − 2c = ( ) Trừ vế cho vế pt(1) cho (2), pt(1) cho (3) ta HPT:  Mặt khác, (S) có tâm I(a; b; c) thuộc mặt phẳng (P) nên ta tọa độ điểm I vào pt (P) ta được: 2a + b - c = -3 (6) Giải hệ ba phương trình (4), (5) (6) ta tìm a = Thế a = 15 23 , b =− ,c= 8 135 vào (3) suy d = − Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x + y + z − x+ 15 23 135 y − z=0 4 Bài tập đề nghị : Bài 1: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) có tâm thuộc (P): x+y+z-2=0 Bài 2: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(0;8;0), B(4;6;2), C(0;12;4) có tâm nằm mặt phẳng (Oyz) Dạng Viết phương trình mặt cầu (S) qua hai điểm A, B tâm I nằm đường thẳng cho trước Phương pháp chung: • Bước 1: Giả sử mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) Vì I ∈ Ox nên tọa độ tâm I là: I(a;0;0) Hoặc I ∈ Oy tọa độ tâm I là: I(0;b;0) I ∈ Oz tọa độ tâm I là: I(0;0;c) • Bước 2: Tính độ dài IA IB • Bước 3: Giải phương trình IA=IB=R tìm tâm I R • Bước 4: Viết phương trình mặt cầu (S) dạng (1) VÍ DỤ MINH HỌA Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3;-2;1) B(1;-1;2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc trục hoành qua hai điểm A B Hướng dẫn: Giả sử mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) 13 Vì I ∈ Ox nên tọa độ tâm I là: I(a;0;0) uu r Ta có: IA = ( − a; −2;1) ⇒ IA = ( − a ) + uur IB = ( − a; −1; ) ⇒ IB = (1− a) +5 Vì A, B nằm (S) nên IA=IB ⇔ ( − a ) + = ( − a ) + ⇔ a = 2 Khi đó, (S) có tâm I(2;0;0) R=IA= Vậy phương trình mặt cầu (S) là: ( x − ) + y + z = Bài tập đề nghị : Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3;-2;1) B(1;-1;2) a) Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc trục Oy qua hai điểm A B b) Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc trục Oz qua hai điểm A B Bài 2[14]: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1 ; ; 0) B(-2 ; ; 1) đường thẳng V: x +1 y −1 z = = Viết phương trình mặt cầu qua A, B có tâm I −2 thuộc đường thẳng ∆ 2 2 2  13   A  x − ÷ +  y + ÷ 5  10   2  13   B  x + ÷ +  y − ÷ 5  10   2  13   3 521  D  x − ÷ +  y + ÷  z − ÷ = 5  10    100  3 25  z− ÷ = 5  2  13    521  C  x + ÷ +  y − ÷  z + ÷ = 5  10    100  2 2 3 25  z+ ÷ = 5  Bài toán 3: Bài toán liên quan đến tương giao mặt cầu mặt phẳng Phương pháp chung: Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R mặt phẳng (P) Học sinh cần nắm vững vị trí tương đối (S) (P): Đặt d = IH = d ( I ; ( P ) ) +) d > R : ( S ) I ( P ) = ∅ +) d = R : ( S ) I ( P ) = { M } M tiếp điểm (S) với (P) I (P) tiếp diện (S) M +) d < R : (S) cắt (P) theo đường tròn R (C) tâm H, bán kính r H Với H hình chiếu I (P) r A r = R − d P Từ suy : R = r + d d = R2 − r Đặc biệt: Khi d = R = r VÍ DỤ MINH HỌA 14 Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − 2) + ( z − 3) = 25 Và mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + m = Các giá trị m để (P) (S) khơng có điểm chung : A m ≤ −9 m ≥ 21 B m < −9 m > 21 C −9 ≤ m ≤ 21 D −9 < m < 21 Hướng dẫn: HS rút ra: Mặt cầu (S) có tâm I(-1 ; ; 3) bán kính R = Để để (P) (S) khơng có điểm chung m−6  m > 21 d ( I;( P) ) > R ⇔ > ⇔ m − > 15 ⇔  Chọn đáp án B  m < −9 Ví dụ 2[15]: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 3) = , điểm M(2 ; 1; 1) thuộc mặt cầu Lập phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) M Hướng dẫn: Mặt cầu (S) có tâm I(1 ; -1 ; 3) uuur HS rút ra: (P) qua M, nhận IM = ( 1; 2; −2 ) làm vectơ pháp tuyến Suy PT (P): x + 2y – 2z – = [1] Ví dụ : Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(2 ; 1; 1) mp ( P ) : x + y + z + = Biết mp(P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn có bán kính Viết phương trình mặt cầu (S) A ( x + 2)2 + ( y + 1) + ( z + 1) = B ( x + 2)2 + ( y + 1) + ( z + 1) = 10 C ( x − 2) + ( y − 1) + ( z − 1) = D ( x − 2) + ( y − 1) + ( z − 1) = 10 Hướng dẫn: Khoảng cách từ tâm I đến mp(P) là: d = d ( I ; ( P ) ) = Bán kính đường trịn giao tuyến : r = HS nhận xét : R = d + r = 10 Từ rút PT(S): ( x − 2)2 + ( y − 1)2 + ( z − 1) = 10 Chọn đáp án D Bài tập đề nghị : Bài 1[15] : Trong không gian Oxyz, cho mp(P): 2x - 2y – z +2 =0 mặt cầu ( S ) : ( x − ) + ( y + 1) + ( z − 1)2 = Mệnh đề sau ? A (P) không cắt (S) B (P) tiếp xúc với (S) C (P) cắt (S) theo giao tuyến đường trịn có bán kính D (P) cắt (S) theo giao tuyến đường trịn có bán kính bé 2 Bài 2[4] : Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + ( y − 1) + ( z − 1) = 25 mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + = Diện tích hình trịn thiết diện mp(P) mặt cầu (S) : A 25π B 9π C.16 D 16π [16] Bài : Trong không gian Oxyz, cho mp(P): 2x + y – 2z +4 =0 cắt mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − 1)2 + ( z + 1)2 = 25 theo đường tròn tâm H Điểm H điểm sau ? A H ( 1; −1;0 ) B H ( 0; −1;1) C H ( −1;0;1) D H ( 1;0; −1) [17] Bài : Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + = 0, 15 x −1 y + z − = = , phương trình mặt −1 cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc với (P) cắt (Q) theo đường trịn có chu vi 2π A ( S ) : x + ( y + 1)2 + ( z − 4) = B ( S ) : ( x + 3) + ( y − 5)2 + ( z − 7) = (Q): x – y +z +4 = đường thẳng d : C ( S ) : ( x + ) + ( y + 5) + ( z − 2) = D ( S ) : ( x − ) + ( y + 3)2 + z = Bài 5[18] : Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + z -2x+4y + 2z = điểm M(0 ; -1 ; 0) Mp(P) qua M cắt (S) theo đường trịn (C) có chu vi nhỏ Gọi N ( x0 ; y0 ; z0 ) điểm thuộc đường trịn (C) cho ON = Tính y0 ? A B –2 C –1 D 2 Bài toán 4: Bài toán liên quan đến tương giao mặt cầu đường thẳng Phương pháp chung: Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R đường thẳng d Học sinh cần nắm vững vị trí tương đối (S) d : Đặt d = IH = d ( I ; d ) +) d > R : ( S ) I d = ∅ +) d = R : ( S ) I d = { M } M tiếp điểm (S) với d d tiếp tuyến (S) M +) d < R : (S) cắt d điểm phân biệt A, B Với H trung điểm AB Ta có: R= B A H d AB +d2 Từ suy : d = R − I AB AB = R − d Đặc biệt: Khi d = AB = 2R VÍ DỤ MINH HỌA[19] Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : x − y −1 z +1 điểm = = 2 −1 I(2 ; -1 ; 1) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho ∆IAB vuông I 2 A ( S ) : ( x − ) + ( y + 1)2 + ( z − 1)2 = B ( S ) : ( x + ) + ( y − 1) + ( z + 1) = C ( S ) : ( x − ) + ( y + 1)2 + ( z − 1)2 = D ( S ) : ( x − ) + ( y + 1) + ( z − 1) = 80 Hướng dẫn: Gọi H trung điểm AB HS nhận xét : Vì ∆IAB vng I nên IH ⊥ AB IA = 2.IH Ta có : IH = d ( I ; d ) = ⇒ IA= 2 16 suy PT mặt cầu (S) : ( S ) : ( x − ) + ( y + 1) + ( z − 1) = Chọn đáp án C Bài tập đề nghị : Bài 1[7] : Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : x −1 y z + = = mặt cầu −1 −1 (S) tâm I có phương trình : ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 1) = 18 Đường thẳng (d) cắt (S) 2 hai điểm A, B Tính diện tích tam giác IAB A 11 Bài 2[16] B 16 11 C 11 D 11 x = m + t  : Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ( d ) :  y = n + 2t cắt mặt cầu  z = − mt  ( S ) : x2 + ( y − 