Ứng dụng số phức vào giải một số bài toán hình học phẳng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN - KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Đề tài ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG Giảng viên hướng dẫn : ThS Nguyễn Thị Hà Phương Sinh viên thực : Phạm Thị Đoan Phúc Ngành : Sư phạm Toán Lớp : 12ST Đà Nẵng, tháng – 2016 MỤC LỤC Phần mở đầu… ……………………………………………………………………….3 I.Lý chọn đề tài……… ………………………………………………………….3 II.Mục đích nghiên cứu…… ……………………………………………………….3 III.Đối tượng nghiên cứu….…………………………………………………………3 IV.Nhiệm vụ nghiên cứu………………………………………….…………………4 V.Phương pháp nghiên cứu……….…………………………………………………4 Phần nội dung………………………………………………………….………………5 Chương I: Tổng quan số phức………………………………………………… 1.1 Lịch sử hình thành khái niệm số phức………………………………………5 1.2 Các kiến thức số phức…………………………………………….6 1.2.1 Khái niệm số phức……………………………………………………….6 1.2.2 Mặt phẳng phức ……………………………………………………… 1.3 Các phép toán tập số phức………………………………………………7 1.3.1 Phép cộng……………………………………… ……………………….7 1.3.2 Phép trừ………………………………………………………………… 1.3.3 Phép nhân……………………………………… ………………………7 1.3.4 Phép chia………………………………………………………………… 1.3.5 Căn bậc hai số phức…………………………………… ………….8 1.3.6 Số phức liên hợp…………………………… ………………………… 1.4 Dạng lượng giác số phức…………………………………………………9 1.4.1 Dạng lượng giác………………………………………………………… 1.4.2 Nhân chia số phức dạng lượng giác……………………………….9 1.4.3 Công thức Moivre……………………………………………………… 1.5 Phép khai số phức……………………………………… …………… 10 1.5.1 Căn bậc hai số phức……………………………… ………………10 1.5.2 Căn bậc n số phức………………………………………………….10 Chương II: Đặc trưng số tính chất hình học qua số phức …… ….……….11 2.1 Góc định hướng…………………………………………………………… 11 2.2 Đường trịn đơn vị………………………………………………………… 13 2.3 Điều kiện vng góc, song song ……………………………………………13 2.4 Đường thẳng qua hai điểm…… ……………………………………… 14 2.5 Tọa vị số điểm đặc biệt…………………………………………….14 2.5.1 Trọng tâm tam giác…………………………………………………… 14 2.5.2 Trực tâm tam giác…………………………………………………… 15 2.5.3 Chân đường vng góc………………………………………………….16 2.5.4 Điểm nằm đường tròn…………………………………………… 16 Chương III: Một số tập áp dụng………………………………………………17 3.1 Ứng dụng số phức vào giải tốn chứng minh, tính tốn………………….23 3.2 Ứng dụng số phức vào giải toán thẳng hàng, đồng quy ……………………33 3.3 Ứng dụng số phức vào giải tốn quỹ tích, dựng hình…………………… 43 Phần kết luận………………………………………………………………………….56 Tài liệu tham khảo………….……………………………………………………… 57 PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Trong cấu trúc đề thi Đại học – Cao đẳng kỳ thi học sinh giỏi thường có tập phần hình học phẳng Tuy nhiên việc giải tập thường khó khơng có phương pháp chung cho Đôi công cụ mà học sinh biết không đủ để giải tập để sử dụng công cụ học người học phải vượt qua phép biến đổi phức tạp giải tốn khó Một ứng dụng số phức dùng để giải tốn hình học phẳng Mặc dù số phức đưa vào chương trình phổ thơng song nội dung cịn đơn giản, tài liệu phần ứng dụng số phức cho học sinh phổ thơng cịn chưa nhiều Nên việc nghiên cứu điều lý thú số phức học sinh phổ thơng cịn chưa trọng Vì lý trên, tơi định chọn đề tài: “Ứng dụng số phức vào giải số tốn hình học phẳng” Cấu trúc khóa luận gồm có phần II