rèn luyện t duy sáng tạo cho học sinh qua một số dạng toán tính số đo góc Lê Trọng Châu P.. Trong thực tế, để giải bài toán tính số đo góc ta thờng xét các góc đó nằm trong mối liên h
Trang 1rèn luyện t duy sáng tạo cho học sinh
qua một số dạng toán tính số đo góc
Lê Trọng Châu
P Trởng phòng GD&ĐT Lộc Hà, Lộc Hà, Hà Tĩnh
(ĐT: 0393.650.775 – 0985.997.942)
I.Cơ sở lý thuyết:
Để giải tốt bài toán tính số đo góc thì học sinh tối thiểu phải nắm vững các kiến thức cơ bản sau:
* Trong tam giác:
+ Tổng số đo ba góc bằng 1800
+ Biết hai góc ta xác định đợc góc còn lại
* Trong tam giác cân: Biết một góc ta xác định đợc hai góc còn lại.
* Trong tam giác vuông:
+ Biết một góc nhọn, xác định đợc góc nhọn còn lại
+ Cạnh góc vuông bằng nữa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh góc vuông có số đo bằng 300
* Trong tam giác vuông cân: Mỗi góc nhọn có số đo bằng 450
* Trong tam giác đều: Mỗi góc có số đo bằng 600
* Đờng phân giác của một góc chia góc đó ra hai góc có số đo bằng nhau
* Hai đờng phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc có số đo là 900
* Hai đờng phân giác của hai góc kề phụ tạo thành một góc có số đo là 450
* Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau
* Tính chất về góc so le trong, so le ngoài, đồng vị, hai góc trong cùng phía,
Trong thực tế, để giải bài toán tính số đo góc ta thờng xét các góc đó nằm trong mối liên hệ với các
góc ở các hình đặc biệt đã nêu ở trên hoặc xét các góc tơng ứng bằng nhau rồi suy ra kết quả
Tuy nhiên, đứng trớc một bài toán không phải lúc nào cũng gặp thuận lợi, có thể đa về các trờng hợp trên ngay mà có nhiều bài đòi hỏi ngời đọc phải tạo ra đợc những "điểm sáng bất ngờ" có thể là một đờng
kẻ phụ, một hình vẽ phụ… từ mối quan hệ giữa giả thiết, kết luận và những kiến thức, kỹ năng đã học trớc
đó mới giải quyết đợc Chúng ta có thể xem “đờng kẻ phụ”, “hình vẽ phụ” nh là “chìa khoá “ thực thụ để
giải quyết dạng toán này
II Một số dạng toán và hớng giải quyết.
Dạng 1: Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác đều.
Bài toán 1: Tam giác ABC Â =20 0 có AB = AC, lấy M AB sao cho MA=BC
Tính góc AMC ?
Nhận xét:
Ta cần tìm góc AMC thuộc AMC có Â = 200 mà B = C= 800 = 200 + 600 (H.1)
Ta thấy có sự liên hệ rõ nét giữa góc 200 và góc 600 mặt khác MA = BC
Từ đây, ta thấy các yếu tố xuất hiện ở trên liên quan đến tam giác đều
Điều này giúp ta nghĩ đến việc dựng hình phụ là tam giác đều
H ớng giải :
Cách1:(H1) Vẽ BDC đều (D,A cùng phía so với BC) Nối Avới D
Ta có : ABD = ACD (c.c.c) => DAC = DAB =100 (H.2)
Lại có: AMC = CDA(c.g.c) => MCA = DAC =100
=> AMC = 1800 - ( ACM + MAC ) = 1800 - (200 + 100) = 1500
Cách 2:(H.2) Vẽ ACD đều (M, D khác phía so với AC)
Có: BAC = ADM (c.g.c) => AMD = 800 (1)
=> MDC cân tại D, MDC = 400 => DMC = 700 (2)
- Từ hớng giải quyết trên chúng ta thử giải bài toán 1 theo các phơng án sau:
* Vẽ ACD đều (C, D khác phía so với AB)
* Vẽ ABD đều (B, D khác phía so với AC)
* Vẽ AMD đều (D, C khác phía so với AB)
Bài toán 2: Cho ABC cân tại A; A = 40 0 Đờng cao AH, các điểm E, F theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng AH, AC sao cho EBA = FBC = 30 0 Tính góc AEF =?
