Mét sè ®Ò thi HSG huyÖn vµ HSG tØnh.[r]
(1)rÌn lun t s¸ng tạo cho học sinh qua số dạng toán tính số đo góc
Lê Trọng Châu
P Trởng phòng GD&ĐT Lộc Hà, Lộc Hà, Hà Tĩnh (ĐT: 0393.650.775 0985.997.942)
I.Cơ sở lý thuyết:
Để giải tốt toán tính số đo góc học sinh tối thiểu phải nắm vững kiến thức sau: * Trong tam giác:
+ Tỉng sè ®o ba gãc b»ng 1800.
+ Biết hai góc ta xác định đợc góc cịn lại
* Trong tam giác cân: Biết góc ta xác định đợc hai góc cịn lại * Trong tam giác vuông:
+ Biết góc nhọn, xác định đợc góc nhọn cịn lại
+ Cạnh góc vng cạnh huyền góc đối diện với cạnh góc vng có số đo 300.
* Trong tam gi¸c vuông cân: Mỗi góc nhọn có số đo 450.
* Trong tam giác đều: Mỗi góc có số đo 600.
* Đờng phân giác góc chia góc hai góc có số đo * Hai đờng phân giác hai góc kề bù tạo thành góc có số đo 900.
* Hai đờng phân giác hai góc kề phụ tạo thành góc có số đo 450.
* Hai góc đối đỉnh
* Tính chất góc so le trong, so le ngồi, đồng vị, hai góc phía,
Trong thực tế, để giải toán tính số đo góc ta thờng xét góc nằm mối liên hệ với góc hình đặc biệt đ nêu xét góc tã ơng ứng suy kết
Tuy nhiên, đứng trớc tốn khơng phải lúc gặp thuận lợi, đa trờng hợp mà có nhiều đòi hỏi ngời đọc phải tạo đợc "điểm sáng bất ngờ" đờng kẻ phụ, hình vẽ phụ… từ mối quan hệ giả thiết, kết luận kiến thức, kỹ đ học trã ớc giải đợc Chúng ta xem “đờng kẻ phụ”, “hình vẽ phụ” nh “chìa khố “ thực thụ để giải dạng tốn
II.Mét sè d¹ng toán hớng giải quyết
Dng 1: Tính số đo góc qua việc phát tam giác u
Bài toán 1: Tam giác ABC ¢ =200 cã AB = AC, lÊy M AB cho MA=BC TÝnh gãc AMC ?
Nhận xét:
Ta cần tìm góc AMC thuộc AMC có Â = 200 mà B = C= 800 = 200 + 600 (H.1)
Ta thÊy cã sù liªn hệ rõ nét góc 200 góc 600 mặt kh¸c MA = BC
Từ đây, ta thấy yếu tố xuất liên quan đến tam giác Điều giúp ta nghĩ đến việc dựng hình phụ tam giác
H ớng giải: Cách1:(H1) Vẽ BDC (D,A phía so với BC) Nối Avới D
Ta cã : ABD = ACD (c.c.c) => DAC = DAB =100 (H.2)
L¹i cã: AMC = CDA(c.g.c) => MCA = DAC =100
=> AMC = 1800 - ( ACM + MAC ) = 1800 - (200 + 100) = 1500
Cách 2:(H.2) Vẽ ACD (M, D khác phía so với AC) Có: BAC = ADM (c.g.c) => AMD = 800 (1)
=> MDC cân D, MDC = 400 => DMC = 700 (2)
- Từ hớng giải thử giải toán theo phơng án sau: * Vẽ ACD (C, D khác phía so với AB)
* Vẽ ABD (B, D khác phía so với AC) * Vẽ AMD (D, C khác phía so với AB)
Bài toán 2: Cho ABC cân A; A = 400 Đờng cao AH, điểm E, F theo thứ tự thuộc đoạn thẳng AH, AC cho EBA = FBC = 300 TÝnh gãc AEF =?
