skkn khai thác các cách vẽ tam giac đều để giải bài toán tính số đo góc

Nhưng thực tế,việc định hướng để xác định xem vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào cho hợp lý thì học sinh còn gặp nhiều khó khăn và đây là một vấn đề mà giáo viên cần phải hình thành cho học

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TP PLEIKU

TÊN ĐỀ TÀI

KHAI THÁC CÁC CÁCH VẼ TAM GIÁC ĐỀU

ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TÍNH SỐ ĐO GÓC

NĂM HỌC 2009-2010

A ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do:

Đứng trước yêu cầu của công cuộc đổi mới, giáo dục phải luôn đi trước một bước, vì thế đòi hỏi ngành Giáo dục nói chung và mỗi thầy cô giáo nói riêng phải gánh vác một trọng trách hết sức nặng nề Muốn giáo dục và đào tạo tồn tại xứng đáng với vị trí của nó trong xã hội thì các nhà giáo dục phải đổi mới để đề ra những định hướng kịp thời Trong quá trình giáo dục thì việc dạy học trong các nhà trường là chủ yếu, trong mỗi nhà trường thì bản thân mỗi giáo viên luôn phấn đấu tìm tòi, đổi mới phương pháp giảng dạy, nâng cao hiệu suất giờ lên lớp, có làm được như vậy mới nâng cao được chất lượng đào tạo, tạo uy tín đối với học sinh, củng cố niềm tin với phụ huynh học sinh và toàn xã hội

Là một giáo viên toán THCS tôi thấy Hình học 7 là bộ môn kế tiếp của Hình học 6, nó là cơ sở lý luận cho các em học hình học ở các lớp sau Do đó việc dạy Hình học ở lớp 7 có một vị trí đặc biệt quan trọng trong quá trình dạy toán ở trường phổ thông Trong những năm qua tôi đã đặt ra cho mình những câu hỏi, những trăn trở để từ đó tìm hiểu, nghiên cứu rút ra phương pháp giảng dạy thích hợp Trong môn Hình học 7, tuy là môn vẫn còn mới mẻ đối với học sinh, nhưng vẫn có những bài tập khó mà các em còn lúng túng khi tìm hướng giải Qua nhiều năm giảng dạy nhất là qua công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi thấy những dạng bài tập đòi hỏi phải vẽ thêm yếu tố phụ thường là rất khó đối với học sinh –Loại này thường có đề bài rất tường minh, ngắn gọn nhưng khó giải vì có ít dữ kiện Loại bài tập này đòi hỏi học sinh phải biết tạo ra các dữ kiện mới bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ Nhưng thực tế,việc định hướng để xác định xem vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào cho hợp lý thì học sinh còn gặp nhiều khó khăn và đây là một vấn đề mà giáo viên cần phải hình thành cho học sinh ngày từ lớp 7 để các em phát triển được tư duy hình học của mình

Vì vậy, trong quá trình nghiên cứu, tìm tòi và dạy bồi dưỡng học sinh khá, giỏi tôi đã rút ra được một chút kinh nghiệm về việc hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ thêm yếu tố phụ, cụ thể là vẽ tam giác đều để giải một số bài toán về tính độ lớn của góc Đó chính là lý do tôi chọn đề tài:

“ Khai thác các cách vẽ tam giác đều để giải bài toán tính số đo góc”

2 Mục đích:

Tôi nghiên cứu, viết đề tài này hy vọng giúp các em học sinh lớp 7 (đặc biệt là học sinh khá, giỏi) có phương pháp và hướng giải Đồng thời qua chuyên đề này hy vọng các em được hình thành, rèn luyện, củng cố các kiến thức, kỹ năng vẽ hình, kỹ năng trình bày một bài tập hình học Giúp học sinh mở mang tầm hiểu biết thực tiễn của mình, giúp giáo dục tư tưởng đạo đức và rèn phong cách làm việc của người lao động mới: Có kế hoạch, có phân tích tìm hướng giải quyết linh hoạt trước khi làm việc cụ thể

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I- CƠ SỞ LÝ LUẬN:

1 Vai trò của việc hướng dẫn học sinh giải bài tập hình học: Hướng dẫn học sinh giải bài tập Hình học là phương tiện rất hiệu lực để thực hiện mục đích dạy học toán ở trường phổ thông Củng cố, ôn tập khắc sâu, hệ thống hóa kiến thức, rèn kỹ năng vẽ hình, kỹ năng trình bày, kỹ năng tính toán, vận dụng kiến thức vào thực tế và học các môn khác, rèn tích tích cực, tư duy lôgic trong học tập cũng như trong đời sống hàng ngày của học sinh

Phương pháp, kiến thức hướng dẫn học sinh vẽ yếu tố phụ – tam giác đều để giải các bài toán về tính số đo góc:

Đối với các bài tập về tính số đo góc, trước tiên ta cần hướng dẫn học sinh chú ý đến những tam giác chứa góc có số đo xác định như:

- Tam giác cân có một góc xác định

- Tam giác đều

- Tam giác vuông cân

- Tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền, …

Sau đó hướng dân học sinh nghĩ đến việc tính số đo của các góc cần tìm thông qua mối liên hệ với các góc của một trong các hình chứa góc có số

đo mà hoàn toàn xác định nêu trên ( thường là đi xét mối liên hệ bằng nhau

của các tam giác rồi rút ra các góc tương ứng của chúng bằng nhau)

Nhưng nếu trong bài đã cho lại không có hình nào là tam giác đều, tam giác vuông cân, tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền, tam giác cân có một góc xác định, thì sao? Do vậy phải hướng dẫn học sinh xem có tạo ra được một trong các hình đó không? Trong phạm vi chuyên đề có hạn, tôi chỉ xin đề cập đến cách tạo ra tam giác đều – một trong những phương pháp vẽ đường phụ độc đáo để giải bài toán khó về “tính số đo góc”

II- NỘI DUNG

1 Ví dụ 1:

Cho tam giác cân ABC (AB=AC) có góc ở đáy bằng 800 Trên cạnh

AB lấy điểm D sao cho AD=BC Tính số đo góc ACD?

80

?

B

A

C

D

Giáo viên có thể gợi ý cho các em đi tìm mối liên hệ giữa các góc của tam giác ABC Có thể các em sẽ phát hiện thấy (hoặc giáo viên chỉ ra): tam giác cân ABC đã cho có các góc 800, 800,

200 Mà 800-200=600 chính là góc của tam giác đều Từ đó hướng dẫn học sinh thử đi vẽ thêm một tam giác đều nào đó, xem có nhận thấy điều gì không?

Từ gợi ý trên, đa số học sinh đều làm theo cách sau:

B

E

C

D

Cách 1:

Vẽ tam giác đều BEC nằm trong tam giác ABC để tạo ra góc ECA bằng 200, bằng góc A

Khi đó ECA=DAC (c.g.c) vì:

EC=DA AC: chung

ECA A

Do đó   1

2

ACDEAC BAC (1) Mà ABE=ACE (c.c.c) vì:

AB=AC EB=BC AE: Chung

Do đó BAE EAC (2) Từ (1) và (2) suy ra  1 0

10 2

ACD BAC

Cũng có một số em làm theo cách:

Cách 2:

2 1

B

A E

C

D

Vẽ tam giác đều EAD nằm ngoài tam giác ABC, tạo ra góc EAC bằng 80 độ, bằng góc B Khi đó EAC=CBA (c.g.c) vì:

EA=BC

EAC B

AC=AB Suy ra CE=CA và ECABAC

Do đó CDA=CDE (c.c.c) vì:

DA=DE CD: Chung CA=CE

1 2

10

C C  ECA BAC Sau khi phân tích, hướng dẫn các em làm hai cách trên, tôi đã hướng dẫn các em thêm các cách sau:

Cách 3:

Vẽ tam giác đều EAC nằm ngoài tam giác ABC, tạo góc DAE bằng 80 độ,

?

1 2 A

B

E

C

D

bằng góc B Khi đó DAE=CBA (c.g.c) vì:

AE=BA

DAEB

AD=BC

Do đó ED=AC và  0

1 1 20

E A  (vì góc A1

bằng 20 độ) Vậy tam giác DEC cân tại đỉnh E có góc

ở đỉnh  0

2 60

E  -200=400

70 60 10

DCADCEACE  

?