o Phần mở đầu o Phần nội dung: Gồm có chương sau  Chương I: Tổng quan số phức  Chương II: Đặc trưng số tính chất hình học qua số phức  Chương III: Một số tập áp dụng o Phần kết luận Mục đích nghiên cứu - Hệ thống hóa chi tiết vấn đề lý thuyết số phức - Xây dựng hệ thống toán, tập vận dụng để thấy tính thiết thực số phức vận dụng giải tốn hình học phẳng III Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết số phức ứng dụng - Phạm vi nghiên cứu: Một số tốn hình học phẳng IV Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số phức toán hình học phẳng có liên quan đến số phức V Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc giáo trình, tài liệu tham khảo để hệ thống hóa, phân dạng tốn Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tích lũy kinh nghiệm có thân, thầy cơ, bạn bè, anh chị khóa trước để nghiên cứu sâu hơn, kĩ - Phương pháp hỏi ý kiến chuyên gia: Hỏi trực tiếp thầy cô hướng dẫn kiến thức có liên quan đến đề tài I II III IV V VI VII PHẦN NỘI DUNG Chapter CHƯƠNG I TỔNG QUAN VỀ SỐ PHỨC 1.1 Lịch sử hình thành khái niệm số phức Lịch sử số phức kỉ XVI Đó thời kì Phục hưng tốn học châu Âu sau đêm trường trung cổ Các đại lượng ảo xuất từ đầu kỉ XVI công trình nhà tốn học Italy “Nghệ thuật vĩ đại quy tắc đại số” (1545) G.Cardano (1501-1576) “Đại số” (1572) R.Bombelli (1530-1572) Nhà tốn học Đức Felix Klein (1849-1925) đánh giá cơng trình G.Cardano sau: “Tác phẩm quý giá đỉnh chứa đựng mầm mống đại số đại vượt xa tầm tốn học thời cổ đại.” Khi giải phương trình bậc hai Cardano Bombelli đưa vào xét kí hiệu 1 lời giải thích phương trình x   Xét biểu thức b 1 nghiệm hình thức 2 phương trình x  b  Khi biểu thức tổng quát có dạng a  b 1, b  có 2 thể xem nghiệm hình thức phương trình ( x  a)  b  Về sau biểu thức dạng a  b 1, b  xuất trình giải phương trình bậc hai, bậc ba (công thức Cardano) gọi đại lượng “ảo” sau Gauss gọi số phức thường kí hiệu a  ib , kí hiệu i  1 L.Euler đưa vào (năm 1777) gọi đơn vị “ảo” Đến kỉ XIX, Gauss thành công việc luận chứng cách vững vàng khái niệm số phức Tên tuổi Gauss gắn liền với phép chứng minh xác định lí Đại số khẳng định trường số phức C phương trình đa thức có nghiệm Tổng kết lịch sử tồn q trình phát triển khái niệm số, nhà toán học Đức L.Kronecker (1823-1891) viết: “Thượng đế tạo số tự nhiên, tất loại số cịn lại cơng trình sáng tạo người.” Có thể nói với khẳng định bất hủ này, L.Kronecker xác định móng vững cho lâu đài toán học tráng lệ mà người sở hữu 1.2 Các kiến thức số phức 1.2.1 Khái niệm số phức Số ảo kí hiệu i , số mà bình phương -1 Ta có: i2  1 Một biểu thức dạng a  bi , a, b số thực, gọi số phức Số a gọi phần thực (kí hiệu a  Re z ), cịn số b gọi phần ảo (kí hiệu Im z ) số phức z  a  ib  Re z  i Im z Chú ý:  Số thực a  a  0i gọi số phức với phần ảo  Số bi   bi gọi số ảo  Số i   1.i gọi đơn vị ảo 1.2.2 Mặt phẳng phức Một số phức z  a  bi có biểu diễn hình học điểm M  a, b  mặt phẳng tọa độ vng góc Descartes với gốc điểm O hai vectơ đơn vị   e1, e2 vng góc với O Điểm M  a, b  gọi ảnh số phức z  a  bi Đảo lại, điểm M  a, b  mặt phẳng tọa độ tương ứng với số phức z  a  bi , gọi tọa vị M  a, b  Như số phức z  a  bi cho tương ứng – với điểm M  