H íng gi¶i:
Vẽ ABD ( B, D khác phía so với AC ) (H.3)
A
M
B C
D
A
M
B C
D
Lập luận t ơng tự ta có kết
H ớng giải t ơng tự
C
A B
E I
A
B
E
D
B C
D F
E A
H
B C
F E
A D
H B C
F E
A
D
H
=> AMC = 1500
“Tính số đo góc” dạng tốn quen thuộc học sinh khá, giỏi thực không đơn giản học sinh thuộc diện đại trà Hơn với tốn tính số đo góc phải dùng đến “đường kẻ phụ”, “vẽ hình phụ” vấn đề khơng nói đến sách giáo khoa, cịn tài liệu tham khảo đề cập Vì việc "Rèn luyện tư sáng
tạo cho học sinh qua một số dạng tốn tính số đo góc" là
một vấn đề cần trao đổi dạy học Toán trường phổ thơng nói chung bậc THCS nói riêng.
(2)Tam giác ABC cân A = 400 (gt) (H.3)
=> ABC = ACB = 700 mµ FBC = 300 (gt)
=> ABF = 400, BAF = 400 => AFB cân F.
=> AF = BF mặt khác AD = BD, FD chung
=> AFD = BFD(c.c.c) => ADF = BDF = 300
60
Do AH đờng cao tam giác cân BAC => BAE = 200 = FAD = 600 - 400, AB = AD (vì ABD đều) ABE = 300 (gt)
=> ABE = ADF (g.c.g) => AE = AF => EAF cân A mà EAF = 200
=> AEF = 0 800
20 180
.
Nhận xét: Vấn đề suy nghĩ vẽ tam giác xuất phát từ đâu?
Phải xuất phát từ giả thiết 400 = 600 - 200 mối liên hệ FA = FB đợc suy từ ABF cân F
Víi híng suy nghÜ trªn chóng ta giải toán theo cách sau:
* Vẽ AFD (H.4) (F, D khác phía so với AB) * Vẽ BFD (H.5) (F, D khác phía so với AB)
(H.4) (H.5)
Bài toán 3: (Trích toán nâng cao lớp - Vũ Hữu Bình - NXBGD 2003)
Cho ABC, B = C = 450 §iĨm E n»m tam gi¸c cho: EAC = ECA = 150 TÝnh gãc BEA ? NhËn xÐt: XuÊt ph¸t tõ 150 750 đ biết.Ta có: 60Ã 0=750 -150 EA = EC AEC cân E Với
yếu tố giúp ta nghĩ đến việc dựng hình phụ tam giác H ớng giải:
Hớng1: (H.6) Vẽ AEI (I, B phía so với AE) Ta có: AEC = AIB (c.g.c)
=> IB = CE mà EA = EC (AEI ) (H.6) =>IB = EI => EIB cân I
=> EIB = 3600 - (600 + 1500) = 1500
=> IEB = 150.
=> BEA = BEI + IEA = 750
*Chúng ta giải toán theo c¸ch sau:
Vẽ ACD (D, E khác phía so với AC) (H.7) Bạn đọc thử trình bày lời giải
(H.7) *Mét số toán tơng tự:
Bài toán 3.1: Cho ABC, Â = 1V, AB = 2AC KỴ tia Cx // AB KỴ AD cho CAD = 150, D Cx (B, D cïng
phÝa so víi AC) TÝnh gãc ADB = ?
Hớng dẫn: Lời giải đợc suy từ toán
Bài toán 3.2: Cho ABC; Â = 1V, B = 750, BH = 2AC, H AB (B, H kh¸c phÝa so víi AC) TÝnh: HCA = ?
Hớng dẫn: Sử dụng kết toán 3.1
Bài toán ta phát biểu dới dạng tổng quát nh sau: Bài to¸n 3.3.1:
Cho ABC (AB = AC) A = (600 < < 1200)
§iĨm M n»m tam gi¸c cho MAC = MCA =
600
TÝnh: BMC = ? Bài toán 3.3.2: Cho ABC, AB = AC, ¢ = (00 < < 600)
Điểm M nằm tam giác cho MAC = MCA = 600
(M, B kh¸c phÝa so víi AC) TÝnh: BMA = ?
