Một số phép biến hình và các biện pháp ứng dụng phép biến hình để giải toán hình học phẳng trong trường trung học phổ thông

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN Đề tài: MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH VÀ CÁC BIỆN PHÁP ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Giáo viên hướng dẫn : ThS Nguyễn Hữu Chiến Sinh viên thực : Huỳnh Thị Thu Hiền Lớp : 10CTT1 Đà Nẵng, tháng 05 năm 2014 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến LỜI CẢM ƠN Lời em xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng, đặc biệt thầy Khoa Tốn, Khoa Tin quan tâm, giúp đỡ truyền đạt vốn kiến thức quý báu cho chúng em suốt thời gian học tập trường điều tạo tiền đề cho em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, em xin gửi đến Thầy Nguyễn Hữu Chiến, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Cuối em xin kính chúc thầy cô mạnh khỏe, hạnh phúc thành công công việc Đà Nẵng, ngày 26 tháng 05 năm 2014 Sinh viên thực HUỲNH THỊ THU HIỀN SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu .2 Phạm vi nghiên cứu .2 PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I: PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG KHÔNG GIAN AFIN, KHÔNG GIAN ƠCLIT 1.1 Phép biến đổi không gian afin .3 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Một số tính chất phép biến đổi khơng gian Afin 1.1.3 Phương trình phép biến đổi Afin 1.2 Phép biến đổi không gian Ơclit 1.2.1 Định nghĩa không gian Ơclit .7 1.2.2 Phép dời hình 1.2.3 Phép đồng dạng .9 CHƯƠNG II : CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 11 2.1 Phép biến hình .11 2.2 Phép dời hình mặt phẳng 11 2.2.1 Phép dời hình xác định phép dời hình .11 SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến 2.2.2 Hai hình .12 2.2.3 Phép đồng 12 2.2.4 Phép tịnh tiến 12 2.2.5 Phép đối xứng trục 13 2.2.6 Phép đối xứng tâm 14 2.2.7 Phép quay 15 2.2.8 Mối quan hệ phép đối xứng trục, phép tịnh tiến phép quay 17 2.3 Phép đồng dạng 23 2.3.1 Phép vị tự 23 2.3.2 Phép đồng dạng 24 CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG 26 3.1.Sử dụng phép biến hình vào giải tốn chứng minh tính tốn 26 Bài 1: .26 Bài 27 Bài 27 Bài 29 Bài 30 Bài 30 Bài 31 Bài 32 Bài 33 Bài tập đề nghị .33 SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến 3.2 Sử dụng phép biến hình để giải số tốn dựng hình .35 Bài 35 Bài 36 Bài 38 Bài 39 Bài 40 Bài 6: .41 Bài .42 Bài .43 Bài tập đề nghị .45 3.3 Sử dụng phép biến hình để giải số tốn quỹ tích 46 Bài : 46 Bài : 47 Bài 3: .49 Bài 51 Bài 52 Bài 53 Bài 54 Bài tập đề nghị .54 KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Một số phép biến hình dạy chương trình trường trung học phổ thơng (THPT), giúp học sinh trường THPT làm quen phép biến bước đầu có khả vận dụng phép biến đổi để giải số tốn hình học phẳng (HHP) Việc đưa nội dung số phép biến hình vào trường THPT khơng nhằm cung cấp cho thầy, cô giáo học sinh cơng cụ để dạy học hình học mà trang bị cho học sinh phương pháp tư suy luận mới, biết nhìn nhận việc tượng xung quanh sống với vận động biến đổi chúng Ngoài ra, q trình giải tốn hình học cụ thể phép biến hình cịn giúp cho trình dạy học hình học cách sáng tạo gây hứng thú học tập hình học Hơn nữa, dùng phép biến hình cách thích hợp để giải