a, b  mặt phẳng tọa độ Descartes   Vectơ OM gọi ảnh vectơ z z gọi tọa vị vectơ OM Mặt phẳng tọa độ vng góc Descartes tương ứng với tập số phức mặt phẳng phức 1.3 Các phép toán tập số phức 1.3.1 Phép cộng Ta gọi tổng hai số phức z1  a  ib1 , z2  a2  ib2 số phức : z  ( a1  a2 )  i  b1  b2  (1.1) kí hiệu z  z1  z2 Từ định nghĩa phép cộng ta có tính chất sau: z1   z2  z3   ( z1  z2 )  z3 i Kết hợp: ii Giao hoán: z1  z2  z2  z1 Đặc biệt z1 , z2 hai số thực cơng thức (1.1) phép cộng hai số thực 1.3.2 Phép trừ Phép cộng có phép tốn ngược, nghĩa với hai số phức z1  a  ib1 , z2  a2  ib2 ta tìm số phức z cho z2  z  z1 Số phức gọi hiệu hai số phức z1 , z2 kí hiệu z  z1  z2 Rõ ràng từ định nghĩa ta có z  ( a1  a2 )  i (b1  b2 ) (1.2) 1.3.3 Phép nhân Ta gọi tích hai số phức z1  a  ib1 z2  a2  ib2 số phức xác định bởi: z  (a1a2  bb )  i (ab  a2b1 ) 2 (1.3) kí hiệu z  z1.z2 Từ định nghĩa ta có tính chất sau: z1.( z2 z3 )  ( z1.z2 ).z3 i Kết hợp: ii Giao hốn: z1.z  z2 z1 iii Phép nhân có tính chất phân phối phép cộng: z1.( z2  z3 )  z1.z2  z1.z3 Nếu z1 z2 hai số thực cơng thức (1.3) phép nhân trường số thực Đặc biệt lấy z1  z2  i từ định nghĩa (1.3) ta có i i  i  1 Với z1  a  ib1 z2  a2  ib2 l cơng thức (1.3) có cách nhân thông thường thay i   Chú ý: z z  a  b  1.3.4 Phép chia Với hai số phức z1  a  ib1 z2  a2  ib2 ta có: z1 a a  bb a b ab  z1  22 2  21 2 z2 z2 a2  b2 a2  b2 1.3.5 Căn bậc hai số phức Số phức w  x  yi bậc hai số phức z  a  bi  x2  y  a w z   2 xy  b 1.3.6 Số phức liên hợp a) Định nghĩa Cho số phức z  a  bi , a, b   Số phức z  a  bi goi số phức liên hợp z b) Định lý Với số phức z1 , z2 , z ta có: i z  z , z  ii z  z , z   iii z  z2  z1  z2 iv z z  a  b  ( z  a  bi, a, b  ) 44 XB  b  x  R  xb  bx XC  c  x  R  xc  cx XD  d  x  R  xd  xd Gọi I, J trung điểm AB, CD có tọa vị y, j Ta có a  b  y, c  d  j XA2  XB2  XC  XD2  xa  xa  xb  xb  xc  xc  xd  xd     x a  b  x a  b  x c  d   x c  d   xy  x y  x j  x j    x y  j  x y  j  (1) Đặt x  x1  iy1 , y  j  x2  iy2 , thì: (1)   x1  iy1  x2  iy2    x1  iy1  x2  iy2    x1 x2  y1 y2  i  x1 y2  x2 y1   x1 x2  y1 y2  i  x1 y2  x2 y1    x1 x2  y1 y2      OX OI  OJ       OX IJ   OX  IJ Vậy X giao đường trịn cho với đường thẳng vng góc với IJ qua O   Trường hợp đặc biệt I  J (khi IJ  ) + Nếu hai dây AB CD trùng điểm X điểm đường tròn 45 + Nếu dây AB, CD cắt trung điểm đường AB CD đường kính đường trịn, A, B, C, D đỉnh hình chữ nhật Vậy X điểm đường trịn XA  XB  XC  XD Bài toán 19: ([2] Bài 3, trang 128) Cho ABC với trọng tâm G, M điểm thuộc mặt phẳng tam giác Chứng minh rằng: 2 2  2 a) AB  BC  CA  GA  GB  GC 2 b) MA  MB  MC  GA 2   GB2  GC  3MG Hãy tìm ABC vị trí 2 điểm M cho MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ Lời giải Chọn gốc tọa độ O trùng với trọng tâm G tam giác Giả sử điểm A, B, C, G, M có tọa vị a, b, c, g, m G trọng tâm ABC  g   a  b  c  mà G  O nên a  b  c  2 a) VT = AB  BC  CA2  b  a  c  b  a  c Tính số hạng theo cơng thức z  z.z ta có:     b  a   b  a  b  a  b.b  a.a  a.b  b.a c  b   c  b  c  b  c.c  b.b  c.b  b.c 46   a  c   a  c  a  c  a.a  c.c  a.c  c.a Cộng đẳng thức vế theo vế ta được: 2 ba  cb  a c  2  a b c 2   a b  c   b  a  