Bài toán 3.3.3: Cho ABC, AB = AC, Â = (1200 < < 1800)
§iĨm M nằm tam giác cho MAC = MCA =
600
, (M, A kh¸c phÝa so víi BC) TÝnh BMA = ? Bài toán 4:
Cho ABC, A = 800, AB = AC M điểm nằm tam giác cho MBC = 100, MCB =300 TÝnh: AMB
Nhận xét:
Xuất phát từ giả thiết AB = AC liên hệ góc100 với 500 ta cã
500 + 100 =600 Từ ta nghĩ đến giải pháp dựng tam giác
H íng gi¶i: -2
-D A
M
C B
A
M
C B
D
A
B C
I
D
D A
B C
E
A
B D
C
(3)Cách 1: (H.8) Vẽ BDC (A, D phía so với BC) Dễ thấy BAD = CAD (c.g.c) DAB = CMB (g.c.g) (H.8) => BA = BM => ABM cân B, ABM = 500 -100 = 400 => AMB = 700.
Cách 2: (H.9) Vẽ ABD (D, A khác phía so với BC) (H.9) => DAC cân A Từ có hớng giải quyt tng t
Bài toán 5: Cho ABC, ( B = C = 700) KỴ tia Bx cho CBx = 100, trªn tia Bx lÊy ®iĨm D cho BD = BA (A, D kh¸c phÝa so víi BC)
TÝnh: BCD = ?
NhËn xÐt: Ta thÊy bµi xuÊt hiƯn gãc 700 vµ 100 mµ 600 = 700 - 100
đồng thời với BA = BD Điều làm nảy sinh suy nghĩ vẽ hình phụ tam giác
H ớng giải: (H.10) Cách 1: (H.10) Vẽ BCI (I, A phía so với BC )
Ta thÊy BIA = CIA (c.g.c) vµ BIA = BCD(c.g.c) =>BCD = BIA = 1800 - (100 +
2 BAC
) =1500
Cách 2: (H.11) Vẽ ABE (E, B khác phía với so AC) (H.11) Từ ta có cách giải tơng tự
D¹ng 2: TÝnh số đo góc qua việc phát tam giác vuông có góc 300. Bài toán 6: Cho ABC, C = 300 §êng cao AH, AH =
2
BC D trung điểm AB TÝnh ACD = ? H íng gi¶i: (H.12)
XÐt AHC cã C = 300, AHC = 1V => AH =
2
AC (H.12) mµ AH =
2
BC (gt) => AC = BC
=> ACB cân C => CD phân giác => ACD = 150
NhËn xÐt: Suy nghÜ chøng minh ACB cân xuất phát từ đâu? Phải xuất phát từ AHC vuông có C = 300 AH =
2
BC Thực hai yếu tố đ giúp ta nghĩã đến tam giác vuông có góc 300.
Víi ý tëng vµ cách nghĩ này, vẽ hình phụ theo phương án sau:
Vẽ tam giác vuông BCI, BIC = 1V, C = 300 (I, A khác phía so với BC) Bài tốn đợc giảI tng t.
