Chúng ta đã biết, để giải một bài toán dựng hình phải tiến hành bốn bước : phân tích, dựng hình, chứng minh và biện luận.Tuy nhiên do tính chất của khóa luận nên trong các ví dụ sau đây em xin phép chỉ đề cập đến cách dựng.
3.1. Các ví dụ
Ví dụ 3.1.1. Cho góc ABC và điểm M nằm trong góc đó. Dựng đường tròn đi
qua điểm M và tiếp xúc với các cạnh của góc đó.
Giải
Giả sử ta đã dựng được đường tròn tâm I đi qua điểm M và tiếp xúc với P O M L K A B C D
M' A A B C I' I M c b M A B C A' hai cạnh BA, BC .
Tâm I của đường tròn này phải nằm trên đường phân giác của góc ABC . Ta dựng thêm đường tròn tâm I′ cũng tiếp xúc với BA và BC . Như vậy B là tâm vị tự ngoài của đường tròn tâm I và I′.
Ta suy ra cách dựng:
- Dựng một đường tròn tâm I′ sao cho đường tròn này tiếp xúc với BA, BC . - Gọi M′ là một trong hai giao điểm của tia BM và đường tròn tâm I′ - Thực hiện phép vị tự tâm B tỉ số vị tự k BM
BM =
′ thì đường tròn tâm I′ sẽ biến thành đường tròn tâm I cần dựng thỏa mãn các điều kiện của bài toán.
Vì tia luôn cắt đường tròn tâm I tại hai điểm phân biệt nên bài toán luôn có hai nghiệm hình.
Ví dụ 3.1.2. Dựng tam giác ABC cho biết trung tuyến AM và độ dài các cạnh AB c, AC = b= . Giải Vì AB c= nên đỉnh B nằm trên đường tròn (A, c và AC b) = nên đỉnh C nằm trên đường tròn (A, b .) Ngoài ra ta có: MC 1 MB = − . Nên C là ảnh của B trong phép vị tự 1 M V− .
Gọi A′ là ảnh của A qua phép vị tự VM−1. Vậy điểm C còn nằm trên đường tròn
phép vị tự 1 M
V− . Hai đường tròn (A , c′ ) và (A, b cắt nhau tại C , ta dễ dàng tìm)
được đỉnh B. Cách dựng :
- Tại A dựng các đường tròn (A, c và ) (A, b .)
- Xác định A′ là điểm đối xứng với A qua M, dựng đường tròn (A , c′ ) . Khi đó
giao điểm của hai đường tròn (A, b và ) (A , c′ ) là điểm C cần tìm.
- Xác định B bằng cách lấy đối xứng điểm C qua M. - Nối các điểm A, B, C ta được tam giác ABC cần dựng.
3.2. Bài tập áp dụng:
Cho tam giác nhọn ABC . Dựng các điểm X và Y trên các cạnh AB và BC sao cho:
a) AX XY YC= = b) BX XY YC= =
Hướng dẫn
a) Đặt trên các cạnh AB và BC của ABC∆ các đoạn thẳng AX và 1 CY bằng1
nhau và cùng có độ dài a (bất kì). Kẻ qua điểm Y đường thẳng 1 l song song với cạnh AC . Giả sử Y là giao điểm của đường thẳng 2 l và đường tròn tâm
1
X bán kính a (lấy Y là điểm nằm trong tam giác). Khi đó điểm 2 Y cần tìm là giao điểm của đường thẳng AY với cạnh BC , 2 X là điểm trên tia AB sao cho
AX CY= .
b) Lấy trên cạnh AB một điểm X1≠B bất kì. Đường tròn tâm X bán kính11 1
X B cắt tia BC tại các điểm B và Y . Trên đường thẳng BC dựng điểm 1 C sao cho1
1 1 1
Y C =BX và điểm Y nằm giữa 1 B và C . Qua phép vị tự tâm 1 B biến điểm C1