Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Sử dụng một số kiến thức cơ sở của lý thuyết nhóm khảo sát các tính chất nghiệm của đa thức xn - 1 và vận dụng vào việc khai thác các bài toán ở trường phổ thông" doc

trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 2A-2008 Sử DụNG MộT Số KIếN THứC CƠ Sở CủA Lý THUYếT NHóM KHảO SáT CáC TíNH CHấT NGHIệM CủA ĐA THứC xn - 1 Và VậN DụNG VàO VIệC KHAI

trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 2A-2008

Sử DụNG MộT Số KIếN THứC CƠ Sở CủA Lý THUYếT NHóM KHảO SáT CáC TíNH CHấT NGHIệM CủA ĐA THứC xn - 1 Và VậN DụNG VàO VIệC KHAI THáC CáC BàI TOáN ở TRƯờNG PHổ THÔNG

Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi khai thác một số bài toán phổ thông, qua nghiên cứu tập nghiệm của đa thức xn ư 1 dựa trên quan điểm nhóm Qua đó định hướng sự vận dụng Toán học cao cấp vào việc khám phá các vấn đề thuộc lĩnh vực toán học phổ thông, nhằm nâng cao chất lượng đào tạo sinh viên ngành sư phạm toán

Việc nhìn nhận Toán học phổ thông theo quan điểm của Toán học hiện đại

được nhiều nhà khoa học sư phạm chú ý đến Trong giáo trình Toán phổ thông, các tác giả như Văn Như Cương, Đoàn Quỳnh, Hoàng Xuân Sính, Nguyễn Xuân Liêm

đã đưa ý tưởng đó xuyên suốt các cấp học Thể hiện rất rõ là: các đơn vị kiến thức

được xây dựng trên nền tảng của lý thuyết tập hợp; việc mở rộng hệ thống số theo quan điểm của cấu trúc đại số; khái niệm hàm ngày càng hoàn chỉnh và là "sợi chỉ

đỏ xuyên suốt các cấp học"; việc đại số hoá hình học Bởi vậy, việc dạy học các môn toán cơ bản, nhất là Đại số đại cương (ĐSĐC) ở các trường đại học sư phạm cần có sự thay đổi nhất định nhằm đảm bảo thích ứng với việc dạy và học ở trường phổ thông Trong [4], tác giả đã "phiên dịch" một lớp các bài toán trong ĐSĐC sang ngôn ngữ

"sơ cấp" Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày việc vận dụng một số kiến thức cơ

sở của lý thuyết nhóm nhằm khảo sát các tính chất nghiệm của đa thức xn ư 1 và vận dụng vào việc khai thác các bài toán ở trường phổ thông

I Tính chất tập nghiệm của đa thức n ư 1

x

Giả sử U là tập nghiệm của đa thức n ư 1

x trên trường số phức
, n ∈ ,

n > 1 Khi đó

1 Ký hiệu A = { x ∈ C | x = 1 }, thì A là một nhóm đối với phép nhân và U là nhóm con của nhóm A

2 Ulà nhóm xiclíc cấp n sinh bởi α , trong đó

n

i n

π π

α =cos2 + sin2

3 Nếu α là phần tử khác 1 của nhóm xiclic U thì 1 + + 2 + + nư1 = 0

α α

4 Nếu n là số nguyên tố thì U là nhóm xiclic cấp n sinh bởi nghiệm bất kỳ khác 1 của đa thức xn ư 1

II Các bài toán phổ thông được khai thác

Chúng ta bắt đầu từ một bài toán phổ thông đơn giản sau đây:

Bài toán 1 Phân tích đa thức x5 ư 1 thành nhân tử trên [x]

Dễ dàng chúng ta thu nhận được

Nhận bài ngày 19/12/2007 Sửa chữa xong 05/6/2008.

