Vận dụng một số định lý hình học cổ điển vào giải một số bài toán hình học phổ thông

 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Trục độ dài đại số trục: 1.1.1 Khái niệm: 1.1.2 Nhận xét: 1.2 Phương tích điểm đường tròn: .7 1.2.1 Định lí: .7 1.2.2 Chứng minh: 1.3 Phép nghịch đảo: 1.4 Định lí Thalès: 1.4.1 Định lí Thales tam giác: 1.4.2 Định lí Thales khơng gian: .9 1.5 Một số bất đẳng thức: .10 1.6 Tỉ số đơn hệ ba điểm thẳng hàng: 10 1.6.1 Định nghĩa: 10 1.6.2 Tính chất: 10 1.7 Tỉ số kép bốn điểm thẳng hàng: .10 1.7.1 Định nghĩa: 10 1.7.2 Tính chất: 11 Chương 2: VẬN DỤNG MỘT SỐ ĐỊNH LÍ HÌNH HỌC CỔ ĐIỂN VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHỔ THƠNG .12 2.1 ĐỊNH LÍ MENELAUS VÀ QUAN HỆ THẲNG HÀNG: 12 2.1.1 Định lí Menelaus: 12 SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST Trang  Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy 2.1.1.1 Nội dung: .12 2.1.1.2 Chứng minh: 12 2.1.2 Các mở rộng định lí Menelaus: 15 2.1.2.1 Định lí Menelaus cho tứ giác: 15 2.1.2.2 Mở rộng định lí Menelaus theo diện tích: .16 2.1.2.3 Mở rộng định lí Menelaus khơng gian: 16 2.1.3 Định lí Menelaus qua góc nhìn Hình học affine & Hình học xạ ảnh: .18 2.1.3.1 Định lí Menelaus theo quan điểm tỉ số đơn Hình học affine: 18 2.1.3.2 Định lí Menenlaus theo quan điểm tỉ số kép Hình học xạ ảnh:19 2.1.4 Ứng dụng định lí Menelaus: 20 Bài toán 1: 20 Bài toán 2: 21 Bài tốn 3: (Định lí Pappus) 22 Bài toán 4: 24 Bài toán 5: 25 Bài tốn 6: (Định lí Pascal) 26 Bài toán 7: (Định lí Desargues) 27 Bài tốn 8: (Định lí tứ giác toàn phần) 28 Bài tốn 9: (Định lí Simpson) 29 Bài toán 10: 30 Bài toán 11: 32 2.2 ĐỊNH LÍ CEVA VÀ QUAN HỆ ĐỒNG QUY .34 2.2.1 Định lí Ceva: 34 2.2.1.1 Nội dung: .34 2.2.1.2 Chứng minh: 34 SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST Trang  Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy 2.2.2 Định lí Ceva dạng sin: .37 2.2.2.1 Nội dung: 37 2.2.2.2 Chứng minh: 37 2.2.3 Mở rộng định lí Ceva khơng gian: 38 2.2.3.1 Định lí: 38 2.2.3.2 Chứng minh: 38 2.2.4 Định lí Ceva qua góc nhìn Hình học affine .39 2.2.5 Ứng dụng định lí Ceva: .41 Bài toán 1: 41 Bài toán 2: 42 Bài toán 3: 43 Bài toán 4: 44 Bài toán 5: 45 Bài toán 6: 46 Bài toán 7: 48 2.3 ĐỊNH LÍ PTOLEMY VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 49 2.3.1 Định lí Ptolemy: (Đẳng thức Ptolemy) 49 2.3.1.1 Nội dung: .49 2.3.1.1 Chứng minh: 49 2.3.2 Bất đẳng thức Ptolemy: 51 2.3.2.1 Nội dung: .51 2.3.2.2 Chứng minh: 51 2.3.3 Mở rộng định lí Ptolemy: .53 2.3.3.1 Định lý Bretschneider .53 2.3.3.2 Định lý Casey 54 SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST Trang  Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy 2.3.4 Ứng dụng định lí Ptolemy 56 2.3.4.1 Chứng minh đẳng thức hình học: .56 2.3.4.2 Chứng minh đặc tính hình học: 65 2.3.4.3 Chứng minh bất đẳng thức giải tốn cực trị hình học: .66 KẾT LUẬN 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 78 SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST Trang  Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Việc vận dụng định lý hình học để chứng minh tính chất & giải tập hình học trở nên quen thuộc hoạt động dạy – học Toán nhà trường phổ thông Bên cạnh số định lý đưa vào giảng dạy trực chương trình sách giáo khoa cịn có nhiều định lý hình học kinh điển khác có nhiều ứng dụng cơng cụ hữu ích giải tốn hình sơ cấp chưa khai thác sử dụng cách rộng rãi Để có nhìn cụ thể nội dung định lý cách thức vận dụng chúng vào việc giải tập liên quan, lựa chọn đề tài: “Vận dụng số định lý Hình học cổ điển vào giải số tốn Hình học phổ thơng” để nghiên cứu Trong đó, đề tài tập trung khai thác sử dụng ba định lý chính: Menenlaus, Ceva Ptolemy MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: + Nghiên cứu kiến thức ba định lí: Menelaus, Ceva Ptolemy trình bày lại cách có hệ thống, rõ ràng chi tiết