c   c  a  b  (*) Do a  b  c   a  b  c   b  c   a ; a  c   b ; a  b   c        2 Nên: a b  c  b a  c  c a  b  a.a  b.b  c.c   a  b  c 2  2 Từ thay vào (*) ta b  a  c  b  a  c  a  b  c 2   2 2 2 Vậy AB  BC  CA  3 GA  GB  GC  (vì G  O ) b) Ta có 2 MA2  MB  MC  a  m  b  m  c  m        a  m a  m  b  n b  m  c  m c  m     a.a  b.b  c.c  3m.m   m a  b  c  m  a  b  c     2  a  b  c 3 m  GA2  GB  GC  3MG MA2  MB2  MC đạt giá trị nhỏ MG nhỏ suy M  G hay M trọng tâm ABC Bài toán 20: ([2] Bài 7, trang 150) Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định, điểm A thay đổi cho trung tuyến BI có độ dài khơng đổi l Tìm quỹ tích điểm A 47 Lời giải: Chọn gốc tọa độ O trùng với điểm B, BC nằm trục thực Ox Giả sử điểm A, B, C, I có tọa vị a, b, c, y Ta có BI  l  y  l suy I chạy đường tròn tâm B bán kính l I trung điểm AC nên y  a  c  a   c  y A chạy đường trịn tâm C ' bán kính 2l, với điểm C ' có tọa vị c điểm đối xứng với C qua gốc tọa độ O Vậy quỹ tích điểm A đường trịn tâm C’ bán kính 2l Bài toán 21: ([2] Bài 1, trang 149) Cho đường trịn (C) đường kính AB  R , điểm M chuyển động (C), A’ điểm đối xứng với A qua M Tìm quỹ tích điểm A’ trọng tâm G tam giác A’AB Lời giải: Đặt tâm O đường tròn trùng với gốc tọa độ, đường kính AB nằm trục thực Giả sử điểm A, B, A’, M, G có tọa vị a, b, a’, m, g Khi ta có a  b 48 Quỹ tích điểm A’: Điểm A’ đối xứng với A qua M  M trung điểm AA’  2m  a  a '  a ' b  2m Điểm M thuộc đường tròn (C)  M  R  cos t  i sin t  với  t  2  a '  b  2m  b  R  cos t  i sin t  ,  t  2 Vậy quỹ tích điểm A’ đường trịn tâm B bán kính 2R Quỹ tích điểm G: G trọng tâm A ' AB nên g   a ' a  b  , mà a  b  nên 1 2 g  a '   b  2m   b  m hay g  b  R  cos t  i sin t  ,  t  2 3 3 3 Vậy quỹ tích điểm G đường trịn tâm điểm có tọa vị b bán kính R 3 Bài toán 22: ([2] Bài 4, trang 149) Trên đường thẳng cố định d cho điểm O cố định, M thay đổi P điểm thay đổi nửa mặt phẳng bờ d cho PO  PM bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác POM R khơng đổi Tìm quỹ tích tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác POM quỹ tích trung điểm P Lời giải: Cho điểm O trùng với gốc tọa độ, đường thẳng d trục thực Giả sử điểm B, M, P, I có tọa vị b, m, p, y Quỹ tích điểm I: I tâm đường tròn ngoại tiếp POM  IO  IM  IP  R  y  R Quỹ tích điểm I đường trịn tâm O bán kính R 49 Quỹ tích điểm P:   PO  PM   IP  OM  IP  OB  p  y  b  IP  R   p  y  iR  p  y  iR Mà y  R  y  R  cos t  i sin t  với  t  2 Do p  iR  R  cos t  i sin t  Vậy quỹ tích điểm P đường trịn tâm B  iR bán kính R Bài tốn 23: ([2] Bài 12 trang 150) Cho tam giác ABC     a) Xác định điểm I cho 3IA  IB  IC  chứng minh đường thẳng     qua điểm M, N xác định MN  3MA  MB  MC qua điểm cố định b) Tìm quỹ tích điểm M trường hợp :      3MA  MB  MC  MB  MA      MA  MB  MC  MB  MC Lời giải: Giả sử điểm A, B, C, M, I có tọa vị a, b, c, m, y 50     a) Ta có 3IA  IB  IC    a  y    b  y    c  y    y  3a  2b  c  y  a  b  c 2     Chuyển sang dạng phức, vế phải đẳng thức MN  3MA  MB  MC thành:  3 a  m    b  m    c  m   3a  2b  c  2m  y  2m   y  m   2MI   Suy MN  MI Điều chứng tỏ điểm M, N, I thẳng hàng, đường thẳng qua M, N ln qua điểm I cố định b) Điểm M thỏa mãn      3MA  