H ớng giải :
Vẽ ABD đều ( B, D khác phía so với AC ) (H.3)
-1
-A
M
D
A
M
D
Lập luận t ơng tự ta cũng có kết quả đúng
H ớng giải quyết t ơng tự trên
C
E I
C
A
B
E D
D
F E A
H
F E
A D
F E
A D
H
=> AMC = 1500
“Tớnh số đo gúc” là dạng toỏn khỏ quen thuộc đối với học sinh khỏ, giỏi nhưng
thực sự khụng đơn giản đối với học sinh thuộc diện đại trà Hơn nữa với những bài toỏn
tớnh số đo gúc phải dựng đến “đường kẻ phụ”, “vẽ hỡnh phụ” là một vấn đề khụng
được núi đến trong sỏch giỏo khoa, cũn cỏc tài liệu tham khảo thỡ cũng rất ớt đề cập Vỡ
vậy việc "Rốn luyện tư duy sỏng tạo cho học sinh qua một số dạng toỏn tớnh số đo
gúc" là một vấn đề cần được trao đổi trong dạy học Toỏn ở trường phổ thụng núi chung
và ở bậc THCS núi riờng.
Với những suy nghĩ trờn chỳng tụi mong muốn qua bài viết này sẽ giỳp học sinh, bạn đọc thỏo gỡ được phần nào những khú khăn của mỡnh khi tiếp xỳc với bài toỏn tớnh số đo gúc
Trang 2Tam giác ABC cân tại A = 40 (gt) (H.3)
=> ABC = ACB = 700 mà FBC = 300 (gt)
=> ABF = 400, BAF = 400 => AFB cân tại F
=> AF = BF mặt khác AD = BD, FD chung
=> AFD = BFD(c.c.c) => ADF = BDF = 0 30 0
2
60
Do AH là đờng cao của tam giác cân BAC
=> BAE = 200 = FAD = 600 - 400, AB = AD (vì ABD đều) ABE = 300 (gt)
=> ABE = ADF (g.c.g) => AE = AF => EAF cân tại A mà EAF = 200
=> AEF = 0 0 80 0
2
20 180
Nhận xét: Vấn đề suy nghĩ vẽ tam giác đều xuất phát từ đâu?
Phải chăng xuất phát từ giả thiết 400 = 600 - 200 và mối liên hệ FA = FB đợc suy ra từ ABF cân tại F Với hớng suy nghĩ trên chúng ta có thể giải bài toán 2 theo các cách sau:
* Vẽ AFD đều (H.4) (F, D khác phía so với AB)
* Vẽ BFD đều (H.5) (F, D khác phía so với AB)
Bài toán 3: (Trích toán nâng cao lớp 7 - Vũ Hữu Bình - NXBGD 2003)
Cho ABC, B = C = 45 0 Điểm E nằm trong tam giác sao cho: EAC = ECA = 15 0 Tính góc BEA ? Nhận xét: Xuất phát từ 150 và 750 đã biết.Ta có: 600=750 -150 và EA = EC do AEC cân tại E Với những yếu tố đó giúp ta nghĩ đến việc dựng hình phụ là tam giác đều
H ớng giải :
Hớng1: (H.6) Vẽ AEI đều (I, B cùng phía so với AE)
Ta có: AEC = AIB (c.g.c)
=> IB = CE mà EA = EC (AEI đều ) (H.6)
=>IB = EI => EIB cân tại I
=> EIB = 3600 - (600 + 1500) = 1500
=> IEB = 150
=> BEA = BEI + IEA = 750
*Chúng ta cũng có thể giải bài toán 3 theo cách sau:
Vẽ ACD đều (D, E khác phía so với AC) (H.7) Bạn đọc thử trình bày lời giải
(H.7)
*Một số bài toán tơng tự:
Bài toán 3.1: Cho ABC, Â = 1V, AB = 2AC Kẻ tia Cx // AB Kẻ AD sao cho CAD = 150, D Cx (B, D cùng phía so với AC) Tính góc ADB = ?
Hớng dẫn: Lời giải đợc suy ra từ bài toán 3
Bài toán 3.2: Cho ABC; Â = 1V, B = 750, BH = 2AC, H AB (B, H khác phía so với AC) Tính: HCA = ?