Bên cạnh đó, khai thác hệ (mở rộng) ba định lí…phục vụ cho việc giải tập liên quan NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: + Nghiên cứu nội dung cách chứng minh định lí Menelaus, Ceva, Ptolemy + Phát biểu chứng minh mở rộng khác ba định lí + Nghiên cứu ứng dụng ba định lí thơng qua số tập cụ thể PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: + Nghiên cứu số sách, báo, tài liệu, tra cứu thông tin Internet… từ phân tích, tổng hợp hệ thống lại kiến thức liên quan cách hợp lí + Nghiên cứu thơng qua việc vận dụng định lí vào tập vận dụng tập nâng cao NỘI DUNG LUẬN VĂN: Mở đầu SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST Trang  Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Chương I: Cơ sở lí luận Chương II: 2.1 Định lí Menelaus quan hệ thẳng hàng 2.1.1 Định lí Menelaus 2.1.2 Các mở rộng định lí Menelaus 2.1.3 Định lí Menelaus qua góc nhìn Hình học affine & Hình học xạ ảnh 2.1.4 Ứng dụng định lí Menelaus 2.2 Định lí Ceva quan hệ đồng quy 2.2.1 Định lí Ceva 2.2.2 Định lí Ceva dạng sin 2.2.3 Mở rộng định lí Ceva khơng gian 2.2.4 Định lí Ceva qua góc nhìn Hình học affine 2.2.5 Ứng dụng định lí Ceva 2.3.Định lí Ptolemy 2.3.1 Định lí Ptolemy 2.3.2 Bất đẳng thức Ptolemy 2.3.3 Các mở rộng định lí Ptolemy 2.3.4 Ứng dụng định lí Ptolemy Kết luận SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST Trang  Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Trục độ dài đại số trục: 1.1.1 Khái niệm: + Trục tọa độ (còn gọi trục hay trục số) đường thẳng xác vectơ ⃗ có độ dài định điểm gọi gốc tọa độ, vectơ ⃗ gọi vectơ đơn vị trục tọa độ Điểm + Kí hiệu: ⃗ ⃗ + Cho ba điểm trục  Có số ⃗ Khi đó: cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ Ta gọi cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ Ta gọi số tọa độ điểm trục cho Có số vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ trục cho Kí hiệu: độ dài đại số 1.1.2 Nhận xét: + Nếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ hướng với ⃗ thì , cịn ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ngược hướng với ⃗ + Nếu hai điểm trục ⃗ có tọa độ 1.2 Phương tích điểm đường trịn: 1.2.1 Định lí: qua Cho đường trịn điểm cố định Một cát tuyến thay đổi cắt đường trịn tích vơ hướng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ khơng phụ thuộc vào cát tuyến đó, gọi phương tích điểm hiệu là: đường trịn kí 1.2.2 Chứng minh: Gọi đường kính đường tròn SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST Đặt , ta có: Trang  Khóa luận tốt nghiệp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ R ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ O d ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ M B A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1.3 Phép nghịch đảo: Trong mặt phẳng Euclide, cho điểm , ta cho tương ứng với điểm cố định, Với điểm cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ nằm đường Phép tương tứng gọi phép nghịch đảo Điểm gọi cực phép nghịch đảo, phép nghịch đảo Phép nghịch đảo cực tỉ số gọi tỉ số hay phương tích kí hiệu * Cơng thức tính khoảng cách phép nghịch đảo: Giả sử phép nghịch đảo cực tỉ số biến hai điểm thành hai điểm Khi đó: | | 1.4 Định lí Thalès: 1.4.1 Định lí Thales tam giác:  Định lí Thalès thuận: Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh cịn lại định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ A GT B' KL B SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST C' C Trang  Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy  Định lí Thalès đảo: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh cịn lại tam giác GT A B' KL C' B C  Hệ định lí Thales: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho GT KL 1.4.2 Định lí Thales khơng gian: a  Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi song song chắn hai cát tuyến 𝑃 đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ A a' A'  Định lí Thales đảo: Giả sử hai đường thẳng chéo điểm lấy B cho: Khi đó, ba đường thẳng B' 𝑄 nằm ba mặt phẳng song song, tức C 𝑅 C' chúng song song với mặt phẳng SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST Trang  Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy 1.5 Một số bất đẳng thức:  Bất đẳng thức Cauchy - Bunhiacopxki: , đó: Cho (∑ ) ∑ ∑  Bất đẳng thức Nesbitt: ba số thực dương, ta có: Cho 1.6 Tỉ số đơn hệ ba điểm thẳng hàng: 1.6.1 Định nghĩa: Cho hai điểm đường thẳng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ phân biệt không gian affine thực Điểm qua đồng thời ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Khi thuộc { } để có số gọi tỉ số đơn hệ ba điểm thẳng hàng lấy theo thứ tự + Kí hiệu: 1.6.2 Tính chất: Cho ba điểm phân biệt khơng gian affine thực Khi đó: 1.7 Tỉ số kép bốn điểm thẳng hàng: 1.7.1 Định nghĩa: Trong không gian xạ ảnh xác định hai điểm với mục tiêu xạ ảnh cho trước, đường thẳng phân biệt, ta lấy điểm cho không trùng với Gọi ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ vectơ đại diện cho điểm ⃗ ⃗ ⃗⃗ hay ] ] ] ⃗ ⃗ ⃗⃗ hay ] ] ] SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST Trang 10  Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy A K M N B C Giải: Lấy điểm cho: ̂ đường thẳng Lúc đó: ̂ (1) (a) Mặt khác, dễ thấy rằng: ̂ ̂ (b) Từ (a) (b) suy ra: (2) Ta có: ̂ ̂ ̂ Tứ giác Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác nội tiếp đường trịn , ta có: () (1) (3) (2) (4) (a) (5) (6) Thay (3), (4) (6) vào (), ta được: SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST Trang 64  Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy (đpcm) 2.3.4.2 Chứng minh đặc tính hình học: Bài tốn 1: nội tiếp đường tròn Cho tam giác thẳng tiếp xúc với đường tròn Chứng minh cung Các đường cắt a điểm P Giải: Gọi giao điểm có: ̂ Xét A với đường trịn N ̂ C B ̂ : góc chung O   (1)  Tương tự ta có Mặt khác: (2) (3) (vì hai tiếp tuyến cắt )  Từ (1), (2) (3) suy ra: Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác nội tiếp (4) , ta có: (5) Từ (4) (5)   ̂   ̂ (hai dây cung chắn hai cung nhau) qua điểm điểm cung SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST (đpcm) Trang 65  Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Bài tốn 2: nội tiếp đường trịn Cho tam giác Các tiếp tuyến , trung tuyến cắt Chứng minh rằng: ̂ ̂ Giải: Gọi giao điểm ̂ có: ̂ Xét với ̂ : góc chung A   D (1)  Tương tự: Mà N M O (2) nên từ (1) (2) suy ra:  C B (3) Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp , ta có: (4) Từ (3) (4)  Mặt khác: (do CM trung tuyến)   Lại có: ̂ (5) ̂ (cùng chắn cung Từ (5), (6)  ) (6) (c-g-c)  ̂ ̂ (đpcm) 2.3.4.3 Chứng minh bất đẳng thức giải toán cực trị hình học: Bài tốn 1: (Điểm Toricelli) Cho tam giác cho Hã tìm điểm đạt giá trị nhỏ Điểm SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST mặt phẳng tam giác tìm được gọi điểm Trang 66  Khóa luận tốt nghiệp Toricelli tam giác GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Giải: Trên cạnh , dựng phía ngồi tam giác tam giác Áp dụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ giác , A ta có: M () Mặt khác: (do tam giác đều) C B Do từ () Tức là: Dấu (= const) () () xảy { Tứ giác nội tiếp nằm A' Cách chứng minh bất đẳng thức Ptolemy cách từ bất đẳng thức Ptolemy suy bất đẳng thức tam giác cho thấy bất đẳng thức áp dụng để đánh giá độ dài đoạn thẳng Việc dựng tam giác phía ngồi lời giải tốn Toricelli cách làm mẫu mực để áp dụng bất đẳng thức Ptolemy Ý tưởng chung: Để đánh giá tổng , ta dựng điểm cho Sau áp dụng bất đẳng thức Ptolemy, ta được: Từ đó: Chú ý điểm cố định, đánh giá thông qua SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST Trang 67  Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Bài toán 2: Cho tam giác nội tiếp hình chiếu , phân