Sử dụng phép vị tự và phép vị tự quay để giải một số bài toán hình học phẳng

Khóa luận tốt nghiệp "Sử dụng phép vị tự và phép vị tự quay để giải một số bài toán hình học phẳng" Sử dụng phép vị tự và phép vị tự quay để giải một số bài toán hình học phẳng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

PHẠM THỊ THU

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ VÀ PHÉP VỊ TỰ QUAY ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn: Th.S Hoàng Ngọc Anh

Sơn La, năm 2010

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện khóa luận này, em đã nhận đựơc sự hướng dẫn,

chỉ bảo tận tình của thầy giáo – Th.s Hoàng Ngọc Anh, sự giúp đỡ, tạo điều

kiện của các thầy cô giáo trong Khoa Toán – Lý – Tin, cũng như sự ủng hộ, động viên, góp ý của các bạn trong lớp K47 ĐHSP Toán Đồng thời, việc hoàn thành khóa luận đã nhận được sự giúp đỡ, tạo điều kiện của Phòng Đào tạo, phòng QLKH và QHQT, thư viện và một số phòng, ban, khoa trực thuộc Trường Đại học Tây Bắc.

Nhân dịp này, cho phép em được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy,

cô, các bạn sinh viên đã giúp đỡ giúp em hoàn thành khóa luận trong thời gian qua.

Em xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2010

Người thực hiện khóa luận

Phạm Thị Thu

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 5

I LÝ DO CHỌN KHÓA LUẬN 5

II MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ, ĐỐI TƯỢNG, PHƯƠNG PHÁP VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 5

1 Mục đích nghiên cứu 5

2 Nhiệm vụ 5

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 5

4 Phương pháp nghiên cứu 6

III GIẢ THIẾT KHOA HỌC 6

IV ĐÓNG GÓP CỦA KHÓA LUẬN 6

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 7

I ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 7

1.1 Khái niệm hình 7

1.2 Phép biến hình 7

1.3 Phép dời hình 8

1.4 Phép quay 11

II CÁC PHÉP ĐỒNG DẠNG PHẲNG 12

2.1 Đại cương về các phép đồng dạng phẳng 13

2.2 Phép vị tự 14

2.3 Sự xác định phép đồng dạng trong mặt phẳng 20

2.4 Phép vị tự quay 21

CHƯƠNG 2: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ VÀ PHÉP VỊ TỰ QUAY ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG 23

I CÁC ĐA GIÁC VỊ TỰ VỚI NHAU 23

1.1 Các ví dụ 23

1.2 Bài tập áp dụng 25

II CÁC ĐƯỜNG TRÒN VỊ TỰ VỚI NHAU 26

2.1 Các ví dụ 26

2.2 Bài tập áp dụng 27

III DỰNG HÌNH VÀ TẬP HỢP CÁC ĐIỂM 28

3.1 Các ví dụ 28

3.2 Bài tập áp dụng: 30

IV TÍCH CÁC PHÉP VỊ TỰ 30

4.1 Các ví dụ 31

4.2 Bài tập áp dụng 32

V PHÉP VỊ TỰ QUAY 33

5.1 Các ví dụ 33

5.2 Bài tập áp dụng 36

KẾT LUẬN 37

TÀI LIỆU THAM KHẢO 38

MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN KHÓA LUẬN

Lý thuyết về các phép biến hình thuộc lĩnh vực hình học sơ cấp, tronggiáo trình chỉ đề cập những vấn đề cơ bản của phép vị tự và phép vị tự quay,chưa đưa ra được nhiều ứng dụng để giải toán

Vì vậy nghiên cứu phép vị tự và phép vị tự quay cho ta nhiều vấn đề bổích trong việc giải toán hình học

Với mong muốn tổng hợp lại một số kiến thức của bộ môn hình học sơcấp đã được học và tìm hiểu sâu hơn một số nội dung của môn học ít được

nghiên cứu Do vậy, em đã chọn khoá luận: “ Sử dụng phép vị tự và phép vị tự

quay để giải một số bài toán hình học phẳng” thuộc hình học sơ cấp để làm đề

tài nghiên cứu cho mình

II MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ, ĐỐI TƯỢNG, PHƯƠNG PHÁP VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đại cương về phép biến hình và phép dời hình trong mặt phẳng Một sốvấn đề của hình học liên quan đến phép biến hình

phẳng như: các đa giác vị tự với nhau, các đường tròn vị tự với nhau, dựng hình

và các tập hợp điểm, tích các phép vị tự, phép vị tự quay

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu

- Phân tích, tổng hợp các kiến thức

- Kinh nghiệm bản thân, trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn

III GIẢ THIẾT KHOA HỌC

Có thể dựa vào các mối quan hệ và các bất biến của các thứ hình học khácnhau như hình học xạ ảnh, hình học afin, hình học đồng dạng, hình học Euclid