PHAN ANH Sử DụNG MộT Số KIếN THứC ở TRƯờNG PHổ THÔNG, Tr 5-10

) 1 )(

1 (

5

+ + + +

ư

=

x (1) Tuy nhiên, sự phân tích ở trên là chưa được mĩ mãn Để ý rằng tập nghiệm của đa thức x5 ư 1là nhóm { 2 3 4}

, , , ,

1α α α α

=

5

2 sin 5

2

α = +i Trong nhóm

U , ta có 4 3 2

;α α α

α = = Bởi vậy:

) )(

)(

)(

)(

1 (

5

α α

α

ư

ư

=

x

=(xư1)[(xưα)(xưα4][(xưα2)(xưα3)]

=(xư1)[(xưα)(xưα)] [(xưα2)(xưα2)]

5

4 cos 2 )(

1 5

2 cos 2 )(

1

x x x

x

Từ sự phân tích trên, ta tìm ra lời giải bài toán trên ở bậc phổ thông Đặt

) 1 )(

1 (

2 3 4

+ + +

+

= + + +

Bằng cách đồng nhất hệ số bất định dẫn đến

2

5 1

; 2

5

=

+

2

5 1

; 2

5

=

ư

2

5 1 )(

1 2

5 1 )(

1 (

5

+

ư + +

+ +

ư

=

Suy luận trên đây và kết quả của bài toán 1 giúp chúng ta giải các bài toán sau

Bài toán 2 Tính

5

4 cos , 5

2

5

4 cos 2 )(

1 5

2 cos 2 )(

1

x x x

x

2

5 1 )(

1 2

5 1 )(

1 (

5

+

ư + +

+ +

ư

=

5

4 cos

; 0 5

2 cos π > π <

nên suy ra

4

5 1 5

2 cos

; 4

5 1 5

4

=

+

ư

π

Lời giải bài toán 2 gợi ý cho chúng ta cách tìm giá trị các hàm lượng giác của một số góc dạng như

9

2 cos , 7

2

Bài toán 3 (Vô địch Bungari vòng 3, 1982) Xét xem phương trình sau đây có nghiệm thực hay không?

0 1980 1978

1982 1979

1981 x4 + x3 + x2 + x + = Đặt f(x) =1981 x4 + 1979 x3 + 1982 x2 + 1978 x + 1980

Ta có f(x)=1979(x4 +x3 +x2 +x+1)+2x4 +3x2 ưx+1

=1979(x2 ư2xcos2π +1)(x2 ư2xcos4π +1)+2x4 +3x2 ưx+1

trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 2A-2008

5

4 cos 2

; 1 5

2 cos

2

+

ư +

x x x

các giá trị dương với mọi x ∈  và 2x4 ≥0 với mọi x ∈  Bởi vậy f(x)>0 với mọi

x ∈  Do đó phương trình đã cho không có nghiệm thực

Ta cũng có thể sử dụng cấu trúc nhóm Udể giải quyết bài toán sau đây trong [3]

Bài toán 4 Trong vành [x], đa thức f(x)= x n ư1chia hết cho đa thức

1

)

( = mư

x

x

g khi và chỉ khi m là ước của n

Thực vậy, ký hiệu U , m U nthứ tự là các tập nghiệm của các đa thức

)

(

),

(x g x

f Nếu f ( x ) Μ g ( x )trong [x] thì U m ⊂U n Vì U , m U n là các nhóm nên ta suy ra U m là nhóm con của U n Do cấp của U mlà m, cấp của U nlà n nên theo định

lý Lagrange m là ước của n Nguợc lại, giả sử m là ước của n, ta đặt n = tm,

t ∈* Nếu t=1 thì hiển nhiên f ( x ) Μ g ( x )trong [x] Nếu t >1thì:

] 1

) ( ) )[(

1 ( 1 1

) (x = x n ư =x mt ư = x m ư x m tư1 + x m tư2 + +x m +

Bởi vậy f ( x ) Μ g ( x )trong [x] Do đó, đa thức f(x) chia hết cho g(x) trong [x] khi và chỉ khi m là ước của n

Sử dụng các tính chất của tập nghiệm đa thức xn ư 1, chúng ta có thể phát biểu các bài toán sau

Bài toán 5 Giả sử n là số nguyên dương lớn hơn 1 Chứng minh các hệ thức:

0

2 sin

; 0

2 1

1

1 1

1

=

=

ư

=

ư

=

n k n

k n

k os

Theo tính chất 2 tập nghiệm của đa thức xn ư 1 là nhóm

, , ,

,

,

U α α α α , trong đó

n

k i n

k

α =cos2 + sin2 ,k =0,nư1 Do α là nghiệm khác 1 của đa thức xn ư 1 nên 1 + α + α2 + + αnư1 = 0 Bởi vậy