toán thể kỹ lựa chọn cơng cụ để giải tốn, kỹ khơng thể thiếu q trình dạy học hình nói riêng giúp nâng cao hiệu giải số toán hình học cịn kỹ cần thiết cho q trình dạy học mơn khoa học khác Việc nghiên cứu, tìm hiểu kỹ nội dung phép biến hình đề phương pháp để vận dụng có hiệu phép biến hình học trình dạy học hình học mong muốn xin lựa chọn chủ đề: “Một số phép biến hình biện pháp ứng dụng phép biến hình để giải tốn hình học phẳng trường trung học phổ thông” làm đề tài tốt nghiệp cho thân ( sinh viên thuộc hệ đào tạo cử nhân Toán – Tin, trường đại học sư phạm) Hy vọng đề tài này, góp phần vào trình tìm tịi biện pháp nâng cao chất lượng dạy học hình học, kỹ vận dụng các kiến thức phép biến hình học để giải tốn, đặc biệt hình thành lực vận dụng phép biến hình để tìm tịi lời giải tốn có liên quan SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1 Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến Mục đích nghiên cứu: 1- Hệ thống lại kiến thức bao gồm: định nghĩa, tính chất, biểu thức tọa độ phép biến hình khơng gian Ơclit cụ thể số phép biến hình hình học phẳng 2- Phương pháp sử dụng phép biến hình để giải số tốn hình học phẳng có liên quan Nhiệm vụ nghiên cứu: 1- Trình bày khái niệm, điều kiện xác định, tính chất, biểu thức tọa độ phép biến hình khơng gian hình học tổng qt - khơng gian Ơclit 2- Trình bày khái niệm, tính chất, biểu thức tọa độ số phép biến hình HHP 3- Trình bày phương pháp ứng dụng phép biến hình để giải số toán học phẳng Phương pháp nghiên cứu: Đọc sách, nghiên cứu tài liệu để từ tổng hợp, chọn lọc kiến thức có liên quan để thực đề tài Phạm vi nghiên cứu: Do khả thân điều kiện thời gian, đề tài tập trung nghiên cứu nội dung: 1- Lý thuyết tổng qt phép biến hình khơng gian Afin không gian Ơclit, nghiên cứu phép biến hình hình học phẳng 2- Đề xuất phương pháp sử dụng phép biến hình để giải số toán cụ thể HHP SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1 Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I: PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG KHÔNG GIAN AFIN, KHÔNG GIAN ƠCLIT 1.1 Phép biến đổi không gian afin: 1.1.1 Định nghĩa: Phép đẳng cấu afin : phép biến đổi afin → khơng gian afin A lên gọi không gian afin A gọi tắt phép afin Khi ánh xạ tuyến tính liên kết : ⃗ → ⃗ phép tự đẳng cấu tuyến tính cịn gọi phép biến đổi tuyến tính Ví dụ: Cho khơng gian afin A liên kết với không gian vectơ V Cho vectơ ⃗ cố định, xét ánh xạ : → ⃗′ = ⃗ Phép afin ′ = ( ) cho gọi phép tịnh tiến theo vectơ ⃗ kí hiệu ⃗ Vectơ ⃗ gọi vectơ tịnh tiến Phép tịnh tiến ⃗ ⃗: phép đồng ⃗) = ∈ ⃗( = ⃗+ Ngược lại = ⃗ → Thật vậy, ∀ , ( phép biến đổi afin với ánh xạ tuyến tính liên kết ta có ⃗) = ⃗= ′ ⃗′ + (− ⃗) = ⃗′ + ′ ⃗′ + ′ ⃗ ′ ⃗′ phép biến đổi afin mà ánh xạ tuyến tính liên kết phép tịnh tiến SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1 Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến Thật vậy, lấy điểm I cố định A đặt ′ = ( ) Khi đó: ( )⃗ = = ⃗′ = ⃗ + ⃗′ + ′ ⃗′ ⃗ + ⃗′ + ( ⃗ ) = ′⃗ ′ ⃗′ = ⃗ 1.1.2 Một số tính chất phép biến đổi khơng gian Afin: 1.1.2.1 Định lí 1: Trong không gian Afin , cho hai hệ điểm độc lập ′ , ′ , … , ′ Khi có phép biến đổi Afin : ,…, → cho ( ) = ′ , ∀ = 0, Chứng minh: + điểm Vì ⃗, ⃗, … , , ,…, độc lập ⃗ sở không gian vectơ ánh