1

1

2 1

E

B

A

C

D

Cách 4:

Vẽ tam giác đều AEB (E,C cùng phía với AB) tạo ra góc CBE bằng 20 độ, bằng góc A

Khi đó Khi đó CBE=DAC (c.g.c) vì:

BC=AD

CBEBAC

BE=AC

Do đó C1E1 Vậy để tính C1 ta cần tính E1

Dễ thấy AEC cân tại A có góc ở đỉnh:

 góc ở đáy  0 0 0

Mà  0

2 60

E  (góc tam giác đều) ->

1 70 60 10

Vậy  0

10

ACD 

Ở ví dụ này đầu bài cho hai cặp đoạn thẳng bằng nhau là: AB=AC, AD=BC Như vậy có thể giải bằng 4 cách: Vẽ tam giác đều có một cạnh là AC; vẽ tam giác đều có một cạnh là AB; vẽ tam giác đều có một canh là BC; rồi AD Qua ví dụ, bước đầu các em đã định hình được phương pháp vẽ tam giác đều và các cách triển khai phương hướng đó

Tuy nhiên, để tiếp tục hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ thêm tam giác đều, giáo viên cần hướng dẫn các em giải tiếp các ví dụ sau:

2 Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC vuông cân ở A và điểm E nằm trong tam giác sao cho

15

EAC ECA Tính góc AEB?

* Hướng giải quyết:

? B

E

?

2

1

B

E K

Cũng như ở ví dụ 1, nhưng ở ví dụ này các

em sẽ sớm phát hiện thấy

75

15

EAC  , mà 750-150=600 là góc của tam giác đều ( cũng có em nhận xét

BCA ECA và 450+150=600)

Còn đối với các em chưa xác định được điều gì, ta cũng gợi ý, hướng dẫn các em đi tính số đo các góc trong bài rồi tìm mối liên quan giữa các góc đó Từ đó có thể hướng dẫn các em các cách vẽ tam giác đều như sau:

 Cách 1:

Vẽ tam giác đều AKE nằm trong tam giác ABE, tạo ra góc BAK bằng 150, bằng góc EAC Khi đó BAK=CAE(c.g.c) vì:

AB=AC

BAK EAC

AK=AE Dẫn đến tam giác ABK cân tại K và có góc

ở đáy bằng 150 ->  0 0 0

1 180 2.15 150

2

Vậy AKB=EKB (c.g.c) vì:

AK=EK

1 2

K K

BK: Chung ->   0

15

BEK BAK  Vậy  0 0 0

AEB   

Cách 2:

Vẽ tam giác đều CKE nằm phía ngoài tam

1 2 E

C A

B

K

giác AEC, tạo ra góc ACK bằng 750, bằng góc BAE

Khi đó KCA=EAB (c.g.c) vì:

KC=AE

AC=AB Suy ra AEB AKC

Lại có  0 0 0

1 180 2.15 150

2 60

Do đó AEC=AEK (c.g.c) vì EC=EK

AEC AEK

AE: Chung ->   0

15

AKEACE Vậy  0 0 0  0

AKC   AEB

K B

E

Cách 3:

Vẽ tam giác đều AKB (K,C nằm cùng phía đối với AB) tạo ra  0

15

EAK  , bằng EAC

Khi đó: EAC = EAK (c.g.c) vì:

AC=AK

EACEAK

AE: Chung Suy ra EK=EC Vậy ABE=KBE (c.c.c) vì AB=KB

AE=KE BE: Chung ->   1 1 0 0

ABEKBE ABK   Như vậy BEA có  0  0

ABE BEA ->  0 0 0 0

Hoặc AKC cân tại A có góc ở đỉnh bằng

300; ->góc ở đáy   0 0 0

ACK AKC   

EAC  ECK  Vậy ECK đều -> KC=EC=EK

-> ABE=CAK(c.g.c) vì:

AB=AC AE=KC

BAEACK

Suy ra   0

75

AEB AKC

Cách 4:

15

1 2 E

C A

B

K

Vẽ tam giác đều ACK ra phía ngoài ABC, tạo ra góc EAK bằng 750, bằng góc EAB Khi đó BAE=KAE (c.g.c) vì:

AB=AK

AE Chung => AEBE1

BAEKAE

Mà E1 E2 vì AEK = CEK (c.c.c)

1

E  AEC 

Cách 5:

15

15

15

15 30

30 B

E

K

M

Vẽ tam giác đều AKC “trùm” lên EAC, tạo ra góc KCB bằng 150, bằng góc ECA Từ K kẻ tia KM sao cho  0