Bài toán 7: Cho ABC, AH BC, BD = DC (H,D thuộc đoạn BC)
cho BAH = HAD = DAC (*) TÝnh: ABH =? H íng gi¶i:
VÏ DI AC I AC (H.13) DÔ thÊy ABH = ADH (g.c.g) => BH = HD (1)
AHD = AID (C¹nh hun - gãc nhän) => HD = ID (2) (H.13) Tõ (1) vµ (2) suy ID= HD =
2
BD =
DC => DIC cã ID=
2
DC mµ DIC=1v => C=300 => HAC=600 kÕt hỵp víi (*) => ABH = 600
NhËn xÐt: XuÊt ph¸t tõ BAH = HAD => BH = HD =
BD =
DC
Đến ta thấy phần yếu tố tam giác vng có góc 300 xuất Từ dự
đốn C = 300 Nảy sinh suy nghĩ vẽ DI AC Nếu chứng minh đợc DI =
2
DC tốn đợc giải Với suy nghĩ tơng tự ta có cách vẽ hình phụ nh sau:
* Lấy E đối xứng với A qua H (H.14) Ta chứng minh đợc
AEC => AHC nửa tam giác từ tốn (H.14) đợc gii quyt
Bài toán 8:
Cho ABC Vẽ ABD, ACE (E, D nằm tam giác ABC). H trung điểm BC, I trọng tâm ABD Tính: IEH = ? H ớng giải:
Lấy F đối xứng với E qua H (H.15)
-
-C
E C
A
D
B I
H A
B
D C
H
I
Ta có h ớng giải t ơng tự
C E
A
D
B I
H M
D M A
C E
A
D
B
I
H
A
B
D H
I
(4)M
Ta cã: BHF = CHE (c.g.c) => BF = CE
Ta có IA = IB AIB = 1200 (vì ABD đều)
IAE = 300 + BAC + 600 = 900 + BAC mµ
IBF = 3600 - (IBA + ABC + HBF) = 3600 - (300 + ABC + ECH ) (H.15)
= 3600 - (300 + ABC + ACB + 600)
= 3600 - (900 + 1800 - BAC) = 900 + BAC
=> IBF = IAE (c.g.c) =>IF = IE => FIE cân I mµ AIB = 1200
=>FIE = 1200 => IEH = 300 F
Với cách giải này, nhiều em đ phát đề xuất cách vẽ đã ờng phụ nh sau: * Lấy K đối xứng với I qua H (H.17)
* Lấy M đối xứng với B qua I (H.18)
(H.17) (H.18) *Bài tập dạng:
Cho ABC v ABD, ACE (E, D nằm tam giác) I, P lần lợt trung điểm AD CE Điểm F nằm BC cho BF = 3.FC Tính: FPI = ?
D¹ng 3: Tính số đo góc qua việc phát tam giác vuông cân
Bài toán 9:Cho ABC, M trung điểm BC, BAM = 300, MAC = 150 TÝnh: BCA = ?
Nhận xét: Khi đọc kỹ bàI toán ta thấy BAM = 300, MAC = 150, BM = MC quan sát hình vẽ nhận dạng bài
tốn ta biết đợc có nguồn gốc từ toán mặt khác BAC = 450
điều giúp ta nghĩ đến dựng tam vuông giác cân H ớng giải:
Cách 1: (H.19) Hạ CK AB (Dễ chứng minh đợc tia CB nằm
hai tia CA vµ CK) Ta có AKC vuông cân K (vì BAC = 450)
=> KA = KC VÏ ASC vuông cân S (K, S khác phía so với AC) Do BKC vuông K => KM =
2
BC = MC=> KMC cân M (H.19) Dễ thấy KAM = CSM (c.g.c) =>CSM = 300 => ASM = 600 vµ
SAM = 600 => ASM => AS = SM = AK => AKM cân A
=> MKC = MCK = 900 - 750 = 150 => BCA = 450 - 150 = 300.
Cách 2:(H.20) Lấy D đối xứng với B qua AM => BAD cân A mà BAM = 300 (gt) => BAD = 600 => ABD Ta có DC // MI
(V× MB = MC, IB = ID),(BD AM = I) mà MI BD => CDBD (H.20) Mặt khác xÐt: ADC cã CAD = 150(gt), ADC = 600 + 900 = 1500
=> DCA = 150 => ADC cân D => AD = CD mà AD = BD (ADB u).
Vậy BDC vuông cân D => DCB = 450=>BCA = 450 - DCA = 450 - 150 = 300.