xạ tuyến tính : ⃗ → ⃗ cho ( nên hệ ⃗ liên kết với ⃗) = ′ Theo tính chất ánh xạ Afin: “Với ánh xạ tuyến tính cặp điểm ∈ ′ ∈ ′ xác định ánh xạ Afin : ) = ′ có ánh xạ tuyến tính Khi có ′⃗, ∀ = 0, : → ′ với → ′ nhận xạ tuyến tính liên kết có ( ) = ′.” ta có ánh xạ afin : cho ( vectơ ánh → liên kết Như ( ) = ′ Vậy có phép biến đổi Afin : → cho ( )= ′, ∀ = 0, 1.1.2.2 Định lí 2: Tích hai phép Afin phép Afin có phép biến đổi tuyến tính liên kết tích phép biến đổi tuyến tính liên kết hai phép Afin cho Đảo ngược phép Afin phép Afin có phép biến đổi tuyến tính liên kết đảo ngược phép biến đổi tuyến tính liên kết với phép Afin cho SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1 Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến Chứng minh: Cho hai phép Afin : kết : ⃗ → ⃗ ′′ = ( ′) = : → → có phép biến đổi tuyến tính liên : ⃗ → ⃗ Khi với , ∈ ( ) ta có: ′ = ( ), ′ = ( ), ′′ ′′⃗ = ( ′ ⃗′) = ( ánh xạ Afin có ánh xạ tuyến tính liên kết là phép biến đổi tuyến tính nên tính Do ⃗) Vì phép biến đổi tuyến phép biến đổi Afin Đảo ngược phép Afin kết : ( ), ′′ = ( ′) = Như tích → phép afin có phép biến đổi tuyến tính liên 1.1.2.3 Định lí : Phép biến đổi Afin biến m-phẳng thành m-phẳng Chứng minh : Giả sử : → phép Afin khơng gian Afin A gọi phẳng A Theo tính chất ánh xạ Afin: “Ánh xạ Afin : m-phẳng A thành l-phẳng A′ với ≤ A mà ≤ Nhưng ≤ Suy = Vậy ( : → ” ta có ( m→ ′ biến ) phẳng l chiều phép Afin biến ( ) thành nên ) m-phẳng * Hệ : Phép biến đổi Afin : → biến đường thẳng thành đường thẳng 1.1.2.4 Định lí : Phép Afin : → bảo toàn tỉ số đơn hệ ba điểm thẳng hàng nghĩa ′ = ( ), ′ = ( ), ′ = ( ) và ( , , thẳng hàng ′, ′, ′ thẳng hàng ) = ( ′ ′ ′) SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1 Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến * Cách dựng : + Dựng đường thẳng b’ = ( , ∘) (b) + Gọi A giao điểm a b’ + Dựng B = ∘) ( , (A) + Nối C với A, C với B, B với A ta ∆ABC cần dựng * Chứng minh: Theo cách dựng ta có ∆ABC * Biện luận: Số nghiệm toán phụ thuộc vào số giao điểm đường thẳng a b’ Bài : Cho ∆ABC có ba góc nhọn Hãy dựng hình vng MNPQ với M nằm cạnh AB, N nằm cạnh AC, P Q nằm cạnh BC Giải : * Phân tích: Giả sử dựng hình vng MNPQ thỏa mãn u cầu tốn ′∈ Xét hình vng ; ′, ′ ∈ = Ta có : ⇒ = Ngồi M’N’P’Q’ với (Vì M’Q’//MQ) ′ ′= (Vì M’N’//MN) Nên : ∆BM’N’ ~ ∆BMN ⇒ B, N’, N thẳng hàng SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1 Trang 43 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến = Từ ta có : = = = Vậy MNPQ ảnh M’N’P’Q’ qua phép vị tự V(B,k) * Cách dựng : + Dựng hình vuông M’N’P’Q’ với ′∈ ; ′, ′ ∈ + Kéo dài BN’ cắt AC N + Từ N dựng đường thẳng song song cới BC cắt BA M + Từ M, N kẻ hai đường thẳng vng góc với BC cắt Q P + Nối đoạn thẳng MN, NP, PQ, QM ta hình vng MNPQ cần dựng * Chứng minh : Dựa vào cách vẽ ta có : Xét ∆MBN có MN//M’N’ (Cùng song song với BC) ⇒ Xét ∆MBQ có MQ//M’Q’ (Vng góc với BC) ⇒ Suy : = = = = = = , mà M’N’ = M’Q’ (vì M’N’P’Q’ hình vng) nên MN=PQ.