15

MKC  thì

MKC=EAC (g.c.g) vì:

KCM ECA

KC=AC

15

MKC EAC 

Do đó KM=AE Mặït khác ABK cân tại A có góc tại đỉnh bằng 300 -> góc ở đáy bằng 750 Do đó

KBM    , bằng góc KMB

 KMB cân tại K -> KB=KM=AE Vậy ABE = BAK (c.g.c) vì:

AB: Chung AE=BK

75

ABK  ABE ->   0

75

AEB ABK 

Ở ví dụ này đầu bài cũng cho hai cặp đoạn thẳng bằng nhau là: AB=AC; EA=EC Do vậy cũng có thể giải bài toán đó theo các cách: Vẽ tam giác đều có một cạnh là AE; hoặc EC; hoặc AB; hoặc AC

Như vậy với sự gợi ý, hướng dẫn của giáo viên, học sinh đã biết phân tích đầu bài, tìm được mối liên hệ giữa các dữ kiện của giải thiết, từ đó định hướng được cách giải Đó chính là thành công người thầy Và điều quan trọng nữa là trước khi hướng dẫn học sinh triển khai một bài toán theo nhiều cách khác nhau, giáo viên đã tạo cho học sinh một óc quan sát nhạy bén, linh hoạt và cũng làm cho tư duy hình học của các em được phát triển hơn

3.Ví dụ 3:

Cho tam giác cân ABC có đáy BC, góc ở đáy bằng 500 Lấy điểm K trong tam giác sao cho góc KBC bằng 100, góc KCB bằng 300 Tính số đo các góc của tam giác ABK

?

? A

K

ABK có:

Vậy chỉ còn phải tính hai góc còn lại là



BAKvà BKA Xem xét đầu bài, ta thấy ABC có các góc

500,500, 800

KBC ABC , mà 500+100=600 chính là góc của tam giác đều

Từ đó có thể giải bài toán trên theo cách sau (học sinh tìm ra hoặc giáo viên gợi ý):

Cách 1:Vẽ tam giác đều BCE “trùm” lên

ABC, tạo ra góc  0

10

ABE  , bằng góc



KBC Dễ thấy EAB=EAC (c.c.c) vì:

?

1 2

K

C B

A

AB=AC AE: Chung ->  0

1 2 30

E E  Khi đó ABE=KBC (g.c.g) vì:

E KCB BE=BC

EBAKBC

 AB=KB Do đó tam giác ABK cân tại B có góc ở đỉnh  0

40

ABK 

BAK BKA   Vậy các góc của tam giác ABK là 400,700,

700

Cách 2:

? K

C B

A

E

Vẽ tam giác đều ABE (E, C nằm cùng phía đối với AB), tạo ra góc EBC bằng 100, bằng góc KBC và tạo ra AEC cân ở A có góc ở đỉnh bằng: 800-600=200

 góc ở đáy bằng (1800-200):2=800

Do vậy KBC=EBC (g.c.g) vì:

10

KBC EBC BC: Chung

30

KCBBCE -> BK=BE -> BK=BA -> Khi đó ABK cân tại B -> các góc là 400,700, 700

Cách 3:

Vẽ tam giác đều AEC ( E,B nằm cùng phía đối với AC), tạo ra góc BCE bằng 100, bằng góc KBC và tạo ra ABE cân tại A có góc ở đỉnh bằng: 800-600=200

-> góc ở đáy bằng 800 ->  0 0 0

10 30

?

E

A

K

Do đó KBC=ECB (g.c.g) vì:

KBCBCE

BC: Chung

KCBEBC

-> AK=EC=AB -> AKB cân tại B Vậy các góc cần tính là 400,700, 700

Ở ví dụ này có hai đoạn thẳng bằng nhau là AB=AC Do đó khi vẽ thêm tam giác đều dựa trên lần lượt một trong hai cạnh đó, ta sẽ được hai cách: cách 2, cách 3 Ngoài ra nếu vẽ tam giác đều mà cạnh của nó không bằng đoạn thẳng nào khác thì cũng có thể giải quyết được: cách 1, nhưng cũng có thể không, vì sẽ không đủ dữ kiện ( ví dụ: vẽ tam giác đều có một cạnh là KC hoặc BK)