giác góc ̂ cắt khác Chứng minh: A Giải: Do tam giác vng nên ta có: O K B L nội tiếp nên theo đẳng Mặt khác, tứ giác C thức Ptolemy ta có: D Lại có: ̂ ̂ ( ) Từ suy ra: Vậy ta có điều phải chứng minh Bài tốn 3: Cho điểm cho nằm góc nhọn Tìm vị trí Hai điểm cho tha đổi đạt giá trị nhỏ SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST Trang 68  Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Giải: Áp dụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ giác nội tiếp x , ta có: A Từ đó: M O B y ̂ Vì ( ̂ ̂ Từ suy đổi nên ) không đổi đạt giá trị nhỏ nội tiếp Dấu xảy tứ giác Bài tốn 4: Một lục giác có độ dài cạnh đề Chứng minh lục giác có đường chéo nhỏ (Đường chéo đường chéo chia lục giác thành hai tứ giác) Giải: A Xét lục giác Xét tam giác tính tổng quát, giả sử B , khơng cạnh lớn tam giác Áp dụng bất đẳng thức F Ptolemy cho tứ giác , ta có: Mà , SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST , suy ra: C E D Trang 69  Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Từ suy điều phải chứng minh Bài toán 5: Cho lục giác l i có Chứng minh rằng: (*) ấ xả (IMO SL, 1997) B Giải A Áp dụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ ta được: giác C Vì F nên: D Tương tự, ta có: E Cộng bất đẳng thức với sử dụng bất đẳng thức Nesbitt, ta điều phải chứng minh Để dấu (*) xảy ra, ta phải có dấu ba bất đẳng thức Ptolemy bất đẳng thức Nesbitt Dấu bất đẳng thức Nesbitt xảy tam giác ̂ CAE Dấu bất đẳng thức Ptolemy xảy tứ giác nội tiếp Vì tứ giác nội tiếp nên góc (tam giác cạnh phải Suy tam giác cân, góc , , , cạnh tam giác đều) Như lục giác có tất cạnh SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST Trang 70  Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy , lục giác Ngược lại, hiển tất góc nhiên với lục giác đều, ta có dấu xảy Bài tốn 6: Cho tam giác Tìm điểm độ dài cạnh với trọng tâm mặt phẳng tam giác cho đại lượng: đạt giá trị nhỏ tìm giá trị nhỏ theo (IMO SL 2001) Giải: Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác Nối dài trung tuyến cắt đường tròn trung điểm cạnh Gọi C tương ứng K Áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác , ta có: M ̂ ̂ L G Tương tự, áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác A , ta có: B N P ̂ Vì ̂ trung điểm ̂ ̂ nên: ̂ ̂ ̂ , với Ta có: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ̂ ̂ ̂ Từ suy ra: SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST (1) Trang 71  Khóa luận tốt nghiệp Tương tự: GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Hơn nữa: ̂ (vì ̂ ̂ bù với ̂ ) ̂ Từ đó: ̂ (2) Từ (1) (2) suy ra: Bây áp dụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ giác : Từ Mà: Suy ra: (áp dụng bất đẳng thức tam giác : ) Với dấu xảy khi: Tứ giác nội tiếp hay nằm nằm đường trịn (để có đẳng thức bất đẳng thức tam giác) Kết hợp điều kiện (1) (2) suy ra: Dễ dàng tính được: Bài toán 7: (Bất đẳng thức Erdos-Mordell) Cho tam giác , ; điểm nằm tam giác Đặt khoảng cách từ ứng Khi ta có bất đẳng thức: SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST đến , tương Trang 72  Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Giải: Đặt Nối dài cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác Ptolemy cho tứ giác , ta có: Hạ vng góc với vng góc với Áp dụng định lý , rõ ràng (1) Do đó: Hay: A x1 Ta có: p3 M p x2 x3 p1 B D C E Tương tự ta có đánh giá cho ( ) A' , ta có: ( ) ( ) Dấu xảy dấu “ ” (1) xảy ( ) dấu “ ” bất đẳng thức Cauchy xảy ( trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ), nghĩa tam giác Bài tốn 8: Cho đường trịn trịn Tìm điểm thuộc cung lớn dâ c ng khác đường kính đường cho lớn Giải: SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST Trang 73  Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy điểm cung nhỏ Gọi Đặt D (không đổi) Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác nội tiếp : B C O Do