(1) Dựa vào cách dựng ta có MNPQ hình chữ nhật (2) Từ (1) (2) suy MNPQ hình vuông * Biện luận : Dựa vào cách dựng ta có tốn có nghiệm hình SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1 Trang 44 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến Bài tập đề nghị : Bài : Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng d d1 cắt hai điểm A, B khơng thuộc hai đường thẳng Hãy tìm điểm M d điểm M’ d1 để ABMM’ hình bình hành Bài : Cho hai đường trịn không đồng tâm (O ;R) (O’ ;R’) điểm A nằm (O ;R) Xác định điểm M nằm (O ;R) điểm N (O’ ;R’) cho ⃗= ⃗ Bài : Cho hai điểm A, C đường trịn (O) Hãy dựng hình bình hành ABCD có B, D thuộc (O) Bài : Cho hai đường tròn (O ;R), (O’ ;R’) đường thẳng d Hãy xác định hai điểm M, M’ nằm hai đường trịn cho d trung trực đoạn MM’ Bài : Cho đường tròn (O ;R), đường thẳng d điểm I Tìm điêm A nằm (O ;R) điểm B d cho I trung điểm đoạn AB Bài : Cho hai đường tròn (C) (C’) cắt nhau, có giao điểm A Hãy dựng đường thẳng d qua A cắt (C) M cắt (C’) N cho M trung điểm AN Bài : Cho tam giác ABC có hai góc B, C nhọn Dựng hình chữ nhật DEFG có EF = 2DE với hai đỉnh D E nằm BC hai đỉnh F, G nằm hai cạnh AC AB Bài : Gọi A giao điểm hai đường tròn cắt (O) (O’) Hãy dựng qua A đường thẳng cắt hai đường tròn B, C cho AC = 2AB SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1 Trang 45 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến 3.3 Sử dụng phép biến hình để giải số tốn quỹ tích Phương pháp chung: Bài tốn: Tìm quỹ tích điểm M có tính chất cho trước Để giải toán phương pháp biến hình ta tìm mối liên hệ điểm M với điểm N (đã biết quỹ tích) qua phép biến hình mặt phẳng Khi đó, biết quỹ tích điểm N hình H quỹ tích điểm M hình H’, hình H’ ảnh H qua phép biến hình khơng cần chứng minh phần đảo Vì phép biến hình song ánh mặt phẳng nên việc giới hạn quỹ tích điểm M tương ứng giới hạn quỹ tích điểm N Vấn đề quan trọng để giải tốn quỹ tích tìm phép biến hình thích hợp Bài : Cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A, B cố định, cịn định C chạy đường trịn (O,R) Tìm quỹ tích đỉnh D C thay đổi Giải : * Xác định quỹ tích - Ta có ABCD hình bình hành ⇒ - Theo giả thiết A, B cố định ⇒ SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1 ⃗= ⃗ ⃗ cố định Trang 46 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến - Vì C chạy đường trịn (O, R), D ảnh C qua phép tịnh tiến theo vectơ ⃗ nên D chạy đường tròn (O′, R) ảnh đường tròn (O, R) qua phép tịnh tiến theo ⃗ * Kết luận : Quỹ tích đỉnh D C thay đổi đường trịn (O′, R) ảnh đường tròn (O, R) qua phép tịnh tiến theo ⃗ * Cách xác định (O′, R) : Từ O kẻ đường thẳng song song với AB, dựng vectơ ⃗′ = ⃗ Vẽ đường tròn tâm O′ bán kính R, đường trịn quỹ tích D Bài : (Bài tốn – Trang – Sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao) Cho hai điểm phân biệt B, C cố định (BC khơng phải đường kính) đường trịn (O,R) điểm A di động (O ;R) Chứng minh A di động (O ;R) trực tâm ∆ABC di động đường tròn cố định Giải : Cách 1: (Bài toán – Trang – Sách giáo khoa hình học 11 nâng cao) * Xác định quỹ tích - Kẻ đường kính BB′ - Gọi H trực tâm ∆ABC - Ta có AHCB′ hình bình hành ⇒ AH⃗ = B′C⃗ - Ta có C, B′ cố định nên B′C⃗ cố định - Theo định nghĩa phép tịnh tiến, ta có A biến thành điểm H qua phép tịnh tiến theo vectơ B′C⃗ - Do A chạy đường tròn (O,R) nên H chạy đường tròn (O′, R) ảnh đường tròn (O,R) qua phép tịnh tiến theo vectơ B′C⃗ SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1 Trang 47 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến * Kết luận : Khi A trùng với B C tam giác ABC