Bài toán 10:
Cho ABC, A = 1V, AC = 3AB D điểm thuộc ®o¹n AC cho AD = 2DC TÝnh: ADB + ACB = ? H íng gi¶i: (H.21)
Kẻ EF AC cho EA = ED, E AD với EF = AD, (B, F khác phía so với AC ) Ta có BAD = DEF (c g.c) (* ) => BD = FD , BDF = 1v => BDF vuông cân D => DFB = 45 0 (1) Trên tia đối tia AB lấy I cho
AI = 2AB DÔ thÊy IBF = ACB ( c.g.c) => ACB = IBF (H.21) = EFB (2)
Tõ (*), (1) vµ (2) ta cã ADB + ACB = BFD = 450
Nhận xét: Sau vẽ hình ta dự đoán ADB + ACB = 450 lóc
đó ta nghĩ đến việc tạo tam giác vuông cân
để tổng số đo hai góc cần tìm số đo góc 450 ý nghĩ dự đốn ADB + ACB = 450 xuất phát từ đâu?
Phải xuất phát từ BAE vuông cân ( E trung điểm AD ) Khi phát tổng hai góc 450
chúng ta giải toán theo nhiều cách giải khác Đây toán hay, mà đến theo tơi đ-ợc biết có khơng dới 20 cách giải khác Bởi giải này, cần tổ chức cho học sinh tìm tịi, sáng tạo nhiều đờng kẻ phụ mới, độc đáo nhằm tạo hứng thú học tập nghiên cứu khoa học em
-4
-A S
C K
B
D A
B I M
C B
A E
D C
(5)Bài toán 11: Cho ABC vuông cân A, M điểm đoạn AC (M khác A, C) Kẻ AF BM, F BC E điểm thuộc đoạn BF cho EF = FC kẻ EI // BM, I BA TÝnh gãc AIM = ? H ớng giải:
Gọi K giao ®iĨm cđa IE vµ AC (H.22) XÐt KEC cã FA // EK, EF = FC ( gt )
=> KA = AC vµ K = FAC Ta cã ABM = AKI (g.c.g)
( v× FAC = ABM ) => AM = AI => AIM vuông cân A (H.22) => AIM = 450
Nhận xét:
Đờng kẻ phụ KI KA xuất phát từ đâu? Ta thấy có hai nguyên nhân làm nảy sinh đ ờng kẻ phụ
+ Một IE // AF + Hai lµ EF = FC
Từ làm xuất ý nghĩ chứng minh ABM = AKI
toán đợc giải Căn vào yếu tố giả thiết đ cho toán ta (H.23) ã có cách vẽ hình phụ khác nh sau: M
* Trên tia đối tia AB lấy điểm H cho AH = AM (H.23) Từ ta có cách giải tơng tự
II.D¹ng 4: TÝnh số đo góc qua việc phát tam giác cân biết góc. Bài toán 12:
Cho ABC, A = 800, AC > AB D điểm thuộc đoạn AC cho DC = AB; M, N theo thứ tự trung điểm cđa AD vµ BC TÝnh gãc CMN ?
H íng gi¶i :
Trên tia đối tia AC lấy điểm K cho AK = DC Nối K với B ta có KAB cân A.( AB = DC) (H.24) => BKA =
2
BAC =
800 = 400 ( tÝnh chÊt gãc ngoµi )
Mặt khác ta có MA=MD => MK =MC, BN =NC => MN đờng trung bình KBC => NMC = BKC = 400 (H.24)
Nhận xét: Vì đâu ta có đờng kẻ phụ AK ?