để tìm ra một số phương pháp và công cụ khác nhau để giải một bài toán tronghình học phẳng

IV ĐÓNG GÓP CỦA KHÓA LUẬN

Khoá luận có thể làm tài liệu học tập cho sinh viên ngành toán, tài liệutham khảo cho giáo viên toán và học sinh THPT

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chẳng hạn: Điểm A thuộc đường thẳng d: A d

Điểm B là giao của hai đường thẳng a và b: B a b

1.2 Phép biến hình

Kí hiệu tập tất cả các điểm của mặt phẳng là P Khi đó mỗi hình H bất

kì của mặt phẳng đều là tập con của P và được kí hiệu là HP

1.2.1 Định nghĩa

Một song ánh f : P P từ một tập điểm của mặt phẳng P lên chính nó được gọi là một phép biến hình của mặt phẳng

Như vậy cho một phép biến hình f : P P là cho một quy tắc để với bất

kì điểm M P ta tìm được điểm M f M  hoàn toàn xác định thoả mãn haiđiều kiện sau:

- Nếu M, N là hai điểm bất kì của P thì f M ,   f N là hai điểm phân 

biệt của P

- Với một điểm MP bao giờ cũng tồn tại một điểm M P sao cho

 

M f M

Điểm f M được gọi là ảnh của   M qua phép biến hình f và điểm M làtạo ảnh của điểm f M qua phép biến hình   f.

Nếu H là một hình nào đó H P thì ta có thể xác định

     

f H  f M / M H khi đó f H gọi là ảnh của hình   H qua phép biếnhình f và H được gọi là tạo ảnh của hình f H qua phép biến hình   f

Kí hiệu G là tập hợp gồm tất cả các phép biến hình trong mặt phẳng P

1.2.2 Điểm bất động của phép biến hình

Một điểm M thuộc P là điểm bất động (hoặc là điểm kép) đối với phépbiến hình f nếu f M  M Như vậy điểm M là điểm bất động đối với phépbiến hình f nếu điểm M đó biến thành chính nó qua phép f

Đối với phép đồng nhất e : P P, mọi điểm của e đều là điểm bất động

1.2.3 Tính chất của phép biến hình

Trong khuôn khổ của khóa luận em chỉ đưa ra một số tính chất sau:

Kí hiệu: “” là tích các phép biến hình, khi đó:

- Tích của hai phép biến hình là một phép biến hình

- Tích các phép biến hình có tính chất kết hợp, nghĩa là nếu gọi f , g, h làcác phép biến hình bất kì ta có: f g h f g h 

- Có phép biến hình đồng nhất kí hiệu là e sao cho với bất cứ phép biếnhình f nào của G ta cũng có f e e f   f Phép biến hình e đó gọi là phépbiến hình đơn vị

- Với mọi phép biến hình f của G bao giờ ta cũng có một phép biến hình

g của G sao cho f g e  Phép biến hình như thế gọi là phép biến hình đảo

ngược của f, kí hiệu: g f1



1.3 Phép dời hình

1.3.1 Định nghĩa

Một phép biến hình f : P P được gọi là phép dời hình nếu trong mặt

phẳng P với hai điểm M,N bất kì và hai ảnh của chúng lần lượt là

   

Mf M , Nf N ta luôn có M N  MN

Nhận xét:

- Phép dời hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì nên người ta

gọi nó là phép biến hình đẳng cự hay gọi vắn tắt là phép đẳng cự

- Phép đồng nhất e là một phép dời hình

- Đảo ngược của một phép dời hình là một phép dời hình Nghĩa là f làphép dời hình thì f  1 cũng là phép dời hình

1.3.2 Tính chất của phép dời hình

Định lí 1.3.2.1 Phép dời hình biến 3 điểm A,B,C thẳng hàng với B nằm giữa

A,C thành 3 điểmA,B,C thẳng hàng với B nằm giữa Avà C

Chứng minh

Giả sử có một phép dời hình f biến A thành A, B thành B, C thành C ta có:

AB A B  , BC B C  , CA C A  

Mà AB BC AC   A B B C A C 

 A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A,C.

Hệ quả 1: Phép dời hình biến một đường thẳng thành một đường thẳng, một tia

thành một tia, một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó

Hệ quả 2: Phép dời hình biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, một

góc thành một góc bằng nó, một đường tròn thành một đường tròn bằng nó vớitâm đường tròn này thành tâm đường tròn kia

Định lí 1.3.2.2 Tích của hai phép dời hình là một phép dời hình.