MB  MC  MB  MA      2MI  AB  MI  AB  IM  AB Vậy quỹ tích điểm M đường trịn tâm I bán kính AB Điểm M thỏa mãn      MA  MB  MC  MB  MC   a  m  b  m   c  m   b  m   c  m   a  b  c   3m   b  c   2m Gọi G trọng tâm tam giác ABC, J trung điểm BC, ta có 3g  a  b  c j  b  c , suy 51  a  b  c   3m   b  c   2m  3g  3m  j  2m  2.3 g  m  3.2 j  m   gm  jm MG  MJ Suy M cách J G Vậy quỹ tích điểm M đường trung trực GJ Bài toán 24: ([2] Bài trang 149) Cho ABC đỉnh B, C cố định, đỉnh A thay đổi Tìm quỹ tích trung điểm M, N cạnh tương ứng AB, AC trọng tâm G tam giác ABC trường hợp: a) Độ dài đường cao AA’ không đổi b) Chân A’ đường cao AA’ cố định Lời giải: a) Trường hợp độ dài đường cao AA’ không đổi Chọn hệ trục tọa độ sau: Gốc tọa độ O trung điểm BC, trục thực Ox qua BC, trục ảo Oy vng góc với BC O Giả sử điểm A, B, C, M, N, G có tọa vị a, b, c, m, n, g Quỹ tích trung điểm M, N AB, AC: Theo giả thiết AA '  h khơng đổi, A chuyển động đường thẳng d song song với trục Ox cách trục Ox khoảng h, nghĩa a  x  hi với   x   52 1  a  b    x  b   hi ,   x   2 Mà M trung điểm AB nên m  Và N trung điểm AC nên n  1  a  c    x  c   hi 2 ,   x   Các hệ thức chứng tỏ quỹ tích M, N đường thẳng d1 song song với trục Ox cách Ox khoảng h Quỹ tích trọng tâm G tam giác ABC: G trọng tâm tam giác nên ta có: g  a  b  c Theo cách chọn gốc trục tọa độ ta có b  c  g  1 a  x  hi với 3   x   Vậy quỹ tích điểm G đường thẳng d song song với trục Ox cách Ox khoảng h b) Trường hợp chân A’của đường cao AA’ cố định AA '  BC A’ cố định nên ta có a  a ' yi với   y   , A chuyển động đường thẳng d vng góc với Ox A’ 53 Ta có m  1  a  b    a ' b   yi 2 n  1  a  c    a ' c   yi 2 g  1 1  a  b  c   a  a ' yi 3 3 với   y   Vậy quỹ tích điểm M đường thẳng d1 vng góc với Ox trung điểm A’B, quỹ tích điểm N đường thẳng d vng góc Ox trung điểm A’C, quỹ tích điểm G đường thẳng vng góc với Ox điểm có tọa vị a ' Bài toán 25: ([2] Bài 9, trang 150) Cho hình thang ABCD (AB//CD) cạnh AB cố định, AD  h , DC  k không đổi, I giao điểm hai đường chéo Tìm quỹ tích điểm D, C, I Lời giải: Chọn gốc tọa độ O trùng với điểm A, cạnh AB nằm trục thực Ox Các điểm A, B, C, D, E, I có tọa vị a, b, c, d, e, y Quỹ tích điểm D: 54 Do AD  h khơng đổi nên quỹ tích điểm D đường trịn tâm A bán kính a, đường trịn có phương trình d  h Quỹ tích điểm C:   Do DC  k không đổi AB//CD, ta lấy điểm E Ox cho AE  DC  k suy E cố định Ta có c  d  k  c  k  d hay c  k  d  h Vậy quỹ tích điểm C đường trịn tâm E, e  k , bán kính a Quỹ tích điểm I: Xét ICD IAB có AB//CD: IA AB m   IC CD k  với m  AB không đổi  AI m m  m   AI  AC  y  c AI  IC mk mk mk (*) Theo ta có c  k  d Thay vào (*) ta m mk m  d k  d   mk mk mk mk m  y  d mk mk mk m mh  y  d  mk mk mk y Vậy quỹ tích điểm I đường trịn tâm I có tọa vị mk mh bán kính mk mk Bài toán 26: ([2] Bài 2, trang 149) Cho điểm O cố định đường thẳng d cố định khơng qua O Tìm quỹ tích đỉnh A’ tam giác vng cân OAA’ (đỉnh góc vng O) A chuyển động d 55 Lời giải: Chọn gốc tọa độ điểm O, trục Oy đường thẳng vng góc kẻ từ O đến d Các điểm A, A’ có tọa vị a, a’ Giả sử khoảng cách từ O đến đường thẳng d h A  d  a  x  hi với   x   Tam giác OAA’ vuông cân O  A’ ảnh A qua phép