Hớng dẫn: Sử dụng kết quả bài toán 3 và 3.1
Bài toán 3 ta có thể phát biểu dới dạng tổng quát nh sau:
Bài toán 3.3.1:
Cho ABC (AB = AC) A = (600 < < 1200)
Điểm M nằm trong tam giác sao cho MAC = MCA =
2
60 0
Tính: BMC = ?
Bài toán 3.3.2: Cho ABC, AB = AC, Â = (00 < < 600)
Điểm M nằm ngoài tam giác sao cho MAC = MCA =
2
60 0
(M, B khác phía so với AC) Tính: BMA = ?
Bài toán 3.3.3: Cho ABC, AB = AC, Â = (1200 < < 1800)
Điểm M nằm ngoài tam giác sao cho MAC = MCA =
2
60 0
, (M, A khác phía so với BC) Tính BMA = ?
Bài toán 4:
Cho ABC, A = 80 0 , AB = AC M là điểm nằm trong tam giác sao cho MBC = 10 0 , MCB =30 0 Tính: AMB
Nhận xét:
Xuất phát từ giả thiết AB = AC và liên hệ giữa góc100 với 500 ta có
500 + 100 =600 Từ đó ta nghĩ đến giải pháp là dựng tam giác đều
H ớng giải :
-2
-D A
M
C B
A
M
C B
D
A
I
D
D
A
E
A
B
D
C H
Trang 3Cách 1: (H.8) Vẽ BDC đều (A, D cùng phía so với BC)
Dễ thấy BAD = CAD (c.g.c) và DAB = CMB (g.c.g) (H.8) => BA = BM
=> ABM cân tại B, ABM = 500 -10 0 = 400 => AMB = 700 Cách 2: (H.9) Vẽ ABD đều (D, A khác phía so với BC) (H.9) => DAC cân tại A Từ đó có hớng giải quyết tơng tự Bài toán 5: Cho ABC, ( B = C = 70 0 ) Kẻ tia Bx sao cho CBx = 10 0 ,
trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD = BA (A, D khác phía so với BC) Tính: BCD = ?
Nhận xét: Ta thấy bài ra xuất hiện góc 700 và 100 mà 600 = 700 - 100
đồng thời với BA = BD Điều này làm nảy sinh suy nghĩ vẽ hình phụ là tam giác đều H ớng giải : (H.10)
Cách 1: (H.10) Vẽ BCI đều (I, A cùng phía so với BC )
Ta thấy BIA = CIA (c.g.c) và BIA = BCD(c.g.c)
=>BCD = BIA = 1800 - (100 + 2 BAC ) =1500
Cách 2: (H.11) Vẽ ABE đều (E, B khác phía với so AC) (H.11)
Từ đây ta có cách giải quyết tơng tự Dạng 2: Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác vuông có một góc bằng 30 0 Bài toán 6: Cho ABC, C = 30 0 Đờng cao AH, AH = 2 1 BC D là trung điểm của AB Tính ACD = ? H ớng giải : (H.12) Xét AHC có C = 300, AHC = 1V => AH = 2 1 AC (H.12) mà AH = 2 1 BC (gt) => AC = BC => ACB cân tại C => CD là phân giác => ACD = 150
Nhận xét: Suy nghĩ chứng minh ACB cân xuất phát từ đâu? Phải chăng xuất phát từ AHC vuông có C = 300 và AH = 2 1 BC Thực sự hai yếu tố này đã giúp ta nghĩ đến tam giác vuông có một góc bằng 300 Với ý tởng và cách nghĩ này, chúng ta có thể vẽ hình phụ theo phương ỏn sau:
Vẽ tam giác vuông BCI, BIC = 1V, C = 300 (I, A khác phía so với BC) Bài toán 3 đợc giảI quyết tơng tự Bài toán 7: Cho ABC, AH BC, BD = DC (H,D thuộc đoạn BC) sao cho BAH = HAD = DAC (*) Tính: ABH =?