(1 cos2 ) sin2 0

1

1 1

1

= +

ư

=

ư

=

n k n

k i

n

kπ π

Từ đó suy ra

0

2 sin

; 0

2 1

1

1 1

1

=

=

ư

=

ư

=

n k n

k n

k os

Bài toán 6 Cho p là một số nguyên tố, m là số nguyên không chia hết cho p Chứng minh các hệ thức:

0

2 sin ,

; 0

2 1

,

1

1 1

1

=

=

ư

=

ư

=

p

k p

km b

p

km s co

Tập nghiệm của đa thức xp ư 1 là { 2 3 1}

, , , , ,

U α α α α U là nhóm xiclic cấp p sinh bởi α , với

p

i p

π π

α =cos2 + sin2 Vì p là số nguyên tố nên theo tính chất 4,

PHAN ANH Sử DụNG MộT Số KIếN THứC ở TRƯờNG PHổ THÔNG, Tr 5-10

U sinh bởi phần tử bất kỳ khác đơn vị Do m không chia hết cho p nên m ≠ 1

α Bởi vậy, U sinh bởi m

, , ,

, ,

U α α α α , trong đó

1 , 0 ,

2 sin

2

p

km i

p

km

Vì 1 + m+ 2m+ + m(pư1) = 0

α α

1

1 1

1

= +

ư

=

ư

=

p k p

km i

p

1

1 1

1

=

=

ư

=

ư

=

p

k p

km p

km s

Trong [ ] 2 , tác giả đã cho chúng ta bài tập sau đây: “Cho X là nhóm xiclic cấp

n, sinh bởi phần tử a; b = ak Chứng minh rằng cấp của phần tử b bằng n /d; trong đó

d = (k,n)” Sử dụng kết quả này, chúng ta có thể thu được bài toán phổ thông sau đây

Bài toán 7 Cho k và n là hai số nguyên dương, (k,n) = d, k không chia hết cho n Chứng minh rằng:

0

2 sin ,

; 0

2 1

,

1

1 1

1

1 1

=

=

ư

=

ư

=

d

t d

kt b

n

kt s co

, trong đó

d

n

d =

1

Ta có tập nghiệm của đa thức xn ư 1là { 2 3 1}

, , , , ,

U α α α α là nhóm xiclic cấp n, sinh bởi

n

i n

π π

α =cos2 + sin2 Do (k,n) = d nên theo kết quả đã chỉ ra ở trên, ta có cấp của k

α là

1

d Bởi vậy

k

A=<α >= 1,α ,α2 , ,α( 1ư1) , trong đó cos2 sin2 ; 0, 1

1 ư

= +

n

tk i n

tk

α

là tập nghiệm của đa thức x d1 ư1 Vì k không chia hết cho n nên αk ≠ 1 Do đó

0

1+αk +α2k + +α(d1ư k1) = Tương tự như trên ta có được

0

2 sin

; 0

2 1

1

1 1

1

1 1

=

=

ư

=

ư

=

d t d

kt n

kt s

Vận dụng tính chất đồng cấu nhóm, chúng ta có thể giải các bài toán hình học sau đây

Bài toán 8 Cho A A A n

2

1 là đa giác đều tâm O Chứng minh rằng

O OA OA

OA1 + 2 + + n =

Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết đa giác

n A A

A

2

1 nội tiếp trong đường tròn đơn vị, có tia OA1 trùng với tia Ox Các điểm A1,A2, ,A n thứ tự nằm trên đường tròn đơn vị ngược chiều với chiều quay kim đồng hồ Ta biết rằng

ánh xạ f từ nhóm cộng các số phức đến nhóm cộng các véc tơ buộc tại gốc toạ độ, biến

trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 2A-2008

n OA

OA

OA1, 2, , lần lượt là ảnh của các số phức 2 1

, , ,

,

1α α αnư trong nhóm U Do

đó

) (

) ( ) ( ) 1 ( )