quay tâm O góc quay   , ta có:       a '  a cos     i sin           2  a '    x  hi  i  h  xi ,   x   Vậy quỹ tích điểm A’ đường thẳng vng góc với trục thực điểm h Nếu quay A góc  ta A '  Ai quỹ tích A’ đường thẳng vng góc với trục thực điểm –h 56 PHẦN KẾT LUẬN Đề tài “Ứng dụng số phức vào giải số tốn hình học phẳng” thực mục đích đề Cụ thể thực vấn đề sau: Củng cố hệ thống lại số kiến thức số phức Tìm hiểu mối liên hệ số phức kiến thức liên quan hình học phẳng Làm số tập áp dụng ứng dụng số phức vào giải tốn chứng minh, vng góc, thẳng hàng, đồng quy, quỹ tích dựng hình Đề tài phát mạnh số phức việc giải tốn hình học phẳng So với phương pháp thường gặp phương pháp số phức đưa có ưu điểm: - Có định hướng nhận dạng tốn tìm cách giải quy trình giải rõ ràng - Các toán giải cách tự nhiên, phù hợp với tư toán học - Gây hứng thú cho học sinh, học sinh hứng thú gặp toán dạng Đề tài đưa lời giải cho 26 tốn, đó: tốn ứng dụng số phức vào tốn chứng minh, tính toán; toán ứng dụng số phức vào giải toán thẳng hàng, đồng quy; 10 toán ứng dụng số phức vào giải tốn dựng hình, quỹ tích Đề tài dùng làm tài liệu tham khảo cho học sinh phổ thông, sinh viên, giáo viên… Trong khuôn khổ luận văn tốt nghiệp, hạn chế thời gian nên đề tài đạt mức độ định Hi vọng rằng, nội dung đề tài cịn tiếp tục hồn thiện mở rộng nhiều 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Điển (2000) Phương pháp số phức hình học phẳng (2000), NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Phụ Hy, Nguyễn Quốc Bảo (2003) Ứng dụng số phức để giải toán sơ cấp, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Văn Mậu (2009), Biến phức định lý áp dụng [4] Phan Đức Chính, Phạm Tuấn Dương, Lê Đinh Thinh (1978), Tuyển tập toán sơ cấp (tập 3), NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà nội [5] Một số bất đẳng thức hình học luận văn thầy Hoàng Ngọc Quang [6] http://dethi.violet.vn/present/show/entry_id/8817903 [7] http://doc.edu.vn/tai-lieu/de-tai-ung-dung-so-phuc-vao-giai-toan-hinh-hoc-phang53341/ [8] Lê Hải Châu (1982), Tuyển chọn toán cấp (tập 1), NXB Giáo dục, Thành phố Hồ Chí Minh [9] http://www.slideshare.net/thienptc/16-deimo-chonloc [10] Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải, Đào Ngọc Nam, Nguyễn Đạo Phương, Lê Tất Tơn, Đặng Quan Viễn (2000), Tốn bồi dưỡng học sinh phổ thơng trung học (Quyển 1: Hình học), NXB Hà Nội [11] Nguyễn Văn Lộc (1997), Quy trình giải tốn hình học vectơ, NXB Giáo dục, Đà Nẵng [12] Hứa Thuần Phỏng (1976), Định lý hình học phương pháp chứng minh, NXB Giáo dục, Thành phố Hồ Chí Minh 58 ... III: Một số tập áp dụng? ??……………………………………………17 3.1 Ứng dụng số phức vào giải tốn chứng minh, tính tốn………………….23 3.2 Ứng dụng số phức vào giải toán thẳng hàng, đồng quy ……………………33 3.3 Ứng dụng số phức. .. Chương trình bày số ứng dụng số phức vào việc giải số lớp tốn hình học phẳng Một số toán giải phương pháp số phức đơn giản, thuận tiện giải phương pháp khác, chẳng hạn: Bài toán 1: ([2] Bài 11 trang... trình bày ứng dụng số phức để giải số lớp tốn hình học phẳng 3.1 Ứng dụng số phức vào giải tốn chứng minh, tính tốn Bài toán 4: (Saint Petersburg 2000 – [3] trang 169) Cho tam giác nhọn ABC Một đường