H ớng giải :
Vẽ DI AC I AC (H.13)
Dễ thấy ABH = ADH (g.c.g) => BH = HD (1)
AHD = AID (Cạnh huyền - góc nhọn) => HD = ID (2) (H.13) Từ (1) và (2) suy ra ID= HD = 2 1 BD = 2 1 DC => DIC có ID= 2 1 DC mà DIC=1v => C=300 => HAC=600 kết hợp với (*) => ABH = 600 Nhận xét: Xuất phát từ BAH = HAD => BH = HD = 2 1 BD = 2 1 DC Đến đây ta thấy một phần của các yếu tố trong tam giác vuông có một góc bằng 300 xuất hiện Từ đó dự đoán C = 300 Nảy sinh suy nghĩ vẽ DI AC Nếu chứng minh đợc DI = 2 1 DC thì bài toán đợc giải quyết Với suy nghĩ tơng tự ta có cách vẽ hình phụ nh sau:
* Lấy E đối xứng với A qua H (H.14) Ta chứng minh đợc
AEC đều => AHC là nửa tam giác đều từ đó bài toán (H.14)
đợc giải quyết
Bài toán 8:
Cho ABC Vẽ ABD, ACE đều (E, D nằm ngoài tam giác ABC).
H là trung điểm của BC, I là trọng tâm của ABD Tính: IEH = ?
H ớng giải :
Lấy F đối xứng với E qua H (H.15)
-3
-C
E C
A
D
B
I
H
A
B
H
I
Ta đều có h ớng giải quyết t ơng tự
C
E A
D
B
I
H
M D M A C
E
A
D
B
I
H
K
A
B
D H
I
E
Trang 4Ta có: BHF = CHE (c.g.c) => BF = CE
Ta có IA = IB và AIB = 1200 (vì ABD đều)
IAE = 300 + BAC + 600 = 900 + BAC mà IBF = 3600 - (IBA + ABC + HBF) = 3600 - (300 + ABC + ECH ) (H.15)
= 3600 - (300 + ABC + ACB + 600)
= 3600 - (900 + 1800 - BAC) = 900 + BAC
=> IBF = IAE (c.g.c) =>IF = IE
=> FIE cân tại I mà AIB = 1200
=>FIE = 1200 => IEH = 300 F Với cách giải này, nhiều em đã phát hiện và đề xuất cách vẽ đờng phụ nh sau:
* Lấy K đối xứng với I qua H (H.17)
* Lấy M đối xứng với B qua I (H.18)
(H.17) (H.18)
*Bài tập cùng dạng:
Cho ABC vẽ ABD, ACE đều (E, D nằm ngoài tam giác) I, P lần lợt là trung điểm của AD và CE Điểm F nằm trên BC sao cho BF = 3.FC Tính: FPI = ?
Dạng 3: Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác vuông cân.
Bài toán 9:Cho ABC, M là trung điểm của BC, BAM = 30 0 , MAC = 15 0 Tính: BCA = ?
Nhận xét: Khi đọc kỹ bàI toán ta thấy BAM = 300, MAC = 150, BM = MC quan sát hình vẽ rồi nhận dạng bài toán ta biết đợc nó có nguồn gốc từ bài toán 3 mặt khác BAC = 450
điều này giúp ta nghĩ đến dựng tam vuông giác cân
H ớng giải :
Cách 1: (H.19) Hạ CK AB (Dễ chứng minh đợc tia CB nằm giữa
hai tia CA và CK) Ta có AKC vuông cân tại K (vì BAC = 450)
=> KA = KC Vẽ ASC vuông cân tại S (K, S khác phía so với AC)
Do BKC vuông tại K => KM =
2
1
BC = MC=> KMC cân tại M (H.19)
Dễ thấy KAM = CSM (c.g.c) =>CSM = 300 => ASM = 600 và
SAM = 600 => ASM đều => AS = SM = AK => AKM cân tại A
=> MKC = MCK = 900 - 750 = 150 => BCA = 450 - 150 = 300
Cách 2:(H.20) Lấy D đối xứng với B qua AM => BAD cân tại A
mà BAM = 300 (gt) => BAD = 600 => ABD đều Ta có DC // MI
(Vì MB = MC, IB = ID),(BD AM = I) mà MI BD => CDBD (H.20)
Mặt khác xét: ADC có CAD = 150(gt), ADC = 600 + 900 = 1500
=> DCA = 150 => ADC cân tại D => AD = CD mà AD = BD (ADB đều)
Vậy BDC vuông cân tại D => DCB = 45 0 =>BCA = 45 0 - DCA = 45 0 - 15 0 = 30 0
Bài toán 10:
Cho ABC, A = 1V, AC = 3AB D là điểm thuộc đoạn AC sao cho AD = 2DC Tính: ADB + ACB = ?