Qua ví dụ này, có thể cho học sinh thấy rằng cách 2 và cách 3 là tương đương nhau: đều tạo ra một tam giác đều có cạnh bằng một trong hai cạnh bên của tam giác cân đã cho, từ đó dẫn đến cạnh BK bằng một cạnh nào đó của tam giác đều vừa tạo ra để suy ra tam giác ABK cân Còn nếu đi vẽ tam giác đều có một cạnh là KC để tạo ra góc bằng góc KCB hoặc vẽ tam giác đều có một cạnh là BK để tạo ra góc bằng góc ABC thì sẽ không giải quyết được bài toán, vì vẫn không đủ dữ kiện, và học sinh cũng cần phải thấy điều này để có cách vẽ cho thích hợp

4 Ví dụ 4:

Tính số đo góc B của tam giác ABC biết  0

75

C  , đường cao AH bằng 1

2 cạnh

BC

75.0

A

H

Phân tích:

AHC vuông tại H có

75

C  , suy ra  0

15

CAH 

Mà 750-150=600 là góc của tam giác đều

Từ đó hướng dẫn học sinh vẽ thêm tam giác đều; có các cách như sau:

Vẽ tam giác đều AEC nằêm

B C

A

E

H K

trong tam giác ABC tạo ra:

15

ECB CAH Kẻ EK BC( có thể hướng dẫn và giải thích cho học sinh tại sao lại kẻ như vậy) Khi đó hai tam giác vuông EKC và CHA bằng nhau (cạnh huyền – góc nhọn), vì:

EC=AC

ECBCAH

-> KC=AH, mà AH=1

-> KC=1

Vậy K là trung điểm của

BC, do đó EBC cân tại E và   0

15

EBC ECB Mặït khác:

180 2.15 150

-> BEC=BEA(c.g.c) vì: BE: Chung

1 2

BECBEA B B  EC=EA

Vậy  0

30

ABC 

(Hoặc từ BEC =BEA -> AB=BC -> ABC cân tại B có góc ở đáy bằng 750 (gt) ->  0 0 0

180 2.75 30

Cách 2:

Vẽ tam giác đều BEC (E,A nằm cùng phái đối với BC) tạo ra

1 15

C  , bằng CAH

? 1

1 2

K

A E

H

Từ A kẻ AK EC thì tam giác vuông AKC bằng tam giác vuông CHA ( cạnh huyền – góc nhọn) vì: AC: Chung

15

ACK CAH  -> KC=AH, mà AH=1

-> KC=1 1

Vậy K là trung điểm của EC

Vậy tam giác EAC cân tại A , do đó AEB=ACB (c.c.c) vì:

BE=BC

AB: Chung

AE=AC

->    0

1 2

1

30 2

B B  CBE

(Và suy ra K là giao điểm của AB và EC)

Ở ví dụ này bài cho không có cặp đoạn thẳng nào bằng nhau thì phải vẽ tam giác đều sao cho liên hệ được các dữ kiện của giả thiết

Như vậy qua các ví dụ trên, giáo viên đã hình thành cho học sinh phương pháp vẽ thêm tam giác đều từ việc liên hệ các dữ kiện của giả thiết Và sau các ví dụ này, giáo viên nên cho học sinh tự nhận xét, tổng kết dạng bài tập về tính số đo góc giải bằng phương pháp vẽ tam giác đều, sau đó có thể chốt lại cho các em là:

Khi xét mối liên hệ giữa các góc, nếu phát hiện ra góc của tam gác đều nên nghĩ đến cách vẽ thêm tam giác đều để tạo ra những góc bằng góc đã cho Hơn nữa việc vẽ thêm tam giác đều còn tạo được các đoạn thẳng bằng nhau, hoặc tạo được một đường có nhiều tính chất, từ đó dễ dàng phát hiện được những yếu tố bằng nhau, liên kết với nhau để tìm lời giải

Cũng cần chỉ ra cho học sinh thấy kinh nghiệm của việc vẽ thêm tam giác đều: Nếu vẽ thêm tam giác đều mà cạnh của nó có sự bằng nhau với các đoạn thẳng khác nhau trong bài thì bao giờ cũng giải quyết được bài toán

Qua các ví dụ này học sinh cũng cần thấy rằng, có thể có nhiều cách để tạo ra tam giác đều, nhưng nên chọn cách nào dẫn đến chứng minh bài toán đơn giản hơn