Chứng minh

Gọi f và g là hai phép dời hình, ta xét tích g f

Giả sử: f (A) A , f (B) B , g(B ) B  , g(A ) A  

Vì f và g đều là phép dời hình nên AB A B   và A B A B 

Vậy tích g f biến A thành A, B thành B thoả mãn AB A B  

 tích g f là một phép dời hình ( phép dời hình bảo tồn khoảng cách ).

Hệ quả: - Tích của n phép dời hình là một phép dời hình

- Tích của một phép dời hình và một phép nghịch đảo của nó là mộtphép đồng nhất

(Vì cả hai đều biến M thành M, với M bất kì trong mặt phẳng)

Định lí 1.3.2.4 Một phép dời hình phẳng có ba điểm bất động không thẳng hàng

Từ đó suy ra, mọi điểm M của mặt phẳng ABC đều là điểm bất động.

Do đó: f Id

Hệ quả: Một phép dời hình phẳng khác phép biến hình đồng nhất thì hoặc

không có điểm bất động nào hoặc có một điểm bất động duy nhất, hoặc có mộtđường thẳng mà mọi điểm của nó đều là điểm bất động, tức là có một đườngthẳng cố định

1.4 Phép quay

1.4.1 Định nghĩa: Trong mặt phẳng P đã được định hướng, cho một điểm O

cố định và một góc định hướng  sai khác k2 Một phép quay tâm O với gócquay  là một phép biến hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm

M thành điểm M sao cho OM OM và OM,OM   

Kí hiệu:QO hoặc Q O; , trong đó ta thường chọn    sao cho:    

Đặc biệt, phép quay QO với  0 là phép đồng nhất, còn nếu   hoặc

M N

O

Từ định nghĩa và định lí trên ta suy ra phép quay có các tính chất sau:

- Phép quay là phép dời hình nên nó có đầy đủ các tính chất của phép dời hình

- Trong phép quay Q (O 0)

  , chỉ có tâm O là điểm kép duy nhất, vànếu đường thẳng a đi qua O thì đường thẳng a (là ảnh của đường thẳng a)cũng đi qua điểm O

- Nếu phép quay QO biến điểm M thành điểm M thì phép quay QO 

biến điểm M thành điểm M, nghĩa là nếu f QO

- Phép quay hoàn toàn được xác định nếu biết tâm quay O và góc quay ,hoặc biết tâm quay O và cặp điểm tạo ảnh và ảnh của M,M 

được gọi là tỉ số đồng dạng Phép đồng dạng tỉ số k được kí hiệu:  k

Định lí 2.1.2.1 Phép đồng dạng bảo toàn sự thẳng hàng của 3 điểm và thứ tự

của chúng trên đường thẳng chứa 3 điểm đó

Hệ quả 1: Phép đồng dạng biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến

một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài gấp

k lần độ dài của đoạn thẳng ban đầu

Hệ quả 2: Phép đồng dạng biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với

nó, biến một góc thành một góc bằng nó, biến một đường tròn thành một đườngtròn, trong đó tâm biến thành tâm còn bán kính có độ dài gấp k lần bán kínhđường tròn ban đầu

2.1.3 Phân loại các phép đồng dạng

Phép đồng dạng chia làm hai loại, loại 1 và loại 2 tùy theo nó bảo toàn

hướng hay ngược hướng của hình

- Phép đồng dạng thuận, hay vắn tắt là phép đồng dạng, là một phép đồngdạng bảo toàn hướng của hình

- Phép đồng dạng nghịch, hay còn gọi là phép đồng dạng gương hay phảnđồng dạng, là một phép đồng dạng phẳng đảo ngược hướng của hình

2.1.4 Khái niệm về hai hình đồng dạng

Định nghĩa: Hai hình H và H gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phépđồng dạng  biến hình này thành hình kia, hay  H H

Nếu phép đồng dạng  biến hình H thành H thì phép đồng dạng đảongược của  biến H thành H

Kí hiệu hai hình đồng dạng bởi  , chẳng hạn: ABCA B C  

2.2 Phép vị tự

2.2.1 Định nghĩa

Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và một số k 0 Phép biếnhình biến mỗi điểm M của mặt phẳng thành điểm M sao cho OM   kOMđược gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k

Hệ quả 1: Nếu phép vị tự biến A thành A, biến B thành B thì đường thẳng

AB và A B  song song với nhau hoặc trùng nhau và A B  k AB

Hệ quả 2: Phép vị tự biến tam giác thành một tam giác đồng dạng với nó và

biến một góc thành một góc bằng nó có các cạnh tương ứng cùng phương

Định lí 2.2.3.2 Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng.

Vì ba điểm A, B, C thẳng hàng nên AC mAB 

Do đó: kAC k(mAB) mkAB m(kAB) mA B        

Hay A C mA B   

Nghĩa là ba điểm A , B , C   thẳng hàng

Hệ quả: Phép vị tự biến đường thẳng a thành đường thẳng a cùng phương với

a, biến một tia thành một tia cùng phương với tia đó.

A’

A

O

I O

I'

M'

Định lí 2.2.3.3 Phép vị tự biến một đường tròn thành một đường tròn.

Chứng minh

Cho phép vị tự V và đường tròn tâm Ok I, bán kính R

Gọi I là ảnh của I qua phép vị tự k

O

VGọi M là một điểm bất kì trên đường tròn (I, R) và M là ảnh của M

Vậy M nằm trên đường tròn I , R  với R k R

Ngược lại, nếu M nằm trên đường tròn I , R  và gọi M là tạo ảnh củađiểm M thì k IM I M  k R nên R IM

Vậy M nằm trên đường tròn I, R 

Do đó phép vị tự biến một đường tròn thành một đường tròn

2.2.4 Tâm vị tự của hai đường tròn

Cho hai đường tròn tâm I và I lần lượt có bán kính là Rvà R Ta xétphép vị tự biến đường tròn I, R thành đường tròn  I , R 

Gọi O là tâm của phép vị tự, k là tỉ số vị tự Khi đó : R k R

2.2.4.3 Trong trường hợp tổng quát với I khác I và R R

Gọi O là điểm sao cho O I R O I

Như vậy, có hai phép vị tự biến đường tròn I, R thành đường tròn  I , R 

O''

M

I

I' O'

M'

M''

M I

ngoài tại T thì T là tâm vị

tự nghịch của hai đường

tròn đó Tâm vị tự thuận

O là giao điểm của một

tiếp tuyến chung với

đường nối tâm II

( khác với T)

Nếu hai đường tròn I, R và  I , R 

tiếp xúc trong tại T thì T là tâm vị tự thuận

của hai đường tròn đó

Khi đó : OM               k OM, OM1  k OM2 k k OM2 1  k k OM2 1

.Vậy phép vị tự V biến điểm Ok M thành M, với k k k 2 1

Nếu k k2 1 1 thì tích đó là một phép đồng nhất

Định lí 2.2.5.2 Tích của hai phép vị tự khác tâm là một phép vị tự có tâm thẳng

hàng với hai tâm của phép vị tự đã cho, hoặc đặc biệt là một phép tịnh tiến hay đồngnhất

Ta thấy: Tâm O phải nằm trên đường thẳng O O vì đường thẳng đó biến1 2

thành chính nó qua f và qua 1 f ( thật vậy 2 f O O 1 2 O O , f O1 2   O, suy ra

với điều kiện 1 k k 2 1 0 hay k k2 1 1

Như vậy nếu k k2 1 1 thì tích f2f1 là một phép vị tự tâm O xác định bởi hệ thức (**)

Giả sử có hai phép đồng dạng 1 và 2 đều biến ABC thành A B C  

Hệ quả 1: Một phép đồng dạng phẳng bao giờ cũng có thể phân tích được thành

tích của một phép vị tự và một phép đẳng cự (dời hình hoặc phản dời hình) theothứ tự đó hay theo thứ tự ngược lại

Hệ quả 2: Một phép đồng dạng thuận trong mặt phẳng tương ứng với tích của

một phép vị tự và một phép quay hay phép tịnh tiến (theo thứ tự đó hay theo thứ

tự ngược lại)

1

B

AC

2.4 Phép vị tự quay

2.4.1 Định nghĩa

Mọi phép đồng dạng thuận trong mặt phẳng khác với phép tịnh tiến đều

có một điểm bất động duy nhất O và tương đương với tích giao hoán của mộtphép vị tự và một phép quay cùng tâm O Tích giao hoán này được gọi là phép

vị tự - quay và là dạng chính tắc của phép đồng dạng thuận trong mặt phẳng

Nói ngắn gọn, phép vị tự quay là tích của một phép vị tự và một phépquay với cùng một tâm

Phép đồng vị tự quay tâm O góc  và tỉ số k được kí hiệu là O, ,k 

CHƯƠNG 2: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ VÀ PHÉP VỊ TỰ QUAY ĐỂ GIẢI

MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

I CÁC ĐA GIÁC VỊ TỰ VỚI NHAU

1.1 Các ví dụ

Ví dụ 1.1.1 Chứng minh rằng các đường cao của một tam giác đồng quy tại một

điểm H, đồng thời điểm H nằm trên cùng một đường thẳng với trọng tâm M

và tâm đường tròn ngoại tiếp O của các tam giác (chính xác hơn, điểm M nằmtrên đoạn thẳng OH và chia đoạn thẳng đó theo tỉ lệ OM : OH 1: 2 )

tam giác ba đường trung

tuyến đồng quy tại một

điểm, điểm này cách mỗi

đỉnh của tam giác bằng 2

A'

H A