H ớng giải : (H.21)
Kẻ EF AC sao cho EA = ED, E AD với EF = AD, (B, F
khác phía so với AC ) Ta có BAD = DEF (c g.c) (* )
=> BD = FD , BDF = 1v => BDF vuông cân tại D
=> DFB = 45 0 (1) Trên tia đối của tia AB lấy I sao cho
AI = 2AB Dễ thấy IBF = ACB ( c.g.c) => ACB = IBF (H.21)
= EFB (2)
Từ (*), (1) và (2) ta có ADB + ACB = BFD = 450
Nhận xét: Sau khi vẽ hình ta dự đoán ADB + ACB = 450 lúc
đó ta nghĩ đến việc tạo ra một tam giác vuông cân làm sao
để tổng số đo của hai góc cần tìm bằng số đo góc 450 ý nghĩ dự đoán ADB + ACB = 450 xuất phát từ đâu? Phải chăng xuất phát từ BAE vuông cân ( E là trung điểm của AD ) Khi phát hiện tổng hai góc đó bằng 450 chúng ta có thể giải bài toán theo nhiều cách giải khác nhau Đây là bài toán khá hay, mà đến nay theo tôi
đ-ợc biết nó có không dới 20 cách giải khác nhau Bởi vậy khi giải bài này, chúng ta cần tổ chức cho học sinh tìm tòi, sáng tạo ra nhiều đờng kẻ phụ mới, độc đáo nhằm tạo ra sự hứng thú học tập và nghiên cứu khoa học ở các em
-4
C K
B
D
A
B I
M
C B
F I
Trang 5Bài toán 11: Cho ABC vuông cân tại A, M là điểm bất kỳ trên đoạn AC (M khác A, C) Kẻ AF
BM, F BC E là điểm thuộc đoạn BF sao cho EF = FC kẻ EI // BM, I BA Tính góc AIM = ?
H ớng giải :
Gọi K là giao điểm của IE và AC (H.22)
Xét KEC có FA // EK, EF = FC ( gt )
=> KA = AC và K = FAC Ta có ABM = AKI (g.c.g)
( vì FAC = ABM ) => AM = AI => AIM vuông cân tại A (H.22)
=> AIM = 450
Nhận xét:
Đờng kẻ phụ KI và KA xuất phát từ đâu? Ta thấy có hai nguyên nhân cơ bản làm nảy sinh các đ ờng kẻ phụ này
+ Một là do IE // AF
+ Hai là EF = FC
Từ đó làm xuất hiện ý nghĩ chứng minh ABM = AKI
và bài toán đợc giải quyết
Căn cứ vào các yếu tố giả thiết đã cho của bài toán ta (H.23)
có cách vẽ hình phụ khác nh sau: M * Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho AH = AM (H.23) Từ đó ta có cách giải quyết tơng tự trên
II.Dạng 4: Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác cân khi biết một góc Bài toán 12: Cho ABC, A = 80 0 , AC > AB D là điểm thuộc đoạn AC sao cho DC = AB; M, N theo thứ tự là trung điểm của AD và BC Tính góc CMN ? H ớng giải : Trên tia đối của tia AC lấy điểm K sao cho AK = DC
Nối K với B ta có KAB cân tại A.( vì AB = DC) (H.24)
=> BKA = 2 1 BAC = 2 1 800 = 400 ( tính chất góc ngoài )
Mặt khác ta có MA=MD => MK =MC, BN =NC => MN là
đờng trung bình của KBC => NMC = BKC = 400 (H.24)
Nhận xét: Vì đâu ta có đờng kẻ phụ AK ?