2) + ( z − ) = hai điểm A, B cho độ dài AB bẳng Cặp (m;n) cặp giá trị sau ? A ( m; n ) = ( 1; ) B ( m; n ) = ( 1;0 ) C ( m; n ) = ( 2;0 ) D ( m; n ) = ( 0; ) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường : * Trước thực đề tài: Tôi cho học sinh lớp 12A9 có lực học trung bình làm kiểm tra sau 20 phút: ĐỀ KIỂM TRA TRƯỚC TÁC ĐỘNG : Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-1 ; ; 3) B(3 ; ; 1) mặt phẳng (P): 2x – y – 2z +1 = Viết phương trình mặt cầu (S) thỏa mãn : 1) (S) có tâm A qua B (4 điểm) 2) (S) có đường kính đoạn AB (3 điểm) 3) (S) có tâm B tiếp xúc với mp(P) (3 điểm) Kết không khả quan sau : Điểm Lớp 12A9 Giỏi SL % 12% Khá SL 12 TB % 29% SL 16 % 38% Yếu SL % 21% (Sĩ số 42 ) * Sau thực đề tài: 17 Kết thúc đề tài tổ chức cho em học sinh lớp 12A8 làm đề kiểm tra 45 phút với mức độ nâng cao nội dung dạng toán viết phương trình mặt phẳng thuộc dạng có đề tài : ĐỀ KIỂM TRA SAU TÁC ĐỘNG Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;-1;4), B(2;5;-3), C(1;-3;7) Viết phương trình mặt cầu (S) thỏa mãn : 1) Mặt cầu (S) có đường kính AC (4 điểm) 2) Mặt cầu (S) có tâm B tiếp xúc với mặt phẳng (OAC) (3 điểm) 3) Mặt cầu (S) qua bốn điểm A, B, C gốc tọa độ O (3 điểm) Kết khả quan, cụ thể sau: Điểm Lớp 12A9 Giỏi SL 11 % 26% Khá SL 19 TB % 45% SL 10 % 24% Yếu SL % 5% (Sĩ số 42 ) Rõ ràng có khác biệt trước sau thực đề tài Như việc rèn luyện cho học sinh lớp 12 phân loại số dạng tốn phương trình mặt cầu khơng gian tọa độ Oxyz giúp em tỏ say mê, hứng thú học tập, coi thành công người giáo viên chắn phương pháp mà nêu đề tài giúp em phân loại tập, nắm vững phương pháp làm trình bày giúp em tự tin học tập thi Tốt nghiệp THPT Quốc Gia KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Qua việc thực chuyên đề lớp 12A9 có học lực trung binh, nhận thấy việc giảng dạy cho học sinh trung bình, trung bình yếu để đạt yêu cầu tối thiểu giáo dục gian nan vất vả Yêu cầu người giáo viên dạy đối tượng phải người có trách nhiệm cao, tỉ mỉ kiên nhẫn Bên cạnh phải hiểu tâm lí em, biết thơng cảm chia sẻ kết hợp với phương pháp dạy phù hợp với tư em, giúp em có hứng thú, có nhu cầu học tập điều quan trọng học sinh 18 Trên vài kinh nghiệm nhỏ rút từ thực tế năm giảng dạy thân Phần giải tốn phương trình mặt cầu khơng gian đa dạng, với việc hướng dẫn học sinh phân loại nắm vững phương pháp giải dạng giúp học sinh lớp 12 tự tin làm tốt tốn phương trình mặt cầu đề thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia tới 3.2 Kiến nghị: - Đối với giáo viên: Nên nghiên cứu kĩ phương pháp nhiều dạng tập hình học khơng gian khác ( dạng tốn viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng khơng gian…), chọn lọc cho phù hợp với đối tượng học sinh để hướng dẫn học sinh nhằm nâng cao hiểu biết mơn hình khơng gian, từ giúp em học tốt mơn hình học lớp 12 - Với kết đề tài này, thân mong đồng nghiệp quan tâm, chia sẻ đóng góp ý kiến để đề tài hồn chỉnh hơn, nhằm giúp tơi bước hồn thiện phương pháp giảng dạy Đồng thời giáo viên tổ Tốn áp dụng cho học sinh lớp 12 giảng dạy nhằm giúp cho học sinh có tảng vững phương trình mặt cầu khơng gian XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2017 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ CAM KẾT KHÔNG COPY Người viết SKKN : Đỗ Thị Thủy TÀI LIỆU THAM KHẢO Báo Toán học Tuổi trẻ từ năm 2013 đến 19 Hình học 12 ( sách giáo khoa ) – Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương (Chủ biên), Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng, Tạ Mân - NXB Giáo dục, 2008 Chuyên đề luyện thi Đại học: Hình học giải tích – Trần Văn Hạo (Chủ biên), Nguyễn Cam, Nguyễn Mộng Hy, Trần Đức Huyên – NXB Giáo dục, 2007 Phương pháp giải tốn Hình học giải tích khơng gian – Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí – NXB Hà Nội, 2009 Tuyển tập đề thi thử Tốt nghiệp THPT Quốc gia năm học 2016 – 2017 trường nước qua Internet [1] Đề minh họa kỳ thi TN THPT QG Bộ GD & ĐT – Lần [2] Đề thi thử THPT QG Chuyên Thái Nguyên – Lần [3] Đề thi thử THPT QG THPT Nguyễn Trường Tộ -Đà Nẵng –Lần [4] Đề thi thử THPT QG THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần [5] Đề thi thử THPT Quốc gia Chuyên KHTN – Lần [6] Đề thi thử THPT QG Chuyên Lương Văn Chánh–Phú Yên–Lần [7] Đề thi thử THPT QG Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định – Lần [8] Đề thi thử THPT Quốc gia THPT Lê Lợi – Thanh Hóa - Lần [9] Đề thi thử THPT Quốc gia THPT Ngô Gia Tự - Vĩnh Phúc – Lần [10] Đề thi thử THPT QG THPT Chu Văn An – Gia Lai [11] Đề thi thử THPT QG THPT Trần Hưng Đạo – Ninh Bình [12] Đề thi thử THPT Quốc gia Chuyên Quang Trung – Lần [13] Đề thi thử THPT QG THPT Quảng Xương – Thanh Hóa – Lần [14] Đề thi thử THPT QG THPT Nguyễn Trường Tộ - Đà Nẵng – Lần [15] Đề thi thử THPT Quốc gia Sở GD & ĐT Bắc Giang [16] Đề thi thử THPT Quốc gia Chuyên Nguyễn Trãi – Lần [17] Đề thi thử THPT QG THPT Nguyễn Đình Chiểu –Bình Định –Lần [18] Đề thi thử THPT Quốc gia Sở GD & ĐT Hà Tĩnh [19] Đề thi thử THPT Quốc gia Sở GD & ĐT Thanh Hóa Giới thiệu đề thi thức Tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng mơn Tốn – NXB Đại học Sư phạm, 2014 Tuyển tập chuyên đề luyện thi Đại học mơn Tốn: Hình học giải tích – Trần Phương, Lê Hồng Đức – NXB Hà Nội, 2009 Phân loại phương pháp giải Hình học 12 – Lê Mậu Thống, Lê Thị Quỳnh Lâm, Lê Hữu Nguyên Chương – NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2008 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN 20 Họ tên tác giả: Đỗ Thị Thủy Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên Trường THPT Lê Lợi – Thọ Xuân – Thanh Hóa TT Tên đề tài SKKN trị hình học giải tích lớp 2008 – 2009 Sở GD&ĐT Thanh Hóa C 2010 – 2011 Sở GD&ĐT Thanh Hóa C 2012 – 2013 12 Giúp học sinh lớp 12 rèn luyện kỹ sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải số C Sở GD&ĐT Thanh Hóa bậc hai tích vơ hướng Hướng dẫn học sinh ôn thi đại học giải số dạng tập cực Năm học đánh giá xếp loại Nhận dạng tam giác phương pháp sử dụng tam thức Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh ) tốn hình học khơng gian Hướng dẫn học sinh lớp 12 phân loại số dạng toán viết phương trình mặt phẳng Sở GD&ĐT Thanh Hóa 2014 – 2015 C không gian tọa độ Oxyz thường gặp đề thi THPT Quốc gia 21 ... 17% Với đề tài ? ?Rèn luyện cho học sinh lớp 12 Trường THPT Lê Lợi kỹ giải số dạng toán phương trình mặt cầu phương pháp phân loại thơng qua số tập thực hành? ?? giúp học sinh lớp 12 không bị lúng... Chương trình Tốn hình học lớp 12, phần kiến thức phương pháp tọa độ khơng gian có nhiều dạng tập đòi hỏi em học sinh cần phải nắm vững phương pháp giải rèn luyện giải dạng toán này, thời lượng luyện. .. phương trình mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho trước Dạng Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I qua điểm M …………………………………………… Dạng Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB… Dạng Viết phương trình