2.1. Các ví dụ
Ví dụ 2.1.1. Trên đường tròn cố định hai điểm A và B, còn điểm C chuyển động trên đường tròn đó.
a) Tìm quỹ tích trọng tâm G của ABC∆ .
b) Từ đó suy ra quỹ tích trực tâm H của ABC∆ .
Giải
a) Giả sử ABC∆ nội tiếp đường tròn (O, R) . Gọi M là trung điểm của AB.
Khi đó : MG 1MC 3 =
uuuur uuur
(tính chất trọng tâm của tam giác).
⇒ phép vị tự 13 M V biến C thành G . H G M O A B C
PO O' O O' A' A'' B' B''
Vậy quỹ tích trọng tâm G của ABC∆ là đường tròn (O , )1 R
3 . Trong đó, Rlà bán kính của (O) còn O được xác định bởi 1 1
2 OO OM 3 = uuuur uuuur (1).
b) Ta có OH 3OGuuur = uuur (theo ví dụ 1.1.2), do đó H được suy ra từ phép vị tự
3O O
V .
Vậy quỹ tích trực tâm H là đường tròn (O , R′ ) trong đó O′ được xác định
bởi OOuuuur′ =3OOuuuur1, hay theo (1) OO 2OMuuuur′ = uuuur (2). Hệ thức (2) còn chứng tỏ O′ đối xứng với O qua M và qua cả AB. Từ đó ta có thể kết luận rằng quỹ tích trực tâm H của ABC∆ là đường tròn
(O , R′ ) đối xứng với đường tròn (O, R) ngoại tiếp ABC∆ qua cạnh AB.
Ví dụ 2.2.2. Hai đường tròn tiếp xúc với nhau tại điểm P, qua điểm P kẻ hai cát tuyến cắt đường tròn thứ nhất tại các điểm A′ và B′, cắt đường tròn thứ hai tại các điểm A′′ và B′′. Chứng minh rằng PA B∆ ′ ′ và PA B∆ ′′ ′′ đồng dạng với nhau.
Giải
Giả sử đường tròn (O, R) và đường tròn (O , R )′ ′ tiếp xúc với nhau tại P . Theo các trường hợp đặc biệt của
các tâm vị tự của hai đường tròn. Ta thấy, tiếp điểm của hai đường tròn là tâm của phép vị tự biến đường tròn
(O, R thành đường tròn ) (O , R′ ′) . Thật vậy, ta có : PO R k R PO = − = ′ ′ ⇒PO kPO′= uuur uuur (với k R R = − ′)
số R R −
′, tam giác PA B∆ ′ ′ biến thành PA B∆ ′′ ′′. Do đó, các tam giác này đồng dạng với nhau (điều phải chứng minh).
2.2. Bài tập áp dụng
Trong một đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD . Chứng minh rằng các trọng tâm của các tam giác ABC, CDA, BCD, DAB cùng nằm trên một đường tròn.
Hướng dẫn
Giả sử K và L là trung điểm của các đường chéo AC và BD , M là trung điểm của đoạn thẳng KL. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ta chứng minh rằng các trọng tâm của các tam giác ABC, CDA, BCD, DAB tạo thành một tứ giác vị tự với tứ giác
ABCD qua phép vị tự tâm M tỉ số 1 3 − .