suy biến thành đường thẳng Vì quỹ tích trực tâm H ∆ đường tròn (O’ ;R) bỏ hai điểm ảnh B, C với (O′, R) ảnh đường tròn (O,R) qua phép tịnh tiến theo vectơ B′C⃗ * Cách xác định (O’ ;R) : Từ O kẻ đường thẳng song song với B’C, dựng ⃗′ = ′ ⃗ Vẽ đường trịn tâm O′ bán kính R, đường trịn quỹ tích trực vectơ tâm H ∆ Cách : (Bài 10 – Trang 13 – Sách giáo khoa hình học 11 nâng cao) *Xác định quỹ tích : - Gọi H trực tâm ∆ABC, kéo dài AH cắt BC I đường tròn (O ;R) H’ - Ta có ′= ′ (Góc nội tiếp chắn cung BH’) (1) - Mặt khác : ⊥ ⊥ Từ (1) (2) suy ra: ′ ⇒ ′= (2) ′= - Xét ∆HCH’ có CI ⊥ HH’ ′= ⇒ ∆HCH’ tam giác cân suy BC đường trung trực HH’ hay H H’ đối xứng qua BC Vậy A chạy đường trịn (O ;R) H’ chạy đường tròn (O ;R) H chạy đường tròn (O’ ;R) ảnh đường tròn (O ;R) qua phép đối xứng trục BC * Kết luận : Khi A trùng với B C tam giác ABC suy biến thành đường thẳng Vì quỹ tích trực tâm H ∆ đường tròn (O’ ;R) bỏ hai điểm ảnh B, C với (O’ ;R) ảnh đường tròn (O ;R) qua phép đối xứng trục BC SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1 Trang 48 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến * Cách xác định (O’ ;R) : Từ O dựng điểm O’ cho BC trung trực OO’ Vẽ đường trịn tâm O′ bán kính R, đường trịn quỹ tích trực tâm H ∆ Cách 3: (Bài 17 - Trang 19 – Sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao) *Xác định quỹ tích : - Gọi H trực tâm ∆ABC, kẻ đường kính AM - Ta có CH ⊥ BA BA ⊥ BM ⇒ CH //BM Tương tự ta có CA ⊥ BH CA ⊥ CM ⇒ BH//CM Do BHCM hình bình hành Suy hai đường chéo HM, BC cắt trung điểm I BC - Vì B, C cố định nên I cố định Vậy H ảnh M qua phép đối xứng tâm I Mặt khác M chạy (O;R) nên H chạy (O’;R) ảnh đường tròn (O;R) qua phép đối xứng tâm I * Kết luận : Khi A trùng với B C tam giác ABC suy biến thành đường thẳng Vì quỹ tích trực tâm H ∆ đường trịn (O’ ;R) bỏ hai điểm ảnh B, C với (O’;R) ảnh đường tròn (O;R) qua phép đối xứng tâm I * Cách xác định (O’ ;R) : Trên đường thẳng OI lấy điểm O’ cho I trung điểm OO’ Vẽ đường tròn tâm O′ bán kính R, đường trịn quỹ tích trực tâm H ∆ Bài 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định Một đường kính MN thay đổi Các đường thẳng AM AN cắt tiếp tuyến B P, Q Tìm quỹ tích trực tâm ∆MPQ ∆NPQ ? SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1 Trang 49 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến Giải : *Xác định quỹ tích : - Kẻ MM′ ⊥ PQ (M′ ∈ PQ) - Xét ∆MPQ ta có QA, MM′ đường cao - Gọi H giao điểm QA, MM′ ⇒ H trực tâm ∆MPQ - Xét ∆MQH ta có OA đường trung bình ⃗=2 ⃗= ⇒ tiến theo ⃗ Ta có AB cố định nên ⃗ cố định Vậy qua phép tịnh ⃗ biến điểm M thành điểm H Do M nằm đường tròn (O) nên H nằm đường tròn (O′) ảnh đường tròn (O) qua phép tịnh tiến theo ⃗ * Kết luận: Do M khơng trùng với A, B nên quỹ tích trực tâm H ∆MPQ đường tròn (O′) ảnh đường tròn (O) qua phép tịnh tiến theo ⃗ bỏ hai điểm ảnh A, B * Cách xác định (O′) : Từ O kẻ đường thẳng song song với BA, dựng vectơ ⃗′ = ⃗ Vẽ đường trịn tâm O′ bán kính tâm H ∆ = , đường trịn quỹ tích trực SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1 Trang 50 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến Tương tự ∆NPQ Bài : (Bài toán – Trang 17 – Sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao) Cho đường tròn (O ;R) hai điểm A, B cố định Với điểm