Thứ nhất: Ta có KAB cân và góc BAC biết Nh vậy các góc của KAB ta sẽ tìm đợc
Thứ hai: Vì MA = MD dẫn đến MK = MC
Thứ ba: Do NB = NC Với lý do thứ hai và ba ta có đợc góc cần tìm bằng góc BKA Vậy bài toán đợc giải quyết Sau khi nêu ra những lý do cơ bản đó, ta có những đờng kẻ phụ khác nh sau: * Lấy K đối xứng với A qua N * Lấy K là trung điểm của BD * Lấy K đối xứng với M qua B * Lấy K đối xứng với D qua N
Bài toán trên ta có thể ra dới dạng tổng quát nh sau: Giữ nguyên giã thiết và thay  = ( 0 0 < < 180 0 ) Từ bài toán 13 vấn đề đặt ra là nếu ta “bẽ gãy” đoạn thẳng AC thành hai đoạn thẳng AD và DC thì bài toán lúc này có giải đợc nữa hay không ? Thật vây, ta đi nghiên cứu bài toán đó Bài toán 13: Cho ABC và ADC chung cạnh AC (B, D nằm khác phía so với AC) M,N theo thứ tự là trung điểm của AD và BC AB cắt DC tại E BEC = , ( 0 0 < < 180 0 ) MN cắt DC tại I Tính: NIC =? H ớng giải : Lấy K đối xứng với A qua N (H.25)
Dễ thấy BAN = CKN ( c.g.c) => CK = AB = DC =
DCK cân tại C mà MA = MD và NA = NK
=>MN // DK => NI // DK
=> NIC = KDC = 2 1 (1800- DCK) = 2 1 (H.25)
(vì DCK = DCB + NCK = DCB + CBA = 1800 - ) Vậy NIC = 2 1
Nhận xét:
Nh vậy khi giải một bài toán nếu ta biết nó xuất phát từ đâu, bắt nguồn từ bài toán nào thì việc giải sẽ
dễ dàng hơn Ta thấy bài 13 là trờng hợp riêng của bài 14 Thật vậy khi A E thì M I ta trở về bài toán 13 Quan sát, nhận xét kỹ mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán 13 ta có những cách vẽ hình phụ
để giải bài toán bằng các cách khác nh sau:
* Lấy F đối xứng với B qua M
-5
-A K
B
E F
C M
I
Đều có h ớng giải quyết t ơng tự
C N
B
K
A M D
B
K
D
I E
B
K
D
I E
B
K
D
I E
A
B
E I
H
F C
Trang 6* Lấy P đối xứng với D qua N.
* Lấy Q đối xứng với C qua M
* Lấy R là trung điểm của BD
* Lấy S là trung điểm của AC
*Một số bài toán tham khảo.
Ta có thể áp dụng cách giải các bài toán từ các ví dụ trên để giải các bài toán sau
Bài 1: Cho ABC, A = 600 Các phân giác AD, CE cắt nhau tại F, E AB, D AC Tính: EDB = ?
Bài 2: Cho ABC, C = 1000, CA = CB, điểm M nằm trong tam giác sao cho CAM = 100, CBM = 200 Tính: AMC = ?
Bài 3: Cho ABC cân tại C, C = 800, M nằm trong tam giác sao cho MAB = 100, MBA = 200
Tính: AMC =?
Bài 4:
Cho ABC, AB = AC, A = , trung tuyến CM Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BA biết BCM = Tính: BDC = ?
Trên đây là một số dạng bài toán tính số đo góc mà trong quá trình dạy học, bồi d ỡng học sinh giỏi chúng tôi đã tích luỹ đợc và mạnh dạn đa ra trao đổi cùng bạn bè đồng nghiệp cùng các thầy, cô giáo để nhằm mục đích góp phần vào việc nâng cao chất lợng dạy học
Các bài toán đa ra làm ví dụ cha thực sự lôgic, phù hợp; khai thác cha triệt để chắc chắn còn có nhiều lời giải hay và hấp dẫn hơn Đặc biệt, khi sử dụng những đơn vị kiến thức về: Tam giác đồng dạng, tứ giác, tứ giác nội tiếp, công thức tính diện tích, lợng giác để giải bài toán về tính số đo góc thì bài toán đợc giải quyết nhanh hơn, gọn hơn rất nhiều
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song với những kinh nghiệm ít ỏi của bản thân, chắc chắn trong quá trình viết không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế Kính mong đ ợc quí thầy cô giáo và bạn đọc rộng lợng, góp ý sữa chữa để những vấn đề nêu trên ngày càng thiết thực và bổ ích hơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới quí thầy giáo, cô giáo, các bạn đồng nghiệp và một số bạn đọc đã góp
ý giúp tôi hoàn thiện bài viết này
Tài liệu tham khảo
1 Phát triển và nâng cao hình học 7 ( Vũ Hữu Bình )
2 Tạp chí toán học tuổi thơ 2 NXBGD.
3 Một số đề thi HSG huyện và HSG tỉnh
4 Tạp chí toán học và tuổi trẻ.
5 Sách giáo khoa toán 7, 8; Sách giáo viên Toán 7, 8.
Lộc Hà, ngày 28 tháng 02 năm 2007
-6 -Giải tơng tự cách vẽ thứ nhất