Thứ nhất: Ta có KAB cân góc BAC biết Nh góc KAB ta tìm đợc Thứ hai: Vì MA = MD dẫn đến MK = MC Thứ ba: Do NB = NC
Với lý thứ hai ba ta có đợc góc cần tìm góc BKA Vậy toán đợc giải Sau nêu lý đó, ta có đờng kẻ phụ khác nh sau:
* Lấy K đối xứng với A qua N * Lấy K trung điểm BD * Lấy K đối xứng với M qua B * Lấy K đối xứng vi D qua N
Bài toán ta dới dạng tổng quát nh sau: Giữ nguyên gi thiết thay à  = ( 00 < < 1800 )
Từ toán 13 vấn đề đặt ta “bẽ gãy” đoạn thẳng AC thành hai đoạn thẳng AD DC tốn lúc có giải đợc hay không ? Thật vây, ta nghiên cu bi toỏn ú
Bài toán 13:
Cho ABC vµ ADC chung cạnh AC (B, D nằm khác phía so với AC) M,N theo thứ tự trung điểm AD BC AB cắt DC E BEC = , ( 00 < < 180 0 ) MN c¾t DC t¹i I TÝnh: NIC =? H íng gi¶i:
Lấy K đối xứng với A qua N (H.25) Dễ thấy BAN = CKN ( c.g.c) => CK = AB = DC =
DCK cân C mà MA = MD NA = NK =>MN // DK => NI // DK => NIC = KDC =
2
(1800- DCK) =
2
(H.25) (v× DCK = DCB + NCK = DCB + CBA = 1800 - )
VËy NIC =
Nhận xét: Nh giải tốn ta biết xuất phát từ đâu, bắt nguồn từ tốn việc giải dễ dàng Ta thấy 13 trờng hợp riêng 14 Thật A E M I ta trở toán 13 Quan sát, nhận xét kỹ mối quan hệ yếu tố toán 13 ta có cách vẽ hình phụ để giải toán cách khác nh sau:
* Lấy F đối xứng với B qua M
A
K
B
E F
C M
I
Đều có h ớng giải quyÕt t ¬ng tù
C N
B
K
A
M D
B
K
N C
D I
E
A M
B
K
N C
D I
E
A M
B
K
N C
D I
E
A M
A B
E I
H
(6)* Lấy P đối xứng với D qua N * Lấy Q đối xứng với C qua M * Lấy R trung điểm BD * Lấy S trung điểm AC
*Mét sè bµi toán tham khảo.
Ta cú th ỏp dng cỏch giải tốn từ ví dụ để giải tốn sau
Bµi 1: Cho ABC, A = 600 Các phân giác AD, CE cắt t¹i F, E AB, D AC TÝnh: EDB = ?
Bµi 2: Cho ABC, C = 1000, CA = CB, điểm M nằm tam giác cho CAM = 100, CBM = 200
TÝnh: AMC = ?
Bài 3: Cho ABC cân C, C = 800, M n»m tam gi¸c cho MAB = 100, MBA = 200
TÝnh: AMC =? Bµi 4:
Cho ABC, AB = AC, A = , trung tuyến CM Trên tia đối tia BA lấy điểm D cho BD = BA biết BCM = Tính: BDC = ?
Trên số dạng tốn tính số đo góc mà q trình dạy học, bồi d ỡng học sinh giỏi chúng tơi đ tích luỹ đã ợc mạnh dạn đa trao đổi bạn bè đồng nghiệp thầy, cô giáo để nhằm mục đích góp phần vào việc nâng cao chất lợng dạy học
Các tốn đa làm ví dụ cha thực lôgic, phù hợp; khai thác cha triệt để chắn cịn có nhiều lời giải hay hấp dẫn Đặc biệt, sử dụng đơn vị kiến thức về: Tam giác đồng dạng, tứ giác, tứ giác nội tiếp, cơng thức tính diện tích, lợng giác để giải tốn tính số đo góc tốn đợc giải nhanh hơn, gọn nhiều
Mặc dù đ có nhiều cố gắng, song với kinh nghiệm ỏi thân, chắn qã trình viết khơng tránh khỏi thiếu sót hạn chế Kính mong đ ợc q thầy giáo bạn đọc rộng lợng, góp ý sữa chữa để vấn đề nêu ngày thiết thực bổ ích
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới q thầy giáo, giáo, bạn đồng nghiệp số bạn đọc đ gópã ý giúp tơi hồn thiện viết
Tài liệu tham khảo
1. Phát triển nâng cao hình học ( Vũ Hữu Bình ) 2. Tạp chí toán häc ti th¬ NXBGD
3. Một số đề thi HSG huyện HSG tỉnh
Tạp chí toán học tuổi trẻ
5 Sách giáo khoa toán 7, 8; Sách giáo viên Toán 7,
Lộc Hà, ngày 28 tháng 02 năm 2007
-6