M ta xác định điểm M’ cho ⃗′ = ⃗+ ⃗ Tìm quỹ tích điểm M’ điểm M chạy (O ;R) Giải : * Xác định quỹ tích: + Gọi I trung điểm AB Theo tính chất vectơ trung tuyến MA⃗ + MB⃗ = 2MI⃗, suy 2MI⃗ = MM′⃗ hay I trung điểm MM’ + Vì A, B cố định nên I trung điểm AB cố định Do ĐI: M ⟼ M’ + Mà M chạy đường tròn (O;R) nên M’ chạy đường tròn (O’;R) ảnh đường tròn (O;R) qua phép đối xứng tâm I * Kết luận: Quỹ tích điểm M’ điểm M chạy (O ;R) đường tròn (O’;R) ảnh đường tròn (O;R) qua phép đối xứng tâm I * Cách xác định đường tròn (O’,R): Trên đường thẳng OI lấy điểm O’ cho I trung điểm OO’ Từ O’ dựng đường trịn O’ bán kính R, đường trịn quỹ tích điểm M’ SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1 Trang 51 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến Bài 5: Cho điểm A cố định nằm đường tròn (O) điểm C thay đổi nằm đường trịn Dựng hình vng ABCD Tìm quỹ tích điểm B điểm D Giải: * Xác định quỹ tích: - Trên đoạn thẳng AC lấy điểm M cho AM=AB=AD - Khi đó, ta có: = = √ - Ngoài : (AM, AB) = 45°, (AM, AD) = -45° Suy ra, phép vị tự √ ( , ) biến điểm C thành điểm M phép quay ( , °) biến điếm M thành điểm B - Vậy gọi F phép hợp thành V Q F biến C thành B - Vì quỹ tích C đường trịn (O), nên quỹ tích B ảnh đường trịn qua phép đồng dạng F * Kết luận: Quỹ tích điểm B ảnh đường trịn qua phép hợp thành V Q SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1 Trang 52 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến * Cách xác định quỹ tích B xác định sau : Gọi AR đường kính đường trịn (O) PQ đường kính (O) vng góc với AR (ta kí hiệu điểm P, Q cho (AR, AP) = 45°) Khi ta thấy phép đồng dạng F biến AR thành AP Vậy quỹ tích điểm B đường trịn đường kính AP Tương tự ta có quỹ tích điểm D đường trịn đường kính AQ Bài 6: (Bài 29 – Trang 29 – Sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao) Cho đường trịn (O;R) điểm I cố định khác O Một điểm M thay đổi đường trịn Tia phân giác góc cắt IM N Tìm quỹ tích điểm N Giải: * Xác định quỹ tích - Gọi d khoảng cách từ I đến tâm O đường tròn: - Xét ∆ = , theo định lí tính chất tia phân giác tam giác ta có: = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⃗= ⃗ Đẳng thức chứng tỏ N ảnh M qua phép vị tự tâm I, tỉ số = * Kết luận: Quỹ tích điểm N đường trịn (O’,R’) ảnh đường tròn (O;R) qua phép vị tự tâm I tỉ số = , với ′ = | | = * Cách xác định quỹ tích: Dựng điểm O’ cho đường trịn tâm O’, bán kính ′ = | | SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1 = ⃗′ = ⃗ Từ O’ dựng , quỹ tích điểm N cần tìm Trang 53 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến Bài 7: Cho đường tròn (O) điểm P nằm đường trịn Một đường thẳng thay đổi qua P, cắt (O) hai điểm A B Tìm quỹ tích điểm M cho : ⃗+ ⃗= ⃗ Giải : * Xác định quỹ tích điểm: - Gọi I trung điểm AB ⃗ = - Bởi ⃗= ⃗+ ⃗ ⃗ ⃗ = ⃗ - Gọi V phép vị tự tâm P tỉ số k=2 V biến điểm I thành điểm M - Vì I trung điểm AB nên OI ⊥ AB Suy quỹ tích điểm I đường trịn (C) đường kính PO * Kết luận : Quỹ tích điểm M đường tròn (C’) ảnh (C) qua phép vị tự V * Cách xác định đường tròn (C’): Dựng O’ cho ⃗′ = ⃗ , vẽ (C’) đường trịn đường kính PO’ Bài tập đề nghị : Bài : Cho hình bình hành ABCD, hai đỉnh A, B cố định, tâm I thay đổi nằm đường trịn (O) Hãy tìm quỹ tích trung điểm M cạnh BC Bài 2: Cho đường tròn (O) hai điểm A, B Một điểm M thay đổi đường trịn (O) Tìm quỹ tích điểm M’ cho SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1 ⃗′ + ⃗= ⃗ Trang 54 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến Bài 3: Cho đường tròn (O) tam giác ABC Một điểm M thay đổi (O) Gọi M1 điểm đối xứng M qua A, M2 điểm đối xứng M1 qua B, M3 điểm đối xứng M2 qua C Tìm quỹ tích điểm M3 Bài 4: Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định, đỉnh A di động đường trịn (O) cho trước Tìm tập hợp trọng tâm tam giác ABC Bài 5: Cho đường trịn (O) điểm P nằm ngồi đường trịn Một cát tuyến kẻ từ P cắt đường tròn M, N Gọi I trung điểm dây cung MN a/ Tìm tập hợp điểm I cát tuyến PMN quay quanh P b/ Tìm tập hợp trung điểm PI SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1 Trang 55 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến KẾT LUẬN Qua đề tài nghiên cứu: “Một số phép biến hình biện pháp ứng dụng phép biến hình để giải tốn hình học phẳng trường trung học phổ thơng.” Tôi rút số kết luận sau: Định nghĩa, tính chất biểu thức tọa độ số phép biến hình xem cơng cụ hữu ích để giải tốn hình học hình học phẳng Thơng qua số toán cụ thể luận văn dựa vào cách phân tích khác mà ta sử dụng phép biến hình khác nhau, cách khác để giải tốn Phép biến hình giữ vai trò quan trọng sử dụng nhiều tốn dựng hình hay tốn quỹ tích Trải qua q trình nghiên cứu, tìm hiểu hướng dẫn Thầy Nguyễn Hữu Chiến, luận văn trình bày phép biến hình khơng gian Ơclit, hình học phẳng phương pháp ứng dụng phép biến hình vào số tốn hình học phẳng Trong q trình làm luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vậy kính mong q thầy cơ, bạn đóng góp ý kiến để luận văn hồn thiện tơi có nhiều kinh nghiệm nghiệp sau Tơi xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, ngày 26 tháng 05 năm 2014 Sinh viên thực Huỳnh Thị Thu Hiền SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1 Trang 56 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Nguyễn Hữu Chiến TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] “Hình học cao cấp”, Nguyễn Mộng Hy, Nhà xuất giáo dục [2] “Phân dạng phương pháp giải tốn hình học 11”, Nguyễn Văn Phước, Nhà xuất đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh [3] “Các dạng tốn thường gặp phép biến hình phép dời hình”, Biên soạn Nguyên Đình Sỹ [4] “SGK Hình học nâng cao 11”, Nhà xuất giáo dục [5] “Bài tập hình học nâng cao 11”, Văn Như Cương (Chủ biên), Phạm Khắc Ban – Tạ Mân, Nhà xuất giáo dục [6] “Các phép biến hình mặt phẳng”, Nguyễn Mộng Hy, Nhà xuất giáo dục [7] “Chuyên đề phép biến hình, đại số vectơ hình 11”, Lê Văn Thống, Lê Mậu Thảo, Nhà xuất trẻ SVTH: Huỳnh Thị Thu Hiền – 10CTT1 Trang 57 ... PHƯƠNG PHÁP ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG 3.1.Sử dụng phép biến hình vào giải tốn chứng minh tính tốn: Phương pháp chung: Để giải toán phương pháp biến hình mặt phẳng. .. tài: Một số phép biến hình dạy chương trình trường trung học phổ thông (THPT), giúp học sinh trường THPT làm quen phép biến bước đầu có khả vận dụng phép biến đổi để giải số tốn hình học phẳng. .. số phép biến hình biện pháp ứng dụng phép biến hình để giải tốn hình học phẳng trường trung học phổ thông? ?? làm đề tài tốt nghiệp cho thân ( sinh viên thuộc hệ đào tạo cử nhân Toán – Tin, trường