1

f f

f f

n OA OA

OA + + +

2

Mặt khác:1 + α + α2 + + αnư1 = 0và f là đồng cấu nhóm nên

O

f ( 1 + α + α2 + + αnư1) =

Từ đó suy ra

OA1+OA2 + +OA n =O Bài toán 9 Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó trùng nhau

Hiển nhiên nếu tam giác ABC đều thì tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm của nó trùng nhau Ta chỉ cần chứng minh nếu trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều Không mất tính tổng quát ta giả thiết rằng tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn đơn vị trên mặt phẳng toạ độ; tia OA trùng với Ox Các điểm A, B, C thứ tự nằm trên đường tròn ngược chiều với chiều quay của kim đồng hồ Qua đẳng cấu f (đã chỉ ra trong bài toán 8), ta có f ( 1 ) = OA Giả sử f(α)=OB, f(β)=OC, ta có

OC OB OA f

f

f ( 1 ) + ( α ) + ( β ) = + + Vì f là đồng cấu nhóm nên

OC OB OA

f ( 1 + α + β ) = + + Mặt khác

O OC OB

OA+ + = (do O là trọng tâm tam giác ABC) nên

O

f ( 1 + α + β ) =

Từ f là đơn cấu nhóm suy ra: 1+α +β =0, do đóβ =ư(1+α) Vậy

1

1 + =

=

Đặt α =cosϕ+isinϕ; 2π>ϕ >0 Từ α = 1 + α suy ra

3

2π

ϕ = Bởi vậy

3

2 sin 3

2

Để chứng minh tam giác ABC đều, ta cần chứng minh { 1 , α , β } chính là nhóm

U của đa thức x3 ư 1 Thực vậy,

2

3 2

1 ) 3

2 sin 3

2 cos 1 ( ) 1

ư

α

2

3 2

1 )

3

2 sin 3

2

2

i

i =ư ư +

PHAN ANH Sử DụNG MộT Số KIếN THứC ở TRƯờNG PHổ THÔNG, Tr 5-10

Do đó

, , 1 ,

,

1α β = α α , với

3

2 sin 3

2

là tập nghiệm của đa thức x3ư 1 Từ đó suy ra điều cần chứng minh

Như vậy, chúng tôi đã dùng một số kiến thức cơ sở của lý thuyết nhóm khai thác, "phiên dịch", "chế biến" các bài toán sơ cấp Thông qua các bài toán ở trên, bước

đầu đã bắc được một chiếc cầu nối giữa toán học cao cấp và toán học phổ thông Chúng tôi thiết nghĩ rằng: kết hợp được một cách nhuần nhuyễn giữa toán học cao cấp và toán học phổ thông là một việc làm rất cần thiết trong quá trình đào tạo sinh viên sư phạm Toán Thực hiện tốt được vấn đề này là chúng ta đã gắn đào tạo với thực tiễn, giúp sinh viên thích ứng với nghề nghiệp trong tương lai

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Bá Kim,Vũ Dương Thuỵ, Phương pháp dạy học môn toán, NXB Giáo dục,

Hà Nội, 2000

[2] Hoàng Xuân Sính, Trần Phương Dung, Đại số đại cương, NXB Đại học sư phạm,

Hà Nội, 2004, tr 28

[3] Đỗ Đức Thái, Những bài toán chọn lọc cho trường chuyên lớp chọn, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1996

[4] Đặng Quang Việt, Dùng kiến thức, cách nhìn của Đại số đại cương về sáng tạo đề toán hoặc chế biến lời giải phù hợp trình độ học sinh phổ thông, Tạp chí Giáo dục,

Số 155, kỳ1-2/2007, tr 31

SUMMARY

USING SOME BASIC KNOWLEDGE OF THE GROUP THEORY IN THE INVESTIGATION OF SOLUTION PROPERTIES OF THE POLYNOMIAL xn -1 AND APPLYING TO THE EXPLORATION OF MATHS PROBLEMS IN SECONDARY

SCHOOLS

In this article, we explore mathematics problems in secondary schools through studying a set of solutions of the polynomial xn -1 on the basis of the group theory perspective Then, we initially applied advanced mathematics to the investigations of secondary mathematics in order to improve the training quality for students majoring in pedagogical mathematics

(a) Khoa Sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Hà Tĩnh