không đổi nên tổng ( chi lớn tức ) lớn điểm đối xứng A đường tròn qua tâm Vậy điểm đối xứng của đường trịn qua tâm Bài tốn 9: đường Cho tứ giác nội tiếp có cạnh liên tiếp bẳng chéo Chứng minh rằng: √ Giải: Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác nội tiếp có cạnh liên tiếp bẳng đường chéo , ta có: Vậy ta cần chứng minh: Bất đẳng thức bất đẳng thức quen thuộc Toán học – bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki Vậy toán chứng minh dựa kết chứng minh bđt C – B Một lời giải đẹp gọn nhẹ cho toán tưởng chừng phức tạp Ý tưởng đưa bất đẳng thức cần chứng minh dạng đơn giản “đại số” Bài toán 10: Cho tam giác giác điểm nằm đường trịn ngoại tiếp tam với Chứng minh rằng: SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST { } Trang 74  Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Giải: A O C B M Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, hiển nhiên ta có: { } Ta chứng minh vế cịn lại bất đẳng thức phản chứng: Giả sử: { Không giảm tổng quát, giả sử nằm cung Do tứ giác } không chứa nội tiếp, áp dụng đẳng thức Ptolemy ta có: hay Khi đó: ( ( Mặt khác: ) ( ) ( { SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST ) ) } , suy ra: Trang 75  Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy ( ) ( ) ( ( ) ) (2) (1) (2) mâu thuẫn nên điều giả sử sai, ta có điều phải chứng minh SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST Trang 76  Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy KẾT LUẬN Qua đề tài nghiên cứu: “Vận dụng số định lí Hình học cổ điển vào giải số tốn Hình học phổ thơng”, tơi rút số kết luận sau: Một toán, đặc biệt tốn Hình giải theo nhiều cách khác Việc giới thiệu sử dụng định lí Menenlaus, Ceva, Ptolemy góp phần làm đa dạng thêm kiến thức kĩ cho học sinh việc giải Tốn; cơng cụ hỗ trợ đắc lực cho học sinh bên cạnh định nghĩa, tính chất, định lí…đã học chương trình sách giáo khoa Luận văn trình bày số kiến thức nội dung, cách chứng minh số mở rộng khác ba định lí Từ trình bày số ứng dụng định lí thơng qua hệ thống tập liên quan Hy vọng đề tài tài liệu hữu ích cho sinh viên hoạt động dạy - học Toán sau Do kiến thức, kinh nghiệm, thời gian nhiều hạn chế nên nội dung luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp q thầy độc giả để đề tài hoàn thiện SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST Trang 77  Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hình Học sơ cấp thực hành giải Tốn Văn Như Cương – Hồng Ngọc Hưng – Đỗ Mạnh Cường – Hoàng Trọng Thái N B Đại học Sư Phạm (2005) [2] Các định lí hình học phẳng qua kỳ thi Olympic – TS Nguyễn Văn Nho [3] Một số kiến thức hình học phẳng kì thi Olympic Tốn (Nguồn: Mathscope.org) [4] Ẩn sau định lí Ptolemy – Lê Quốc Hán – N B Giáo dục (2007) [5] Bài giảng “ Điểm Toricelli định lí Carnot ” – Trần Nam Dũng [6] Các định lí tốn đoạn thẳng tỉ lệ – Trần Văn Vuông – N B Giáo dục (2001) [7] Bất đẳng thức Ptolemy ứng dụng – Trần Nam Dũng [8] Internet, Ptolemy’s Table of Chords Trigonometry in the second century http://hypertextbook.com/eworld/chords.shtml [9] Internet, Ptolem ’s Theorem and Interpolation http:// www.mlahanas.de/Greeks/PtolemyMath.htm SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST Trang 78 ... vào việc giải tập liên quan, lựa chọn đề tài: ? ?Vận dụng số định lý Hình học cổ điển vào giải số tốn Hình học phổ thơng” để nghiên cứu Trong đó, đề tài tập trung khai thác sử dụng ba định lý chính:... Ngơ Thị Bích Thủy Chương 2: VẬN DỤNG MỘT SỐ ĐỊNH LÍ HÌNH HỌC CỔ ĐIỂN VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHỔ THƠNG 2.1 ĐỊNH LÍ MENELAUS VÀ QUAN HỆ THẲNG HÀNG: 2.1.1 Định lí Menelaus: 2.1.1.1 Nội... CHỌN ĐỀ TÀI: Việc vận dụng định lý hình học để chứng minh tính chất & giải tập hình học trở nên quen thuộc hoạt động dạy – học Toán nhà trường phổ thông Bên cạnh số định lý đưa vào giảng dạy trực